2017-2018学年湖北省襄阳市高一(下)期末数学试卷-(精品解析)

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2017-2018学年湖北省襄阳市高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年湖北省襄阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.函数f（x）=的定义域为（）A. B.C. D.2.已知=（3，m），=（1，2），若 ∥，则m=（）A. B. C. 6 D.3.设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=log|x+1|，则f（3）=（）A. B. 1 C. D. 24.下列四个命题中正确的命题是（）A. 若，则B. 若，则．C. 若，，则D. 若，是单位向量，则5.已知全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x＞1}，则图中阴影部分表示的集合是（）A.B.C.D.6.已知，则=（）A. B. C. D.7.已知=，则=（）A. B. C. D.8.要得到的图象，只需将函数y=cos2x的图象（）A. 向左平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位9.已知a=（），b=（），c=log，则（）A. B. C. D.10.若函数f（x）=ax2+bx+1（a≠0）的最小值为f（-1）=0，当x∈[-1，2]时，g（x）=f（x）-2mx是单调函数，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.11.偶函数f（x）的定义域为R，当x＞0时，f（x）=x2+2x-3，则不等式xf（x）≤0的解集是（）A. B.C. D.12.已知当x=1时，函数f（x）=2sin（ωx+）（0＜ω＜π）有最大值，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2018）的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f（x）=a2x-1+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，则P点的坐标是______．14.已知向量=（-，1），=（0，-2），则向量与的夹角是______．15.已知O是△ABC内部一点，若=2，则△=______△16.设f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈R，f（1+x）=f（1-x）恒成立，当x∈[-1，1]时，f（x）=．若关于x的方程f（x）=ax恰有4个不同的解，则实数a取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合A={x|x2-9x+18＜0}，B={x|log（x-2）＞-1}（Ⅰ）求A∩B，A（∁R B）；（Ⅱ）已知非空集合C={x|a＜x＜2a-1}，若C⊆A∩B，求实数a的取值范围．18.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-＜φ＜）在区间[0，2π]内的一段图象如图所示（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）单调区间；（Ⅲ）当x∈[0，π]时，方程f（x）=m恰有两个不同的根，求实数m的取值范围．19.已知f（x）=（a＞0，a≠1）是定义域为R的奇函数，且f（1）＞0．（Ⅰ）求实数m、n的值；（Ⅱ）判断函数y=f（x）的单调性并证明；（Ⅲ）求不等式f（x2+x）+f（2x-4）＞0的解集．20.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可清除蔬菜上残留农药量的，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f（x）（1）试规定f（0）的值，并解释其实际意义；（2）设现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由．21.若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f（x0+a）=f（x0）+f（a），则称函数f（x）“关于a类线性”．（Ⅰ）证明：函数f（x）=lg x“关于2类线性”（Ⅱ）判断函数y=a x（a＞0，a≠1）是不是“关于2类线性”，并加以证明；（Ⅲ）已知函数f（x）=lg“关于2类线性，求a的取值范围．22.已知向量=（，），=（cosα，sinα），且+3与-2垂直．（Ⅰ）求||的值；（Ⅱ）求的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：要使原函数有意义，则lg（x+2）＞0，即x+2＞1，得x＞-1．∴函数f（x）=的定义域为（-1，+∞）．故选：B．由分母中根式内部的代数式大于0求解对数不等式得答案．本题考查函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵∥，∴m-3×2=0，则m=6．故选：C．利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（3）=-f（-3），又由当x＜0时，f（x）=log|x+1|，则f（-3）=log|（-3）+1|=-1，则f（3）=-f（-3）=1；故选：B．根据题意，由函数奇偶性的性质可得f（3）=-f（-3），结合函数的解析式计算可得f（-3）的值，分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意函数解析式中自变量的取值范围，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：对于A，若||=||，则=，不正确，比如=（1，2），=（2，1），它们不相等，也不是相反向量；对于B，若=，则=，不正确，由向量数量积的性质可得（-）•=0，，可以不相等；对于C，若=，=，则=，由传递性可得正确；对于D，若，是单位向量，则•=1•1•cos＜，＞=cos＜，＞，不一定为1，故不正确．故选：C．举反例比如=（1，2），=（2，1），可判断A；由向量数量积的性质，可判断B；由向量相等的传递性，可判断C；运用向量数量积的定义，即可判断D．本题考查向量的数量积和性质，以及向量相等的传递性，考查判断能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于A当不属于B的元素构成，所以用集合表示为A∩（∁U B）．A={x|0＜x＜2}，B={x|x＞1}，∴A∩（∁U B）={x|0＜x≤1}．故选：C．由Venn图可知，阴影部分的元素为属于A当不属于B的元素构成，所以用集合表示为A∩（∁U B），进而得到答案．本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．6.【答案】B【解析】解：∵，∴=cos[-（）]=．故选：B．将所求利用诱导公式化简，结合已知即可求值得解．本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：由sin2α=1-cos2α=（1-cosα）（1+cosα），得，∵=，∴，则=．故选：A．由查同角三角函数基本关系式及已知可得，取倒数得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．8.【答案】C【解析】解：∵=cos2（x-），∴要得到的图象，只需将函数y=cos2x的图象向右平移个单位．故选：C．化为y=cos2（x-），再由函数的图象变换规律得答案．本题考查函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，关键是注意自变量x的变化，是基础题．9.【答案】A【解析】解：a=（），a6==．b=（），b6==＞a6，a，b＞0．∴1＞b＞a＞0．c=log=log 23＞1，则a＜b＜c．故选：A．a=（），b=（），比较b6与a6的大小关系，c=log=log 23＞1，进而得出大小关系．本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：∵f（x）=ax2+bx+1（a≠0）的最小值为f（-1）=0，∴∴a=1，b=2，f（x）=x2+2x+1，∵当x∈[-1，2]时，g（x）=x2+（2-2m）x+1是单调函数，∴m-1≥2或m-1≤-1∴m≥3或m≤0故选：D．由f（x）=ax2+bx+1（a≠0）的最小值为f（-1）=0，结合二次函数的性质可求a，b，代入g（x）中，结合已知及二次函数的单调性即可求解．本题综合考查了二次函数的性质的简单应用，解题的关键是对二次函数性质的应用．11.【答案】A【解析】解：根据题意，函数f（x）满足当x＞0时，f（x）=x2+2x-3，此时若f（x）≥0，即，解可得x≥1，即在[1，+∞）上，f（x）≥0，反之，在区间（0，1]，f（x）≤0，又由f（x）为偶函数，则在区间（-∞，1]上，f（x）≥0，在区间[-1，0）上，f（x）≤0，xf（x）≤0⇔或，分析可得：x≤-1或0≤x≤1，即不等式xf（x）≤0的解集为：（-∞，-1][0，1]故选：A．根据题意，由函数的解析式分析可得在区间[1，+∞）上，f（x）≥0，在区间（0，1]，f（x）≤0，又由f（x）为偶函数，分析可得在区间（-∞，1]上，f（x）≥0，在区间[-1，0）上，f（x）≤0，而xf（x）≤0⇔或，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性的应用，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：∵当x=1时，函数f（x）=2sin（ωx+）（0＜ω＜π）有最大值，∴2sin（ω+）=2，∴ω=，函数f（x）=2sin（x+）．f（x）的最小正周期为6，∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（5）=0，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2018）=336×[f（0）+f（1）+f（2）+…+f（5）]+f（0）+f（1）+f （2）=336×0+2sin+2sin+2sin=4，故选：D．先由条件求出f（x）的解析式，可得它的周期为6，利用三角函数的周期性求出所求式子的值．本题主要考查三角函数的周期性，利用三角函数的周期性求函数的值，属于基础题．13.【答案】（，2）【解析】解：由于函数y=a x经过定点（0，1），令2x-1=0，可得x=，求得f（）=2，故函数f（x）=a2x-1+1（a＞0，a≠1），则它的图象恒过定点的坐标为（，2），故答案为：（，2）．解析式中的指数2x-1=0，求出x的值，再代入解析式求出y的值，即得到定点的坐标．本题主要考查指数函数的图象过定点（0，1）的应用，即令解析式中的指数为0，求出对应的x和y的值，属于基础题．14.【答案】【解析】解：∵向量=（-，1），=（0，-2），∴向量=（-，-1），设向量与的夹角是θ，则θ∈[0，π]，cosθ===，∴θ=，故答案为：．利用两个向量的夹角公式，求出两个向量夹角的余弦值，可得两个向量夹角．本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量的数量积的定义，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：设AB的中点为D，∵=2，∴O为中线CD的中点，∴△AOC，△AOD，△BOD的面积相等，∴=2，故答案为：2．利用向量的运算法则：平行四边形法则得到O是AB边的中线的中点，得到三角形面积的关系．本题考查向量的运算法则：平行四边形法则及同底、同高的三角形面积相等，属于基础题．16.【答案】（，）（-，-）【解析】解：设f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈R，f（1+x）=f（1-x）恒成立，可得f（x+2）=f（-x）=f（x），即有f（x）的周期为2，当x∈[-1，1]时，f（x）=，作出f（x）在[-1，1]的图象，可得f（x）的图象，由题意可得关于x的方程f（x）=ax恰有4个不同的解即为y=f（x）的图象和直线y=ax有四个交点，经过A（5，2）时，即5a=2可得a=；经过B（3，2）时，即3a=2可得a=；经过C-3，2）时，即-3a=2可得a=-；经过D（-5，2）时，即-5a=2可得a=-；可得当＜a＜或-＜a＜-时，关于x的方程f（x）=ax恰有4个不同的解．故答案为：（，）（-，-）．由偶函数的定义和f（1+x）=f（1-x），可得f（x）的周期为2，作出f（x）的图象，由题意可得关于x的方程f（x）=ax恰有4个不同的解即为y=f（x）的图象和直线y=ax有四个交点，通过直线的旋转，即可得到所求范围．本题考查函数的奇偶性和周期性的判断和运用，考查函数方程的转化思想，以及数形结合思想方法，考查运算能力，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）A={x|3＜x＜6}，B={x|2＜x＜9}；∴A∩B={x|3＜x＜6}；∁R B={x|x≤2，或x≥9}；∴A（∁R B）={x|x≤2，或3＜x＜6，或x≥9}；（Ⅱ）∵C⊆A∩B；①若C=∅，则a≥2a-1；∴a≤1；②若C≠∅，则＜；∴；综上，实数a的取值范围为，或．【解析】（Ⅰ）容易求出A={x|3＜x＜6}，B={x|2＜x＜9}，然后进行交集、并集和补集的运算即可；（Ⅱ）通过上面求得A∩B={x|3＜x＜6}，根据C⊆A∩B可讨论C是否为空集：C为空集时，a≥2a-1，可解得a≤1；C不为空集时，，可解出该不等式组，从而便可得出实数a的取值范围．考查一元二次不等式的解法，对数函数的单调性，以及交集、并集和补集的运算，子集的概念．18.【答案】解：（Ⅰ）根据函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-＜φ＜）在区间[0，2π]内的一段图象，可得A=3，•=-，∴ω=1．再根据五点法作图可得1×+φ=，∴φ=-，∴f（x）=3sin（x-）．（Ⅱ）对于函数f（x）=3sin（x-），令2kπ-≤x-≤2kπ+，求得2kπ-≤x≤2kπ+，可得函数f（x）单调增区间为[2kπ-，2kπ+]，k∈Z．令2kπ+≤x-≤2kπ+，求得2kπ+≤x≤2kπ+，可得函数f（x）单调减区间为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．（Ⅲ）当x∈[0，π]时，x-∈[-，]，sin（x-）∈[-，1]．∵方程f（x）=m恰有两个不同的根，∴f（x）∈[，3），即m∈[，3）．【解析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的单调性求出函数f（x）单调区间．（Ⅲ）当x∈[0，π]时，结合正弦函数的图象的特征，结合方程f（x）=m恰有两个不同的根，求得m的范围．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；正弦函数的单调性，正弦函数的图象特征，属于中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，f（x）=（a＞0，a≠1）是定义域为R的奇函数，则f（-x）=-f（x），即=-恒成立，变形可得：=-，分析可得m=-1，n=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，f（x）=-，在R为增函数；证明：若f（1）＞0，即-＞0，解可得0＜a＜1；则f（x）=-=-1，设x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（-1）-（-1）=，又由0＜a＜1，且x1＜x2，则（+1）＞0，（+1）＞0，（-）＜0，则f（x1）-f（x2）＜0，则函数f（x）在R上为增函数，（Ⅲ）根据题意，f（x）为奇函数且在R上为增函数，则f（x2+x）+f（2x-4）＞0⇒f（x2+x）＞-f（2x-4）⇒f（x2+x）＞f（4-2x）⇒x2+x＞4-2x，即x2+3x-4＞0，解可得：x＞1或x＜-4；即不等式的解集为{x|x＞1或x＜-4}．【解析】（Ⅰ）根据题意，由奇函数的定义可得f（-x）=-f（x），即=-恒成立，变形分析可得答案；（Ⅱ）根据题意，分析可得若f（1）＞0，即-＞0，解可得0＜a＜1，将函数的解析式变形可得f（x）=-=-1，由作差法分析可得结论；（Ⅲ）根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得f（x2+x）+f（2x-4）＞0⇒f （x2+x）＞-f（2x-4）⇒f（x2+x）＞f（4-2x）⇒x2+x＞4-2x，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的单调性以及奇偶性的综合应用，关键是求出m、n的值，属于基础题．20.【答案】解：（1）f（0）=1表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化（2）设清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用a单位量的水清洗1次后，残留的农药量为又如果用单位量的水清洗1次，残留的农药量为此后再用单位量的水清洗1次后，残留的农药量为由于当＞时，W1＞W2此时，把a单位的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少当时，W1=W2此时，两种清洗方式效果相同当＜＜时，W1＜W2，此时，用a单位量的水一次清洗残留的农药量较少【解析】（1）f（0）表示没有用水清洗，蔬菜上的农药量并没有变化，不妨设f（0）=1；（2）设清洗前蔬菜上的农药量为1，用a单位量的水清洗1次后，残留的农药量为：①；用单位量的水清洗2次后，残留的农药量为：•②；作差①-②比较即可．本题考查了一个自定义函数模型的实际应用，解题时要弄清题意，理解函数解析式的意义，并且在比较大小时用到作差法．21.【答案】解：（Ⅰ）证明：函数f（x）=lg x，由f（x0+2）=f（x0）+f（2），即lg（x0+2）=lg x0+lg2，即为x0+2=2x0，解得x0=2，则函数f（x）=lg x“关于2类线性”；（Ⅱ）函数y=a x（a＞0，a≠1），当a＞1时，f（x0+2）=a，f（x0）+f（2）=a+a2，由f（x0+2）=f（x0）+f（2），可得a=＞0，解得x0=log a；当0＜a＜1时，由a=＜0，x0不存在．综上可得a＞1，函数y=a x“关于2类线性”，0＜a＜1时，函数y=a x不“关于2类线性”；（Ⅲ）函数f（x）=lg“关于2类线性”，即有f（x0+2）=f（x0）+f（2）成立，即为lg=lg+lg，a＞0，化为=，即（a-5）x02+4ax0+5a-5=0，当a=5时，x0=-1；当a≠5，由x0为实数，可得△=16a2-4（a-5）（5a-5）≥0，解得15-10≤a≤15+10，综上可得a的范围是[15-10，15+10]．【解析】（Ⅰ）运用对数的运算性质，解方程即可得证；（Ⅱ）讨论a＞1，0＜a＜1，结合指数函数的值域和新定义，解方程即可得到结论；（Ⅲ）由新定义和对数的运算性质，运用二次方程有解的条件：判别式大于等于0，解不等式即可得到所求范围．本题考查新定义的理解和运用，考查函数与方程的转化思想，以及指数函数、对数函数的性质，考查运算能力，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）∵；∴=；∴；∴，∈；∴，∈；∴；∴，；∴，；∴；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）根据+3与-2垂直即可得出，从而得出，从而可求出α，进而求出，从而求出，这样即可求出；（Ⅱ）根据求得的cosα，sinα值，即可求出的值．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，以及根据向量的坐标求向量的长度，已知三角函数值求角．。

