椭圆第二定义教学活动设计
椭圆的第二定义(含解析)
课题：椭圆的第二定义【学习目标】1、掌握椭圆的第二定义；2、能应用椭圆的第二定义解决相关问题；一、椭圆中的基本元素（1）.基本量: a 、b 、c 、e几何意义： a-半长轴、b-半短轴、c-半焦距，e-离心率；相互关系： ac e b a c =-=,222 （2）.基本点：顶点、焦点、中心（3）.基本线: 对称轴二．椭圆的第二定义的推导 问题：点()M x y ，与定点(0)F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数(0)c a c a>>，求点M 的轨迹． 解：设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合MF c P M d a ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭|c a =． 将上式两边平方，并化简得22222222()()a c x a y a a c -+=-．设222a cb -=，就可化成22221(0)x y a b a b +=>>． 这是椭圆的标准方程，所以点M 的轨迹是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆．由此可知，当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(01)c e e a=<<时，这个点的轨迹是椭圆，一般称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率． 对于椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c=．根据椭圆的对称性，相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-，所以椭圆有两条准线． 可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比，这就是离心率的几何意义．【注意】:椭圆的几何性质中,有些是依赖坐标系的性质(如:点的坐标\线的方程),有些是不依赖坐标系、图形本身固有的性质(如:距离\角),要注意区别。
中心到准线的距离：d=c a 2 焦点到准线的距离：d=c a 2-c 两准线间的距离：d=2ca 2三．第二定义的应用1、求下列椭圆的焦点坐标和准线（1）13610022=+y x （2）8222=+y x 2、椭圆 13610022=+y x 上一点P 到右准线的距离为10,则:点P 到左焦点的距离为( ) .12 C3、若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分,则:离心率e=______；4、离心率e=22,且两准线间的距离为4的椭圆的标准方程为________________________；5、若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则:中心到准线的距离为____________；6、求中心在原点,一条准线方程是x=3，离心率为35 的椭圆标准方程.7、椭圆方程为16410022=+y x ,其上有一点P ,它到右焦点的距离为14,求P 点到左准线的距离.8、已知椭圆22143x y +=内有一点(11)P F -，，是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M ，使2MP MF +的值最小，求M 的坐标．（如图）分析：若设()M x y ，，求出2MP MF +，再计算最小值是很繁的．由于MF 是椭圆上一点到焦点的距离，由此联想到椭圆的第二定义，它与到相应准线的距离有关，故有如下解法．解：设M 在右准线l 上的射影为1M ．由椭圆方程可知1212a b c e ====，，． 根据椭圆的第二定义，有112MFMM =，即112ME MM =．12MP MF MP MM +=+∴． 显然，当1P M M ，，三点共线时，1MP MM +有最小值．过P 作准线的垂线1y =-．由方程组2234121x y y ⎧+=⎨=-⎩，，解得1M ⎫-⎪⎪⎝⎭．即M的坐标为1⎫-⎪⎪⎝⎭．。
高中数学 椭圆第二定义教案 新人教A版选修-
