高级数学(微积分)试题
厦门大学微积分I高等数学期末考试(A卷)
厦门大学微积分I高等数学期末考试(A卷)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：一、计算下列各题：（每小题4分，共36分）1．求极限)0(21lim 1>++++∞→p nn p pp p n 。
2．求2cos ()x t x f x e dt =⎰的导数。
3．求由曲线3y x =-，1x =，2x =，0y =所围成的图形面积。
4．计算广义积分20x x e dx +∞-⎰。
厦门大学《微积分I 》课程期末试卷试卷类型：（理工类A 卷） 考试日期 2015.1.215．计算定积分()123021sin 21x x dx x π⎡⎤⎛⎫⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭+⎢⎥⎣⎦⎰。
6．求方程2x y dy dx+=的通解。
7．求不定积分2(1)(1)x dx x x ++⎰。
8．求方程1y y x x'-=的通解。
9．已知11y =，21y x =+，231y x =+都是微分方程2222x y xy y '''-+=的解，求此方程的通解。
二、计算下列各题：（每小题5分，共30分）1． 求极限20)(02sin limx dt e x x t x x ⎰-→⋅。
2. 计算322sin cos cos 2cos x x x x dx x ππ-⎡⎤-+⎢⎥+⎣⎦⎰。
3．设函数)(x y y =由方程1cos 020322=+⎰⎰dt t dt e x y t 决定，求dxdy 。
4. 求微分方程32y y ''=满足初始条件00|1,|1x x y y =='==的特解。
5．求曲线⎰=x t t x f 0d sin )(相应于π≤≤x 0的一段弧的长度。
6. 设物体作直线运动，已知其瞬时速度2()(/)v t t =米秒，其受到与运动方向相反的阻力()5()F t v t =（牛顿），求物体在时间间隔[]0,1（单位秒）内克服阻力所作的功。
专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(一)_真题(含答案与解析)-交互
专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(一) (总分93, 做题时间90分钟)一、填空题1.求下列函数的定义域.．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1答案:x＞0，y＞0．2.求下列函数的定义域.u=ln(x2-y-1)．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1答案:y＜x2-13.求下列函数的定义域.．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1答案:x≥0，y≥1，x2+1≥y．4.求下列函数的定义域.．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1答案:r2＜x2+y2≤R2．5.设，则=______．该题您未回答:х该问题分值: 1答案:6.设，则=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1答案:-2，先求出f(x，y)=x-7.设，则=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1答案:8.设，则=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1答案:-e．9.设函数，则=______，=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1答案:10.设函数，则=______．该题您未回答:х该问题分值: 1答案:11.函数z=ln(1+x2-y2)的全微分dz=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1答案:12.函数z=x2-2xy+y2的全微分=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1答案:-2dx+2dy13.=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1答案:14.若积分区域D是由x=0，x=1，y=0，y=1围成的矩形区域，则=______ SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1答案:15.交换二次积分次序=______．该题您未回答:х该问题分值: 1答案:16.