湖北省襄阳市枣阳市鹿头中学2017-2018学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年湖北省襄阳市枣阳市鹿头中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．等差数列{a n}中，a3=2，a5=7，则a7=（）A．10 B．20 C．16 D．122．若要得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以把函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位3．已知cosα=﹣，sinα=，那么α的终边所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．已知等差数列{a n}中，a5+a12=16，a7=1，则a10的值是（）A．15 B．30 C．31 D．645．函数f（x）=sinx﹣cosx的值域为（）A．[﹣，]B．（，）C．[﹣，2）D．（﹣，2）6．若函数g（x）=asinxcosx（a＞0）的最大值为，则函数f（x）=sinx+acosx 的图象的一条对称轴方程为（）A．x=0 B．x=﹣C．x=﹣D．x=﹣7．在△ABC中，下列关系式不一定成立的是（）A．a2﹣c2=b（2acosC﹣b）B．a=bcosC+ccosBC．=D．a2+b2+c2=2bccosA+2accosB+2abcosC8．已知D是△ABC边BC延长线上一点，记．若关于x的方程2sin2x﹣（λ+1）sinx+1=0在[0，2π）上恰有两解，则实数λ的取值范围是（）A．λ＜﹣2 B．λ＜﹣4C．D．λ＜﹣4或9．已知数列{a n}，{b n}，满足a1=b1=3，a n+1﹣a n==3，n∈N*，若数列{c n}满足c n=b，则c2013=（）A．92012B．272012C．92013D．27201310．已知函数f（x）=，函数g（x）=asin（）﹣2α+2（a＞0），若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．[]B．（0，]C．[]D．[，1]11．在△ABC中，6sinA+4cosB=1，且4sinB+6cosA=5，则cosC=（）A．B．±C．D．﹣12．式子σ（a，b，c）满足σ（a，b，c）=σ（b，c，a）=σ（c，a，b），则称σ（a，b，c）为轮换对称式．给出如下三个式子：①σ（a，b，c）=abc；②σ（a，b，c）=a2﹣b2+c2；③σ（A，B，C）=cosC•cos（A﹣B）﹣cos2C （A，B，C是△ABC的内角）．其中，为轮换对称式的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）13．在等差数列{a n}中，已知a4+a5=12，那么它的前8项和S8等于．14．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα=．15．已知向量与的夹角是，且||=1，||=4，若（3+λ）⊥，则实数λ=．16．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0，则cosβ=．三、解答题17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，）的图象如图所示．（Ⅰ）求A，w及φ的值；（Ⅱ）若tana=2，求的值．18．已知数列{a n}的首项a1=3，通项a n与前n项和S n之间满足2a n=S n S n﹣1（n≥2）．（1）求证是等差数列，并求公差；（2）求数列{a n}的通项公式．19．已知=（cosx，﹣），=（sinx+cosx，1），f（x）=•，（Ⅰ）若0＜α＜，sinα=，求f（α）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．20．已知||=1，||=．（1）若∥，求•；（2）若，的夹角为135°，求||；（3）若﹣与垂直，求与的夹角．21．在△ABC中，已知内角，边．设内角B=x，△ABC的面积为y．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式和定义域；（Ⅱ）当角B为何值时，△ABC的面积最大．22．已知向量=（2cosωx，cos2ωx），=（sinωx，1）（其中ω＞0），令f（x）=，且f（x）的最小正周期为π．（1）求的值；（2）写出上的单调递增区间．2017-2018学年湖北省襄阳市枣阳市鹿头中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．等差数列{a n}中，a3=2，a5=7，则a7=（）A．10 B．20 C．16 D．12【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式．【分析】设出等差数列的公差，由已知求出公差，再代入等差数列的通项公式得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a3=2，a5=7，得．∴．故选：D．2．若要得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以把函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】函数y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），再由函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律得出结论．【解答】解：由于函数y=sin（2x﹣）=3sin2（x﹣），故要得到函数y=sin（2x﹣）的图象，将函数y=sin2x的图象沿x轴向右平移个单位即可，故选：A．3．已知cosα=﹣，sinα=，那么α的终边所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】三角函数值的符号．【分析】根据题意和“一全正二正弦三正切四余弦”判断出α的终边所在的象限即可．【解答】解：由cosα=﹣＜0得，α的终边在第二或第三象限，由sinα=＞0得，α的终边在第一或第二象限，所以α的终边在第二象限，故选：B．4．已知等差数列{a n}中，a5+a12=16，a7=1，则a10的值是（）A．15 B．30 C．31 D．64【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为的，∵a5+a12=16，a7=1，∴，解得a1=﹣27，d=．则a10=﹣27+9×=15．故选：A．5．函数f（x）=sinx﹣cosx的值域为（）A．[﹣，]B．（，）C．[﹣，2）D．（﹣，2）【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值化简函数解析式可得f（x）=，利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：因为：f（x）=sinx﹣cosx=，又因为：sin（x﹣）∈[﹣1，1]，所以：f（x）∈．故选：A．6．若函数g（x）=asinxcosx（a＞0）的最大值为，则函数f（x）=sinx+acosx 的图象的一条对称轴方程为（）A．x=0 B．x=﹣C．x=﹣D．x=﹣【考点】正弦函数的对称性；三角函数中的恒等变换应用．【分析】依题意，可求得a=1，于是可知f（x）=sinx+cosx=sin（x+），利用其对称性可求得其对称轴方程，从而可得答案．【解答】解：∵a＞0，g（x）=asinxcosx=sin2x的最大值为，∴=，∴a=1，∴f（x）=sinx+acosx=sinx+cosx=sin（x+），由x+=kπ+（k∈Z）得：x=kπ+（k∈Z），∴函数f（x）=sinx+cosx的图象的对称轴方程为：x=kπ+（k∈Z），当k=﹣1时，x=﹣，∴函数f（x）=sinx+cosx的图象的一条对称轴方程为x=﹣，故选：B．7．在△ABC中，下列关系式不一定成立的是（）A．a2﹣c2=b（2acosC﹣b）B．a=bcosC+ccosBC．=D．a2+b2+c2=2bccosA+2accosB+2abcosC【考点】余弦定理．【分析】由余弦定理可得，选项A和选项D一定成立；由正弦定理以及sinA=sin（B+C）可得选项B一定成立．由正弦定理可得选项C中的等式即=，化简得sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA，显然此等式不一定成立．【解答】解：由余弦定理可得，选项A和选项D一定成立；由正弦定理以及sinA=sin（B+C）可得选项B一定成立．由正弦定理可得选项C中的等式即=，化简得sinBcosA﹣2sinBcosC=2sinCcosB﹣sinAcosB，即sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA，显然此等式不一定成立，故选C．8．已知D是△ABC边BC延长线上一点，记．若关于x的方程2sin2x﹣（λ+1）sinx+1=0在[0，2π）上恰有两解，则实数λ的取值范围是（）A．λ＜﹣2 B．λ＜﹣4C．D．λ＜﹣4或【考点】平面向量的综合题．【分析】根据题意，由D是BC延长线上一点，=（﹣λ），得到λ＜0；令sinx=t，方程2t2﹣（λ+1）t+1=0在（﹣1，1）上有唯一解，（2﹣（λ+1）+1）•（2+（λ+1）+1）＜0①，或△=（λ+1）2﹣8=0②，解出λ范围．【解答】解：∵=λ+（1﹣λ）=+λ（﹣）=+λ=+（﹣λ）．又∵=+，∴=（﹣λ），由题意得﹣λ＞0，∴λ＜0．∵关于x的方程2sin2x﹣（λ+1）sinx+1=0在[0，2π）上恰有两解，令sinx=t，由正弦函数的图象知，方程2t2﹣（λ+1）t+1=0 在（﹣1，1）上有唯一解，∴[2﹣（λ+1）+1]•[2+（λ+1）+1]＜0 ①，或△=（λ+1）2﹣8=0 ②，由①得λ＜﹣4 或λ＞2（舍去）．由②得λ=﹣1﹣2，或λ=﹣1+2（舍去）．故选D．9．已知数列{a n}，{b n}，满足a1=b1=3，a n+1﹣a n==3，n∈N*，若数列{c n}满足c n=b，则c2013=（）A．92012B．272012C．92013D．272013【考点】数列递推式．【分析】本题可先等差数列{a n}和等比数列{b n}的通项，再利用数列{c n}的通项公式得到所求结论．【解答】解：∵数列{a n}，满足a1=3，a n+1﹣a n=3，n∈N*，∴a n=a1+（n﹣1）d=3+3（n﹣1）=3n．∵数列{b n}，满足b1=3，=3，n∈N*，∴．∵数列{c n}满足c n=b，∴=b6039=36039=272013．故选D．10．已知函数f（x）=，函数g（x）=asin（）﹣2α+2（a＞0），若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．[]B．（0，]C．[]D．[，1]【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】根据x的范围确定函数f（x）的值域和g（x）的值域，进而根据f（x1）=g（x2）成立，推断出，先看当二者的交集为空集时刻求得a的范围，进而可求得当集合的交集非空时a的范围．【解答】解：当x∈[0，1]时，f（x）=，值域是[0，1]，值域是，∵存在x1、x2∈[0，1]使得f（x1）=g（x2）成立，∴，若，则2﹣2a＞1或2﹣＜0，即，∴a的取值范围是．故选A11．在△ABC中，6sinA+4cosB=1，且4sinB+6cosA=5，则cosC=（）A．B．±C．D．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】对已知两个方程平方相加，利用两角和与差的三角函数化简，结合同角三角函数的基本关系式即可求出结果．【解答】解：6sinA+4cosB=1，且4sinB+6cosA=5，∴（6sinA+4cosB）2=1，…①，（4sinB+6cosA）2=75，…②，①+②可得：16+36+48（sinAcosB+cosAsinB）=76∴sin（A+B）=，∴sinC=．∴cosC=，又∠C∈（0，π），∴∠C的大小为或，若∠C=，得到A+B=，则cosB＞，所以4cosB＞2＞1，sinA＞0，∴6sinA+4cosB＞2与6sinA+4cosB=1矛盾，所以∠C≠，∴满足题意的∠C的值为．则cosC=．故选：C．12．式子σ（a，b，c）满足σ（a，b，c）=σ（b，c，a）=σ（c，a，b），则称σ（a，b，c）为轮换对称式．给出如下三个式子：①σ（a，b，c）=abc；②σ（a，b，c）=a2﹣b2+c2；③σ（A，B，C）=cosC•cos（A﹣B）﹣cos2C （A，B，C是△ABC的内角）．其中，为轮换对称式的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据轮换对称式的定义，考查所给的式子是否满足σ（a，b，c）=σ（b，c，a）=σ（c，a，b），从而得出结论．【解答】解：根据①σ（a，b，c）=abc，可得σ（b，c，a）=bca，σ（c，a，b）=cab，∴σ（a，b，c）=σ（b，c，a）=σ（c，a，b），故①是轮换对称式．②根据函数σ（a，b，c）=a2﹣b2+c2，则σ（b，c，a）=b2﹣c2+a2，σ（a，b，c）≠σ（b，c，a）故不是轮换对称式．③由σ（A，B，C）=cosC•cos（A﹣B）﹣cos2C=cosC×[cos（A﹣B）﹣cosC] =cosC×[cos（A﹣B）+cos（A+B）]=cosC×2cosAcosB=2cosAcosBcosC同理可得σ（B，C，A）=2cosA•cosBcosC，σ（C，A，B）=2cosA•cosBcosC，∴σ（A，B，C）=σ（B，C，A）=σ（C，A，B），故③是轮换对称式，故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）13．在等差数列{a n}中，已知a4+a5=12，那么它的前8项和S8等于48．【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】根据所给的第四项和第五项之和，得到第一项和第八项之和，写出求数列的前8项和的关系式，代入第一项和第八项之和得到结果．【解答】解：∵等差数列{a n}中a4+a5=12，S8====48故答案为：4814．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα=﹣．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由三角函数的定义知sinα的值，由平方关系得cos2α，再由α角终边确定cosα的正负．【解答】解：由定义知：sinα=，∵sin2α+cos2α=1，∴cos2α=，又角的终边落在第二象限，∴cosα=﹣．故答案为﹣．15．已知向量与的夹角是，且||=1，||=4，若（3+λ）⊥，则实数λ=﹣．【考点】数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据已知条件即可得到，（3+）=3+2λ=0，从而λ=．【解答】解：由已知条件得，=3+2λ=0；∴．故答案为：．16．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0，则cosβ=．【考点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．【分析】通过α、β的范围，求出α﹣β的范围，然后求出sinα，sin（α﹣β）的值，即可求解cosβ．【解答】解：因为cosα=，cos（α﹣β）=，且0，∴α﹣β＞0所以sinα==，α﹣β∈（0，），sin（α﹣β）==，cosβ=cos[（α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）==故答案为：．三、解答题17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，）的图象如图所示．（Ⅰ）求A，w及φ的值；（Ⅱ）若tana=2，求的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）根据函数图象的最大值和最小值确定A的值，由周期可知ω的值，最后再代入特殊值可确定φ的值．（2）先表示出f（α+）的表达式，根据tana=2求出cos2a的值代入即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）由图知A=2，T=2（）=p，∴w=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）又∵=2sin（+φ）=2，∴sin（+φ）=1，∴+j=，φ=+2kπ，∵，∴φ=（2）由（Ⅰ）知：f（x）=2sin（2x+），∴=2sin（2a+）=2cos2a=4cos2a﹣2∵tana=2，∴sina=2cosa，又∵sin2a+cos2a=1，∴cos2a=，∴=18．已知数列{a n}的首项a1=3，通项a n与前n项和S n之间满足2a n=S n S n﹣1（n≥2）．（1）求证是等差数列，并求公差；（2）求数列{a n}的通项公式．【考点】数列递推式；等差关系的确定．【分析】（1）由题设知2（S n﹣S n﹣1）=S n S n﹣1，两边同时除以S n S n﹣1，得2（，由此知是等差数列，公差．（2）由题设知，故．由此能导出数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）∵2a n=S n S n﹣1（n≥2）∴2（S n﹣S n﹣1）=S n S n﹣1两边同时除以S n S n﹣1，得2∴∴是等差数列，公差（2）∵∴=∴当n≥2时，∴19．已知=（cosx，﹣），=（sinx+cosx，1），f（x）=•，（Ⅰ）若0＜α＜，sinα=，求f（α）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【分析】（I）由条件可得α=，再由向量的数量积的坐标表示和二倍角公式及两角和的正弦公式，化简f（x），再代入计算即可得到所求值；（II）运用正弦函数的周期公式和增区间，解不等式即可得到最小正周期和所求增区间．【解答】解：（I）由，，则α=，由=（cosx，﹣），=（sinx+cosx，1），则f（x）=•=cosxsinx+cos2x﹣=sin2x+cos2x=sin（2x+），即有f（α）=sin（2×+）==；（II）由（I）可得，f（x）=sin（2x+），则f（x）的最小正周期T==π；由，解得，则f（x）的单调增区间为．20．已知||=1，||=．（1）若∥，求•；（2）若，的夹角为135°，求||；（3）若﹣与垂直，求与的夹角．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）当∥时两向量的方向相同或相反，所成角为0°或180°．根据数量积公式可求的值．（2）先求模的平方将问题转化为向量的数量积问题．（3）两向量垂直则其数量积为0，根据数量积公式即可求得两向量的夹角．【解答】解：（1）当∥时，的夹角θ=0°或180°．因为，所以．当θ=0°时，．当θ=180°时，．（2），所以．（3）设的夹角θ．当与垂直时，，所以．因为0°≤θ≤180°，所以θ=45°．21．在△ABC中，已知内角，边．设内角B=x，△ABC的面积为y．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式和定义域；（Ⅱ）当角B为何值时，△ABC的面积最大．【考点】正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（I）由已知角A及三角形的内角和定理可求x的范围，然后由正弦定理，可利用x表示AC，代入三角形的面积公式，即可求解（II）利用两角差的正弦公式及辅助角公式对（I）中的函数关系进行化简，结合正弦函数的性质即可求解取得最大值时的x即B及相应的最大值【解答】解：（I）∵，且A+B+C=π∴即由正弦定理可得，∴AC==4sinxy=sinA=4sinxsin（）（II）y=4sinxsin（）===3sin2x+2×=（﹣）当即x=时，y取得最大值∴B=时，△ABC的面积最大为22．已知向量=（2cosωx，cos2ωx），=（sinωx，1）（其中ω＞0），令f（x）=，且f（x）的最小正周期为π．（1）求的值；（2）写出上的单调递增区间．【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）把向量=（2cosωx，cos2ωx），=（sinωx，1）代入f（x）=，利用二倍角公式和两角和的正弦函数化为：，根据周期求出ω，然后求解的值；（2）利用正弦函数的单调增区间求出函数f（x）的单调增区间，选择适当的k值求出上的单调递增区间．【解答】解：（1）f（x）==2cosωxsinωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx=．∵f（x）的最小正周期为π，∴ω=1．∴．∴．（2）∵，∴当﹣，即﹣（k∈Z）时，f（x）单调递增，∵，∴f（x）在上的单调递增区间为．2018年7月3日。

