5–4 弯曲切应力5-5 5-6
第五章弯曲应力
（3）求整个截面对中性轴的惯性矩为：
I z I zI I zII 840 103 520 103 1360 103 mm4
§5-3 梁弯曲时的强度计算
梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式：
My Iz
(5-3)
最大正应力位于最大弯矩所在截面上距中性轴最远的地方：
2 A
h 2 h 2
y y bdy b 3
2
h 3 2 h 2
bh 3 12
对y轴的惯性矩：
I y z dA
2 A
b 2 b 2
z z hdz h 3
2
b 3 2 b 2
hb3 12
(2)圆形与圆环形截面
圆形截面对圆心的极惯性 矩为：
I P 2 dA
QSz z Izt
z
z
翼板上两种方向的切应力与腹板上 切应力相比较小，工程上一般不考虑
• 3、圆形、圆环形截面梁
实心圆截面： 最大切应力在中性轴上
空心圆环：
最大切应力在中性轴上
令： I y 2 dA z
A
则有 EI z M
可得梁弯曲时中性层的曲率为：
M EI z
表明：在指定的横截面处，中性层的曲率与该截面上的弯 矩M成正比，与EIz成反比。在同样的弯矩作用下， EIz愈 大，则曲率愈小，即梁愈不易变形，故EIz称为梁的抗弯 刚度。 梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式：
M A y2 4.8 103 40 10 3 36MPa t 截面A上边缘处： t 6 12 Iz 5.33 10 10 M C y1 3.6 103 80 10 3 54MPa t 截面C下边缘处： t 6 12 Iz 5.33 10 10
材料力学第五章 弯曲应力-正式
4.静力关系
横截面上内力系为垂直于横截 面的空间平行力系，这一力系简化 得到三个内力分量.
M
Mz
z
内力与外力相平衡可得
O
y
dA
x σdA
FN
FN A dFN AσdA 0
A A
（1）
My
y
M iy dM y zσ dA 0 （2）
dFN σ d A
d M y z dA
29
S * y1dA
* z A
z
h/2
y
FS S FS h ( y2 ) I zb 2 I z 4
* z
b h 2 y1bdy1 ( y ) 2 4
2
2
y1
y A1
O B1 A
x
d y1
m1
B
可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化. y=±h/2（即在横截面上距中性轴最远处）0 y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值
明，当
l / h 5 时， 用纯弯曲时的正应力公式计算横力弯曲
时横截面上的正应力，精度可以满足工程要求。 横力弯曲时，等直杆横截面上的最大正应力在弯矩最大截面、
离中性轴最远处：
σ max
M max ymax M max Iz W Iz W ymax
17
其中，抗弯截面系数为:
二、强度条件
x
m
n dx
m’
z
m
y
n x
B
z x
B1 A B y
h
O
A1 B1 A
FN1
ḿ
FN2
m’
y
m
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
第五章梁的应力
y
ρ
σmin M
σmax
σmax
材料力学
3.静力关系 3.静力关系
M O dA y
z
第五章 梁的应力
