王建辉高一数学试卷3
2024年人教新课标高一数学上册月考试卷含答案
2024年人教新课标高一数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、不等式对一切都成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.2、【题文】函数的定义域是()A.B.C.D.3、【题文】过点作圆的两条切线,切点分别为则直线的方程为（）A.B.C.D.4、【题文】若集合则能使成立的所有a的集合是（）A.B.C.D.5、因工作人员不慎将63枚真纪念币和一枚假纪念币混在了一起，从其外形无法分辨，仅仅知道假纪念币的重量要比真纪念币稍稍轻一点点，现用一台天平，通过比较重量的方法来找出那枚假纪念币，则最多只需称量（）次．A. 4B. 5C. 6D. 76、设与是两个不共线向量，且向量+与﹣（-2）共线，则实数λ的值等于（）A.B. -C. 2D. -2评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)7、【题文】已知函数（），数列满足则与中，较大的是____；的大小关系是____．8、【题文】若(x∈[a，b])的值域为[1，9]，则 b-a的取值范围是______.9、【题文】某几何体的三视图如图所示，则它的体积是___________10、【题文】已知圆过点 A(1, 1)和B (2, -2),且圆心在直线x - y +1=0上，求圆的方程______.11、【题文】如图，正方体的棱长为则点到的距离为_____________．12、若0＜x＜1，则f（x）=x（1-x）的最大值是 ______ ．评卷人得分三、证明题(共6题，共12分)13、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．求证：（1）∠CFD=∠CAD；（2）EG＜EF．14、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．15、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．16、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．17、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．18、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．评卷人得分四、解答题(共1题，共3分)19、某企业投资1千万元于一个高科技项目,每年可获利25%.由于企业间竞争激烈,每年底需要从利润中取出资金万元进行科研、技术改造与广告投入,方能保持原有的利润增长率.设经过年后该项目的资金为万元.1)写出数列的前三项并猜想写出通项2)求经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过千万元.评卷人得分五、计算题(共4题，共8分)20、如图，已知在△ABC中，若AC和BC边的长是关于x的方程x2-（AB+4）x+4AB+8=0的两个根，且25BC•sinA=9AB．求△ABC三边的长？21、已知a：b：c=4：5：7，a+b+c=240，则2b-a+c=195．22、己知方程x2-x-1=0的根是方程x6-px2+q=0的根，则p=____，q=____．23、不论实数k为何值，直线（2k+1）x+（1-k）y+7-k=0恒经过的定点坐标是____．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、A【分析】【解析】试题分析：因为可化为所以不等式对一切都成立，即对一切都成立，故9-4（）<0,解得关系A。
安徽省江南十校2023-2024学年高一上学期12月分科诊断模拟联考数学试题含答案
2023年“江南十校”高一分科诊断摸底联考数学试卷（答案在最后）注意事项：1.本试卷总分为150分，数学考试总时间为120分钟；2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效；3.考生作答时，请将自己的姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置.第I 卷选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求.1.下列关系中，正确的是（）A.e ∈RB.{}1,2∅∈C.{}01x x ∉>- D.{}{}200x x x x≤⊆>【答案】A 【解析】【分析】根据元素与集合、集合与集合之间关系直接判断即可.【详解】对于A ，e 为无理数，e ∴∈R ，A 正确；对于B ，{}1,2∅⊆，B 错误；对于C ，01>- ，{}01x x ∴∈>-，C 错误；对于D ，由20x >得：0x <或0x >，{}0x x ∴≤不是{}20x x >的子集，D 错误.故选：A.2.设命题p ：x ∀∈R ，()()150x x +->，则命题p 的否定是（）A.x ∃∈R ，()()150x x +->B.x ∃∈R ，()()150x x +-<C.x ∀∈R ，()()150x x +-≤D.x ∃∈R ，()()150x x +-≤【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断.【详解】由题意可知：命题p 的否定是：x ∃∈R ，()()150x x +-≤.故选：D.3.“[]1,2x ∀∈-，220x a -≤”恒成立的一个充分不必要条件是（）A.0a ≤B.1a ≤C.3a ≥D.2a ≥【答案】C 【解析】【分析】根据恒成立求解2a ≥，即可根据集合间的关系求解.【详解】若对[]1,2x ∀∈-，220x a -≤恒成立,则()2max2xa ≤，故242a a ≥⇒≥，由于{}3a a ≥是{}2a a ≥的真子集，所以符合题意，选项AB 是既不充分也不必要条件，D 是充要条件，故选：C4.已知实数 a b >， 0c >，则下列不等式一定成立的是（）A. a c b ->B.c ca b > C.a bc c > D.a bc c>【答案】D 【解析】【分析】由不等式性质可知A 错误，利用特殊值代入可得BC 不一定成立，根据不等式性质可证明D 正确.【详解】由题意可知0a b ->，但a b c ->不一定成立，即a c b ->不一定成立，A 错误；不妨取1,2,2a b c =-=-=，此时14c c a b =<=，即c c a b >不一定成立，B 错误；当1c =时，显然a b c c =，此时a b c c >不一定成立，C 错误；由0c >可知10c >，又a b >，所以11a b c c ⋅>⋅，即a b c c>；即D 正确.故选：D5.如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC面积为2S ，若123l l =，则12S S =（）A.9B.8C.4D.3【答案】B 【解析】【分析】由弧长比可得半径比，结合扇形面积公式求解.【详解】设OB r =，OA R =，则123l Rl r==，则3R r =∴1212912OAD OBCl R S S l r ==扇扇，故128S S =.故选：B6.函数()344x xx f x -=-的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据题意，利用函数奇偶性的定义，得到函数()f x 为偶函数，且()10f >，即可求解.【详解】由函数()344x x x f x -=-，可得()()33()4444x x x xx x f x f x ----===--，所以函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除C 、D 项；又由()41015f =>，可排除B 项，所以A 符合题意.故选：A.7.已知()121cos60a =-︒，3log 2b =，b c a =，则（）A.a b c <<B.b a c <<C.a c b <<D.b<c<a【答案】B 【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值，结合对数函数与指数函数的性质即可得解.【详解】因为()1122121cos60122a ⎛⎫=-︒==< ⎪⎝⎭，则322a =>，而33033log 2log 82b <==<，所以01b a <<<，所以1b c a a a =>=，故b a c <<.故选：B.8.已知函数()()12log 41x f x x -=+-，则不等式()()33f x f x <+的解集为（）A.3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B.3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.13,42⎛⎫-⎪⎝⎭D.33,42⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】解法1：根据题意，利用对数的运算性质，把不等式化简为()3122341412x x x -+-+<+⋅，令40x t =>，结合一元二次不等式的解法，即可求解；解法2：根据题意，得到()()21log 221xxf x -+=+-，设()()2log 221xx g x -=+-，得到()g x 为偶函数，求得()y f x =关于1x =对称，且在[)1,+∞上单调递增，把不等式转化为3131x x -<+-，即可求解.【详解】解法1：由函数()()12log 41x f x x -=+-，则不等式()()33f x f x <+，即为()()()31222log 413log 413x x x x -++-<+-+，可得()()31222log 41log 4123x x x -++<++-，即()3122341412x x x -+-+<+⋅，令40xt =>，则()3116148t t t +<+，即()()28210t t --<，解得82t <<，即482x<<，解得1342x -<<，所以不等式()()33f x f x <+的解集为13,42⎛⎫- ⎪⎝⎭.解法2：由函数()()12log 41x f x x -=+-，可得()()()221log 411log 221xxxf x x -+=+--=+-，设()()2log 221xxg x -=+-，则()()()2log 221xx g x g x --=+-=，所以函数()g x 为偶函数，即()1y f x =+为偶函数，可得()y f x =关于1x =对称，且在[)1,+∞上单调递增，所以不等式()()33f x f x <+，即为3131x x -<+-，可得2296144x x x x -+<++，即281030x x --<，解得1342x -<<，所以不等式()()33f x f x <+的解集为13,42⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.下列命题中正确的有（）A.()()21mf x m m x =--是幂函数，且在()0,∞+单调递减，则1m =-B.()()22log 2f x x x =-的单调递增区间是()1,+∞C.()211f x ax ax =++的定义域为R ，则[]0,4a ∈D.()f x x =+的值域是(],5-∞【答案】AD 【解析】【分析】A 由幂函数及其单调性求参数；B 由复合函数的单调性和对数函数的性质求增区间；C 根据定义域及二次函数性质求参数范围；D 换元法及二次函数性质求值域.【详解】A ：()f x 是幂函数，则211m m --=，得2m =或1m =-，又()f x 在()0,∞+单减，故1m =-，对；B ：由复合函数单调性有220x x ->且1x ≥，所以单增区间是()2,+∞，错；C ：定义域为R ，则0a =或204Δ40a a a a ≠⎧⇒≤<⎨=-<⎩，错；D ：令0t =，则()22()24155f x y t t t ==-++=--+≤，对.故选：AD10.下列选项中，结果为正数的有（）A.sin1cos1+B.sin2cos2+C.sin3cos3+D.sin4cos4+【答案】AB 【解析】【分析】根据角的象限，分别求得其取值范围，结合正弦值与余弦的值关系，逐项判定，即可求解.【详解】由π012<<，可得sin10,cos10>>，所以sin1cos10+>，所以A 正确由π3π23π24<<<<，可得sin 20,sin 30,cos 20,cos30>><<且sin 2cos 2,sin 3cos3><，所以sin2cos20+>，sin3cos30+<，所以B 正确，C 错误；由3ππ42<<，可得sin40,cos40<<，所以sin4cos40+<，所以D 错误.故选：AB.11.已知正数a ，b 满足2ab a b =++，则（）A.a b +的最小值为2+B.ab 的最小值为1+C.11a b+1 D.3a b +的最小值为10【答案】ACD 【解析】【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为,a b 为正数，A 项，()()2224802a b ab a b a b a b +⎛⎫=++≤⇒+-+-≥ ⎪⎝⎭2a b ⇒+≥+2a b +≤-，当1a b ==+时取等，故A 正确；B 项，22ab a b =++≥+⇒20ab -≥，1≥1≤-，即(21ab ≥+，当且仅当1a b ==+时取等，故B 错误；C 项，1122111a b ab a b ab ab ab +-+===-≥-=，当且仅当1a b ==+时取等，故C 正确；D 项，()()()()234211313392a b ab a b a b a b +-⎛⎫=++⇒--=⇒--=≤ ⎪⎝⎭，解得310a b +≥（负值舍去），当且仅当4a =，2b =时取等，故D 正确.故选：ACD .12.高斯是德国的著名数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家.他被认为是历史上最重要的数学家之一，有“数学王子”的美誉.高斯函数[]y x =，[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3.53=，[]2.73-=-，则（）A.()[]f x x x =-的值域是[)0,1B.方程[][][]2023xy x y =+有无数组解C.()[]f x x x =是单调函数D.方程[]220x x --=有3个根【答案】ABD 【解析】【分析】根据高斯函数的定义，即可结合选项逐一求解.【详解】因为[]x 表示不超过x 的最大整数，设01t ≤<，则[]x x t =+，则()[][0f x x x t =-=∈,1)，即()f x 的值域为[0,1)，故A 正确．当2023x α=+，2023y β=+，01,01αβ<<<<且1αβ+=时,[]()()()22220232023202320232023202320232023,xy αβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++=+++=++=+⎣⎦⎣⎦⎣⎦[][][][]2202320232023x y αβ=++=，所以[][][]2023xy x y =+，故B 正确；当()0,1x ∈时，此时()0f x =，故C 错误；[]22x x x -=≤22012x x x ⇒--≤⇒-≤≤，当[)[]1,0,1x x ∈-=-，则[]2211x x x -==-⇒=-，当[)[]0,1,0x x ∈=，则[]220x x x -==⇒=，当[)[]1,2,1x x ∈=，则[]221x x x -==⇒=，当2x =时，[]2222x x x -==⇒=，故D 正确，故选：ABD第II 卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()2y f x =+的定义域是[]2,3，则()21y f x =-的定义域是__________.【答案】5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】利用复合函数定义域求解.【详解】因为函数()2y f x =+的定义域是[]2,3，即23x ≤≤，所以425x ≤+≤，若求函数()21y f x =-的定义域，则有4215x ≤-≤，解得532x ≤≤，所以()21f x -的定义域为5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦.14.已知()12xf x +=，则()2log 2024f =______.【答案】1012【解析】【分析】根据题意，令21log 2024x +=，求得x ，代入计算，即可得到结果.【详解】令21log 2024x +=，则22log 20241log 1012x =-=，所以()2log 10122log 202421012f ==故答案为：101215.若21(0)x kx b k ≥++>对x ∈R 恒成立，则bk的最大值为______.【答案】1-【解析】【分析】构造函数，根据恒成立得到214k b ≤--，14b k k k ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭，利用均值不等式计算最值得到答案.【详解】令()()210f x x kx b k =--->，()210x kx b k ≥++>对x ∈R 恒成立，则()2min1024k k f x f b ⎛⎫==---≥ ⎪⎝⎭，即得214k b ≤--，故21144k b k k k k +⎛⎫≤-=-+ ⎪⎝⎭，又0k >，故114k k +≥=（当且仅当2k =时取等），所以bk的最大值为1-.故答案为：1-.16.已知()21,0ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若()()220f x af x -+=有六个根，则实数a 的取值范围是______.【答案】()【解析】【分析】令()f x t =，则()22g t t at =-+，作出函数()f x 的图象，转化为()0g t =在(]1,2上有两解，列出不等式组，即可求解.【详解】令()f x t =，则()22g t t at =-+，作出函数()f x 的图象，如图所示，设函数()22g t t at =-+的零点分别为12,t t ，由图象知，要使得()()220f x af x -+=有六个根，转化为()0g t =在(]1,2上有两解，则满足()()()2Δ801302620122a g a g a a ⎧=-->⎪=->⎪⎪⎨=-≥⎪⎪<<⎪⎩，解得3a <<，所以实数a的取值范围是().故答案为：().