作轴对称图形

只要能分别作出这三个顶点关于直线l的对称点，
B
连接这些对称点，就能得到要作的图形。
A O A’
B’
C
作法： 1、过点A作直线l的垂线，垂足
l 为点O，在垂线上截取OA’=OA， 点A’就是点A关于直线l的对点；
C’ 2、类似地，分别作出点B、C关 于直线l的对称点B’、C’；
3、连接A’B’、B’C’、C’A’。
解： （1）作AE⊥MN于E，延长AE至A′，使A′E＝AE，得点 A的对称点A′；
（2）同样作出点B、C、D关于MN的对称点B′、C′、D′； （3）顺次连接A′、B′、C′、D′，则四边形 A′B′C′D′即为所求.
图形变式：
已知△ABC，直线L，画出△ABC关于直线L对称 的图形。
L A A'
作法：
1、过点A作直线l的垂线， 垂足为点O，在垂线上截 OA’=OA，点A’就是点A关 于直线l的对称点；
l
A
A’
2、类似地，作出点B关
于直线l的对称点B’；
B
B’
3、连接A’B’.
∴ 线段A’B’即为所求。
例1：如图，已知△ABC和直线l，作出与
△ABC关于直线l对称的图形。
分析：△ABC可以由三个顶点的位置确定，
（A） A
N
M
B C
P
O
B
（C）
O （B） A N
M P
O （D）
B C
N’ B
如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马， 先到草地边某一处牧马，再到河边给马喝水，然后回到帐 篷，请你帮助他确定这一天的最短路线。
练
牧马人：AC→CD →DB
习
三
●C
●D
练 习 四 造桥选址问题中的最短路径问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？ （假 设两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
∴CB=CB',C'B=C'B'.
∴AC+CB=AC+CB'=AB'
在△AC'B'中，
A
B
AC'+C'B'>AB', ∴AC'+C'B>AC+CB, 即AC+CB 最小.
Ｃ' C
l
B/
八年级(5)班同学做游戏，在活动区 域边放了一些球(如下图)，则小明按 怎样的路线跑，去捡哪个位置的球， 才能最快拿到球跑到目的地A?
距离和最小
如图，直线L异侧（同侧）有两点A、B。在直线L上
求一点C，使它到Ａ、Ｂ两点的距离之和最小？
直线异侧两点到直线上
直线同侧两点到直线上
一点的距离和最小问题
一点的距离和最小问题
A●
B
A
●
C
l
●B
C
l
B/
证明: 在L上任取另一点C ',连结AC ' 、BC'、B'C'.
∵ 直线 L是点Ｂ、Ｂ'的对称轴，点Ｃ、Ｃ'在对 称轴上，
归纳：
由一个平面图形可以得到它关于一条 直线L成轴对称的图形，这个图形与原图 形的形状、大小完全相同；
新图形上的每一点，都是原图形上的某 一点关于直线L的对称点；
连接任意一 对对于的对应点的线段 被对称轴垂直平分。
思考
如果有一 个图形和一条直线，如何作 出与这个图形关于这条直线对称的图形 呢？
如何画线段AB关于直线l 的对称线段A′B′?
∴△A’B’C’即为所求。
我行了：如图，已知△ABC和直线l，作出与 △ABC关于直线l对称的图形。
B
B
C
A’
A
l
Cl
C’
A B’
B’
作法：
作法：
1、分别作出点A、B关于
1、分别作出点B、C关于 直线l的对称点A’、B’；
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直线l的对称点B’、C’； 2、连接A’B’、B’C、CA’。
2、连接AB’、B’C’、C’A。 ∴△A’B’C即为所求。
L A A'
C'
C C'
B
B' B
C B'
归纳
几何图形都可以看作由点组成， 我们只要分别作出这些点关于对称轴 的对应点，再连接对应点，就可以得 到原图形的轴对称图形；
对于一些由直线、线段或射线组成 的图形，只要作出图形中的一些特殊点 （如线段端点）的对称点，连接对称点， 就可以得到原图形的轴对称图形。
13.2作轴对称图形
及最短路径问题
动手试一试
在一 张半透明的纸的左边部分， 画一只左脚印，在把这张纸对折 后描图，打开对折的纸。就能得
L
动脑想一 想
到相应的右脚印，
左脚印和右脚印有什么关系？
成轴对称
对称轴是 折痕所在的 直线，既直线 L 图中的PP’与l有什么关系？
类似地。我们可由一个图形 得到与它成轴对称的另一个 图形，重复此过程，可得到 美丽的图案
练习 1.如图，把下列图形补成关于直线l对称的图形。
2.用纸片剪一个三角形，分别沿它一边的中线、 高、角平分线对折，看看哪些部分能够重合， 哪些部分不能重合.
最短路径问题
• 如图所示：从A地到B地有三条路可供 选择，你会选择哪条路距离最短？你 的理由是什么？ 两点之间线段最短
探究一
如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、 B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所 用的输气管线最短？ 所以泵站建在点P可使输气管线最短
∴△AB’C’即为所求。
例2：如图，已知四边形ABCD，直线MN，求作四边形 A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′与四边形ABCD关 于MN对称.
A
M A’ E
B
D D’
B’
C
C’ N
解析分：别画出A、B、C、D这四个顶点关于MN的对称点，
顺次连接这些对称点，就可以得到四边形A′B′C′D′.
习 一
先达到终点者胜。下面是小猫、小猪、小猴、小 熊为他们设计的路线，其中路程最短的是（）
B
A
A
B A
B
B
A
C
小猫
a C
小猪
a
a
C
小猴
A‘
a C
小熊
巩固新知
∠AOB的边OA上有两点M、N，在∠AOB 的角
练 平分线OC上找一点P，使MP+NP最小，下列作
习 法正确的是（）
二
A
N
C
A N
C
M
M
P
P O
A
●A
P
L
B
●B
探究二
如图，如果A，B在燃气管道L的同旁，泵站应修在 管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
所以泵站建在点C可使输气管线最短
●B ●A
B A
C
总结经验： 实际上是通过轴对称变换，把A，B在直
B/
线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可
利用“两点之间线段最短”加以解决。
探究说明了如何在直线上找一点，使它到直线外两点
A/
。
A
捡点C位置的球
C B小明
l
如果另一侧放着一些小木棍，小明
还要跑到另一侧去取小木棍，则又应按
怎样的路线跑，去捡哪个位置的球、小
木棍，才能最快跑到目的地A?你能说
说为什么吗?
A/
。
捡M点位置的球，
l2 NA
捡N点位置的小木棍
M
B/
。
B小明
l1
巩固新知
龟兔赛跑新规则：参赛者从A点出发到达直线
练 a上任意一点后，再回到直线a同侧的终点B，最