2017-2018年湖北省孝感市高一下期末考试数学试题(文)及解析

下学期孝感市七校教学联盟期末联合考试高一数学文科试卷本试题卷共4页，共22题。

满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1、请考生务必将自己的姓名、准考证号、所在学校填（涂）在试题卷和答题卡上。

2、考生答题时，选择题请用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

3、考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

第I卷选择题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 请在答题卡上填涂相应选项.1. 直线的倾斜角是 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】直线的斜率为：，直线倾斜角为，则,所以，故选C.2. 设且，则下列关系式正确的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】当c=0时，显然ac=bc，故A错误；当a>0>b时, >0>，故C错误；当0>a>b时,，故B错误；∵y=x3是增函数,且a>b,∴，故D正确。

故选D.3. 若直线过圆的圆心，则实数的值为( )A. B. 1 C. D. 3【答案】C【解析】圆的圆心为(-1,2).所以，解得.故选C.4. 在等差数列中，，，则的值是( )A. 13B. 14C. 15D. 16【答案】A【解析】根据等差数列的性质可知：.所以.故选A.5. 若实数、满足约束条件则的最小值是( )A B. C. D. 3【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=−2x+z,平移直线y=−2x+z，由图象可知当直线y=−2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由,解得，即B(−1,−1)，此时z=−1×2−1=−3，故选：B6. 已知是两条不重合的直线, 是不重合的平面, 下面四个命题中正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若, 则∥D. 若,则∥【答案】C【解析】试题分析：由，是两条不重合的直线，，是不重合的平面，知：在A中：若，则与相交或平行，故A错误；在B中：若，则与相交、平行或，故B错误；在C中：若，则由面面平行的判定定理得，故C正确；在D中：若，则或，故D错误．故选：C.考点：直线与平面之间的位置关系.7. 若不等式的解集为，则的值是( )A. 10B. －10C. 14D. －14...【答案】D【解析】不等式的解集为即方程=0的解为x=或故则a=−12，b=−2，a+b=−14.故选D.8. 在△ABC中，若,, , 则B等于( )A. B. 或 C. D. 或【答案】D【解析】9. 在正方体中，M、N分别为棱BC和棱的中点，则异面直线AC和MN所成的角为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：连接，，∴为异面直线和所成的角，而三角形为等边三角形，∴，故选C.考点：异面直线所成的角.【方法点睛】本小题主要考查异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题；求异面直线所成的角的方法：求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线；连接，将平移到，根据异面直线所成角的定义可知为异面直线所成的角，而三角形为等边三角形，即可求出此角.10. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】由三视图知该几何体是一个简单组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形，对角线长是2，侧棱长是2，高是；下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是2，高是2，所以该组合体的体积是.故选A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.11. 已知圆上一点到直线的距离为，则的最小值为( )A. 1B. 2C.D.【答案】B...【解析】圆的圆心为，半径为.则圆心到直线的距离为.所以.故选B.点睛：研究圆上的动点到直线的距离的问题可转为研究圆心到直线的距离，最大距离为圆心到直线的距离加半径，最下距离为圆心到直线的距离减半径.12. 设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，则下列结论错误的是( )A. B.C. 与均为的最大值D.【答案】D【解析】∵是各项为正数的等比数列,q是其公比,是其前n项的积，由可得a7=1，故B正确；由可得a6>1,∴q=∈(0,1)，故A正确；由是各项为正数的等比数列且q∈(0,1)可得数列单调递减，∴，故D错误；结合，可得C正确。

2017-2018年湖北省孝感市高一下期末考试数学试题(文)及解析

下学期孝感市七校教学联盟期末联合考试高一数学文科试卷本试题卷共4页，共22题。

满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1、请考生务必将自己的姓名、准考证号、所在学校填（涂）在试题卷和答题卡上。

3、考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

2017-2018学年高一数学下学期期末考试试题文(含解析)(1)

宜昌市第一中学 2018 年春季学期高一年级期末考试数学试题(文科)一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据二倍角公式得到结果.详解：故答案为：B.点睛：本题考查了三角函数的化简求值，二倍角公式的应用.2. 下列命题正确的是( )A. 经过平面外一点有且只有一平面与已知平面垂直B. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行C. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知直线垂直D. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直【答案】D【解析】分析：根据课本判定定理和特殊的例子来进行排除。

详解：A. 经过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直；故不正确.B.经过平面外一点有无数条直线与已知平面平行,故不正确.C. 经过平面外一点有一个平面和已知直线垂直，这个平面中的过这个点的所有直线均和已知直线垂直，因此这样的直线有无数条.故选项不正确.D. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直,根据课本的推论得到，选项正确.故答案为：D.点睛：本题主要考查了平面的基本性质及推论，是高考中常见的题型，往往学生忽视书本上的基本概念，值得大家注意．对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断；还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断.3. 已知，那么的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用“作差法”和不等式的性质即可得出．详解：∵﹣1＜a＜0，∴1+a＞0，0＜﹣a＜1．∴﹣a﹣a2=﹣a（1+a）＞0，a2﹣（﹣a3）=a2（1+a）＞0．∴﹣a＞a2＞﹣a3．故选：B．点睛：本题考查了利用“作差法”比较两个数的大小和不等式的性质，属于基础题．两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.4. 在中，若，则等于（）A. B. 或 C. 或 D.【答案】C【解析】分析：利用正弦定理求出sinB，得出B，利用内角和定理进行检验．详解：由正弦定理得，即∴sinB=．∴B=60°或B=120°．故选：C .点睛：本题主要考查正弦定理解三角形，属于简单题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.5. 当圆锥的侧面积和底面积的比值是 2 时，圆锥侧面展开图的圆心角等于( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，得出=2，利用中截面三角形求解即可．详解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则 2，∴=2，设母线长l为2，r=1,则展开图的弧长为，以母线长为半径的圆的周长为4，故此时圆锥侧面展开图的圆心角等于.故选：D．点睛：本题考查圆锥的结构特征，基本几何量的计算．属于基础题．6. 已知是等比数列，若，数列的前项和为,则（）A. B. 31 C. D. 7【答案】A【解析】由题意，设等比数列的公比为，由，可得，解得，所以，所以，所以，故选A．7. 函数的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．详解：函数f（x）= =sin2x的最小正周期为=π，故选：C．点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．利用了sin2θ+cos2θ=1巧妙的完成弦切互化.8. 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度得到函数的图象．则图象一条对称轴是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，得到g（x）=3sin（2x﹣），从而得到g（x）图象的一条对称轴是.详解：将函数f（x）=3sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得函数y=3sin （2x+）的图象，再向右平移个单位长度，可得y=3sin[2（x﹣）+]=3sin（2x﹣）的图象，故g（x）=3sin （2x﹣）．令 2x﹣=kπ+，k∈z，得到 x=•π+，k∈z．则得 y=g（x）图象的一条对称轴是，故选：C．点睛：本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，函数y=Asin（ωx+∅）的图象的对称轴，属于中档题． y=Asin（ωx+∅）图象的变换，函数图像平移满足左加右减的原则，这一原则只针对x本身来说，需要将其系数提出来，再进行加减.9. 已知，且，则向量与的夹角为 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据向量点积运算得到,而得到夹角.详解：，且，化简得到故答案为：A.点睛：平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A. B. 3 C. D.【答案】B【解析】分析：根据三视图得到原图，从而得到体积.详解：根据三视图得到原图是一个斜三棱锥，底面是一个底边长为2，高为3的三角形，棱锥的高为3，故得到体积为3.故答案为：B.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.11. 如图，某地一天从 6 ~ 14 时的温度变化曲线近似满足函数：，则中午 12 点时最接近的温度为。

