黑龙江省哈尔滨市高一上学期数学第三次月考试卷

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2024-2025学年辽宁省沈阳市高一上学期第三次月考数学检测试卷(附解析)

满分：150分时间：120分钟一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每题给出的四个选项中，只有一2024-2025学年辽宁省沈阳市高一上学期第三次月考数学检测试卷个选项符合题目要求）1. 已知 1.010.99a =，0.991.01b =，1.01log 0.99c =（）A. a b c <<B. b c a<< C. c b a<< D. c a b<<【答案】D 【解析】【分析】利用“0,1”分段法来确定正确答案.【详解】01.010.990100.990.9,1.01 1.0119<=>=<，1.01 1.01log 0.99log 10<=，所以c a b <<.故选：D2. 把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”（）A. 是对立事件B. 是不可能事件C. 是互斥但不对立事件D. 不是互斥事件【答案】C 【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件、不可能事件的概念，选出正确选项.【详解】显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件.故选：C.【点睛】本小题主要考查互斥事件和对立事件的辨析，考查不可能事件的概念，属于基础题.3. 已知函数23x y a -=+（0a >且1a ¹）的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则13f æö=ç÷èø（）A.19B. 9C.D. 3【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求得点P 坐标，以及()f x 的解析式，再求结果即可.【详解】23x y a -=+恒过定点()2,4，设()af x x =，故24a =，解得a =2，故()2f x x =，则2111339f æöæö==ç÷ç÷èøèø.故选：A.4. 已知函数()242,11log ,1x a x f x a x x +-<ì=í+³î，若()f x 的值域为(),¥¥-+，则实数a 的范围是（）A. 2B. (],2-¥ C. (),2¥- D. (]0,2【答案】D 【解析】【分析】对a 的取值进行分类讨论，即可得到答案.【详解】若0a £，则对x <1有()4214252f x x a a a =+-<+-=-，对1x ³有()21log 1552f x a x a =+£<£-.所以()52f x a <-，其值域不可能是(),-¥+¥，不满足条件；若02a <£，则对1t <，由2412·241t a +-<+-=可知()()242442f t a t a a t +-=+-+-=；且对1t ³，由111221t aa--³=可知1121·t at f a t a -æö-=+=ç÷èø.所以对任意实数t ，方程()f x t =总有解，所以f (x )的值域是(),-¥+¥，满足条件.若2a >，则对x <1有()4214252f x x a a a =+-<+-=-，对1x ³有()21log 152·252f x a x a =+³=->-.所以()52f x a ¹-，其值域不可能是(),-¥+¥，不满足条件.综上，a 的取值范围是02a <£.故选：D.5. 设函数()221,0ln ,0x x x f x x x ì++£=í>î，则函数()()11y f f x =--的零点个数为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C 【解析】【分析】利用换元法，()1t f x =-，先解出()10f t -=时t 的值，然后再根据()y f x =的图象，判断()1f x t =+时，x 的个数.【详解】因为()221,0ln ,0x x x f x x x ì++£=í>î，令()1t f x =-，则由()10f t -=，即()1f t =，解得2t =-或0或e ，在同一平面直角坐标系中分别作出()y f x =，1y =-，1y =，e 1y =+的图象如图所示，由图象可知()y f x =与1y =-有1个交点，即()12f x -=-有1个根，()y f x =与1y =有3个交点，即()10f x -=有3个根，()y f x =与e 1y =+有2个交点，即()1e f x -=有2个根，所以函数()()11y f f x =--的零点个数为1326++=个，故选：C6. 已知函数22()log ||f x x x =+，则不等式(1)(1)0f x f --<的解集为（）A. (0,2)B. (1,2)-C. (0,1)(1,2)UD. (1,1)(1,3)-U 【答案】C 【解析】【分析】由函数的奇偶性与单调性即可求解不等式.【详解】由题意得：函数定义域为：}{0x x ¹，()22log ()f x x x f x -=+=，所以()f x 为偶函数，且在()0,¥+上单调递增．由()()110f x f --<可得()()11f x f -<，∴|1|1x -<，解得02x <<．又10x -¹，即1x ¹．∴02x <<且1x ¹．故不等式的解集为(0,1)(1,2)U ．故选：C ．7. 若()20212021340x y x x y ++++=，则4x y +=（）A. 1B. 0C. 2D. 1-【答案】B 【解析】【分析】由20212021(3)4x y x x y ++++=()20212021(3)30x y x y x x +++++=，构造函数()2021x f x x =+，可得()()30f x y f x ++=，再结合()2021x f x x =+的单调性和奇偶性即可求解.【详解】构造函数()2021x f x x=+，由20212021(3)4x y x x y ++++=()20212021(3)30x y x y x x +++++=，可得()()30f x y f x ++=，()()()()()20212021x f x x x x f x -=-+=-+=--Q ，且定义域为R ，()2021f x x x \=+是奇函数，()()3f x y f x \+=-，又易得()2021x f x x=+为R 上的单调递增函数，,3x y x \+=-，40x y \+=.故选：B8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设R x Î，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如[]3.24-=-，[]2.32=．则[][][][]33333l o 123og log l g log 24++++L 的值是（）A. 145 B. 857C. 150D. 243【答案】B 【解析】【分析】根据高斯函数以及对数运算等知识来求得正确答案.【详解】[][]33log 1log 20==，共2个0，[][][][][][]333333log 3log 4log 5log 6log 7log 81======，共6个1，[][][]333log 9log 10log 262====L ，共18个2，[][][]333log 27log 28log 803====L ，共54个3，[][][]333log 81log 82log 2424====L ，共162个4，[]3log 2435=，所以[][][][]3333log 1log 2log 3log 243++++L 206118254316245857=´+´+´+´+´+=.故选：B【点睛】方法点睛：本题的核心方法是高斯函数与对数运算的结合，首先根据高斯函数的定义，逐步列出对数值的范围，并确定每个区间内的数值个数，然后将每个区间内的个数与对应的高斯函数值相乘，最后求和得到结果，这种方法依赖于对数值的分段计算，并注意区间内数值个数的计数.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9. 关于中位数、方差、众数、标准差，下列说法正确的是（）A. 将一组数据的每个数都增加2，则这组数据的中位数也增加2B. 将一组数据的每个数都增加2，则这组数据的方差也增加2C. 将一组数据的每个数都增加到2倍，则这组数据的众数也增加到2倍D. 将一组数据的每个数都增加到2倍，则这组数据的标准差也增加到2倍【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，根据中位数的定义分析判断，对于B ，根据方差的性质分析判断，对于C ，根据众数的定义分析判断，对于D ，根据标准差的性质分析判断.【详解】对于A ，将一组数据的每个数都增加2，则可知这一组数的最中间的数或最中间两个数的平均数也增加2，所以这组数据的中位数也增加2，所以A 正确，对于B ，将一组数据的每个数都增加2，则这组数据的平均也增加2，所以由方差公式可知，这组数据的方差不变，所以B 错误，对于C ，将一组数据的每个数都增加到2倍，则出现次数最多的数也增加到2倍，所以这组数据的众数也增加到2倍，所以C 正确，对于D ，将一组数据的每个数都增加到2倍，则这组数据的方差增加到4倍，所以这组数据的标准差也增加到2倍，所以D 正确，故选：ACD10. 设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ³时，()22(xf x x b b =++为常数），则下列说法正确的是（）A. ()3f b =- B. ()313f -=C. ()f x 在()0¥－，上是单调减函数 D. 函数()f x 仅有一个零点【答案】AD 【解析】【分析】根据()00f =，求得1b =-，得到()221xf x x =+-，求得()1f -的值，可得判定A 正确；结合由()()33f f -=-，可得判定B 不正确；结合2xy =和21y x =-都是增函数，及()f x 为在R 上的奇函数，得出函数的单调性，可判定C 不正确；结合()00f =和函数的单调性，得到()f x 仅有一个零点，可得判定D 正确.【详解】对于A 中，因为()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x ³时，()22xf x x b =++，可得()0020=+=f b ，解得1b =-，所以()221xf x x =+-，则()()111(221)3f f -=-=-+-=-，所以A 正确；对于B 中，由()()333(2231)13f f -=-=-+´-=-，所以B 不正确；对于C 中，当0x ³时，()221xf x x =+-，因为函数2xy =和21y x =-都是增函数，所以()f x 在(0,)+¥是单调递增函数，又因为()f x 为在R 上的奇函数，所以()f x 在(,0)-¥也是递增函数，所以C 不正确；对于D 中，由()00f =，且()f x (,0)-¥和(0,)+¥是单调递增函数，所以函数()f x 为定义在R 上仅有一个零点，所以D 正确.故选：AD.11. 已知函数()222,0log ,0x x x f x x x ì--£ï=í>ïî，若()()()()1234f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则下列结论正确的是（）A. 122x x += B.341x x = C. 1234102x x x x <+++<D. 123401x x x x <<【答案】BCD 【解析】【分析】作出函数()f x 的图象，设()()()()1234f x f x f x f x t ====，则直线y t =与函数y =f (x )的图象4个交点横坐标分别为1234,,,x x x x ，可得出01t <<，再结合对称性与对数运算即可得正确选项.【详解】函数222,0()log ,0x x x f x x x ì--£ï=í>ïî的图象如上图所示，设()()()()1234f x f x f x f x t ====，则01t <<.从而直线y t =与函数y =f (x )的图象4个交点横坐标分别为1234,,,x x x x .对于选项A ：函数22yx x =--的图象关于直线1x =-对称，则122x x +=-，故A 不正确；对于选项B ：由图象可知2324log log x x =，且3401x x <<<，∴2324log log x x -=，即()234log 0x x =，所以，341x x =，故B 正确；由于12340x x x x <<<<，故12343422220x x x x x x +++=-++>-+=-+=.而由01t <<可知412x <<，从而()()44123444422111121222x x x x x x x x x --+++=-++=+<<，故C 正确；由图象可知12210x x -<<-<<，故1234120x x x x x x =>，()()212341112111x x x x x x x =×--=-++<，故D 正确.故选：BCD【点睛】思路点睛：本题解题的关键点是采用数形结合的思想，构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12. 若234x z y a ===，且21112x y z +-=，则实数a =________．