人教版高中数学必修第二册8.2椭圆的几何性质教案
高中数学椭圆教案
椭圆【考点透视】 一、考纲指要1．熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及参数方程．2．考查椭圆的离心率，直线的方程，平面向量的坐标表示，方程思想等数学思想方法和综合解题能力. 二、命题落点圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题，主要考查直线方程,平面向量及椭圆的几何性质等基本知识,考查综合运用数学知识解决问题以及推理能力. 【典例精析】例1：已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线． （1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且),( R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值．解析:（1）设椭圆方程为22221(0),(,0)x y a b F c a b +=>>,则直线AB 的方程y x c =-代入22221x ya b +=,化简得22222222()20a b x a cx a c a b +-+-=．令1122(,),(,)A x yB x y ,则22222222212122,a c a c a bx x x x a b a b -+==++．由1212(,),(3,1),OA OB x x y y a OA OB+=++=-+与a 共线,得 12123()()0y y x x +++=,又1122,y x c y x c=-=-，12121233(2)()0,2cx x c x x x x ∴+-++=∴+=．即222232a c c a b=+,所以223a b = ，2263a c a b ∴=-=， 故离心率63c e a ==．（2）由（１）知223a b =,所以椭圆22221x ya b +=可化为22233x y b += 设(,)OM x y =,由已知得1122(,)(,)(,)x y x y x y λμ=+，1212,.x x x y y y λμλμ=+⎧⎪∴⎨=+⎪⎩ (,)M x y 在椭圆上,2221212()3()3x x y y b λμλμ∴+++=，即222222211221212(3)(3)2(3)3x y x y x x y y bλμλμ+++++= ①由（1）知222212331,,222x x c a c b c+===， 222222212121212123,833()()a c ab x xc a bx x y y x x x c x c -∴==+∴+=+--2121222243()3393220.x x x x c cc c c =-++=-+=又222222112233,33x y b x y b+=+=代入①，得221λμ+=．故22μλ+为定值,定值为1 ．例2：如图，点A 、B 分别是椭圆2213620x y +=长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA PF ⊥． （1）求点P 的坐标；的距离等于MB，（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值． 解析:（1）由已知可得点A （－6，0），F （4，0）x设点P 的坐标是},4{},,6{),,(y x FP y x AP y x -=+=则， 由已知得.623,018920)4)(6(120362222-===-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+x x x x y x x y x 或则由于).325,23(,325,23,0的坐标是点于是只能P y x y ∴==>（2）直线AP 的方程是.063=+-y x设点M 的坐标是（m ，0），则M 到直线AP 的距离是2|6|+m ，于是,2,66|,6|2|6|=≤≤--=+m m m m 解得又椭圆上的点),(y x 到点M 的距离d ，有,15)29(94952044)2(222222+-=-++-=+-=x x x x y x d由于.15,29,66取得最小值时当d x x =∴≤≤-例3：（2005·福建）已知方向向量为)3,1(=v 的直线l 过点（32,0-）和椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上. （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点E （－2，0）的直线m 交椭圆C于点M 、N ，满足4OM ON ⋅=∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m 由.解析:（1）直线:l y =- ①过原点垂直l 的直线方程为xy 33-=， ②解①②得.23=x ∵椭圆中心（0，0）关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上，.32322=⨯=∴c a∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）..2,6,222===∴b a c 故椭圆C 的方程为.12622=+y x ③（2）设M （11,y x ），N （22,y x ）.当直线m 不垂直x 轴时，直线)2(:+=x k y m 代入③，整理得,061212)13(2222=-+++k x k x k,13612,131222212221+-=⋅+-=+∴k k x x k k x x,13)1(62136124)1312(14)(1||22222222212212++=+-⋅-+-+=-++=k k k k k k kx x x x kMN点O 到直线MN 的距离21|2|k k d +=．,cot 634MON ON OM ∠=⋅ 即||||cos 0,OM ON MON ⋅∠=≠||.632,634sin ||||⋅∴=∴=∠⋅∴∆d MN S MON ON OM OMN 即).13(6341||6422+=+k k k 整理得.33,312±=∴=k k 当直线m 垂直x 轴时，也满足632=∆OMN S .故直线m 的方程为,33233+=x y或,33233--=x y 或.2-=x经检验上述直线均满足0≠⋅ON OM .