椭圆几何性质2（椭圆的第二定义）【教学目标】椭圆第二定义、准线方程；使学生了解椭圆第二定义给出的背景；了解离心率的几何意义；使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义；使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用；【重点】椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程；【难点】椭圆的第二定义的运用；【教学过程】1、复习回顾例(1)：椭圆81922=+y x 的长轴长为 ，短轴长为 ，半焦距为 ，离心率为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为(2):短轴长为8，离心率为53的椭圆两焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为2、引入课题例2： 椭圆的方程为221259x y +=，M1，M2为椭圆上的点求点M1（4，2.4）到焦点F （3，0）的距离.若点M2为（4，y0）不求出点M2的纵坐标，你能求出这点到焦点F （3，0）的距离吗？【推广】你能否将椭圆12222=+b y a x 上任一点),(y x M 到焦点)0)(0,(>c c F 的距离表示成点M 横坐标x的函数吗？问题1：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述）问题2：你能写出所得命题的逆命题吗？并判断真假？椭圆的第二定义:3、典型例题例3:求椭圆1162522=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线；变式1：求椭圆81922=+y x 方程的准线方程； 例4:椭圆1162522=+y x 上的点M 到左准线的距离是5.2，求M 到左焦点的距离为 .变式2：求M 到右焦点的距离为 .4、椭圆第二定义的应用例5：点P 与定点A （2，0）的距离和它到定直线8=x 的距离的比是1：2，求点P 的轨迹；例6：设AB 是过椭圆右焦点的弦，那么以AB 为直径的圆必与椭圆的右准线（ ）A.相切B.相离C.相交D.相交或相切5：巩固练习1．已知 是椭圆上一点，若 到椭圆右准线的距离是 ，则 到左焦点的距离为_____．2．若椭圆的离心率为 ，则它的长半轴长是______________．5、课堂小结6、课后反思 中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
人教版数学高二年级《椭圆第二定义的教学》教学设计[1]
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椭圆第二定义的教学江苏省如皋中学 郝 茹 郝劲赴现行高中《平面解析几何》课本对椭圆第二定义采用了从具体事例入手，引出一个新概念的定义的方法，这是数学教学中常用的从具体到抽象、从特殊到一般地讲授新概念的方法，符合人们从感性到理性的认识事物的规律．但是，在这里我们要注意，从认识事物的原型到认识事物的本质，这是对事物认识的质的飞跃，妥善处理好这个过程，是教学成功的关键．为此，我们在教学椭圆第二定义时，作了如下安排：１．自读推敲，引导剖析 首先让学生自读课本Ｐ．７６例３及由此引出的椭圆第二定义，自己推敲这一定义的内涵及外延，并提出以下问题供学生思考：（１）定义中有哪些已知条件？（２）定点、定直线、定比在椭圆定义中的名称各是什么？（３）定比是哪两个量的比？这两个量本身是变量还是常量？定比是什么范围的值？ （４）定点、定直线、定比一定是例３给出的数量关系（Ｆ（)1,),0,2ac e cax c ==吗？定点坐标、定直线方程是否可为其他的形式？对第（１）、（２）、（３）三个问题学生容易从课本中找出答案，但第（４）个问题则一石激起千层浪，学生们议论纷纷．这时，教师启而不答．２．通过变式，提示内涵 让学生研究课本Ｐ．７９第１０题“点Ｐ与一定点Ｆ（２，０）的距离和它到一定直线x ＝８的距离的比是１：２，求点Ｐ的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．”学生很快根据例３求出c ＝２，又由21==a c e ，得a ＝４，而由82422===cax ，可知满足题意．从而得点Ｐ的轨迹方程为1121622=+yx，所以点Ｐ的轨迹是椭圆．接着，我将上题稍加改动，让学生研究：“点Ｐ与一定点Ｆ（２，０）的距离和它到一定直线x ＝８的距离的比是31，求点Ｐ的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．”学生沿用上题的解法，得2=c ，由31=ac ，得3226,6222=-==b a ，得轨迹方程为1323622=+yx，有的学生由8182362≠==ca而提出该题题设矛盾，所以无解，也有的学生列出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==822ca c ，解得3121,4,2≠=∴⎩⎨⎧==e a c ，而认为此题无解． 这时，教师不评价学生的解法，而是提示他们比较该题题意与课本给出的椭圆第二定义是否一致，由他们自己发现满足题意的动点轨迹是椭圆，进而重新寻求解题的途径．不少学生建立方程318)2(22=-+-x yx ，化简得1291681)45(22=+-yx ，由此可见，这是中心在点（)0,45，对称轴为直线45=x 及0=y 的椭圆．从该例让学生看到椭圆第二定义中的定点、定直线、定比的数量关系不一定是课本Ｐ．７６例３给出的定点Ｆ（c ，０）、定直线cax 2=、定比ac e =，当不满足这个数量关系时，建立椭圆方程不能套用例３的结果去解．