一元二次方程重难点

一．一元二次方程的定义

二．有关一元二次方程根的考查（根与系数的关系及两方程公共根问题） 三．一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法） 四．含绝对值的一元二次方程 五．根的判别式及韦达定理

①根与系数的关系——对方程根的个数的判别

②利用判别式解参数取值范围——含参变量的一元二次方程 ③通过判别式，证明方程根的个数问题

④利用韦达定理求代数式的值（2

21212121212

11,,,,x x x x x x x x x x +-±±等） ⑤利用韦达定理求参数的值 五．一元二次方程整数根问题 六．一元二次方程的应用

一．一元二次方程的定义

定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 关于一元二次方程的定义考查点有三个：①二次项系数不为0；②最高次数为2；③整式方程 一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．

二．有关一元二次方程根的考查（根与系数的关系及两方程公共根问题）

关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换。（将根代入方程，这是很多同学都容易忽略的一个条件） 1.与根有关的代数式化简求值

【例】已知x 是一元二次方程x 2

+3x-1=0的实数根，求代数式：2

35

(2)362

x x x x x -÷+---的值．

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一元二次方程重难点

基础学习

【巩固】先化简，再求值：222412()4422

a a a a a --÷-+--，其中a 是方程x 2

+3x+1=0的根．

2.公共解问题

【思考】已知两个二次方程x 2

+ax+b=0与x 2

+cx+d=0有一个公共根为1，求证：二次方程

2022

a c

b d

x x +++

+=也有一个根为1．

【例1】一元二次方程x 2

−2x −5

4＝0的某个根，也是一元二次方程x 2

−(k +2)x +

9

4

＝0的根，求k 的值．

【巩固】当k 为何值时，方程x 2

-（k+2）x+12=0和方程2x 2

-（3k+1）x+30=0有一公共根？求出此公共根．

【变式1】若两个不同的关于x 的方程x 2

+x+a=0与x 2

+ax+1=0有一个共同的实数根，求a 的值及这两个方程的公共实数根．

【变式2】已知a ＞2，b ＞2，试判断关于x 的方程x 2-（a+b ）x+ab=0与x 2

-abx+（a+b ）=0有没有公共根．请说明理由．

【拓展1】已知：关于x 的方程ax 2

+bx+c=0，bx 2

+cx+a=0，cx 2

+ax+b=0有一个相同的实数根，且a •b •c ≠0，求a+b+c 的值

【拓展2】设a ，b ，c 为△ABC 的三边，且二次三项式x 2

+2ax+b 2

与x 2

+2cx-b 2

有一个公因式，证明：△ABC 一定是直角三角形．

三．一元二次方程的解法及求根公式（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）

【例1】解方程：

（120++=． （2）（3x+1）（2x-5）=-2（2x-5）

（3）

2154111x x x x -+=+-- （4）2

422

1933

x x x x =+---+

（7）x+28＝0 （2）x+6＝0

【巩固】（1）已知关于x的方程x2-（2a+1）x+a2+a=0的两个实数根中，只有一根大于5，求a的取值范围．

（2）已知x，y满足方程x4+y4+2x2y2-x2-y2-12=0，求x2+y2的值．

在解方程里面，一般采取的方法是配方法，应用公式法，因式分解法，其中因式分解法中考查最多的是十字相乘法，因此在学习的时候要求对这几种方法熟练掌握，一般来说，对于初学者而言，在解方程里面最常使用的是公式法，但在熟练掌握根与系数的关系之后，配方法相较会简单一些。

【例1】若m、n为有理数

，是无理数，

m+是有理系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一

个根，证明：

m-是这个方程的一个根．

【例2】设x1、x2是方程x2-6x+a=0的两个根，以x1、x2为两边长的等腰三角形只可以画出一个，试求a的取值范围．

【例3】当x满足条件

133

11

(4)(4)

23

x x

x x

+<-

⎧

⎪

⎨

-<-

⎪⎩

时，求出方程x2-2x-4=0的根．

【巩固】（1）解方程：x2-x-5=0．

（2）若不等式组

231

1

(3)

2

x

x x

+<

⎧

⎪

⎨

>-

⎪⎩

整数解是关于x的方程2x-4=ax的根，求a的值．

四．含绝对值的一元二次方程

【例1】阅读例题，模拟例题解方程．

例：解方程x2+|x-1|-1=0．

解：（1）当x-1≥0即x≥1时，原方程可化为：x2+（x-1）-1=0即x2+x-2=0，解得x1=1，x2=-2（x2不合题意，舍去）；

（1）当x-1＜0即x＜1时，原方程可化为：x2-（x-1）-1=0即x2-x=0，解得x3=0，x4=1（x4不合题意，舍去）．

综合（1）、（2）可知原方程的根是x1=1，x2=0．

请模拟以上例题解方程：x2+|x+3|-9=0．

【巩固】解方程：（1）2

19 1()

1010

x x

-=+|x2-1| （2）24562

x x x

+-=-【例2】解方程：（1）x2-|x-2|-6=0．（2）x2-4|x|-5=0．

【巩固】设方程22140

x x

---=，求满足该方程的所有根之和．