江苏省苏州市第五中学高中数学2.1向量的概念及表示学案(无答案)苏教版必修4
数学知识点苏教版必修4高中数学2.1《向量的概念及表示》word导学案-总结
_______________ ___________________________________叫单位向量。
4、_________________________________________平行向量
既有大小又有方向的量_________________________________________。
1、向量的概念（两要素）____________________ _____________________
2、如何表示向量？
3、__________________________________________________向量的模，
【学后反思】
【课堂检测】2.1课题:向量的概念
1、在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，___________________
【学后反思】
【课堂检测】2.1课题:向量的概念
1、在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，___________________
_______________是数量,____________________________________是向量.
2、在下列结论中，正确的是______________________ ________
（1）分别写出与 ， 相等的向量；
（2）写出与 共线的向量；
（3）写出与 的模相等的向量；
（4）向量 与 是否相等？
4、在如图所示的向量 中（小正方形的边长为 ），是否存在：
（1）共线向量（2）相反 向量（3）相等向量（4）模相等的向量
若存在，分别写出这些向量。
苏教版数学高一-必修4学案 2.1 向量的概念及表示
2．1 向量的概念及表示1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．1．力和位移都是既有大小，又有方向的量，在物理学中常称为矢量，在数学中叫做向量；而把那些只有大小，没有方向的量称为数量，在物理学中常称为标量．2．已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度．其中是数量的有②④⑤⑨⑩，是向量的有①③⑥⑦⑧. 3．向量与数量有什么联系和区别？答 联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小．1．向量：既有大小又有方向的量称为向量．2．向量的几何表示：以A 为起点、B 为终点的向量记作AB →. 3．向量的有关概念(1)零向量：长度为0的向量，叫做零向量，记作0.(2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量． (3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(4)相反向量：与向量a 长度相等且方向相反的向量叫做a 的相反向量．(5)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量a 平行于b ，记作a ∥b . ②规定：零向量与任一向量平行.要点一 向量的概念 例1 给出下列各命题： (1)零向量没有方向； (2)若|a |＝|b |，则a ＝b ； (3)单位向量都相等； (4)向量就是有向线段；(5)两相等向量若其起点相同，则终点也相同； (6)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； (7)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；(8)若四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝CD →，BC →＝DA →. 其中正确命题的序号是________． 答案 (5)(6)解析 (1)该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不确定； (2)该命题不正确，|a |＝|b |只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同； (3)该命题不正确，单位向量只是模为单位长度1，而对方向没要求；(4)该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；(5)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合； (6)该命题正确．由向量相等的定义知，a 与b 的模相等，b 与c 的模相等，从而a 与c 的模相等；又a 与b 的方向相同，b 与c 的方向相同，从而a 与c 的方向也必相同，故a ＝c ； (7)该命题不正确．因若b ＝0，则对两不共线的向量a 与c ，也有a ∥0，0∥c ，但a ∥c 不成立；(8)该命题不正确．如图所示，显然有AB →≠CD →，BC →≠DA →.规律方法 要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清楚它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键．跟踪演练1 下列命题中，正确的是________． ①a ，b 是两个单位向量，则a 与b 相等； ②若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量； ③两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同； ④共线的单位向量必是相等向量． 答案 ②解析 若a 与b 中有一个是零向量，则a 与b 是平行向量． 要点二 向量的表示例2 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°； (2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°.解 (1)由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC →如图所示．规律方法 在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．跟踪演练2 中国象棋中规定：马走“日”字．下图是中国象棋的半个棋盘，若马在A 处，可跳到A 1处，也可跳到A 2处，用向量AA 1→或AA 2→表示马走了“一步”．试在图中画出马在B ，C 处走了“一步”的所有情况．解 根据规则，画出符合要求的所有向量． 马在B 处走了“一步”的情况如图(1)所示； 马在C 处走了“一步”的情况如图(2)所示．要点三 相等向量与共线向量例3 如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别为AB 和CD 的中点，在以A ，B ，C ，D ，M ，N 为起点和终点的所有向量中，相等的向量分别有多少对？解 不妨设正方形的边长为2，则以A ，B ，C ，D ，M ，N 为起点和终点的向量中： ①模为2的相等向量共有8对，AB →＝DC →，BA →＝CD →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，AD →＝MN →，DA →＝NM →，BC →＝MN →，CB →＝NM →.