当给出定点Ｆ（n ，０）、定直线x ＝m （m ≠n ）、定比为e （０＜e ＜１)时，可建立方程e mx yn x =-+-22)(，解得11)()1()()1(22222222222=--+----+en m e ye n m e enmex ．显然，只要m ≠n ，即点Ｆ（n ，０）不在直线x ＝m 上时，都是椭圆方程．这样，就让学生自己在解决问题的过程中，求得思考题（４）的第一个问题的答案．进而指导学生深入推敲椭圆第二定义，让他们深切地理解定义中的定点一般为(x 0,y 0)，定直线一般为ax +by +c ＝０，并告诉学生在学过坐标变换之后，可通过坐标变换，将所求的轨迹方程化为椭圆的标准方程．通过以上研究，让学生明确：课本Ｐ．７６例３题设中给出的数量关系是椭圆的标准方程的条件，而不是所有椭圆方程所要求的条件，即不是椭圆方程的本质特征，这样，学生对椭圆第二定义的内涵和外延的理解就深刻多了．３．列举反例，防患未然 要使学生深刻理解新概念，除了要正面剖析概念，运用变式比较，揭示概念本质以外，我们还经常列举一些反例让学生判别，防止常见错误的发生．为此，给出以下两例，让学生判别命题是否正确．例１ 点Ｐ到点Ｆ（２，０）的距离比它到定直线x =7的距离小１，点Ｐ的轨迹是什么图形？ 给出如下解法让学生判别：解：设Ｐ点的坐标为（x ,y ），则.171)2(71)2(2222=-++-⇒-=++-x yx x yx而71)2(7)2(2222-++--+-x yx x yx＝１，所以点Ｐ到定点Ｆ（２，０）的距离与它到定直线x =7的距离的比小于１，故点Ｐ的轨迹是椭 圆．例２ 点Ｐ到定直线x =8的距离与它到点Ｆ（２，０）的距离的比为21，则点Ｐ的轨迹是椭圆．对上述两个问题，引导学生逐一分析，让学生明确：例１中，比值17)2(22-+-x yx ，但不是一个常数，故不可断定点Ｐ的轨迹是椭圆．例２中要注意椭圆第二定义中的定比是动点到定点的距离比动点到定点直线的距离，其比的前后项顺序不可倒置，故不可断定此题中的点Ｐ的轨迹是椭圆．经过对上述两例中典型错误的剖析，学生对椭圆第二定义的本质属性有了更深刻的认识．４．设置新题，检测运用经过前面的教学过程，应该说基础知识已经讲清了．但是，要让学生深刻理解教学的内容，并且能够正确运用，这需要让学生有一个独立运用所学知识解决问题的过程．于是，我们让学生独立解以下题目：一动点Ｐ到直线2x +y －８=0的距离与它到点（１，２）的距离的比值为5，求动点Ｐ的轨迹方程，并判断点Ｐ的轨迹是何种曲线．解：设Ｐ点的坐标为（x ,y ），则5)2()1(58222=-+--+y x y x82)2()1(522-+=-+-⇒y x y xy x xy y x y y x x 16324644)4412(252222--+++=+-++-⇒ 06184182442122=+--+-⇒y x y xy x ．从方程看，现在我们还不能判定此方程的曲线是何种曲线，但仔细分析题意，可将已知条件改述为动点Ｐ到点（１，２）的距离与它到直线２x ＋y －８＝０的距离之比为１：5，这显然符合椭圆第二定义，可知Ｐ点的轨迹为椭圆．通过这一例的教学让学生更深切地理解了椭圆的第二定义，也让学生看到椭圆的非标准方程所具有的形式．５．拓展课本，活化知识课本对于椭圆的准线方程作了如下叙述：“对于椭圆12222=+by ax ，相应于焦点Ｆ（c ，０）的准线方程为cax 2=，根据椭圆的对称性，相应于焦点Ｆ′（－c ，０）的准线方程为cax 2-=；所以，椭圆有两条准线．”由此启发学生看到命题（称做Ａ）：点Ｍ（x ,y ）与定点Ｆ′（－c ，０）的距离与它到直线l ′：cax 2-=的距离之比是常数ac （a ＞c ＞０），则点Ｍ（x ，y ）的轨迹方程也是椭圆的标准方程．于是我们引导学生明确结论：课本Ｐ．７６例３给出的数量关系：定点Ｆ（c ，０）、定直线l ：cax 2=、常数ac （a＞c ＞０），以及命题Ａ给出的数量关系：定点Ｆ′（－c ，０）、定直线l ′：cax 2-=、常数ac （a ＞c ＞０）均分别是动点Ｍ的轨迹方程为椭圆标准方程的充要条件，并且，二者是等价的．接着，我们又引导学生再次分析本文第２部分所讲到的命题（称为Ｂ）：定点为Ｆ（n ，０），定直线为x ＝m （m ≠n ），定比为e（０＜e ＜１)，得出的椭圆方程11)()1()()1(22222222222=--+----+en m e ye n m e enmex ．让他们看到当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧-=--01,01222 e e nme 即12mn e =时，动点Ｍ的轨迹方程为椭圆的标准方程．即条件“12mn e =”是动点Ｍ的轨迹方程为椭圆标准方程的充要条件．在此基础上，要求学生自行命题，设计出动点的条件，使其轨迹方程分别符合下列要求：①轨迹方程为椭圆的标准方程；②轨迹方程为中心在x轴上且短轴平行于y轴的椭圆方程．从而，让学生不但能正确地解命题Ｂ型的问题，而且能自行设计命题Ｂ型的问题，使学生对椭圆第二定义的理解、掌握和运用达到新的境界．。
谈椭圆的第二定义课堂教学