【答案】9【解析】【分析】根据对数运算来求得正确答案.详解】依题意，234x z y a ===，则0a >，所以234log ,log ,log x a y a z a ===，则22122log 2log 2log 4a a a x x=´=´==，11log 3,log 4a a y z==，所以2111log 4log 3log 4log 32a a a a x y z +-=+-==，123,9a a ==.故答案为：913. 若211|24x A x -ìü=£íýîþ，1161|log 2B x x ìü=³íýîþ，实数集R 为全集，则()R A B Ç=ð________【答案】10,4æùçúèû【【解析】【分析】求解指数和对数不等式，解得集合,A B ，再进行集合运算即可.【详解】211|24x A x -ìü=£íýîþ{}{}2121|22|212{|}2x x x x x x --=£=-£-=£-，1161|log 2B x x ìü=³íýîþ161616111|log |log log {|0}244x x x x x x ìüìü=-³=£=<£íýíýîþîþ，故()R A B Ç=ð1111||0|00,2444x x x x x x ìüìüìüæù>-Ç<£=<£=íýíýíýçúîþîþîþèû.故答案为：10,4æùçúèû.14. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对R x "Î，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x Î-时，()112xf x æö=-ç÷èø．若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________【答案】)2【解析】【分析】先根据题意分析函数()f x 的对称性及周期性；再利用函数的对称性和周期性作出函数()f x 在[]2,6-上的图象；最后数形结合列出不等式组求解即可.【详解】由(2)(2)f x f x -=+，可得：()()4f x f x -=+，又因为()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()f x f x -=，且函数()f x 图象关于y 轴对称，所以()()4f x f x +=，即()f x 的周期为4，作出函数1()12xf x æö=-ç÷èø在[]2,0x Î-上的图象，根据()f x 对称性及周期为4，可得出()f x 在[]2,6-上的图象：令()()()log 21a g x x a =+>，若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则函数()f x 与函数()log (2)(1)a g x x a =+>在(2,6]-上至少有2个不同的交点，至多有3个不同的交点，所以()()()()2266g f g f ì£ïí>ïî，即()()log 223log 623a a ì+£ïí+>ïî2a £<.故答案为：)2【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质综合应用，函数与方程的综合应用及数形结合思想.解题关键在于根据题意分析出分析函数()f x 的对称性及周期性，并作出()f x 和()g x 图象；将方程根的问题转化为函数图象交点问题，数形结合解答即可.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知集合{}3log 1A x x =<，集合()(){}2|2110B x x m x m m =-+++<，:p x A Î，:q x B Î，若p 是q 必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】[]0,2【解析】【分析】求解对数不等式和含参一元二次不等式，解得集合,A B ，再根据集合之间的包含关系，即可求得参数范围.【详解】由3log 1x <得：03x <<，所以{}|03A x x =<<，由()()22110x m x m m -+++<得，1m x m <<+，所以{}|1B x m x m =<<+，的的因为p 是q 的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集；所以013m m ³ìí+£î（等号不同时取），所以02m ££，所以实数m 的取值范围是[0,2]．16. 我国是世界上严重缺水国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)0,0.5，[)0.5,1，…，[]4,4.5分成9组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中a 的值；（2）若该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数；（3）估计居民月均用水量的众数和第80百分位数.【答案】（1）0.30；（2）36 000；（3）2.25，2.73【解析】【分析】(1)由直方图中所有小长方形面积之和为1，可计算得a 的值；(2)求出100位居民月均用水量不低于3吨的频率，根据频率，频数，样本容量的关系进行运算；(3)根据众数，百分位数的求法进行运算．【小问1详解】由频率分布直方图可知，月均用水量在[)0,0.5的频率为0.080.50.04´=，同理，在[)0.5,1，(]1.5,2，[)2,2.5，[)3,3.5，[)3.5,4，[)4,4.5等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02，由1(0.040.080.210.250.060.040.02)0.50.5a a -++++++=´+´，解得0.30a =；【小问2详解】的由(1)知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为：0.060.040.020.12++=，由以上样本的频率分布可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为：3000000.1236000´=．【小问3详解】直方图中众数位于最高矩形底边中点2.25，∴由样本估计总体，居民月均用水量的众数为2.25．由直方图可得，从左到右前5组的频率依次为：0.04，0.08，0.15，0.21，0.25，前五组频率之和为0.73，第6组频率为0.15，∴前6组频率之和为0.730.150.88+=，故第80百分位数位于第6组，结果为0.80.732.5 2.50.23 2.730.30-+»+=，即第80百分位数为2.73．17. 已知奇函数()2121x x a f x ×-=+的定义域为[]2,a b --．（1）求实数,a b 的值；（2）当[]1,2x Î时，()220xmf x ++>恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）1a =， 3b =（2）()5,--+¥【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程，由此求得,a b 的值.（2）由不等式分离参数m ，结合基本不等式来求得m 的取值范围.【小问1详解】因为函数()2121x x a f x ×-=+是奇函数，所以()()f x f x -=-，即21212121--×-×-=-++x x x x a a ，即2212121--×+=++x x x x a a ，即221-=-×+x x a a ，整理得()()1210x a -+=，所以10a -=，即1a =，则23--=-a ，因为定义域为[]2,a b --关于原点对称，所以3b =；【小问2详解】因为[]1,2x Î，所以()21021-=>+x x f x ，又当[]1,2x Î时，()220x mf x ++>恒成立，所以()()222121++-<-x x x m ，[],12x Î时恒成立，令21x t =-，则()()2265563+++-<==+++t t t t t t t t m ，[]1,3t Î时恒成立，所以m -小于65t t ++的最小值，而6555++³=t t ，当且仅当6t t =，即t =所以5m -<+，5>--m ，即m的取值范围是()5,--+¥．18. 已知函数()3log f x x =.（1）设函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()g x f x =，求函数()g x 的解析式；（2）已知x ùÎû时，函数()39a x x h x f f æöæö=×ç÷ç÷èøèø最小值为2-，求实数a 的值.【答案】（1）()()33log ,00,0log ,0x x g x x x x ì>ï==íï--<î（2）2-或5【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性来求得()g x 的解析式.（2）先化简()f x 的解析式，利用换元法，结合对a 进行分类讨论，来求得a 的值.【小问1详解】Q 当0x <时，0x ->，Q 当0x >时，()()3log g x f x x ==，()g x 为R 上的奇函数()()()3log g x g x x \=--=--，()00g =.综上所述，函数()g x 的解析式为()()33log ,00,0log ,0x x g x x x x ì>ï==íï--<î；的【小问2详解】x ùÎûQ ()33log log 9933a a x x x x h x f f æöæöæöæö\=×=×ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø()()()23333log log 2log 2log 2x a x x a x a =--=-++，设3log t x =，则133t ,⎡ùÎêú⎣û，函数()h x 化为()()()222222224a a s t t a t a t -+æö=-++÷-=-çèø.①当2123a +£，即43a £-时，函数()s t 在13,3⎡ùêú⎣û上是增函数，()h x \的最小值为()min 1552339s t s a æö==-=-ç÷èø，解得1315a =-（不合题意，舍去），②当232a +³，即4a ³时，函数()s t 在13,3⎡ùêú⎣û上是减函数，()h x \的最小值为()()min 332s t s a ==-=-，解得5a =，③当12332a +<<，即433a -<<时，函数()s t 在13,3⎡ùêú⎣û上有最小值22a s +æöç÷èø，()h x \的最小值为()()2min 22224a a s t s ++æö==-=-ç÷èø，解得2a =-或2a =+（不合题意，舍去），综上所述，实数a 的值为2-或5.【点睛】易错点睛：小问1：理解奇函数的定义时容易混淆，需要注意对于0x >、0x =和0x <的情况，特别是负数部分的处理要小心.小问2：在求解二次函数最小值时，要特别注意各个区间内的函数单调性，避免遗漏最小值出现的具体位置.19. 已知函数()f x 的定义域为D ，若存在常数()0k k >，使得对D 内的任意x ，都有()k f x f x æö=ç÷èø，则称()f x 是“反比例对称函数”．设()2816log log f x x x =×，()16g x x m x =+-．（1）判断函数()2816log log f x x x=×是否为“反比例对称函数”，并说明理由；（2）若函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，求m 的值；【答案】（1）是，理由见解析（2）203【解析】【分析】（1）根据“反比例对称函数”的定义来进行判断.（2）由()()0f x g x -=有一个解列方程，化简求得m 的值.【小问1详解】()2816log log f x x x=×是“反比例对称函数”，理由如下：由题可知，()282216116log log log log 3f x x x x x =×=×可知，2216116log log 3f x x x æö=×ç÷èø所以()16f x f x æö=ç÷èø，故()f x 是“反比例对称函数”．【小问2详解】由题可知，0x >，此时()16g x x m x=+-，因为函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，即()()0f x g x -=有一个解，得22221161616116log log 0log log 33x x m m x x x x x x×--+=Þ=+-×，令()2216116log log 3H X x x x x =+-×，得()m H x =仅有一个解，显然()221616116log log 3H x x H x x x x æö=+-×=ç÷èø，因为()m H x =，则有16m H x æö=ç÷èø，要使()m H x =仅有一个解，只需164x x x=Þ=，或4x =-（舍）所以()2043m H ==．【点睛】方法点睛：反比例对称函数的判断：通过对函数进行化简并运用反比例对称函数的定义，确认了函数()f x 是否满足对称条件，这部分依赖于对对数运算和函数对称性的理解.交点求解：通过设定方程()()0f x g x -=来求解m ，从而得到交点条件，这里利用了函数代数表达式的结合与化简，最终得到只有一个解的条件，从而确定m 的值.。