②模为1的相等向量有12对，其中与AM →同向的有MB →，DN →，NC →，这四个向量组成相等的向量有6对，即AM →＝MB →，AM →＝DN →，AM →＝NC →，MB →＝DN →，MB →＝NC →，DN →＝NC →，同理与AM →反向的也有6对．③模为5的相等向量共有4对，AN →＝MC →，NA →＝CM →，MD →＝BN →，DM →＝NB →.规律方法 判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．跟踪演练3 如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 都是正方形．(1)写出与AO →相等的向量； (2)写出与AO →共线的向量； (3)向量AO →与CO →是否相等？解 (1)与AO →相等的向量有：OC →、BF →、ED →.(2)与AO →共线的向量有：OA →、OC →、CO →、AC →、CA →、ED →、DE →、BF →、FB →. (3)向量AO →与CO →不相等，因为AO →与CO →的方向相反，所以它们不相等.1．下列说法正确的是________． ①零向量没有大小，没有方向； ②零向量是唯一没有方向的向量； ③零向量的长度为0；④任意两个单位向量方向相同． 答案 ③解析 零向量的长度为0，方向是任意的，故①②错误，③正确．任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故④错误．2．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，则图中向量是共线向量的有________．答案 ED →与CB →，AD →与BD →，AE →与CE →3．在四边形ABCD 中，AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，则四边形ABCD 的形状是________． 答案 梯形解析 ∵AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，∴AB ∥DC ，但AB ≠DC ，∴四边形ABCD 是梯形．4．如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．(1)写出与AF →、AE →相等的向量； (2)写出与AD →模相等的向量． 解 (1)AF →＝BE →＝CD →，AE →＝BD →. (2)DA →，CF →，FC →.1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，也可以将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．平行向量是指向量所在直线平行或重合即可，是一种广义平行．3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．一、基础达标1.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列正确的是______．①AD →＝BC →；②AC →＝BD →；③PE →＝PF →；④EP →＝PF →. 答案 ④解析 由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →模相等且方向相同，所以EP →＝PF →. 2．下列说法正确的有________．(填相应的序号) ①方向相同的向量叫相等向量； ②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量； ④零向量是没有方向的向量； ⑤共线向量不一定相等； ⑥平行向量方向相同． 答案 ②⑤解析 ②与⑤正确，其余都是错误的．3．若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1.其中正确的是________．(填相应的序号) 答案 ③解析 a 任一非零向量，故|a |＞0. 4．有下列说法：①若向量a 与向量b 不平行，则a 与b 方向一定不相同； ②若向量AB →，CD →满足|AB →|>CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →； ③若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等且方向相同或相反； ④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行． 其中，正确说法的个数是________． 答案 1解析 对于①，由共线向量的定义知，两向量不平行，方向一定不相同，故①正确； 对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由|a |＝|b |，只能说明a ，b 的长度相等，不能确定它们的方向，故③错误；对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误．5．给出下列四个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0.其中能使a ∥b 成立的条件是________． 答案 ①③④解析 因为a ＝b ⇒a ∥b ，即①能够使a ∥b 成立；由于|a |＝|b |并没有确定a 与b 的方向，即②不能够使a ∥b 成立；因为a 与b 方向相反时，a ∥b ，即③能够使a ∥b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a |＝0或|b |＝0时，a ∥b 能够成立．故使a ∥b 成立的条件是①③④. 6．下列结论中，正确的是________．(填相应的序号) ①若向量AB →，CD →共线，则向量AB →∥CD →； ②若向量AB →∥CD →，则向量AB →与DC →共线； ③若向量AB →＝CD →，则向量BA →＝DC →； ④若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是正方形． 答案 ①②③解析 根据平行向量(或共线向量)定义知①②均正确；根据向量相等的概念知③正确；④不正确．7．如图，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →.求证：DN →＝MB →.证明 ∵AB →＝DC →， ∴|AB →|＝|CD →|且AB ∥CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB . 又∵DA →与CB →的方向相同，∴CB →＝DA →.同理可证，四边形CNAM 是平行四边形， ∴CM →＝NA →.∵|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|，∴|DN →|＝|MB →|.∵DN ∥MB 且DN →与MB →的方向相同，∴DN →＝MB →. 二、能力提升8．下列说法正确的是________．(填相应的序号)①向量AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线；②长度相等的向量叫做相等向量；③零向量长度等于0；④共线向量是在一条直线上的向量． 