四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知1tan 2α=-，且α为第二象限角（1）求sin α，cos α；（2）求()()sin 3ππsin cos π2ααα-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）cos 5α=-，sin 5α=（2）14-【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的关系，由正切值求正弦值和余弦值；（2）利用诱导公式化简求值.【小问1详解】由sin 1tan cos 2ααα==-得1sin cos 2αα=-，代入22sin cos 1αα+=得24cos 5α=，又α为第二象限角，得25cos 5α==-，sin 5α=【小问2详解】由诱导公式，有()()sin 3πsin sin tan 1πcos cos 2cos 24sin cos π2ααααααααα-====-+⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.18.已知集合{}24A x x =-≤≤，集合{}2132B x a x a =-≤≤+（1）若2a =，求A B ⋃和()R A B I ð；（2）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}28A B x x ⋃=-≤≤，(){}23A B x x ⋂=-≤<R ð（2）45,,32a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据补集、交集、并集的定义进行求解即可；（2）根据集合交集的运算性质，结合分类讨论思想进行求解即可.【小问1详解】当2a =时，{}38B x x =≤≤，所以{}28A B x x ⋃=-≤≤，{|3B x x =<R ð或}8x >，所以(){}23A B x x ⋂=-≤<R ð.【小问2详解】当B =∅时，即2132a a ->+，即3a <-，满足A B ⋂=∅；当B ≠∅时，即3a ≥-，由A B ⋂=∅得2143a a ->⎧⎨≥-⎩或3223a a +<-⎧⎨≥-⎩，解得52a >或433a -≤<-；综上，45,,32a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .19.已知函数()()3,3x x n f x m n m+=∈+R 是R 上的奇函数（1）求m ，n 的值；（2）判断并证明()f x 在R 上的单调性.【答案】（1）1m =，1n =-（2）()f x 是R 上单调递增函数，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，由奇函数的定义()()f x f x -=-，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由函数单调性的定义证明即可.【小问1详解】由()f x 是R 上的奇函数，所以()00f =，得1n =-又()()3113133133x x xx x x f x f x m m m------===-=+++恒成立，所以1m =，即1m =，1n =-【小问2详解】()f x 是R 上的递增函数证明如下：由（1）知，()31213131x x x f x -==-++，在R 上任取1x ，2x ，不妨令12x x >，则()()121222113131x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()12212111332231313131x x x x x x ⎛⎫-⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，因为12x x >，所以12330x x ->，所以()()120f x f x ->，所以()f x 是R 上单调递增函数20.某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()()243,0270,2521x x W x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元.已知这种水果的市场售价大约21元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为()f x （单位：元）（1）写出单株利润()f x （元）关于施用肥料x （千克）的关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）()()284330,02147030,2521x x x f x x x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩（2）当施肥量为3千克时，利润最大，最大利润是540元【解析】【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润()f x 的解析式；（2）根据二次函数的单调性和基本不等式求出()f x 的最大值.【小问1详解】由题意可知，()()()284330,022*********,2521x x x f x W x x x x x x ⎧+-≤≤⎪=-=⎨-<≤⎪+⎩，【小问2详解】当02x ≤≤时，()()225698184330842828f x x x x ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，对称轴5x 28=，则()f x 在50,28⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在5,228⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以()f x 的最大值为()2528f =，当25x <≤时，()()14707353075015212121x f x x x x x ⎡⎤=-=-++⎢⎥++⎣⎦750540≤-，当()735152121x x =++，即3x =时取等号，有最大值540元，因为528540<，所以当施肥量为3千克时，利润最大，最大利润是540元.21.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，（1）求()0f ，并证明()()2F x f x =+为奇函数；（2）若()f x 是R 上的单调递增函数，且()12f =，解不等式：()()2128f x x f x ++->.【答案】（1）()02f =-，证明见解析（2）()(),12,-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）赋值法求出()02f =-，再由奇偶函数定义证明奇偶性即可；（2）根据抽象函数性质化简，再由单调性脱去“f ”，解一元二次不等式即可得解.【小问1详解】令0x y ==，得()02f =-，()()2F x f x =+定义域为R ，关于原点对称，令y x =-，得()()()02f f x f x =+-+，所以()()40f x f x +-+=,即()()0F x F x +-=，所以()()2F x f x =+是奇函数.【小问2详解】因为()()()221212f x x f x f x x ++-=-+-，所以原不等式等价于()2110f x x -+>，又()12f =，所以()26f =，()310f =，即()()213f x x f -+>，又()f x 是R 上的递增函数，所以213x x -+>，解得2x >或1x <-，原不等式的解集为()(),12,-∞-+∞ .22.若()221(0)f x x ax a =-+>在[],m n 上的值域是[],m n 的子集，则称函数()f x 在[],m n 上是封闭的.（1）若()f x 在[]0,2上是封闭的，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 在[]0,t 上是封闭的，求实数t 的最大值.【答案】（1）3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）32【解析】【分析】（1）根据新的定义，即求二次函数在[]0,2上的值域，利用分类讨论思想可得结果；（2）根据新的定义，即求二次函数在[]0,t 上的值域，利用分类讨论思想建立不等关系可得结果.【小问1详解】函数()f x 开口向上，对称轴是(),0x a a =>，当02a <<时，()()2min 1f x f a a ==-+，()()(){}max max 0,2f x f f =因为()f x 在[]0,2上是封闭的，则有()()()2012254210f f a f a a ⎧=<⎪=-≤⎨⎪=-+≥⎩，解得314a ≤≤；当2a ≥时，()f x 在[]0,2上为减函数，则有()()0122540f f a ⎧=≤⎪⎨=-≥⎪⎩，解得54a ≤，又2a ≥，故无解；综上，a 的取值范围是3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【小问2详解】函数()f x 开口向上，对称轴是(),0x a a =>，当0a t <≤时，()()2min 1f x f a a ==-+，()()(){}max max 0,f x f f t =因为()f x 在[]0,t 上是封闭的，则有()()()22012110f t f t t at t f a a ⎧=≤⎪=-+≤⎨⎪=-+≥⎩，解得112101t a t t a ≥⎧⎪⎪+≥+⎨⎪<≤⎪⎩，依题意有112t t +-≤，解得3322t -≤≤，所以312t +≤≤，当a t >时，()f x 在[]0,t 上为减函数，则有()()20110f t f t t at ⎧=≤⎪⎨=-+≥⎪⎩，所以122t a tt<≤+，即11t tt<⇒<（舍去）综上，t的最大值是32 +.。
高一数学上学期第三次统一考试试题含解析 试题
①直线 与 是相交直线；②直线 与 是平行直线；
③直线 与 是异面直线；④直线 与 是异面直线．
其中正确的结论为〔〕
A.①②B.②③C.③④D.①④
【答案】C
【解析】
【分析】
结合图形，判断四个结论中的两条线段的四个端点是否一共面，假设四点一共面，那么直线可能平行或者相交，反之那么一定是异面直线．
=210．
〔2〕原式=2-2+ +log24
= +2
=
【点睛】此题考察了指数幂的运算性质、乘法公式和对数的运算性质，考察计算才能.
18.如图，在三棱锥 中， ， ， ，且 ， ， ， ， 为 上一点， .
〔1〕求证： 平面 ；
〔2〕求异面直线 和 所成角的余弦值.
【答案】(1)见解析〔2〕
【解析】
【分析】
①对任意 ，都有 ；②函数 在 上递减，在 上递增；
③函数 的最大值是1，最小值是0；④当 时， .
【答案】①②④
【解析】
【分析】
【详解】①∵ ,∴f〔x+2〕=f[〔x+1〕-1]=f〔x〕，∴2是函数f〔x〕的一个周期，正确；②当 时， 为增函数，故x∈[-1，0]时，f〔x〕为减函数，由函数的周期性可得f〔x〕在〔1，2〕上是减函数，在〔2，3〕上是增函数，正确；③由解析式可知函数取最小值 ，取最大值1，故错误；④设x∈〔3,4〕，那么4-x∈〔0,1〕，f〔4-x〕= =f〔-x〕=f〔x〕，故正确；
故答案为：①②④.
考察分析问题的才能.
三、解答题〔解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．〕
17.计算：
云南省楚雄市楚雄天人中学2024-2025学年高一上学期新生入学分班考试数学试题(解析版)
云南省楚雄天人中学2024－2025学年上学期高一新生入学分班数学试卷（全卷3个大题，共27个小题；满分100分，考试用时120分钟）注意事项：1、本卷为试题卷，考生解题作答必须在答题卡上；答案书写在答题卡相应位置上；在试题卷、草稿纸上作答无效．2、考试结束后，请将答题卡交回．一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）1.3-的倒数是（）A.13-B.13C.3- D.3【答案】A 【解析】【分析】根据倒数的定义进行解答即可．【详解】解：根据倒数的定义知道3-的倒数是13-．故选：A ．2.2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机126.7万架，运营无人机的企业达1.9万家．将126.7万用科学记数法表示为（）A.51.26710⨯B.61.26710⨯C.71.26710⨯D.4126.710⨯【答案】B 【解析】【分析】根据科学记数法的定义表示出来即可.【详解】126.7万61267000 1.26710==⨯,故选：B .3.下列运算正确的是（）A.2352a a a +=B.33a a a ÷= C.()3235ab a b = D.426a a a ⋅=【答案】D【分析】A ．根据同类项的定义判断即可；B ．根据同底数幂的乘法运算法则计算即可；C ．根据同底数幂的除法运算法则计算即可；D ．根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可．【详解】解：2a 与3a 不是同类项，无法合并，∴A 不正确，不符合题意；32a a a ÷=，∴B 不正确；()3236ab a b =，∴C 不正确，不符合题意．426a a a ⋅=，∴D 正确，符合题意；故选：D ．4.若关于x 的方程20x x m --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）A.14m -＜ B.14m -＞ C.4m <- D.4m >-【答案】B 【解析】【分析】根据关于x 的方程20x x m --=有两个不相等的实数根．构建不等式求解．【详解】解：∵关于x 的方程20x x m --=有两个不相等的实数根，∴0∆＞，∴2(1)40m -+>，∴14m >-．故选：B ．5.不等式组32212x x x -+⎧⎨≥⎩＜的解集在数轴上表示为（）A.B.C.D.【答案】B【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】由3221x x +-＜，得3x ＜，所以不等式组32212x x x -+⎧⎨≥⎩＜的解集在数轴上表示为：．故选：B ．6.用配方法解一元二次方程2220230x x --=，将它转化为()2x a b +=的形式，则b a 的值为（）A.2024-B.2024C.1- D.1【答案】D 【解析】【分析】根据配方法对所给一元二次方程进行转化即可解决问题．【详解】由题知，2220230x x --=，222023x x -=，22120231x x -+=+，()212024x -=，所以1a =-，2024b =.所以()202411b a =-=.故选：D 7.函数y =自变量的取值范围是（）A.0x >B.2x >- C.2x ≥- D.2x ≠-【答案】C 【解析】【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【详解】由题意得：20x +≥，解得：2x ≥-，所以函数y =自变量的取值范围是2x ≥-.故选：C ．8.已知点()()()1232,,1,,3,A y B y C y --在反比例函数(0)ky k x=<的图象上，则123,,y y y 的大小关系是（）A.123y y y <<B.213y y y <<C.312y y y << D.321y y y <<【答案】C 【解析】【分析】根据反比例函数的性质得到函数()0ky k x=<的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y 随x 的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解.【详解】因为0k <，所以函数(0)ky k x=<的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y 随x 的增大而增大，因为213-<-<，所以3120y y y <<<，所以312y y y <<.故选：C.9.若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形是（）A.正六边形B.正七边形C.正八边形D.正九边形【答案】C 【解析】【分析】根据多边形的外角和列式计算即可．【详解】解：由题意得360458︒÷︒＝，即这个正多边形是正八边形，故选：C ．10.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．【详解】A ．是轴对称图形，故本选项符合题意；B ．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C ．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D ．不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：A ．11.某班24名学生参加一分钟跳绳测试，成绩（单位：次）如表：成绩171及以下172173174175及以上人数38652次测试成绩的中位数和众数分别是（）A.172和172B.172和173C.173和172D.173和173【答案】C 【解析】【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．【详解】从小到大排序，中位数是第12，13个数据的平均数，所以中位数为1731731732+=．这组数据中172出现次数最多，所以众数为172，故选：C ．12.已知，直线a b ∥，把一块含有30︒角的直角三角板如图放置，130∠=︒，三角板的斜边所在直线交b 于点A ，则2∠=（）A.50︒B.60︒C.70︒D.80︒【答案】B 【解析】【分析】根据“两直线平行，同位角相等”求解即可．【详解】130∠=︒ ，60ABC ∴∠=︒，直线a b ∥，260ABC ∴∠=∠=︒，故选：B ．13.如图，AB 是O 的直径，C ，C 是⊙O 上两点，BA 平分CBD ∠，若50AOD ∠=o ，则A ∠的度数为（）A.65B.55C.50D.75【答案】A 【解析】【分析】先利用圆周角定理可得：25ABD ∠= ，然后利用平角定义得25ABC ∠= ，根据圆周角定理得90︒∠=C ，再根据三角形内角和定理进行计算即可解答．【详解】50AOD ︒∠= ，1252ABD AOD ︒∴∠=∠=，BA 平分CBD ∠，25ABC ABD ︒∴∠=∠=，AB 是O 的直径，90C ︒∴∠=，180902565A ︒︒︒︒∴∠=--=．故选：A ．14.