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市哈尔滨三中高三(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A ={y|y =24−x 2}，B ={x|y =ln(x 2+2x +3)}，则A ∩B =( )A. (0,4]B. [1,4]C. [1,+∞)D. (0,+∞)2.已知3+i 是关于x 的方程2x 2−mx +n =0(m,n ∈R)的一个根，则m +n =( )A. 20B. 22C. 30D. 323.已知x >0，y >0，lg 2x +lg 4y =lg2，则1x +12y 的最小值为( )A. 2B. 22C. 23D. 44.数列{a n }中，若a 1=2，a 2=4，a n +a n +1+a n +2=2，则数列{a n }的前2024项和S 2024=( )A. 1348B. 1350C. 1354D. 26985.在△ABC 中，D 为BC 中点，CP =λCB ，AQ =23AB +13AC ，若AD =25AP +35AQ ，则λ=( )A. 12B. 13C. 14D. 156.在三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，点D 在棱BB 1上，且BB 1=4BD ，点M 为A 1C 1的中点，点N 在棱BB 1上，若MN//平面ADC 1，则NBNB 1=( )A. 2B. 3C. 4D. 57.已知偶函数f(x)定义域为R ，且f(3x)=f(2−3x)，当x ∈[0,1]时，f(x)=x 2，则函数g(x)=|cos (πx)|−f(x)在区间[−52,12]上所有零点的和为( )A. −7B. −6C. −3D. −28.已知平面向量a ，b ，c ，满足|a |=|b |=1，且cos 〈a ,b〉=−12，|c−a +b |=1，则b ⋅(a−c )的最小值为( )A. −1B. 0C. 1D. 2二、多选题：本题共3小题，共18分。

黑龙江省哈尔滨市南岗区实验中学2021-2022学年高三上学期数学(理)第三次月考(开学考)试题

B．18 种
C．144 种
D．72 种
11．已知函数 f x x2 a ， g x x2ex ，若对任意的 x2 1,1 ，存在唯一的
x1
1 2
, 2 ，使得
f
x1
g x2
，则实数 a
的取值范围是（
）
A． e,4
B．
e
1 4
,
4
C．
e
1 4
,
4
D．
1 4
,
4
12．已知函数
14．甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为 1 、 4
1 ，获得二等奖的概率分别为 1 、 3 ，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲、乙两人
5
25
至少有1人获奖的概率为
.
15．定义在实数集上的奇函数 f x 恒满足 f 1 x f 1 x ，且 x 1,0 时，
叠加态，2 个超导量子比特共有“ | 00 ， | 01 ，|10 ， |11 ”4 种叠加态，3 个超导量
子比特共有“| 000 ，| 001 ， | 010 ， | 011 ，|100 ， |101 ， |110 ， |111 ”8 种
叠加态，…，只要增加 1 个超导量子比特，其叠加态的种数就呈指数级增长.设 62 个超
导量子比特共有 N 种叠加态，则 N 是一个（）位的数.(参考数据： lg 2 0.3010 )
A．18
B．19
C．62
8．函数
f
x
2 1 ex
1 sin
x
的图象大致是（
）
D．63
A．
B．
C．
D．
9．设 f x 是偶函数 f x x R，x 0 的导数，f 2 0 ，当 x 0 时，xf x f x 0 ，