答案 ③解析 向量AB →∥CD →包含AB →所在的直线平行于CD →所在的直线和AB →所在的直线与CD →所在的直线重合两种情况；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量也称为平行向量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以①②④均错． 9.如图，已知四边形ABCD 为正方形，△CBE 为等腰直角三角形，回答下列问题：(1)图中与AB →共线的向量有____________； (2)图中与AB →相等的向量有____________； (3)图中与AB →模相等的向量有____________． 答案 (1)BA →，BE →，EB →，AE →，EA →，CD →，DC →(2)DC →，BE →(3)BA →，BE →，EB →，DC →，CD →，AD →，DA →，BC →，CB →10．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点． (1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|.解 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB ∥CD 且AB ＝CD . ∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴AD →＝BC →，∴|AD |→＝|BC →|＝200 km.11．一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向向前行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去． (1)按1∶100比例作图说明当α＝45°时，操作几次时赛车的位移为零； (2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？ 解 (1)如图所示，操作8次后，赛车的位移为零；(2)要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零，按(1)的方式作图，则所作图形是内角为180°－α的正多边形， 故有n ·(180°－α)＝(n －2)·180°. 即α＝360°n，n 为不小于3的整数．12．如图平面图形中，已知AA ′→＝BB ′→＝CC ′→.求证：(1)△ABC ≌△A ′B ′C ′； (2)AB →＝A ′B ′→，AC →＝A ′C ′→. 证明 (1)∵AA ′→＝BB ′→， ∴|AA ′→|＝|BB ′→|，且AA ′→∥BB ′→. 又∵A 不在BB ′→上，∴AA ′∥BB ′. ∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形． ∴|AB →|＝|A ′B ′→|.同理|AC →|＝|A ′C ′→|，|BC →|＝|B ′C ′→|.∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形，∴AB →∥A ′B ′→，且|AB →|＝|A ′B ′→|.∴AB →＝A ′B ′→.同理可证AC →＝A ′C ′→.三、探究与创新13.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是两对角线AC ，BD 的交点，设点集S ＝{A ，B ，C ，D ，O }，向量集合T ＝{MN →|M ，N ∈S ，且M ，N 不重合}，试求集合T 中元素的个数．解 由题意知，集合T 中的元素实质上是S 中任意两点连成的有向线段，共有20个， 即AB →，AC →，AD →，AO →；BA →，BC →，BD →，BO →；CA →，CB →，CD →，CO →；DA →，DB →，DC →，DO →；OA →，OB →，OC →，OD →.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即AB →＝DC →，BA →＝CD →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，AO →＝OC →，OA →＝CO →，DO →＝OB →，OD →＝BO →.∵集合中元素具有互异性，∴集合T 中的元素共有12个．。
2019-2020高中数学第2章平面向量2.1向量的概念及表示学案苏教版必修4
3．把同一平面内所有模不小于 1，不大于 2 的向量的起点， 移到同一点 O，则这些向量的终
点构成的图形的面积为．
答案 3π
解析 这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为
π· 22－π· 12＝3π．
4. 如图所示，以 1×2 方格纸中的格点 ( 各线段的交点 ) 为起点和终点的向量中．
(1) 写出与 A→F， A→E相等的向量； (2) 写出与 A→D模相等的向量． 解 (1) →AF＝ B→E＝ C→D，→AE＝ B→D.(2) D→A， C→F， F→C.
答案 3 解析 由勾股定理可知， BC＝ AC2－AB2＝ 3，所以 | B→C| ＝ 3. 4. 如图， O是正三角形 ABC的中心，四边形 AOCD和 AOBE均为平行四边形，则图中所示向量 与向量 A→D相等的向量为； 图中所示向量与向量 O→A共线的向量为； 图中所示向量与向量 O→A的模
相等的向量为． ( 填图中所画出的向量 )
(1) 与 O→A的模相等的向量有多少个？ (2) 是否存在与 O→A长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3) 与 O→A共线的向量有哪些？ 解 (1) 与O→A的模相等的线段是六条边和六条半径 ( 如 OB) ，而每一条线段可以有两个向量， 所以这样的向量共有 23 个． (2) 存在．由正六边形的性质可知， BC∥ AO∥EF，所以与 O→A的长度相等、 方向相反的向量有 A→O， →OD， F→E， B→C，共 4 个． (3) 由 (2) 知， BC∥ OA∥ EF，线段 OD， AD与 OA在同一条直线上，所以与 O→A共线的向量有 B→C， →CB， E→F， F→E，A→O， O→D，→DO， A→D， D→A，共 9 个． 类型三 向量的表示及应用 例 3 一辆汽车从 A点出发向西行驶了 100km到达 B点，然后又改变方向， 向西偏北 50°的 方向走了 200km到达 C点，最后又改变方向，向东行驶了 100km到达 D点． (1) 作出向量 A→B， B→C，C→D； (2) 求 | A→D|. 解 (1) 向量 A→B， B→C，C→D如图所示．
江苏省苏州市第五中学高中数学2.1向量的概念及表示学案(无答案)苏教版必修4
