1.3.2杨辉三角及二项式系数的性质
“杨辉三角”与二项式系数的性质
C C C C C C C C C
0 8 4 8 2 8 3 6 4 8 2 4 6 8 1 2
8 8
=1107
240 例7. ( x 3x 2) 的展开式中 x 的系数是 ___________
2 5
解：原式化为[(x2 2) 3x]5
其通项公式为 Tr 1 C ( x 2) (3x)
3(r 1) 2(20 r ) 2(21 r ) 3r
37 42 r 5 5
r 8
所以当 r 8时，系数绝对值最大的项为
T9 C 3 2 x y
8 20 12 8 12
8
例题点评
解决系数最大问题，通常设第 r 1项是系数最 大的项，则有
Tr 1 Tr Tr 1 Tr 2
1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质
新课引入
二项定理: 一般地，对于n N*有
(a b) C a C a
n 0 n n 1 n
n 1
bC a
2 n
n 2
b
2
r n r r Cn a b
n n Cn b
二项展开式中的二项式系数指的是那些？共 有多少个？
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
20 ( 3 x 2 y ) 例 5 在 的展开式中，系数绝对值最大的项
解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则
C 3 2 C 3 2 r 20r r r 1 21 r r 1 C 20 3 2 C 20 3 2
r 20 20 r r r 1 20 19 r r 1
2 6 析: Cn Cn n 2 6 8
高中数学 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课件 新人教A版选修2-3
(4)方法一：(1－2x)7 的展开式中，a0，a2，a4，a6 大于零， 而 a1，a3，a5，a7 不于零，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| ＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7) ＝1 093＋1 094＝2 187. 方法二：∵|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|是(1＋2x)7 展开式中各项 的系数和． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187.
＝
Ckn－1·n－kk＋1.
所以
C
k n
相
对
于
C
k－1 n
的
增
减
情
况
由
n－k＋1 k
决
定
，
故
当
n－kk＋1>1，即 k<n＋2 1时，二项式系数__增__大______．而当n－kk＋1
≤1(即 k≥n＋2 1)时，Cnk的值转化为____递__减____．又因为与首末 两端“等距离”的两项的二项式系数__相__等______，所以二项式
0 n
＋
C
2 n
＋
C
4 n
＋
…
＝
___C__1n＋__C_3n_＋__C_5n_＋__…__________
＝
___2_n_－_1____.
• 牛刀小试
• 1．(2015·陕西宝鸡市金台区高二期末)二项 式(x－1)n的奇数项二项式系数和是64，则n 等于( )
• A．5
B．6
• C．7
D．8
• [答案] C
二项式系数相等并且最大，最大为
.
(4)表中数字 1 以外的每个数字都等于上一行它肩上两个数 字的____和____，这又验证了组合数的性质：Cnr ＋1＝__C_rn_－_1 _______ ＋___C_nr______.
高中数学第一章计数原理1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质课件1新人教A选修2_3
解析答案
(2)a1＋a3＋a5＋a7； 解 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1， ① 令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37， ② 由①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝－1－37，
1＋37 ∴a1＋a3＋a5＋a7＝－ 2 ＝－1 094.
解析答案
(3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|. 解 由展开式，知a1，a3，a5，a7均为负，a0，a2，a4，a6均为正， ∴由(2)中①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝－1＋37， ∴a0＋a2＋a4＋a6＝－12＋37， ∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7 ＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝37＝2 187.
2
2
答案
二项展开式中各二项式系数的和等于 2n，即 C0n＋C1n＋C2n＋… 二项式 ＋Cnn ＝ 2n . 系数的和 奇数项的二项式系数之和等于 偶数 项的二项式系数之和，都
等于2n－1，即 C1n＋C3n＋C5n＋…＝C2n＋C4n＋C6n＋… ＝ 2n－1 .
答案
返回
题型探究
重点难点 个个击破
1 22 343 4774 5 11 14 11 5 ………
解析答案
(2)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成 0，得到如图所示的三角数表.从上往下数， 第1次全行的数都为1的是第1行，第2次 全行的数都为1的是第3行，…，第n次全 行的数都为1的是第__2_n－__1_行；第61行中1的个数是_3_2_. 解析 观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1， 故第n次全行的数都为1的是第2n－1行； ∵n＝6⇒26－1＝63， 故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1， 第61行共有32个1.
