高级数学(微积分)试题
一、单项选择题：（4分×6=24分）
1、函数y =︱x-1︱在x=1处（ ）
A ．连续可导
B ．连续不可导
C ．可导不连续
D ．不连续，不可导
2、下列极限错误的是（ ）
A ．∞=→x e x 10lim
B ．0lim 10=+→x e x
C ．+∞=+→x e x 10lim
D ．1lim 1=∞→x
e x 3、设任意的x 有f(-x)=-f(x),且
f ’(-x)=-k (k ≠0)
则f ’(x 0)=( )
A ．k
B ．- k
C ．k 1
D ．-k
1 4、函数在定义域内（ ）
A ．单调增加
B ．单调减少
C ．曲线上凹
D ．曲线下凹
5、如果⎰⎰=)()(x dg x df ，则一定有（ ）不成立
A ．f(x)=g(x)
B ．f ’(x)=g ’(x)
C ．df(x)=dg(x)
D ．⎰⎰=)()(''x g d dx x f d
6、设c e dx x f x +=⎰-)(，则⎰dx x xf )(=( )
A ．e -x (1-x)+c
B ．e -x (1+x)+c
C ．e -x (x-1)+c
D ．-e -x (1+x)+c
二、填空题：（3分×10=30分）
1、设，则的定义域为 。
2、计算极限)3(cos lim
1102+-++→x x x x = 。 3、5lim 102=-+++→x a ax x x ，则a,b 的值分别为 。
4、计算极限x x )1(lim 10-+
→= 。 5、设y=f （e x ）e f （x ），则y ’= .
6、设y=1+xe y ，则y ’= .
7、设x
x y cos 1sin 5+=.则y ’= 8、函数y=x 2e -x 的极小值为 .
9、计算不定积分⎰dx x x ln
= .
10、计算不定积分=+⎰dx x f )32(' .
三、填空题：（3分×10=30分）
1、计算极限20lim x e e x x
x --→
2、已知f(x)= ⎪⎩⎪⎨⎧>≤+)0(2sin )0(2x x
bx x bx a 在x=0连续。问a 、b 应满足什么的关系 3、计算不定积分⎰dx e x x 2
4、已知函数f(x)=asinx+x 3sin 31在x=3
π取得极值，试确定a 的值，并问它是极大值或是极小值？并确定此极值
四、证明题：
1、证明方程x3-3x2-x+3=0区间（-2，0），（0，2），（2，4）内各有一个实根
2、证明不等式
︱sinx2- sinx1︱≤︱x2- x1︱
高等数学试题及答案
高等数学试题及答案 近年来，高等数学的学习在大学教育中扮演着重要的角色。通过高等数学的学习，学生们能够提高数学思维能力，培养逻辑推理和问题解决的能力。为了帮助学生更好地掌握高等数学知识，本文将提供一些高等数学试题及答案。 第一部分：微积分 1. 计算下列定积分： a) ∫(3x^2 - 2x + 1)dx b) ∫(sinx + cosx)dx c) ∫(e^2x + 5)dx 答案： a) x^3 - x^2 + x + C b)-cosx + sinx + C c) 0.5e^2x + 5x + C 2. 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 的最值点及最值。 a) 最大值 b) 最小值 答案： a) 最大值点：x = 1，最大值：f(1) = -1
b) 最小值点：x = 2，最小值：f(2) = -4 第二部分：线性代数 1. 计算矩阵 A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] 的转置矩阵。 答案： A^T = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9] 2. 解方程组： 2x + 3y = 7 4x - 2y = 10 答案： x = 3, y = -1 第三部分：概率论与数理统计 1. 已知事件 A 发生的概率为 P(A) = 0.4，事件 B 发生的概率为 P(B) = 0.3，事件 A 和事件 B 相互独立，求 P(A ∪ B)。 答案： 由于事件 A 和事件 B 相互独立，所以 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) P(A ∪ B) = 0.4 + 0.3 - (0.4 * 0.3) = 0.58 2. 一批产品的重量服从均值为 50kg，标准差为 2kg 的正态分布。从中随机抽取一个产品，求其重量在 52kg 以上的概率。
高等数学上册试题及参考答案3篇
高等数学上册试题及参考答案 高等数学上册试题及参考答案 第一篇：微积分 1.已知函数$f(x)=\ln{(\sqrt{(1+x^2)}+x)}$，求 $f'(x)$和$f''(x)$。 参考答案： 首先，根据对数函数的导数公式$[\ln f(x)]'=\frac{f'(x)}{f(x)}$，我们可以得到$f'(x)$的计算式为： $$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}\cdot\frac{\fra c{1}{2}\cdot 2x}{\sqrt{(1+x^2)}}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}$$ 将上式整理化简，得到： $$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}\cdot(\sqrt{(1+x^2 )}+x)}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}$$ 接下来，我们需要求$f''(x)$。由于$f'(x)$是由 $f(x)$求导得到的，因此$f''(x)$可以通过对$f'(x)$求导得到，即： $$f''(x)=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{\sqrt{(1+x^2) }\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}\r ight]$$ 通过链式法则和乘法法则，我们得到： $$f''(x)=\frac{-(1+x^2)^{- \frac{3}{2}}\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)-
