第9章Contourlet变换及其应用

(2,
2l
−1
),
for0 ≤ for 2l −1
k< ≤k
2l −1 < 2l
（9-1）
这一维的采样是可分离的，分别对于主要是垂直和水平方向。 DFB可以等价的看成一族基：
{ } d (l) k
⎡⎣n
−
Sk(l ) m ⎤⎦
0≤k <2l ,m∈Z 2
（9-2）
它是滤波器在对采样结果作的相应转化而来的，可以看成是的 一族离散基，这组基具有方向性和局域化特性。
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9.1.3多尺度、多方向分解：塔型方向 滤波器组
PDFB或者叫离散Coutourlet具有如下性质： 1. 由于LP和DPF都是完全重构的，所以二者的结合PDFB也是完全重构
的； 2. 如果LP和DPF都用正交滤波器组，那么PDFB提供了一个紧框架，框架
图9.11 Contourlet变换滤波器组结构图
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9.1.3多尺度、多方向分解：塔型方向 滤波器组
图9.12 contourlet 频谱划分示意图
由图9.12可知：contourlet变换具有比wavelet变换分解出更多的方向子带，分解 具有更多的方向信息。而且，wavelet变换在每一尺度上只能分解出四个方向子 带，而contourlet变换在每一尺度上所能分解的方向子带是可以自由选择的 （个，）分解更具灵活型，可以更具图像的纹理的特性选择合适的参数，从而能更 有效的表示图像。contourlet变换和wavelet变换一样，两者都是一个迭代过程， 因此可以容易地用递归的方法实现contourlet变换程序。这里需说明的是，当在某 一尺度上需用DFB分解的方向子带数为0，则程序使用wavelet变换分解，获得三个 方向（垂直，水平，对角线）和低通的子带。
界为1； 3. PDFB具有冗余性，冗余度为4 / 3； 4. 假设 lj 层的DFB应用于LP 的j层( j=1，2，…J，而j=1对于最优尺度)，那
么分解效果相当于基函数具有如下的支撑区间： width ≈ 2 j，length ≈ 2 j /2 5. 用FIR滤波器，对N像素图像PDFB的算法复杂度为 o(N)。而且由于多尺
组，可以形成一棵二叉树。
•（a）
（b）
•图9.6 DFB频域分解：（a）两级分解（l=2）；（b）三级分解（l=3）
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9.1.2方向滤波器（DFB )
DFB的关键一点就是在树型结构的各个节点，将Shearing操作与 Quincunx滤波器适当结合在一起，从而获得如图9.6所示的二维频谱划 分。如图9.7所示，在前两级DFB分解都只采用Quincunx滤波器，第一级 分解后输出水平方向带和垂直方向带，分别对应于图9.6（a）中的0，1部 分和2，3部分。第二级分解又y0 将 分解y00成 y01 和 ，分别对应于图9.6（a） 中的0部分和1部分。以及y1 将 分解y10 成 y11 和 ，分别对应于图9.6（a）中的 3部分和2部分。前两级只须采用Quincunx滤波器，在第三级及以后的分 解时，则先进行Shearing操作，再进行Quincunx滤波。其中对于y00 和y01 的第三级DFB分解形式分别按上通道0和下通道1又分为两种，如图9.8所 示。上通道采用Type1型分解，下通道则采用Type2型分解。对于图9.7中y10 的 和 y11 也分别有两种DFB分解形式，其结构与上半部分类似，但在进行 第三级分解前要先交换图像的二维，以及采样矩阵（例R如0 ： 换R2 成 Q0 ， 换成Q1）和 )扇型滤波器。
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9.1.2方向滤波器（DFB )
•(a)
(b)
•图9.9 ‘zoneplate’ 图像3级DFB分解例子
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9.1.2方向滤波器（DFB )
图像经过三级DFB分解后在频域的划分如图9.6（b）所示。由图中可以看 出，DFB分解实际上可以等效为如图9.10所示的并行结构。即每个方向子 带是由图像通过对应的方向滤波器E后，再进行下采样S而得到的。右半部 分为其对应的合成部分。
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9.1 Contourlet的原理
• （a）
（b）
• 图9.1 （a）小波变换对曲线的描述；（b）Contourlet变换对曲线的描述
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9.1 Contourlet的原理
9.1.1 拉普拉斯金字塔（LP） 9.1.2方向滤波器（DFB） 9.1.3多尺度、多方向分解：塔型方向滤波器组
9.2 Contourlet的应用
9.2.1基于Contourlet变换的图像去噪 9.2.2 基于Contourlet变换的图像融合

图9.2 Contourlet变换利用拉普拉斯塔形分解(LP) 和方向滤波器组(DFB)实现简图说明
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9.1.1 拉普拉斯金字塔（LP）
拉普拉斯金字塔分解是实现图像多分辨率分析的一种有效方式。每一层次 拉普拉斯金字塔分解将产生一个下采样的低通部分b和一个该图像与预测图 像的差图像a。如图9.3。H和G为分解和合成滤波，M为采样矩阵。这种处 理可以在下采样的低通信号b循环进行下去。最后将形成第n层低通部分和 N个细节部分（高频部分），组成的金字塔式的图像分解。
使用二抽取与二插值的一维双通道滤波器组具有类似的结论：
lX (ω)
=
1 2
[H0