2.1 向量的概念及表示 平面向量的基本概念和几何表示：向量、 1. 预习目标(1)理解向量、零向量、单位向量、相等向量及共线向量等概念； (2)掌握向量的表示方法； (3)能在图形中辨认共线向量与相等向量，能用有向线段表示已知向量． 2. 预习提纲 (1)复习物理中位移、速度、力和几何中有向线段等概念，理解平面向量的含义．(2)阅读课本P57-58,思考下列内容：①向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量． ②向量的表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．符号AB 表示以A 为起点，B 为终点的向量．向量也可以用小写字母a ，b ，c 等表示． ③向量的模：向量AB 的大小称为向量的长度或向量的模，记作|AB |．④向量的其他概念及表示方法．3. 典型例题(1) 向量的有关概念例 1 给出下列命题： ①若a =b ，则a b =；②若a <b ，则a b <；③若a =b ，则a ∥b ；④若a ∥b ，则a =b ；⑤若a =0，则a =0；⑥若a =b ，则a =b ．其中正确命题的序号是 ．分析：解答本题可借助于相等向量、共线向量的概念等基本知识逐一进行判断．解：由相等向量定义可知，若a =b ，则a ，b 的模相等，方向相同，故①不正确，⑥正确．a <b 知模的大小，而不能确定方向，故②不正确．共线向量是指方向相同或相反的向量，相等向量一定共线，共线向量不一定相等，故③正确，④不正确．零向量与数字0是两个不同的概念，零向量不等于数字0，故⑤不正确．所以答案为③⑥．点评：此类题目关键是理解、区分向量的有关概念，从向量的长度与方向两方面认识向量，可举特例选择．(2) 共线向量与相等向量方向相同或相反的的非零向量为平行向量，零向量与任意向量平行．在图形中要能识别共线向量与相等向量．例2 如图：EF 是△ABC 的中位线，AD 是△ABC 的BC 边上的中线，以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段表示的向量中(1)与向量共线的向量有哪几个？请分别写出这些向量；(2)与向量的模一定相等的向量有哪几个？请写出这些向量；(3)写出与向量DE 相等的向量．分析：根据共线向量与相等向量的定义即可解决．解：(1)与CD 共线的向量有7个，它们分别是DC BC BD EF FE DB CB ，，，，，，；(2)与向量的模一定相等的向量有5个，它们分别是AE EA BE EB FD ，，，，；(3)如图，==.(3) 向量的应用例3 若AB AD =且BA CD =，判断四边形ABCD 的形状.分析：先由BA CD =得出四边形为平行四边形，再由AB AD =得出结论．解：由BA CD =知BA ∥CD 且BA =CD ，所以四边形ABCD 为平行四边形， 又因为AB AD =，所以四边形ABCD 为菱形． 点评：BA CD =隐含BA ∥CD 与BA =CD 两方面，一般，判断四边形的形状需要判断对边与邻边的关系．4. 自我检测(1) 判断下列说法是否正确： ①若两个向量相等，则它们的起点和终点重合；②若a 、b 都是单位向量，则a b =；③物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量； ④不相等的向量一定不平行；⑤若a 平行b ，b 平行c ，则a 平行c ；⑥零向量没有方向； ⑦零向量与任何向量都平行；⑧零向量的方向是任意的；⑨向量AB与向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；⑩有向线段就是向量，向量就是有向线段．(2) 思考讨论：①所有的单位向量都相等吗？②AB∥CD与AB∥CD一样吗？③向量、能不能用不等号将它们连接起来？即能表示为＞或＜吗？三、课后巩固练习A组1．给出下列命题：①向量AB的长度与向量BA的长度相等；②若向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有共同终点的向量，一定是共线向量.其中，正确命题的个数是．2．以下各物理量：速度、位移、力、功，不能称之为向量的是．3．向量OE的长度记作_____；0的模是_____，i是单位向量，则||i的值是____．a )平行的向量中，不相等的单位向量有_____个．4．与非零向量a(15．已知a、b为不共线的非零向量，且存在向量c，使c∥a，c∥b，则c=_______．6．在直角坐标系中，已知OP=2，则点P构成的图形是_______．7．如图在正六边形ABCDEF中，Ｏ为中心，(1)与OF相等的向量有；(2)与DC共线的向量有；(3)与BA的模相等且反向的向量有．8．直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，3)，(5，2)，试画出两个与向量AB不相等且又共线的向量．B组9.在直角坐标系中，画出向量a：a=5，a的方向与x轴正向的夹角是30°，与y轴正方向的夹角是120°．10. 如图，D、E、F分别是△ABC各边上的中点，四边形BCMF是平行四边形．分别写出：(1)与共线的向量；(2)与FE 共线的向量；(3)与ED 相等的向量；(4)与相等的向量．11. 一架飞机从A 点向西北飞行200km 到达B 点，再从B点向东飞行到达C 点，再从C 点向东偏南30°飞行了km 到达D 点．问D 点在A 点的什么方向，距A 点有多远？12．右图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是象棋中马的走法，如图，马可从A 跳到A 1，也可跳到A 2，用向量12,AA AA 表示马走了“一步”，试在图中画出马在B ,C 处走“一步”的所有情况．13．如图，在平面直角坐标系xoy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP 的坐标为 ．向量的四、学习心得五、 拓展视野 向量的由来向量又称为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．课本上讨论的向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向．但是在高等数学中还有更广泛的向量．例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量．在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的．这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象．这样，就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了．因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用．而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型．从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系．。
高中数学 2.1 向量的概念及表示互动课堂学案 苏教版必修4(2021年整理)
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高中数学 2.1 向量的概念及表示互动课堂学案苏教版必修4疏导引导1.位移的概念在物理学中，研究物体在平面内的位置和运动规律时，一般忽略它的大小，把它看作是一个质点,用点表示它在平面的位置.一个质点从点A运动到A′,如果我们不考虑它的运动路线,只考虑点A′相对A的“方向”和“直线"距离，我们说质点在平面上作了一次位移，因此位移被“方向”与“距离"唯一确定,位移只表示位置的变化,起、终点间的位置关系,而与质点实际运动的路线无关.特别提示：从两个不同点出发的位移,只要方向相同，距离相等，我们可将它们看成是相同的位移或相等的位移。
2.向量的概念及表示（1）向量的概念在高中阶段,我们暂且把具有大小和方向的量叫做向量，更具体一些，向量可以理解为“一个位移”或表达“一个点相对于另一点的位置”的量.有些向量不仅有大小和方向，而且还有作用点.例如,力就是既有大小，又有方向，并且还有作用点的向量。