学习了椭圆的定义、 标准方程和性质后， 学习课本 ) ( （% ， 上的例 #： 与定直线 !"% ’ 点$ 的距离的比是 &） * * 常数 + (,*," - ， 求点 $ 的轨迹。 ( 在课堂上引导学生们用求曲线的方程的步骤将此 题解答。 引导学生归纳了椭圆的第二定义， 并指出 % ’ () 就是椭圆的准线。 * 从在课堂上的反应可知， 学生的反馈缺少了往日 “懂 ” “不懂 ” 的热烈， 经过针对性的了解， 学生是在 与 之 但是心头总有一份 间徘徊。 学生虽然会求点 $ 的轨迹， 不解： 似乎数学有时就像字母的游戏， 学生感到 % ’ () *
通过问题的不断变化， 适时引导学生对探究讨论 的有思考价值的问题进行反思、 总结、 归纳、 整理， 将新 知识纳入知识网络结构， 使知识的反馈面更加广泛， 知 识的综合应用性更加深化， 从而达到培养学生发现问 题、 探究问题、 解决问题的能力。 三、 归纳新的认知结构 椭圆第二定义的教学过程经历了以下四个环节：
$ % $ # ! " #） （ & & # 类比例 %： $ ( ( !" #
( $ % $ & # # ! " #） 即 （ !" & ( #
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# $ % $ & # ! " #） 学生的思维在跳动， 猜想： 难道由 （ & (" ! ， ( # $ % ’ ’ # ! % #） 是否有 （ 令 & ( % ! 进而展开联想： (
与， 学生在认知上只是依赖浅层次的策略。 传统的数学 “ ” 课堂上最常见的问题是 听懂了吗？ 就大多数同学而 “听懂了 ” 言， 这时所谓的 ， 实际是没有真正弄明白整个 “一听就懂， 数学活动的思维过程， 所以， 一做就错”， 所 “听懂” 以， 只是最低层次的认知参与。 在下面的授课中， 根据学生接受的心理素质， 从特 殊的事例入手， 创设情景， 设计问题， 引导学生做练习： （/， 和到定直线 练 习 !. 已 知 动 点 $ 到 定 点 "） !" )0 / 的距离之比是 ， 求动点 $ 的轨迹。 / 0 （ 1 )， 和到定直线 练习 ). 已知动点 $ 到定点 "）
椭圆第二定义教学设计
所有的教学设计课题椭圆第二定义教学设计椭圆的两个定义：看似从两个不同的角度来描述，而实质上是同一个表达式的两种不同变形形式，而这些知识间的内在联系，经教师引导，学生利用已有的知识经验，作为新知识的生长点，经合作探究完全可以发现这个内在的联系，由此学生不仅会对椭圆的两个定义有一个新的认识，在今后的数学学习中，学生会更加注重知识间的联系，来拓宽思路，发散思维。
当学生得出结论后，都很兴奋，在教学中应借此机会对学生进行学法指导，为以后学习培养良好的学习习惯及探究意识。
用数形结合法解不等式教学反思：本节课通过巧创情境，激发了学生的学习兴趣，并伴随知识的发生、形成、发展全过程引导学生自主引导进行探究活动，且最大限度的运用了变式教学，使一题多用，多题重用，给人以新鲜感。
但本节课主题是用数形结合法解不等式，如果能更好地应用多媒体如几何画板等把形很直观地体现出来，并让学生观察到图形的变化，那么效果会更好。
正，余弦函数的有关值域问题（一）课后反思:短短的45分钟虽然结束了，但是我从中收获的却比学生要多得多。
首先，在备课阶段，我要认真的思考该如何设置每一道习题，揣摩用什么样的语言能够让学生更好的接受，提什么样的问题既能调动学生的积极性又能达到我要引导学生发现的目的。
想象着学生可能会出现的每一种解决问题的方式。
真正的做到了课前备知识，备学生。
其次，在试课的过程中及时的调整习题给出的顺序，以便更好的适应学生的思维方式。
同时也不断的改变自己的说话方式，尽量避免一些不必要的语言的出现。
努力做到言简意赅，词必达意。
再次，多听评课老师的意见和建议，取众人之所长。
经过一个星期的准备，这堂《正，余弦函数的有关值域问题》才得以在众人面前亮相。
课堂上，高一（9）班的表现很让我满意，学生在我的引导下，快速的思维，积极踊跃的回答我所设置的每一个问题。
虽然到前面板演的同学不是每一道题都处理的特别顺畅，但基本思路都是正确的。
在我的补充之后，大多数学生都能够独立的总结解题的主要方法。
椭圆的简单几何性质(第2课时)高中数学获奖教案
3.1.2椭圆的简单几何性质（第二课时）(人教A版选择性必修数学第一册第三章圆锥曲线的方程)一、教学目标1.掌握椭圆的第二定义；2.能够自主探究椭圆的简单几何性质.二、教学重难点1.推导椭圆的第二定义和焦半径公式；2.研究椭圆几何性质的思路与方法.三、教学过程1.复习巩固活动：完成下表【活动预设】由学生完成上表【设计意图】带领学生复习上节课学习的椭圆的简单几何性质. 2.课堂探究 2.1 探究1活动：已知椭圆E:x 216+y 212=1，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点，O 为坐标原点.探究：当P 在何位置时，|OP|最小？P 又在何位置时，|OP|最大？