设区域D={(x，y)|x2+y2≤4}，则=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1答案:π17.平面上一块半径为2的圆形薄板，其密度函数为1，则这块薄板的质量为______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1答案:4π．二、解答题求下列各函数对x，y的偏导数：SSS_TEXT_QUSTI1.z=e x2+y；该题您未回答:х该问题分值: 1答案:2xe x2+y，e x2+y；SSS_TEXT_QUSTI2.；该题您未回答:х该问题分值: 1答案:；SSS_TEXT_QUSTI3.z=ln(ln x+ln y)；该题您未回答:х该问题分值: 1答案:；SSS_TEXT_QUSTI4.；该题您未回答:х该问题分值: 1答案:；SSS_TEXT_QUSTI5.z=sin(x+2y)+2xy；该题您未回答:х该问题分值: 1答案:cos(x+2y)+2y，2cos(x+2y)+2x；SSS_TEXT_QUSTI6.z=(xy)μ(其中μ为非零常数)．该题您未回答:х该问题分值: 1答案:μy(xy)μ-1，μx(xy)μ-1．求下列函数的二阶偏导数：SSS_TEXT_QUSTI7.z=sin xy；该题您未回答:х该问题分值: 1答案:．SSS_TEXT_QUSTI8.z=ln(x2+xy+y2)．该题您未回答:х该问题分值: 1答案:SSS_TEXT_QUSTI9.设函数z=ln(1-x+y)+x2y，求．该题您未回答:х该问题分值: 1答案:SSS_TEXT_QUSTI10.设z=x2y-xy2，x=ucos v，y＝usinv，求．该题您未回答:х该问题分值: 1答案:=(2xy-y2)cos v+(x2-2xy)sin v＝3u2sin vcos v(cos v-sin v)．同样地，有．SSS_TEXT_QUSTI11.设z＝arctan xy，y=e x，求．该题您未回答:х该问题分值: 1答案:．(注意：在本题中，不同于．)SSS_TEXT_QUSTI12.设，x=u-2v，y=2u+v，求．该题您未回答:х该问题分值: 1答案:SSS_TEXT_QUSTI13.设z=(2x+y)(2x+y)，求．该题您未回答:х该问题分值: 1答案:SSS_TEXT_QUSTI14.设z=f(x2+y2，e xy)，其中f(u，v)有连续偏导数，求．该题您未回答:х该问题分值: 1答案:设z=f(u，v)，u=x2+y2，v=e xy，则由复合函数求偏导法则得SSS_TEXT_QUSTI15.设，其中φ有连续偏导数，证明．该题您未回答:х该问题分值: 1答案:因为，其中φ有连续偏导数，令u=xy，所以有，，将之代入即可证得．求下列各式确定的隐函数y=f(x)的导数：SSS_TEXT_QUSTI16.cos y-e x+2xy=0；该题您未回答:х该问题分值: 1答案:SSS_TEXT_QUSTI17.．该题您未回答:х该问题分值: 1答案:求下列各式确定的隐函数z=f(x，y)的偏导数：SSS_TEXT_QUSTI18.x2+y2+z2-3xyz=0；该题您未回答:х该问题分值: 1答案:SSS_TEXT_QUSTI19.．该题您未回答:х该问题分值: 1答案:SSS_TEXT_QUSTI20.设z=arctan(xy)+2x2+y，求dz．该题您未回答:х该问题分值: 1答案:求下列各函数的全微分dz：SSS_TEXT_QUSTI21.；该题您未回答:х该问题分值: 1答案:SSS_TEXT_QUSTI22.z=ln(3x-2y+3)；该题您未回答:х该问题分值: 1答案:；SSS_TEXT_QUSTI23.z=e xy(x2+y2)；该题您未回答:х该问题分值: 1答案:令u=xy，v=x2+y2，dz=e xy(x2+y2)[(3x2y+y3)dx+(3y2x+x3)dy]；SSS_TEXT_QUSTI24.z=arctan xy；该题您未回答:х该问题分值: 1答案:SSS_TEXT_QUSTI25.z=xe-xy+sin(xy)；该题您未回答:х该问题分值: 1答案:dz=[e-xy(1-xy)+ycos(xy)]dx+[-x2e-xy+xcos(xy)]dy；SSS_TEXT_QUSTI26.z=sin(x+y)-x2+y2．该题您未回答:х该问题分值: 1答案:dz=[cos(x+y)-2z]dx+[cos(x+y)+2y]dy．SSS_TEXT_QUSTI27.设，求该题您未回答:х该问题分值: 1答案:SSS_TEXT_QUSTI28.设z=f(2x+3y，e xy)，其中f(u，v)有连续偏导数，求dz．该题您未回答:х该问题分值: 1答案:今u=2x+3y，υ＝e xy，SSS_TEXT_QUSTI29.设z=z(x，y)是由方程yz+x2+z=0确定，求dz．