有些向量只有大小与方向;而无特定的位置.例如,位移、速度等.通常将后一种向量叫做自由向量.以后无特殊说明，我们所提到的向量，都是自由向量,即我们高中阶段所研究的向量只有大小、方向两个要素，如果两个向量的大小、方向都相同，则说这两个向量相等。
疑难疏引由于向量是具有大小和方向的量,所以向量不能比较大小.这是向量与数量的不同之处。
高中数学：2.1 向量的概念及表示 教案(苏教版必修4)
a 第 1 课时： 2.1 向量的概念及表示【三维目标】：一、知识与技能1.了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示；2.理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向）；注意向量的特点：可以平行移动（长度、方向确定，起点不确定）。
3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念4.通过教师指导发现知识，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.二、过程与方法1.通过实例，引导学生了解向量的实际背景，让学生认识到向量在刻画数学问题和物理问题中的作用，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；2.通过师生互动、交流与学习，培养学生探求新知识的学习品质。
3.通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.三、情感、态度与价值观1. 通过向量（包含大小、方向）概念的学习，感知数学美；2.向量的方向包含正反两个方面，正反关系的对照培养学生辩证唯物主义思维.【教学重点与难点】：重点：向量、相等向量、共线向量的概念难点：向量概念的理解及向量的几何表示.【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习+探究式学习法；(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.2.教法： 采用提出问题，引导学生通过观察，类比，归纳，抽象的方式形成概念，结合几何直观引导启发学生去理解概念，不断创设问题情景，激发学生探究。
3.教学用具：多媒体、实物投影仪、尺规.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题【问题1】：下列物理量中，哪些量分别与位移和距离这两个量类似：（1）物体在重力作用下发生位移，重力所做的功；（2）物体所受重力；（3）物体的质量为a 千克；（4）1月1日的4级偏南风的风速。
25.苏教版·高中数学必修Ⅳ教案_§2.1向量的概念及表示
第二章平面向量§2.1 向量的概念及表示教学目标：理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示.教学难点：向量概念的理解.教学过程：Ⅰ.课题导入在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，还有单位圆中的三角函数线等等，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.而这一节课，我们将学习向量的有关概念.Ⅱ.讲授新课这一节，大家先通过自学来熟悉相关内容，然后我们通过概念辨析例题来检验大家自学的效果.提问：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量称为向量．2.向量的表示方法：①用有向线段表示，如“向量常用一条有向线段来表示（这里应理解为几何的表示），有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．”――――课本上的语言；②用字母a 、b 等表示（这才是符号语言）；（注意：这是一个不太好做到的一项规定，“粗体”在手工书写中是很难象印刷体那么区分的，故实际应用中变通为字母上方加箭头，如：a 、b 、c，特别强调“字母上的箭头绝不能丢掉”．）③用有向线段的起点与终点字母再加上箭头表示，如：AB（这也是符号语言）.3.零向量、单位向量、向量的长度的概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0；②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；③向量AB （a ）的大小称为向量的长度（或称为模），记作||AB （||a）．说明：01．零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.02．向量的模是一个标量，它是一个非负的数量．4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：(1)综合①、②才是平行向量的完整定义；(2)向量a 、b 、c平行，记作a b c .5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：(1)向量a 、b 相等，记作a =b；(2)零向量与零向量相等； (3)任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线．．．．段的起点无关．．．．．．.6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上；说明：(1)平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；(2)共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.我们把与向量a 长度相等,方向相反的向量叫做a 的相反向量,记作-a ，a与－a 互为相反向量．并规定零向量的相反向量仍是零向量．于是，对任一向量a 有－（－a ）＝a ．练习1. 如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA uu r 、OB uu u r 、OC uuu r相等的向量.解析: 与OA uu r 相等的向量有CB uu r 、DO uuu r ，与OB uu u r 相等的向量有EO uu u r、DC uuu r ，与OC uuu r 相等的向量有FO uu u r 、AB uu u r 、ED uu u r .分析：与AB相等的向量应当满足“等长且同向”，首先要确定这些向量的起点，在方格纸格点中，除去Ａ点外，符合题意的点还有7个，如图2-1-7(2).与AB 长度相等的共线的向量除与AB 方向相同的向量外，还有与AB 方向相反的向量．7.上面一共定义了几个概念？向量、零向量、单位向量、向量的长度、平行向量( 别名“共线向量” )、相等向量和相反向量，共七个．8.出现了几种类型的符号?向量的符号、零向量的符号、向量的模的符号共三种类型．练习2. 如图,O 为正方形的中心. (1) 向量AB uu u r 与向量CD uu u r 是相等向量吗?(2) 向量OA uu r 与向量CA uu r 是平行向量吗? (3) 向量AD u u u r 的长度与向量AC uuu r 的长度之比是多少?解:(1)不相等. (2) 是 (3) 1:2 .