\frac{1}{2}(1+x^2)^{- \frac{1}{2}}\cdot\frac{2x}{\sqrt{(1+x^2)}}\cdot(\sqrt{ (1+x^2)}+x)^2}{(\sqrt{(1+x^2)}+x)^2}$$ 将上式整理化简，得到： $$f''(x)=\frac{-1- 2x^2}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)^2}$ $ 因此，函数$f(x)=\ln{(\sqrt{(1+x^2)}+x)}$的导数 $f'(x)$和二阶导数$f''(x)$分别为： $$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}\cdot(\sqrt{(1+x^2 )}+x)}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}$$ $$f''(x)=\frac{-1- 2x^2}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)^2}$ $ 2.计算二重积分$\iint_D(x^2+y^2)*e^{-x^2- y^2}d\sigma$，其中$D$是圆域$x^2+y^2\leqslant 1$。 参考答案： 由于$D$是圆域，因此我们可以采用极坐标系，即令 $x=r\cdot\cos{\theta}$，$y=r\cdot\sin{\theta}$，其中$r\in[0,1]$，$\theta\in[0,2\pi]$。此时，二重积分转化为极坐标系下的二重积分，即： $$\iint_D(x^2+y^2)*e^{-x^2- y^2}d\sigma=\int_0^{2\pi}\int_0^1(r^2\cdot\cos^2{\thet a}+r^2\cdot\sin^2{\theta})\cdot e^{-r^2}rdrd\theta$$ 整理上式，得到： $$\iint_D(x^2+y^2)*e^{-x^2- y^2}d\sigma=\int_0^{2\pi}\int_0^1 r^3\cdot e^{-
《高等数学》练习题库及答案
《高等数学》练习测试题库及答案 一．选择题 1.函数y= 1 1 2+x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（ ） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（ ） A ．0.9 ，0.99，0.999，0.9999 B ． 23 ，32，45，5 4 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 21 2+} 4.数列有界是数列收敛的（ ） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（ ） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 ) 1sin(lim 21x x x （ ） A.1 B.0 C.2 D.1/2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) A.1 B.2 C.6 D.1/6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ） A.x 2-1 B. x 3-1 C.(x-1)2 D.sin(x-1) 9.f(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （ ） A 、是连续的 B 、无界函数 C 、有最大值与最小值 D 、无最小值
11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、 xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x 0连续，g(x)在点x 不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x 必不连续 B、f(x)×g(x)在点x 必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x 必不连续 D、在点x0必不连续 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b满足14、设f(x)= （） A、a＞0,b＞0 B、a＞0,b＜0 C、a＜0,b＞0 D、a＜0,b＜0 15、若函数f(x)在点x 0连续，则下列复合函数在x 也连续的有（） A、 B、 C、tan[f(x)] D、f[f(x)] 16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（） A、[0,л] B、（0,л） C、[-л/4,л/4] D、（-л/4,л/4） 17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的（） A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、无关条件 18、f(a)f(b) ＜0是在[a,b]上连续的函f(x)数在（a,b）内取零值的（） A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、无关条件