高中数学 第一章 计数原理 1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质教案 新人教A版选修23
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质一、三维目标1.知识与技能(1)能认识杨辉三角，并能利用它解决实际问题．(2)记住二项式系数的性质，并能解决相关问题．2．过程与方法通过观察、分析杨辉三角数表的特点，掌握二项式系数的性质．3．情感、态度与价值观通过“杨辉三角”的学习，了解中华民族的历史，增强爱国主义意识．二、重点、难点重点：二项式系数的性质．难点：杨辉三角的结构．教学时从先简单(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3的展开式中系数出发，进一步过渡到杨辉三角的结构，让学生由浅入深地认识杨辉三角，从而化解难点．引导学生建立“杨辉三角”与二项式系数的性质之间关系的直觉，通过例题与练习让学生应用性质解决问题，更深地理解性质，以强化重点、化解难点．三、教学建议本节课是将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，主要是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直观看出二项式系数的性质，教学时应采用启发探究式教学，让学生在观察中归纳总结二项式系数的性质，在教学时可以引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，可以画出它的图象，利用几何直观，数形结合地进行思考，这对学生发现规律、形成证明思路有很大好处．四、教学流程创设问题情境，提出问题．⇒引导学生回答所提问题，认识杨辉三角、理解二项式系数性质．⇒通过例1及互动探究，进一步认识杨辉三角的结构特点．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握展开式系数和的求法．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握二项式系数的综合应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正．间的直觉，并探索其中的规律．(1)观察“杨辉三角”发现规律①第一行中各数之和为多少？第二、三、四、五行呢？由此你能得出怎样的结论？ ②观察第3行中2与第2行各数之间什么关系？ 第4行中3与第2行各数之间什么关系？ 第5行中的4、6与第4行各数之间有什么关系？ 由此你能得出怎样的结论？【提示】 (1)①20,21,22,23,24，第n 行各数之和为2n －1.②2＝1＋1,3＝2＋1,4＝1＋3,6＝3＋3，相邻两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，设C r n ＋1表示任一不为1的数，则它“肩上”两数分别为C r －1n ，C r n ，所以C r n ＋1＝C r －1n ＋C rn .1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n ＋1＝C r －1n ＋C rn . 2．二项式系数的性质(1)对称性：在(a ＋b )n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C rn ＝C n －rn .(2)增减性与最大值：当k ＜n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数C n2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数Cn －12n，Cn ＋12n相等，且同时取得最大值．3．二项式系数的和 (1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.图1－3－1例 1 如图1－3－1所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为S n，求S16的值．【思路探究】观察数列的特点、它在杨辉三角中的位置，或者联系二项式系数的性质，直接对数列求和即可．【自主解答】由题意及杨辉三角的特点可得：S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C29＋C19)＝(C22＋C23＋C24＋...＋C29)＋(2＋3＋ (9)＝C310＋＋2＝164.解决与杨辉三角有关的问题的一般思路：(1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之间，行与行之间的数的规律．(2)表达：将发现的规律用数学式子表达．(3)结论：由数学表达式得出结论．本例条件不变，若改为求S21，则结果如何？【解】S21＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋…＋(55＋11)＋66＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C211＋C111)＋C212＝(C22＋C23＋C24＋......C212)＋(2＋3＋ (11)＝C313＋＋2＝286＋65＝351.设(1－2x)2 012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 012·x2 012(x∈R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 012的值．(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 011的值．(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 012|的值．【思路探究】先观察所要求的式子与展开式各项的特点，用赋值法求解．【自主解答】 (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 012＝(－1)2 012＝1.①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 2 012＝32 012.②①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 011)＝1－32 012， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011＝1－32 0122.(3)∵T r ＋1＝C r2012(－2x )r＝(－1)r·C r2 012·(2x )r， ∴a 2k －1＜0(k ∈N *)，a 2k ＞0(k ∈N )． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 012| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 012＝32 012.1．本题根据问题恒等式的特点采用“特殊值”法即“赋值法”，这是一种重要的方法，适用于恒等式． 