辨析1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量AB 与CD是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④若四边形ABCD 是平行四边形,则有AB ＝DC，反之亦然；⑤模为0是判断一个向量方向不确定的唯一条件； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.分析：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB 、CD在同一直线上；②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定；③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图，AC →与BC →共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系，必须把握好.辨析2．下列命题正确的是 ( )A.a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c也共线；B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点；C.向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行分析：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D 不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a与b 不都是非零向量，即a 与b 至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a 与b 共线，不符合已知条件，所以有a 与b都是非零向量，所以应选C.评述：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，要注意这两方面的结合.几点说明：1.向量有三个要素：起点、方向、长度；2.向量不能比较大小，但向量的长度(或模)可以比较大小；3.实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘；4.向量a与实数a 必须分清；5.零向量0与实数0必须分清； 6.注意下列写法是错误的： ①a －a ＝0； ②a ＋0＝a ；7.平行向量与相等向量方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也即共线向量，并且规定0与任一向量平行.长度相等且方向相同的向量叫相等向量，规定0 ＝0.平行向量不一定相等，但相等向量一定是平行向量，即：两个向量平行⇒两个向量相等，反过来则有：两个向量相等⇒两个向量平行．为巩固大家对向量有关概念的理解，我们进行下面的课堂训练. Ⅲ.课堂练习练习：（课本P59练习1、2、3、4.）说明:带领同学们观看一下，作为对概念的应用的感受，结论留给同学们课后自己得出．- 11 -Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家能理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并能进行简单的应用.Ⅴ.课后作业1.课外练习：课本P59习题2.1 第1、2、3、4题；2.课时训练P39第1课时 向量的概念及表示．。
高中数学 第2章 平面向量 2.1 向量的概念及表示学案 苏教版必修4(2021年整理)
2016-2017学年高中数学第2章平面向量2.1 向量的概念及表示学案苏教版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第2章平面向量2.1 向量的概念及表示学案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第2章平面向量2.1 向量的概念及表示学案苏教版必修4的全部内容。
2.1 向量的概念及表示1．了解向量的实际背景，理解平面向量的概念．（重点）2．理解零向量、单位向量、相等向量、共线(平行)向量、相反向量的含义．(重点、难点) 3．理解向量的几何表示．（重点）［基础·初探］教材整理1 向量的定义及表示阅读教材P59图2。
1.2以上部分内容，完成下列问题.定义既有大小又有方向的量称为向量表示方法（1)几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，以A为起点、B为终点的向量记为错误!；(2）字母表示：用小写字母a,b，c表示模向量错误!的大小称为向量的长度(或称为模），记作｜错误!|1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”）（1)有向线段就是向量．（）（2）向量就是有向线段．( ）(3）有向线段可以用来表示向量．（）【答案】（1)×(2）×（3)√2．下列物理量:①质量；②速度；③位移；④力;⑤加速度；⑥路程；⑦密度;⑧功．其中不是向量的有________(填序号)．【解析】一个量是不是向量,就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向,所以不是向量．【答案】①⑥⑦⑧教材整理2 向量的有关概念及其表示阅读教材P59图2。
江苏省苏州市第五中学高中数学第二章单元复习学案(无
江苏省苏州市第五中学高中数学 第二章单元复习学案（无答案）苏教版必修4一、 知识点梳理本章，我们主要学习了向量的概念、表示及运算，平面向量的基本定理，向量共线、垂直的条件，向量在几何和物理问题中的简单应用.二、 学法指导1.学习本章应注意类比，如向量的运算法则及运算律可与实数相应的运算法则及运算律进行横向类比.而一维情形下向量的共线条件，到二维的情形下平面向量基本定理，进而今后推广到三维情形下的空间向量基本定理，又可进行纵向类比.2.在学习向量时或在学习向量后，要有意识地将向量与三角恒等变形，与几何、代数之间的相应内容进行有机的联系，并通过比较和感受向量在处理三角、几何、代数等不同数学分支问题中的独到之处和桥梁作用，认识数学的整体性.3.向量是数形结合的载体，在本章学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，数形结合地解决数学和物理的有关问题.同时，向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段.因此，数形结合是本章最重要的数学思想方法. 三、 单元自测一、填空题(每小题5分，共70分)：1．已知平面向量(21,3),(,2)a m b m =+=，且∥，则实数m 的值等于 ． 2．已知：D 为△ABC 的边BC 上的中点，E 是AD 上的一点，且=3，若AD a =，则++EC =_____________．(用a 表示)3．若向量a b ，的夹角为60，1a b ==，则()a ab -= ．4．若平面内不共线的四点,,,O A B C 满足1233OB OA OC =+，则||||AB BC =_______． 5．已知 |a |=7，|b |=4，|a +b |=9，则|a -b |=____________．6．设a =(-2，3)，则求与a 垂直的单位向量的坐标为______________________．7．己知P 1(2,－1) 、P 2(0,5) 且点P 在P 1P 2的延长线上,||2||21PP P P =， 则P 点坐标_____． 8．已知λ+==与且),1,1(),2,1(的夹角为锐角，则实数λ的取值范围 ．9．