高等数学期末试卷及答案
高等数学测试题一 一、单项选择题(每小题4分，满分20分) 1．曲面22214x y z ++=在点(1,2,3)处的切平面方程是（ ） A. 123 123x y z ---== B.23140x y z ++-= C.123213 x y z ---== D.2340x y z ++-= 2．设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(,)z f xy y =，则2z x y ∂∂∂=（ ） A.111 f xyf '''+ B.112f yf '''+ C.12 11yf xyf ''''+ D.112f xyf yf '''''++ 3．设空间区域 2222222212:,0;:,0,0,0x y z R z x y z R x y z Ω++≤≥Ω++≤≥≥≥，则下列等 式（ ）成立. A.1 2 d 4d x v x v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ B.1 2 d 4d y v y v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ C.1 2 d 4d z v z v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ D.1 2 d 4d xyz v xyz v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 4．下列级数中，绝对收敛的级数是（ ） A.11 (1)n n n ∞ =-∑ B.23 11(1)n n n ∞ =-∑ C.1 (1) n n ∞ =-∑1 1 (1)ln(1)n n n ∞ =-+∑ 5．已知幂级数0 (1)n n n a x ∞ =-∑在2x =-处收敛，在4x =处发散，则幂 级数0 (1)n n n a x ∞ =+∑的收敛域为（ ） A.[4,2)- B.[3,3)- C.[2,4)- D.[1,5)- 二、填空题(每小题4分，满分20分)
高等数学下考试题库(附答案)
高等数学下考试题库(附答案) 高等数学》试卷1（下） 一、选择题（3分×10） 1.点M1(2,3,1)到点M2(2,7,4)的距离M1M2=（）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量a=-i+2j+k，b=2i+j，则有（）. A.a∥b B.a⊥b C.a,b= D.a,b= 3.函数y=2-x^2-y^2+1/x+y-12/2+y^2的定义域是（）. A.{(x,y)|1 A.2 B.-2 C.1 D.-1 6.设z=xsiny，则∂z/∂y|(π/4,3/4)=（）. A.2/√2 B.-2/√2 C.2 D.-2 7.若p级数∑n=1∞pn收敛，则（）. A.p1 D.p≥1 8.幂级数∑n=1∞xn/n的收敛域为（）. A.[-1,1] B.(-1,1) C.[-1,1) D.(-1,1] 9.幂级数∑n=2∞x^n/(n-1)在收敛域内的和函数是（）. A.1/(1-x) B.2/(1-x)^2 C.2/(1+x) D.1/(1+x) 10.微分方程xy'-ylny=0的通解为（）. A.y=cx B.y=e^x C.y=cxe^x D.y=ex 二、填空题（4分×5） 1.一平面过点A(1,2,3)且垂直于直线AB，其中点B(2,-1,1)，则此平面方程为______________________. 2.函数z=sin(xy)的全微分是 ______________________________. 3.设z=xy-3xy^2+1，则(∂^2z)/(∂x∂y)|3/2=- ___________________________. 三、计算题（5分×6） 4.1.设z=esinv，而u=xy,v=x+y，求u∂z/∂x-∂z/∂y. 2.已知隐函数z=z(x,y)由方程x^2+y^2+z^2=1确定，求 ∂z/∂x. 3.设f(x,y)=x^2y-xy^2，求f在点(1,1)处的方向导数沿向量 i+j的值. 4.设z=f(x^2+y^2)，其中f(u)在u=1处可导，求∂z/∂x|P， 其中P为曲线x^2+y^2=1,z=1上的点. 高等数学II试题6套 高等数学II试题 一、填空题（每小题3分，共计15分） 1．设由方程确定，则。 2．函数在点沿方向的方向导数最大。 3．为圆周，计算对弧长的曲线积分= 。4．已知曲线上点处的切线平行于平面，则点的坐标为或。 5．设是周期为2的周期函数，它在区间的定义为 ，则的傅里叶级数在收敛于。 二、解答下列各题（每小题7分，共35分） 1．设连续，交换二次积分的积分顺序。 2．计算二重积分，其中是由轴及圆周所围成的在第一象限内的区域。 3．设是由球面与锥面围成的区域，试将三重积分化为球坐标系下的三次积分。 4．设曲线积分与路径无关，其中具有一阶连续导数，且，求。 5．求微分方程的通解。 三、(10分)计算曲面积分，其中∑是球面 的上侧。 四、(10分)计算三重积分，其中由与 围成的区域。 五、(10分)求在下的极值。 六、(10分)求有抛物面与平面所围立体的表面积。 七、(10分)求幂级数的收敛区间与和函数。 高等数学（下）模拟试卷五 一．填空题（每空3分，共21分） ．已知函数，则。．已知，则。．设L为上点到的上半弧段，则 。 ．交换积分顺序 。 .级数是绝对收敛还是条件收 敛？。 ．微分方程的通解为。 二．选择题（每空3分，共15分） ．函数在点的全微分存在是在该点连续的（）条件。 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分，也非必要 ．平面与的夹角为（）。 A． B． C． D． ．幂级数的收敛域为（）。 A． B． C． D．．