(解析版)湖北省襄阳市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题

2018年6月襄阳市普通高中调研统一测试高二数学（文史类）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题,则命题的否定是,故选C.2. 已知双曲线的右顶点与抛物线的焦点重合，且其离心率，则该双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的实半轴长，利用双曲线的离心率得到c 与b的值，从而得到双曲线方程．详解：抛物线y2=8x焦点（2，0），可得双曲线的实半轴的长a=2，双曲线（a＞0，b＞0）的离心率e=，可得c=3，则b=，所以双曲线方程为：．故选：A．点睛：本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．3. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若在上单调递增，则函数的的导数恒成立，即，所以“”是“在上单调递增”的充分不必要条件，故选A.4. 已知原命题“若，则、中至少有一个不小于1”，原命题与其逆命题的真假情况是（）A. 原命题为假，逆命题为真B. 原命题为真，逆命题为假C. 原命题与逆命题均为真命题D. 原命题与逆命题均为假命题【答案】B【解析】分析：根据题意，写出逆否命题，据不等式的性质判断出逆否命题是真命题，所以原命题是真命题；写出逆命题，通过举反例，说明逆命题是假命题．详解：逆否命题为：a，b都小于1，则a+b≤2是真命题所以原命题是真命题逆命题为：若、中至少有一个不小于1，则a+b＞2，例如，当a=2，b=﹣2时，满足条件，当a+b=2+（﹣2）=0，这与a+b＞2矛盾，故为假命题故选：B．点睛：判断一个命题的真假问题，若原命题不好判断，据原命题与其逆否命题的真假一致，常转化为判断其逆否命题的真假.5. 已知圆，定点，点为圆上的动点，点在上，点在线段上，且满足，，则点的轨迹方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由=2，•=0，知Q为PN的中点且GQ⊥PN，可得|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，从而可求方程．详解：：由=2，•=0，知Q为PN的中点且GQ⊥PN，∴GQ为PN的中垂线，∴|PG|=|GN|∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=3，半焦距c=，∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是+=1．故选：D．点睛：在圆锥曲线中要注意椭圆、双曲线、抛物线的定义在解题中的应用，这三个定义的应用主要体现在两个方面，一个是根据定义判断曲线的类型，为求曲线的方程做铺垫；二是在已知曲线类型的情况下，利用定义可将曲线上的到焦点的距离进行转化，为问题的解决带来新的方向和思路.6. 已知命题，，命题，，若为真命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：据“p∧q”的真假与p、q真假的关系是：全真则真，有假则假；得到p，q全真；利用不等式的性质及二次不等式恒成立令判别式小于0，得到m的范围．详解：∵p∧q为真命题∴p、q全真若p真则m＜0若q真则m2﹣4＜0解得﹣2＜m＜2所以m的范围为（﹣2，0）故选：D．点睛：“”，“”“”等形式命题真假的判断步骤：（1）确定命题的构成形式；（2）判断其中命题的真假；（3）确定“”，“”“”等形式命题的真假.7. 下列命题中真命题的个数是（）①若是假命题，则、都是假命题；②命题“，”的否定是“，”③若：，:，则是的充分不必要条件.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】分析：由复合命题的真假判断判断①；写出全程命题的否定判断②；由不等式的性质结合充分必要条件的判定方法判断③．详解：①若p∧q是假命题，则p，q中至少一个是假命题，故①错误；②命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“”，故②正确；③若x＞1＞0，则，反之，若，则x＜0或x＞1．又p：x≤1，q：，∴￢p是q的充分不必要条件，故③正确．∴正确命题的个数是2个．故选：C．点睛：本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件的判定方法，考查命题的否定，属于中档题．8. 若直线把圆分成面积相等的两部分，则当取得最大值时，坐标原点到直线的距离是（）A. 4B.C. 2D.【答案】D【解析】依题意可知直线过圆心，代入直线方程得，当且仅当时当好成立，此时原点到直线的距离为.9. 已知直线，，点是抛物线上任一点，则到直线、的距离之和的最小值为（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】分析：由抛物线的定义可知P到直线l1，l2的距离之和的最小值为焦点F到直线l2的距离．详解：抛物线的焦点为F（﹣2，0），准线为l1：x=2．∴P到l1的距离等于|PF|，∴P到直线l1，l2的距离之和的最小值为F（﹣2，0）到直线l2的距离．故选：C．点睛：本题主要考查了抛物线定义的应用，属于基础题.10. 已知双曲线，若其过一、三象限的渐近线的倾斜角，则双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用过一、三象限的渐近线的倾斜角θ∈[，]，可得1≤≤，即可求出双曲线的离心率e的取值范围.详解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，由过一、三象限的渐近线的倾斜角θ∈[，]，∴tan≤≤tan，∴1≤≤，∴1≤≤3，∴2≤1+≤4，即2≤e2≤4，解得≤e≤2，故选：B．点睛：求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．11. 设函数是的导函数，，，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：易得到f n（x）表达式以8为周期，呈周期性变化，由于2018÷8余2，故f2008（x）= f2（x），进而得到答案详解：∵f0（x）=e x（cosx+sinx），∴f0′（x）=e x（cosx+sinx）+e x（﹣sinx+cosx）=2e x cosx，∴f1（x）==e x cosx，∴f1′（x）=e x（cosx﹣sinx），∴f2（x）==e x（cosx﹣sinx），∴f2′（x）=e x（cosx﹣sinx）+e x（﹣sinx﹣cosx）=﹣2e x sinx，∴f3（x）=﹣e x sinx，∴f3′（x）=﹣e x（sinx+cosx），∴f4（x）=﹣e x（cosx+sinx），∴f4′（x）=﹣2e x cosx，∴f5（x）=﹣e x cosx，∴f6（x）=﹣e x（cosx﹣sinx），∴f7（x）=e x sinx，∴f8（x）=e x（cosx+sinx），…，∴= f2（x）=，故选：B．点睛：本题通过观察几个函数解析式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.12. 若直线与曲线相切，且，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：求出导函数，确定切点的坐标，在构造函数，即可得到结论．详解：由题意，函数，则，令，可得，故切点为，代入，可得，构造新函数，则，即，所以，即，所以，故选C．点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用，以及函数零点的存在定理的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若曲线在点处的切线的斜率为3，则点的坐标为__________．【答案】、【解析】分析：设P（m，n），则n=m3，求出函数的导数，可得切线的斜率，解m的方程可得m，n，即可得到P的坐标．详解：设P（m，n），则n=m3，y=x3的导数为y′=3x2，可得曲线y=x3在点P处的切线斜率为3m2，由题意可得3m2=3，解得m=±1，则m=1，n=1；m=﹣1，n=﹣1．即P（1，1），（﹣1，﹣1）．故答案为：、点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．14. 若曲线(为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：令y′≥0在（0，+∞）上恒成立可得a，根据右侧函数的值域即可得出a的范围．详解：y′=+2ax，x∈（0，+∞），∵曲线y=lnx+ax2（a为常数）不存在斜率为负数的切线，∴y′=≥0在（0，+∞）上恒成立，∴a≥﹣恒成立，x∈（0，+∞）．令f（x）=﹣，x∈（0，+∞），则f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（x）=﹣＜0，∴a≥0．故答案为：．点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.15. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线上一点，且轴，若的内切圆半径为，则其渐近线方程是__________．【答案】详解：由点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，设Rt△AF1F2内切圆半径为r，运用面积相等可得S=|AF2|•|F1F2|=r（|AF1|+|AF2|+|F1F2|），由勾股定理可得|AF2|2+|F1F2|2=|AF1|2，解得r=，，即∴渐近线方程是，故答案为：．16. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为__________．【答案】【解析】分析：设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得，开方得答案．详解：如图，设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a，则|AF2|=2a﹣m=（2﹣2）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4（2﹣）2a2+4（﹣1）2a2，∴c2=（9﹣6）a2，则e2==9﹣6=，∴e=．故答案为：．点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数，是否存在常数、，使在上取得最大值3，最小值？若存在，求出、的值，若不存在，请说明理由.【答案】，或，【解析】分析：由题意求导，讨论a以确定函数的单调性，从而确定最值，进而求得、的值.详解：由得：由得：或若，则在上是增函数，在上是减函数∴这时，，∴，解得若，则在上是减函数，在上是增函数∴这时，，∴，解得∴存在常数，或，满足题设条件.点睛：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，综合性强．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．18. 已知命题:实数满足，命题:实数满足方程表示的焦点在轴上的椭圆，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】【解析】分析：根据条件求出命题p，q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可．详解：由得：，即命题由表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得，即命题.因为是的充分不必要条件，所以或解得：，∴实数的取值范围是.点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据条件求出命题p，q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义建立不等式关系是解决本题的关键．19. 已知双曲线的右焦点是抛物线的焦点，直线与该抛物线相交于、两个不同的点，点是的中点，求(为坐标原点)的面积.【答案】【解析】分析：由双曲线方程可得右焦点，即为抛物线的焦点，可得抛物线的方程，利用点差法得到直线的斜率为联立直线方程，可得y的二次方程，解得，利用割补法表示的面积为，带入即可得到结果.详解：∵ 双曲线的左焦点的坐标为∴的焦点坐标为，∴，因此抛物线的方程为设，，，则，∴∵为的中点，所以，故∴直线的方程为∵ 直线过点，∴，故直线的方程为，其与轴的交点为由得：，，∴的面积为.点睛：本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查直线方程与抛物线的方程联立，考查了点差法，考查了利用割补思想表示面积，以及化简整理的运算能力，属于中档题．20. 设椭圆经过点，其离心率.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于、两点，且的面积为，求的值. 【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）由经过点P，得，由离心率为得=，再根据a2=b2+c2联立解方程组即可；（2）联立直线方程与椭圆方程消y，得，易知判别式△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），弦长公式及点到直线的距离公式可表示出△PAB的面积，令其为，即可解出m值，验证是否满足△＞0．详解：（1）解：由已知解得，，∴椭圆的方程为.（2）解：由得：由得：设，，则，∴又到的距离为，∴即，解得：.符合，故.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21. 设函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若，为整数，且当时，恒成立，其中为的导函数，求的最大值.【答案】(1) 在单调递减，在上单调递增.(2)2.【解析】试题分析：（1）先求导数，根据a的大小讨论导函数是否变号：若a≤0，导函数恒非负，为单调增区间；若a＞0，导函数符号变化，先负后正，对应先减后增（2）分类变量得，再利用导数求最小值：在极小值点取最小值，根据极值定义得及零点存在定理确定范围，化简最小值为，并确定其范围为（2,3），因此可得正整数的最大值.试题解析：（1）函数f（x）=e x-ax-2的定义域是R，f′（x）=e x-a，若a≤0，则f′（x）=e x-a≥0，所以函数f（x）=e x-ax-2在（-∞，+∞）上单调递增若a＞0，则当x∈（-∞，lna）时，f′（x）=e x-a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=e x-a＞0；所以，f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增（2）由于a=1，令，，令，在单调递增，且在上存在唯一零点，设此零点为，则当时，，当时，，由，又所以的最大值为2点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）设，，若、与曲线分别交于异于原点的、两点，求的面积. 【答案】(1);(2).【解析】试题分析：（1）将曲线的参数方程消去参数可得普通方程x2+y2-6x-8y=0，再化为极坐标方程可得。