如图，一次函数23y x =-的图象与x 轴相交于点A ，则点A 关于y 轴的对称点是（）A.3,02⎛⎫-⎪⎝⎭B.3,02⎛⎫⎪⎝⎭C.(0,3)D.(0,3)-【答案】A 【解析】【分析】利用待定系数法求出点A 的坐标，再根据轴对称变换的性质解决问题．【详解】对于一次函数23y x =-，令0y =，可得32x =，3,02A ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，∴点A 关于y 轴的对称点的坐标为3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：A ．15.杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示()na b +（此处n ＝0，1，2，3，4，5，…）的计算结果中的各项系数：则()6a b +各项系数的和为（）A.32B.48C.64D.128【答案】C 【解析】【分析】根据题意，可以得出规律：()6a b +的各项系数和.【详解】根据题目可知：1()a b +的各项系数和为：122＝，2()a b +的各项系数和为：242＝，3()a b +的各项系数和为：382＝,4()a b +的各项系数和为：4162 ＝,所以()6a b +的各项系数和为：6264＝，故选：C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）16.因式分解：328a a -=________．【答案】()()222a a a +-【解析】【分析】观察原式，找到公因式2a ，提出公因式后发现24a -符合平方差公式的形式，利用平方差公式继续分解即可得求得答案．【详解】328a a -=()224a a -=2+2−2.故答案为：2+2−217.某跳远队准备从甲、乙两名运动员中选取一名成绩稳定的参加比赛．这两名运动员10次测试成绩（单位：m ）的平均数是 6.01x =甲， 6.01x =乙，方差是20.01s 甲＝，20.02s 乙＝，那么应选____去参加比赛．（填“甲”或“乙”）【答案】甲【解析】【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．【详解】∵两名运动员10次测试成绩（单位：m ）的平均数是 6.01x =甲， 6.01x =乙，方差是20.01s 甲＝，20.02s 乙＝，∴22S S 甲乙＜，∴这10次测试成绩比较稳定的运动员是甲；故答案为：甲．18.如图，AB CD ∥，AD 与BC 相交于点O ，且AOB V 与DOC △的面积比是1:4，若6AB =，则CD 的长为______．【答案】12【解析】【分析】根据AB CD ∥，得出AOB V 与DOC △相似，从而得出12AB DC =，由此得出CD 的长．【详解】AB CD ∥ ，AOB DOC ∴△∽△，∴21()4AOB DOC S AB S DC == ，∴12AB DC =，6AB = ，∴612DC =，12DC ∴=，故答案为：12．19.若圆锥的底面半径是1cm ，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为_______cm ．【解析】【分析】根据弧长公式求出圆锥的母线长，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】设扇形的母线长为cm l ，圆锥的底面半径是1cm ，∴圆锥的底面周长是2πcm ，即侧面展开图扇形的弧长是2πcm ，则90π2π180l=，解得：4l=，由勾股定理得：圆锥的高==．三、解答题（本大题共8小题，共62分）20.011(π 3.14)()2cos304---++︒．【答案】6【解析】【分析】根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可．011(π 3.14)()2cos304---++-︒331422=-++⨯6= 21.如图，AD CB=，//AD CB．（1）求证：ABC CDA≅；（2）70D∠=︒，求BAD∠的度数.【答案】（1）证明见解析；（2）110︒．【解析】【分析】（1）根据SAS可证明ABC CDA≅；（2）由全等三角形的性质及平行线的性质可得出答案．【小问1详解】证明：∵//AD CB，∴DAC BCA∠=∠，在ABCV和CDA中，CB ADBCA DACAC CA=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABC CDA ≅ （SAS ）.【小问2详解】∵ABC CDA ≅ ，∴70ABC CDA ∠=∠=︒，∵//AD CB ，∴180ABC BAD ∠+∠=︒，∴180110BAD ABC ∠=︒-∠=︒．22.在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A 地沿相同路线骑行去距A 地30千米的B 地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．若乙先骑行20分钟，甲才开始从A 地出发，则甲、乙恰好同时到达B 地，求甲骑行的速度．【答案】甲骑行的速度是18千米/时．【解析】【分析】设乙骑行的速度是x 千米/时，则甲骑行的速度是1.2x 千米/时.利用时间=路程÷速度，结合乙比甲多用20分钟，可列出关于x 的分式方程，解之经检验后，可得出乙骑行的速度，再将其代入1.2x 中，即可求出甲骑行的速度．【详解】设乙骑行的速度是x 千米/时，则甲骑行的速度是1.2x 千米/时．根据题意得：3030201.260x x -=，解得：15x =，经检验，15x =是所列方程的解，且符合题意，1.2 1.21518x ∴=⨯=．答：甲骑行的速度是18千米/时．23.我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A ，B ，C ，D 四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．（1）参加比赛的学生人数共有名，在扇形统计图中，表示“D 等级”的扇形的圆心角为度，图中m 的值为；（2）补全条形统计图；（3）组委会决定从本次比赛中获得A 等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知A 等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．【答案】（1）20，72，40（2）作图见解析（3）23．【解析】【分析】（1）根据等级为A 的人数除以所占的百分比求出总人数，用360°乘以D 等级对应比例可得其圆心角度数，根据百分比的概念可得m 的值；（2）求出等级B 的人数，补全条形统计图即可；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，即可求出所求的概率．【小问1详解】根据题意得：总人数为：3÷15%＝20（人），表示“D 等级”的扇形的圆心角为43607220⨯︒=︒；C 等级所占的百分比为8100%40%20⨯=，所以m ＝40，故答案为：20，72，40．【小问2详解】等级B 的人数为203845++-()＝（人），补全统计图，如图所示：【小问3详解】根据题意，列出表格，如下：男女1女2男女1、男女2、男女1男、女1女2、女1女2男、女2女1、女2共有6种等可能结果，其中恰是一男一女的有4种，所以恰是一男一女的概率为4263=．24.如图，ABC V 中，AB AC AD BC ⊥＝，，点E 、F 分别是AB AC 、的中点．（1）求证：四边形AEDF 是菱形；（2）如果四边形AEDF 的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF 的面积S ．【答案】（1）证明见解析；（2）134．【解析】【分析】（1）先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出1122DE AB AE DF AC AF ==＝，＝，再根据AB AC ＝，点E 、F 分别是AB AC 、的中点，即可得到AE AF DE DF ＝＝＝，进而判定四边形AEDF 是菱形；（2）设EF x AD y ＝，＝，则7x y +＝，进而得到22249x xy y ++＝，再根据Rt AOE △，222AO EO AE +＝，得到2236x y +＝，据此可得xy ，进而得到菱形AEDF 的面积．【小问1详解】AD BC ⊥ ，点E 、F 分别是AB AC 、的中点，∴DE DF 、分别是Rt Rt ABD ACD 、斜边上的中线，∴1122AE DE AB AF DF AC AB AC AE DE AF DF ==∴∴＝，＝，＝，＝＝＝，∴四边形AEDF 是菱形；【小问2详解】如图，连接EF 交AD 于点O ，由（1）知，四边形AEDF 是菱形．∴AD EF ⊥，∵四边形AEDF 的周长为12，∴3AE ＝，∴22()()922AD EF +=，即2236AD EF +＝，∴()()()222211113·7362444AEDF S AD EF AD EF AD EF ⎡⎤==+-+=⨯-=⎣⎦菱形．25.近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩.某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表：价格/类别短款长款进货价（元/件）8090销售价（元/件）100120（1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；（2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元.服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？【答案】（1）长款服装购进30件，短款服装购进20件；（2）当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元.【解析】【分析】（1）依据题意，设购进短款服装x 件，购进长款服装y 件，则可得5080904300x y x y +=⎧⎨+=⎩，计算即可得解.（2）依据题意，设第二次购进m 件短款服装，则购进()200m -件长款服装，从而()809020016800m m +-≤，故120m ≥，又设利润为w 元，则()()()1008012090200106000w m m m =-+--=-+，再结合一次函数的性质，即可判断得解.【小问1详解】依题意，设购进短款服装x 件，购进长款服装y 件，因此5080904300x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得2030x y =⎧⎨=⎩，所以长款服装购进30件，短款服装购进20件.【小问2详解】依题意，设第二次购进m 件短款服装，则购进()200m -件长款服装，因此()8090101800016800200m m m +=-+≤-，解得120m ≥，又设利润为w 元，则()()()1008012090200106000w m m m =-+--=-+，显然w 随m 的增大而减小，则当120m =时，利润w 取得最大值1012060004800-⨯+=（元）.所以当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元.26.许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y 轴上，坐标原点O 为伞骨OA ，OB 的交点．点C 为抛物线的顶点，点A ，B 在抛物线上，OA 、OB 关于y 轴对称．OC ＝1分米，点A 到x 轴的距离是0.6分米，A ，B 两点之间的距离是4分米．（1）求抛物线的表达式；（2）分别延长AO ，BO 交抛物线于点F ，E ，求E ，F 两点之间的距离；（3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为1S ，将抛物线向右平移m （m ＞0）个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S 2．若2135S S =，求m 的值．【答案】（1）20.11y x +＝-（2）10（3）2或4．【解析】【分析】（1）根据题意得到(0,1)(2,0.6)(2,0.6)C A B -,,,设抛物线的解析式为2()y a x h k =-+，代入求解即可得到答案；（2）分别求出AO ，BO 所在直线的解析式，求出与抛物线的交点F ，E 即可得到答案；（3）求出抛物线与坐标轴的交点得到S 1，表示出新抛物线找到交点得到S 2，根据面积公式列方程求解即可得到答案．【小问1详解】设抛物线的解析式为2()y a x h k =-+，由题意可得(0,1)(2,0.6)(2,0.6)C A B -,,,∴01h k ＝，＝，把点A 坐标代入所设解析式中得410.6a +＝，解得0.1a ＝-，则20.11y x +＝-.【小问2详解】设AO 的解析式为1y＝k x ，BO 的解析式为2y k x ＝，分别将(2,0.6)(2,0.6)A B -,,代入1y＝k x ，2y k x ＝，得1220.620.6,k k ＝,-＝解得120.30.3k k ＝，＝-，∴AO 的解析式为0.3y x ＝，BO 的解析式为0.3y x ＝-.联立直线解析式与抛物线，得20.30.11x x +＝-，解得1252x x ＝-，＝（舍去）；得20.30.11x x +-=-，解得3452x x ＝,＝-（舍去），5 1.55 1.5F E ∴(-,-),（,-）,∴E ，F 两点之间的距离为5(5)10--＝.【小问3详解】当0y ＝，即20.110x +-＝时，解得=x ，∴(1112S ⎤=⨯-⨯=⎦，∵抛物线向右平移m （m ＞0）个单位，∴20.1()1y x m +＝--，当0x ＝时，20.11y m +＝-，当0y ＝时，20.1()10x m +--＝，解得x m =，∴()22210.110.112S m m m m ⎤=⨯+-+⨯-+=-+⎦，∵2135S S =，∴230.115m =+，解得1222m m ＝,＝-（不符合题意舍去），3444m m ＝,＝-（不符合题意舍去），综上所述：2m ＝或4．27.如图，已知AB 是半圆O 的直径，PB 是O 的切线，点C 在O 上，PO AC ∥．（1）求证：PC 是O 的切线；（2）若32OP AC =，求CPO ∠的正弦值；（3）若12AC =，20AB =，M 是直径AB 上的动点，点D 、E 在直线CM 上，记d AD =，t BE =，m d t =+，当d 、t 均为最小值时，求m 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）33（3）1220m ≤≤【解析】【分析】（1）连接OC ，证明OCP OBP ≌，可得90OCP B ∠=∠=︒，即PC 是圆的切线；（2）连接OC ，BC ，因为32OP AC =，可设2AC k =，3OP k =，OC r =，2AB r =，证明ABC OCP ∽，可得r =，在Rt OPC 中，即可求得sin CPO ∠的值；（3）当AD CM ⊥，BE CM ⊥时，d 、t 均取得最小值，由1()2ABC AMC BMC S S S MC d t =+=⨯+ ，可得1216m MC ⨯=，只要求出MC 的取值范围即可得出m 的取值范围．【小问1详解】如图1，连接OCPB 是圆的切线，AB 是半圆O 的直径，90B ∴∠=︒，PO AC∥ 12∴∠=∠，3=4∠∠，又AO OC= 31∴∠=∠，24∴∠=∠，在OCP △与OBP 中24OC OC OP OP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)OCP OBP ∴ ≌，90OCP B ∴∠=∠=︒，PC ∴是圆的切线；【小问2详解】连接OC ，BC32OP AC = ，∴设2AC k =，则3OP k =，OC r =，则2AB r=AB 是直径，90ACB ∴∠=︒，由（1）得90OCP ACB ∠=︒=∠，23∠∠=ABC OCP ∴ ∽，∴OC OP AC AB=，∴322r k k r=，∴r =，在Rt OPC 中，sin OC CPO OP ∠==【小问3详解】如图3，当AD CM ⊥，BE CM ⊥时，d 、t 均取得最小值，12AC = ，20AB =，90ACB ∠=︒，16BC ∴=，11()121622ABC AMC BMC S S S MC d t =+=⨯+=⨯⨯ ，m d t =+，∴1216m MC⨯=，作CN AB ⊥于N ，则MC 的最小值为121648205CN ⨯==，MC 的最大值为16BC =，1220m ∴≤≤．。
浙江省金华十校2023-2024学年高一上学期期末调研考试数学试题含答案