该题您未回答:х该问题分值: 1答案:设SSS_TEXT_QUSTI30.设z=f(x，y)，由方程x2+y2+z2-4z=0确定，求在点(1，-)；(，0)；(0，)处的全微分．该题您未回答:х该问题分值: 1答案:，(1)当x=1，时，由原方程得z=1或z=3．①当z=1时，②当z=3时，(2)当，y=0时，由原方程得z=1或z=3．①当z=1时，②当z=3时，(3)当x=0，时，由原方程得z=1或z=3．①当z=1时，②当z=3时，SSS_TEXT_QUSTI31.设z=f(x，y)由方程cos2x+cos2y=1+cos2z所确定，求dz．该题您未回答:х该问题分值: 1答案:令F(x，y，z)=cos2x+cos2y-cos2z-1，．求下列函数的极值与极值点．SSS_TEXT_QUSTI32.f(x，y)=4x+2y-x2-y2；该题您未回答:х该问题分值: 1.5答案:极大值点为(2，1)，极大值f(2，1)=5；SSS_TEXT_QUSTI33.f(x，y)=e2x(x+y2+2y)；该题您未回答:х该问题分值: 1.5答案:极小值点为(，-1)，极小值；SSS_TEXT_QUSTI34.f(x，y)=y3-x2+6x-12y+5．该题您未回答:х该问题分值: 1.5答案:极大值点为(3，-2)，极大值f(3，-2)=30．求下列条件极值．SSS_TEXT_QUSTI35.做一个体积为V的无盖的圆柱形桶，试问当桶的高和底面半径各是多少时，可使圆桶所用的材料最省．该题您未回答:х该问题分值: 1.5答案:设圆桶的高为h，底面半径为r，则桶的表面积为S=πr2+2πrh，体积V=πr2h，要求所用的材料最省，就是求表面积的最小值，且满足V=πr2h．构造拉格朗日函数F(r,h,λ)=πr2+2πrh+λ(πr2h-V)可解得．SSS_TEXT_QUSTI36.设生产某种产品的数量Q与所用两种原料A，B的数量x，y间有关系式Q=Q(x，y)=0.005x2y，欲用150元购买原料，已知A，B原料的单价分别为1元，2元，问购进两种原料各多少时，可使生产的产品数量最多?该题您未回答:х该问题分值: 1.5答案:设购买两种原料分别为x，y，则问题化为条件极值问题：求Q=0.005x2y在条件x+2y=150下的条件极值．可解得x=100，y=25．SSS_TEXT_QUSTI37.计算二重积分，其中D是由直线y=-1，y=1，x=1及x=2围成的平面区域．该题您未回答:х该问题分值: 1.5答案:3SSS_TEXT_QUSTI38.计算二重积分，其中D是由曲线y=x2及y=x所围成的平面区域．该题您未回答:х该问题分值: 1.5答案:．或．SSS_TEXT_QUSTI39.，其中D是由直线y=x，y=1及y轴所围成的平面区域．该题您未回答:х该问题分值: 1.5答案:．或SSS_TEXT_QUSTI40.，其中D是由直线x=2，y=x及双曲线xy=1所围成的平面区域．该题您未回答:х该问题分值: 1.5答案:SSS_TEXT_QUSTI41.，其中D是由直线y=0，，x=2所围成的平面区域．该题您未回答:х该问题分值: 1.5答案:SSS_TEXT_QUSTI42.，其中D是由直线y=x，y=2x，x=2，x=4所围成的平面区域．该题您未回答:х该问题分值: 1.5答案:SSS_TEXT_QUSTI43.求，其中D是由直线y=x，y轴，y=1所围成的平面区域．该题您未回答:х该问题分值: 1.5答案:说明如果将此题化为先对y积分后对x积分，其计算量较大．SSS_TEXT_QUSTI44.将二重积分化为二次积分，其中D是由直线x+y=1，x-y=1，x=0所围成的平面区域．该题您未回答:х该问题分值: 1.5答案:或交换下列二次积分次序．SSS_TEXT_QUSTI45.该题您未回答:х该问题分值: 1.5答案:SSS_TEXT_QUSTI46.(a＞0为常数)该题您未回答:х该问题分值: 1.5答案:SSS_TEXT_QUSTI47.计算二重积分该题您未回答:х该问题分值: 1.5答案:试将下列直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分SSS_TEXT_QUSTI48.该题您未回答:х该问题分值: 1.5答案:SSS_TEXT_QUSTI49.该题您未回答:х该问题分值: 1.5说明首先根据给定的二次积分先画出积分区域，再将积分区域用极坐标表示出来．(1)的积分区域是半径为R，圆心为(R，0)的x轴上方的半圆，用极坐标表示为0≤θ≤，0≤r≤2Rcosθ；(2)的积分区域是以原点为圆心半径为R 的在第一象限内的圆．计算下列二重积分：SSS_TEXT_QUSTI50.，其中D为x2+y2≤a2，x≥0，y≥0所围成的区域；该题您未回答:х该问题分值: 1.5答案:SSS_TEXT_QUSTI51.，其中D为x2+y2≤1，x≥0所围成的区域；该题您未回答:х该问题分值: 1.5答案:SSS_TEXT_QUSTI52.