黑龙江省哈尔滨市2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学含答案

哈尔滨市2023级高一上学期学业质量检测数学试卷（答案在最后）（本试卷满分150分，考试时间120分钟.）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,0A =-，{}21B x x ==，则A B = （）A.∅B.{}1-C.{}1D.{}1,0,1-2.命题“x ∃∈R ，20x +<”的否定是（）A.x ∃∈R ，20x +>B.x ∀∈R ，20x +>C.x ∃∈R ，20x +≥ D.x ∀∈R ，20x +≥3.“a b >”是“22a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.不等式()()370x x --≤的解集为（）A.{}37x x << B.{}37x x x <>或C.{}37x x ≤≤ D.{}37x x x ≤≥或5.1ln 3ln 3+=（）A.1- B.0C.1D.ln 96.已知幂函数()f x 的图象过点(，则()8f =（）A.2B. C. D.47.已知实数1x >，则121x x ---的（）A.最小值为1B.最大值为1C.最小值为1- D.最大值为1-8.若函数()2f x x ax b =++，则下列不等式恒成立的是（）A.()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭B.()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭C.()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭ D.()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知4sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则（）A.()4sin 5πα-= B.()3tan 4πα+=-C.3sin 25πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭ D.33cos 25πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭10.已知函数()()24,0log 23,0x x f x x x -+≤⎧⎪=⎨++>⎪⎩，则下列说法正确的是（）A.()()26ff -= B.()6f x <的解集为{}26x x -<<C.()f x 在()2,6-上单调递增 D.当[]2,14x ∈-时，()f x 的值域是[]6,711.已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭），直线6x π=和点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的图象的一组相邻的对称轴和对称中心，则下列说法正确的是（）A.()f x 的周期是πB.函数()f x 在区间,38ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为单调函数C.将()f x 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12，得到函数()g x，则62g π⎛⎫= ⎪⎝⎭D.将函数()f x 的图象向左平移m （0m >）个单位长度后得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是6π12.设函数()2e ,0313,022x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩，函数()()()222g x f x bf x b =-+-，则下列说法正确的是（）A.当1b =时，函数()g x 有3个零点B.当4140b =时，函数()g x 有5个零点C.若函数()g x 有2个零点，则2b <-或625b <<D.若函数()g x 有6个零点，则112b <<三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.sin15cos15︒︒=______.14.函数()()1lg 32f x x x =+++的定义域为______.15.指数函数()f x 过点()1,2-，()3.10.9a f =，()0.9log 1.7b f =，()0.31.7c f =，则a ，b ，c 的大小关系为______.（用“＜”号连接）16.函数()()()sin cos f x x x ωϕωϕ=+++（0ω>，2πϕ<）的最小正周期为4，且()()f x f x -=-，则()()()122023f f f ++⋅⋅⋅+=______.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知()()3sin cos cos sin 5αβααβα---=，β是第三象限角.（1）求5sin 3πβ⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）求tan 24πβ⎛⎫+⎪⎝⎭的值.18.（本题满分12分）已知函数()24f x x ax =-+.（1）若关于x 的不等式()0f x ≥解集为R ，求实数a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式()0f x ≤.19.（本题满分12分）如图，在扇形OPQ 中，半径1OP =，圆心角4POQ π∠=.C 是扇形圆弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形，记POC α∠=.（1）将矩形ABCD 的面积S 表示成关于α的函数()f α的形式；（2）求()f α的最大值，及此时的角α.20.（本题满分12分）已知函数()22xxf x a -=+⋅.（1）若()f x 是奇函数，求实数a 的值；（2）若()1724f =，求()f x 在[]1,2-上的值域.21.（本题满分12分）定义在()(),00,-∞+∞ 上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且()f x 不恒为0.（1）求()1f 和()1f -的值；（2）若()f x 在()0,+∞上单调递减，求不等式()()()122f x f f x ++>-的解集.22.（本题满分12分）定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x x +-=，且对任意的1x ，[)20,x ∈+∞（其中12x x ≠）均有()()121212f x f x x x x x ->+-.（1）判断并证明函数()()2g x f x x =-的奇偶性；（2）若()()22532322160f mx f mx m x mx +--+-->对所有[]1,1m ∈-恒成立，求实数x 的取值范围；（3）若（1）中的函数()g x 的图象是经过()0,0和()1,1的一条直线，函数()h x m =-D ，若存在区间[],a b D ⊆，使得当()h x 的定义域为[],a b 时，()h x 的值域也为[],a b ，求实数m 的取值范围.参考答案1.B2.D3.D4.C5.B6.B7.D8.A9.A10.AB11.ABD12.ABC13.1414.{}32x x x >-≠-且15.c a b<<16.017.解：（1）由题意()()3sin sin 5αβαβ--=-=，………………1分3sin 5β∴=-，………………2分4cos 5β∴=-，………………3分555sin sin cos cos sin 333πππβββ⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭ (4)分310-=；………………5分（2）由（1）得3tan 4β=，………………6分22tan tan21tan βββ∴=-………………7分247=，………………8分tan2tan4tan 241tan2tan 4πβπβπβ+⎛⎫+=⎪⎝⎭-………………9分3117=-.………………10分18.解：（1）由题意0∆≤，即2160a -≤，………………2分44a ∴-≤≤；………………4分（2）（ⅰ）当0∆<时，即44a -<<时，∴原不等式的解集为∅；………………6分（ⅱ）当0∆=时，即4a =-或4a =时，当4a =时，()220x -≤，∴原不等式的解集为{}2，………………8分当4a =-时，()220x +≤，∴原不等式的解集为{}2-；………………10分（ⅲ）0∆>时，即4a <-或4a >时，240x ax -+=，解得2a x +=或2a x =，∴原不等式的解集为2a x ⎧+⎪≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭.………………12分19.解：（1）在OBC △中，sin 1BCα=，sin BC α=，………………1分cos 1OBα=，cos OB α=，………………2分sin OA DA BC α===，………………3分cos sin AB αα=-，………………4分()()cos sin sin S f αααα==-（04πα<<）；………………5分（2）()11cos 2sin 222S f ααα-==-………………7分21sin 2242πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，………………9分因为04πα<<，32444πππα∴<+<，………………10分当242ππα+=，即8πα=时，………………11分()f α取得最大值12-.………………12分20.解：（1）由题意()()f x f x -=-，………………1分2222x x x x a a --∴+⋅=--⋅，………………2分()2222x x x x a --∴+=--，1a ∴=-；………………4分（2）()22172224f a -=+⋅=，1a ∴=，………………5分()22x x f x -=+，………………6分令2xt =，142t ≤≤，令()1h t t t =+，142t ≤≤，………………7分设12112t t ≤<≤，()()()1212121210t t h t h t t t t t -∴-=->，()()12h t h t ∴>，()h t ∴在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，………………9分()()112h h t h ⎛⎫∴≤≤ ⎪⎝⎭，即()522h t ≤≤，………………10分同理可证()h t 在(]1,4上单调递增，()()()14h h t h ∴<≤，即()1724h t <≤，………………11分综上，()f x 在[]1,2-上的值域172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.………………12分21.解：（1）令1x y ==，()()121f f ∴=，()10f ∴=，………………2分令1x y ==-，()()121f f ∴=-，()10f ∴-=；………………4分（2）令1y =-，()10f -= ，()()f x f x ∴-=，即()f x 是偶函数，………………6分由()()()f xy f x f y =+，()()()122f x f f x ++>-，即()()212f x f x +>-⎡⎤⎣⎦，………………8分又()f x 是偶函数，所以上式可转化为()()222fx f x +>-，又()f x 在()0,+∞上单调递减，所以上式可转化为2221020x x x x ⎧+<-⎪+≠⎨⎪-≠⎩，………………10分故不等式的解集为{}401x x x -<<≠-且.………………12分22.解：（1）()g x 是奇函数，………………1分证明如下：()g x 的定义域为R ，()()()()()()()22220g x g x f x x f x x f x f x x ⎡⎤⎡⎤+-=-+---=+--=⎣⎦⎣⎦，()()g x g x ∴-=-，即()g x 是奇函数；………………2分（2）对任意的1x ，[)20,x ∈+∞，12x x ≠，()()()()221122121212f x x f x xg x g x x x x x ⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦=--()()()()221212121212120f x f x x x x x x x x x x x --=->+-+=--，即()g x 在[)0,+∞上单调递增，………………3分又()g x 是奇函数，故函数()g x 在R 上单调递增，又()()22532322160f mx f mx m x mx +--+-->，即()()()()22553232f mx mx f mx mx +-+>---，即()()532g mx g mx +>-对所有[]1,1m ∈-恒成立，………………4分而函数()g x 在R 上单调递增，有532mx mx +>-，………………5分即320mx +>，令()32m mx ϕ=+，即()0m ϕ>对所有[]1,1m ∈-恒成立，()()13201320x x ϕϕ-=-+>⎧⎪⎨=+>⎪⎩，故2233x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；………………7分（3）由已知函数()g x 的图象是经过()0,0和()1,1的一条直线，可得()g x x =，………………8分()h x m =-的定义域是[)1,-+∞，()h x 在[)1,-+∞上单调递减，由已知当()h x 的定义域为[],a b 时，()h x 的值域也为[],a b ，故()h a m b ==①，()h b m a ==②，………………9分()()11a b a b =-=+-+=⋅，1+=③，………………10分将③代入②，1m a =+，令0λ=≥，得221124m λλλ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，又a b <<，1=，所以10,2λ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，………………11分。

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上学期第三次月考数学检测试卷(含答案)