所以所求直线方程为,33233+=x y 或,33233--=x y 或.2-=x【常见误区】解析几何问题，基本上都与方程思想相结合，因而要注意直线方程与曲线方程联立起来，结合根与系数的关系，或直接解出根，是高考常用的方法，要注意有关方法的练习、归纳，要注意运算的优化，要注意利用数形结合，挖掘隐含性质,这也是考生思维的一个障碍点. 【基础演练】1．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m= （ ）A ．3B ．23C ．38D ．322．设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是（ ）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27-3． 设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）A ．22B ．212 C ．22 D 214．点)1,3(-P 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左准线上，过点P 且方向为)5,2(-=a 的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为（ ）A ．33B ．31C ．22D ．215．已知B A ),0,21(-是圆221:()4(2F x y F-+=为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 .6．如图所示, 底面直径为12cm 的圆柱被与底面成30的平面所截， 其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长 ，短轴长 ，离心率为 ．7． 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别是 )0,(1c F -、)0,(2c F ，Q 是椭圆外的动点，满足a Q F 2||1=，点Ｐ是线段Q F 1与该椭圆的交点，点Ｔ在线段Q F 2上，并且满足0||,022≠=⋅TF TF PT ．（1）设x 为点Ｐ的横坐标，证明 x a c a P F +=||1；（2）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；（3）试问：在点Ｔ的轨迹Ｃ上，是否存在点Ｍ，使△21MF F 的面积2b S =．若存在，求∠21MF F 的正切值；若不存在，请说明理由．8．已知椭圆C ：22a x ＋22b y ＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线l ：y ＝ex ＋a 与x轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F1关于直线l 的对称点，设AM ＝λAB .（1）证明：λ＝1－e2；（2）若43=λ，△PF1F2的周长为6，写出椭圆C 的方程；（3）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.ＱyxO1F 2F P9． 设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（1）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（2）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.。
高中数学——椭圆方程及几何意义(文)(教案)
椭圆方程及几何意义【知识导图】知识讲解知识点1 椭圆的定义(1)平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数(大于｜｜21F F )的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)集合c F F a MF MF M P 2||},2|||||2121==+=｛，其中c a ,为常数且0,0>>c a . ①当｜｜212F F a >，即c a >时，M 点的轨迹为椭圆； ②当｜｜212F F a =，即c a =时，M 点的轨迹为线段F 1F 2； ③当｜｜212F F a <，即c a <时，M 点的轨迹不存在．知识扩展：1．点),(00y x P 和椭圆的关系(1)点),(00y x P 在椭圆内⇔1220220<+b ya x(2)点),(00y x P 在椭圆上⇔1220220=+b ya x .(3)点),(00y x P 在椭圆外⇔1220220>+bya x .2．焦点三角形椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点),(00y x P 与两焦点构成的焦点三角形21PF F 中，若θ=∠21PF F ，则2tan cos 1sin sin ||||21222121θθθθb b PF PF S PF F =+==∆ 3．过焦点垂直于长轴的弦长椭圆过焦点垂直于长轴的半弦长为ab 2例题解析类型1 椭圆的定义与标准方程【例题1】如图所示，一圆形纸片的圆心为F O ,是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆【答案】A由条件知||||PF PM =.||||||||||||OF R OM PM PO PF PO >==+=+∴∴P 点的轨迹是以F O ,为焦点的椭圆．【例题2】已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，则椭圆的方程为________. 【答案】12322=+y x 设椭圆方程为)0,0(122n m n m ny mx ≠>>=+且． ∵椭圆经过点21,P P ，∴点21,P P 的坐标适合椭圆方程．则61321m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3191n m ∴所求椭圆方程为13922=+y x . 【例题3】已知)0,1(),0,1(21F F -是椭圆C 的两个焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线交C 于B A ,两点，且3|=AB ｜，则C 的方程为__________. 【答案】13422=+y x 由题意有1=c ①又322=ab ② ①②两式联立，解得⎩⎨⎧==32b a∴所求椭圆方程为13422=+y x 【总结与反思】1.在解题中凡涉及椭圆上的点到焦点的距离时，通常利用定义求解.2.