设是微分方程的两特解且 常数，则下列（）是其通解（为任意常数）。 A． B． C． D． ．在直角坐标系下化为三次积分为（），其中为，所围的闭区域。 2020年全国大学高等数学考试试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)设12(sin cos )x y e C x C x =+(12,C C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分 方程的通解,则该方程为_____________. (2)设222z y x r ++= ,则div(gradr) ) 2,2,1(-=_____________. (3)交换二次积分的积分次序: ⎰ ⎰ --01 12 ),(y dx y x f dy ＝_____________. (4)从2 R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵 为 . (5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他, 10, 0,6),(≤≤≤⎩⎨ ⎧=则 =≤+}1{Y X P . (6)已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是 . (注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有[ ] (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. （2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞ →n n a ,1lim =∞ →n n b ,∞=∞ →n n c lim ,则必 有[ ] 高数试题 一、填空题（每小题１分，共１０分） ________ １ １．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋────── 的定义域为 _________ √１－ｘ2 _______________。 ２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。 ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ─────────────── h→o h ＝ _____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是 ____________。 ｘ ５．∫─────ｄｘ＝_____________。 １－ｘ4 １ ６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。 x→∞ Ｘ ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。 _______ R √R2－ｘ2 ８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为 ____________。 0 0 ｄ3ｙ３ｄ2ｙ ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。 ｄｘ3ｘｄｘ2 ∞ ∞ １０．设级数∑ ａn发散，则级数∑ ａn _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内， １～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） （一）每小题１分，共１０分 １ １．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（） ｘ １１１ ①１－── ②１＋── ③ ──── ④ｘ ｘｘ１－ｘ １ ２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（） ｘ ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量 ３．下列说法正确的是（） ①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo可导 ②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续 ③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导 ４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ） 内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（） ①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧 ５．设Ｆ'(x) ＝Ｇ'(x)，则（） ① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数 ② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数 ③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ ｄｄ ④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘ ｄｘｄｘ 1 ６．