古典概型与几何概型

古典概型与几何概型一、古典概型 1、定义（1）样本空间的元素只有有限个； （2）每个基本事件发生的可能性相同。

比如：抛掷一枚均匀硬币的试验，抛掷一枚均匀骰子的试验,从一副扑克牌中随机抽取一张。

称具备条件（1）、（2）的实验称为等可能概型，考虑到它在概率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。

2、古典概型中事件概率的计算设{}ωωωn ，，， 21=Ω ，由古典概型的等可能性，得}{}{}{21n P P P ωωω=== 又由于基本事件两两互不相容；所以},{}{}{}{121n P P P P ωωω ++=Ω=.,,2,1,1}{n i n P i ==ω若事件A 包含m 个样本点，即{}ωωωi i i A m,,,21 =， 则有 ：中元素个数中元素个数Ω=A P(A)基本事件总数发生的基本事件数使A =n m= 1．（2010佛山一模）已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，表示没有击中目标，2，3，4，5，6，，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数： 5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281 据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 （ ） A ．0.85 B ．0.8192 C ．0.8 D ． 0.752．(2007·广东)在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是A ．310B ．15C ．110D ．1123.（2009江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 .4．（2009·安徽文）从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________。

5.（2009·浙江文）有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数,1k k +，其中0,1,2,,19k = ． 从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有9,10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为91010++=）不小于14”为A ，则()P A = ．7.(2008山东文)现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123A A A ，，通晓日语，123B B B ，，通晓俄语，12C C ，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． （Ⅰ）求1A 被选中的概率 （Ⅱ）求1B 和1C 不全被选中的概率．8．(2008广州一模文)将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为y ．（1）求事件“3x y +≤”的概率； （2）求事件“2x y -=”的概率．9．（2009福建文）袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球 （I ）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果； （Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。

10．（2010深圳一模）一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个，求： （Ⅰ）连续取两次都是白球的概率；（Ⅱ）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，连续取三次分数之和为4分的概率．11. (2008广东文)某初级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表. 已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19 . （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生, 问应在初三年级抽取多少名？ (3)已知245,245≥≥z y ,求初三年级中女生比男生多的概率.12.（2010九校联考）为预防11H N 病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过)，公司选定2000个流感样本已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率是0.33. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取多少个？ （3）已知y ≥465,z ≥25,求不能通过测试的概率.13．(2008海南、宁夏文)为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6 名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10。

把这6名学生的得分看成一个总体。

（1）求该总体的平均数；（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本。

求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。

14．( 2009·山东文) 一汽车厂生产A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A 类轿车10辆． (1)求z 的值．(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9．4, 8．6, 9．2, 9．6, 8．7 , 9．3 , 9．0 , 8．2 ，把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0．5的概率． 15．（2009广州二模）已知实数a ，{}2 1 1 2b ∈--，，，． （1）求直线 y a x b =+不经过．．．第四象限的概率； （2）求直线 y a x b =+与圆221x y +=有公共点的概率．16．（2010广州一模）已知直线1l ：210x y --=，直线2l ：10ax by -+=，其中a ，{}1,2,3,4,5,6b ∈． （1）求直线12l l =∅ 的概率； （2）求直线1l 与2l 的交点位于第一象限的概率．17.(2010汕头一模) 有一枚正四面体骰子，四个面分别写1、2、3、4的数字，规定“抛掷该枚骰子得到的数字是抛掷后落在底面的那一个数字”。

已知b 和c 是先后抛掷该枚骰子得到的数字，2()()f x x bx c x R =++∈。

（1） 若先抛掷该枚骰子得到的数字是3，求再次抛掷该枚骰子时，使函数()y f x =有零点的概率；（2） 求函数()y f x =在区间(2,)-+∞是增函数的概率。

18．（2009汕头一模）田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A 、B 、C ，田忌的三匹马分别为a 、b 、c ；三匹马各比赛一次，胜两场者为获胜。

若这六匹马比赛优、劣程度可以用以下不等式表示：A a B b C c >>>>> (1)正常情况下，求田忌获胜的概率(2)为了得到更大的获胜机会，田忌预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马A ，于是田忌采用了最恰当的应对策略，求这时田忌获胜的概率 19．（2009广东文）随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位:cm)，获得身高数据的茎叶图为如图7．（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;（2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学，求身高为176cm 的同学被抽中的概率.二、几何概型 1、定义一般，设某个区域Ω(线段，平面区域，空间区域），具有测 度 ）（ΩS (长度，面积，体积)。

如果随机实验E 相当于向区域内任意地取点，且取到每一点都是等可能的，则称此类试验为几何概型。

2、计算方法如果事件A 对应于点落在Ω 内的某区域A ，则)()()(Ω=S A S A P 图7乙班甲班 2 18 1 9 9 1 0 0 16 3 6 8 9 178 8 3 2 5 8 8915 2例 1 (会面问题）甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去。

设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。

求二人能会面的概率。

解： 以 Y X 、分别表示甲乙二人到达的时刻，于是.50,50≤≤≤≤Y X 即 点 M 落在图中的阴影部分。

所有的点构成一个正方形，即有无穷多个结果。

由于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正方形内各点是等可能的。

二人会面的条件是：,1||≤-Y X 正方形的面积阴影部分的面积=p .259254212252=⨯⨯-=例 2、 (蒲丰投针问题）平面上有一族平行线。

其中任何相邻的两线距离都是)0(>a a 。

向平面任意投一长为 )(a l l <的针，试求针与一条平行线相交的概率。

解 ：设 x 是针的中点M 到最近的平行线的距离，ϕ是针与此平行线的交角，投针问题就相当于向平面区域Ω取点的几何概型。

}20,0|),{(a x x ≤≤≤≤=Ωπϕϕ}20,0|),{(ax x ≤≤≤≤=Ωπϕϕ}sin 20,0|),{(ϕπϕϕl x x A ≤≤≤≤=，.22sin 20a la d lA p ππϕϕπ=⎰=Ω=的面积的面积= -11．(2008惠州二模)方程))1,0((02∈=++n n x x 有实根的概率为（ ）A 、21B 、31C 、41D 、432． (2008揭阳一模)在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积不小于3S的概率是（ ）A ．32B ．13C ．43D ．413．（2009·福建文）点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为 。

4．设M 是半径为R 的圆周上一定点, 在圆周上等可能地任取一点N, 连接MN,则弦MN 的长超过2R 的概率为（ ）A ．51B ．41C ．31D ．215．（2008·江苏）在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为 。