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上学期第三次月考数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．设向量，，若，则（）()1,,2a m =()2,1,0b =-a b ⊥m =A ．B ．C ．D ．2-1-122．已知直线倾斜角为，且过，则在轴上的截距为（）l 60︒l yA ．B ．C ．1D ．1-3．在正方体中，为的中点，则（）1111ABCD A B C D -P 1AA 1PC =A ．B ．112AA AB AD -++ 112AA AB AD ++C ．D ．112AA AB AD +-112AA AB AD --4．已知圆，圆，则圆的位置221:64120C x y x y +-++=222:142140C x y x y +--+=12,C C 关系为（）A ．内含B ．外切C ．内切D ．相交5．已知椭圆的焦距为2，则（）22:1(0)4x y C m m +=>m =A ．B ．3或5C ．或D ．56．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（）()5,12A ．11B ．12C ．13D ．147．若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的方程是()3y x =±（）．A ．B ．2219y x -=2219x y -=C ．D ．221273y x -=221273x y -=8．已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上且满足，则2214x y +=12,F F P 120PF PF = 12PF F ∆A ．B ．C ．D ．12二、多选题（本大题共3小题）9．已知空间中三点，则（）(0,1,1),(2,2,1),(2,1,0)A B CAB ．方向上的单位向量是CB 1(0,2C ．是平面的一个法向量()1,2,2n =-ABCD ．在上的投影向量的模为BC AC10．已知圆的半径为2，则下列命题是真命题的是（）()()22:14C x a y a-+-=A ．1a =B ．点在圆的外部()1,4C C ．若直线平分圆的周长，则20mx y +-=C 1m =-D ．圆与圆外切()()229564x y -++=C 11．已知抛物线的准线为，焦点为，过点的直线与抛物()2:20C y px p =>:1l x =-F F 线交于两点，于，则下列说法正确的是（）()()1122,,,P x y Q x y 1PPl ⊥1P A ．以为直径的圆与准线相切PQ l B ．若，则126x x +=7PQ =C ．设()0,1M D ．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条()0,1M C 三、填空题（本大题共3小题）12．已知，且，则.()()2,2,1,1,1,a b k ==--2a b ⊥ k =13．若抛物线上一点与焦点的距离等于2，则.()20y ax a =>(),1m a =14．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆π的左，右焦点分别是，，是上一点，，()2222:10x y C a b a b +=>>1F 2F P C 213PF PF =，的面积为，则的标准方程为 .12π3F PF ∠=C 12πC 四、解答题（本大题共5小题）15．已知，，，，．()1,0,1A ()2,2,1B -a AB = ()4,2,4b =- ()3,,c m n = (1)求；cos ,a b (2)若，求实数，的值．()2a b c - m n 16．在中，，边AC 上的高BE 所在的直线方程为，边AB 上ABC V (2,2)A 320x y +-=中线CM 所在的直线方程为．640x y ++=(1)求点C 坐标；(2)求直线BC 的方程．17．已知、，动点满足，设动点的轨迹为曲线.(1,2)A (3,6)B P 4PA PB ⋅=-P C （1）求曲线的标准方程；C （2）求过点且与曲线相切的直线的方程.(1,2)A C 18．如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点．1111ABCD A B C D -,E F 11,DD BB(1)求证：平面；CF //1A BE (2)求平面与平面成角的正弦值；1EA B 1A BA (3)求点到平面的距离．A 1A BE 19．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，222:1(20)4x y C b b +=>>22(0)y px p =>离心率为．12(1)求椭圆和抛物线的方程；C(2)过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，为弦的中点，求直4,03F ⎛⎫- ⎪⎝⎭32C P Q M PQ 线的斜率．OM答案1．【正确答案】D【详解】因为，可得，a b ⊥()()01,,22,1,0a m b =-⋅=⋅ 即，解之可得.121200m ⨯-⨯+⨯=2m =故选：D2．【正确答案】B【详解】直线的斜率为，当时，l tan 60︒=2)y x =-0x =y =所以在轴上的截距为l y 故选：B3．【正确答案】B【详解】.111111112PC PA A D D C AA AB AD=++=++故选：B4．【正确答案】C【详解】由圆得：，221:64120C x y x y +-++=()()22321x y -++=所以圆的圆心坐标为，半径，1C ()13,2C -11r =又由圆得：，222:142140C x y x y +--+=()()227136x y -+-=所以圆的圆心坐标为，半径，2C ()27,1C 26=r则圆心距，15C ==由于，所以，21615r r -=-=1221=C C r r -则圆的位置关系为内切.12,C C 故选：C.5．【正确答案】B【详解】当椭圆焦点在轴上时,此时，，已知焦距，则.x 2a m =24b =22c =1c =根据，可得，解得.222c a b =-14m =-5m =当椭圆焦点在轴上时,此时，，由，y 24a =2b m =1c =根据，可得，解得.222c a b =-14m =-3m =综上所得，的值为或，m 35故选：B.6．【正确答案】B【详解】设圆心为，，则，P ()5,12C 1PC =可知点的轨迹为以为圆心，半径的圆，P ()5,12C 1r =且，即点在圆外，13OC r=>O (0,0)所以圆心到原点的距离的最小值为.12OC r -=故选：B.7．【正确答案】A【详解】由题设，可设双曲线为且，又在双曲线上，229y x m -=0m ≠()所以，则双曲线的方程是.36319m =-=-2219y x -=故选：A8．【正确答案】C 【分析】根据题意，分析可得，由椭圆的标准方程和定义可得，122F PF π∠=12||||24PF PF a +==，将两式联立可得的值，由三角形面积公式计算可得22212||||(2)12PF PF c +==12||||PF PF 答案．【详解】解：根据题意，点在椭圆上，满足，，P 120PF PF = 122F PF π∠=又由椭圆的方程为，其中，2214x y +=2413=-=c 则有，，12||||24PF PF a +==22212||||(2)12PF PF c +==联立可得，12||||2PF PF = 则△的面积；12F PF 121||||12S PF PF =⨯= 故选：C ．本题考查椭圆的几何性质，涉及勾股定理与三角形的面积，关键是掌握椭圆的几何性质．9．【正确答案】ACD【详解】由题意：，，.()2,0,1AC =- ()0,1,1CB = ()0,1,1BC =--对A ：因为A 正确；AC == 对B ：因为，即方向上的单位向量是，故BCB CB ⎛==⎝CB ⎛ ⎝错误；对C ：因为，，()()1,2,22,0,1220n AC ⋅=-⋅-=-=()()1,2,20,1,1220n BC ⋅=-⋅--=-=所以成立，故是平面的一个法向量，故C 正确；,n AC n BC ⊥⊥n ABC 对D，故D 正确.故选：ACD10．【正确答案】ABD 【详解】圆的半径为2，所以，A 选项正确.()()22:14C x a y a-+-=44,1a a ==所以圆的方程为，圆心为，半径为，()()22114x y -+-=()1,12，所以点在圆的外部，B 选项正确.()()22114914-+->=()1,4C 直线平分圆的周长，则直线过圆心，20mx y +-=C ()1,1即，所以C 选项错误.1210,1m m m +-=-==圆的圆心为，半径为，()()229564x y -++=()9,5-8与的距离为，()1,1()9,5-1028==+所以圆与圆外切，D 选项正确.()()229564x y -++=C 故选：ABD11．【正确答案】ACD【详解】抛物线的准线为，即，抛物线C 的方程为，2:2C y px =:1l x =-2p =2:4C y x =焦点为，()1,0F 过作于，，Q 1QQ l ⊥1Q 11122PQ PF QF PP QQ x x =+=+=++以PQ 为直径的圆的半径，线段PQ 的中点坐标为，1212x x r +=+1212(,22x x y y++则线段PQ 的中点到准线的距离为，所以以PQ 为直径的圆与准线l 相切，1212x x r ++=A 正确；当时，，B 错误；126x x +=122628PQ x x =++=+=抛物线的焦点为，，2:4C y x =()1,0F 1PM PP PM PF MF +=+≥=当且仅当M ，P ，F 三点共线时取等号，所以C 正确；1PM PP +≥对于D ，当直线斜率不存在时，直线与抛物线只有一个公共点，0x =当直线斜率存在时，设直线方程为，由消去x 并整理得1y kx =+214y kx y x =+⎧⎨=⎩，2440ky y -+=当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个公共点，0k =1y =当时，则，解得，0k ≠16160k ∆=-=1k =所以过点与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线有3条，D 正确．()0,1M 故选ACD.【方法总结】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．12．【正确答案】4【详解】因为，且，()22,2,2b k =-- 2a b ⊥ 所以，解得，()24420a b k ⋅=--+=4k =故答案为.413．【正确答案】14【详解】由得，所以准线方程为，()20y ax a =>21x y a =14y a =-因为点与焦点的距离等于2，所以点与准线的距离等于2，(),1m (),1m 即，解得，1124a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭14a =故答案为.1414．【正确答案】221169x y +=【详解】由椭圆的定义可知，又，12||||2PF PF a +=12||3||PF PF =所以，，又，13||2PF a =21||2PF a=12π3F PF ∠=所以，所以，22212121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠22229134444c a a a =+-所以，，a b==又椭圆的面积为，所以，解得，，，12ππ=12π27c =216a =29b=所以椭圆的标准方程为．C 221169x y +=故221169x y +=15．【正确答案】(1)4cos ,9a b =-(2)912m n =-⎧⎨=⎩【详解】（1），()1,2,2a =-()()1,2,24,2,44488a b ⋅=-⋅-=--=-，3=6b == ；84cos ,369a b a b a b ⋅-===-⨯⋅ （2）()()()221,2,24,2,42,6,8a b -=---=--因为，所以设，()2a b c-∥2a b c λ-=即，故，解得.()()2,6,83,,m n λ--=3268m n λλλ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩912m n =-⎧⎨=⎩16．【正确答案】(1)；()0,4-(2).3280x y ++=【详解】（1）由直线：的斜率为，得直线的斜率，BE 320x y +-=13-AC 3AC k =直线的方程为，即，由，解得，AC ()232y x -=-34y x =-34640y x x y =-⎧⎨++=⎩04x y =⎧⎨=-⎩所以点C 的坐标为.()0,4-（2）依题意，设，则边的中点在直线上，()23,B b b -AB 432(,)22b b M -+CM 于是，解得：，即点，43264022b b -+⨯++=2b =()4,2B -所以直线BC 的方程为，即.244(0)40y x ++=---3280x y ++=17．【正确答案】（1）()()22241x y -+-=（2）或.1x =3450x y -+=【详解】（1）设，则，，P (x,y )(1,2)PA x y =-- (3,6)PB x y =-- 由，得，()()()()13264PA PB x x y y ⋅=--+--=- ()()22241x y -+-=所以曲线的标准方程为.C ()()22241x y -+-=（2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，C ()2,4过点的直线若斜率不存在，直线方程这，满足与圆相切；(1,2)A 1x =C 过点的切线若斜率存在，设切线方程为，即，(1,2)A ()21y k x -=-20kx y k -+-=有圆心到直线距离，解得，1d 34k =则方程为.3450x y -+=过点且与曲线相切的直线的方程为或.(1,2)A C 1x =3450x y -+=18．【正确答案】(1)证明见解析(3)43【详解】（1）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则,()()()()()12,2,0,2,0,1,0,0,2,2,0,0,0,2,1C F A B E 则,()()()10,2,1,2,0,2,2,2,1CF A B BE =-=-=- 设平面的法向量为，1A BE (),,m x y z = 则，取，则，1220220m A B x z m BE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ 2x =()2,1,2m = 由于，故，()0220m CF ⋅=+-+= m CF ⊥ 又平面，故平面CF ⊄1A BE CF //1A BE （2）由（1）知平面的法向量，平面的一个法向量，1A BE ()2,1,2m = 1A BA ()0,1,0n = 设平面与平面所成角为，则，1A BE 1A BA θ1cos cos ,3m n m n m n θ⋅===由于，故π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin θ==（3）由于，平面的法向量，()10,0,2AA = 1A BE ()2,1,2m = 点到平面的距离.A 1A BE 143AA m d m ⋅==19．【正确答案】(1)椭圆的方程为；抛物线的方程为C 22143x y +=24y x =(2)12-【详解】（1）由椭圆方程可知：，2a =因为，解得，122c c e a ===1c =又因为，所以椭圆的方程为；2223b a c =-=C 22143x y +=可知椭圆的焦点为，则抛物线的焦点为，()()1,0,1,0-22(0)y px p =>(1,0)可得，即12p =2p =所以抛物线的方程为.24y x =（2）显然点在椭圆内，可知直线与椭圆必相交，4,03F ⎛⎫- ⎪⎝⎭C PQ C 如图所示：设，中点为，()()1122,,,P x y Q x y PQ ()00,M x y 则，，，12012022x x x y y y +=⎧⎨+=⎩121232PQ y y k x x -==-012012OM y y y k x x x +==+因为两点在椭圆上，,P Q 22143x y +=可得，两式相减可得，22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22221212043x x y y --+=整理可得，221212221212211234y y x y y y y x x x x x -+=-+-⋅=--即，可得，3324OM k =-12OM k =-所以直线的斜率为.OM 12。