已知ABC V 和点M 满足0MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u r r .若存在实数m 使得AB AC mAM +=u u u r u u u r u u u r 成立，则m = ．10. 在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若2AM =，则()OA OB OC ⋅+的最小值是 ．11．在ABC ∆中，有命题：①=-； ②0AB BC CA ++=；③若0)()(=-⋅+，则ABC ∆为等腰三角形； ④若0>⋅，则ABC ∆为锐角三角形．其中正确的命题序号是 ．(把你认为正确的命题序号都填上)12．已知非零向量AB →和AC →满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC⋅=，则△ABC 形状为 .13．如图所示，在△ABC 中，0120,2,1,BAC AB AC D ∠===是边BC 上一点(包括端点)，则AD BC ⋅的取值范围是_ _______．14．已知,a b 是平面内两个单位向量，且夹角为60，若向量a c -与b c -的夹角为120，则c 的最大值是_________. 二、解答题(共90分)：15.(本小题14分)已知(1,0),(2,1).a b == (1)求|3|a b +；(2)当k 为何实数时, k a －b 与a +3b 平行, 平行时它们是同向还是反向？BACODE16．(本小题14分)已知向量=(6，2)，=(-3，k )，k 为何值时 (1)a //b ； (2)a ⊥b ；(3)，的夹角为钝角？17．(本小题14分)已知A 、B 、C 的坐标分别是A (3，0)，B (0，3)，C (cos α，sin α). (1)若AC BC =，求角α的值；(2)若1,AC BC ⋅=- 求22sin 2sin cos 1tan αααα++的值． 18．(本小题16分)如图，已知△OAB 中，点C 是点B 关于A 的对称点，点D 是线段OB 的一个靠近B 的 三等分点，DC 和OA 交于E ，设AB ＝a ，AO ＝b(1)用向量a 与b 表示向量OC 、CD ； (2)若,OE OA λ= 求实数λ的值．19．(本小题16分)已知(3,1)a =-，13(,22b =，且存在实数k 和t ，使得2(3)x a t b =+-，y ka tb =-+，且x y ⊥，试求2k t t+的最小值． 20．(本小题16分)已知等边三角形ABC 的边长为2，⊙A 的半径为1，PQ 为⊙A 的任意一条直径．（1）判断BP CQ AP CB ⋅-⋅的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由； （2）求BP CQ ⋅的最大值．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.1.1 向量的概念及表示》
平面向量的坐标创新整合点1、平面向量得坐标表示由平面向量基本定理知任一向量可以用不共线的两个向量表示，借助白板课件可以将分解的图形展示的非常形象，在课件中用图像可以将分解的情况展示给学生。
本部分内容比较简单,直接运用向量在基底下的表示形式讲解即可，然后通过相关问题让学生感悟提高。
2、平面向量的坐标运算 先与学生共同推出运算法则，然后通过练习强化最后通过学生独立思考,让学生充分动手,动脑,动眼；再通过生生合作和师生合作达到掌握本节课的教学目的。
教学目标：知识与技能目标：正确地用坐标表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标来表示；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系； 过程与方法目标：通过平面向量坐标表示及坐标运算法则的推导培养学生演绎、归纳、猜想的能力；通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力；情感态度与价值观目标：借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力． 教学过程：一、创设情景，揭示课题复习平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ,2λ使1212a e e λλ=+．其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。
特别地，当基底相互垂直时，称为正交分解。
其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合．设计意图：借助白板的投影功能和拉幕功能展现向量分解的几何意义。
二、学生活动提出问题：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数(,)x y 表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？实际操作：如图，在直角坐标系内分别取与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底分解向量a ：设计意图：利用白板的书写和平移图像的功能让学生彻底掌握分解向量的相关思维方法，完成学生自我探究，学生与学生交流合作的功能。
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2.1向量的概念及表示
二、预习指导
1. 预习目标
(1) 理解向量、零向量、单位向量、相等向量及共线向量等概念；
(2) 掌握向量的表示方法；
⑶能在图形中辨认共线向量与相等向量，能用有向线段表示已知向量.
2. 预习提纲
(1)复习物理中位移、速度、力和几何中有向线段等概念，理解平面向量的含义. ⑵阅读课本P57-58,思考下列内容：
①向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.
②向量的表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向
线段的方向表示向量的方向.符
uuu
号AB表示以A为起点，B为终点的向量.向量也可以用小
写字母a , b , c等表示.
uuu umr
③向量的模：向量AB的大小称为向量的长度或向量的模，记作| AB | .
④向量的其他概念及表示方法.
3. 典型例题
(1)向量的有关概念例1给出下列命题：
①若a = b，贝U a b ；②若a < b，则a b ；③若a =b，「则a // b ；
r r rr r r rr rr
④若a // b，贝U a =b ;⑤若a =0,贝U a =0；⑥若a =b，贝U a = b .
其中正确命题的序号是_____________ .
分析：解答本题可借助于相等向量、共线向量的概念等基本知识逐一进行判断.
r r
解：由相等向量定义可知，若a=b，则a, b的模相等，方向相同，故①不正确，⑥正确.
a < b知模的大小，而不能确定方向，故②不正确.
共线向量是指方向相同或相反的向量，相等向量一定共线，共线向量不一定相等，故
③正确，④不正确.
零向量与数字0是两个不同的概念，零向量不等于数字0,故⑤不正确.
所以答案为③⑥.
点评：此类题目关键是理解、区分向量的有关概念，从向量的长度与方向两方面认识向量， 可举特例选择.
(2)共线向量与相等向量
方向相同或相反的的非零向量为平行向量， 零向量与任意向量平行.
在图形中要能识别
共线向量与相等向量.