求椭圆方程的方法，除了直接根据定义法外，常用待定系数法.当椭圆的焦点位置不明确时，可设方程为)0,0(122>>=+n m ny m x .3.椭圆中有“两轴”(两条对称轴)，“六点”(两个焦点、四个顶点)，注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)及相互间的距离等. 类型二 椭圆的几何性质【例题4】已知椭圆110222=-+-my m x 的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 【答案】A∵椭圆110222=-+-my m x 的长轴在x 轴上， ⎪⎩⎪⎨⎧->->->-∴,102,010,02m m m m 解得106<<m . 焦距为4，41022=+--=∴m m c ，解得8=m .【例题5】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点，直线2by =与椭圆交于C B ,两点，且︒=∠90BFC ，则该椭圆的离心率是 ________.【答案】36 【解析】将2b y =代入椭圆的标准方程，得14b 2222=+ba x ， 所以a x 23±=，故)2,23(),2,23(b a C b a B - 又因为(),0F c，所以3(,),(,)22b bBF c a CF c =+-=--. 因为︒=∠90BFC ，所以0=•F C F B，所以0)2()23)(23(2=-+-+ba c a c ，即04143222=+-b a c ，将222c a b -=代入并化简，得2223c a =，所以32222==a c e ，所以36=e (负值舍去)．【总结与反思】1.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析．2．求椭圆离心率的主要方法有：(1)直接求出c a ,的值，利用离心率公式直接求解．(2)列出含有c b a ,,的齐次方程(或不等式)，借助于222c a b -=消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解．课堂练习【基础】1.与圆1)3(:221=++y x C 外切，且与圆81)3-(:222=+y x C 内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________．2.已知21,F F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且︒=∠6021PF F ，3321=∆F PF S ，则=b ________.3.已知），（），（01,01-21F F 是椭圆C 的两个焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线交C 于B A ,两点，且3||=AB ，则C 的方程为__________.4.已知椭圆14922=-+k y x 的离心率为54，则k 的值为( ) A ．21- B ．21 C ．1925-或21 D ．2519或21- 5.过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为椭圆的右焦点，若︒=∠6021PF F ，则椭圆的离心率为( ) A ．22 B ．33 C ．21 D ．31 6.已知椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别为21,A A ，且以线段21A A 为直径的圆与直线02=+-ab ay bx 相切，则C 的离心率为( )A ．36 B ．33 C ．32D ．31 答案与解析1、【答案】1162522=+y x 设动圆的半径为r ，圆心为),(y x P ，则有r PC r PC -=+=9||,1||21， 所以||10||||2121C C PC PC >=+，即P 在以），（），（03,03-21C C 为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P 的轨迹方程为1162522=+y x . 2、【答案】3由题意得a PF PF 2||||21=+， 又︒=∠6021PF F ，所以221212221||60cos ||||2||||F F PF PF PF PF =︒-+， 所以2212214||||3|)||(|c PF PF PF PF =-+， 所以2222144-4||||3b c a PF PF ==，所以34||||221b PF PF =，所以3323342160sin |||2122121=⨯⨯=︒=∆b PF PF S F PF ｜，所以3=b 3、【答案】13422=+y x 依题意，设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ．过点），（012F 且垂直于x 轴的直线被曲线C 截得弦长3||=AB ， ∴点)23,1(A 必在椭圆上，149122=+∴ba 又由1=c ，得221a b =+ 得4,322==a b .故所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、【答案】D当049>->k ，即45-<<k 4时，k k c a +=--==5)4(9,32，5435=+∴k ，解得2519=k . 当k -<49，即5-<k 时，k a -=4，52--=k c ，5445=---∴kk ，解得21-=k ，所以k 的值为2519或21-. 5、【答案】B由题意，可设),(2ab c P -.因为在21F PF Rt ∆，a b PF 21||=，c F F 2||21=，︒=∠6021PF F ，所以322=bac.又因为222c a b -=，所以032322=-+a ac c ，即03232=-+e e ，解得333-==e e 或，又因为)1,0(∈e ，所以33=e . 6、【答案】A由题意知以21A A 为直径的圆的圆心坐标为)0,0(，半径为a ． 又直线02=+-ab ay bx 与圆相切， ∴圆心到直线的距离a ba ab d =+=222，解得b a 3=，31=∴a b ， 36)(1222=-=-==∴a b a b a a c e 故选A.【巩固】1.