【活动预设】由学生自主完成问题1：如果椭圆方程变为一般方程：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，结论又会如何呢？ 【预设的答案】当P 在短轴顶点时，|OP|min =b ；当P 在长轴顶点时，|OP|max =a . 【设计意图】渗透从特殊到一般的思想 2.2 探究2活动：已知椭圆E:x 216+y 212=1，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，|PF 1|最小？P 又在何位置时，|PF 1|最大？【活动预设】由学生自主完成问题2：上述|PF 1|=12|x 0+8|，|x 0+8|有什么几何意义？【预设的答案】代表P(x 0,y 0)到直线x =−8的距离 【设计意图】渗透数形结合的思想问题3：也就是说|PF 1|=12|PM|，椭圆上任意一点P(x 0,y 0)，它到左焦点的距离和它到直线x =−8的距离之比为常数12，那么对于一般的椭圆是否有类似的性质呢？我们考虑下面的一般情况：已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，|PF 1|最小？P 又在何位置时，|PF 1|最大？【预设的答案】设P(x 0,y 0)，则PF 12=(x 0+c)2+y 02 因为y 02=b 2(1−x 02a 2) 所以PF 12=(x 0+c)2+b 2(1−x 02a 2)=(a 2−b 2)x 02a2+2cx 0+b 2+c 2=c 2a 2 x 02+2cx 0+a 2=c 2a 2(x 0+a 2c )2即|PF 1|=ca |x 0+a 2c |设直线l 1:x =−a 2c ，P 到直线l 1的距离为PM ，则|PF 1|=ca |PM|，|PF 1||PM|=ca =e 【设计意图】渗透从特殊到一般的思想. 2.3 概念形成椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点，P(x 0,y 0)为椭圆E 上一动点.左准线l 1:x =−a 2c ，右准线l 2:x =a 2c 椭圆第二定义：P 到左焦点的距离|PF 1|与它到左准线l 1:x =−a 2c 的距离|PM 1|的比为离心率e ，即|PF 1||PM 1|=e =ca ； P 到右焦点的距离|PF 2|与它到右准线l 2:x =a 2c 的距离|PM 2|的比为离心率e ，即|PF 2||PM 2|=e =ca .焦半径公式：|PF 1|=c a (a 2c +x 0)= a +ex 0，|PF 2|=c a (a 2c −x 0)= a−ex 0|PF 1|min =a−c ， |PF 1|max =a +c .3.课堂巩固例：动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M 到定直线l:x =254的距离的比是常数45，求动点M 的轨迹.(x−4)2+y 2|x−254|=45所以25[(x−4)2+y 2]=16(x−254)2化简得：9x 2+25y 2=225 所以x 225+y 29=1【设计意图】引出椭圆第二定义拓展：动点M 到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比是一个常数，动点M 的轨迹是否也是椭圆呢？【设计意图】留给学生课后自主研究 4.课后探究探究1：已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，∠F 1PF 2最大？P 又在何位置时，∠F 1PF 2最小？探究2：已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，A 1、A 2分别为椭圆E 的左、右顶点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，∠A 1PA 2最大？P 又在何位置时，∠A 1PA 2最小？【设计意图】鼓励学生利用课余时间自主探究 5.课堂小结思考：这节课我们主要学习了什么内容？体现了哪些数学思想方法？【设计意图】梳理本节课所学内容，总结数学思想方法.。
椭圆第二定义教案 高二解析几何 椭圆第二定义教案及课件 人教版 高二解析几何 椭圆第二定义教案及课件
椭圆第二定义教案教学目标：1、以教材中（例3）人造地球卫星的飞行轨迹中近地点和远地点出发，自然地引出问题，通过对问题的数形的运算与迁移，引导学生得出椭圆的第二定义，并探究第一定义与第二定义两者等价性；2、借助几何画板演示和代数推导两种手段，通过对定点,定直线,定比三要素的变化得到的轨迹是否是椭圆进行猜想与验证，培养学生实事求是的科学态度和严谨踏实的学风。
明确为什么定点不能在定直线上,比值大于0小于1，定点为什么是椭圆焦点，比值为什么就是离心率。
3、通过特殊例题的推导，让学生理解利用第二定义得到的椭圆方程不一定是标准方程。
引发对建系的思考和例4这一建系方法必然性的定论。
4、通过教师对椭圆方程与函数的关系、点点距离与点线距离几何形态的转化，培养数形结合的思想，猜想与验证的思想。
