高等数学向量代数与空间解析几何总结.

（1）数量积 2 (1) a a | a | . ①求向量的模： ②求两向量的夹角：
请归纳向量的数量积和向量积 在几何中的用途
ab a b | a || b | cos cos , | a || b | a x bx a y b y a z bz cos 2 2 2 2 2 2 a x a y a z bx b y bz
x2 x1 y2 y1 z2 z1
2 2
2
2、曲面
曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程 F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程；
空间解析几何与向量代数
习 题 课
一、主要内容
（一）向量代数 （二）空间解析几何
（一）向量代数
向量的 线性运算
向量概念
向量的 表示法
向量的积
数量积
向量积
1、向量的概念
定义:既有大小又有方向的量称为向量.
重要概念: 向量的模、单位向量、 零向量、 自由向量、 相等向量、 负向量、 平行向量、 向径.
a 与a 同向，| a | | a |
a 0
( 3) 0, a 与a 反向， | a || | | a |
3、向量的表示法 向量的分解式： a a x i a y j a z k 在三个坐标轴上的分向量：a x i , a y j , a z k
请归纳向量的数量积和向量积 在几何中的用途（续）
n a b
其中λ是某个非零的数（通常在不考虑向量模的大小 时可取λ =1）；
（2）向量积
请归纳向量的数量积和向量积 在几何中的用途（续）
c ab
②几何上
| a b | 表示以 b 为邻边 a和
的平行四边形的面积.
2 2 2 | a | a a a 向量模长的坐标表示式 x y z
向量方向余弦的坐标表示式
cos
cos
ax a x a y az ay
a x a y az
2 2
2
2
2
2
cos
az a x a y az
2 2 2
( cos2 cos2 cos2 1 )
空间的点
定点 o 横轴 x

y 纵轴
( x, y, z )
有序数组
z
空 间 直 角 坐 标 系
o x
y
共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.
两点间距离公式:
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点
它们距离为
M1 M 2
b
a
③ ( 2) a // b a b 0.
(a 0, b 0)
（二）空间解析几何 空间直角坐标系
一般方程 旋转曲面
曲线
参数方程 一般方程 参数方程
曲面
平 面
柱
面
直 线
二次曲面
一般方程
对称式方程 点法式方程
1、空间直角坐标系
z
竖轴
（1）数量积 ③求一个向量在另一个向量上的投影：
ab Pr jb a 3. |b |
请归纳向量的数量积和向量积 在几何中的用途（续）
④两向量垂直的充要条件为
ab a x bx a y b y a z bz 0
（2）向量积 ①求与两个非共线向量a、b同时垂直的向量n,可取
4、数量积
(点积、内积)
其中 为a 与b 的夹角
a b | a || b | cos
数量积的坐标表达式
a b a x bx a y by az bz
a x bx a y b y a z bz a x a y az
2 2 2
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
ab
bx b y bz
2
2
2
a x bx a y b来自百度文库y a z bz 0
5、向量积
(叉积、外积)
其中 为a 与b 的夹角
| c || a || b | sin
右手系.
c 的方向既垂直于 a ，又垂直于 b ，指向符合
向量积的坐标表达式 a b ( a y bz a z b y )i (a z bx a x bz ) j ( a x b y a y bx ) k
i a b ax bx
j ay by
k az bz
a // b
a x a y az bx b y bz
向量的坐标表示式： a {a x , a y , a z }
向量的坐标： a x , a y , a z
其中 a x ,a y , a z 分别为向量在 x , y , z 轴上的投影.
向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式
a {a x , a y , a z } b {bx , by , bz } a b {a x bx , a y by , az bz } (a x bx )i (a y by ) j (az bz )k a b {a x bx , a y by , az bz } (a x bx )i (a y by ) j (az bz )k a {a x , a y , a z } (a x )i (a y ) j (az )k
2、向量的线性运算
(1) 加法： a b c (2) 减法： a b d
b
ab c
a
ab d
(3) 向量与数的乘法： 的乘积 a 规定为 a 与 设 是一个数，向量
(1) 0, ( 2) 0,