例2如图：EF 是厶ABC 的中位线，AD >^ ABC 勺BC 边上的中线，以 端点的有向线段表示的向量中
(1)与向量CD 共线的向量有哪几个？请分别写出这些向量;
⑵ 与向量DF 的模一定相等的向量有哪几个？请写出这些向量;
⑶写出与向量DE 相等的向量.
分析：根据共线向量与相等向量的定义 即可解决.
解：⑴与CD 共线的向量有7个，它们分别是 CB,DB,FE,EF,BD,BC,DC ;
⑵与向量DF 的模一定相等的向量有 5个，它们分别是FD ,EB,BE,EA,AE ；
(3)如图，DE =CF
= FA .
⑶ 向量的应用
uuu UUU| uuu uuu
例3 若 AB
AD 且 BA CD ，判断四边形
ABC ［的形
状
uur uuu
uuu
分析：先由BA CD 得出四边形为平行四边形，再由 AB AD 得出结论.
uuu
CD 知BA // CD 且BA =CD ，所以四边形 ABC 西平行四边形,
uuu uuu
点评：BA CD 隐含BA // CD 与BA = CD 两方面，一般，判断四边形的形状需要判断对
边与邻边的关系.
4. 自我检测
(1)判断下列说法是否正确：
① 若两个向量相等，则它们的起点和终点重合;
r r
② 若a 、b 都是单位向量，则a b ；
③ 物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量; ④ 不相等的向量一定不平行；
r r
⑤ 若a 平行b , b 平行c ，则a 平行c ;
⑥ 零向量没有方向； ⑦ 零向量与任何向量都平行；
A B C DE 、F 为 urn 解：由BA uuu 「又因为AB uuur
AD ，所以四边形ABCD^菱形.
⑧零向量的方向是任意的；
uuu uuu
⑨向量AB与向量CD是共线向量，则点A B、C、D必在同一条直线上;
⑩有向线段就是向量，向量就是有向线段.
⑵思考讨论：
①所有的单位向量都相等吗？
ULUT UUU
②AB // CD 与AB // CD 一样吗？
③向量a、b能不能用不等号将它们连接起来？即能表示为a > b或a v b吗?
三、课后巩固练习
A组
1给出下列命题：
UUU UUU
①向量AB的长度与向量BA的长度相等；
T T
②若向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个有共同终点的向量，一定是共线向量
其中，正确命题的个数是________________ .
2•以下各物理量：速度、位移、力、功，不能称之为向量的是______________
UUU r r r
3•向量0E的长度记作________ ；0的模是_______ , i是单位向量，贝U |i |的值是
r r
4.与非零向量a(a 1)平行的向量中，不相等的单位向量有 _________________ 个.
T^
5. __________________________________________________________________________ 已知
a、b为不共线的非零向量，且存在向量c，使c // a , c // b ,则c= ____________________
uuu
6•在直角坐标系中，已知OP =2,则点P构成的图形是
7.如图在正六边形ABCDEI中, O为中心，
UUUT
(1) 与OF相等的向量有 _____________________________ ；
Luir
E D
(2) 与DC共线的向量有______________________________ ；
(3) 与BA的模相等且反向的向量有____________________ .
UUU
&直角坐标系中，点A, B的坐标分别为(1 , 3), (5 , 2)，试画出两个与向量AB不相等且
又共线的向量.
B组
r r r
9. 在直角坐标系中，画出向量 a : a =5, a 的方向与x轴正向的夹角是30°,与y轴正方
向的夹角是120° .
10. 如图，D E、F分别是△ ABC各边上的中点，四边形BCM是平行四边形•分别写出:
⑴与ED 共线的向量;
⑵与FE 共线的向量;
⑶与ED 相等的向量;
⑷与FE 相等的向量.
11. 一架飞机从 A 点向西北飞行200km 到达B 点，再从B 点向东飞行100 Jk m 到达C 点,
再从C 点向东偏南30°飞行了 50 2 km 到达D 点•问D 点在A 点的什么方向，距 A 点有多 远？
12•右图是中国象棋的半个棋盘， “马走日”是象棋中马的走法，
uur uuun
如图，马可从 A 跳到A ,也可跳到 A,用向量AA ，AA 表示马走
了“一步”，试在图中画出马在 B,C 处走“一步”的所有情况.
13.如图，在平面直角坐标系 xoy 中，一单位圆的圆心的初始位
置在(0 , 1)，此时圆上一点 P 的位置在(0 , 0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位
知识点
题号
注意点
向量的”实际背景
结合向量相等的概念，在一些 几何图形中，能找到相等的向 量，理清平行向量、共线向量、 相反向量、
相等向量的概念
平面向量的基本概 念和几何表示
向量相等的含义
五、拓展视野
向量的由来
向量又称为矢量，最初被应用于物理学•很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、 磁感应强度等都是向量.大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以 表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到.
“向量”一词来自力学、
解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.
课本上讨论的向量是一种带几何性质的量，
除零向量外，总可以画出箭头表示方向.但
是在高等数学中还有更广泛的向量.例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间， 这里的多项式都可看成一个向量.
在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向
是办不到的.这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，
可以是任意数学对象或物理对 象•这
uuu
于(2 , 1)时，0P 的坐标为 __________________
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o \ i
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样，就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了•因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用. 而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型.
从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优
良运算通性的数学体系.。