2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求 (1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7，a 0＋a 2＋a 4＋a 6.【解】 (1)∵(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1，①令x ＝0，得a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2. (2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝37＝2187，②由①、②得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1 094， a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1 093.例3 已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．【思路探究】 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x ，y 的系数均考虑进去，包括“＋”、“－”号．【自主解答】 令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n＝992.∴(2n )2－2n－992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)，或2n＝32，∴n ＝5.(1)由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！－r ！r ！×3≥5！－r ！r －！，5！－r ！r ！≥5！－r ！r ＋！×3，∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4.1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．求(1＋2x )7的展开式中的二项式系数最大项与系数最大项．【解】 在二项式系数C 07，C 17，C 27，…，C 77中，最大的是C 37与C 47，故二项式系数最大项是第4项与第5项，即T 4＝C 37(2x )3＝280x 3与T 5＝C 47(2x )4＝560x 4.设第r ＋1项的系数最大，则由⎩⎪⎨⎪⎧T r ＋1≥T r ，T r ＋1≥T r ＋2⇒⎩⎪⎨⎪⎧C r 72r≥C r －172r －1，C r 72r≥C r ＋172r ＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧3r ≤16，3r ≥13，由于r 是整数，故r ＝5，所以系数最大的是第6项，即T 6＝C 57(2x )5＝672x 5.忽视二项式系数和致误例4 已知(2x －1)n 二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn 的值为( )A ．28B ．28－1 C ．27D ．27－1 【错解】 设(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n， 令A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋…， 由题意知B －A ＝38.令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a n (－1)n ＝(－3)n， ∴(a 0＋a 2＋…)－(a 1＋a 3＋…)＝(－3)n∴B －A ＝(－3)n ＝38，∴n ＝8.由二项式系数性质可得，a 1n ＋a 2n ＋…＋C n n ＝2n ＝28【答案】 A【错因分析】 误将C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n 看作是二项展开式各项二项式系数和，忽略了C 0n . 【防范措施】 (1)解答本题应认真审题，搞清已知条件以及所要求的结论，避免失误．(2)解决此类问题时，要对二项式系数的性质熟练把握，尤其是赋值法，要根据题目的要求，灵活赋给字母所取的不同值．【正解】 设(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，且奇次项的系数和为A ，偶次项的系数和为B . 则A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…. 由已知可知：B －A ＝38.令x ＝－1， 得：a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a n (－1)n ＝(－3)n，即：(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋…)＝(－3)n， 即：B －A ＝(－3)n .∴(－3)n ＝38＝(－3)8，∴n ＝8. 由二项式系数性质可得：C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝2n －C 0n ＝28－1. 【答案】 B二项式系数的有关性质的形成过程体现了观察——归纳——猜想——证明的数学方法，并且在归纳证明的过程中应用了函数、方程等数学思想，大致对应如下：对称性应用了组合数的性质增减性与最大值应用了组合数公式、 分类讨论思想等系数和应用了赋值法、方程思想 1．(a ＋b )7的各二项式系数的最大值为( ) A ．21 B ．35 C ．34 D ．70【解析】【答案】 B2．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项二项式系数相同的项是( ) A．第15项B．第16项C．第17项D．第18项【解析】由二项式系数的性质知与第6项系数相等的项应为倒数第6项，即第16项．【答案】 B3．(1＋2x)2n的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是第________项．【解析】(1＋2x)2n的展开式中共有2n＋1项，中间一项的系数最大，即第n＋1项．【答案】n＋14．已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14，试求：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a14；(2)a1＋a3＋a5＋…＋a13.【解】(1)在已知等式中令x＝1，则得：a0＋a1＋a2＋…＋a13＋a14＝27＝128.①(2)在已知等式中令x＝－1，则得：a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝67.②①－②得：2(a1＋a3＋a5＋…＋a13)＝27－67＝－279 808.因此，a1＋a3＋a5＋…＋a13＝－139 904.。
20-21版：1.3.2 杨辉三角(步步高)
12345
2.若(x＋3y)n的展开式中所有项的系数之和等于(7a＋b)10的展开式的二项式系数之和，
则n的值为
A.15
B.10
C.8
√D.5
解析 令x＝y＝1，得(x＋3y)n的展开式中所有项的系数和为4n，(7a＋b)10的展开式中 所有项的二项式系数之和为210，故4n＝210，即n＝5.
