计算方法实验指导书

第一章 绪论一、主要要求通过实验，认真理解和体会数值计算的稳定性、精确性与步长的关系。

二、主要结果回顾：1、算法：电子计算机实质上只会做加、减、乘、除等算术运算和一些逻辑运算，由这些基本运算及运算顺序规定构成的解题步骤，称为算法．它可以用框图、算法语言、数学语言或自然语言来描述。

用计算机算法语言描述的算法称为计算机程序。

（如c —语言程序，c++语言程序，Matlab 语言程序等）。

2、最有效的算法：应该运算量少，应用范围广，需用存储单元少，逻辑结构简单，便于编写计算机程序，而且计算结果可靠。

3、算法的稳定性：一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定的。

换句话说：若误差传播是可控制的,则称此算法是数值稳定的,否则称此算法为不稳定的。

4、控制误差传播的几个原则： 1）防止相近的两数相减； 2）防止大数吃小数；3）防止接近零的数做除数；4）要控制舍入误差的累积和传播；5）简化计算步骤,减小运算次数,避免误差积累。

三、数值计算实验（以下实验都需利用Matlab 软件来完成） 实验1.1（体会数值计算精度与步长关系的实验）实验目的：数值计算中误差是不可避免的，要求通过本实验初步认识数值分析中两个重要概念：截断误差和舍入误差，并认真体会误差对计算结果的影响。

问题提出：设一元函数f :R →R ，则f 在x 0的导数定义为：hx f h x f x f h )()(lim)('0000-+=→实验内容:根据不同的步长可设计两种算法,计算f 在x 0处的导数。

计算一阶导数的算法有两种：h x f h x f x f )()()('000-+≈ （1）hh x f h x f x f 2)()()('000--+≈（2）请给出几个计算高阶导数的近似算法，并完成如下工作：1、对同样的h ，比较(1)式和(2)式的计算结果；2、针对计算高阶导数的算法，比较h 取不同值时(1)式和(2)式的计算结果。

实验要求：选择有代表性的函数f (x )（最好多选择几个），利用Matlab 提供的绘图工具画出该函数在某区间的导数曲线f (s)(x )，再将数值计算的结果用Matlab 画出来，认真思考实验的结果。

实验分析：不论采用怎样的算法，计算结果通常都会有误差。

比如算法(1)，由Taylor 公式，知：)()(''!2)(')()(302000h O x f h x hf x f h x f +++=+ 所以有)()(''!2)(')()(20000h O x f hx f h x f h x f ++=-+利用上式来计算f ’(x 0)，其截断误差为： )()(''!2201h O x f hT +=所以误差是存在的，并且当步长h 越来越小时，(1)的近似程度也越来越好。

类似地可以分析(2)的截断误差为：)()(!330)3(22h O x f h T += 上述截断误差的分析表明(2)是比(1)更好的算法，因为对步长h (<<1)，(2)比(1)更接近于f ’(x 0)。

计算方法的截断误差是数值计算中误差的重要来源，但不是唯一的！！如果在实验中确已将h 取到足够小的话，特别在高阶导数的计算中，就会发现当h 小到一定程度后，计算结果的误差不但不再减少，反而会变大！(参见图1)事实上当步长h 过小时，计算结果的误差变大就是由于舍入误差的缘故。

截断误差用我们原有的数学思维方式就比较容易理解的，而舍入误差则是本课程引入的一个新概念。

要真正理解舍入误差，特别是它在计算中的传播及最终对计算结果的影响，是初步具备科学计算能力的重要标志。

希望大家在完成实验后，认真仔细去体会截断误差和舍入误差的含义及对计算结果的影响。

（图1）实验1.2（理解误差传播与算法稳定性实验）实验目的：体会算法的稳定性在选择算法中的地位。

问题提出：考虑一个简单的积分序列 ⎰-=11dx e x I x n n n=1,2,….显然I n >0,n=1,2,…当n=1时，得：edx xe I x 1111==⎰- 当n ≥2时，由分部积分可得：1111---==⎰n x n n nI dx e x I n=2,3,……另外，还有：11111+=≤=⎰⎰-n dx x dx e x I n x n n 实验内容：由递推关系I n =1-nI n-1，可得计算积分序列{I n }的两种算法：算法一、直接使用递推公式得：eI 11=I n =1-nI n-1 n=2,3…算法二、利用递推公式变形得：,...3,2101=-==-n nI I I nn N实验要求：用上述两种算法分别在计算中采用5位、6位和7位有效数字，请判断哪种10-710-510-510-4 10-3 10-2 10-1 10-310-1算法给出的结果更精确。

实验分析：两种算法的优劣可能与你的第一感觉完全不同。

设算法一中I 1的误差为e 1，由I 1递推计算I n 的误差为e n 算法二中I N 的误差为εN ，由I N 向前递推计算I n (n<N)的误差为εn 如果假定上述两种算法在后面的计算中都不再引入其他误差，则有：,...,3,2,!1==n e n e n1,2,3,...,2,1,!/!--==N N m m N Nm εε由此可见，算法一中的e 1可能很小，但在计算中它的影响急剧扩散，结果真实的数据很快被淹没了；而算法二中的εN 可能相对比较大，但在计算中误差影响不扩散，某一步产生误差后，该误差对后面的影响不断衰减。