已知O 为坐标原点，F 是椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x 的左焦点，B A ,分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且x PF ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） A.31 B.21 C.32 D.432.一个圆经过椭圆141622=+y x 的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点，直线2b y =与椭圆交于C B ,两点，且︒=∠90BFC ,则该椭圆的离心率是 .答案与解析 1.【答案】A由题意设直线l 的方程为)(a x k y +=,分别令c x -=和0=x 得点)(||c a k KM -=,ka OE =||，由CBM OBE ∆∆~,得||||||||21BC OB FM OE =,即c a a c a k ka +=-)(2，整理，得31=a c ，所以椭圆离心率为31=e ,故选A. 2.【答案】425)23(22=+-y x设圆心为)0,(a ，则半径为a -4，则2222)4(+=-a a ，解得23=a ，故圆的方程为425)23(22=+-y x . 3.【答案】36由题意得)2,23(),2,23(b a C b a B -，因36230)2()23(22222=⇒=⇒=+-e a c b a c 【拔高】1.设椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，其焦距为c 2，点）2,(a c Q 在椭圆的外部，点P 是椭圆C 上的动点，且||35||||211F F PQ PF <+恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（）A.)43,0( B.），（4322C. ），（122D. ），（143【答案】D点)2,acQ（在椭圆的外部，则aba22>，解得222ac>，22>∴ac，即22>e。
《椭圆的简单几何性质》课件
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
3、椭圆的顶点
x2 a2
b y2 2
1(ab0)
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ y
*顶点：椭圆与它的对称轴
B2 (0,b)
的四个交点，叫做椭圆的
顶点。
A1
*长轴、短轴：线段A1A2、 (-a，0)F1 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。
x
找出a、b、c所表示的线段。B1
△B2F2O叫椭圆的特征三角形。
二、椭圆 x2 y2 1简单的几何性质
a2 b2
1、范围：
问题1：指出A1 、A2 、B1、B2 的坐标？ 问题2：指出椭圆上点的横坐标的范围？ 问题3：指出椭圆上点的纵坐标的范围？ 结论：椭圆中 -a ≤ x ≤a, -b ≤ y ≤b. 椭圆落在x=± a, y= ± b组y 成的矩形中
b
a
oc
F2
B1 (0,-b)
A2(a，0)
a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1）
x2 y2 1
25 16
（2） x2 y2 1 25 4
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4 B1
y
4
3 2
B2
A1
长半轴长为a,短半轴长为b. a>b e c a
c2 a2b2
标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率
高中数学教学课例《椭圆几何性质的应用》课程思政核心素养教学设计及总结反思
学生独立完成的训练题要足够，让学生通过反复训
练熟悉公式运用。增加成就感。
教学策略选
公式、例题、训练的顺序进行，一组一组知识点、
择与设计 公式、练习推进。给予学生更具体代入公式的过程体会。
弦长公式：|AB|＝=
1.教师介绍给出弦长公式；2.教师带领学生解决例
2（1）例 2 已知椭圆 36(x2)＋9(y2)＝1 和点 P(4,2)，
然后小组交流完成一道具体的题，用集体的力量完成运
算。最后通过独立完成 2练习小结的时间和经历
还给学生，让学生更多参与进课堂，实践出真知。
教学目标
2.掌握直线与圆的位置关系等相关知识。
学科素养：直观想象、数学抽象、数学运算
学生已经学习过直线与圆的位置关系，对于位置关
系的理解和求交点的方法、步骤有一定的基础，但计算
有些慢。
学生学习能
学生对公式的实际代入有一定的困难，需要教师给
力分析 予具体的例子展示，陪伴学生实际经历一次，便于体会
公式中各个量的实际意义。
习。
本节课面对的学生数学基础较薄弱，计算能力较
弱。所以，公式的推导不进行，直接将公式作为工具进
行理解运用。先进行公式介绍，初步熟悉，然后进行快
速记忆，有大概印象，再由老师带着进行具体例子的实
课例研究综 际代公式运算，算后总结步骤和公式与实际运算中数据
述
的对应，体会过程，形成过程记忆，便于联想记忆公式。
直线 l 经过点 P 且与椭圆交于 A，B 两点．
(1)当直线 l 的斜率为 2(1)时，求线段 AB 的长度； 教学过程
3 个公式具体的解题步骤都详细经历。3.回顾小结求弦
长的步骤，公式中各个量的意义，在何处出现。4.学生
课 题：8.2椭圆的简单几何性质(三)
课 题：8．2椭圆的简单几何性质（三）教学目的：1. 能推导，掌握椭圆的焦半径公式，并能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题；2．能利用椭圆的有关知识解决实际问题，及综合问题； 3．体会数学形式的简洁美,增强爱国主义观念 教学重点：焦半径公式的的推导及应用教学难点：焦半径公式的的推导,应用问题中坐标系的建立 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2．标准方程：12222=+b y a x ，12222=+b x a y （0>>b a ）3．椭圆的性质：由椭圆方程12222=+by a x (0>>b a )(1)范围: a x a ≤≤-,b y b ≤≤-，椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中． (2)对称性:图象关于y 轴对称．图象关于x 轴对称．