以及从何处探索及研究问题。
教学过程： 一、提出问题如图椭圆方程为12222=+by a x ,说出椭圆上的点P(x,y)横纵坐标的取值X 围,顶点坐标,焦点坐标离心率和椭圆上距右焦点最近与最远的点。
（由学生回答，从而既联系了教材例3，又自然的引出了问题）问题一：为什么A 1,A 2两点距离焦点最近和最远?具体以1162522=+y x 为例。
（学生思考） 教师引导：|PF 2|=22)3(y x +-（消去y ，根号内为关于x 的一元二次函数，在x 有X 围限制下的最值）板书如下：|PF 2|=|553|256259)251(16)3()3(22222-=+-=-+-=+-x x x x x y x（从根号下的二次函数的最值，进一步转化为)55(|,325|53≤≤--=x x y 的绝对值函数。
进而又转化为)55(,535≤≤--=x x y 一次减函数。
在代数运算上也有递进关系) 板书一般性结论的推导：|PF 2|=||||2)1()()(22222222222c a x e a ex a cx x a c a x b c x y c x -=-=+-=-+-=+-（通过从特殊到一般的思维过程，让学生明确点点距离的代数处理方法，归纳到二次函数、绝对值函数、一次函数的转化进程）结论一：已知椭圆方程为12222=+b y a x ,则椭圆上任意一点P (x ,y )到右焦点的距离为a-ex,问题2：已知椭圆方程为12222=+by a x ,则椭圆上任意一点P (x ,y )到左焦点的距离为。
再谈“椭圆第二定义”的教学
再谈“椭圆第二定义”的教学叶昭蓉（温州中学）文[1]中，钱照平老师设计了两种教学方法，让椭圆的第二定义自然的出现。
对 “椭圆第二定义”的教学，笔者也有同感，教材中的处理方式，不符合认识事物的规律，让学生百思不得其解，感到茫然。
钱老师的设计方案打破了教材顺序， 在一定程度上符合学生的思维习惯，但也有疑惑:1、让椭圆的第一、第二定义、焦半径公式等同时出现。
学生刚接触椭圆定义，推导出标准方程，又马上给出椭圆第二定义，学生认识、掌握水平有限，很难将这么多知识深入理解，只能产生一种表象认识，整个过程是教师施舍、学生接受。
2、方法一中设(),a t a t t +=-为参数，由于()()22224,4,c a t a t cx at acx t xa+--=-=\==得c a x a=+k =③与2a①相乘得：2c k x a=，2c x ac a x a+，这两种根式恒等式的化简方法，在教学过程中学生是较难想到的，从而打击了学生思考的积极性，结果是教师自编、自导、自演，学生很难参与其中。
3c a x a=+②几何意义表示什么？将②变形为c aax c=+⑤从而得出椭圆的第二定义。
从②到⑤的变形是基于怎样的思考？它的动因如何揭示？最终还是陷入教师讲授、学生接受的结果。
如何使教学设计更符合学生的认知规律，而且不让学生失去一次探索数学奥秘的好机会.笔者认为探究椭圆第一定义与第二定义的本质联系是关键，因此引导学生从数形两个方面进行探索。
按课本完成全日制普通高级中学教科书(必修) 数学第二册( 上 )100例4后，提出问题：例4的轨迹方程是椭圆的标准方程，所以我们认为点M 的轨迹是椭圆，它与椭圆的第一定义在本质上一样吗？从数方面：引导学生仔细分析、探索在椭圆标准方程推导过程中有无发现式子：c a=⑥，通过观察分析学生能很自然的将式子2a cx -=化为⑥，使知识过渡自然、和谐，而且能让学生简单地理解两者本质的一致性，体会探索成功的喜悦。
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椭圆第二定义教学设计一、背景分析：本节课是在学生学习完了椭圆定义及其标准方程、椭圆简单几何性质的基础上进行的；是对椭圆性质（离心率）在应用上的进一步认识；着重引出椭圆的第二定义、准线方程，掌握椭圆定义的应用。
教学中力求以教师为主导，以学生为主体，充分结合多媒体技术，以“形”为诱导，以椭圆的二个定义为载体，以培养学生的思维能力、探究能力、归纳总结的能力以及等价转化思想为重点的教学思想.二、教材的地位和作用：圆锥曲线是解析几何的重要内容，而椭圆又是高考的热点问题之一；能否学好椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质，是学生能否比较系统地学好另外两种圆锥曲线的基础，甚至是学生能否学好解析几何的关键。
