高一数学函数的基本性质1
沪教版 新课标 高一数学 函数的基本性质(一) 函数的概念
沪教版新课标高一数学函数的基本性质(一) 函数的概念本文介绍了函数的基本性质，分为三节：函数的概念、函数的奇偶性与单调性以及函数的最值与值域。
其中，第一节详细介绍了函数的定义和三要素：定义域、对应法则和函数值域。
同时解释了符号f(x)的三种含义，以及判定两个函数是否为同一个函数的方法。
此外，文章还讲述了函数图像的基本特征，并阐述了函数定义域的含义和求法。
函数是描述两个变量之间对应关系的数学工具。
具体来说，如果在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与之对应，那么y就是x的函数，记作y=f(x)。
其中，x叫自变量，x的取值范围D叫做函数的定义域，和x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做值域。
函数由三个基本要素构成，即定义域D、对应法则f以及函数值域。
其中，定义域D和对应法则f起到核心作用，当定义域和对应法则确定时，值域也随之被确定。
符号f(x)有三种含义：表示一个函数、表示一个函数的解析式和表示函数值。
判断两个函数是否为同一个函数，可以通过函数定义来判定，即只要两个函数定义域、对应法则以及值域都相同，则它们为同一个函数。
函数图像是平面直角坐标系中的一个点集，反映了自变量与因变量之间的关系。
函数的定义域是指自变量的取值范围，可以通过对应法则来求得。
需要注意的是，通常用x表示自变量，y表示因变量，但这不是绝对的。
函数的定义域D指的是自变量x的取值范围，也就是函数f的作用对象的取值范围。
这个范围通常是一个数集。
例如，如果一个函数f(x)的定义域为[0,1]，那么在表达式f(2x+1)中，2x+1（而不是x）的取值范围必须是[0,1]。
这也是本节的重点知识。
一般来说，函数的定义域可以分为三种情况：1.自然定义域：指使函数解析式有意义的自变量的取值范围。
比如，函数f(x)=√x的定义域是[0,+∞)。
2.给定定义域：函数自带定义域。
函数的单调性课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
学运算素养．
新课引入
问题1：观察下面函数图象，从中你发现了图象的哪些特征？
= 2
=
= >0
升降变化、对称性，最高点或最低点等
今天，我们重点研究图象从左到右升降变化的规律。
随的增大而增大（或减小）——
函数的单调性
= 2
1
y
0
那么就称函数 在
区间D上时减函数
y
1
1 2 x
2
0
1 2
x
特别地，只有当函数 在它的定义域上单调递增（递减）时，
我们才称它是增（减）函数。
合作探究
思考1：−1 < 2时，有 −1 < 2 ，
说函数在区间 −1，2 上单增对吗？并说出你的理由。
不对，如图，虽−1 < 2时，有 −1 < 2 ,
函数值随自变量的增大（或减小）的性质叫做函数的单调性.
图形语言：在 轴右侧,从左到右图象是上升的；
也就是说，在区间 ， +∞ 上，随的增大而增大
；
你能类比说出函数在y轴右侧的符号表示及单调性吗？
符号语言：
∀ , ∈ ， +∞ ， = , =
当 < 时，有 < 成立.
结论 这时， f (x)=kx +b是减函数。
结论：一次函数 = + ≠ 的单调性由的正负确定。
> 在R上单调递增； < 在R上单调递减.
k
(k为正常数)告诉我们，
例3、 物理学中的玻意耳定律 p =
高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质
高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数是数学中的基本概念之一，它在数学和实际问题的求解中起到重要的作用。
本文将介绍高一数学第三章中关于函数的基本性质，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
一、函数定义函数是一种特殊的关系，表示一个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素相对应。
函数可以用符号表示，例如：f(x) = 2x + 1其中f表示函数名，x表示自变量，2x + 1表示函数的表达式，它们之间用等号连接。
二、函数的定义域和值域定义域是指函数的自变量的所有可能取值的集合，通常用D表示。
在上面的函数例子中，自变量x可以取任意实数值，所以定义域为全体实数。
值域是指函数的因变量的所有可能取值的集合，通常用R表示。
同样以例子函数f(x) = 2x + 1为例，它的值域是全体实数。
三、函数的奇偶性如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数；如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数；如果一个函数既不是偶函数也不是奇函数，则称其为非奇非偶函数。
四、函数的图像与性质函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表示。
函数的图像可以通过绘制函数的各个点来获得。
函数的图像具有以下性质：1. 对称性：偶函数的图像以y轴为对称轴，奇函数的图像以原点为对称中心；2. 单调性：如果对于定义域内的两个实数x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递增的；如果x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递减的；3. 最值：函数在定义域上的最大值称为最大值，函数在定义域上的最小值称为最小值；4. 零点：函数的零点是指使得f(x) = 0的自变量取值。
五、函数的初等函数性质初等函数是指常见的基本函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
高一数学函数的奇偶性1
3
x；
1 (8) k ( x ) 2 . x 1
练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶) (3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶) 1 (4) k ( x ) 2 x [ 1, 2]； (非奇非偶) x 1 (5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (6) g (x)＝x (x＋1)；
(7) h( x ) x
3
x；
1 (8) k ( x ) 2 . x 1
练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶) (3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶) 1 (4) k ( x ) 2 x [ 1, 2]； (非奇非偶) x 1 (5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (偶 ) (6) g (x)＝x (x＋1)； (非奇非偶)
(7) h( x ) x
3
x；
1 (8) k ( x ) 2 . x 1
练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶) (3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶) 1 (4) k ( x ) 2 x [ 1, 2]； (非奇非偶) x 1 (5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (偶 ) (6) g (x)＝x (x＋1)； (非奇非偶)
(7) h( x ) x
3
x；
1 (8) k ( x ) 2 . x 1
(奇 )
(偶 )
练 习 2. 判断下列论断是否正确
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点 对称，则这个函数关于原点对称且这 个函数为奇函数； (2)如果一个函数为偶函数，则它的定义 域关于坐标原点对称. (3)如果一个函数定义域关于坐标原点对 称，则这个函数为偶函数； (4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则 这个函数为偶函数.