∫ │ｘ│ｄｘ＝（） -1 《 高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2l n 2 x x x dx C =+⎰ B ）、s i n c o s t d t t C =-+⎰ C ）、 2a r c t a n 1dx dx x x =+⎰ D ） 、211 ()dx C x x -=-+⎰ 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=⎥⎦⎤⎢ ⎣⎡⎰ C ）、()()x f dx x f dx d x a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ D ）、()()x F dt t F dx d x a '=⎥⎦⎤⎢ ⎣⎡'⎰ 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=⎰（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''⎰dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 一、单项选择题：（4分×6=24分） 1、函数y =︱x-1︱在x=1处（ ） A ．连续可导 B ．连续不可导 C ．可导不连续 D ．不连续，不可导 2、下列极限错误的是（ ） A ．∞=→x e x 10lim B ．0lim 10=+→x e x C ．+∞=+→x e x 10lim D ．1lim 1=∞→x e x 3、设任意的x 有f(-x)=-f(x),且 f ’(-x)=-k (k ≠0) 则f ’(x 0)=( ) A ．k B ．- k C ．k 1 D ．-k 1 4、函数在定义域内（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．曲线上凹 D ．曲线下凹 5、如果⎰⎰=)()(x dg x df ，则一定有（ ）不成立 A ．f(x)=g(x) B ．f ’(x)=g ’(x) C ．df(x)=dg(x) D ．⎰⎰=)()(''x g d dx x f d 6、设c e dx x f x +=⎰-)(，则⎰dx x xf )(=( ) A ．e -x (1-x)+c B ．e -x (1+x)+c C ．e -x (x-1)+c D ．-e -x (1+x)+c 二、填空题：（3分×10=30分） 1、设，则的定义域为 。 2、计算极限)3(cos lim 1102+-++→x x x x = 。 3、5lim 102=-+++→x a ax x x ，则a,b 的值分别为 。 4、计算极限x x )1(lim 10-+ →= 。 5、设y=f （e x ）e f （x ），则y ’= . 6、设y=1+xe y ，则y ’= . 7、设x x y cos 1sin 5+=.则y ’= 8、函数y=x 2e -x 的极小值为 . 9、计算不定积分⎰dx x x ln = . 10、计算不定积分=+⎰dx x f )32(' . 三、填空题：（3分×10=30分） 1、计算极限20lim x e e x x x --→ 2、已知f(x)= ⎪⎩⎪⎨⎧>≤+)0(2sin )0(2x x bx x bx a 在x=0连续。问a 、b 应满足什么的关系 3、计算不定积分⎰dx e x x 2 4、已知函数f(x)=asinx+x 3sin 31在x=3 π取得极值，试确定a 的值，并问它是极大值或是极小值？并确定此极值 《高等数学》练习测试题库及答案 一．选择题 1.函数y= 1 1 2+x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（ ） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（ ） A ．0.9 ，0.99，0.999，0.9999 B ． 23 ，32，45，5 4 C ．{f(n)},其中f(n)=⎪⎩⎪⎨⎧-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 21 2+} 4.数列有界是数列收敛的（ ） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（ ） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 ) 1sin(lim 21x x x （ ） A.1 B.0 C.2 D.1/2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) A.1 B.2 C.6 D.1/6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ） A.x 2-1 B. x 3-1 C.(x-1)2 D.sin(x-1) 9.f(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （ ） A 、是连续的 B 、无界函数 C 、有最大值与最小值 D 、无最小值 11、设函数f （x ）=（1-x ）cotx 要使f （x ）在点：x=0连续，则应补充定义f （0）为（ ） A 、 B 、e C 、-e D 、-e -1 12、下列有跳 跃间断点x=0的函数为（ ） A 、 xarctan1/x B 、 arctan1/x n →∞ ⎰ x 高等数学试题 一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分） 1．设f ( x) =l nx ，且函数( x) 的反函数-1( x) = 2( x+1) ，则f [( x)] = （ ） x- 1 A .l n x- 2 B .l n x+2 C .l n 2- x D .l n x+2 x+2 x- 2 x+2 2- x ⎰0 (e t + e -t - 2)dt 2. lim x x →0 1- cos x = （ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ． ∞ 3. 