湖北省荆门市2017-2018学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析

湖北省荆门市2017-2018学年高一下学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合M={y|y=2﹣x}，P={y|y=}，则M∩P=（）A．{y|y＞1} B．{y|y≥1} C．{y|y＞0} D．{y|y≥0}2．如果a＞b，则下列各式正确的是（）A．a•lgx＞b•lgx（x＞0）B．a x2＞bx2C．a2＞b2D．a•2x＞b•2x3．方程lgx=8﹣2x的根x∈（k，k+1），k∈Z，则k=（）A．2B．3C．4D．54．若角α的终边过点（﹣1，2），则cos2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣5．设f（x）=a x，g（x）=x，h（x）=log a x，且a满足log a（1﹣a2）＞0，那么当x＞1时必有（）A．h（x）＜g（x）＜f（x）B．h（x）＜f（x）＜g（x）C． f（x）＜g（x）＜h（x）D．f（x）＜h（x）＜g（x）6．一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为（）A．83 B．108 C．75 D．637．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n⊂β，则下列叙述正确的是（）A．若m∥n，m⊂α，则α∥βB．若α∥β，m⊂α，则m∥nC．若m∥n，m⊥α，则α⊥βD．若α∥β，m⊥n，则m⊥α8．已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A．24 B．20 C．16 D．129．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）A．B．C．D．10．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A．21+B．18+C．21 D．1811．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量Pmg/L与时间t h间的关系为．若在前5个小时消除了10%的污染物，则污染物减少50%所需要的时间约为（）小时．（已知lg2=0.3010，lg3=0.4771）A．26 B．33 C．36 D．4212．已知数列{a n}的通项公式为a n=n+，若对任意n∈N+，都有a n≥a3，则实数c的取值范围是（）A．[6，12]B．（6，12）C．[5，12]D．（5，12）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）13．不等式2x2﹣x＜0的解集为．14．若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=时，数列{a n}的前n≥2项和最大．15．已知甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，且=，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，则=．16．在△ABC中，∠A=，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且丨|2=，则∠B=．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知向量，，，α为锐角．（Ⅰ）求向量，的夹角；（Ⅱ）若，求α．18．备受瞩目的巴西世界杯正在如火如荼的进行，为确保总决赛的顺利进行，组委会决定在位于里约热内卢的马拉卡纳体育场外临时围建一个矩形观众候场区，总面积为72m2（如图所示）．要求矩形场地的一面利用体育场的外墙，其余三面用铁栏杆围，并且要在体育馆外墙对面留一个长度为2m的入口．现已知铁栏杆的租用费用为100元/m．设该矩形区域的长为x（单位：m），租用铁栏杆的总费用为y（单位：元）（Ⅰ）将y表示为x的函数；（Ⅱ）试确定x，使得租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，并求出最小最小费用．19．已知数列{a n}的前n和为S n，且S n满足：S n=n2+n，n∈N+．等比数列{b n}满足：log2b n+=0．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项的和T n．20．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA丄平面ABC，AC丄AB，PA=AB=2，AC=1．（Ⅰ）证明：PC丄AB；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的正弦值；（Ⅲ）求三棱锥P﹣ABC外接球的体积．21．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°（Ⅰ）若，求PA；（Ⅱ）若∠APB=150°，求tan∠PBA．22．已知函数f（x）=x2+2x，（Ⅰ）若x∈[﹣2，a]，求f（x）的值域；（Ⅱ）若存在实数t，当x∈[1，m]，f（x+t）≤3x恒成立，求实数m的取值范围．湖北省荆门市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合M={y|y=2﹣x}，P={y|y=}，则M∩P=（）A．{y|y＞1} B．{y|y≥1} C．{y|y＞0} D．{y|y≥0}考点：交集及其运算；函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：先化简这两个集合，利用两个集合的交集的定义求出M∩P．解答：解：∵M={y|y=2﹣x}={y|y＞0}，P={y|y=}={y|y≥0}，∴M∩P={y|y＞0}，故选C．点评：本题考查函数的值域的求法，两个集合的交集的定义，化简这两个集合是解题的关键．2．如果a＞b，则下列各式正确的是（）A．a•lgx＞b•lgx（x＞0）B．a x2＞bx2C．a2＞b2D．a•2x＞b•2x考点：不等式比较大小．专题：探究型．分析：看各不等式是加（减）什么数，或乘（除以）哪个数得到的，用不用变号来进行判断即可．解答：解：A、两边相乘的数lgx不一定恒为正，错误；B、不等式两边都乘以x2，它可能为0，错误；C、若a=﹣1，b=﹣2，不等式a2＞b2不成立，错误；D、不等式两边都乘2x＞0，不等号的方向不变，正确；故选D．点评：主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3．方程lgx=8﹣2x的根x∈（k，k+1），k∈Z，则k=（）A．2B．3C．4D．5考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题．分析：令f（x）=lgx+2x﹣8则可知函数f（x）在（0，+∞）单调递增，且函数在（0，+∞）连续，检验只要满足f（k）f（k+1）＜0即可解答：解：令f（x）=lgx+2x﹣8则可知函数f（x）在（0，+∞）单调递增，且函数在（0，+∞）连续∵f（1）=﹣6＜0，f（2）=lg2﹣4＜0，f（3）=lg3﹣2＜0，f（4）=lg4＞0∴f（3）f（4）＜0由函数的零点判定定理可得，函数的零点区间（3，4）∴k=3故选：B点评：本题主要考查了函数的零点判定定理的应用，属于基础性试题4．若角α的终边过点（﹣1，2），则cos2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣考点：任意角的三角函数的定义；二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：利用任意角的三角函数的定义可求得cosα=﹣，再利用二倍角的余弦即可求得答案．解答：解：∵角α的终边过点（﹣1，2），∴cosα==﹣，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣，故选：B．点评：本题考查任意角的三角函数的定义及二倍角的余弦，求得cosα=﹣是关键，属于基础题．5．设f（x）=a x，g（x）=x，h（x）=log a x，且a满足log a（1﹣a2）＞0，那么当x＞1时必有（）A．h（x）＜g（x）＜f（x）B．h（x）＜f（x）＜g（x）C． f（x）＜g（x）＜h（x）D．f（x）＜h（x）＜g（x）考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：由于a满足log a（1﹣a2）＞0，可得0＜a＜1．再利用指数函数、幂函数、对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵a满足log a（1﹣a2）＞0=log a1，0＜1﹣a2＜1，∴0＜a＜1，∴当x＞1时，log a x＜0，0＜a x＜1，x＞1．∴h（x）＜f（x）＜g（x）．故选B．点评：本题考查了指数函数、幂函数、对数函数的单调性，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．6．一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为（）A．83 B．108 C．75 D．63考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：根据等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列，进而根据等比等比数列的第一个n项的和和第二个n项的和求得第三个n项的和，进而把前2n项的和加上第三个n项的和，即可求得答案．解答：解：等比数列的第一个n项的和为：48，第二个n项的和为60﹣48=12∴第三个n项的和为：12×=3∴前3n项的和为60+3=63故选D点评：本题主要考查了等比数列的前n项的和．解题的关键是利用等比数列每k项的和也成等比数列的性质．7．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n⊂β，则下列叙述正确的是（）A．若m∥n，m⊂α，则α∥βB．若α∥β，m⊂α，则m∥nC．若m∥n，m⊥α，则α⊥βD．若α∥β，m⊥n，则m⊥α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：由m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n⊂β，知：若m∥n，m⊂α，则α与β相交或平行，故A错误；若α∥β，m⊂α，则m与n平行或异面，故B错误；若m∥n，m⊥α，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；若α∥β，m⊥n，则m与α相交、平行或m⊂α，故D错误．故选：C．点评：本题考查真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8．已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A．24 B．20 C．16 D．12考点：简单线性规划．分析：①画可行域②z为目标函数纵截距四倍③画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）时z有最大值解答：解：画可行域如图，z为目标函数z=2x+4y，可看成是直线z=2x+4y的纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过A（2，4）点时z有最大值20故选B．点评：本题考查线性规划问题，难度较小．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．9．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为（）A ．B ．C ．D ．考点：直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：利用三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA 1为PA 与平面A 1B 1C 1所成角，即为∠APA 1为PA 与平面ABC 所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA 1，再利用正三角形的性质可得A 1P ，在Rt △AA 1P 中，利用tan ∠APA 1=即可得出．解答：解：如图所示，∵AA 1⊥底面A 1B 1C 1，∴∠APA 1为PA 与平面A 1B 1C 1所成角， ∵平面ABC ∥平面A 1B 1C 1，∴∠APA 1为PA 与平面ABC 所成角． ∵==． ∴V 三棱柱ABC ﹣A1B1C1==，解得．又P 为底面正三角形A 1B 1C 1的中心，∴==1，在Rt △AA 1P 中，，∴．故选B ．点评：熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键．10．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A．21+B．18+C．21 D．18考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积．解答：解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1，几何体的表面积为：S正方体﹣2S棱锥侧+2S棱锥底==21+．故选：A．点评：本题考查三视图求解几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状．11．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量Pmg/L与时间t h间的关系为．若在前5个小时消除了10%的污染物，则污染物减少50%所需要的时间约为（）小时．（已知lg2=0.3010，lg3=0.4771）A．26 B．33 C．36 D．42考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：先利用函数关系式，结合前5个小时消除了l0%的污染物，即可求出结论；当P=50%P0时，有50%P0=P0e，即可得出结论．解答：解：由题意，前5个小时消除了l0%的污染物，∵P=P0e﹣kt，∴（1﹣10%）P0=P0e﹣5k，∴k=﹣ln0.9；（2）由（1）得P=P0e当P=50%P0时，有50%P0=P0e∴ln0.9=ln0.5∴t=≈33即污染物减少50%需要花33h．故选B．点评：本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．12．已知数列{a n}的通项公式为a n=n+，若对任意n∈N+，都有a n≥a3，则实数c的取值范围是（）A．[6，12]B．（6，12）C．[5，12]D．（5，12）考点：数列的函数特性．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据数列的递推关系得到a3是最小值解不等式即可得到结论．解答：解：由题意可得c＞0，∵对所有n∈N*不等式a n≥a3恒成立，∴，∴，∴6≤c≤12，经验证，数列在（1，2）上递减，（3，+∞）上递增，或在（1，3）上递减，（4，+∞）上递增，符合题意，故选：A．点评：本题主要考查数列的函数性质，利用不等式的性质，建立不等式组关系是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）13．不等式2x2﹣x＜0的解集为0＜x＜．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：利用因式分解或一元二次不等式的解法求不等式的解集．解答：解：由2x2﹣x＜0，得x（2x﹣1）＜0．即对应方程x（2x﹣1）=0的两个根分别为x=0或x=，所以不等式2x2﹣x＜0的解为0＜x＜．故答案为：{x|0＜x＜}．点评：本题主要考查一元二次不等式的基本解法，比较基础．14．若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=8时，数列{a n}的前n≥2项和最大．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据题意和等差数列的性质判断出a8＞0、a9＜0，由等差数列的各项符号特征可求出答案．解答：解：由等差数列的性质得，a7+a8+a9=3a8＞0，a7+a10=a8+a9＜0，∴a8＞0、a9＜0，且|a8|＜|a9|，∴等差数列{a n}的前八项都大于零，从第九项开始都小于零，则当n=8时，数列{a n}的前n项和最大，故答案为：8．点评：本题考查等差数列的前n项和的最值问题，以及等差数列的性质，属于基础题．15．已知甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，且=，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，则=．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比．解答：解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵=，∴=，∵它们的侧面积相等，=1∴=，∴==（）2•=．故答案为：．点评：本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目．16．在△ABC中，∠A=，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且丨|2=，则∠B=．考点：解三角形．专题：计算题；压轴题．分析：做高AE，不妨设E在CD上，设AE=h，CE=x，CD=p，BD=q，则DE=p﹣x，BE=p+q ﹣x，根据勾股定理可分别表示出AD2和AB2，进而求得的表达式，根据题设等式可知pq=BD•CD，进而化简整理求得x==，推断出ABC为等腰三角形．进而根据顶角求得B．解答：解：做高AE，不妨设E在CD上，设AE=h，CE=x，CD=p，BD=q，则DE=p﹣x，BE=p+q﹣x，则AD2=AE2+DE2=h2+（p﹣x）2，AB2=AE2+BE2=h2+（p+q﹣x）2，AB2﹣AD2=（p+q﹣x）2﹣（p﹣x）2=q（q+2p﹣2x），即pq=BD•CD=q（q+2p﹣2x），q≠0，所以p=q+2p﹣2x，x==，即E为BC中点，于是ABC为等腰三角形．顶角为，则底角B=故答案为．点评：本题主要考查了解三角形问题．解题的关键是通过题设条件建立数学模型，考查了学生分析问题和解决问题的能力．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知向量，，，α为锐角．（Ⅰ）求向量，的夹角；（Ⅱ）若，求α．考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：平面向量及应用．分析：利用平面向量的数量积公式求向量的夹角．解答：解：（Ⅰ）由已知得到cos＜＞=…∵＜，＞∈[0，π]∴向量，的夹角；…（Ⅱ）由知，即…∴，∴…又α为锐角，∴．…点评：本题考查了平面向量数量积公式的运用求向量的夹角；关键是熟记公式，正确运用．18．备受瞩目的巴西世界杯正在如火如荼的进行，为确保总决赛的顺利进行，组委会决定在位于里约热内卢的马拉卡纳体育场外临时围建一个矩形观众候场区，总面积为72m2（如图所示）．要求矩形场地的一面利用体育场的外墙，其余三面用铁栏杆围，并且要在体育馆外墙对面留一个长度为2m的入口．现已知铁栏杆的租用费用为100元/m．设该矩形区域的长为x（单位：m），租用铁栏杆的总费用为y（单位：元）（Ⅰ）将y表示为x的函数；（Ⅱ）试确定x，使得租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，并求出最小最小费用．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）根据要求矩形场地的一面利用体育场的外墙，其余三面用铁栏杆围，并且要在体育馆外墙对面留一个长度为2m的入口．现已知铁栏杆的租用费用为100元/m．可得y 表示为x的函数；（Ⅱ）由均值不等式可得结论．解答：解：（Ⅰ）依题意有：y=100（+x﹣2），其中x＞2；（Ⅱ）由均值不等式可得：y=100（+x﹣2）=100（+x﹣2）≥100（2﹣2）=2200，当且仅当=x，即x=12时取“=”综上：当x=12时，租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，最小费用为2200元．点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．19．已知数列{a n}的前n和为S n，且S n满足：S n=n2+n，n∈N+．等比数列{b n}满足：log2b n+=0．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项的和T n．考点：数列的求和；对数的运算性质；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）通过S n=n2+n，令n=1可得a1=2，令n≥2可得a n=S n﹣S n﹣1=2n，进而可得a n=2n；代入得；（Ⅱ）通过a n=2n、可得，利用错位相减法及等比数列的求和公式计算即得结论．解答：解：（Ⅰ）当n=1时，S1=2，即a1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n，又a1=2=2×1，∴a n=2n；由得：；（Ⅱ）∵a n=2n，，∴，∴…， (1)...， (2)（1）﹣（2）得：…，∴．点评：本题考查求数列的通项及求和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．20．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA丄平面ABC，AC丄AB，PA=AB=2，AC=1．（Ⅰ）证明：PC丄AB；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的正弦值；（Ⅲ）求三棱锥P﹣ABC外接球的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明AB⊥平面PC，即可证明：PC丄AB；（Ⅱ）过A作AM⊥PC交PC于点M，连接BM，则∠AMB为所求角，即可求二面角A﹣PC﹣B的正弦值；（Ⅲ）求三棱锥P﹣ABC外接球即为以AP，AB，AC为棱的长方体的外接球，长方体的对角线为球的直径，可求三棱锥P﹣ABC外接球的体积．解答：（Ⅰ）证明：；…（Ⅱ）解：过A作AM⊥PC交PC于点M，连接BM，则∠AMB为所求角；…在三角形AMB中，…（Ⅲ）解：求三棱锥P﹣ABC外接球即为以AP，AB，AC为棱的长方体的外接球，长方体的对角线为球的直径，…．…点评：本题考查线面垂直的证明，考查二面角，考查三棱锥P﹣ABC外接球体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°（Ⅰ）若，求PA；（Ⅱ）若∠APB=150°，求tan∠PBA．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA 中，利用余弦定理即可求得PA．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化简即可求出．解答：解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．点评：熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键．22．已知函数f（x）=x2+2x，（Ⅰ）若x∈[﹣2，a]，求f（x）的值域；（Ⅱ）若存在实数t，当x∈[1，m]，f（x+t）≤3x恒成立，求实数m的取值范围．考点：二次函数在闭区间上的最值；函数恒成立问题．专题：分类讨论；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）由f（x）的图象与性质，讨论a的取值，从而确定f（x）在[﹣2，a]上的增减性，求出f（x）的值域．（Ⅱ）把f（x+t）≤3x转化为（x+t）2+2（x+t）≤3x，即u（x）=x2+（2t﹣1）x+t2+2t，在x∈[1，m]恒小于0问题，考查u（x）的图象与性质，求出m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x2+2x的图象是抛物线，开口向上，对称轴是x=﹣1，∴当﹣2＜a≤﹣1时，f（x）在[﹣2，a]上是减函数，，∴此时f（x）的值域为：[a2+2a，0]；当﹣1＜a≤0时，f（x）在[﹣2，a]上先减后增，f（x）max=f（﹣2）=0，f（x）min=f（﹣1）=﹣1，∴此时f（x）的值域为：[﹣1，0]；当a＞0时，f（x）在[﹣2，a]上先减后增，，∴此时f（x）的值域为：[﹣1，a2+2a]．（Ⅱ）若存在实数t，当x∈[1，m]，f（x+t）≤3x恒成立，即（x+t）2+2（x+t）≤3x，∴x2+（2t﹣1）x+t2+2t≤0；设u（x）=x2+（2t﹣1）x+t2+2t，其中x∈[1，m]∵u（x）的图象是抛物线，开口向上，∴u（x）max=max{u（1），u（m）}；由u（x）≤0恒成立知；化简得；v令g（t）=t2+2（1+m）t+m2﹣m，则原题转化为存在t∈[﹣4，0]，使得g（t）≤0；即当t∈[﹣4，0]时，g（t）min≤0；∵m＞1时，g（t）的对称轴是t=﹣1﹣m＜﹣2，①当﹣1﹣m＜﹣4，即m＞3时，g（t）min=g（﹣4），∴，解得3＜m≤8；②当﹣4≤﹣1﹣m＜﹣2，即1＜≤3时，g（t）min=g（﹣1﹣m）=﹣1﹣3m，∴，解得1＜m≤3；综上，m的取值范围是（1，8]．解法二，由，∴m≤，即=8，1＜m≤8；即得m的取值范围（1，8]．点评：本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题的应用，解题时应讨论对称轴在区间内？在区间左侧？区间右侧？从而确定函数的最值．。

