数学建模人口预测

摘 要

中国是一个人口大国，人口问题与我国的经济发展等方面息息相关。随着我国人口数量的不断变化，人口的老龄化问题也日益突显,政策的调整不可或缺。从当初实行计划生育政策到逐步放开生育政策再到全面实行二孩政策，我国人口发展呈现了一些新特点。本文旨在通过多种预测方法对“全面二孩政策"下的人口数量及其结构进行预测,筛选出了经济发展的指标，并分人口结构对经济发展的影响,结论如下:

针对问题一，本文参考中国国家统计局等官方资料的数据统计出各年人口总数、自然增长率等数据，建立了logis ｔｉc 模型，得出人口总数的变化公式，然后建立GM （１,1)预测模型，预测2016年的人口总数，再利用SP ＳＳ进行回归、曲线估计,得出最为符合的方程式,再利用ＭAT ＬAB 函数拟合工具箱对所得数据进行拟合.预测出２０1７-203０年间人口先增后减,在2０21年达到峰值.

针对问题二，通过建立ＢP 神经网络模型，利用GM(1,1）灰色预测处理人口结构数据得到训练及测试数据集,将数据B Ｐ神经网络算法进行多次训练，最终得到具有相当精度的稳定预测结果。提取相当数量的经济指标并对其进行主成分分析降维处理,之后对主要经济指标及人口结构指标进行多元回归分析得到2０20—2030年人口结构对经济发展的影响。 针对问题三，

关键词：灰色预测 BP 神经网络 L ｅslie 人口结构预测模型

问题假设

1.将我国看做一个封闭系统,没有人口的迁入和迁出

2.人口增长只与人口基数、生育率、死亡率等有关

3.没有大规模战争及瘟疫等传染性疾病

4.假设短期内没有外来物种对人类生存造成影响

5.假设所有数据均为准确数据

6.假设２05０年前医疗水平和科学技术不会对人类的死亡率、出生率造成影响

模型符号说明:

r : 人口自然增长率 x ：总人口数

0x ：初始年份的人口数量

t :时间

)()0(k x :灰色预测的原始序列 )(ˆ)0(k x

：灰色预测的原始数列预测值 ij x ：第i 个指标的第j 个数据

i d ：第i 岁的死亡率

i b ：第i 岁的生育率

问题一 模型建立

首先，我们建立了ｌogis ｔics 模型,具体如下

)0(x x rx

dt

dx == 其次，建立GM （1，1）预测模型

GM （1,1)是一阶微分方程模型，其形式为：

u ax dt

dx

=+ 离散形式：u k x a k x =+++∆))1(())1(()

1()

1(

预测公式：a u e a u x k x

k

a ˆˆˆˆ)1()1(ˆˆ)

1()

1(+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

-=+- 由导数可知:

t

t x t t x dt dx t ∆-∆+=→∆)

()(lim

0 当t ∆很小并且取很小的1单位时，则近似的有：t

x

t x t x ∆∆=-+)()1( 写成离散形式:

))1(()()1()1(+∆=-+=∆∆k x k x k x t

x

由于t

x ∆∆)1(涉及到累加列)

1(x 的两个时刻的数值,

因此，)()

1(i x 取前后两个时刻的平均代替更为合理，即将)()

(i x i 替换为

)]

()1([2

1

)1().,...,3,2()],1()([2

1

).,...,3,2()],1()([2

1)1()1()1()()()()()

(k x k x k x n i i x i x x n i i x i x i i i i i ++=+=-+==-+

))1(()()1()1(+∆=-+=∆∆k x k x k x t

x

u k x a k x =+++∆))1(())1(()1()1(

)]()1([2

1

)1()1()1()1(k x k x k x ++=+

整理可得 u k x k x a k x

+++-=+))]1()((2

1

[)1()1()1()

0(

表示为矩阵形式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯-+-⋯+-+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯u a n x n x x x x x n x x x 111)]1()([21)]2()3([21)]1()2([2

1)()3()2()1()1()1()

1()1()1()0()0()

0( 不妨令T n x x x

y ))(),3(),2(()0()0()

0(，⋯=

令⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥

⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯-+-⋯+-+-=u a U n x n x x x x x B ,111)]1()([21)]2()3([21)]1()2([21)1()1()1()1()

1()1( 则y B B B u

a U BU Y T T 1)(ˆˆˆ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==，

模型求解

１。对ｌogi ｓtics 模型进行求解 得到总人口变化公式：rt

e x x 0= （0x 为初始年份人

口数，21≥t )

2.利用ＧM （1，1）模型，根据199６—２０1５年中国总人口数据,对2016年总人口数进行预测。

根据所建立的模型，编写ＧM （1，１)灰色预测ＭATLAB 程序,预测结果如下： 后验差比值为：0．０８24０８ 系统预测精度好

下个拟合值为 1３８６５1.1８56 图为灰色预测所得图像