图象关于原点对称 原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(2a A a A -，,0(),,0(2b B b B -加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点. 21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为a 2,2 b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比a c =⇒e =0<<e椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例 ,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例4.椭圆的第二定义一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 5．椭圆的准线方程：椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称对于12222=+by a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c x l 22:=对于12222=+bx a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c y l 22:=焦点到准线的距离cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数） 二、讲解新课：椭圆的焦半径公式：设),(00y x M 是椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的一点,1r 和2r 分别是点M 与点)0,(1c F -,)0,(2c F 的距离.那么（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率推导方法一： 202021)(y c x MF ++=，202022)(y c x MF +-=022214cx MF MF =-∴，a MF MF 221=+ 又⎪⎩⎪⎨⎧=+=-∴2221021a MF MF x a c MF MF ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+=+=∴002001ex a x a ca MF ex a x a c a MF即（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）2ex a r -=推导方法二：,||11e MF r =e MF r =||22⇒00211)(||ex a x c a e MF e r +=+==，00222)(||ex a x ca e MF e r -=-==同理有焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=0201ey a MF ey a MF（ 其中21F F 分别是椭圆的下上焦点）注意：焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加 三、讲解范例例1 如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心)2F 为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km ，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km ，并且2F 、A 、B 在同一直线上，设地球半径约为6371km ，求卫星运行的轨道方程 (精确到1km)．解：建立如图所示直角坐标系，使点A 、B 、2F 在x 轴上，则 c a -＝|OA|－|O 2F |＝|2F A|＝6371＋439＝6810c a +＝|OB|＋|O 2F |＝|2F B|＝6371＋2384＝8755 解得a ＝7782.5，c ＝972.5772287556810))((22≈⨯=-+=-=c a c a c a b .卫星运行的轨道方程为1772277832222=+y x 例2 椭圆)0( 12222>>=+b a by a x ，其上一点P(3,y )到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程解：由椭圆的焦半径公式，得⎩⎨⎧=-=+5.335.63e a e a ，解得21,5==e a ，从而有 4,25222=-==c a b c所求椭圆方程为17542522=+y x 四、课堂练习：1．P 为椭圆192522=+y x 上的点，且P 与21,F F 的连线互相垂直，求P 解：由题意，得+-20)545(x 20)545(x +＝641625720⨯=⇒x ，16812=y ⇒P 的坐标为)49,475(，)49,475(-，)49,475(--，49,475(- 2．椭圆192522=+y x 上不同三点),(),59,4(),,(2211y x C B y x A 与焦点F(4,0)的距离成等差数列，求证21=+x x证明：由题意，得 ++)545(1x )545(2x +＝2)4545(⨯+⇒821=+x x 3．设P 是以0为中心的椭圆上任意一点，2F 为右焦点，求证：以线段P F 2为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切证明：设椭圆方程为12222=+by a x ,(0>>b a )，焦半径P F 2是圆1O 的直径，则由11222222OO PF PF a PF a ==-=-知，两圆半径之差等于圆心距，所以，以线段P F 2为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切五、小结 ：焦半径公式的推导方法及形式；实际问题中坐标系的建立应使问题易求解六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。
人教版高中数学课件：8.2椭圆的几何性质3
(c,0)
B2(0,-b)
1.习题8.3 第2题（3） （4）（5）第3题
秦皇岛市职业技术学校 李天乐
一、椭圆的范围
x a
2 2
y b
2 2
1( a b 0 )
x a
2 2
1,
y b
2 2
1
即
x a和 y b
y
B2
A1
F1
O
B1
F2
A2 X
说明：椭圆位于矩形之中。
二、椭圆的对称性
x a
2 2
y b
2 2
1( a b 0 )
y
椭圆关于x轴对称； 椭圆关于y轴对称； 椭圆关于原点对称； 中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. o x