而椭圆在教材中具有“承上启下”的作用，从图形和第一定义来看椭圆与圆比较接近，从而对于学生来说学习完圆后再学习椭圆比较容易接受；而椭圆的第二定义即“到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹”，正好可以把椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线有机地统一起来，使学生对圆锥曲线有个整体知识体系，所以说这个定义在整章起到了一种“纽带”的作用.三、学法指导：以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化.四、教学目标知识目标：椭圆第二定义、准线方程； 能力目标：1、使学生了解椭圆第二定义给出的背景；2、了解离心率的几何意义；3、使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义；4、使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用；5、使学生掌握椭圆第二定义的简单应用；情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值.五、教学重点：椭圆第二定义、准线方程； 六、教学难点：椭圆的第二定义的简单运用；七、教学方法：创设问题、启发引导、探究活动、归纳总结. 八、教学过程（一）、引入课题(上一节的例题得出的结果)例、椭圆的方程为1162522=+y x ，M 1为椭圆上的点,若点M 1为（4，y 0）不求出点M 2的纵坐标，你能求出这点到焦点F （3，0）的距离吗？解：22)34(||y MF +-=且116254202=+y 代入消去20y 得51325169||==MF 【推广】根据上面这个问题的解题思路你能否将椭圆12222=+by a x 上任一点),(y x M 到焦点)0)(0,(>c c F 的距离表示成点M 横坐标x 的函数吗？解：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=1)(||222222b yax y c x MF 代入消去2y 得 2222222)(2||a x a cx ab bc cx x MF -=-++-=||||||22ca x e c a x a c a x a c -=-=-= 问题：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述）椭圆上的点M 到右焦点)0,(c F 的距离与它到定直线c a x 2=的距离的比等于离心率a c例4：已知动点M 到定点)0,(c F 的距离与它到定直线ca x 2=的距离的比等于常数)(c a ac>求动点点的轨迹。
（请学生自己探索，并引导学生从以前学的求曲线方程的方法进行证明）证明过程： 设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合|||MF c P M d a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭||c ax c=-， 将上式两边平方，并化简，得()()22222222a c x a y a a c -+=-设222a cb -=，就可以化成22221(0)x y a b a b+=>>这是椭圆的标准方程，所以点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为2a 、2b 的椭圆。
（如图所示）【设计目的】通过“前节课的例题”一方面引导学生注意对前面学过的知识的反思和巩固。
另一方面想通过数学符号与文字语言的互译让学生自己注意命题“椭圆上的一点到焦点的距离可以表示成横坐标的函数”然后再由这个函数关系推导出椭圆的标准方程，这样对于学生来说可能就不会那么突然地给出那么多巧合的数据了。
（三）、引出课题【椭圆的第二定义】当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(01)e e <<时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．对于椭圆12222=+by a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=．根据对称性，相应于焦点)0,(c F -'的准线方程是ca x 2-=．同理对于椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的准线方程是ca y 2±=．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．（四）、典型例题例1、 ①求椭圆22936x y +=的右焦点和右准线；左焦点和左准线；②椭圆1162522=+y x 上的点M 到左准线的距离是52，求M 到左焦点的距离为 .变式：求M 到右焦点的距离为 .解：①由题意可知右焦点)0,(c F 右准线c a x 2=；左焦点)0,(c F -和左准线ca x 2-=椭圆可化为标准方程为：221364x y +=，其中22236,4,32,a b c c ====所以，右焦点为，右准线为22a x c ==左焦点为(-，左准线为22a x c ==- 【小结】求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出； ②记椭圆的左右焦点分别为21,F F 到左右准线的距离分别为21,d d 由椭圆的第二定义可知：e d MF =||53||11===a c e d MF 11353||522MF ed ∴==⨯=13||2MF ∴= 又由椭的第一定义可知：12217||||210||2MF MF a MF +==∴=变式：点M 到左准线的距离是52，所以点M 到右准线的距离为255058522326a c -=-= 2222||38517||562MF e MF ed d =∴==⨯= 【小结】椭圆第二定义的应用和第一定义的应用；注意椭圆中的几个定值的灵活使用，12||||2MF MF a +=，e dMF =||，焦距=2c ，两准线之间的距离=22a c 。