高一数学必修1函数的基本性质
高一数学必修1函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f(某)定义域内的任意某都有f(－某)=－f(某)，则称f(某)为奇函数；如果对于函数f(某)定义域内的任意某都有f(－某)=f(某)，则称f(某)为偶函数。
如果函数f(某)不具有上述性质，则f(某)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(某)既是奇函数，又是偶函数。
注意：1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个某，则－某也○一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2确定f(－某)与f(某)的关系；○3作出相应结论：○若f(－某)=f(某)或f(－某)－f(某)=0，则f(某)是偶函数；若f(－某)=－f(某)或f(－某)＋f(某)=0，则f(某)是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；②设f(某)，g(某)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶2．单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(某)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量某1，某2，当某1<某2时，都有f(某1)<f(某2)（f(某1)>f(某2)），那么就说f(某)在区间D上是增函数（减函数）；注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；○2必须是对于区间D内的任意两个自变量某1，某2；当某1<某2时，总有f(某1)<f(某2)○（2）如果函数y=f(某)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(某)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(某)的单调区间。
人教版高一数学必修一函数的基本性质最大(小)值课件PPT
以上这些问题,我们或多或少都曾经历过。我们也都知道,如果 在课堂上学生没有事情可做的话,他们就会自己找事。而且往往 学生自己找来的事都不会是什么好事。
x∈[1,+∞).
(Ⅰ)当a＝ (Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞)，f (x)＞0恒成立， 试求实数a的取值范围.
课堂小结
1. 最值的概念；
课堂小结
1. 最值的概念； 2. 应用图象和单调性求最值的一般步骤.
课后作业
1. 阅读教材P.30 -P.32； 2．《习案》：作业10
思考题：
1.已知函数f (x)＝x2－2x－3，若x∈ [t, t ＋2]时，求函数f(x)的最值.
你是否曾注意到,有些学生能够立刻着手行动,并且完成的速度也 很快
你是否曾注意到,有些学生再怎样努力,也无法在规定时间内完成 任务。
你是否曾注意到,学生做练习的时候,往往也是最容易出现课堂 纪律问题的时候。比如,有些学生会在完成自己的任务之后,询问 接下来要做什么,有些学生没有专心完成课堂任务,而是做些违纪 动作,还有些学生不停地抱怨自己不明白要做什么？
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f (x)的最大值.
高一数学函数的基本性质习题课PPT课件.ppt
何?并说明理由.
(3)判断函数 f(x) 2x2 6x 7,x - 4,5 的单调性,
并求出它的单调区间.
(4)画出函数 f(x) x x 3 1的图象,并写出函数的 单调区间.
**导学与测试(P78) 单元综合练习3.4: 3,4,5,10. (5)已知函数 f(x) ax2 2x 3在[1,+∞)上为减函数, 在(-∞,1]为增函数,求实数a的值.
(6)已知定义域为R的偶函数f(x)在[0,4]内单调递增, 试比较f(-π)与f(3.14)的大小.
(7)已知函数y=f(x)是R上的偶函数,且f(x)在(-∞,0] 上是增函数,若f(a)≥f(2),求实数a的取值范围. (8)已知奇函数f(x)的定义域为(-1,1),且在定义域上 是单调递减函数,若 f(1- a) f(1- a2 ) 0 ,求实数a的 取值范围.
1
5
典例解析
(综合问题) **例题5:若定义在R上的偶函数f(x)在(-∞,0)上是 单调递增的,若满足 f(2a2 a 1) f(3a2 2a 1). 试求出实数a的取值范围.
*说明: (1)根据题意,作出函数的大致图象解决问题;
(2)应注意本题中的自变量的特殊性.
(2a2 a 1)(,3a2 2a 1)恒大于零.
问题探究
**例题7:已知函数 f(x1) x2 2x1 的定义域为 [-2,0].试求出函数f(x)的单调区间.
*说明: (1)可以利用代换法先求得函数f(x)的解析 式及其定义域,然后作图解之. (2)在进行代换的同时应注意变量的允许范 围也应随之而同步变化.