(ω)G0
(ω)
+
H1 (ω )G1 (ω ) ]
X
(ω)
+
1 2
[
H
0
(ω
+
π
)G0
(ω)
+
H1
(ω
+
π
)G1 (ω
)]
X
(ω
+
π
)
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图9.4 Quincunx滤波器
第二个模块是的平移操作（Shearing）。它在Quincunx滤波 分解阶段前进行，并在合成阶段后进行一个反shearing操作。 其作用是重新排序图像的采样。如图9.5为Shearing操作的一 个应用。实际上Shearing操作是对图像的一种采样，图像被旋 转了并且宽度变为原来的两倍。Shearing操作可采用如下四种 采样矩阵。
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9.1 Contourlet的原理
Contourlet变换是利用拉普拉斯塔形分解(LP)和方向滤波器组(DFB)实现的 一种多分辨的、局域的、多方向的图像表示方法（图9.2），它继承了 Curvelet变换的各向异性的多尺度关系，在某种意义上可以认为是 Curvelet变换的另一种快速有效的数字实现。
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9.1.2方向滤波器（DFB )
R0
=
⎛1
⎜ ⎝
0
1⎞ 1⎟⎠
R1
=
⎛ ⎜ ⎝
1 0
−1⎞
1⎟ ⎠Biblioteka R2=⎛1 ⎜⎝1
0⎞
1
⎟ ⎠
R3
=
⎛ ⎜ ⎝
1 −1
0⎞
1
⎟ ⎠
图9.5 图像的Shearing操作
1
⎟ ⎠
Q1
=
⎛1
⎜ ⎝
−1
1⎞ 1⎟⎠
Q的作用是将图像旋转并且下采样，Q0 和 Q1 不同在于它们将图像旋转的方 向不同，分别为45。 和4-5。 。
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9.1.2方向滤波器（DFB )
（a）
（b）
图9.3 LP的分解与重建。（a）LP的分解。（b）新的LP的重构。
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9.1.2方向滤波器（DFB )
1992年Bamberger和Smith构造了2-D方向滤波器组(DFB)。它可以很好的 按方向分解图像并具有很好的重构性。DFB的实现是通过l层的二叉树的分 解，通过对频域的分割产生了的子带，相对的可用个通道结构来表示。
图9.10 DFB等效结构
对于图9.10中的多通道滤波器组，滤波器具有下列对角形式：
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9.1.2方向滤波器（DFB )
S (l) k
=
⎧⎪diag(2l−1, 2),
⎨ ⎪⎩diag
Minh N.Do提出了一种新的分解实现方法。这种简单的DFB包括两个模 块：第一个是两通道的梅花滤波器组（Quincunx滤波器，如图9.4），用 扇形滤波器将2-D光谱分成两个主要方向，垂直和水平方向，其中扇型滤波 器的黑色部分表示其频域通带。Q为采样矩阵，有以下两种：
Q0
=
⎛1 ⎜⎝1
−1⎞
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9.1.2方向滤波器（DFB )
完全重构的条件： H0 (ω)G0 (ω) + H1(ω)G1(ω) = 2
H0 (ω + π )G0 (ω) + H1(ω + π )G1(ω) = 0 如图9.4所示，H0 , H1, G0, G1 是方向滤波组， 那么在完全重构的条件
下，可以将输入信号分解到不同方向，并保持样本数目不变。对二维双通 道Quincunx采样滤波组的输出，继续采用二维双通道Quincunx 采样滤波
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9.1.3多尺度、多方向分解：塔型方向 滤波器组
将金字塔分解和方向滤波器结合起来，就实现了Coutourlet变 换。而且单独使用任何一部都不能很好的描述图像。金字塔分 解不具有方向性，而方向滤波器对高频部分能很好分解，对低 频部分不行。二者的结合恰好能弥补对方的不足，从而得到了 很好的图像描述方式如图9.11所示：
Joint -BCPSBUPSZPG4IBOUPV
BOE9JBNFO6OJWFSTJUZ
超小波分析及应用
Prof. Jingwen Yan jwyan@
,
第九章 Contourlet变换及其应用
9.3 基于Contourlet变换的图像增强
9. 3.1 构建NSCT 9.3.2 NSCT图形增强算法 9. 3.3 实验结果
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9.1 Contourlet的原理
Contourlet变换是用类似于轮廓段(Contour segment)的基结 构来逼近图像。基的支撑区间是具有随尺度变化长宽比的 “长 条形”结构，具有方向性和各向异性，Contourlet系数中，表 示图像边缘的系数能量更加集中，或者说Contourlet变换对于 曲线有更“稀疏”的表达。而二维小波是由一维小波张量积构建 得到，它的基缺乏方向性，不具有各向异性。只能限于用正方 形支撑区间描述轮廓，不同大小的正方形对应小波的多分辨率 结构。当分辨率变得足够精细，小波就变成用点来捕获轮廓, 两种变换对曲线的描述如图9.1所示。
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9.1.2方向滤波器（DFB )
图9.7 DFB的前两级分解
图9.8 DFB第三级分解
下面演示对zoneplate图像进行DFB分解后的结果：
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