FN = σdA = 0 ∫A M y = ∫AzσdA = 0 M z = ∫ yσdA = M A E ∫ σ dA = ∫ ydA = 0
A
z(中性轴 中性轴) 中性轴
x
[σc ] = 60MPa ,试校核梁的强度。 试校核梁的强度。
材料力学
52
第五章 梁的应力
解：（1）求截面形心 z1 z
yc =
80 × 20 × 10 + 120 × 20 × 80 = 52mm 80 × 20 + 120 × 20
（2）求截面对中性轴z的惯性矩 求截面对中性轴z
80 × 203 Iz = + 80 × 20 × 42 2 12 20 × 1203 + + 20 ×120 × 282 12 = 7.64 ×10 −6 m 4
A
a
C
B
l
1 2) M max = FL = 17.8kN • m 4 M max 17.8 × 103 σ max = = = 126 × 106 Pa = 126MPa < [σ ] Wz 141×10 −6
材料力学
第五章 梁的应力
例5-3-4：T型截面铸铁梁，截面尺寸如图,[σt ] = 30MPa 型截面铸铁梁，截面尺寸如图,
材料力学
第五章 梁的应力
所示为横截面如图b所示的槽形截面铸铁梁 例5-3-5：图a所示为横截面如图 所示的槽形截面铸铁梁，该 ： 所示为横截面如图 所示的槽形截面铸铁梁， 截面对于中性轴z 的惯性矩I 已知图a中 截面对于中性轴 的惯性矩 z=5493×104 mm4。已知图 中， × b=2 m。铸铁的许用拉应力 σt]=30 MPa，许用压应力 σ c]=90 。铸铁的许用拉应力[σ ，许用压应力[ MPa 。试求梁的许可荷载 。 试求梁的许可荷载[F]。
05章 弯曲应力
S z = ∫ ydA = 0
A
注:通过截面形心(图形几何形状的中心)的坐标轴, 通过截面形心(图形几何形状的中心)的坐标轴, 形心 图形对其静矩等于零. 图形对其静矩等于零. 说明: 轴通过截面形心 轴通过截面形心, 轴和 轴的位置确定了. 轴和x轴的位置确定了 说明:z轴通过截面形心,即z轴和 轴的位置确定了.
MC = 90×160×1×0.5 = 60kN m
1. C 截面上 点正应力 截面上K点正应力
bh3 0.12×0.183 IZ = = = 5.832×105 m4 12 12 180 3 60×10 ×( 30)×103 MC yK 2 σK = = = 61.7M Pa 5 IZ 5.832×10
σ max
M max = ≤ [σ ] W
18/58
5.3 横力弯曲时的正应力
第五章 弯曲应力 回顾与比较 纯弯曲 纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力 弯曲切应力 矩形截面梁 工字型截面梁 提高强度措施 小结
例题5-1: 例题 :
q=60kN/m
C 截面,单位 截面,单位mm 120 180
A
1m
B C
4/58
5.1 纯弯曲
第五章 弯曲应力 回顾与比较 纯弯曲 纯弯曲的正应力 横力弯曲正应力 弯曲切应力 矩形截面梁 工字型截面梁 提高强度措施 小结
梁变形后,其横截面仍保持平面, 梁变形后,其横截面仍保持平面,并垂直 于变形后梁的轴线, 于变形后梁的轴线,只是绕着梁上某一轴 转过一个角度.这一假设称平面假设 平面假设. 转过一个角度.这一假设称平面假设. 另外还假设:梁的各纵向层互不挤压, 另外还假设:梁的各纵向层互不挤压,即 梁的纵截面上无正应力作用. 梁的纵截面上无正应力作用.