四、椭圆的离Βιβλιοθήκη 率离心率：椭圆的焦距与长轴长的比： e y a 叫做椭圆的离心率。 [1]离心率的取值范围： 因为 a > c > 0，所以 0 e 1 o [2]离心率对椭圆形状的影响： 1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就 越扁 . 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆 就 越圆 . 3）特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重合， 2 2 2 方程变为 x y a .
由题意,有 2c=8,c=4;2a=10,a=5.
x a
2 2
y b
2 2
1( a b 0 )
又
b2=a2-c2=25-16=9.
故所求方程为x2/25+y2/9=1.
(2)设焦点在y轴上,标准方程为
人教版高中数学必修第二册椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质课堂设计理念：授人于鱼不如授人于渔。
通过创设符合学生认知规律的问题情景，挖掘学生内在的研究问题的巨大潜能，使学生在做中学，学中思，亲身体会创造过程，充分展示思维差异，培养学生的自主探究能力，逻辑推理能力，提高学生的思维层次，掌握获取知识的方法和途径，真正体现学生学习知识过程中的主体地位。
教学目标：（1）知识与技能：掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握ca,,ba,,几何意义以及cb的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。
（2）过程与方法：利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力。
（3）情感、态度与价值观：通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。
教学重点、难点：重点：从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法。
难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质。
通过本节课的教学力求使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的学生主动交流合作、大胆探究的过程应是教学的难点。
教学策略与学法指导：教学策略：本节课采用创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节”探究式学习方式，并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学方案。
学法指导：通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探索勇气。
高中数学_椭圆的简单几何性质(2)教学设计学情分析教材分析课后反思
（六）教学设计椭圆的简单几何性质（2）教学设计一、基本情况1.面向对象：高二学生2.学科：数学3.课题：椭圆的几何性质4.课时：2课时5.课前准备：（1）学生回顾本节内容，熟悉椭圆的范围、对称性和顶点，离心率等性质（2）教师准备课件。
二、教材分析《椭圆的几何性质》是人教版2-1的内容。
本节课是在学生学习了椭圆的定义和标准方程的基础上，由椭圆方程出发研究椭圆的几何性质。
这是学生第一次利用方程研究曲线的几何性质，要注意对研究结果的掌握，更要重视对研究方法的学习。
本节课使学生感受“数”和“形”的对立统一，是研究双曲线和抛物线几何性质的基础，起着承上启下的作用。
三、教学目标知识目标1.通过对椭圆标准方程的讨论，让学生掌握椭圆的几何性质。
2.领会椭圆几何性质的内涵，并会运用它们解决一些简单问题。
3.通过对方程的讨论，让学生领悟解析几何是怎样用代数方法研究曲线性质的。
能力目标1.培养学生观察、分析、抽象、概括的能力。
2.渗透数形结合、类比等数学思想。
3.强化学生的参与意识，培养学生的合作精神。
情感目标1.通过自主探究、交流合作，使学生体验探究的过程，从中体会学习的愉悦，激发学生的学习积极性。
2.通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育。
3.通过感受椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生良好的思维品质，激发学生对美好事物的追求。
四、教学重点与难点重点：掌握椭圆的范围、对称性、顶点等简单几何性质。
难点：利用椭圆的标准方程探究椭圆的几何性质。
五、学法、教法与教学用具1.学法：(1)自主探究+合作学习：教师设置问题，鼓励学生从椭圆的标准方程出发，自主探究，合作交流，发现数学规律和问题解决的途径，使学生经历知识形成的过程。
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出掌握不足的内容以及存在的差距。
2.教法：本节课采用自主探究、合作交流相结合的教学方法，运用多媒体教学手段，通过设置问题，让学生在独立思考的基础上合作交流，加强知识发生过程的教学。
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椭圆的几何性质
一、教学目标
(一)知识教学点
通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用．
(二)能力训练点
通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力．
(三)学科渗透点
使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．
二、教材分析
1．重点：椭圆的几何性质及初步运用．
(解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．)
2．难点：椭圆离心率的概念的理解．
(解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义．)
3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．
(解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．)