，其中D为x2+y2≤4，x2+y2≥1，y≤x，y≥0所围成的区域；该题您未回答:х该问题分值: 1.5答案:SSS_TEXT_QUSTI53.，其中D为由x2+y2≤R2，x≥0，y≥0所围成的区域；该题您未回答:х该问题分值: 1.5积分区域D的极坐标表达式为0≤θ≤，0≤r≤R，于是；SSS_TEXT_QUSTI54.，其中D为以x2+y2=2x为边界的上半圆域．该题您未回答:х该问题分值: 1.5答案:SSS_TEXT_QUSTI55.利用重积分求由平面和三个坐标平面所围成的立体的体积(其中a＞0，b＞0，c＞0)．该题您未回答:х该问题分值: 1.5答案:由二重积分的几何意义知，，其中积分区域为x轴、y轴以及直线所围成的平面区域，于是SSS_TEXT_QUSTI56.利用二重积分求由曲线y=x2与y2=x所围成的面积．该题您未回答:х该问题分值: 1.5答案:由二重积分的性质3知，其中积分区域为曲线y=x2与y2=x所围成的平面图形，于是．SSS_TEXT_QUSTI57.求由柱面x2+y2=a2，z=0及平面x+y+z=a所围成的立体的体积．该题您未回答:х该问题分值: 1.5答案:由二重积分的几何意义知．其中D：x2+y2≤a2，利用极坐标系可得SSS_TEXT_QUSTI58.设有平面三角形薄片，其边界线可由方程x=0，y=x及y=1表示，薄片上的点(x，y)处的密度ρ(x，y)=x2+y2，求该三角形薄片的质量．该题您未回答:х该问题分值: 1.5答案:SSS_TEXT_QUSTI59.设半径为1的半圆形薄片上各点处的面密度等于该点到圆心的距离，求该薄片的质量．该题您未回答:х该问题分值: 1.5答案:先求密度函数为μ(x，y)=，于是有SSS_TEXT_QUSTI60.设f(x)在[0，1]上连续，证明该题您未回答:х该问题分值: 1.5答案:求证由可知积分区域为曲线y=x2，y=1，y轴所围成的平面区域，交换积分次序得SSS_TEXT_QUSTI61.，其中D为x2+(y-1)2≤1与x+y≤2所围成的区域．(提示：此题应在直角坐标系下求，先对x积分，积分区域要分块．)该题您未回答:х该问题分值: 1.5答案:在直角坐标系下求二重积分，先对x积分．1。
2006年浙江省大学高等数学(微积分)竞赛试题及解答
2006年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题及解答一．计算题1. 求()1lim 2xx x e x →∞⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦.解法一 令1t x =，原式011lim 2t t e t t →⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()0211limtt t e t→-+=()0lim 211tt t e →=+=；解法二 原式112lim 1x x x e x e x -→∞⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭121lim1xx e x x-→∞-+=122221lim1xx e xxx-→∞-+=-1lim 21x x e -→∞⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.2. 求()()2ln 2ln 132x x dx x x +-+++⎰.解：原式()()()11ln 2ln 112x x dx x x ⎛⎫=+-+-⎪++⎝⎭⎰ ()()()()()()ln 2ln 1ln 2ln 1x x d x x =-+-++-+⎰()()21ln 2ln 12x x C =-+-++⎡⎤⎣⎦.3. 求曲线222,arctan ,y x t t y t e e ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩在0t =处的切线方程.解：当0t =时，()00x =，()02y =，由22x t t =-，22dx t dt=-，2t dx dt==-，由2arctan yy t e e +=，21arctan 01yy t y e y t''+⋅+=+，该式中令0t =，2y =， 解出()220t dy y dt e='==-，因此201t dy dxe==，所求曲线()y fx =在0t =处的切线方程为()2120y x e-=-，即212y x e=+.4. 设()1x fx x=+，求()()10fx .