金华十校2023—2024学年第一学期调研考试高一数学试题卷（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟．试卷总分为150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.sin3π=（）A.12B.12-C.32D.【答案】C 【解析】【分析】根据特殊角对应的三角函数值，可直接得出结果.【详解】sin 32π=.故选：C.2.已知集合{}1,2,3A =，{}2,,4B a =，若{}2A B ⋂=，则实数a 可以为（）A.1 B.3C.4D.7【答案】D 【解析】【分析】由集合的交集运算及集合元素的互异性讨论可得解.【详解】由{}2,,4B a =，知4a ≠，C 不可能；由{}2A B ⋂=，知1a ≠且3a ≠，否则A B ⋂中有元素1或者3，矛盾，即AB 不可能；当7a =时，{}2A B ⋂=，符合题意，因此实数a 可以为7.故选：D3.若对于任意[]1,2x ∈，不等式220m x +-≤恒成立，则实数m 的取值范围是（）A .1m ≤- B.0m ≤C.1m £D.m ≤【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出函数2()2f x m x =+-在[1,2]上的最大值即得.【详解】令函数2()2f x m x =+-，显然()f x 在[1,2]上单调递减，max ()(1)1f x f m ==+，因为任意[]1,2x ∈，不等式220m x +-≤恒成立，于是10m +≤，所以1m ≤-.故选：A4.哥哥和弟弟一起拎一重量为G 的重物（哥哥的手和弟弟的手放在一起），哥哥用力为1F ，弟弟用力为2F ，若12F F =，且12,F F 的夹角为120°时，保持平衡状态，则此时1F 与重物重力G 之间的夹角为（）A.60°B.90°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】结合物理相关知识，利用三角形和向量夹角的知识即可解答.【详解】根据力的平衡，12,F F 的合力为CA，如图所示：由于12F F =，且12F F ，的夹角为120 ，则ACB 为等边三角形，则60ACB ∠= ，则1F 与重物重力G 之间的夹角为18060120-= .故选：C5.“44a -≤≤”是“函数()()22log 4f x x ax =-+的定义域为R ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据函数()()22log 4f x x ax =-+的定义域为R 则240x ax -+>恒成立求解a 的取值范围判断即可.【详解】函数()()22log 4f x x ax =-+的定义域为R则240x ax -+>恒成立，即2440a -⨯<，解得44a -<<，故“44a -≤≤”是“函数()()22log 4f x x ax =-+的定义域为R ”的必要不充分条件.故选：B 6.已知函数()()216f x x a b x =-++，a ，b 是正实数．若存在唯一的实数x ，满足()0f x ≤，则223a b +的最小值为（）A.46B.48C.52D.64【答案】B 【解析】【分析】根据函数()()216f x x a b x =-++，,a b 是正数，且存在唯一的实数x ，满足()0f x ≤，可得240b ac -=，利用()()()22222a bc d ac bd ++≥+，可得223a b +的最小值.【详解】根据函数()()216f x x a b x =-++，,a b 是正数，且存在唯一的实数x ，满足()0f x ≤,可得240b ac -=，即()264a b +=，由()()()()2222220a b c d ac bd ac bd ++-+=-≥，则()()()22222ab c d ac bd ++≥+，所以()()2221313a b a b ⎛++≥ ⎪⎝+⎫⎭，故22348a b +≥，故选：B7.某种废气需要经过严格的过滤程序，使污染物含量不超过20%后才能排放．过滤过程中废弃的污染物含量Q （单位：mg/L ）与时间r （单位：h ）之间的关系为0ektQ Q -=，其中0Q 是原有废气的污染物含量（单位：mg/L ），k 是正常数．若在前4h 消除了20%的污染物，那么要达到排放标准至少经过（答案取整数）（）参考数据：ln0.2 1.609≈-，ln0.80.223≈-，40.80.4096=，60.80.26≈A.19h B.29h C.39h D.49h【答案】B 【解析】【分析】根据题意列出方程和不等式即可求解.【详解】由题有400(120%)kQ Q e --=，设t 小时后污染物含量不超过20%，则0020%ktQ eQ -≤，解得28.8t ≥，即至少经过29小时能达到排放标准.故选：B.8.若实数ππ,,44x y ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，满足2sin 2sin2x x x y y =+，则（）A.2x y ≥B.2x y ≤C.2x y ≥ D.2x y≤【答案】C 【解析】【分析】构造函数()ππsin ,,22f x x x x ⎛⎫=∈-⎪⎝⎭，可得()f x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数，且为偶函数，再根据()()02f x f y -≥结合偶函数性质判断即可.【详解】设()ππsin ,,22f x x x x ⎛⎫=∈-⎪⎝⎭，则()f x 为偶函数，设12π02x x <<<，则因为,sin y x y x ==在π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上均为增函数，故120sin sin 1x x <<<，故()()11121222sin sin sin f x x x x x x x f x =<<=，故()f x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数，且()f x 为偶函数.又2sin 2sin2x x xy y =+，则20sin 2sin 2x x y y x -≥=，即()()02f x f y -≥，当且仅当0x y ==时取等号.故()()2f x f y ≥，故2x y ≥.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.在ABC 中（）A.若A B ≥，则cos cos A B ≤B.若A B ≥，则tan tan A B ≥C.()sin sin A B C +=D.sincos 22A B C+=【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，根据余弦函数的单调性判断；对B ，举反例判断；对CD ，根据三角形内角和为π结合诱导公式判断.【详解】对A ，在ABC 中π0A B >≥>，由余弦函数单调性可得cos cos A B ≤，故A 正确；对B ，若A 为钝角，B 为锐角，则tan 0tan A B <<，故B 错误；对C ，()()sin sin πsin A B C C +=-=，故C 正确；对D ，πsinsin cos 2222A B C C +⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD10.已知()f x x α=（R α∈）（）A.当1α=-时，()f x 的值域为RB.当3α=时，()()π3f f >C.当12α=时，()2f x 是偶函数 D.当12α=时，()2f x 是奇函数【答案】BC 【解析】【分析】根据幂函数的性质即可求解AB ，结合函数奇偶性的定义即可判断CD.【详解】当1α=-时，()1f x x=，此时()f x 的值域为{}0y y ≠，故A 错误，当3α=时，()3f x x =在R 上单调递增，所以()()π3f f >，B 正确，当12α=时，R x ∀∈，()()()()222f x f x f x =-=，所以()2f x 是偶函数，C 正确，当12α=时，()12f x x =，()0x ≥，则()2f x x =，()0x ≥，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，D 错误，故选：BC11.已知函数()22cos 21f x x x ωω=-（0ω>）的最小正周期为π，则（）A.2ω=B.函数()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数C.π,03⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心D.函数π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像关于y 轴对称【答案】BD 【解析】【分析】对A ，根据辅助角公式，结合最小正周期公式求解即可；对B ，根据πππ2,662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭判断即可；对C ，根据π23f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭判断即可；对D ，化简π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭判断即可.【详解】对A ，()π2cos 22sin 26f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又()f x 最小正周期为π，故2ππ2ω=，则1ω=，故A 错误；对B ，()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2,662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，为正弦函数的单调递增区间，故B 正确；对C ，ππ2sin 2032f ⎛⎫⎛⎫-=-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()f x 的一个对称中心，故C 错误；对D ，πππ2sin 22cos 2666f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为偶函数，图像关于y 轴对称，故D 正确.故选：BD12.已知函数()()()11cos π22121x x x f x -⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=++，则（）A.函数()f x 是周期函数B.函数()f x 有最大值和最小值C.函数()f x 有对称轴D.对于11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数()f x 单调递增【答案】BC 【解析】【分析】利用函数对称性的定义可判断C 选项；判断函数()f x 在13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，结合函数最值的定义可判断B 选项；利用特殊值法可判断D 选项；利用反证法结合B 选项中的结论可判断A 选项.【详解】因为()()()()()11πcos πsin π221212121x x x x x x f x --⎛⎫- ⎪⎝⎭==++++，对于C 选项，因为()()()()()()()1111sin π1sin π121212121xx x xx xf x f x -----⎡⎤⎣⎦-===++++，所以，函数()f x 的图象关于直线12x =对称，C 对；对于D 选项，因为()10f -=，()00f =，故函数()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，D 错；对于B 选项，因为函数()f x 的图象关于直线12x =对称，要求函数()f x 的最大值和最小值，只需求出函数()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的最大值和最小值即可，设()()()12121xx g x -=++，当112x ≤≤时，()()()122121322x x x x g x -=++=++，令2xt ⎤=∈⎦，因为函数2x t =在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，函数23y tt =++在⎤⎦上单调递增，所以，函数()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当1x ≥时，()()()121321212212xx x x g x --=++=+⋅+，因为函数212x y -=、3212xy =⋅+在[)1,+∞上均为增函数，所以，函数()2132212x x g x -=+⋅+在[)1,+∞上为增函数，所以，函数()()()12121xx g x -=++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，由对称性可知，函数()g x 在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上为减函数，故函数()g x 在12x =处取得最大值，且())2max 112g x g ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，故函数()1g x 在12x =处取得最小值，且最小值为())22111=+，当1322x ≤≤时，则π3ππ22x ≤≤，则函数()sin πh x x =在13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，对任意的1x 、213,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且12x x <，则()()12h x h x >，()()210g x g x >>，则()()12110g x g x >>，由不等式的基本性质可得()()()()()()112122h x h x h x g x g x g x >>，即()()12f x f x >，所以，函数()f x 在13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，又因为当12x =时，函数()sin πh x x =取得最大值，故函数()f x 仅在12x =处取得最大值，对任意的3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()32h x h ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，()1132g x g ≤⎛⎫ ⎪⎝⎭，若()0h x ≥，则()()32032h h x g x g ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥>⎛⎫⎪⎝⎭，若()0h x <，则()32h x h ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则()()03h x h <-≤-，则()()3232h h x g x g ⎛⎫ ⎪⎝⎭-≤-⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，()()3232h h x g x g ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述，对任意的3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()32f x f ⎛⎫≥⎪⎝⎭，又因为函数()f x 在13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故当12x ≥时，()f x 在32x =处取得最小值，综上所述，函数()f x 既有最大值，也有最小值，C 对；对于A 选项，由C 选项可知，函数()f x 仅在12x =处取得最大值，若函数()f x 是以()0T T >为周期的周期函数，则1122f T f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与题意矛盾，故函数()f x 不可能是周期函数，A 错.故选：BC.【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：（1）定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论；（2）图象法：如果函数()f x 是以图象的形式给出或者函数()f x 的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；（4）复合函数法：先将函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦分解为内层函数()u g x =和外层函数()y f u =，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定.非选择题部分（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.sin 2______0（填＞或＜）．【答案】＞【解析】【分析】判断角所在象限，然后根据正弦函数在每个象限的符号分析即可.【详解】π2π2<<，故2对应的角度终边在第二象限，则sin 20>；故答案为：>.14.函数()π2π200cos 30063f n n ⎛⎫=++⎪⎝⎭（{}1,2,3,,12n ∈⋅⋅⋅为月份），近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则可以推断，当n =______时，游客流量最大．【答案】8【解析】【分析】根据余弦函数性质求出函数()f n 的最大值及取最大值时n 的值，由此可得结论.【详解】因为{}1,2,3,,12n ∈⋅⋅⋅，所以π2π5π7π4π3π5π11π13π7π5π8π,π,,,,,,2π,,,,636632366323n ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭，所以当π2π2π63n +=，即8n =时，π2πcos 63n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭取最大值1，所以8n =时，()f n 取最大值，又游客流量越大所需服务工作的人数越多，所以8n =时，游客流量最大．15.已知函数()222,0,log ,0,x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩则方程()()2f f x =的所有根之积为______．【答案】14##0.25【解析】【分析】解方程()()2ff x =，可得出该方程的根，再将所有根全部相乘，即可得解.【详解】令()t f x =，由()()2ff x =可得()2f t =，当0t ≤时，由()222f t t t =--=，即2220t t ++=，则4420∆=-⨯<，即方程2220t t ++=无解；当0t >时，由()2log 2f t t ==，可得14t =或4t =.（1）当14t =时，当0x ≤时，由()2124f x x x =--=可得21204x x ++=，解得122x -+=，222x -=，当0x >时，由()21log 4f x x ==可得1432x =，1442x -=；（2）当4t =时，当0x ≤时，由()224f x x x =--=可得2240x x ++=，4440∆=-⨯<，方程2240x x ++=无解，当0x >时，由()2log 4f x x ==可得452x =，462x -=，因此，方程()()2f f x =的所有根之积为12345614x x x x x x=.故答案为：14.16.若函数()()22ln 1k f x x k x x +⎛⎫=+++⋅+ ⎪⎝⎭的值域为()0,∞+，则实数k 的最小值为______．【答案】2-【解析】【分析】结合题意由值域为()0,∞+转化221x k x +>-+，结合基本不等式求出最值即可.