湖北省襄阳市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题(解析版)

2018年6月襄阳市普通高中调研统一测试高二数学（文史类）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题,则命题的否定是,故选C.2. 已知双曲线的右顶点与抛物线的焦点重合，且其离心率，则该双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的实半轴长，利用双曲线的离心率得到c与b的值，从而得到双曲线方程．详解：抛物线y2=8x焦点（2，0），可得双曲线的实半轴的长a=2，双曲线（a＞0，b＞0）的离心率e=，可得c=3，则b=，所以双曲线方程为：．故选：A．点睛：本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．3. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若在上单调递增，则函数的的导数恒成立，即，所以“”是“在上单调递增”的充分不必要条件，故选A.4. 已知原命题“若，则、中至少有一个不小于1”，原命题与其逆命题的真假情况是（）A. 原命题为假，逆命题为真B. 原命题为真，逆命题为假C. 原命题与逆命题均为真命题D. 原命题与逆命题均为假命题【答案】B【解析】分析：根据题意，写出逆否命题，据不等式的性质判断出逆否命题是真命题，所以原命题是真命题；写出逆命题，通过举反例，说明逆命题是假命题．详解：逆否命题为：a，b都小于1，则a+b≤2是真命题所以原命题是真命题逆命题为：若、中至少有一个不小于1，则a+b＞2，例如，当a=2，b=﹣2时，满足条件，当a+b=2+（﹣2）=0，这与a+b＞2矛盾，故为假命题故选：B．点睛：判断一个命题的真假问题，若原命题不好判断，据原命题与其逆否命题的真假一致，常转化为判断其逆否命题的真假.5. 已知圆，定点，点为圆上的动点，点在上，点在线段上，且满足，，则点的轨迹方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由=2，•=0，知Q为PN的中点且GQ⊥PN，可得|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N 为焦点的椭圆，从而可求方程．详解：：由=2，•=0，知Q为PN的中点且GQ⊥PN，∴GQ为PN的中垂线，∴|PG|=|GN|∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=3，半焦距c=，∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是+=1．故选：D．点睛：在圆锥曲线中要注意椭圆、双曲线、抛物线的定义在解题中的应用，这三个定义的应用主要体现在两个方面，一个是根据定义判断曲线的类型，为求曲线的方程做铺垫；二是在已知曲线类型的情况下，利用定义可将曲线上的到焦点的距离进行转化，为问题的解决带来新的方向和思路.6. 已知命题，，命题，，若为真命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：据“p∧q”的真假与p、q真假的关系是：全真则真，有假则假；得到p，q全真；利用不等式的性质及二次不等式恒成立令判别式小于0，得到m的范围．详解：∵p∧q为真命题∴p、q全真若p真则m＜0若q真则m2﹣4＜0解得﹣2＜m＜2所以m的范围为（﹣2，0）故选：D．点睛：“”，“”“”等形式命题真假的判断步骤：（1）确定命题的构成形式；（2）判断其中命题的真假；（3）确定“”，“”“”等形式命题的真假.7. 下列命题中真命题的个数是（）①若是假命题，则、都是假命题；②命题“，”的否定是“，”③若：，:，则是的充分不必要条件.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】分析：由复合命题的真假判断判断①；写出全程命题的否定判断②；由不等式的性质结合充分必要条件的判定方法判断③．详解：①若p∧q是假命题，则p，q中至少一个是假命题，故①错误；②命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“”，故②正确；③若x＞1＞0，则，反之，若，则x＜0或x＞1．又p：x≤1，q：，∴￢p是q的充分不必要条件，故③正确．∴正确命题的个数是2个．故选：C．点睛：本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件的判定方法，考查命题的否定，属于中档题．8. 若直线把圆分成面积相等的两部分，则当取得最大值时，坐标原点到直线的距离是（）A. 4B.C. 2D.【答案】D【解析】依题意可知直线过圆心，代入直线方程得，当且仅当时当好成立，此时原点到直线的距离为.9. 已知直线，，点是抛物线上任一点，则到直线、的距离之和的最小值为（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】分析：由抛物线的定义可知P到直线l1，l2的距离之和的最小值为焦点F到直线l2的距离．详解：抛物线的焦点为F（﹣2，0），准线为l1：x=2．∴P到l1的距离等于|PF|，∴P到直线l1，l2的距离之和的最小值为F（﹣2，0）到直线l2的距离．故选：C．点睛：本题主要考查了抛物线定义的应用，属于基础题.10. 已知双曲线，若其过一、三象限的渐近线的倾斜角，则双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用过一、三象限的渐近线的倾斜角θ∈[，]，可得1≤≤，即可求出双曲线的离心率e的取值范围.详解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，由过一、三象限的渐近线的倾斜角θ∈[，]，∴tan≤≤tan，∴1≤≤，∴1≤≤3，∴2≤1+≤4，即2≤e2≤4，解得≤e≤2，故选：B．点睛：求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．11. 设函数是的导函数，，，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：易得到f n（x）表达式以8为周期，呈周期性变化，由于2018÷8余2，故f2008（x）= f2（x），进而得到答案详解：∵f0（x）=e x（cosx+sinx），∴f0′（x）=e x（cosx+sinx）+e x（﹣sinx+cosx）=2e x cosx，∴f1（x）==e x cosx，∴f1′（x）=e x（cosx﹣sinx），∴f2（x）==e x（cosx﹣sinx），∴f2′（x）=e x（cosx﹣sinx）+e x（﹣sinx﹣cosx）=﹣2e x sinx，∴f3（x）=﹣e x sinx，∴f3′（x）=﹣e x（sinx+cosx），∴f4（x）=﹣e x（cosx+sinx），∴f4′（x）=﹣2e x cosx，∴f 5（x）=﹣e x cosx，∴f6（x）=﹣e x（cosx﹣sinx），∴f7（x）=e x sinx，∴f8（x）=e x（cosx+sinx），…，∴= f2（x）=，故选：B．点睛：本题通过观察几个函数解析式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.12. 若直线与曲线相切，且，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：求出导函数，确定切点的坐标，在构造函数，即可得到结论．详解：由题意，函数，则，令，可得，故切点为，代入，可得，构造新函数，则，即，所以，即，所以，故选C．点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用，以及函数零点的存在定理的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若曲线在点处的切线的斜率为3，则点的坐标为__________．【答案】、【解析】分析：设P（m，n），则n=m3，求出函数的导数，可得切线的斜率，解m的方程可得m，n，即可得到P的坐标．详解：设P（m，n），则n=m3，y=x3的导数为y′=3x2，可得曲线y=x3在点P处的切线斜率为3m2，由题意可得3m2=3，解得m=±1，则m=1，n=1；m=﹣1，n=﹣1．即P（1，1），（﹣1，﹣1）．故答案为：、点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．14. 若曲线(为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：令y′≥0在（0，+∞）上恒成立可得a，根据右侧函数的值域即可得出a的范围．详解：y′=+2ax，x∈（0，+∞），∵曲线y=lnx+ax2（a为常数）不存在斜率为负数的切线，∴y′=≥0在（0，+∞）上恒成立，∴a≥﹣恒成立，x∈（0，+∞）．令f（x）=﹣，x∈（0，+∞），则f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（x）=﹣＜0，∴a≥0．故答案为：．点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 15. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线上一点，且轴，若的内切圆半径为，则其渐近线方程是__________．【答案】详解：由点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，设Rt△AF1F2内切圆半径为r，运用面积相等可得S=|AF2|•|F1F2|=r（|AF1|+|AF2|+|F1F2|），由勾股定理可得|AF2|2+|F1F2|2=|AF1|2，解得r=，，即∴渐近线方程是，故答案为：．16. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为__________．【答案】【解析】分析：设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得，开方得答案．详解：如图，设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a，则|AF2|=2a﹣m=（2﹣2）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4（2﹣）2a2+4（﹣1）2a2，∴c2=（9﹣6）a2，则e2==9﹣6=，∴e=．故答案为：．点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数，是否存在常数、，使在上取得最大值3，最小值？若存在，求出、的值，若不存在，请说明理由.【答案】，或，【解析】分析：由题意求导，讨论a以确定函数的单调性，从而确定最值，进而求得、的值.详解：由得：由得：或若，则在上是增函数，在上是减函数∴这时，，∴，解得若，则在上是减函数，在上是增函数∴这时，，∴，解得∴存在常数，或，满足题设条件.点睛：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，综合性强．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．18. 已知命题:实数满足，命题:实数满足方程表示的焦点在轴上的椭圆，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】【解析】分析：根据条件求出命题p，q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可．详解：由得：，即命题由表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得，即命题.因为是的充分不必要条件，所以或解得：，∴实数的取值范围是.点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据条件求出命题p，q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义建立不等式关系是解决本题的关键．19. 已知双曲线的右焦点是抛物线的焦点，直线与该抛物线相交于、两个不同的点，点是的中点，求(为坐标原点)的面积.【答案】【解析】分析：由双曲线方程可得右焦点，即为抛物线的焦点，可得抛物线的方程，利用点差法得到直线的斜率为联立直线方程，可得y的二次方程，解得，利用割补法表示的面积为，带入即可得到结果. 详解：∵ 双曲线的左焦点的坐标为∴的焦点坐标为，∴，因此抛物线的方程为设，，，则，∴∵为的中点，所以，故∴直线的方程为∵ 直线过点，∴，故直线的方程为，其与轴的交点为由得：，，∴的面积为.点睛：本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查直线方程与抛物线的方程联立，考查了点差法，考查了利用割补思想表示面积，以及化简整理的运算能力，属于中档题．20. 设椭圆经过点，其离心率.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于、两点，且的面积为，求的值.【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）由经过点P，得，由离心率为得=，再根据a2=b2+c2联立解方程组即可；（2）联立直线方程与椭圆方程消y，得，易知判别式△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），弦长公式及点到直线的距离公式可表示出△PAB的面积，令其为，即可解出m值，验证是否满足△＞0．详解：（1）解：由已知解得，，∴椭圆的方程为.（2）解：由得：由得：设，，则，∴又到的距离为，∴即，解得：.符合，故.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21. 设函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若，为整数，且当时，恒成立，其中为的导函数，求的最大值.【答案】(1)在单调递减，在上单调递增.(2)2.【解析】试题分析：（1）先求导数，根据a的大小讨论导函数是否变号：若a≤0，导函数恒非负，为单调增区间；若a＞0，导函数符号变化，先负后正，对应先减后增（2）分类变量得，再利用导数求最小值：在极小值点取最小值，根据极值定义得及零点存在定理确定范围，化简最小值为，并确定其范围为（2,3），因此可得正整数的最大值.试题解析：（1）函数f（x）=e x-ax-2的定义域是R，f′（x）=e x-a，若a≤0，则f′（x）=e x-a≥0，所以函数f（x）=e x-ax-2在（-∞，+∞）上单调递增若a＞0，则当x∈（-∞，lna）时，f′（x）=e x-a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=e x-a＞0；所以，f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增（2）由于a=1，令，，令，在单调递增，且在上存在唯一零点，设此零点为，则当时，，当时，，由，又所以的最大值为2点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）设，，若、与曲线分别交于异于原点的、两点，求的面积.【答案】(1);(2).【解析】试题分析：（1）将曲线的参数方程消去参数可得普通方程x2+y2-6x-8y=0，再化为极坐标方程可得。