解：()()()112211111x fx x x x-+-==+-++()()12f x f x =+，()()1121112f x x -'=+，()()1221111122f x x -⎛⎫''=-+ ⎪⎝⎭，，()()()1101021111191222f x x -⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1122112f x x --'=-+，()()1222111122f x x --⎛⎫''=---+ ⎪⎝⎭，，()()()1101022111191222f x x --⎛⎫⎛⎫=-----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()10101012fx f x f x =+()()()()()()91019212210101113171131719122x x ----=⋅+-⋅⋅+()192101317191121x x -⋅⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭ .二．设()36xxfx e=-，问()0fx =有几个实根？并说明理由.解：()22xxf x e '=-，()xf x e x ''=-，显然()0x f x e x ''=->，(),x ∈-∞+∞，()f x '在(),-∞+∞上严格递增； ()11102f e '-=-<，()010f '=>，由零点定理，存在唯一()01,0x ∈-，使得()00f x '=，即0x 为()f x 的唯一的驻点.同时，0x 为()fx 在(),-∞+∞内唯一的极小值点，也是最小值点， 又在()1,0-，()306xxf x e=->，故方程()0fx =在(),-∞+∞内无实根.三．已知()323lim1x x x ax b →∞++-=，求a ，b 的解.解：由条件，可得()32310lim1x x x ax b x→∞=++--3211lim 1x a x x →∞⎛⎫=++- ⎪⎝⎭1a =-， 于是1a =，从而()323lim1x b x x x →∞=++-3211lim 11x x x x →∞⎛⎫=++- ⎪⎝⎭221332211lim 1111111x x xx x x x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13=.四．求由0y =，1y x e=，ln y x =围成的平面图形D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体体积. 解：1y x e=与ln y x =的交点坐标为2x e =，1y =，在()20,e内，1lnx x e>，所以D 的面积221ln e ex A dx x dx e=-⎰⎰()22321121ln 132ee x x x e =⋅--()2136e=-；或者()1222yA ee ydy =-⎰122301123yeey ⎛⎫=-⎪⎝⎭ ()2136e=-；D 绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积222211ln 4e ex V dx xdx eππ=-⎰⎰()221l n l n2224e e x x x x ππ=--+⎡⎤⎣⎦2π=；或者()12222yV y ee ydy π=-⎰1222yydee ππ=-⎰1221222y y e e πππ⎛⎫=--=⎪⎝⎭.五．设()f x 有连续的二阶导数，证明：()()()()000x f x f f x tf x t dt '''=++-⎰.证明：因为()0xtf x t dt ''-⎰()()0x td f x t '=--⎰()()00x xf f x t dt ''=-+-⎰()()()00xd xf f x t dt dt'=-+--⎰()()()00xf f f x '=--+，所以()()()()000x f x f f x tf x t dt '''=++-⎰.六．证明：(),x ∀∈-∞+∞，sin sin 2sin a x b x x +≤的充分必要条件为21a b +≤. 证明：必要性设sin sin 2sin a x b x x +≤，两边分别约去sin 0x ≠， 由此，得2cos 1a b x +≤，令0x →，取极限，得21a b +≤，在2cos 1a b x +≤中，令x π→，取极限得21a b -+≤， 当a ，b 同号时，221a b a b +=+≤， 当a ，b 异号时，221a b a b +=-≤. 充分性设21a b +≤，因为2cos 21a b x a b +≤+≤， 两边同时乘以sin x ，所以sin sin 2sin a x b x x +≤.。
微积分试题及答案
微积分试题及答案微积分试题及答案第⼀章函数极限与连续⼀、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶⽆穷⼩。