材料力学64-5
46.07MPa
c
28.80MPa t
切应力互等定律的证明
y
切应力互等定律
τ
dy
——单元体互相垂直
τ
x 平面上的切应力大小
相等，其方向都指向
dz
或背向两平面的交线。
dx
z
§5.4 弯曲切应力
一、矩形截面上的切应力
y
mn
x
mn
x
dx
m
n FS
r m
p
O q
τ
n
y
dx
b
FS
S
z
Izb
假设：
y
q
解：4. 强度计算
x
A
C B
max
12.6号
2m
FS/kN
22.5
0.5m
12
x
25.5
M/kN·m Mmax
切应力校核： max
Fs
max
S
z
I z b1
查表：12.6号
x
Iz
S
z
10.8cm,
b1 5mm
max
25.5103 10.8102 5103
47.2MPa
x
例题5.12：（P171 习题5.22）
32
63.3MPa
BE段：
MW max BE
max BE zBE
0.9 103 0.063 1 4
32
62.1MPa
例5.5 长度为l =2.5m的外伸梁，其外伸部分长a=0.5m，梁上作用均匀
荷载q=24kN/m，许用应力[σ]=160MPa，试选工字钢型号。
y
q
FAxA
第5章 弯曲应力
第5章 弯曲应力
图Байду номын сангаас5-2
第5章 弯曲应力
5.1.1 试验与假设 首先观察梁的变形。研究具有纵向对称截面的梁(如矩
形截面梁)，在梁表面画出平行于轴线的纵线ab、cd 以及垂 直于轴线的横线1 1、2 2(见图5-3(a))，然后在梁纵向对称面 内加载，使梁处于纯弯曲状态，其弯矩为 M(见图5-3(b))， 可观察到以下现象：
式(e)中左边的积分代表横截面对z 轴的静矩Sz(见附录 A)。由附录 A 知，只有当z轴通过横截面形心时，静矩Sz 才 为零。由此可见，中性轴通过横截面的形心。
第5章 弯曲应力 将式(b)代入式(d)，得
即 此式为用曲率表示的弯曲变形公式。式中 为横截面对z 轴的惯性矩(见附录A)。EIz 称为梁横截面的抗 弯刚度。
σ1max、σmax均在各自截面上、下边缘处，因弯矩 M1 为 负值，截面1－1的上边缘为拉应力，下边缘为压应力；而 M max为正值，固定端 A 截面的上边缘为压应力，下边缘为 拉应力。
第5章 弯曲应力
5.2 弯曲切应力简介
5.2.1 矩形截面梁的弯曲切应力 矩形截面梁的任意横截面上，剪力FS 皆与横截面的对
截面梁。由于这类梁截面的壁厚比其他截面尺寸小得多，故 可作如下假设：
(1)弯曲切应力平行于截面侧边。 (2)弯曲切应力沿厚度方向均匀分布。 在上述假设下，进一步可推得工字形截面梁弯曲切应力 的一般公式为
第5章 弯曲应力 最大弯曲切应力为
工字形截面梁的截面由上、下两翼缘和腹板组成(见图 5-15(a))，剪力主要由腹板承担，当腹板厚度δ 远小于翼缘宽 度b 时，腹板上的切应力可认为均匀分布，即
(a)式表明，任意点处纤维的线应变与该纤维列中性层 距离成正比。
材料力学教案第5章弯曲应力
§ 5.1纯弯曲§ 5.2纯弯曲时的正应力§ 5-3横力弯曲(剪切弯曲)时的正应力 § 5.4弯曲切应力 § 5.6提高弯曲强度的措施成为曲线a a 、b b ，变形前的mm , nn 变形后仍为直线mm 、m n ，然而却相对转过了一个角度，且仍与 aa 、bb 曲线相垂直(2) 平面假设根据实验结果，可以假设变形前原为平 面的梁的横截面变形后仍为平面，且仍垂直 于变形后的梁轴线，这就是弯曲变形的平面 假设。
(3) 设想设想梁是由平行于轴线的众多纤维组 成。
在纯弯曲过程中各纤维之间互不挤压， 只发生伸长和缩短变形。
显然，凸边一侧的纤维发生伸长，凹边一侧的 纤维缩短。
由平面假设纤维由伸长变为缩短，连续变化，中间一定有一 层纤维称既不伸长，也不缩第五章弯曲应力§ 5.1纯弯曲 1.弯曲 横力弯曲 纯弯曲 F s ,M F s 0,M const.0,2.观察变形 以矩形截面梁为例 (1)变形前的直线aa 、bb 变形后1aa丿bbm AXn 1mn△m Maa M b'短，这一层纤维为中性层。
(4)中性轴中性层与横截面的交线称为中性轴，由于整体变形的对称性，中性轴由与纵向对称面垂直。
P139 note：可以证明，中性轴为形心主轴。
§ 5.2纯弯曲时的正应力1.正应力分布规律：r①变形几何关系Y②物理关系•③静力关系(1)变形几何关系取dx微段来研究，竖直对称轴为为z轴，距中性层为y的任一纤维b by d d yd(2)物理关系因为纵向纤维之间无正应和，每一纤维都是单向拉伸或者单向压缩,当应力小于比例极限时，由胡克定律(b)此式表明：任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正比。