12345
例2 设(2－ 3 x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100·x100，求下列各式的值. (1)a0； 解 令x＝0，则展开式为a0＝2100.
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；
解 令x＝1，
可得 a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－ 3)100，
①
所以 a1＋a2＋…＋a100＝(2－ 3)100－2100.
1.二项式系数表及特征 当n依次取1,2,3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数如图所示：
图中所示的表叫做二项式系数表，它有这样的规律： (1)每一行的两端都是 1 ； (2)除1以外的每一个数都等于 它肩上两个数的和 ，即Cmn＋1＝ Cmn －1＋Cmn .
2.二项式系数的性质
在(a＋b)n展开式中，与首末两端“ 等距离 ”的两项的二项式系数 相等，即_C_mn_=__C_nn_-m_
12345
4.设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3的值为_－__1_5_.
解析 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.
①
又 Tr＋1＝Cr4(2x)4－r(－1)r3r，
∴当r＝0时，x4的系数a4＝16.
②
由①－②，得a0＋a1＋a2＋a3＝－15.
(2)求二项式系数最大的项；
(完整版)1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质(二)
2r1
即 3(r+1)>2(20-r) 得 2
2
2(21-r)>3r
7 r8
5
5
所以当r=8时，系数绝对值最大的项为
T9 C280 312 28 x2(20-r) 2(21-r)>3r
得7 2 r 8 2
5
5
所以当r=8时，系数绝对值最大的项为
T9 C280 312 28 x12 y8
34 C160 33C170 32 C180 3C190
(3)Cn1 2Cn2 3Cn3 ... nCnn
(4)Cn0
1 2
Cn1
1 3
Cn2
...
n
1 1
Cnn
(A)第六项 (B)第七项 （C）第八项 (D)第九项
4.在(3x -2y)20的展开式中，求：(1)二项式系 数最大的项;(2)系数绝对值最大的项
解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.
则
C2r0
320r
2r
C r1 20
319r
2r1
C2r0
320r
2r
C r1 20
321 r
三、求多项式的特定项问题
例1．在 x 2 3x 2 5 的展开式中x的系数
为（ ） A．160 B．240 C．360 D．800
例2.求 (1 x) (1 x)2 (1 x)16
x 的展开式中 3 项的系数.
例3、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是（
）
A.-297 B.-252 C. 297 D. 207
巩固训练
一、求展开式的系数和问题
1、（1-2x）6 a0 a1x a2 x2 a3x3 ... a6x6 , 则 a0 a1 a2 ... a6 的值为（ ） A.1 B.64 C.243 D.729
高中数学(人教A版)选修2-3之 1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质(一)
0 2 3 即 0 Cn Cn C1 C n n , 0 n 2 Cn 1 n 3 Cn
所以 C
0 n
1 n
C
下面我们来研究二项式系数有些什么性质？二 项式系数有什么特点？
二项式系数
(a b) 展开式中的二项式系数，如下表所示： 1 0 1 (a b) C C 1 1 1 1
n
(a b) 3 (a b) (a b) (a b)
……
5
2
1
1 3 1 4 1 5
2
6 10
1
3 10 1 4 1 5
0 5
C CC
0 2
1 2
2 2
0 1 2 3 C3 C3 C3 C3
0 1 2 3 4 C4 C4 C4 C4 C4
4
1 C CC C C C
1 5
2 5
3 5
4 5
5 5
……
n
0 n 1 n 2 n
……
(a b)
C C C ...C ...C
r n
n 1 n
C
n n
二项式系数的特点
( a + b ) … … … … … … … … …1
研究题：求二项式 ( x + 2) 7 展开式中系数最大的 项，试归纳出求形如( ax + b) n 展开式中系数最大 项的方法或步骤。
小结 二项展开式中的二项式系数都是一些特 殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握 好，同时要注意“系数”与“二项式系数” 的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的 才是中间项，而系数最大的不一定是中间项， 尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决 有关二项展开式系数的问题的重要手段。
人教版数学高二《“杨辉三角与二项式系数的性质》 精品课件
高中数学
• 根据已知条件可求出n，再根据n的奇偶性 确定二项式系数最大的项．列出不等关系 解不等式组，可求系数最大的项．
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• [规范解答] 令x＝1， • 则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n， • 又展开式中二项式系数和为2n， • ∴22n－2n＝992，n＝5.2分 • (1)∵n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的
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• 解得5≤r≤6， • 因为r＝0,1,2，…，8， • 所以r＝5或r＝6. • 故系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
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• 如图，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方， 从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列： 1,2,3,3,6,4,10,5，…记其前n项和为Sn，求S19的 值．
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• (4)∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零， 而a1，a3，a5，a7小于零，
• ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| • ＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)， • ∴由(2)(3)即可得其值为2 187.
