高考数学复习考点知识题型归类与专题训练61---解析几何
高考数学《解析几何》专项训练及答案解析
高考数学《解析几何》专项训练一、单选题1．已知直线l 过点A （a ，0）且斜率为1，若圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( )A ．B ．±C ．2±D ．2．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，过右焦点F 的直线与两条渐近线分别交于A ，B ，且AB BF =uu u r uu u r，则直线AB 的斜率为（ ） A ．13-或13B ．16-或16C ．2D ．163．已知点P 是圆()()22:3cos sin 1C x y θθ--+-=上任意一点，则点P 到直线1x y +=距离的最大值为（ ）AB ．C 1D 2+4．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．(C ．33⎡-⎢⎣⎦D ．33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭5．已知抛物线C ：22x py =的焦点为F ，定点()M ，若直线FM 与抛物线C 相交于A ，B 两点(点B 在F ，M 中间)，且与抛物线C 的准线交于点N ，若7BN BF =，则AF 的长为（ ）A ．78B ．1C ．76D6．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2-BC ．2D7．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为（ ）A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x =8．已知离心率为2的椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且斜率为1的直线与椭圆E 在第一象限内的交点为A ，则2F 到直线1F A ，y 轴的距离之比为（ ）A ．5B ．35C ．2D二、多选题9．已知点A 是直线:0l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（ ）A ．(B ．()1C ．)D ．)1,110．已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，F ，直线l 与抛物线C交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ） A ．4p = B ．DF FA =uuu r uu rC ．2BD BF = D ．4BF =三、填空题11．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________．12．已知圆()2239x y -+=与直线y x m =+交于A 、B 两点，过A 、B 分别作x 轴的垂线，且与x轴分别交于C 、D 两点，若CD =m =_____．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，()2,3A 为C 上一点，则C 的渐近线方程为__________.14．已知抛物线()220y px p =>，F 为其焦点，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于,A B 两点，1A 、1B 分别为A 、B 在l 上的射影，M 为11A B 的中点，给出下列命题： （1）11A F B F ⊥；（2）AM BM ⊥；（3）1//A F BM ；（4）1A F 与AM 的交点的y 轴上；（5）1AB 与1A B 交于原点. 其中真命题的序号为_________.四、解答题15．已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点(0,Q 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l 过定点.16．已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上运动，求1122PF PF PF PF +⋅u u u r u u u u r的值；（2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB ∆、COD ∆的面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围．参考答案1．D 【解析】 【分析】因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，即圆心到直线l 的距离为1，根据点到直线的距离公式即可求出a 的值． 【详解】直线l 的方程为：y x a =-即0x y a --=．因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，而圆的半径为2，即圆心到直线l 的距离为1．1=，解得a =故选：D ． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式的应用，解题关键是将圆上存在3个点到l 的距离为1转化为两条直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力与数学运算能力，属于中档题． 2．B 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，根据AB BF =u u u r u u u r，得到B 为AF 中点，得到B 与A 的坐标关系，代入到渐近线方程中，求出A 点坐标，从而得到AB 的斜率，得到答案. 【详解】因为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，又222c e a =22514b a =+=，所以12b a =，所以双曲线渐近线为12y x =± 当点A 在直线12y x =-上，点B 在直线12y x =上时， 设(),A A Ax y (),B B B x y ，由(c,0)F 及B 是AF 中点可知22A B A B x c x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，分别代入直线方程，得121222A A A A y x y x c ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得24A Ac x c y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以,24c c A ⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以直线AB 的斜率AB AFk k =42cc c =--16=-，由双曲线的对称性得，16k =也成立. 