4、01sin lim 0=→xx kx 成⽴的k 为。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是⾮零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价⽆穷⼩，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
⼆、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。
（Ａ）α是⽐β⾼阶的⽆穷⼩；（Ｂ）α是⽐β低阶的⽆穷⼩；（C ）α与β是同阶⽆穷⼩；（D ）βα~。
14-15第一学期微积分I高等数学期末试卷及答案(A卷)
一、计算下列各题：（每小题4分，共36分）1．求极限)0(21lim 1>++++∞→p nn p pp p n 。
2．求2cos ()x t x f x e dt =⎰的导数。
3．求由曲线3y x =-，1x =，2x =，0y =所围成的图形面积。
4．计算广义积分20x x e dx +∞-⎰。
厦门大学《微积分I 》课程期末试卷试卷类型：（理工类A 卷） 考试日期 2015.1.215．计算定积分120sin 2x x dx π⎡⎤⎛⎫⎢ ⎪⎢⎝⎭⎢⎣⎰。
6．求方程2x ydy dx +=的通解。
7．求不定积分2(1)(1)xdx x x ++⎰。
8．求方程1y y x x'-=的通解。
9．已知11y =，21y x =+，231y x =+都是微分方程2222x y xy y '''-+=的解，求此方程的通解。
二、计算下列各题：（每小题5分，共30分）1． 求极限20)(02sin limx dt e x x t x x ⎰-→⋅。
2.计算22sin 2cos x x dx x ππ-⎤⎥+⎦⎰。
3．设函数)(x y y =由方程1cos 020322=+⎰⎰dt t dt e x y t 决定，求dxdy 。
4. 求微分方程32y y ''=满足初始条件00|1,|1x x y y =='==的特解。
5．求曲线⎰=x t t x f 0d sin )(相应于π≤≤x 0的一段弧的长度。
6. 设物体作直线运动，已知其瞬时速度2()(/)v t t =米秒，其受到与运动方向相反的阻力()5()F t v t =（牛顿），求物体在时间间隔[]0,1（单位秒）内克服阻力所作的功。
三、计算下列各题：（每小题6分，共24分）1．求微分方程32()()1dy x x y x x y dx++-+=-的通解。
2．设0>a ，求直线231aa x y +-=与x 轴，y 轴所围三角形绕直线a x =旋转一周所得旋转体的体积。
历年浙江省高等数学(微积分)竞赛--工科类试题.
04年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（工科类）一．计算题（每小题15分，满分60分）．计算：lim。
解: 原式其中原式1 0000x00①lim在课堂上作为一个典型的例子x②2．计算：解: 原式。
2dx4 dx44其他想法: 原式后者22022)204dt, 看来做不下去了!!!3．求函数在2上的最大、小值。
解: ①在圆内(开集)解得驻点但不在圆域内.15), 8②在圆周上求的极值, 是条件极值问题.解得: 驻点故最大值为最小值为．计算：，其中D。
D二．（本题满分20分）设，求解:则则两边对x求阶导数,由莱布尼茨公式得:令得:而当n为偶数;则当n为奇数;1在三．（本题满分20分）设椭圆点的切线交轴于B点，设l为从A到B的直线段，试计算。
两边对x求导得: 解: 方程则直线段l的方程为令则四．（本题满分20分）设函数f连续，，且，ab试证明：，。
证明: ①aiinbn由于故无论怎么分、怎么取，存在且相等，即，n由于f连续，故，；（理由说的不够充分）②假设存在，使得，不妨设，则都有，由于函数f连续，故在内存在最大、最小值分别为M0,m0，显然，而ab与矛盾，ab故假设错误，即，。
五．（本题满分15分）判别级数n的敛散性。
解：斯特林公式：极限形式：limn!enn收敛.121故判别的敛散性:0 证明即1) 当显然成立;2) 假设n时也成立,即nn3) 当时nnnn而是单调递增数列, 而且有界(证明两个重要极限里第2个).33而由夹逼定理得99而收敛, 由比较判别法得:1也收敛.六．（本题满分15分）设函数在上连续，证明：，。
证明许瓦兹不等式:①有限项情况(乘积和的平方小于等于平方和的乘积)②可推广到可数情况③均值的形式④积分的形式:2005年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题一、计算题（每小题12分满分散60分）1．计算．设可导，求常数a,b的值．计算8 n4．计算5．求函数的值。
二、（本题满分20分）设f(x)在点二阶可导，且lim求f(0),f'(0)和f''(0)的值。