【详解】根据题意，函数()()22ln 1k f x x k x x +⎛⎫=+++⋅+ ⎪⎝⎭的定义域为()()1,00,-⋃+∞，因为()f x 的值域为()0,∞+，所以()()22ln 10k f x x k x x +⎛⎫=+++⋅+> ⎪⎝⎭在()()1,00,-⋃+∞上恒成立，当10x -<<时，则011x <+<，则()ln 10x +<，此时必有220k x k x ++++<，变形可得221x k x +>-+，当0x >时，则11x +>，则()ln 10x +>，此时必有220k x k x ++++>，变形可得221x k x +>-+，综合可得：221x k x +>-+在()()1,00,-⋃+∞上恒成立，设()21x g x x =+，()()1,00,x ∈-⋃+∞，则()()2211111121111x x g x x x x x x x -+===-+=++-++++，因为()()1,00,x ∈-⋃+∞，所以10,x +>且11x +≠，由基本不等式可得()()112201g x x x =++->=+，即()0g x >，所以()201x g x x -=-<+，因为221x k x +>-+在()()1,00,-⋃+∞上恒成立，所以20k +≥，解得2k ≥-，故实数k 的最小值为2-.故答案为：2-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用参变分离得到221x k x +>-+，再运用函数及基本不等式的思想研究不等式.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算下列各式的值：（1）2log 3333log 2log 52log 2+-；（2）()()222164121248818x xxx x x x---⎛⎫-+-++++ ⎪+⎝⎭．【答案】（1）3（2）4【解析】【分析】（1）根据对数的运算法则可得答案；（2）由指数幂的运算法则及平方和，立方差等公式计算可得答案.【小问1详解】结合题意可得：2log 3333log 2log 52log 2+-+()333log 25log 103log 133=⨯-+=+=;【小问2详解】结合题意可得：()()()()()232218181641212488128281818x x x x x x x x xxxx x --------+⎛⎫-⎡⎤+-+++++-+++ ⎪⎢⎥=⎣⎦++⎝⎭18188284x x x x --=-+-+++=.18.已知向量()1,2a =r，b = ．（1）若a b ∥，求b的坐标；（2）若()()52a b a b -+⊥+ ，求a 与b 的夹角．【答案】（1）()2,4b = 或()2,4b =--（2）π3．【解析】【分析】（1）设(),2b a λλλ==r r，结合向量的模长公式求解即可；（2）根据垂直向量数量积为0，结合向量的夹角公式求解即可.【小问1详解】由题意，设(),2b a λλλ==r r．b ==，2λ∴=±，()2,4b ∴=或()2,4b =--．【小问2详解】()()52a b a b -+⊥+ ，()()520a b a b ∴-+⋅+=，225320a ab b ∴--⋅+= ，即2532200a b --⋅+⨯= ，5a b ∴=⋅ ．设a 与b的夹角为θ，则1cos2a a b bθ⋅===．又[]0,πθ∈，π3θ∴=，a ∴r 与b 的夹角为π3．19.已知函数()22cossin sin 22x x f x x =-+．（1）求函数()f x 的最小正周期与对称轴方程；（2）当()00,πx ∈且()05f x =时，求0π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）最小正周期为2π，对称轴方程为()ππ4x k k =+∈Z（2）10【解析】【分析】（1）利用三角恒等化简函数()f x 的解析式，利用正弦型函数的周期公式可得出函数()f x 的最小正周期，利用正弦型函数的对称性可得出函数()f x 的对称轴方程；（2）由已知条件可求出0πsin 4x ⎛⎫+⎪⎝⎭的值，利用同角三角函数的基本关系求出0πcos 4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用两角和的正弦公式可求得0π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【小问1详解】解：由题设有()πcos sin 4f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以，函数()f x 的最小正周期是2πT =，由()πππ42x k k +=+∈Z ，可得()ππ4x k k =+∈Z ，所以，函数()f x 的对称轴方程为()ππ4x k k =+∈Z .【小问2详解】解：由()05f x =0π3245x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即0π3sin 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()00,πx ∈，所以0ππ5π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭．若0πππ,442x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则0πsin 42x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭与0π3sin 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，矛盾则0ππ,π42x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭．从而0π4cos 45x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．于是000πππππ64646f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦00ππππsin cos cos sin 4646x x ⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦33413642525210⎫-=⨯-⨯=⎪⎪⎝⎭．20.如图，在扇形OPQ 中，半径1OP =，圆心角π3POQ ∠=，A 是扇形弧上的动点，过A 作OP 的平行线交OQ 于B ．记AOP α∠=．（1）求AB 的长（用α表示）；（2）求OAB 面积的最大值，并求此时角α的大小．【答案】（1）3cos sin 3AB αα=-（2）π6α=时，面积的最大值为312．【解析】【分析】（1）过A ，B 作OP 的垂线，垂足分别为C ，D ，由AB OD OC =-求解；（2）由11cos sin sin 223S AB BC ααα⎛⎫=⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭33sin 26612πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭求解．【小问1详解】解：过A ，B 作OP 的垂线，垂足分别为C ，D，则cos OD α=，sin BC α=，OC ∴cos sin 3AB CD αα∴==-．【小问2详解】()11313cos sin sin sin 21cos 2223412S AB BC ααααα⎛⎫=⨯=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，31333sin 2cos 2sin 222126612πααα⎛⎫⎛⎫=+-=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭．03πα<<，52666πππα∴<+<，262ππα∴+=，即6πα=时，61212S =-=最大，因此，当6πα=时，面积的最大值为12．21.已知函数()()e 1exxf x a -=-+．（1）当1a =-时，讨论()f x 的单调性（不必给出证明）；（2）当1a =时，求()f x 的值域；（3）若存在1x ，()2,0x ∈-∞，使得()()120f x f x ==，求1222e e x x +的取值范围．【答案】（1）()f x 在R 上单调递减（2）[)1,+∞（3）1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据函数之差的单调性判断即可；（2）根据基本不等式求解即可（3）令()e 0,1x t=∈，再根据二次函数的零点存在性问题列式可得4a >，再根据韦达定理求解即可.【小问1详解】当1a =-时，()ee 1xx f x -=-+，因为e x y -=为减函数，e x y =为增函数，故()f x 在R 上单调递减；【小问2详解】当1a =时，()e e 111x x f x -=+-≥=，当且仅当0x =时取等号；所以()f x 的值域为[)1,+∞．【小问3详解】令()e 0,1x t=∈，则问题等价于存在1t ，()20,1∈t ，使得210at at -+=令()21gt at at =-+，因为()g t 在()0,1t ∈有两个零点，故()()200010101240a g g a a >⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪<<⎪⎪->⎩，即201010101240a a a >⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪<<⎪⎪->⎩解得4a >．由韦达定理和根的定义可知：121t t +=，121t t a=．()12222221212122e e 21x x t t t t t t a∴+=+=+-=-又因为4a >，故1222e e x x +的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用换元法，设()e 0,1x t =∈，将指数方程转化为一元二次方程，最后利用二次函数根的分布从而得到范围.22.二次函数()f x 的最大值为34，且满足()()22f x f x -=-，()114f =-，函数()()0k g x k x=≠．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若存在[]01,1x ∈-，使得()()00f x g x =，且()()f x g x -的所有零点构成的集合为M ，证明：[]1,1M ⊆-．【答案】（1）()234f x x =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分析可知函数()f x 为偶函数，根据题意设()234f x ax =+，其中a<0，由()114f =-可求出a 的值，即可得出函数()f x 的解析式；（2）由()()0f x g x -=可得()22000304x x xx x x ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭，令()220034x x x x x ϕ=++-，分01x =、01x =-、()()01,00,1x ∈- 三种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，直接利用零点存在定理可证得结论成立，综合可得出结论.【小问1详解】解：令2t x =-，由()()22f x f x -=-可得()()f t f t =-，所以，函数()f x 为偶函数，又因为二次函数()f x 的最大值为34，可设()234f x ax =+，其中a<0，则()31144f a =+=-，解得1a =-，所以，()234f x x =-.【小问2详解】解：因为()()00f x g x =，即20034k x x -=，所以30034k x x =-+，其中[)(]01,00,1x ∈- ．由()()0f x g x -=，化简可得330033044x x x x --+=即()22000304x x xx x x ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭．令()220034x x x x x ϕ=++-，由判别式222000343304x x x ⎛⎫∆=--=-≥ ⎪⎝⎭，可知()0x ϕ=在R 上有解，①当01x =时，()2220031044x x x x x x x ϕ=++-=++=，此时[]1,11,12M ⎧⎫=-⊆-⎨⎬⎩⎭；②当01x =-时，()2220031044x x x x x x x ϕ=++-=-+=，此时[]1,11,12M ⎧⎫=⊆-⎨⎬⎩⎭；③当()()01,00,1x ∈- 时，()x ϕ的对称轴是011,222x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，因为2222000003330242444x x x x x ϕ⎛⎫-=-+-=-< ⎪⎝⎭，()22200000311110442x x x x x ϕ⎛⎫-=-+-=-+=-≥ ⎪⎝⎭，()22200000311110442x x x x x ϕ⎛⎫=++-=++=+≥ ⎪⎝⎭，由零点存在定理可知，函数()x ϕ在区间01,2x ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦、0,12x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上各有一个零点，不妨设函数()x ϕ在区间01,2x ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦、0,12x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的零点分别为1x 、2x ，此时{}[]012,,1,1Mx x x =⊆-．综合①②③，[]1,1M⊆-成立．【点睛】关键点点睛：考察二次函数的零点，一般需要考虑以下几个要素：（1）二次项系数的符号；（2）判别式；（3）对称轴的位置；（4）区间端点函数值的符号.。
2024年华师大二附中高一数学3月份检测试卷附答案解析
2024年华师大二附中高一数学3月份检测试卷（试卷满分150分．考试用时120分钟）2024年3月一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分．1．已知10x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬⎩⎭，{}1B x x =≥，则A B = ．2．函数()212()log 325f x x x =-+的单调递减区间为.3．若α为第二象限角，sin cos 2αα=，则sin α=．4．点A 从(1,0)出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点B ，若点B 的坐标是34(,55-,记AOB α∠=,则sin 2α=．5．已知()2131xx f x +=+，则33f ⎫=⎪⎪⎝⎭．6．已知α，β为锐角，1cos 7α=，sin()αβ+=cos β=．7．已知扇形的周长为20cm ，当扇形的面积最大时，扇形圆心角弧度为．8．把)2sin cos xx x +-化为sin()(0,0,[0,2))A x A ωϕωϕπ+>>∈的形式.9．若33sin cos cos sin ,02θθθθθπ-≥-≤<，则角θ的取值范围是．10．若对满足·360k αβ+≠︒的任何αβ、都有()()sin 30sin 30cos cos αβαβ+︒+-︒-=cot2m n βα-+，则数组(),=m n ．11．设()111f x x x x=++-，若存在a ∈R 使得关于x 的方程()()()20f x af x b ++=恰有六个解，则b 的取值范围是．12．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意12,x x ，都有()()()1212f x x f x f x +=+，且当0x <时，()0f x <；若对任意π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()4sin 22sin cos 320sin cos fm f m θθθθθ⎛⎫⎡⎤-++-++> ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知,a b 为实数，则“1,1a b >>”是“log 0a b >”的（）条件．A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既非充分又非必要14．如果θ是第一象限角，则（）A ．sin 20θ>且tan 20θ>B ．sin 02θ>且tan 20θ>C ．sin 20θ>且θtan 02>D ．sin02θ>且θtan02>15．已知π,Z 2k k θ≠∈，以下命题中所有正确的命题有（）个①已知sin ,sec θθ的值，则可以确定θ的其余四个三角比的值②已知θ的两个三角比的值，则可以确定θ的其余四个三角比的值③已知tan θ的值，则可以确定θ的其余五个三角比的绝对值④已知sec θ的值和sin θ的符号，则可以确定θ所有六个三角比的值A ．4B ．3C ．2D ．116．设1x ，2x 分别是函数()xf x x a -=-和()log 1a g x x x =-的零点（其中1a >），则129x x +的取值范围是（）A ．[)6,+∞B ．()6,+∞C ．[)10,+∞D ．()10,+∞三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17．已知α，β均为锐角，且4cos 5α=，1tan()3αβ-=-．(1)求cos()αβ-的值；(2)求sin β的值．18．定义一个新运算，已知(),a x y = ，则a = 已知)()sin cos ,sin cos ,π,2πa θθθθθ=++∈r ，且a = πcos 28θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与sin θ的值19．2023年10月17日，雅万高铁正式开通运营，标志着印度尼西亚迈入高铁时代，中国印度尼西亚共建“一带一路”取得重大标志性成果.中国高铁正在成为共建“一带一路”和国际产能合作的重要项目.国内某车辆厂决定从传统型、智能型两种型号的高铁列车车厢中选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种型号车厢的有关数据如下表（单位：百万元）年固定成本每节车厢成本每节车厢价格每年最多生产的节数传统型20m 10200节智能型40818120节已知()28R m m ≤≤∈，每销售n 节智能型车厢时，需上交20.1n 百万元用于当地基础建设.假设生产的车厢当年都能销售完.