故选：B. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，坐标转化法求点的坐标，属于中档题. 3．D 【解析】 【分析】计算出圆心C 到直线10x y +-=距离的最大值，再加上圆C 的半径可得出点P 到直线10x y +-=的距离的最大值. 【详解】圆C 的圆心坐标为()3cos ,sin θθ+，半径为1，点C 到直线10x y +-=的距离为sin 14d πθ⎛⎫===++≤+ ⎪⎝⎭因此，点P 到直线1x y +=距离的最大值为12122++=+. 故选：D. 【点睛】本题考查圆上一点到直线距离的最值问题，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则圆上一点到直线的距离的最大值为d r +，最小值为d r -，解题时要熟悉这个结论的应用，属于中等题. 4．D 【解析】设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径22411k k d k -=≤+，得222141,3k k k ≤+≤，选择C 另外，数形结合画出图形也可以判断C 正确． 5．C 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出AB 的斜率，得到AB 的方程，求得p ，可得抛物线方程，联立直线方程与抛物线方程，求解A 的坐标，再由抛物线定义求解AF 的长． 【详解】解：如图，过B 作'BB 垂直于准线，垂足为'B ，则'BF BB =，由7BN BF =，得7'BN BB =，可得1sin 7BNB '∠=， 3cos 7BNB '∴∠=-，tan 43BNB '∠=又()23,0M ，AB ∴的方程为2343y x =-， 取0x =，得12y =，即10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1p =，∴抛物线方程为22x y =． 联立223432y x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得23A y =．12172326A AF y ∴=+=+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 6．D 【解析】 【分析】设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出22,22P c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点， 由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x 轴对称，由于四边形PQMN 为正方形，则直线PM 的倾斜角为4π，可得,22P c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得2222122c c a b -=，即()22222122c c a c a -=-， 设该双曲线的离心率为()1e e >，则()2221221e e e -=-，整理得42420e e -+=，解得22e =，因此，双曲线C 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题. 7．C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，表示出MF ，再表示出MD ，利用5sin 7MFA ∠=，得到0x 和p 之间的关系，将M 点坐标，代入到抛物线中，从而解出p 的值，得到答案.【详解】抛物线C ：22(0)y px p =>， 其焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程2p x =-，因为点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点， 所以02p MF x =+AB所在直线2p x =， 设MD AB ⊥于D ，则02p MD x =-， 因为5sin 7MFA ∠=，所以57 MD MF=，即5272pxpx-=+整理得03x p=所以()3,66M p将M点代入到抛物线方程，得()26623p p=⨯，0p>解得6p=，所以抛物线方程为212y x=故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与圆的位置关系，求抛物线的标准方程，属于中档题.8．A【解析】【分析】结合椭圆性质，得到a,b,c的关系，设2AF x=，用x表示112,AF F F,结合余弦定理，用c表示x，结合三角形面积公式，即可。
高三数学总复习《解析几何》
考向精测
1.已知圆C的方程为x2+y2-2x-3=0,直线l经过点(2, 3 )和圆C的
圆心,则直线l的倾斜角等于( )
A.30°
B.60°
C.120° D.150°
答案:B
变 式 3 :已 知 点 A 1 ,0 ,直 线 l:y 2 x 4 ,点 R 是 直 线 l
上 的 一 点 ,若 R A A P ,则 点 P 的 轨 迹 方 程 为 （ ）
A.y=-2x
B.y=2x
C.y=2x-8
D.y=2x+4
答案:B
解析 : 本题是一道平面解析几何问题.
RA AP, R , A, P三点共线, 且A为RP的中点,
(2)直线的斜率:我们将直线倾斜角α的正切值tanα叫做直线的 斜率. 直线的斜率可以用来刻画不与x轴垂直的直线的倾斜程度. 当倾斜角0°≤α<90°时,斜率是非负的,倾斜角越大,直线的斜 率就越大;当倾斜角90°<α<180°时,斜率是负的,倾斜角越 大,直线的斜率就越大.
(3)过两点的直线斜率的计算公式:
3
2设直线方程为y 2x b,
令x 0,得y b,令y 0,得x b , 2
S 1 b b b2 4, 解 得 b 4. 2 24
直 线 方 程 为 y 2x 4或 y 2x 4.
点评:求直线方程要注意灵活选用直线方程的形式,注意题目 中的隐含条件.求直线方程的基本方法包括利用条件直接求直 线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量.
ab
(6)一般式:Ax+By+C=0(A、B不同时为0).