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第六中学校高一上学期阶段性检测数学试题(解析版)

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第六中学校高一上学期阶段性检测数学试题一、单选题1．已知集合{22}A xx =-≤≤∣，{}2560B x x x =--≤，则()R A B =（） A ．{|2x x <-或2}x > B ．{26}xx <≤∣ C ．{2xx <-∣或}1xD ．{23}xx ≤≤∣ 【答案】C【分析】解不等式确定集合B ，然后由集合的运算的定义计算．【详解】{}2560{|16}B x x x x x =--≤=-≤≤，R{|2A x x =<-或2}x >，∴()R {|2A B x x =<-或}1x ，故选：C ．2．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c<a<bD ．b<c<a【答案】B【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．3．下列函数是奇函数，且在(0,)+∞上为增函数的是（） A ．1y x x=-B ．||2x y -=C ．||1y x =+D ．2y x【答案】A【分析】利用奇函数的判定以及增函数的判定即可求解. 【详解】对于A ，因为11()()f x x x f x x x-=--=-+=--，所以()f x 为奇函数，又1y x=-与y x =在()0,∞+上均为增函数，根据“增+增=增”性质，得()f x 在()0+∞，上单调递增，所以A 正确；对于B ，因为()22()x xf x f x ----===，所以为偶函数，故B 错；对于C ，D 同样可以判断均为偶函数，不符合题意. 故选：A4．已知22log log 0a b +=（0a >且1a ≠，0b >且1b ≠），则函数1()xf x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()log b g x x =的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】先由22log log 0a b +=求得1b a=，再将()log b g x x =转化为1()log a g x x =，再利用反函数的性质即可得到正确选项B【详解】由22log log 0a b +=（0a >且1a ≠，0b >且1b ≠），可得()2log 0ab =，则1ab =，则1b a= 则1()log log b ag x x x==，又1()xf x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()g x 与()f x 互为反函数，则()g x 与()f x 单调性一致，且两图像关于直线y x =轴对称故选：B5．函数()2()ln 2f x x x =-+的单调递增区间是（）A ．(,1)-∞B ．（1，2）C ．（0，1）D ．(1,)+∞【答案】C【分析】令22x x μ=-+，则ln y μ=，求出函数的定义域，分别求出两个函数的单调区间，根据复合函数的单调性符合“同增异减”的原则，即可得出答案. 【详解】解：令22x x μ=-+，则ln y μ=，220x x -+>，则02x <<，所以函数()f x 的定义域为()0,2，而()22211x x x -+=--+，以1x =为对称轴，所以函数μ在()0,1单调递增，在()1,2单调递减，而函数ln y μ=为增函数，根据复合函数的单调性可知，函数()2()ln 2f x x x =-+的单调递增区间是()0,1，故选：C.6．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当[0,)x ∈+∞时，()33x f x =-，则不等式(1)0f x ->的解集为（） A ．()0,2 B ．(,0)(1,2)-∞C ．(2,)+∞D ．(,0)(2,)-∞+∞【答案】D【分析】先判断当[0,)x ∈+∞时，()33x f x =-的单调性，然后计算出()10f =，再利用函数奇偶性和单调性求解即可.【详解】显然，当[0,)x ∈+∞时，()33x f x =-单调递增，且()10f = 因为(1)0f x ->，则有()(1)1f x f -> 又因为()f x 是定义在R 上的偶函数则11x ->，解得2x >或0x <. 故选：D7．已知函数()()4211x a x x f x a x ⎧-≤=⎨>⎩，，是R 上的单调函数，那么实数a 的取值范围为（）A ．()01，B ．()13，C ．423⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D ．312⎛⎤⎥⎝⎦，【答案】C【分析】根据()f x 的单调性列不等式组，由此求得a 的取值范围.【详解】函数()()4211x a x x f x a x ⎧-≤=⎨>⎩，，，若()f x 在R 上为单调递增函数，则()14201421a a a a ⎧->⎪>⎨⎪-⨯≤⎩，解得423a ≤<；若()f x 在R 上为单调递减函数，则()142001421a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪-⨯≥⎩，无解．综上所述，实数a 的取值范围为423⎡⎫⎪⎢⎣⎭，．故选：C8．已知关于x 的不等式240ax bx ++>的解集为()4,,m m ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，其中0m <，则4b a b +的最小值为（） A ．－4 B ．4 C ．5 D ．8【答案】C【分析】根据不等式240ax bx ++>的解集求出a 的值和b 的取值范围，在代入4ba b +中利用对勾函数的单调性求出它的最小值.【详解】由240ax bx ++>的解集为()4,,m m ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，则0a >，且m ，4m是方程240ax bx ++=的两根，由根与系数的关系知444b m m am m a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得1a =，()44b m m ⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2m =-时等号成立，故44b b a b b+=+，设4f b bb，4b函数f b 在4,b 上单调递增，所以min44454f bf所以4ba b +的最小值为5.故选：C二、多选题9．下列叙述中正确的是（） A ．若x A B ∈，则x A B ∈ B ．若21log 2x =，则x C ．已知a ，b ∈R ，则“b aa b<”是“0a b <<”的必要不充分条件 D ．命题“x Z ∀∈，20x >”的否定是x Z ∀∈，20x ≤ 【答案】ABC【分析】A 项，若A B ⊆，则x A x B ∈⇒∈ B 项，根据指对数转化即log M a N M a N =⇒= C 项，当0a >并且0b >，化简b aa b<是否能推出0a b <<，判断充分性, 0a b <<时判断b aa b-与零的大小关系，判断必要性.D 项，全称量词命题的否定是存在量词命题【详解】对于A 项，()()A B A B ⊆∴x A B ∈则x A B ∈，所以A 正确对于B 项，由指对数转化得，21log 2x =，所以122x =即 x B 正确. 对于C 项，当0a >并且0b >时，又因为b aa b<，两边同乘ab ，得22b a <，所以0a b >>推不出0a b <<，所以充分性不成立，当0a b <<时()()220b a b a b a b a a b ab ab+---==<，即b a a b <所以必要性成立，所以C 正确.对于D 项，命题“x Z ∀∈，20x >”的否定为“0x Z ∃∈，200x ≤”，所以D 项错误.故选：ABC10．下列结论正确的是（） A ．若a b >，c d >，则一定有ac bd > B ．若(21)log (2)x x --有意义，则1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．若15a ≤≤，12b -≤≤，则16a b -≤-≤D ．若1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a b <【答案】CD【分析】根据不等式的性质判断AC ，由对数函数的定义求函数定义域判断B ，由指数函数单调性判断D ．【详解】选项A ，例如1,2,2,3a b c d ==-==-，则ac bd <，A 错；选项B ，由20210211x x x ->⎧⎪->⎨⎪-≠⎩得122x <<且1x ≠，B 错；选项C ，12b -≤≤21b ⇒-≤-≤，又15a ≤≤，∴16a b -≤-≤，C 正确；选项D ，由于1()2x y =在R 上是减函数，因此由1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得a b <，D 正确．故选：CD ．11．下列命题正确的是（）A．函数y [3,)+∞ B ．函数421x x y =++的值域为(1,)+∞C ．已知23a b k ==（1k ≠），且121a b+=，则实数8kD ．2x y =与2log y x =互为反函数，其图像关于y x =对称【答案】ABD【分析】对于A ，直接根据表达式求定义域即可；对于B ，利用换元法，结合范围即可求得值域；对于C ，首先利用指对互换公式变形，再根据对数计算公式即可求解；对于D ，根据反函数定义以及性质即可求解.【详解】对于A ，因为3270x -≥，即333x ≥，解得3x ≥，即定义域为[)3,∞+，正确；对于B ，令2xt =，()0,t ∞∈+，则原式可变为2213()124f t t t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，()0,t ∞∈+，则1122t +>，2131312444t ⎛⎫++>+= ⎪⎝⎭，即()1f t >，即421x xy =++的值域为(1,)+∞，B 正确；对于C ，由23a b k ==，根据指对互换法则，得2log k a =，3log k b =，则由121a b+=可得2312log 22log 3log 2log 9log 181log log k k k k k k k+=+=+==，解得18k =，则C 错误；对于D ，根据反函数定义可知，2x y =与2log y x =互为反函数，由反函数性质可得，互为反函数的图像关于直线y x =对称，正确. 故选：ABD12．已知函数()32||f x x =-，2()g x x =，构造函数(),()()()(),()()g x f x g x F x f x f x g x ≥⎧=⎨<⎩，那么关于函数()y F x =的说法正确的是（）A ．()y F x =的图象与x 轴有3个交点B ．在(1,)+∞上单调递增C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值3，最小值1【答案】AC【分析】根据给定条件，作出函数()y F x =的图象，借助图象逐项判断作答.【详解】依题意，由2()()2||30g x f x x x +--=>解得||1x >，则2,1()32,1x x F x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，作出函数()y F x =的图象，如图：观察图象知，函数()y F x =的图象与x 轴有三个交点，在(1,)+∞上单调递减，有最大值1，无最小值，即选项A ，C 正确；选项B ，D 不正确. 故选：AC三、填空题13．如果幂函数()f x 的图象过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，那么()9f =______．【答案】13【分析】设出幂函数解析式，由已知点坐标求得幂函数解析式，然后求函数值．【详解】设()a f x x ，由已知142a =，则12a =-，∴12()f x x -=，121(9)93f -==．故答案为：13．14．函数()1log (1)(0a f x x a =+->且1)a ≠经过定点A ，点A 在直线()10,0mx ny m n +=>>上，则12m n+的最小值为__________. 【答案】8【分析】先利用log 10a =求定点A ，代入直线方程得21m n +=，再将()12122m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开，利用基本不等式求最小值即可.【详解】令11x -=时，即2x =时，(2)1log 11a f =+=，即定点()2,1A ，而A 在直线()10,0mx ny m n +=>>上，故()210,0m n m n +=>>.所以()412122448m n m n m n m n n m ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4m n n m =时，即11,42m n ==时等号成立，即12m n+的最小值为8. 故答案为：8.【点睛】思路点睛：利用基本不等式求最值时，通常有以下思路，需注意取等号条件是否成立. （1）积定，利用x y +≥（2）和定，利用()24x y xy +≤，求积的最大值；（3）妙用“1”拼凑基本不等式求最值.15．