(1)设1y 、2y 分别为该厂投资传统型和智能型两种型号车厢的年利润，分别求出1y 、2y 与年产量x 之间的函数关系式；(2)①分别求出生产两种型号车厢的平均利润的最大值；②要使生产两种型号车厢的平均利润最大，该厂应该选择生产哪种型号车厢？20．已知直角梯形ABCD ，//AD BC ，π2ABC ADE ∠=∠=，1AB =，扇形圆心角BAE x ∠=，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，如图，将ADC △，ABC 以及扇形BAE 的面积分别记为()()()p x q x s x ,,(1)写出()()()p x q x s x ,,的表达式，并指出其大小关系（不需证明）；(2)用tan2x表示梯形ABCD 的面积()t x ；并证明：()()2t x s x >⋅；(3)设()()()p x f x s x =，π02ααϕ<<+<，试用代数计算比较()f α与()f αϕ+的大小.21．若函数()y f x =满足在定义域内的某个集合A 上，()()()22x xf x x A -∈是一个常数，则称()f x 在A上具有P 性质.若I 是函数()y f x =定义域的一个子集，称函数()()g x f x =，x I ∈是函数()y f x =在I 上的限制.(1)设()y f x =是[]3,3-上具有P 性质的奇函数，求[]3,3x ∈-时不等式()32f x >的解集；(2)设()y f x =为[]3,3-上具有P 性质的偶函数.若关于x 的不等式()()220f x m f x +⋅<在[]3,3-上有解，求实数m 的取值范围；(3)已知函数()y f x =在区间[]1,1-上的限制是具有P 性质的奇函数，在[)(]2,11,2-- 上的限制是具有P 性质的偶函数.若对于[]22-,上的任意实数1x ，2x ，3x ，不等式()()()1234f x f x mf x ++>恒成立，求实数m 的取值范围.1．{}1【分析】解不等式，再求交集.【详解】10x x -≤等价于()100x x x ⎧-≤⎨≠⎩，解得01x <≤，即{}01A x x =<≤.则A B = {}1.故答案为：{}12．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】先求得()f x 的定义域，根据复合函数单调性同增异减求得正确答案.【详解】由222143253033x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以()f x 的定义域是R ，函数2325y x x =-+的开口向上，对称轴是直线13x =；函数12log y x =在()0,∞+上单调递减，根据复合函数单调性同增异减可知()f x 的单调递减区间是1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭3．12##0.5【分析】利用二倍角的余弦公式得到关于sin α的方程，解得即可.【详解】sin cos 2αα= ，2sin 12sin αα∴=-，解得1sin 2α=或sin 1α=-αQ 为第二象限角，1sin 2α∴=.故答案为：124．2425-【详解】点A 从()1,0出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点B ,且AOB α∠=,所以点B 的坐标是()cos ,sin αα,故cos α=35-,sin α=45, sin2α=2sin αcos α=2425-,故填2425-.5．52##2.5【分析】根据函数解析式，令333x=，得12x=-，代入函数解析式计算即可求解.【详解】由题意得，21 (3)1xxfx+=+，令3x=123-=，得12x=-，∴21215152431132122f f-⎛⎫-+⎪⎛⎛⎫⎝⎭====⎪⎝⎭⎝⎭-+．故答案为：5 2 .6．12【详解】试题分析：因为α，β为锐角，1cos7α=，sin()αβ+=，所以sinα=，11cos()14αβ+==±，当11cos()14αβ+=时，[]111sin sin()sin()cos cos()sin0714βαβααβααβα=+-=+-+=-⨯，与sin0β>矛盾，所以[]11153431cos cos(+)cos()cos sin()sin1471472βαβααβααβα=-=+++=-⨯+⨯=.所以答案应填：12．考点：1、同角三角函数基本关系式；2、两角和差的正弦余弦公式．【思路点睛】先利用同角三角函数基本关系式中平方关系结合已知α，β为锐角，1cos7α=，sin()14αβ+=，求出sinα，cos()αβ+，而cos()αβ+有两个值，因此分11cos()14αβ+=和11cos()14αβ+=-来讨论，当11cos()14αβ+=时，计算出sin0β<，与sin0β>矛盾，因此11cos()14αβ+=-，再利用两角差的余弦公式求得[]1cos cos(+)2βαβα=-=．本题主要考查同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦余弦公式的应用以及整体思想、分类讨论思想的运用．属于中档题．7．2【解析】根据扇形的弧长与半径的关系，建立等式，然后根据面积公式转化成关于r的二次函数，通过解二次函数最值即可得到结论.【详解】因为扇形的周长为20，所以220l r+=，即202l r=-则扇形的面积为()()22112021052522S lr r r r r r==-⋅=-+=--+所以当半径=5r时，扇形的面积最大为25，故答案为：2【点睛】本题考查扇形相关性质，同时利用二次函数性质，难度较易.8．52sin(2)3x π+【分析】根据三角恒等变换公式化简计算即可.【详解】)22sin cos 2sin cos xx x x x x +=+-cos 2)sin 2x x =-+sin 22x x=12(sin 22)2x x =-552(cos sin 2sin cos 2)33x x ππ=+52sin(23x π=+.故答案为：52sin(2)3x π+.【点睛】本题考查三角恒等变换，注意辅助角的范围，属基础题.9．5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】首先构造函数()3f x x x =+，利用定义法证明函数恒单调递增，则将原不等式变形后可得()()sin cos f f θθ≥，由单调性可得sin cos θθ≥，则答案可求.【详解】构造函数()3f x x x =+，令12x x <，则()()333322121122121212112212()()()()()f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x -=+-+=-+-=-+++-22221211221212213()(1)()1024x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+++=-+++<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在R 上单调递增，原式变形得33sin sin cos cos θθθθ+≥+，即()()sin cos f f θθ≥所以sin cos θθ≥，又02θπ≤<，则544ππθ≤≤.⎢⎥⎣⎦.10．()1,,.22m n ⎫=⎪⎪⎝⎭【详解】式①左边602sincos22=2sin sin22αβαβαβαβ+-+︒+--122βα-=+，与式①右边比较得1.2m n ==故答案为()1,2m n ⎫=⎪⎪⎝⎭11．2,)+∞【分析】作出f (x )的图像，当0x <时，min ()1f x =，当0x >时，min ()2f x =.令()t f x =，则20t at b ++=，则该关于t 的方程有两个解1t 、2t ，设1t ＜2t，则11)t ∈+，21,)t ∈+∞.令2()g t t at b =++，则(2)01)0g g >⎧⎪⎨<⎪⎩，据此求出a 的范围，从而求出b 的范围．【详解】当1x ≥时，11()11f x x x x x =++-=+，当01x <<时，112()11f x x x x x x =++-=+-，当0x <时，112()11f x x x x x x=--+-=--+，则f (x )图像如图所示：当0x <时，2()11f x x x=--+≥，当0x >时，min ()2f x =．令()t f x =，则20t at b ++=，∵关于x 的方程()()()20f x af x b ++=恰有六个解，∴关于t 的方程20t at b ++=有两个解1t 、2t ，设1t ＜2t ，则11)t ∈，21,)t ∈+∞，令2()g t t at b =++，则(2)4201)91)0g a b g a b =++>⎧⎪⎨=++++<⎪⎩，∴42b a -->且a <要存在a 满足条件，则42b --<2b >．故答案为：2,)+∞．12．()3,+∞【分析】采用赋值法可求得()f x 为奇函数，由奇函数性质可确定当0x >时，()0f x >；利用已知关系式可将不等式化为()()4sin 22sin cos 320sin cos f m m θθθθθ⎛⎫⎡⎤-++-++> ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭，令πsin cos sin 4t θθθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，采用分离变量法可得2m t t >+，结合对勾函数性质可求得结果.【详解】令120x x ==，则()()()000f f f =+，解得：()00f =；取1x x =，2x x =-，则()()()f x x f x f x -=+-，即()()0f x f x +-=，()f x \为定义在R 上的奇函数；当0x <时，()0f x <，∴当0x >时，()0f x >；令πsin cos sin 4t θθθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则2sin 22sin cos 1t θθθ==-，当π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ3π444,θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，πsin ,14θ⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，t ⎡∴∈⎣；由()()()4sin 22sin cos 320sin cos f m f m θθθθθ⎛⎫⎡⎤-++-++> ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭得：()()4sin 22sin cos 320sin cos f m m θθθθθ⎛⎫⎡⎤-++-++> ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭；()()4sin 22sin cos 320sin cos m m θθθθθ∴-++-++>+，即()2412320t m t m t --+-++>，()()()2222t t m t t t-∴->-+，t ⎡∈⎣，22t ⎡⎤∴-∈-⎣⎦，2m t t∴>+，2y t t =+在⎡⎣上单调递减，max 2123t t ⎛⎫∴+=+= ⎪⎝⎭，3m ∴>，即m 的取值范围为()3,+∞.故答案为：()3,+∞.【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的恒成立问题的求解；本题的解题关键是能够采用赋值法，结合抽象函数关系式得到函数的奇偶性，结合已知关系式可将恒成立的不等式转化为自变量满足的不等式，从而采用分离变量法进行求解.13．A【分析】根据充分条件、必要条件的定义以及对数函数的性质判断.【详解】由01log 0log log 101a a a a b b b <<⎧>⇒>⇒⎨<<⎩或11a b >⎧⎨>⎩，所以由1,1a b >>推得出log 0a b >，故充分性成立，由log 0a b >推不出1,1a b >>，故必要性不成立，所以“1,1a b >>”是“log 0a b >”的充分非必要条件.故选：A 14．C【分析】根据θ的象限确定2θ的象限，即可排除B 、D ，再确定2θ的象限，即可排除A.【详解】因为θ是第一象限角，则π2π2π2k k θ<<+，Z k ∈，所以πππ24k k θ<<+，Z k ∈，所以2θ是第一或第三象限角，则sin02θ>或sin02θ<，θtan02>，故排除B 、D ；又4π2π4πk k θ<<+，Z k ∈，所以2θ的终边在第一、第二象限或在y 轴正半轴，则sin 20θ>，当2θ的终边在y 轴正半轴时tan 2θ无意义，故排除A.故选：C 15．B【分析】利用三角函数的定义，逐一判断各个命题即得.【详解】依题意，sin csc 1θθ=，cos sec 1θθ=，sin tan cos θθθ=，tan cot 1θθ=，给定sin ,sec θθ，可求出csc θ，cos θ，tan θ，cot θ，①正确；已知θ的两个三角比的值，如给出tan θ与cot θ的值，由于tan cot 1θθ=，相当于只给出其中一个值，显然sin ,cos ,sec ,csc θθθθ值的正负不确定，此时不能确定θ的其余四个三角比的值，②错误；由tan θ的值，可求出cot θ的值，由sin tan cos θθθ=及22sin cos 1θθ+=可求出|sin |,|cos |θθ，进而可求出|csc |,|cot |θθ，因此tan θ的值，则可以确定θ的其余五个三角比的绝对值，③正确；由sec θ的值，可求出cos θ的值，由|sin |θ=sin θ的符号可求出sin θ，进而可求出csc θ，tan θ，cot θ，④正确，所以所有正确的命题有3个.故选：B 16．D【解析】根据零点定义,可得1x ,2x 分别是1xa x =和1log a x x=的解.结合函数与方程的关系可知1x ,2x 分别是函数1y x=与函数x y a =和函数log a y x =交点的横坐标,所以可得101x <<,21x >.而x y a =与log a y x =互为反函数,则由反函数定义可得121x x ⋅=.再根据基本不等式,即可求得12x x +的最小值,将129x x +化为1228x x x ++,即可得解.【详解】因为1x ,2x 分别是函数()xf x x a -=-和()log 1a g x x x =-的零点则1x ,2x 分别是1xa x =和1log a x x=的解所以1x ,2x 分别是函数1y x=与函数x y a =和函数log a y x =交点的横坐标所以交点分别为121211,,,x x x x A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为1a >所以101x <<,21x >由于函数1y x=与函数x y a =和函数log a y x =都关于y x =对称所以点A 与点B 关于y x =对称因为111,A x x ⎛⎫⎪⎝⎭关于y x =对称的点坐标为111,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以121x x =即121x x ⋅=,且12x x ≠所以129x x +1228x x x =++28x ≥228x >+,由于12x x ≠,所以不能取等号因为21x >所以2282810x +>+=即()12910,x x +∈+∞故选:D【点睛】本题考查了反函数的定义及性质综合应用,函数与方程的关系应用,基本不等式求最值,综合性强,属于难题.17．sin β【分析】（1）法一，根据平方关系和α是锐角即可得出sin α，再利用基本关系式即可得出tan α，利用两角和的正切公式即可得出tan β，利用基本关系式可得sin β，cos β，利用两角和的余弦公式展开即可得出答案．法二：令αβθ-=，根据已知条件求出θ的范围，利用商数关系、平方关系求出cos θ可得答案；（2）由（1）可得sin β.【详解】（1）法一： π02α<<，4cos 5α=，∴3sin 5α==，∴sin 3tan cos 4ααα==，3tan tan tan 14tan()31tan tan 31tan 4βαβαβαββ---===-++，解得13tan 9β=，联立22sin 13cos 9sin cos 1ββββ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，β为锐角，解得sin 50cos 50ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，43cos()cos cos sin sin 55αβαβαβ∴-=+=法二：令αβθ-=，因为α，β均为锐角，且1tan()3αβ-=-，所以1π,02θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，由sin 1tan cos 3θθθ==-得1sin cos 3θθ=-，∴221cos cos 19θθ+=，解得cos 10θ=，所以cos()αβ-=；（2）由（1）可得sin β=．18．π4cos ,sin 285θθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭【分析】根据题意结合三角恒等变换整理得π7cos 425θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再结合角的范围利用三角恒等变换分别求πcos ,sin 28θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，注意三角函数值的符号.【详解】因为)sin cos ,sin cos a θθθθ=++，可得a ===由a= 825=，解得π7cos 0,4252θ⎛⎛⎫+=∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，且()π,2πθ∈，则π5π9π,444θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，可得π3π,2π42θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π24sin 425θ⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，所以ππππππsin sin sin cos cos sin 444444θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦又因为2ππ7cos 2cos 142825θθ⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得π4cos 285θ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，由()π,2πθ∈可知π5π9π,2888θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则πcos 028θ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以π4cos 285θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.19．