例2：已知椭圆的两条准线的方程为253x =±，离心率为35，求此椭圆的标准方程。
解：253x =±准线方程为 2253a x c ∴=且焦点在轴上222355,3,16c e a a c b a c ==∴===-=又2212516x y +=故椭圆的标准方程为 【小结】注意准线方程给出的信息，焦点的位置和2a c的值；例3：（备用）已知椭圆22110036x y +=上一点P ，到其左、右两焦点距离之比为1:3，求点P到两准线的距离及点P 的坐标。
【考查内容】椭圆第二定义的应用：到焦点的距离与到准线的距离的互化解：设(),P x y ，左、右焦点分别为1F 、2F 由已知的椭圆的方程可得12410,6,8,,||||205c a b c e PF PF a =====+= 又123||||,PF PF = 12||5,||15PF PF ∴==。
设P 到两准线的距离分别为12,d d ，111||54,5PF e d d ==， 1254d ∴=，同理2754d =，而21||a d x c =+，即2525||24x =+，则25||4x =， 254x ∴=-，代入椭圆方程，得3394y =±，故点P 的坐标为25339,44⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭。
【设计目的】通过例题教学，使学生掌握椭圆标准位置时准线方程的两种形式，能根据标准方程写出其准线方程，能结合第一定义与第二定义解题，并能将第二定义应用到与距离有关的问题中，灵活进行距离的转化，深刻体会数学中的数形结合、转化与化归的思想。
（五）、课堂练习1．已知 是椭圆 上一点，若 到椭圆右准线的距离是 ，则 到右焦点的距离为_____________．2．已知椭圆的两条准线方程为9y =±，离心率为13，求此椭圆的标准方程。
答案：1．3452． 22189x y +=（六）、归纳小结：1．椭圆第二定义、准线方程；2．椭圆定义的简单运用；（七）、课后作业1.课本习题8.2 7、8、9、10；2.（思考）已知，为椭圆上的两点，是椭圆的右焦点．若，的中点到椭圆左准线的距离是，试确定椭圆的方程．解：由椭圆方程可知、两准线间距离为．设，到右准线距离分别为，，由椭圆定义有，所以，则，中点到右准线距离为，于是到左准线距离为，，所求椭圆方程为．（八）、板书设计：例4推导过程椭圆第二定义典型例题1．2．课堂练习：课堂小结：课后作业：附学生用: 前一节课的例题和课堂学案学法指导：【上一节课的内容】 【已经推导过的例题】1、椭圆的方程为1162522=+y x ，M 1为椭圆上的点,若点M 1为（4，y 0）不求出点M 2的纵坐标，你能求出这点到焦点F （3，0）的距离吗？【推广】根据上面这个问题的解题思路你能否将椭圆12222=+by a x 上任一点),(y x M 到焦点)0)(0,(>c c F 的距离表示成点M 横坐标x 的函数吗？问题：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述） 【课堂学案】椭圆的第二定义当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是 时，这个点的轨迹是 ．定点是椭圆的 ，定直线叫做椭圆的 ，常数e 是椭圆的 ．对于椭圆12222=+by a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是 根据对称性，相应于焦点)0,(c F -'的准线方程是 ；椭圆12222=+bx a y 的准线方程是 .注意：1、2、 3、例1、 ①求椭圆22936x y +=的右焦点和右准线；左焦点和左准线；②椭圆1162522=+y x 上的点M 到左准线的距离是52，求M 到左焦点的距离为 .变式：求M 到右焦点的距离为 .例2：已知椭圆的两条准线的方程为253x =±，离心率为35，求此椭圆的标准方程。
课堂练习1．已知 是椭圆 上一点，若 到椭圆右准线的距离是 ，则 到右焦点的距离为_____________．2．已知椭圆的两条准线方程为9y =±，离心率为13，求此椭圆的标准方程。
归纳小结：课后作业1. .课本习题8.2 7、8、9、10；思考： 2. 已知 ， 为椭圆 上的两点， 是椭圆的右焦点．若， 的中点到椭圆左准线的距离是 ，试确定椭圆的方程．《椭圆第二定义》公开课小结《椭圆第二定义》在教材中是利用一个例题的形式给出的，而在这个例题给出的数据过于巧合，而会使学生有点看不太懂（其实课本给出的数据是为了所求出的方程恰好为标准方程而作的准备）。