若函数()()22log 3f x x ax a =-+在区间[)2,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______．【答案】(]4,4-【分析】令23t x ax a =-+，由题设易知t 在[)2,+∞上为增函数，根据二次函数的性质列不等式组求a 的取值范围.【详解】由题设，令23t x ax a =-+，而2log y t =为增函数， ∴要使()f x 在[)2,+∞上是增函数，即t 在[)2,+∞上为增函数， ∴222120a a a ⎧≤⎪⎨⎪∆=-<⎩或22212040a a a a ⎧≤⎪⎪⎪∆=-≥⎨⎪+>⎪⎪⎩，可得04a <≤或40a ，∴a 的取值范围是(]4,4-. 故答案为：(]4,4-16．若函数1()1x f x a -=-（0a >，且1a ≠）在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是______．【答案】35,46⎛⎤⎥⎝⎦【分析】利用指数函数的图象变换，分类讨论，根据单调性建立不等式求解即可.【详解】函数11x y a -=-（0a >，且1a ≠）的图象是将函数x y a =（0a >，且1a ≠）的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到的，故函数1()1x f x a -=-（0a >，且1a ≠）的图象恒过点()1,0．当01a <<时，结合函数()f x 的图象：若函数()f x 在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()()01321232112a a a a ⎧⎪<<⎪-⎪<⎨⎪⎪-≤⎪⎩，解得3546a <≤．当1a >时，结合函数()f x 的图象：若()f x 在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()()1321232112a a a a ⎧⎪>⎪-⎪<⎨⎪⎪-≤⎪⎩，无实数解．综上，实数a 的取值范围为35,46⎛⎤⎥⎝⎦．解法二：若()32112a a x -<<<，则110x a -->，所以()11x f x a -=-在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，不符合题意；当01a <<时，函数1x y a -=在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，要使函数1()1x f x a -=-在区间()321,2a a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则110x a -->在区间()321,2a a -⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以()()01321232112a a a a ⎧⎪<<⎪-⎪<⎨⎪⎪-≤⎪⎩，解得3546a <≤．故实数a 的取值范围是35,46⎛⎤⎥⎝⎦．故答案为：35,46⎛⎤⎥⎝⎦.四、解答题 17．计算：(1)2103218(2)4π--+(2)()2ln186612log 2log e lg 2lg 2lg5lg59-+++⋅+．【答案】(1)5 (2)21【分析】由nm a =a ，log na ab n b =log ，log a N a N =，()log log log a a a M N MN +=等计算法则可得答案.【详解】（1）原式1213-=++-=2241533-++= （2）原式()1661log 4log 18lg 2lg 2lg5lg59-⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭66log 4log 918lg 2lg 5=++++6log 36181=++=2118．已知()f x 是定义在[-4，4]上的奇函数，当[0,4]x ∈时，()24x x f x =-． (1)求()f x 在[4-，0）上的解析式； (2)若存在[2,1]x ∈--，使得不等式()2xmf x ≤成立，求m 的取值范围．【答案】(1)()f x 在[4-，0）上的解析式为42xx f x(2)[1,)+∞【分析】（1）根据奇函数的定义求解析式；（2）不等式用分离参数法变形，转化为求函数的最值，然后得参数范围．【详解】（1）当[4,0)x ∈-时，(0,4]x -∈，所以()24x x f x ---=-，又()()f x f x -=-，所以()42x x f x --=-，所以()f x 在[4-，0）上的解析式为()42x xf x --=-；（2）由（1）知，[2,1]x ∈--时，()42x x f x --=-，所以()422xxx m f x --=-≤可整理得112xm ⎛⎫≥⎪⎝⎭- ，令1()12xg x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据指数函数单调性可得，1()12xg x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为减函数，因为存在[2,1]x ∈--，使得不等式()2xmf x ≤成立，等价于()≥mg x 在[2,1]x ∈--上有解，所以，只需min ()(1)1m g x g ≥=-=，所以实数m 的取值范围是[1,)+∞．19．已知函数()x f x a b =+（0a >，1a ≠）在[1,2]x ∈上的值域为[2，4]． (1)求a ，b 的值；(2)判断并证明函数22()ax g x x b+=+，(1,2)x ∈的单调性．【答案】(1)2a =，0b =(2)()y g x =在()12，上单调递增；证明见解析【分析】（1）首先分类讨论确定函数单调性，然后列出关于a 、b 的方程即可求解. （2）利用定义法证明单调性，首先在定义域内取值，然后作差，变形即可判断.【详解】（1）①当1a >时，()x f x a b =+在[1，2]上单调递增，则有224a b a b +=⎧⎨+=⎩，得220a a --=，得2a =，0b =；②当01a <<时，()xf x a b =+在[1，2]上单调递减，则242a b a b +=⎧⎨+=⎩，得220a a -+=，无解，所以2a =，0b =；（2）由（1）知2221()2x g x x x x +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，函数在()12，上单调递增. 证明如下：对于任意的1212x x <<<，()()()()121212121212211122x x x x g x g x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵1212x x <<<∴120x x -<，∴()()120g x g x -<∴()()12g x g x <∴()y g x =在()12，上单调递增 20．已知某船舶每小时航行所需费用u （单位：元）与航行速度v （单位：千米/时）的函数关系为()2,010,450,10kv b v u v av v +<<⎧=⎨+≥⎩（其中a ，b ，k 为常数），函数()u v 的部分图象如图所示．(1)求()u v 的解析式；(2)若该船舶需匀速航行20千米，问船舶的航行速度v 为多少时，航行所需费用最少.最少的费用为多少？【答案】(1)()233320,010,4502,10.v v u v v v +<<⎧=⎨+≥⎩(2)当航行速度为15千米/时时，航行所需费用最少，最少的费用为1200元．【详解】（1）将()0,320，()10,650分别代入u kv b =+得320,65010,b k b =⎧⎨=⋅+⎩解得33,320.k b =⎧⎨=⎩把()10,650代入2450u av =+，得265045010a =+⋅，解得2a =．所以()233320,010,4502,10.v v u v v v +<<⎧=⎨+≥⎩（2）航行时间20t v=小时，所需费用设为z 元，则()6400660,010,900040,10.v vz u v t v v v ⎧+<<⎪⎪=⋅=⎨⎪+≥⎪⎩①当010v <<时，函数单调递减，所以min 6606401300z >+=； ②当10v ≥时，1200z ≥==，当且仅当900040v v =，即15v =时，等号成立．由12001300<知，15v =时，航行所需费用最小.所以以当航行速度为15千米/时时，航行所需费用最少，最少的费用为1200元． 21．已知函数()log (2)log (2)a a f x x x =+--（0a >且1a ≠）． (1)求函数()f x 的定义域，并判断()f x 的奇偶性和单调性（不用证明）；(2)是否存在实数m ，使得不等式()()24log log (2)f m f m <+成立？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析【分析】（1）根据对数函数的性质求定义域，由奇偶性定义判断奇偶性，由复合函数的单调性得单调性结论（可用定义证明）；（2）假设存在，分类讨论，由单调性及定义域得出不等式组，解得m 的范围即可．【详解】（1）解：由20,20,x x +>⎧⎨->⎩得22x -<<．所以()f x 的定义域为{22}xx -<<∣，因为函数的定义域关于原点对称，且()log (2)log (2)()a a f x x x f x -=--+=-，所以()f x 为奇函数．又4()log 12a f x x ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭，内层函数412u x =---为(2,2)-上的增函数， ∴1a >时log a y u =是增函数，则()y f x =为(2,2)-的增函数，当01a <<时log a y u =是减函数，()y f x =为(2,2)-上的减函数．证明如下：设1222x x -<<<，124220x x -<-<-<，1244122x x ->>--， 124401122x x <--<----，1a >时，1244log (1)log (1)22a a x x --<----，即12()()f x f x <，∴1a >时，()y f x =为(2,2)-的增函数，同理01a <<时，()y f x =为(2,2)-上的减函数；（2）①当1a >时，()f x 在(2,2)-上为增函数，假设存在实数m ，使得不等式()()24log log (2)f m f m <+成立，则()()2424log log 22log 22log 22m m m m ⎧<+⎪-<<⎨⎪-<+<⎩，解得124m <<．②当01a <<时，()f x 在(2,2)-上为减函数，假设存在实数m ，使得不等式()()24log log (2)f m f m <+成立，则()()2424log log 22log 22log 22m m m m ⎧>+⎪-<<⎨⎪-<+<⎩，解得24m <<．综上，①当1a >时，存在124m <<，使得不等式()()24log log (2)f m f m <+成立；②当01a <<时，存在24m <<，使得不等式()()24log log (2)f m f m <+成立．22．设函数()()()10,1x xf x a k a a a -=-->≠是定义域R 的奇函数．(1)求k 值；(2)若()10f >，试判断函数单调性并求使不等式()()2210f x tx f x +++>在定义域上恒成立的t 的取值范围；(3)若()813f =，且()()222x xg x a a mf x -=+-在[)1,+∞上最小值为2-，求m 的值．【答案】(1)2k =(2)()f x 在R 上单调递增；40t -<< (3)2512m =【分析】（1）由函数为奇函数得()00f =，解方程即可；（2）由()10f >确定a 的取值范围，进而判断函数单调性，根据单调性可得二次不等式恒成立，求得参赛范围；（3）由()813f =可得3a =，进而可得函数()g x ，再利用换元法将函数转化为二次函数，分情况讨论二次函数最值即可. 【详解】（1）()f x 是定义域为R 的奇函数，()00f ∴=，即()110k --=，解得2k =；经检验成立（2）因为函数()x xf x a a -=-（0a >且1a ≠），又()10f >，10a a∴->，又0a >， 1a ∴>，由于x y a =单调递增，x y a -=单调递减，故()f x 在R 上单调递增，不等式化为()()221f x tx f x +>--．221x tx x ∴+>--，即()2210x t x +++>恒成立，()2240t ∴∆=+-<，解得40t -<<；（3）由已知()813f =，得183a a -=，即23830a a --=，解得3a =，或13a =-（舍去），()()()()22233333333222x x x x x x x x g x m m ----∴=+----=+-，令()33x xt f x -==-，是增函数，1x ≥，()813t f ∴≥=，则()22282223y t mt t m m t ⎛⎫=-+=-+-≥ ⎪⎝⎭，若83m ≥，当t m =时，2min 22y m =-=-，解得823m =<,不成立；若83m <，当83t =时，min 64162293y m =-+=-，解得258123m =<，成立；所以2512m =．。