设∆y = f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) 且函数 f (x ) 在 x = x 0 处可导，则必有（ ） A. lim ∆y = 0 ∆x →0 B. ∆y = 0 ⎧ 2x 2, x ≤ 1 C. dy = 0 D. ∆y = dy 4. 设函数f ( x) =⎨ ⎩ 3x -1, x > 1 ，则f ( x) 在点x=1处（ ） A. 不连续 B .连续但左、右导数不存在 C .连续但不可导 D . 可导 5．设⎰xf ( x) dx=e - x 2 + C ，则f ( x) = （ ） A. xe - x 2 B. - x e - x 2 C. 2e - x 2 D. - 2e - x 2 二、填空题（本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1 1 6.设函数 f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数 f(x+ )+f(x- )的定义域是 . 4 4 7． lim (a + aq + aq 2 + + aq n )( q < 1) = 8. lim arctan x = x →∞ x g 2 9. 已知某产品产量为 g 时，总成本是C( g) =9+ 800 ，则生产 100 件产品时的边际成本M C g =100 = 10. 函数 f (x ) = x 3 + 2x 在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是 . 11. 函数 y = 2x 3 - 9x 2 +12x - 9 的单调减少区间是 . 12. 微分方程 xy '- y = 1+ x 3 的通解是 . 2ln 2 dt 13. 设 a ,则a = . 6 14. 设 z = cos x y 则 dz= . 15.设 D = {(x , y ) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} ，则 ⎰⎰ xe -2 y dxdy = . D 三、计算题（一）（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） ⎛ 1 ⎫x 16.设 y = ⎪ ⎝ ⎭ ，求 dy. e t -1 = 高等数学微积分例题 现代数学是一门深奥而复杂的学科，许多学生在学习中会遇到很多抽象的概念。其中，微积分是数学中一门基础性也十分重要的学科，其内容包括微分学与积分学，也是大学数学课程中重点授课的学科。本文就以高等数学微积分例题为例，重点讨论这个学科和它所属的考试形式，并结合实例加以论证。 首先，让我们先介绍一下高等数学微积分的内容。数学微积分的主要内容有微分学、积分学、微分方程以及数学物理方程等。其中，微分学是分析学科中一个重要的分支，主要研究函数的变化量、变化率、变化量的反比率等；积分学是另一分支，主要涉及函数的积分计算、曲线积分计算以及函数空间积分计算等。微分方程是用来求解函数表达式和变量关系的一类常微分方程，而数学物理方程则是用来描述物理量变化的一类常微分方程。 其次，要探讨的便是高等数学微积分的考试形式。高考中的高等数学微积分试题主要分为两大类，即：一、抽象类型题型，二、具体实例题型。其中，抽象类型题型主要使用公式和数学概念来提出一些复杂的问题，这类题型主要考查学生在微积分学上的深入理解和精确推理能力；而具体实例题型则更强调学生实践应用能力，这类题型提出一定情况下的具体数学问题，要求学生能够通过运用公式和技巧来求解。 最后，我们来看一下几道高等数学微积分的实例题。第一道题是：已知函数f(x)=cos(x)+sinx，求f(x)的最大值。第二道题是：已知 函数f(x)=x2-2，求f(x)的偏导数。第三道题是：已知函数 f(x)=x3+3x2，求f(x)的导函数。从上述几道题目可以看出，高等数学微积分实例题型不仅考查学生对相关公式和理论概念的理解，还需要学生掌握实际应用技巧，从而求出函数值或导数值，并运用抽象思维进行综合分析。 综上所述，高等数学微积分是一门重要的数学学科，主要涉及微分学、积分学、微分方程以及数学物理方程等多个方向的学习，是大学数学课程的重要组成部分。在考试时，高等数学微积分试题可分为抽象题型和具体实例题型，考生应当熟练掌握公式和理论概念，并运用实际技巧求解问题，结合抽象思维进行综合分析。通过对高等数学微积分的深入学习，学生们不仅可以更好的学习理解和应用高等数学微积分，还可以提高数学基本功，为进一步深入学习数学奠定良好的基础。 高等数学试题 一、单项选择题(每小题1分，共30分) 1、函数f(x)=的定义域是 A、[－1，1] B、(－2，2) C、(－∞，－1)∪(1，＋∞) D、(－∞，＋∞) 2、下列函数中既是有界函数又是偶函数的是 A、xarcsinx B、arctgx C、x2＋1 D、sinx＋cosx 3、函数y=ex－1的反函数是 A、y=lnx＋1 B、y=ln(x－1) C、y=lnx－1 D、y=ln(x＋1) 4、xsin= A、∞ B、0 C、1 D、不存在 5、某商品的需要量Q是价格P的函数Q=a－bP(a>0，b>0)，则需求量Q对价格P的弹性是 A、b B、 C、D、 6、曲线在t=0处的切线方程是 A、 B、 C、y－1=2(x－2) D、y－1=－2(x－2) 7、函数y=|sinx|在x=0处是 A、无定义 B、有定义，但不连续 C、连续，但不可导 D、连续且可导 8、设y=lnx，则y〃= A、B、 C、D、 9、设f(x)=arctgex，则df(x)= A、B、 C、D、 10、= A、－1 B、0 C、1 D、∞ 11、函数y=ax2＋c在区间(0，＋∞)内单调增加，则a，c应满足 A、a<0，c=0 B、a>0，c任意 C、a<0，c≠0 D、a<0，c任意 12、若ln|x|是函数f(x)的原函数，a≠0,那么下列函数中，f(x)的原函数是 