(1)答案见解析(2)①答案见解析；②答案见解析.【分析】（1）根据题意可得出1y 、2y 与年产量x 之间的函数关系式，并标出x 的取值范围；（2）①求出两种车厢平均利润的表达式，利用函数的单调性、基本不等式可求得两种车厢利润的最大值；②将两种车厢利润最大值作差，对实数m 的取值进行分类讨论，比较大小后可得出结论.【详解】（1）解：由题意可得()11020y m x =--，其中0200x ≤≤，x ∈N ，()222188400.10.11040y x x x x =---=-+-，其中0120x ≤≤，x ∈N .（2）解：传统型车厢平均利润为12010y m x x=--，其中0200x <≤，x ∈N ，智能型车厢平均利润为2401010y x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中0120x <≤，x ∈N ，令()12010y f x m x x==--，其中0200x <≤，x ∈N ，()2401010y x g x x x ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，其中0120x <≤，x ∈N ，①函数()f x 在(]0,200上单调递增，则()()max 9920010f x f m ==-，由基本不等式可得()401010610x g x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭，当且仅当()400120,10xx x x =<≤∈N 时，即当20x =时，等号成立，所以，传统型车厢平均利润的最大值为9910m ⎛⎫- ⎪⎝⎭百万元，智能型车厢平均利润的最大值为6百万元；②()()max max 993961010f xg x m m -=--=-，当2 3.9m ≤<时，()()max max 0f x g x ->，投资传统型车厢可获得最大利润，且最大利润为()9.9m -百万元；当 3.9m =时，()()max max 0f x g x -=，投资两种车厢可获得一样的最大利润，且最大利润为6百万元；当3.98m <≤时，()()max max 0f x g x -<，投资智能型车厢可获得最大利润，且最大利润为6百万元.20．(1)()()()111sin tan 222p x x q x x s x x ==,=,，()()()p x s x q x <<(2)()42tan21tan 2xt x x=-，证明见解析，(3)()()f f αϕα+<【分析】（1）根据锐角三角函数，以及扇形的面积公式即可求解，（2）根据二倍角公式即可得()42tan21tan 2xt x x=-，利用()22224tantanπ22221tantan ,4221tan 1tan 1tan 1tan 1tan22222x x x x x x x t x x x x x x =>>∴=+>+=+-+--，即可由放缩法求证，或者构造函数()sin tan 2,g x x x x =+-利用导数求解单调性即可求证，（3）利用和差角公式，以及tan sin ,sin cos 0,sin 0ααααααϕϕ>>∴>>>>即可作差比较大小，或者构造函数()cos sin ,m x x x x =-求导判断单调性，即可利用()f x 的单调性求解.【详解】（1）由题意可得sin sin ,tan tan AD AE x x BC AB x x ====，所以()()()2111111sin tan 222222p x AD AB x q x BC AB x s x AB x x ⋅=⋅==⋅==,=,，如图：在单位圆中，设AOB x ∠=，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则2111111sin sin ,tan ,222222AOB BOM AOBS OB OA x x S OB BM x SOA x x =⋅==⋅=== 扇形，由于AOB BOM AOB S S S << 扇形，所以sin tan <<x x x ，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此()()()p x s x q x <<.（2）()2242sin cos tan 2tan tan 2tansin tan 2222222221tan 1tan 1tan 222x x x x x x AD BC x x t x AB x x x ⎛⎫+⨯ ⎪++⎝⎭=⋅===+=+--，方法一：由()22224tantanπ22221tantan ,4221tan 1tan 1tan 1tan 1tan22222x x x x x x xt x x x x x x =>>∴=+>+=+-+--.所以()()44111tan 1tan 222t x x x x x xx s ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⋅>--⎭-，由于π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()π0,,tan 0,1242x x ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，所以()()41101tan 22x x t x s x ⎛⎫--⋅>⎪->⎪ ⎪⎝⎭故()()2t x s x >⋅，方法二：由于()()sin tan sin tan 2222t x x x x xs x x x ++---⋅==，令()sin tan 2,g x x x x =+-则()21cos 2cos g x x x'=+-，由于π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()2cos 0,1,cos cos x x x ∈∴>，故()22211cos 2cos 2220cos cos g x x x x x '=+->+->=，因此()g x 在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，故()(0)0g x g >=，所以sin tan 20,x x x +->因此()()()()sin tan 22202t x s x t x s x xx x +⇒-⋅>-=⋅>.（3）方法一：由于()sin (),()p x xf x s x x ==所以()()()()()()sin sin sin sin f f αϕααϕααϕαααϕααϕααϕ++-+-+=-=++，()()()()sin sin sin sin sin cos cos sin ααϕααϕααϕαααϕααϕααϕααϕ+-++--==++[]()sin 1cos sin cos sin ααϕϕαααϕααϕ-+-=+由于π02ααϕ<<+<，所以tan sin ,sin cos 0,sin 0ααααααϕϕ>>∴>>>>，故sin cos sin 0ϕαααϕ->，()sin 1cos 0,αααϕ-+>⎡⎤⎣⎦()()[]()sin 1cos sin cos sin 0f f ααϕϕαααϕααϕααϕ-+--+=>+，因此()()f f αϕα+<.方法二：：()2()sin cos sin (),()p x x x x xf x f x s x x x -'===，记()cos sin ,m x x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()cos sin cos sin 0m x x x x x x x '=--=-<，故()m x 在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减，故()(0)0m x m <=，所以()2cos sin 0x x x f x x -'=<，故()f x 在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减，由于π02ααϕ<<+<，所以()()f f αϕα+<.【点睛】本题考查了三角恒等变换，应用面积关系证明出关键不等式sin tan <<x x x ，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，结合二倍角公式以及弦切互化关系，即可由三角函数的性质求解，而证明不等式时，常采用放缩法或者作差法，将一些基本的不等关系进行适当的放缩，或者利用作差法求解，多注意不等式的变形形式，比如本题的由sin tan <<x x x 得sin ,cos sin x x x x x <<是解决本题第三问的关键.21．(1)(]1,3(2)12m <-(3)24,317m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【分析】（1）设()()22xxf x a -=，根据奇函数确定()122xxf x =-+，再解不等式即可.（2）设()22x x a f x =+，根据函数为偶函数，得到1a =，不等式转化为12k m k <-，根据函数的值域和单调性计算最值得到答案.（3）确定函数的解析式，根据函数的单调性计算函数的值域为33517,,2224⎡⎤⎛⎤- ⎢⎥⎣⎦⎝⎦，再考虑0m >，0m =，0m <三种情况，分别计算综合得到答案.【详解】（1）设()()22xxf x a -=，则()22xxa f x =+，函数为奇函数，故()010f a =+=，1a =-，则()122x x f x =-+，()()112222x x x x f x f x ---=-+=-+=-，函数为奇函数，满足，13222x x -+>，设2xt =，132t t -+>，解得2t >或21t <-（舍）即22x >，解得1x >，故(]1,3x ∈（2）设()()22xxf x a -=，则()22xxa f x =+，函数为偶函数，故()()1222222x x x x x x a a f x a f x ---=+=⋅+==+，故1a =，()122xxf x =+，()()220f x m f x +⋅<，即2211222022x x xx m ⎛⎫+++< ⎪⎝⎭，设122xx k +=，[]3,3x ∈-，则12,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数1y x x =+在1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在[]1,8上单调递增，故16522,28xx k ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦，2222111122222222202222x x x x x x x x m m k mk ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++-=+-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即22122k k m k k -<=-，函数12k y k =-在652,8k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，故max 11212222k k ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，故12m <-.（3）根据（1）（2）知：()[][)(]12,1,1 212,2,11,22x x x xx f x x ⎧-+∈-⎪⎪=⎨⎪+∈--⋃⎪⎩，当[]1,1x ∈-时，()122x x f x =-+，设2xb =，则1,22b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1y b b =-+，函数单调递增，133,22y b b ⎡⎤=-+∈-⎢⎥⎣⎦，(]1,2x ∈时，()122x x f x =+，设2xc=，则(]2,4c ∈，1y c c=+单调递增，故1517,24y c c ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦，函数在[)(]2,11,2-- 上的偶函数，故()15172,224x x f x ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦，综上所述：()33517,,2224f x ⎡⎤⎛⎤∈- ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦ ()()()1234f x f x mf x ++>，当0m >时，即()()min max 24f x mf x +>，即17344m -+>，解得417m <；当0m =时，即()min 240f x +>，即340-+>，成立；当0m <时，即()()min min 24f x mf x +>，即3342m -+>-，解得23m >-；综上所述：24,317m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义，涉及函数的单调性，奇偶性，值域，不等式恒成立和能成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用换元法求函数值域是解题关键，换元法可以简化运算，是常考的方法，需要熟练掌握.。
高一数学测试卷及答案详解(附答案)
（1）求函数 的定义域；
（2）讨论函数 的单调性.
17.正方体 中，求证：（1） ；
（2） .
18.一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其中有一个高为 cm的内接圆柱.
（1）试用 表示圆柱的侧面积；
（2）当 为何值时，圆柱的侧面积最大？
19.求二次函数 在 上的最小值 的解析式.
B DB
A C C A C E
A. D、E、F B. E、D、F C. E、F、D D. F、D、E
第二部分非选择题（共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
11.幂函数 的图象过点 ，则 的解析式为_______________
12.直线过点 ，它在 轴上的截距是在 轴上的截距的2倍，则此直线方程为__________________________.
……14分
18.本小题主要考查空间想象能力，运算能力与函数知识的综合运用.满分12分.
解：（1）如图： 中， ，即 ……2分
， ……4分
圆柱的侧面积
（ ）……8分
（2）
时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积为 ……12分
19.本小题以二次函数在闭区间上的最值为载体，主要考查分类讨论的思想和数形结合的思想.满分14分.
B
D
A
D
A
B
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算.共4小题，每小题5分，满分20分．
11. 12. 或 13. 14.2；3
三、解答题：
15.本小题主要考查分段函数的图象，考查函数奇偶性的判断.满分12分.
解： ……2分
函数 的图象如右图……6分
函数 的定义域为 ……8分
高一数学各章试题及答案
高一数学各章试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x) = 2x + 3，则f(-1)的值为（）A. -1B. 1C. 5D. -52. 以下哪个选项是奇函数（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x + 1D. f(x) = x - 13. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B为（）A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 3, 4}D. {1, 4}4. 直线y = 2x + 1与x轴的交点坐标为（）A. (1, 0)B. (0, 1)C. (-1/2, 0)D. (1/2, 0)5. 以下哪个选项是二项式定理展开式的通项公式（）A. T_{r+1} = C_{n}^{r} * a^{n-r} * b^rB. T_{r+1} = C_{n}^{r} * a^{r} * b^{n-r}C. T_{r+1} = C_{n}^{r} * a^{n-r} * b^rD. T_{r+1} = C_{n}^{r} * a^{r} * b^r6. 函数y = sin(x)的周期为（）A. 2πB. πC. 1D. 07. 已知等比数列{a_n}的首项a_1 = 2，公比q = 3，则a_5为（）A. 96B. 48C. 24D. 128. 以下哪个选项是函数y = x^2 - 4x + 4的顶点坐标（）A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (2, 4)D. (-2, 4)9. 以下哪个选项是函数y = 1/x的反函数（）A. y = xB. y = 1/xC. y = x^2D. y = √x10. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且a^2 + b^2 = c^2，该三角形为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值为______。