湖北省襄阳市枣阳七中2017-2018学年高二(下)期末数学试卷(理科) Word版含解析

湖北省襄阳市枣阳七中2017-2018学年高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10题，每题5分，共计50分）1．函数f（x）=2x log2e﹣2lnx﹣ax+3的一个极值点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，2）C．（0，3）D．（0，2）2．下列中是真的是（）A．对∀x∈R，x2≥x B．对∀x∈R，x2＜xC．对∀x∈R，∃y∈R，y2＜x D．∃x∈R，对∀y∈R，xy=x3．若复数（1﹣i）（a+i）是实数（i是虚数单位），则实数a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．24．现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（）A．24 B．64 C．81 D．485．已知函数，则f（2）的最小值为（）A．B．16 C．D．6．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|=3|BF|，则l 的方程为（）A．y=x﹣1或y=﹣x+1 B．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）C．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）D．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）7．设m＞3，对于数列{a n} （n=1，2，…，m，…），令b k为a1，a2，…，a k中的最大值，称数列{b n} 为{a n} 的“递进上限数列”．例如数列2，1，3，7，5的递进上限数列为2，2，3，7，7．则下面中①若数列{a n} 满足a n+3=a n，则数列{a n} 的递进上限数列必是常数列；②等差数列{a n} 的递进上限数列一定仍是等差数列③等比数列{a n} 的递进上限数列一定仍是等比数列正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.29．若p是真，q是假，则（）A．p∧q是真B．p∨q是假C．﹁p是真D．﹁q是真10．设点P（x，y），则“x=2且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1=0上”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题（本大题共5题，每题5分，共计25分）11．函数y=f（x）在定义域（﹣2，4）内可导，其图象如图所示，设函数f（x）的导函数为f′（x），则不等式f′（x）＞0的解集为′．12．函数y=x3+x2﹣5x﹣5的单调递增区间是13．设a∈R，则“a＜1”是“a2＜1”成立的条件．（填充分不必要，必要不充分，充要条件或既不充分也不必要）14．二项式展开式中的第项是常数项．15．（x+）n的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式中的常数项是第项．三、解答题（75分）16．设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．17．p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．18．已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y﹣2=0．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当x＞1时，f（x）+＜0恒成立，求实数k的取值范围．19．已知直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆3x2+y2=a相交于A、B两个不同的点，记l与y轴的交点为C．（Ⅰ）若k=1，且|AB|=，求实数a的值；（Ⅱ）若=2，求△AOB面积的最大值，及此时椭圆的方程．20．已知函数f（x）=x（x﹣m）（x﹣n）．（I）当n=2时，若函数f（x）在[1，3]上单调递减，求实数m的取值范围；（II）若m＞n＞0，，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线f（x）均相切，求m和n的值．21．已知λ∈R，函数f（x）=lnx﹣，其中x∈[1，+∞）．（Ⅰ）当λ=2时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）在函数y=lnx的图象上取点P n（n，lnn）（n∈N*），记线段P n P n+1的斜率为k n，S n=++…+．对任意正整数n，试证明：（ⅰ）S n＜；（ⅱ）S n＞．湖北省襄阳市枣阳七中2014-2015学年高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10题，每题5分，共计50分）1．函数f（x）=2x log2e﹣2lnx﹣ax+3的一个极值点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，2）C．（0，3）D．（0，2）考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：求导f′（x）=2x﹣2﹣a，注意到其在（1，2）上是增函数，故可得f′（1）f′（2）＜0，从而解得．解答：解：∵f′（x）=2x﹣2﹣a在（1，2）上是增函数，∴若使函数f（x）=2x log2e﹣2lnx﹣ax+3的一个极值点在区间（1，2）内，则f′（1）f′（2）＜0，即（﹣a）（3﹣a）＜0，解得，0＜a＜3，故选C．点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了极值的定义，属于中档题．2．下列中是真的是（）A．对∀x∈R，x2≥x B．对∀x∈R，x2＜xC．对∀x∈R，∃y∈R，y2＜x D．∃x∈R，对∀y∈R，xy=x考点：四种的真假关系．专题：计算题．分析：对于所给的四个，可以看出，当x=时，不等式不成立，A不正确；当x=0时，不等式不成立，B不正确；当x是负数时，不等式不成立，C不正确，当x=0时，不管y取什么值，等式都成立，D正确．解答：解：A不正确，当x=时，不等式不成立；B不正确，当x=0时，不等式不成立，C不正确，当x是负数时，不等式不成立，D正确，当x=0时，不管y取什么值，等式都成立．故选D．点评：本题考查四种的真假关系，是一个基础题，这种的判断，对于假，只要举出一个反例，说明它不正确，对于正确的，需要加以证明．3．若复数（1﹣i）（a+i）是实数（i是虚数单位），则实数a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：由已知中复数（1﹣i）（a+i）是实数（i是虚数单位），我们可以根据该复数的虚部为0，构造出一个关于a的方程，解方程即可得到实数a的值．解答：解：∵复数（1﹣i）（a+i）=（a+1）+（1﹣a）i又由已知中复数（1﹣i）（a+i）是实数则1﹣a=0即a=1故选C点评：本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，及复数的基本概念，其中根据一个复数为实数，则该复数的虚部为0，构造出一个关于a的方程，是解答本题的关键．4．现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（）A．24 B．64 C．81 D．48考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；概率与统计．分析：4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，实际上是有4个人选择座位，且每人有3种选择方法，根据分步计数原理得到结果．解答：解：∵每位同学均有3种讲座可选择，∴4位同学共有3×3×3×3=81种，故选C．点评：本题考查分步计数原理，解题的关键是看清题目的实质，分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完成这n个步骤，这件事才算完成．5．已知函数，则f（2）的最小值为（）A．B．16 C．D．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由基本不等式a+b≥2（a＞0，b＞0）易于作答．解答：解：由题意知f（2）=8+8a+≥8+2×4=16（a＞0），所以f（2）的最小值为16．故选B．点评：本题考查基本不等式a+b≥2（a＞0，b＞0）．6．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|=3|BF|，则l 的方程为（）A．y=x﹣1或y=﹣x+1 B．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）C．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）D．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，可得抛物线焦点为F（1，0），由此设直线l方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联解消去x，得﹣y﹣k=0．再设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系和|AF|=3|BF|，建立关于y1、y2和k的方程组，解之可得k值，从而得到直线l的方程．解答：解：∵抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0），∴设直线l方程为y=k（x﹣1）由消去x，得﹣y﹣k=0设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2=，y1y2=﹣4…（*）∵|AF|=3|BF|，∴y1+3y2=0，可得y1=﹣3y2，代入（*）得﹣2y2=且﹣3y22=﹣4，消去y2得k2=3，解之得k=∴直线l方程为y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）故选：C点评：本题给出抛物线的焦点弦AB被焦点F分成1：3的两部分，求直线AB的方程，着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．7．设m＞3，对于数列{a n} （n=1，2，…，m，…），令b k为a1，a2，…，a k中的最大值，称数列{b n} 为{a n} 的“递进上限数列”．例如数列2，1，3，7，5的递进上限数列为2，2，3，7，7．则下面中①若数列{a n} 满足a n+3=a n，则数列{a n} 的递进上限数列必是常数列；②等差数列{a n} 的递进上限数列一定仍是等差数列③等比数列{a n} 的递进上限数列一定仍是等比数列正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：的真假判断与应用；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：举出反例数列{a n} 的前三项分别为1，2，3，可判断①；分类讨论等差数列的递进上限数列是否是等差数列，综合讨论结果，可判断②；举出反例数列{a n} 的首项为1，公比为﹣2，可判断③解答：解：若数列{a n} 的前三项分别为1，2，3，则数列{a n} 的递进上限数列是1，2，3，3，3，…不是常数列，故①错误；若等差数列的公差d≤0，则数列{a n} 的递进上限数列是各项均为a1的常数列，满足要求，若等差数列的公差d＞0，则数列{a n} 的递进上限数列是数列{a n}，满足要求，故②正确；若等比数列{a n} 的首项为1，公比为﹣2，则数列{a n} 的递进上限数列是，1，1，4，4，16，…不是等比数列，故③错误；故正确的有1个．故选：B点评：本题以的真假判断为载体，考查了等差数列与等比数列，真正理解新定义“递进上限数列”是解答的关键．8．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题．分析：根据随机变量X服从正态分布N（2，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的特点，得到P（0＜ξ＜2）=P（0＜ξ＜4），得到结果．解答：解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），μ=2，得对称轴是x=2．P（ξ＜4）=0.8∴P（ξ≥4）=P（ξ≤0）=0.2，∴P（0＜ξ＜4）=0.6∴P（0＜ξ＜2）=0.3．故选C．点评：本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．9．若p是真，q是假，则（）A．p∧q是真B．p∨q是假C．﹁p是真D．﹁q是真考点：复合的真假．专题：简易逻辑．分析：根据题意，由复合真假表，依次分析选项即可作出判断．解答：解：∵p是真，q是假，∴p∧q是假，选项A错误；p∨q是真，选项B错误；￢p是假，选项C错误；￢q是真，选项D正确．故选D．点评：本题考查复合的真假情况．10．设点P（x，y），则“x=2且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1=0上”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：直线与圆．分析：当x=2且y=﹣1”可以得到“点P在直线l：x+y﹣1=0上”，当点P在直线l：x+y﹣1=0上时，不一定得到x=2且y=﹣1，得到x=2且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1=0上”的充分不必要条件．解答：解：∵x=2且y=﹣1”可以得到“点P在直线l：x+y﹣1=0上”，当“点P在直线l：x+y﹣1=0上”时，不一定得到x=2且y=﹣1，∴“x=2且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1=0上”的充分不必要条件，故选A．点评：本题考查条件问题，本题解题的关键是看出点P在直线l：x+y﹣1=0上时，不能确定这个点的坐标的大小，本题是一个基础题．二、填空题（本大题共5题，每题5分，共计25分）11．函数y=f（x）在定义域（﹣2，4）内可导，其图象如图所示，设函数f（x）的导函数为f′（x），则不等式f′（x）＞0的解集为（﹣2，﹣）∪（，2）′．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：通过图象得出函数的单调递增区间，从而求出不等式的解集．解答：解：由图象得：f（x）在（﹣2，﹣），（，，2）递增，∴在（﹣2，﹣），（，，2）上f′（x）＞0，故f′（x）＞0的解集是：（﹣2，﹣）∪（，2），故答案为：（﹣2，﹣）∪（，2）．点评：本题考查了函数的单调性，考查数形结合思想，考查导数的应用，是一道基础题．12．函数y=x3+x2﹣5x﹣5的单调递增区间是考点：利用导数研究函数的单调性．分析：先对函数进行求导，然后令导函数大于0求出x的范围即可．解答：解：∵y=x3+x2﹣5x﹣5∴y'=3x2+2x﹣5令y'=3x2+2x﹣5＞0 解得：x＜﹣，x＞1故答案为：（﹣∞，﹣），（1，+∞）点评：本题主要考查导函数的正负和原函数的单调性的关系．属基础题．13．设a∈R，则“a＜1”是“a2＜1”成立的必要不充分条件．（填充分不必要，必要不充分，充要条件或既不充分也不必要）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：利用不等式的性质和充分必要条件的定义进行求解；解答：解：∵a2＜1”，可得﹣1＜a＜1，∴a2＜1⇒a＜1，若a＜1，可以取a=﹣2，可得（﹣2）2=4＞1，∴“a＜1”是“a2＜1”成立的必要不充分条件，故答案为：必要不充分；点评：此题主要考查不等式的基本性质和充分必要条件，是一道基础题；14．二项式展开式中的第九项是常数项．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项．解答：解：二项式的通项为T r+1=（x2）10﹣r（）r=2r x，令=0得r=8，故展开式中的常数项是第9项．故答案为：九．点评：本题考查二项展开式的通项公式，它是解决二项展开式的特定项问题的工具．15．（x+）n的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式中的常数项是第4项．考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得展开式中的常数项．解答：解：由题意可得，C n2﹣C n1=44，可求n=11，故（x+）n的展开式的通项公式为T r+1=•，令=0，求得r=3，可得展开式中的常数项是第第四项，故答案为：4．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．三、解答题（75分）16．设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．考点：复数的基本概念；复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：设出复数z，|z|=1可得一个方程，化简（3+4i）•z是纯虚数，又得到一个方程，求得z，然后求．解答：解：设z=a+bi，（a，b∈R），由|z|=1得；（3+4i）•z=（3+4i）（a+bi）=3a﹣4b+（4a+3b）i是纯虚数，则3a﹣4b=0，，．点评：本题考查复数的基本概念，复数的模，是基础题．17．p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；的否定；一元二次不等式的应用．专题：计算题．分析：利用不等式的解法求解出p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围．解答：解：x2﹣4ax+3a2=0对应的根为a，3a；由于a＜0，则x2﹣4ax+3a2＜0的解集为（3a，a），故p成立有x∈（3a，a）；由x2﹣x﹣6≤0得x∈[﹣2，3]，由x2+2x﹣8＞0得x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），故q成立有x∈（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）．若¬p是¬q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，因此有（3a，a）⊊（﹣∞，﹣4）或（3a，a）⊊[﹣2，+∞），又a＜0，解得a≤﹣4或；故a的范围是a≤﹣4或．点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，注意数形结合思想的运用．18．已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y﹣2=0．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当x＞1时，f（x）+＜0恒成立，求实数k的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）求导数得f′（x）=+b，由导数几何意义得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=f′（1）=，且f（1）=，联立求得a=1，b=﹣，从而确定f（x）的解析式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，不等式等价于lnx﹣+＜0，参变分离为k＜﹣xlnx，利用导数求右侧函数的最小值即可．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=alnx+bx，∴f′（x）=+b．∵直线x﹣2y﹣2=0的斜率为，且曲线y=f（x）过点（1，﹣），∴即解得a=1，b=﹣．所以f（x）=lnx﹣x；（Ⅱ）由（Ⅰ）得当x＞1时，f（x）+＜0恒成立即lnx﹣+＜0，等价于k＜﹣xlnx．令g（x）=﹣xlnx，则g′（x）=x﹣1﹣lnx．令h（x）=x﹣1﹣lnx，则h′（x）=1﹣．当x＞1时，h′（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，故h（x）＞h（1）=0．从而，当x＞1时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，故g（x）＞g（1）=．因此，当x＞1时，k＜﹣xlnx恒成立，则k≤．∴k的取值范围是（﹣∞，]．点评：本题考查了导数的综合应用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，及恒成立问题的应用，属于中档题．19．已知直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆3x2+y2=a相交于A、B两个不同的点，记l与y轴的交点为C．（Ⅰ）若k=1，且|AB|=，求实数a的值；（Ⅱ）若=2，求△AOB面积的最大值，及此时椭圆的方程．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）若k=1，联立直线和椭圆方程，结合相交弦的弦长公式以及|AB|=，即可求实数a的值；（Ⅱ）根据=2关系，结合一元二次方程根与系数之间的关系，以及基本不等式进行求解即可．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），（Ⅰ）由得4x2+2x+1﹣a=0，则x1+x2=，x1x2=，则|AB|==，解得a=2．（Ⅱ）由，得（3+k2）x2+2kx+1﹣a=0，则x1+x2=﹣，x1x2=，由=2得（﹣x1，1﹣y1）=2（x2，y2﹣1），解得x1=﹣2x2，代入上式得：x1+x2=﹣x2=﹣，则x2=，==，当且仅当k2=3时取等号，此时x2=，x1x2=﹣2x22=﹣2×，又x1x2==，则=，解得a=5．所以，△AOB面积的最大值为，此时椭圆的方程为3x2+y2=5．点评：本题主要考查椭圆方程的求解，利用直线方程和椭圆方程构造方程组，转化为根与系数之间的关系是解决本题的关键．20．已知函数f（x）=x（x﹣m）（x﹣n）．（I）当n=2时，若函数f（x）在[1，3]上单调递减，求实数m的取值范围；（II）若m＞n＞0，，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线f（x）均相切，求m和n的值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（I）把n=2，代入函数f（x）并对其进行化简，利用导数研究函数的增减性；（II）设出切点Q（x0，y0），根据导数与切线的关系，求出切线的方程，再根据直线垂直，斜率的关系，求出m和n；解答：解：（I）当n=2时，f（x）=x（x﹣m）（x﹣2）=x3﹣（m+2）x2+2mx．则f′（x）=3x2﹣2（m+2）x+2m，函数f（x）在[1，3]上单调递减，则有：，解得m≥，故实数m的取值范围是[，+∞）；（II）设切点Q（x0，y0），则切线的斜率，所以切线的方程是，又切线过原点，则，∴，解得x 0=0，或．两条切线的斜率为k 1=f'（0）=mn，∵k1k2=﹣1，∴（mn）2﹣2mn=﹣1，∴mn=1，由m＞n＞0，得，．点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及过莫点切线的求法，此题是一道中档题，考查的知识点比较多；21．已知λ∈R，函数f（x）=lnx﹣，其中x∈[1，+∞）．（Ⅰ）当λ=2时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）在函数y=lnx的图象上取点P n（n，lnn）（n∈N*），记线段P n P n+1的斜率为k n，S n=++…+．对任意正整数n，试证明：（ⅰ）S n＜；（ⅱ）S n＞．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用导数求函数的最小值；（Ⅱ）利用两点的连线的斜率公式得出k n，再利用（Ⅰ）的结论对S n放缩即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）λ=2时，，求导可得…（3分）所以，f（x）在（1，+∞）单调递增，故f（x）的最小值是f（1）=0．…（5分）（Ⅱ）依题意，．…（6分）（ⅰ）由（Ⅰ）可知，若取λ=2，则当x＞1时f（x）＞0，即．于是，即知．…（8分）所以．…（9分）（ⅱ）取λ=3，则，求导可得当x∈（1，2）时，f'（x）＜0，故f（x）在（1，2）单调递减．所以，x∈（1，2]时，f（x）＜f（1）=0，即．…（12分）注意到，对任意正整数n，，于是，即知．…（13分）所以．…（14分）点评：本题考查导数的性质的综合运用及运用导数法证明函数与不等式的综合问题的处理能力，解题时注意转化思想的运用．。