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[题后感悟] (1)赋值法——对恒等式中的变量代入数 值，可得到为解决某些问题而所需的关系．
②Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝Cn1＋Cn3＋Cn5＋…
＝ 2n－1
.
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• 1．设(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若n ＝4，则a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝( )
• A．256
B．136
• C．120
D．16
• 解析： 在展开式中令x＝－1得a0－a1＋a2－ a3＋a4＝44.故选A.
数学：1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件(新人教A版选修2-3)
8
1 1 1 1 1 1 1 7
28 6 3
1 2
3 6
1 1 4 1
4
5 10
15 21 35 56
10 5 1 20 15 6 1 35 70
图2
21 7
56 28 8
1 1
除了这几个数的排列规 , 你还能再找出其他一些 律 数的 排列规律吗? 与同学交流一下 !
作业：P37(A组7—8和B组)
n 0 n n 1 n 1 n 2 n2 2 n
C C C , 1 3 5 偶数项二项式系数的和 Cn Cn Cn , 为
0 n 2 n 4 n
n n n
0 2 C b 中, 令a 1, b 1, 则得 1 1 Cn C1 Cn n 0 2 3 n n 3 即 0 Cn Cn C1 Cn , n Cn 1 Cn , n n n n
对于a b 展开式的二项
n
f r
20 15 10
式系数 C , C , C , , C , 我们还可以从函数角度 来
0 n 1 n 2 n n n r n
分析它们.C 可看成是以r 为自变量的函数f r , 其定 o 1 2 3 4 5 6 图1.3 2 义域是 0,1 2, , n .对于确 , 定的n, 我们还可以画出它的图 .例如n 6, 象 其图象是7个孤立点图1.3 2). (
1.3 二项式定理
1.3.2 " 杨辉三角 与二项式系数的性质 "
探究 用计算器计算 a b 展开式的二项 式系数并填入下表 .
n
n
1 2 3 4 5 6
“杨辉三角”与二项式系数的性质
合作学习
思维聚焦
1.二项式系数的性质既可以通过观察杨辉三角得到，也可 以通过逻辑推理直接得到：
由组合数性质“Cnm＝Cnn－m”可得到对称性，即 Crn＝Cnn－r. 由 Ckn＝nn－1n－2k…－1n－！k·＋k 2n－k＋1＝n－kk＋1Ckn－1 可知，Cnk相对于 Ckn－1的增减情况将由n－kk＋1与 1 的大小关系 决定．
二项式系数表与杨辉三角中每行的数值对应相同吗？
提示：不相同．二项式系数表第一行是两个数，而杨 辉三角的第一行只有一个数，事实上，二项式系数表中的 第 n 行与杨辉三角中的第 n＋1(n∈N*)行对应数值相等．
如图所示，在杨辉三角中，第 n 条和 第 n＋1 条细斜线上各数之和与第 n＋2 条细斜线各数之和的关系如何？并证 明你的结论．
(3)由(2)得 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1① 令 x＝1，y＝－1，
得 a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝59② ①＋②得 a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝59－2 1， 即所有奇数项系数之和为59－2 1.
(4)Tr＋1＝Cr9(2x)9－r(－3y)r ＝(－1)rCr9·29－r3rx9－ryr， 因此当 r＝1,3,5,7,9 时，Tr＋1 的系数小于 0. 即 a1，a3，a5，a7，a9 均小于 0， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| ＝a0－a1＋a2＋…＋a8－a9＝59.
时取得最大值．
(3)各二项式系数的和： (a＋b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于__2_n ____， 即⑪___C_0n_＋__C_1n_＋__C_2n_＋__…__＋__C_rn_＋__…__＋__C_nn_＝__2_n____.
(4)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项