三、活动设计
提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结．
四、教学过程
(一)复习提问
1．椭圆的定义是什么？
2．椭圆的标准方程是什么？
学生口述，教师板书．
(二)几何性质
根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是
b＞0)来研究椭圆的几何性质．说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．
1．X围
即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里(图2-18)．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取X围以外的点．
2．对称性
先请大家阅读课本椭圆的几何性质2．
设问：为什么“把x换成-x，或把y换成-y？，或把x、y同时换成-x、-y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的〞呢？
事实上，在曲线的方程里，如果把x换成-x而方程不变，那么当点P(x，y)在曲线上时，点P关于y轴的对称点Q(-x，y)也在曲线上，所以曲线关于y轴对称．类似可以证明其他两个命题．
同时向学生指出：如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．如：如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称．
事实上，设P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1(x，-y)必在曲线上．又因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点对称点P2(-x，y)必在曲线上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称．
最后指出：x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心．
3．顶点
只须令x=0，得y=±b，点B1(0，-b)、B2(0，b)是椭圆和y轴的两个交点；令y=0，得
x=±a，点A1(-a，0)、A2(a，0)是椭圆和x轴的两个交点．强调指出：椭圆有四个顶点A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)．
教师还需指出：
(1)线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b；
(2)a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；
这时，教师可以小结以下：由椭圆的X围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形．
4．离心率
教师直接给出椭圆的离心率的定义：
等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e的几何意义．
先分析椭圆的离心率e的取值X围：
∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．
再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：
(2)当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；
(3)当e=0时，c=0，a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2+y2=a2，图形就是圆了．
(三)应用
为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例1．
例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．
本例前一部分请一个同学板演，教师予以订正，估计不难完成．后一部分由教师讲解，以引起学生重视，步骤是：
(2)描点作图．先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆(图2-19)．要强调：利用对称性可以使计算量大大减少．
本例实质上是椭圆的第二定义，是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统一定义做准备的，同时再一次使学生熟悉求曲线方程的一般步骤，因此，要详细讲解：
设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P={M
将上式化简，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是椭圆．
由此例不难归纳出椭圆的第二定义．
(四)椭圆的第二定义
1．定义
平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数
线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．
2．说明
这时还要讲清e的几何意义是：椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比．
(五)小结
解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关．前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质．布置学生最后小结以下表格：
五、布置作业
1．求以下椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线方程：
(1)25x2+4y2-100=0，
(2)x2+4y2-1=0．
2．我国发射的科学实验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面266Km，远地点距地面1826Km，求这颗卫星的轨道方程．
3．点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
的方程．
作业答案：
4．顶点(0，2)可能是长轴的端点，也可能是短轴的一个端点，故分两种情况求方程：
六、板书设计。