黑龙江省哈尔滨市第十三中学高一数学文月考试卷含解析

黑龙江省哈尔滨市第十三中学高一数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，在△ABC中，，若，则=（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；平面向量及应用．【分析】用表示出，则=．【解答】解：∵，∴ ==（）=﹣，∴==+﹣=+．故选D．【点评】本题考查了平面向量线性运算的三角形法则，属于基础题．2. 下列命题是真命题的是()梯形一定是平面图形空间中两两相交的三条直线确定一个平面一条直线和一个点能确定一个平面空间中不同三点确定一个平面参考答案：3. （3分）已知角α的终边与单位圆的交点为（，），则sinα=（）A．B．C．D．参考答案：B考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：根据任意角的三角函数的定义求得sinα的值．解答：解：若角α的终边与单位圆的交点坐标为（，），则r=1，∴sinα=，故选：B．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4. 设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝()A．(7,3)B．(7,7)C．(1,7) D．(1,3)参考答案：A略5. 下列四个值中，与的值最接近的是A． B． C．D．参考答案：A6. 函数f（x）=﹣tan（﹣2x）的单调递增区间是（）A．[﹣， +]（k∈Z）B．（﹣， +）（k∈Z）C．（kπ+，kπ+）（k∈Z） D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）参考答案：B【考点】正切函数的图象．【分析】根据正切函数的单调性进行求解．【解答】解：函数f（x）=﹣tan（﹣2x）=tan（2x﹣），由kπ﹣＜2x﹣＜kπ+，k∈Z，解得﹣＜x＜+，故函数f（x）的递增区间为（﹣， +），k∈Z．故选：B．【点评】本题主要考查了正切函数的单调性应用问题，是基础题目．7. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面水平放置时，液面恰好过的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为（）A．7 B．6 C.4 D．2参考答案：B底面ABC的面积设为S，则侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，水的体积为：，当底面ABC水平放置时，液面高为h，水的体积为：Sh=，可得h=6．故答案选：B．8. 等差数列,的前项和分别为,,若,则使为整数的正整数n的取值个数是（）A 3B 4C 5D 6参考答案：C略9. 已知，，，则a，b，c大小关系正确的是(A)(B)(C)(D)参考答案：B10. 设f , g 都是由A到A的映射（其中),其对应法则如右表,则等于（）A 1B 2C 3D 不存在参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围为参考答案：略12. 已知锐角θ满足sin（+）=，则cos（θ+）的值为．参考答案：【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数关系和诱导公式进行化简求值．【解答】解：∵sin（+）=，∴sin2（+）= =，则cos（θ+）=﹣，∵0＜θ＜，∴＜θ+＜，∴sin（θ+）＞0，∴sin（θ+）==∴cos（θ+）=cos（+θ+）=﹣sin（θ+）=﹣，故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的化简求值，熟记公式即可解答，属于基础题，考查学生的计算能力．13. 函数f(x)＝a x＋log a(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为．参考答案：略14. 已知一个球的表面积为，则这个球的体积为。

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黑龙江省哈尔滨市高一上学期数学第三次月考试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2016高一上·成都期中) 设集合U={x∈N|0＜x≤8}，S={1，2，4，5}，T={3，5，7}，则S∩（∁UT）=（）
A . {1，2，4}
B . {1，2，3，4，5，7}
C . {1，2}
D . {1，2，4，5，6，8}
2. （2分） (2018高一上·衢州期中) 下列函数中，与函数相同的函数是（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）函数y=f（x）定义在区间[0，2]上且单调递减，则使得f（1﹣m）＜f（m）成立的实数m的取值范围为（）
A .
B .
C .
D . ﹣1≤m≤1
4. （2分）下列函数中，在其定义域内既是减函数又是奇函数为（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分） (2017高一上·钦州港月考) 若集合 , 集合 , 则从能建立多少个映射（）
A . 2
B . 4
C . 6
D . 8
6. （2分）若M=x2+y2+1，N=2(x+y-1)，则M与N的大小关系为（）。

A . M=N
B . M<N
C .
D . 不能确定
7. （2分）棱长为a的正方体可任意摆放，则其在水平平面上投影面积的最大值为（）
A . a2
B . a2
C . a2
D . 2a2
8. （2分）已知函数是R上的偶函数，且在上是减函数，若，则a 的取值范围是（）
A .
B .
C . 或
D .
9. （2分） (2017高一上·孝感期中) 已知函数若函数g（x）=f（x）﹣k有3个零点，则实数k的取值范围为（）
A . （0，+∞）
B . （0，1）
C . [1，+∞）
D . [1，2）
10. （2分） (2017高一下·桃江期末) 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2 ，ai∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1 ，其中h0=a0⊕a1 ，h1=h0⊕a2 ，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）
A . 11010
B . 01100
C . 10111
D . 00011
11. （2分）若函数，则（）
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
12. （2分） (2019高一上·宜昌期中) 函数的图象的大致形状是（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）已知函数f（x）= ， g（x）=asin（x+π）﹣2a+2（a＞0），给出下列结论：
①函数f（x）的值域为[0，]；
②函数g（x）在[0，1]上是增函数；
③对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在区间[0，1]内恒有解；
④若存在x1 ，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是≤a≤，
其中所有正确结论的序号为________ ．
14. （1分）如图为△ABO水平放置的直观图△A′B′O′，由图判断△ABO中，AB，BO，BD，OD由小到大的顺序是________．
15. （1分）函数f（x）=（）|x﹣1|的单调减区间是________．
16. （1分） (2018高二上·莆田月考) 在等差数列中，Sn是它的前n项和， ,则Sn最小时，n=________
三、解答题 (共6题；共60分)
17. （10分） (2018高一上·烟台期中) 计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
18. （10分） (2016高二上·上杭期中) 设f（x）=ax2﹣（a+1）x+1
（1）解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）若对任意的a∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，求x的取值范围．
19. （5分） (2019高一上·兴义期中) 已知，， .
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
20. （10分） (2019高一上·宾县月考) 函数是定义在上的偶函数，，当时，
.
（1）求函数的解析式；
（2）解不等式；
21. （10分） (2019高一上·兰州期中) 已知函数．
（1）当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；
（2）是否存在这样的实数，使得函数f（x）在区间上为减函数，并且最大值为？如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由．
22. （15分） (2019高一上·安庆月考) f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x>0，y>0都有f ＝f(x)－f(y)，当x>1时，有f(x)>0。

（1）求f(1)的值；
（2）判断f(x)的单调性并证明；
（3）若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f <2；
（4）若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域。

参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、19-1、19-2、
20-1、
20-2、21-1、
21-2、22-1、
22-2、
22-3、
22-4、
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