A、ln|ax| B、 C、ln|x＋a| D、 13、设a≠0，则∫(ax＋b)100dx= A、 B、 C、 D、100a(ax＋b)99 14、∫xsinxdx= A、xcosx－sinx＋c B、xcosx＋sinx＋c C、－xcosx＋sinx＋c D、－xcosx－sinx＋c 15、函数f(x)=x2在[0，2]区间上的平均值是 A、B、1C、2D、 16、= A、＋∞ B、0 C、 D、1 17、下列广义积分中收敛的是 A、B、 C、D、 18、方程x2＋y2＋z2＋2x－4y=1表示的空间图形为 A、平面 B、直线 C、柱面 D、球面 19、函数z=arcsin(x2＋y2)的定义域为 A、x2＋y2<1 B、x2＋y2≤1 C、x2＋y2≥1 D、|x|≤1，|y|≤1 20、极限= A、1 B、2 C、0 D、∞ 21、函数f(x，y)= 在原点 试题共四套：数学类、工科类、经管类、文专类 2010浙江省大学生高等数学 （微积分）竞赛试题 （数学类） 一、计算题（每小题14分，满分70分） 1 ．求极限1lim 2 n →+∞+⎦ 2．计算()2222 2exp 21R x xy y dxdy ρρ⎡⎤ -+⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ ⎰⎰． 其中01ρ≤< 3．请用,a b 描述圆 2 2 2x y y +≤ 落在椭圆 22 221x y a b += 内的充分必要条件，并 求此时椭圆的最小面积。 4．已知分段光滑的简单闭曲线Γ（约当曲线）落在平面π：10ax by cz +++=上，设Γ在π上围成的面积为A ,求 ()()()bz cy dx cx az dy ay bx dz ax by cz Γ -+-+-++⎰ 其中 n Γ 与的方向成右手系。 5．设f 连续，满足()()() 22 0 2exp x f x x x t f t dt =--⎰ 且()11/f e =,求()() 1n f 的值。 二、（满分20）定义数列{}n a 如下：{}, ,max ,2 1 1011dx x a a a n n ⎰-== ,4,3,2=n ，求n n a ∞ →lim 。 三、（满分20分）设函数)(2R C f ∈，且0)(lim =∞ →x f x ，1)(≤''x f ，证明： 0)(lim ='∞ →x f x 。 四、（满分20分）设非负函数f 在［0，1］上满足) ()()(, ,y f x f y x f y x +≥+∀ 且1)1(=f ，证明：（1）]1,0[, 2)(∈≤x x x f （2）2 1 )(1 ≤ ⎰dx x f 五、（满分20分）设全体正整数集合为+N ，若集合+⊂N G 对加法封闭（即 G y x G y x ∈+⇒∈∀,），且G 内所有元素的最大公约数为1，证明：存在正整数 N ，当正整数n >N 时，G n ∈ （工科类） 一、计算题（每小题14分，满分70分） 1 ．求极限1lim 2 n →+∞+⎦ 2．计算 ()() +22 122dx x x x ∞ -∞+-+⎰ 3．设ABC ∆为锐角三角形,求sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++---的最大值和最小值。 4．已知分段光滑的简单闭曲线Γ（约当曲线）落在平面π：10ax by cz +++=上，设Γ在π上围成的面积为A ,求 ()()()bz cy dx cx az dy ay bx dz ax by cz Γ -+-+-++⎰ ,其中 n Γ 与的方向成右手系。 5．设f 连续，满足( )()() 22 0 exp x f x x t f t dt = -⎰,求()()131f f '-的值。 二、（满分20分）定义数列{}n a 如下：{}, ,max ,2 1 1011dx x a a a n n ⎰-== ,4,3,2=n ，求n n a ∞ →lim 。 三、（满分20分）设有圆盘随着时间t 的变化，圆盘中心沿曲线 2:c o s ,s i n ,(0)L x t y t z t t ===≥ 向空间移动，且圆盘面的法向与L 的切向一致。若圆盘半径r (t ) 随时间改变，有2 3)(t t r =，求在时间段⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡21,0内圆盘所扫过的空间体积。 . 第五章 一元函数积分学 1．基本要求 （1）理解原函数与不定积分的概念，熟记基本积分公式，掌握不定积分的基本性质。 （2）掌握两种积分换元法，特别是第一类换元积分法（凑微分法） 。 （ 3）掌握分部积分法，理解常微分方程的概念，会解可分离变量的微分方程，牢记非齐次 线性微分方程的通解公式。 （ 4）理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质。 （ 5）会用微积分基本公式求解定积分。 （ 6）掌握定积分的凑微分法和分部积分法。 （ 7）知道广义积分的概念，并会求简单的广义积分。 （ 8）掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 2．本章重点难点分析 （1） 本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿—莱布 尼茨公式；定积分的应用。 （ 2） 本章难点：求不定积分，定积分的应用。 重点难点分析： 一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分 运算的逆运算， 熟记基本积分公式， 和不定积分的性质是求不定积分的关键， 而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题， 理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。 3．