注：误差扩散的算法是不稳定的，是我们所不期望的；误差衰减的算法是稳定的，是我们努力寻求的，也是贯穿本课程始终的目标。

第二章 一元非线性方程的解法一、主要要求编写二分法、Newton 迭代法和快速弦截法通用子程序。

二、主要结果回顾1、二分法的基本思想：二分法就是将方程的有根区间对分,然后再选择比原区间缩小一半的有根区间,如此继续下去,直到得到满足精度要求的根为止的一种简单的区间方法。

基本法原理：给定方程f (x )=0，设f (x )在区间 [a ，b ] 连续,且f (a )×f (b )<0，则方程f (x )在(a ，b)内至少有一根，为便于讨论,不妨设方程f (x )=0在(a ，b )内只有一实根 x *采取使有根区间逐步缩小，从而得到满足精度要求的实根 x * 的近似值 x k 。

取[a ,b ]区间二等分的中点20ba x +=，若f(x 0)=0,则x 0是f (x )=0的实根； 若f (a )f (x 0)<0 成立,则 x * 必在区间(a , x 0)内,取a 1=a ，b 1= x 0；否则 x *必在区间(x 0,b)内，取a 1= x 0，b 1=b , 这样,得到新区间(a 1,b 1),其长度为[a ,b ]的一半, 如此继续下去，进行k 次等分后,得到一系列有根区间：],[],[],[11k k b a b a b a ⊃⊃⊃ ，其中每一个区间长度都是前一个区间长度的一半，从而[a k ,b k ]的长度为k k k ab a b 2-=-如此继续下去,则有这些区间将收敛于一点，该点即为所求的根.当做到第k 步时，有:ε<-=-≤-+122|*|k k k k ab a b x x （ε为给定的精度） 此时2kk k b a x +=即为所求方程的近似解。

2、二分法算法：1）输入有根区间的端点a ,b 及预先给定的精度ε； 2）计算(a +b )/2并将其赋值给变量c ，记为(a +b )/2→c ； 3）若f (a )f (c )<0，则c →b ，转向4），否则c →a ，转向4）； 4）若b -a <ε，则输出满足精度要求的跟c ，否则转向2）3、二分法程序框图（见图2）4、不动点迭代法：不动点迭代法又称简单迭代法，基本思想是构造不动点方程，以求得近似根。

即由方程f (x )=0变换为等价方程 x=j (x ) ，这样原方程的根必满足：x *= j (x *) ，即j (x ) 作用在x *上，其值不发生变化，因此我们也称x *为j (x ) 的不动点，要求方程f (x )=0的根就转化为求j (x ) 的不动点了。

具体迭代如下：先取一个估计值x 0来试探，若j (x 0) =x 0，则x *=x 0(可能性很小) 一般 j (x 0) ≠x 0，记 x 1=j (x 0) ，若x 1=j (x 1) , 则x *=x 1 若x 1≠j (x 1) ， 记 x 2=j (x 1) ，再用x 2继续试探…… 如此反复计算，即形成一迭代公式 x k +1=j (x k ) ，(k =0,1,2,…)如果{x k }收敛，则称迭代公式是收敛的；否则称迭代公式是发散的。

如果{x k }收敛于x *，而j (x )是连续函数时，那么x *即是j (x )的不动点。

也即x *就是方程的根。

5、Newton 迭代法的思想：给定方程f (x )=0，迭代公式为：)(')(1k k k k x f x f x x -=+，应用该公式来解方程的方法就称为牛顿迭代法。

6、Newton 迭代法的算法： 1）给出初始近似根x 0及精度ε；2）计算)(')(000x f x f x -→x 1；3）若|x 1-x 0|<ε或迭代次数达到预定指定的次数N ，则转向 4）；否则x 1→x 0，转向2）； 4）输出满足精度的根x 1，结束。

（程序框图略）7、收敛性判定定理：定理1：假定函数j (x ) 满足下列条件： 1、对任意x ∈[a,b ] 有 j (x ) ∈[a,b] 2、存在正数 L<1，使对任意x 1，x 2∈[a,b ] 有|j(x 1) - j(x 2)|≤L|x 1-x 2| (0≤L<1)则迭代过程 x k +1= j (x k )对于任意初值x 0∈[a,b ]均收敛于方程x= j (x)的根x* ，且有如下的误差估计式：01*1x x LL x x kk --≤-局部收敛性定义： 如果存在不动点x *的某个邻域U(x *,δ)，使得对于任意初值x 0∈ U(x *,δ)，迭代公式x k +1= j (x k ) （k =0,1,2......)产生的数列{xk }均收敛与x *，则称迭代公式x k +1= j(x k )是局部收敛的。

定理2：设j (x )在x = j (x )的根x *邻近有连续的一阶导数， 且| j ’(x *)|<1， 则迭代公式x k +1=j (x k )具有局部收敛性。