专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(一)_真题-无答案
专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(一)(总分93,考试时间90分钟)一、填空题1. 求下列函数的定义域.．2. 求下列函数的定义域.u=ln(x2-y-1)．3. 求下列函数的定义域.．4. 求下列函数的定义域.．5. 设，则=______．6. 设，则=______．7. 设，则=______．8. 设，则=______．9. 设函数，则=______，=______．10. 设函数，则=______．11. 函数z=ln(1+x2-y2)的全微分dz=______．12. 函数z=x2-2xy+y2的全微分=______．13. =______．14. 若积分区域D是由x=0，x=1，y=0，y=1围成的矩形区域，则=______15. 交换二次积分次序=______．16. 设区域D={(x，y)|x2+y2≤4}，则=______．17. 平面上一块半径为2的圆形薄板，其密度函数为1，则这块薄板的质量为______．二、解答题求下列各函数对x，y的偏导数：1. z=ex2+y；2. ；3. z=ln(ln x+ln y)；4. ；5. z=sin(x+2y)+2xy；6. z=(xy)μ(其中μ为非零常数)．求下列函数的二阶偏导数：7. z=sin xy；8. z=ln(x2+xy+y2)．9. 设函数z=ln(1-x+y)+x2y，求．10. 设z=x2y-xy2，x=ucos v，y＝usinv，求．11. 设z＝arctan xy，y=ex，求．12. 设，x=u-2v，y=2u+v，求．13. 设z=(2x+y)(2x+y)，求．14. 设z=f(x2+y2，exy)，其中f(u，v)有连续偏导数，求．15. 设，其中φ有连续偏导数，证明．求下列各式确定的隐函数y=f(x)的导数：16. cos y-ex+2xy=0；17. ．求下列各式确定的隐函数z=f(x，y)的偏导数：18. x2+y2+z2-3xyz=0；19. ．20. 设z=arctan(xy)+2x2+y，求dz．求下列各函数的全微分dz：21. ；22. z=ln(3x-2y+3)；23. z=exy(x2+y2)；24. z=arctan xy；25. z=xe-xy+sin(xy)；26. z=sin(x+y)-x2+y2．27. 设，求28. 设z=f(2x+3y，exy)，其中f(u，v)有连续偏导数，求dz．29. 设z=z(x，y)是由方程yz+x2+z=0确定，求dz．30. 设z=f(x，y)，由方程x2+y2+z2-4z=0确定，求在点(1，-)；(，0)；(0，)处的全微分．31. 设z=f(x，y)由方程cos2x+cos2y=1+cos2z所确定，求dz．求下列函数的极值与极值点．32. f(x，y)=4x+2y-x2-y2；33. f(x，y)=e2x(x+y2+2y)；34. f(x，y)=y3-x2+6x-12y+5．求下列条件极值．35. 做一个体积为V的无盖的圆柱形桶，试问当桶的高和底面半径各是多少时，可使圆桶所用的材料最省．36. 设生产某种产品的数量Q与所用两种原料A，B的数量x，y间有关系式Q=Q(x，y)=0.005x2y，欲用150元购买原料，已知A，B原料的单价分别为1元，2元，问购进两种原料各多少时，可使生产的产品数量最多?37. 计算二重积分，其中D是由直线y=-1，y=1，x=1及x=2围成的平面区域．38. 计算二重积分，其中D是由曲线y=x2及y=x所围成的平面区域．39. ，其中D是由直线y=x，y=1及y轴所围成的平面区域．40. ，其中D是由直线x=2，y=x及双曲线xy=1所围成的平面区域．41. ，其中D是由直线y=0，，x=2所围成的平面区域．42. ，其中D是由直线y=x，y=2x，x=2，x=4所围成的平面区域．43. 求，其中D是由直线y=x，y轴，y=1所围成的平面区域．44. 将二重积分化为二次积分，其中D是由直线x+y=1，x-y=1，x=0所围成的平面区域．交换下列二次积分次序．45.46. (a＞0为常数)47. 计算二重积分试将下列直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分48.49.计算下列二重积分：50. ，其中D为x2+y2≤a2，x≥0，y≥0所围成的区域；51. ，其中D为x2+y2≤1，x≥0所围成的区域；52. ，其中D为x2+y2≤4，x2+y2≥1，y≤x，y≥0所围成的区域；53. ，其中D为由x2+y2≤R2，x≥0，y≥0所围成的区域；54. ，其中D为以x2+y2=2x为边界的上半圆域．55. 利用重积分求由平面和三个坐标平面所围成的立体的体积(其中a＞0，b＞0，c＞0)．56. 利用二重积分求由曲线y=x2与y2=x所围成的面积．57. 求由柱面x2+y2=a2，z=0及平面x+y+z=a所围成的立体的体积．58. 设有平面三角形薄片，其边界线可由方程x=0，y=x及y=1表示，薄片上的点(x，y)处的密度ρ(x，y)=x2+y2，求该三角形薄片的质量．59. 设半径为1的半圆形薄片上各点处的面密度等于该点到圆心的距离，求该薄片的质量．60. 设f(x)在[0，1]上连续，证明61. ，其中D为x2+(y-1)2≤1与x+y≤2所围成的区域．(提示：此题应在直角坐标系下求，先对x积分，积分区域要分块．)。