课堂小结
**请你谈谈本节课的体会与收获**
函数的单调性.
作图演示
y
4
高中数学必修函数的基本性质——奇偶性
(3) h (x)＝x3＋1；
(非奇非偶)
(4) k( x)
1 x2 1
x [1, 2]； (非奇非偶)
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(偶)
(6) g (x)＝x (x＋1)；
(7) h( x) x 3 x ；
(8) k( x)
1 x2 1.
练习
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶)
(3) h (x)＝x3＋1；
(非奇非偶)
(4) k( x)
1 x2 1
x [1, 2]； (非奇非偶)
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(偶)
(6) g (x)＝x (x＋1)；
(非奇非偶)
(7) h( x) x 3 x ；
(奇)
(8) k( x)
1 x2 1.
(偶)
练习
2. 判断下列论断是否正确
1 x2 1
x [1, 2]；
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(6) g (x)＝x (x＋1)；
(7) h( x) x 3 x ；
(8) k( x)
1 x2 1.
练习
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；
(3) h (x)＝x3＋1；
1.奇函数、偶函数的定义分别是什么？
2.奇函数和偶函数的定义域、图象分别 有何特征？ 3.一个函数就奇偶性而言有哪几种可能 情形？
复习回顾
1. 在初中学习的轴对称图形和中心对称 图形的定义是什么？
复习回顾
1. 在初中学习的轴对称图形和中心对称 图形的定义是什么？
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增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数.
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 减函数.
长沙市日平均出生人数统计表
人数(人)
450 423 359
350
250
209
150
176
1985 1990 1994 1997 年份
长沙市耕地面积统计表
面积(万公顷) 33.96
34 32
30
32.32
30.78 29.80
28
1985 1990 1994 1997 年份
y
y＝x＋1
1
-1 O x
f ( x1 )
x1 O
y x2
x
y
f ( x1 )
x1 O
y x2
x
y
y x2
f ( x1 )
x
x1 O0
y
y x2
f ( x1 )
x
x1O
y
y x2
f ( x1 )
x
O x1
y
y x2
f ( x1 )
x
O x1
y
y x2
f ( x1 )
x
O x1
y
y x2
f ( x1 )
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1)
f(x2)
x1＜x2 f(x1)＜f(x2) 函数f (x)在给定
O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1)
f(x2)
x1＜x2 f(x1)＜f(x2) 函数f (x)在给定
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1) f(x2)
O x1 x2 x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1) f(x2) x1＜x2 f(x1)＜f(x2)
O x1 x2 x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
如何用x与f(x)来描述下降的图象？
y y＝f(x) f(x1) f(x2)
在给定区间上任取x1, x2 x1＜x2 f(x1)＞f(x2)
O x1 x2 x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1)
f(x2)
x1＜x2 f(x1)＜f(x2) 函数f (x)在给定
O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述下降的图象？ y y＝f(x)
f(x1) f(x2)
O x1 x2 x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1)
f(x2)
x1＜x2 f(x1)＜f(x2) 函数f (x)在给定
O x1 x2 x 区间上为增函数.
y
y＝x＋1
1
-1 O x
yy
2 2y＝－2x＋2
11 x
O
x
y
y＝x＋1
1
-1 O x
y y y＝－x2＋2x
O
12 x
yy
2 2y＝－2x＋2
11 x
O
x
y
y＝x＋1
1
-1 O x
y y y＝－x2＋2x
O
12 x
yy
2 2y＝－2x＋2
11 x
O
x
y y 1 x
Ox
y
y x2
x O
y
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 减函数.
f(x1) f(x2) x1＜x2 f(x1)＜f(x2)
O x1 x2 x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y＝f(x)
f(x1) f(x2) x1＜x2 f(x1)＜f(x2)
O x1 x2 x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y＝f(x) f(x1) f(x2)
O x1 x2 x
x1＜x2 O x1 x2 x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y＝f(x)
f(x1) f(x2) Βιβλιοθήκη 1＜x2O x1 x2 x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y＝f(x)
f(x1) f(x2) x1＜x2
O x1 x2 x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y＝f(x)
1.3 函数的基本性质 ——单调性
长沙市年生产总值统计表
生产总值 (亿元)
30
33.60
20
19.71
10 4.67 7.56
1985 1990 1994 1997 年份
长沙市高等学校在校学生数统计表
人数 (万人)
15
10
15.38 14.04 12.13 10.79
5
1985 1990 1994 1997 年份
x
O x1
y
y x2
f ( x1 )
x
O
x1
如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y
O
x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y
O
x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y
O
x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y
x1＜x2 O x1 x2 x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y＝f(x)
O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述下降的图象？
y y＝f(x) f(x1) f(x2)
O x1 x2 x
在给定区间上任取x1, x2 x1＜x2 f(x1)＞f(x2)
函数f (x)在给定 区间上为减函数.
增函数、减函数的概念：
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
如何用x与f(x)来描述下降的图象？
y y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1) f(x2)
O x1 x2 x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1)
f(x2)
x1＜x2 f(x1)＜f(x2) 函数f (x)在给定
O x1 x2 x 区间上为增函数.