本章典型例题分析 例 1：求不定积分 sin3xdx 解：被积函数 sin3 x 是一个复合函数，它是由 f (u) sin u 和 u ( x) 3x 复合而成，因 此，为了利用第一换元积分公式，我们将 sin3 x 变形为 sin 3x 1 sin 3x(3x)' ，故有 3 sin 3xdx 1 sin3x(3 x) ' dx 1 sin 3xd(3x) 3x u 1 ( cosu) C 3 1 cos3x 3 3 u 3x C 3 例 2：求不定积分 a 2 x 2 dx(a 0) 解：为了消去根式，利用三解恒等式 sin 2 t cos 2 t 1 ，可令 x a sin t( t ) ，则 2 2 a 2 x 2 a 2 a 2 sin 2 t a cost ， dx a cosdt ，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 a 2 x 2 dx a cost a costdt a 2 cos 2 tdt a 2 1 cos2t dt 2 a 2 a 2 cos2td (2t ) a 2 a 2 C a 2 sin t cost ) C dt 4 t sin 2t (t 2 2 4 2 由于 x a sint ( t ) ，所以 sin t x arcsin( x / a) ，利用直角三角形直接写 2 ， t 2 a 《高等数学》 一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A ) 3.A)B)C)D)4.A ）C ）5.A ）C ）6.00lim x x →=⎰（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7.设bx x f sin )(=，则=''⎰dx x f x )(（） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 8.10()()b x x a e f e dx f t dt =⎰⎰，则（） A ）、1,0==b a B ）、e b a ==,0 C ）、10,1==b a D ）、e b a ==,1 9.23(sin )x x dx π π-=⎰() A ）、0 B ）、π2 C ）、1 D ）、22π 10.=++⎰-dx x x x )1(ln 2112() A ）、0 B ）、π2 C ）、1 D ）、22π 11.若1 )1(+=x x x f ，则dx x f ⎰10)(为（） A ）、0B ）、1 C ）、2ln 1-D ）、2ln 12.A ）13.A ）、14.A 2 1-15.二.1.→x 2.2 -⎰3.若⎰+=C e dx e x f x x 11)(，则⎰=dx x f )( 4.=+⎰dt t dx d x 2621 5.曲线3y x =在处有拐点 三.判断题 1.x x y +-=11ln 是奇函数.（） 高等数学下试题 习题10—1 1．已知函数y x xy y x y x f tan ),(22-+=，试求),(ty tx f 。 2．已知函数v u w w u w v u f ++=),,(。试求),,(xy y x y x f -+。 3．求下列各函数的定义域： （1）z y x u 111++=； （2）)0(1 2 2 2 2 2222>>-+++---=r R r z y x z y x R u 。 4．函数x y x y z 2222-+=在何上是间断的？ 习题10—2 1．设函数y xy x z +-=2， （1）求函数在点),(00y x 处的偏增量z z y x ∆∆,和全增量x ∆； （2）当x 从2变到2.1，y 从2变到1.9时，求z z y x ∆∆,与z ∆的值各为多少？ 2．设y xy z )1(+=，求 1 1==∂∂y x x z 及 1 1==∂∂y x y z 3．设22),(y x y x y x f +-+=，求)4,2(x f 。 4．设⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ +=x y x z 2ln ，求 1 ==∂∂y x y z 。 5．设)2sin(e ),(y x y x f x +=-，求⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0πx f 及⎪⎭ ⎫ ⎝⎛4,0πy f 。 6．设)1ln(32z y x u +++=，当1===z y x 时，求z y x u u u ++。 7．求下列函数的偏导数 （1）y x z tan ln =； （2）)arcsin(x y z =； （3）x y y x z cos sin ⋅=； （4）x y z /31-⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=； （5）xy xy z πsin e =； （6）)ln ln(y x z +=； （7）x y x z sin =； （8）t u t ++=-ϕϕρe e ； （9）)cos(e ϕθθϕ-=+u 8．求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=1 12 2x y x z 在点)3,1,1(处的切线与纵轴正向所成的角度。 9．求下列函数的全微分： （1）)ln(e y x z xy ++=； （2）xy y x z -+=1arctan （3）)sin(xy z = （4）2 2 22y x y x z -+= ； （5）3ln 3e 2+-=-x x z y ； （6）) (222 e z y x x u ++=； （7）yx x u =； （8）)23ln(z y x u +-=； （9）2)arctan(y x u -=。高等数学II试题6套
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