在横截面上，任意点的正应力与该点到中性轴的距离成正比。
亦即沿截面高度，正应力按直线规律变化。
(3)静力关系横截面上的微内力。
dA 组成垂直于横截面的空间平行力学。
材料力学第五章
y
= ∫ y dA
2 A
1 1 π ⋅ d4 π ⋅ d4 I y = Iz = I ρ = ⋅ = z 2 2 32 64
1 π ⋅ (D4 − d 4 ) 对空心圆截面： 对空心圆截面： I = I = I = y z ρ 2 64
第五章 弯曲应力
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力
M⋅ y 二、弯曲正应力一般公式： 弯曲正应力一般公式： σ= Iz
Ip
弯曲 剪力Q 剪力
？
第五章 弯曲应力
§5-1 引言 y
梁段
M τ Q
z
σ
横截面上剪应力 横截面上正应力
横截面上内力
Q = ∫τdA
剪应力造成剪力
M = ∫σydA
正应力造成弯矩
剪应力和正应力的分布规律是什么？ 剪应力和正应力的分布规律是什么？
超静定问题
第五章 弯曲应力
§5-1 引言
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力 §5-3 对称弯曲切应力 对称弯曲切应力 弯曲 §5-4 梁的强度条件与合理强度设计 梁的强度条件与合理强度设计 §5-5 双对称截面梁的非对称弯曲 双对称截面梁的非对称弯曲 §5-6 弯拉（压）组合 弯拉（ 对称弯曲（平面弯曲）： 对称弯曲（平面弯曲）： 外力作用在纵向对称面内， 外力作用在纵向对称面内，梁轴线变形 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。
(3)
Mz = ∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M (5) A E 2 E 2 E (5) M z = ∫ ρ y dA = ∫ y dA = ρ I z = M
A
ρ
A
1 M = ρ EIz
第五章 弯曲应力
第五章 弯曲应力知识讲解
第五章弯曲应力第五章 弯曲应力内容提要一、梁的正应力Ⅰ、纯弯曲和横力弯曲纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。
横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x 的函数，这种弯曲称为横力弯曲。
Ⅱ、纯弯曲梁正应力的分析方法：1. 观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程；2. 在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律；3. 由静力学关系得出正应力公式。
Ⅲ、中性层和中性轴中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。
中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形心。
中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为()()1zM x x EI ρ=(5-1) 式中：()x ρ为变形后中性层的曲率半径，()M x 为弯矩，z EI 为梁的弯曲刚度。
(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。
Ⅳ、梁的正应力公式1. 横截面上任一点的正应力为zMyI σ=(5-2)正应力的大小与该点到中性轴z 的距离y 成正比，试中M 和y 均取其绝对值，可根据梁的变形情况判断σ是拉应力或压应力。
2. 横截面上的最大正应力，为maxmax z My I σ=(5-3) maxzz I W y =(5-4) z W 为弯曲截面系数，对于矩形、圆形和弯环截面等，z W 的公式应熟记。
3. 弯曲正应力公式的适用范围：1)在线弹性范围内()p σσ≤，在小变形条件下的平面弯曲弯。
2)纯弯曲时，平面假设成立，公式为精确公式。
横力弯曲时，平面假设不成立，公式为近似公式，当梁的跨高比5lh≥时，误差2%≤。
Ⅴ、梁的正应力强度条件 拉、压强度相等的等截面梁[]maxmax zM W σσ=≤ (5-5) 式中，[]σ为料的许用正应力。
当梁内,max ,max t c σσ≠，且材料的[][]t c σσ≠时，强度条件应为[],max t t σσ≤，[],max c σσ≤Ⅵ、提高梁正应力强度的措施1)设法降低最大弯矩值，而提高横截面的弯曲截面系数。