2023-2024学年河北省邯郸市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年河北省邯郸市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x≥1}R B）∩A＝（）A．{1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，1}D．{1，2}2．命题”∀x∈（0，+∞），e x＞lnx”的否定是（）A．∀x∈（0，+∞），e x≤lnx B．∃x∈（0，+∞），e x＞lnxC．∃x∈（0，+∞），e x≤lnx D．∃x∈（0，+∞），e x＜lnx3．已知函数f（x）＝sin x，则“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知正实数x，y满足2x+y＝2，则的最小值为（）A．7B．8C．9D．105．已知角α的终边经过点P（3，4﹣tanα），则cosα＝（）A．B．C．D．6．已知函数，将函数f（x）的图象先向右平移个φ单位长度，横坐标变为原来的，得到函数g（x），若函数g（x）的图象关于原点对称（）A．B．C．πD．2π7．已知函数在区间[﹣1，2]上单调递增（）A．（﹣∞，0）B．[﹣1，0）C．D．8．已知函数有三个不同的零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．（0，+∞）D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．与g（x）＝x B．f（x）＝x2﹣3x与g（t）＝t2﹣3tC．与D．f（x）＝x0与g（x）＝110．已知a＞b＞0＞c＞d，则下列不等关系成立的是（）A．ac2＞bc2B．a﹣d＞b﹣c C．ad＜bc D．11．已知函数f（x）＝A tan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的定义域为C．点是函数f（x）图象的一个对称中心D．f（x）在上的值域为[﹣1，1]12．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（﹣2x﹣1）＝﹣f（2x﹣1）1＜x2＜4时，＞0恒成立．则下列说法正确的是（）A．函数f（x﹣1）为奇函数B．f（2023）+f（﹣1）＝0C．D．函数f（x）的图象关于点（3，0）对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数的定义域为．14．已知幂函数y＝（m2+3m﹣3）x m+1的图象不经过原点，则实数m＝．15．已知函数f（x）＝2|x|，则f（2﹣x）＞f（2x+3）的解集为．16．某市规划局计划对一个扇形公园进行改造，经过对公园AOB区域（如图所示）测量得知，圆心角为弯，规划局工作人员在，作CD∥OA，交线段OB于点D，垂足为E，形成三角形CDE健步跑道km．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）求解下列问题：（1）计算：；（2）若e a＝2，e b＝3，求3a+2b的值．18．（12分）已知．（1）化简f（α）；（2）若f（α）＝﹣2，求的值．19．（12分）已知定义在R上的函数，是奇函数，且．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并用函数单调性的定义证明．20．（12分）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求f（x）；（2）已知，，求cos2α．21．（12分）2023年10月20日，国务院新闻办举办了2023年三季度工业和信息化发展情况新闻发布会工业和信息化部表示，2023年前三季度，某公司科研人员努力攻克了动力电池单体能量密度达到300Wh/kg的关键技术，在技术水平上使得纯电动乘用车平均续驶里程超过460公里．该公司通过市场分析得出，将收入f（x）万元，且，预计2024年全年成本总投入2.5x万元，全年利润为F（x），该种动力电池供不应求．（利润＝收入﹣成本总投入）（1）求函数F（x）的解析式；（2）当2024年动力电池的产量为多少块时，该企业利润最大？最大利润是多少？22．（12分）已知不等式x2+mx+n＜0的解集为{x|﹣2＜x＜﹣1}，函数g（x）＝λn x﹣λ﹣1（n＞0，且n≠1），h（x）＝﹣（log m x）2+（λ+1）log m x（m＞0，且m≠1）．（1）求不等式mx2+x﹣n≥0的解集；（2）若对于任意的x1∈[﹣1，1]，均存在1）≤h（x2），求实数λ的取值范围．2023-2024学年河北省邯郸市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x≥1}R B）∩A＝（）A．{1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，1}D．{1，2}解：∵∁R B＝{x|x＜1}，∴（∁R B）∩A＝{﹣1，3}．故选：B．2．命题”∀x∈（0，+∞），e x＞lnx”的否定是（）A．∀x∈（0，+∞），e x≤lnx B．∃x∈（0，+∞），e x＞lnxC．∃x∈（0，+∞），e x≤lnx D．∃x∈（0，+∞），e x＜lnx解：否定：否定量词，否定结论．故命题”∀x∈（0，+∞），e x＞lnx”的否定是∃x∈（0，+∞），e x≤lnx，故选：C．3．已知函数f（x）＝sin x，则“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：因为，充分性成立；当时，或，k∈Z，所以“”是“．故选：A．4．已知正实数x，y满足2x+y＝2，则的最小值为（）A．7B．8C．9D．10解：由2x+y＝2，得，所以，当且仅当即，时，所以．故选：C．5．已知角α的终边经过点P（3，4﹣tanα），则cosα＝（）A．B．C．D．解：∵角α的终边经过点P（3，4﹣tanα），∴，解得tanα＝1．则点P坐标为（8，3），则．故选：A．6．已知函数，将函数f（x）的图象先向右平移个φ单位长度，横坐标变为原来的，得到函数g（x），若函数g（x）的图象关于原点对称（）A．B．C．πD．2π解：函数＝cos x，可得y＝cos（x﹣φ）的图象；再将所得函数图象上的所有点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数g（x）＝cos（2x﹣φ）的图象．若函数g（x）的图象关于原点对称，则g（x）为奇函数，故．故B选项满足条件．故选：B．7．已知函数在区间[﹣1，2]上单调递增（）A．（﹣∞，0）B．[﹣1，0）C．D．解：根据题意，设t＝1﹣ax，则，因为在t∈[0，，+∞]所以t＝2﹣ax在区间[﹣1，2]上单调递增，则有，解得﹣2≤a＜0．故选：B．8．已知函数有三个不同的零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．（0，+∞）D．解：令t＝|2x﹣1|≠6，则x≠0，则，令g（t）＝3，得t2﹣（3k+8）t+2k+1＝6，画出函数t＝|2x﹣1|（x≠5）的图象如图所示：由题意得方程t2﹣（3k+5）t+1+2k＝7有两个不等实根t1，t2，不妨设t6＜t2，则0＜t4＜1，t2≥2，令h（t）＝t2﹣（3k+8）t+2k+1，则，此时解得k＞0，或，此时无解，综上知，实数k的取值范围是（0，故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．与g（x）＝x B．f（x）＝x2﹣3x与g（t）＝t2﹣3tC．与D．f（x）＝x0与g（x）＝1解：与g（x）＝x解析式不同，故A不正确；f（x）＝x2﹣5x与g（t）＝t2﹣3t定义域都为R，且对应关系相同，故B正确；当x＞8时，，当x＜0时，，所以，故是同一函数；函数f（x）＝x0的定义域为{x|x≠3}，函数g（x）＝1的定义域为R，两个函数定义域不同，故不是同一函数．故选：BC．10．已知a＞b＞0＞c＞d，则下列不等关系成立的是（）A．ac2＞bc2B．a﹣d＞b﹣c C．ad＜bc D．解：根据题意，依次分析选项：对于A，∵c2＞0，a＞b＞22＞bc2，故A正确；对于B，∵c＞d，∵a＞b，故B正确；对于C，∵d＜c＜3，∵a＞b＞0，∴ad＜bc；对于D，∵a＞b＞0，∴a﹣c＞b﹣c＞4，∴．故选：ABC．11．已知函数f（x）＝A tan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的定义域为C．点是函数f（x）图象的一个对称中心D．f（x）在上的值域为[﹣1，1]解：由图象知，∴函数f（x）的最小正周期为，故A不正确；∵函数的最小正周期，∴ω＝2，∴，则，k∈Z，即，∵，∴当k＝1时，，则，∵f（0）＝1，∴f（0）＝A，由，则A＝1，∴，由，k∈Z，得，故f（x）的定义域为，故B正确；∵，∴点是函数f（x）图象的一个对称中心；当时，，∴，故D正确．故选：BCD．12．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（﹣2x﹣1）＝﹣f（2x﹣1）1＜x2＜4时，＞0恒成立．则下列说法正确的是（）A．函数f（x﹣1）为奇函数B．f（2023）+f（﹣1）＝0C．D．函数f（x）的图象关于点（3，0）对称解：∵f（﹣2x﹣1）＝﹣f（4x﹣1），令，可得f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），∴函数f（x﹣2）为奇函数，故A正确；∵f（﹣2x﹣1）＝﹣f（6x﹣1），当x＝0时，f（﹣2）＝0，又函数f（x）为偶函数，f（﹣x）＝f（x），由A知f（﹣1﹣x）＝﹣f（x﹣3），∴f（1+x）＝﹣f（1﹣x），可得f（x+4）＝﹣f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x+4）＝f（x），函数f（x）的周期为4，∴f（2023）＝f（8×505+3）＝f（3）＝f（﹣1）＝7，∴f（2023）+f（﹣1）＝0，故B正确；∵4＜x1＜x2＜3时，恒成立，∴函数f（x）在（3，4）上单调递增，，即，矛盾；f（﹣3﹣x）＝﹣f（x﹣1），∴函数f（x）的图象关于点（﹣1，7）对称，∵函数f（x）的周期为4，函数f（x）的图象关于点（3，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数的定义域为（﹣2，﹣1）∪（﹣1，3）．解：由题意可得，则，即﹣2＜x＜3且x≠﹣1，所以函数f（x）的定义域为（﹣7，﹣1）∪（﹣1．故答案为：（﹣4，﹣1）∪（﹣1．14．已知幂函数y＝（m2+3m﹣3）x m+1的图象不经过原点，则实数m＝﹣4．解：根据幂函数的定义可得m2+3m﹣6＝1，解得m＝﹣4或m＝4，当m＝﹣4时，y＝x﹣3不经过原点，符合题意；当m＝4时，y＝x2过原点，不符合题意．故答案为：﹣4．15．已知函数f（x）＝2|x|，则f（2﹣x）＞f（2x+3）的解集为．解：f（x）的定义域为R，f（﹣x）＝2|﹣x|＝2|x|＝f（x），∴f（x）为偶函数，当x∈[4，f（x）＝2x，∴f（x）＝2|x|在[4，+∞）上单调递增，由偶函数的性质得f（2﹣x）＞f（2x+4），即f（|2﹣x|）＞f（|2x+4|），则|2﹣x|＞|2x+8|，两边平方得3x2+16x+3＜0，解得，所以f（2﹣x）＞f（5x+3）的解集为．故答案为：．16．某市规划局计划对一个扇形公园进行改造，经过对公园AOB区域（如图所示）测量得知，圆心角为弯，规划局工作人员在，作CD∥OA，交线段OB于点D，垂足为E，形成三角形CDE健步跑道km．解：如图，过点O作CD的垂线，连接OC，设∠COA＝θ（），则CE＝OF＝6sinθ，OE＝CF＝2cosθ，又，所以．因为，所以，所以当，即时，CD取到最大值．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）求解下列问题：（1）计算：；（2）若e a＝2，e b＝3，求3a+2b的值．解：（1）；（2）∵e a＝2，e b＝3，∴a＝ln6，b＝ln3，∴3a+5b＝3ln2+2ln3＝ln8+ln2＝ln72．18．（12分）已知．（1）化简f（α）；（2）若f（α）＝﹣2，求的值．解：（1）f（α）＝＝＝﹣tanα；（2）由（1）得tanα＝3，所以＝sin2α+sinαcosα﹣cos2α＝＝＝＝1．19．（12分）已知定义在R上的函数，是奇函数，且．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并用函数单调性的定义证明．解：（1）因为定义在R上的函数是奇函数，所以f（0）＝8，即，①又，所以，②由①②得，b＝1，又，符合题意，故实数a的值为，实数b的值为1．（2）函数f（x）在R上单调递减，证明如下：证明：在R上任取x1＜x6，则，因为x7＜x2，所以，又，，所以f（x7）﹣f（x2）＞0，即f（x4）＞f（x2），所以函数f（x）在R上单调递减．20．（12分）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求f（x）；（2）已知，，求cos2α．解：（1）＝＝＝，因为ω＞0，函数f（x）的最小正周期，所以；（2）由，可得，因为，所以，所以，所以，所以．21．（12分）2023年10月20日，国务院新闻办举办了2023年三季度工业和信息化发展情况新闻发布会工业和信息化部表示，2023年前三季度，某公司科研人员努力攻克了动力电池单体能量密度达到300Wh/kg的关键技术，在技术水平上使得纯电动乘用车平均续驶里程超过460公里．该公司通过市场分析得出，将收入f（x）万元，且，预计2024年全年成本总投入2.5x万元，全年利润为F（x），该种动力电池供不应求．（利润＝收入﹣成本总投入）（1）求函数F（x）的解析式；（2）当2024年动力电池的产量为多少块时，该企业利润最大？最大利润是多少？解：（1）由题意得，利润函数F（x）＝f（x）﹣2.5x，因为，所以当0＜x≤5时，，当5＜x≤10时，，综上知，函数F（x）的解析式为．（2）因为，当0＜x≤3时，F（x）＝x2﹣x+120，对称轴是x＝，所以F（x）在上单调递减，在，且F（0）＝120，F（5）＝25﹣，所以最大值是132.5；当5＜x≤10时，，当且仅当，即x＝8时；因为132.5＜207.5，所以F（x）的最大值为207.3，即当2024年动力电池的产量为7000块时，该企业利润最大．22．（12分）已知不等式x2+mx+n＜0的解集为{x|﹣2＜x＜﹣1}，函数g（x）＝λn x﹣λ﹣1（n＞0，且n≠1），h（x）＝﹣（log m x）2+（λ+1）log m x（m＞0，且m≠1）．（1）求不等式mx2+x﹣n≥0的解集；（2）若对于任意的x1∈[﹣1，1]，均存在1）≤h（x2），求实数λ的取值范围．解：（1）不等式x2+mx+n＜0的解集为{x|﹣2＜x＜﹣1}，∴﹣3＝﹣m，2＝n，∴m＝3，n＝2，∴mx8+x﹣n≥0即为3x4+x﹣2≥0，解得x≤﹣4或，∴不等式mx6+x﹣n≥0的解集为．（2）由题意可知g（x）max≤h（x）max，，，令t＝log3x，则y＝﹣t8+（λ+1）t，，对称轴方程为，①若，即λ＜0时，当时，，即，此时g（x）＝λ2x﹣λ﹣1在[﹣2，1]上单调递减，，由，得；②若，即0≤λ≤3时，当时，，即，此时g（x）＝λ2x﹣λ﹣1在[﹣2，1]上单调递增max＝g（1）＝λ﹣1，由，得0≤λ≤3；③若，即λ＞6时，y max＝2λ﹣2，即h（x）max＝4λ﹣2，此时g（x）＝λ2x﹣λ﹣4在[﹣1，1]上单调递增max＝g（1）＝λ﹣6，由，得λ＞3，综合①②③可知，即实数λ的取值范围是．。
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考
场
座
位
号
姓
名
班
级
2010年湘东职业中专工科校区数学考试试卷3
总分：100分 制卷人：王建辉
一.单项选择 (每小题3分，共30分）
1,已知数列 1，3，5，7, … ,2n-1, … 那么它的第12项的值为（ ）
A，23 B，24 C，25 D，26
2. 数列1，8，27，64，x, 216, 343中，x的值为
A,85 B,105 C,125 D,175
3.化简：（ - )+(BM -DC ) =
( )
A,MA, B, AM C,BM D,AD
4.数列{an}的前4项是4，8，16，32，则此数列的通项公式是
A.an=2n+1 B.an=2n C. an=2n+2 D.
an=4n
5.在数列{an}中，a1=3, a2=2, an+2=an+1+an 则a6=
A13 B.15 C17 D. 19
6.下列各数中，成等差数列的是
A. 0，1，3，5，。。。。B.,.....51,41,31,21C. -3，5，8，10，。。。D. -2，-2，
-2，-2，-2，。。。
7.已知等差数列8，6，4，2，。。。，则a21=
A. 32 B.-38 C.-32 D.38
8.过点P（1，-2），且与L：x-y+1=0平行的直线方程是
A，x-y-3=0, B,x-y+3=0, C,x+y-3=0,
D,x+y+3=0
9.数列2，2，2，2，2，2，。。。。。。。是
A.等差数列，不是等比数列 B. 等比数列，不是
等差数列
AB
CD
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考
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号
姓
名
班
级
c.是等差数列，又是等比数列 D.以上均不是
10.在等比数列{an}中,S10=10, S20=30, 则 S30=
A,50 B,60 C,70 D,90
选择题答题处
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
选择
二．填空题(4×3’)
11. 观察数列特点，填上适当的数理化2，2，2， 2，2， 2，2，
2，
12. 已知数列的通项公式为an=-2n+3,则a3-a2=
13．已知|a|=3，|b|=6， <a，b>=300 则a .
b
=
14.直线x-y-1=0的斜率k= ，倾斜角为
三． 解答题
15，已知数列,.....,)1(1,....,431,321,211nn求数列的第8项，第36
项。 8分
16.等差数列-3，-6，-9，-12，。。。。。的第多少项是-300 ？ 8分
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考
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位
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姓
名
班
级
17.已知点A(2,3), B(-4,6), 且AC= -32AB 求点C的的坐标。
8分
18.已知三个数成等差数列，其和为9 ，首末两项的积为5，求这三
个数。 8分
19，一个等比数列的第2项和第5项分别是6和384，求它的第1项
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考
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号
姓
名
班
级
和公比。13分
20.求过点A（1，0），B（3，-2），圆心在直线x+y+1=0上的圆的方
程。 13分