2017-2018年湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高一(下)期末数学试卷(解析版)

4．（5 分）设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 a1+a3+a5＝3，则 S5＝（ A．5 B．7 C．9 D．10
）
5．（5 分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 acosB＝bcosA，则△ABC 是（） B．直角三角形 D．等腰或直角三角形）
2．（5 分）已知关于 x 的不等式（ax﹣1）（x+1）＜0 的解集是（﹣∞，﹣1）∪（﹣ ，+ ∞），则 a＝（ A．2 ） B．﹣2 C．﹣ D．）
3．（5 分）在△ABC 中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC 的形状是（ A．锐角三角形 C．钝角三角形 B．直角三角形 D．非钝角三角形
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，则
2a+c 的最大值是
．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17 题 10 分，其余各题 12 分）. 17．（10 分）在△ABC 中，（Ⅰ）求角 B 的值；（Ⅱ）若 a＝4，b＝2 ，求 c 的值． sin2B＝2sin B
2
18．（12 分）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且 a1＝b1＝2，a3+a5＝22，b2b4＝b6．（Ⅰ）数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设 cn＝an﹣bn，求数列{cn}前 n 项和． 19．（12 分）在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧棱 PA⊥底面 ABCD，E，F 分别是 PB，PD 的中点，PA＝AD．
2017-2018 学年湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高一（下）期末数学试卷
一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5 分）若 a＞b，则下列正确的是（ A．a ＞b

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2017-2018学年湖北省襄阳市高一（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知，，则t和s的大小关系中正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：，故有，故选：D．化简的结果到完全平方的形式，判断符号后得出结论．本题考查完全平方公式的应用，用比较法证明不等式的方法，作差--变形--判断符号--得出结论． 2. 下列各式中，值为的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：；；；．值为的是．故选：A．利用倍角公式及两角和的正切分别求值，则答案可求．本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查倍角公式的应用，是基础题． 3. 下列结论正确的是 A. 若平面内有两条直线平行于平面，则平面 B. 直线l平行于平面，则直线l平行于平面内的任意一条直线 C. 存在两条异面直线同时平行于同一个平面 D. 直线平面，平面平面则直线平面【答案】C 【解析】解：若，则平面内所有平行于l的直线都与平面，故A错误，若直线l平行平面，则l与平面内的任一条直线有两种位置关系：平行、异面，故B错误，根据线面平行的判定，存在两条异面直线同时平行于同一个平面，故C正确，直线平面，平面平面则直线平面或，故D错误，故选：C．根据面面平行，面面平行，线面垂直，面面垂直的判定定理进行判断．本题主要考查对空间几何体的理解，进而刻画点、线、面的位置关系．

4. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：

．

故选：A．利用诱导公式及两角差的余弦化简求值．本题考查诱导公式的应用，考查了两角差的余弦，是基础题．

B. C. D.

【答案】C 【解析】解：，

，故选：C．利用裂项相消法可求得数列的和．本题考查数列求和，对数列，其中为等差数列，且公差，则． 6. 一个几何体挖去部分后的三视图如图所示，若其正视图和侧视图都是由三个边长为2的正三角形组成，则该几何体的表面积为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为圆台内部挖去一个圆锥，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，圆台的母线长为2，圆锥的母线长为2．该几何体的表面积为．故选：B．由三视图还原原几何体，可知原几何体为圆台内部挖去一个圆锥，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，圆台的母线长为2，圆锥的母线长为2，再由圆锥、圆台的侧面积及圆台底面积作和求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 7. 数列是等差数列，若，，构成公比为q的等比数列，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】解：设等差数列的公差为d，由，，构成等比数列，得：，整理得：

即．

化简得：，即．

．

故选：A．设出等差数列的公差，由，，构成公比为q的等比数列列式求出公差，则由化简得答案本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．

8. 有下面三组定义：有两个面平行，其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台；有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．其中正确定义的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】B 【解析】解：有两个面平行，其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；符合棱柱的定义，正确；用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台；不满足棱台的定义，必须两个面平行；不正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥必须满足这些三角形有一个公共顶点，所以不正确．故选：B．利用棱柱，棱锥，棱台的定义判断即可．本题考查棱柱、棱锥、棱台的定义的判断，是基本知识的考查．

9. 中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗羊主曰：“我羊食半马 ”马主曰：“我马食半牛 ”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求赔偿5斗栗羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半 ”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半 ”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还栗a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是 A. a，b，c依次成公比为2的等比数列，且 B. a，b，c依次成公比为2的等比数列，且 C. a，b，c依次成公比为的等比数列，且 D. a，b，c依次成公比为的等比数列，且【答案】D 【解析】解：由题意可知a，b，c依次成公比为的等比数列，则，解得，，故选：D．由题意可知a，b，c依次成公比为的等比数列，根据等比数列的求和公式即可求出本题考查了等比数列在数学文化中的应用，属于基础题． 10. 如图，点P、Q分别是正方体的面对角线、BD的中点，则异面直线PQ和所成的角为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：如图所示，连接，则 C. 连接，，则是等边三角形， C. 则是异面直线PQ和所成的角，为．故选：C．如图所示，连接，则， C.则是异面直线PQ和所成的角．本题考查了正方体的性质、空间角、等边三角形的性质，考查了推理能力应用计算能力，属于中档题．

11. 已知，，，，则 A. B. C. D.

【答案】D

【解析】解：已知，，

，，

，．

，

故选：D．由题意利用同角三角函数的基本关系，求得

和的值，再利用诱导公式、两角和差的三角公式，求

得的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，属于基础题．

12. 已知数列的前n项和，且，对一切正整数n都成立，记的前n项和为，则数列

中的最大值为

A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：当时，，当时，得：，得，

若，则由知，舍去．若，则，又，联立可得：，．由，时，，相减可得：，化为：．数列是等比数列，公比为，首项为．数列是等比数列，公比为，首项为．的前n项和为．为奇数为偶数．当n为奇数时，可得数列为单调递增数列，且故．当n为偶数时，可得数列为单调递减数列，且故．综上可得：．则数列中的最大值为．故选：A．当时，；当时，得：，相减得，对分类讨论可得，又，联立可得：，由，时，，相减可得：，化为：可得数列是等比数列，公比为，首项为．的前n项和为可得为奇数为偶数对n分类讨论，利用数列单调性即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 不等式的解集是______．【答案】【解析】解：不等式可化为，解得，不等式的解集是．故答案为：．把不等式化为，写出解集即可．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．

14. 有一个用橡皮泥制作的半径为4的球，现要将该球所用的橡皮泥制作成一个圆柱和一个圆锥，使圆柱和圆锥有相同的底面半径和相等的高，若它们的高为8，则它们的底面半径是______．【答案】

【解析】解：由已知可得球的体积为．设圆柱和圆锥的底面半径为r，则圆柱和圆锥的体积和为，解得，故答案为：．由已知可得球的体积，设圆柱和圆锥的底面半径为r，再由体积相等列式求解．本题考查多面体及旋转体体积的求法，是基础的计算题．

15. 已知向量，，若，则 ______．【答案】【解析】解：向量，，，

，

．故答案为：．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查正弦函数值的求法，考查向量垂直的性质、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 16. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，的面积为，则当的值最小时的周长为______．【答案】【解析】解：在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，，解得，的面积为，，解得，，当且仅当时，取最小值，此时，当的值最小时的周长为：．故答案为：．推导出，由余弦定理求出，由的面积为，求出，当且仅当时，取最小值，由此能求出当的值最小时的周长．本题考查当三角形两边和最小时三角形周长的求法，考查余弦定理、三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 在等差数列中，已知公差，，．求数列的通项公式；求数列的前n项和．【答案】解：在等差数列

中，公差，，，可得，，

解得，，

可得

，

则

；

当时，，

等差数列

的前n项和为，当时，数列

的前n项和；

当时，．【解析】由等差数列的性质可得，，解得，，由等差数列的通项公式可得公

差d，进而得到所求通项；讨论当时，，当时，，运用等差数列的求和公式，即可得到所求和．

本题考查等差数列的性质和通项公式的求法，注意运用方程思想和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．

18. 已知三内角A、B、C对应的边为a、b、c，且

．

求角A；

当时，求的取值范围．

【答案】解：，即，即，

，即，

，则，所以，

，

，因此，

；