浙江省2013年7月自学考试《高等数学(一)微积分》试题00020
绝密 ★ 考试结束前浙江省2013年7月高等教育自学考试高等数学（一）试题课程代码：00020请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。
错涂、多涂或未涂均无分。
1.下列各对函数中，表示同一个函数的是A.()211x f x x =+－与g (x )=x －1 B.f (x )=lg x 2与g (x )=2lg x C.()f x =g (x )=sin x D.f (x )=| x |与g (x2.x =1是函数()f x =A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点3.下列函数中在给定的区间上满足罗尔定理条件的是A.f (x )=xe －x ,［0,1］B.(),010,1x x f x x ≤<⎧=⎨=⎩C.()45,1,123f x x =+［－］ D.f (x )=| x |,［－1,1］ 4．设()()221x x f t dt a a f x =⎰－，为连续函数，则f (x )等于A.2a 2xB.a 2x ln aC.2xa 2x －1D.2a 2x ln a5．设函数f (x ,y )=a (x －y )－x 2－y 2在点（2,-2）处取到极值，则A.a =2,(2,－2)为极大值点B.a =4,(2,－2)为极大值点C.a =－4,(2,－2)为极小值点D.a =4,(2,－2)为极小值点非选择题部分注意事项：用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
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一、单项选择题：（4分×6=24分）
1、函数y =︱x-1︱在x=1处（ ）
A ．连续可导
B ．连续不可导
C ．可导不连续
D ．不连续，不可导
2、下列极限错误的是（ ）
A ．∞=→x e x 10lim
B ．0lim 10=+→x e x
C ．+∞=+→x e x 10lim
D ．1lim 1=∞→x
e x 3、设任意的x 有f(-x)=-f(x),且
f ’(-x)=-k (k ≠0)
则f ’(x 0)=( )
A ．k
B ．- k
C ．k 1
D ．-k
1 4、函数在定义域内（ ）
A ．单调增加
B ．单调减少
C ．曲线上凹
D ．曲线下凹
5、如果⎰⎰=)()(x dg x df ，则一定有（ ）不成立
A ．f(x)=g(x)
B ．f ’(x)=g ’(x)
C ．df(x)=dg(x)
D ．⎰⎰=)()(''x g d dx x f d
6、设c e dx x f x +=⎰-)(，则⎰dx x xf )(=( )
A ．e -x (1-x)+c
B ．e -x (1+x)+c
C ．e -x (x-1)+c
D ．-e -x (1+x)+c
二、填空题：（3分×10=30分）
1、设，则的定义域为 。
2、计算极限)3(cos lim
1102+-++→x x x x = 。
3、5lim 102=-+++→x a ax x x ，则a,b 的值分别为 。
4、计算极限x x )1(lim 10-+
→= 。
5、设y=f （e x ）e f （x ），则y ’= .
6、设y=1+xe y ，则y ’= .
7、设x
x y cos 1sin 5+=.则y ’= 8、函数y=x 2e -x 的极小值为 .
9、计算不定积分⎰dx x x ln
= .
10、计算不定积分=+⎰dx x f )32(' .
三、填空题：（3分×10=30分）
1、计算极限20lim x e e x x
x --→
2、已知f(x)= ⎪⎩⎪⎨⎧>≤+)0(2sin )0(2x x
bx x bx a 在x=0连续。
问a 、b 应满足什么的关系 3、计算不定积分⎰dx e x x 2
4、已知函数f(x)=asinx+x 3sin 31在x=3
π取得极值，试确定a 的值，并问它是极大值或是极小值？并确定此极值
四、证明题：
1、证明方程x3-3x2-x+3=0区间（-2，0），（0，2），（2，4）内各有一个实根
2、证明不等式
︱sinx2- sinx1︱≤︱x2- x1︱。