考点训练 1.如图所示,若直线l1,l2,l3的斜率分别是k1,k2,k3,则( ) A.k1<k2<k3 B.k2<k1<k3 C.k3<k1<k2 D.k1<k3<k2
高考数学大二轮复习专题六解析几何6.1直线与圆练习
6.1 直线与圆【课时作业】A 级1．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3x ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为( )A.423 B ．4 2C.823D ．2 2解析： 由l 1∥l 2，得1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1， 所以l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝832.答案： C2．已知直线l ：y ＝x ＋1平分圆C ：(x －1)2＋(y －b )2＝4的周长，则直线x ＝3与圆C 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定解析： 由已知得，圆心C (1，b )在直线l ：y ＝x ＋1上，所以b ＝1＋1＝2，即圆心C (1,2)，半径为r ＝2.由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切．答案： B3．光线从点A (－3,4)发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，最后经过点B (－2,6)，则经y 轴反射的光线的方程为( )A ．2x ＋y －2＝0B ．2x －y ＋2＝0C ．2x ＋y ＋2＝0D ．2x －y －2＝0解析： ∵点A (－3,4)关于x 轴的对称点A 1(－3，－4)在经过x 轴反射的光线上，同样点A 1(－3，－4)关于y 轴的对称点A 2(3，－4)在经过y 轴反射的光线上，∴kA 2B ＝6＋4－2－3＝－2.故所求直线的方程为y －6＝－2(x ＋2)，即2x ＋y －2＝0，故选A.答案： A4．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析： 圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)可化为：x 2＋(y －a )2＝a 2，由题意，d ＝a2，所以有，a 2＝a 22＋2，解得a ＝2.所以圆M ：x 2＋(y －2)2＝22，圆心距为2，半径和为3，半径差为1，所以二者相交．答案： B5．(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]解析： 设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ，则圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2.由已知条件可得AB ＝22，所以△ABP 面积的最大值为12AB ·d max＝6，△ABP 面积的最小值为12AB ·d min ＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]．故选A. 答案： A6．(2018·全国卷Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析： 由x 2＋y 2＋2y －3＝0，得x 2＋(y ＋1)2＝4. ∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2. 答案： 2 27．已知直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为________．解析： 直线l 1的斜率k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以直线l 2的斜率k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x－2)，联立直线l 1与l 2，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋2，y ＝－3x －2，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)．答案： (1，3)8．过点C (3,4)作圆x 2＋y 2＝5的两条切线，切点分别为A ，B ，则点C 到直线AB 的距离为________．解析： 以OC 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522，AB 为圆C 与圆O ：x 2＋y2＝5的公共弦，所以AB 的方程为x 2＋y 2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y －22＝5－254，化为3x ＋4y －5＝0，C 到AB 的距离为d ＝|3×3＋4×4－5|32＋42＝4. 答案： 49．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0.求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等． 解析： (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0，即a 2－a －b ＝0.① 又点(－3，－1)在l 1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②得，a ＝2，b ＝2.(2)由题意知当a ＝0或b ＝0时不成立． ∵l 1∥l 2，∴a b＝1－a ，∴b ＝a1－a， 故l 1和l 2的方程可分别表示为 (a －1)x ＋y ＋4a －1a ＝0，(a －1)x ＋y ＋a1－a＝0， 又原点到l 1与l 2的距离相等， ∴4⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1－a ，∴a ＝2或a ＝23，∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.10．已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．解析： (1)如图所示， |AB |＝43，将圆C 方程化为标准方程为(x ＋2)2＋(y －6)2＝16， 所以圆C 的圆心坐标为(－2,6)，半径r ＝4， 设D 是线段AB 的中点，则CD ⊥AB ，所以|AD |＝23，|AC |＝4.C 点坐标为(－2,6)． 在Rt △ACD 中，可得|CD |＝2.若直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0. 由点C 到直线AB 的距离公式：|－2k －6＋5|k 2＋－12＝2，得k ＝34. 故直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0. 所以所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0. (2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D (x ，y )， 则CD ⊥PD ，即CD →·PD →＝0，所以(x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.B 级1．(2018·贵阳市适应性考试(一))已知直线l ：ax －3y ＋12＝0与圆M ：x 2＋y 2－4y ＝0相交于A ，B 两点，且∠AMB ＝π3，则实数a ＝________.解析： 直线l 的方程可变形为y ＝13ax ＋4，所以直线l 过定点(0,4)，且该点在圆M上．圆的方程可变形为x 2＋(y －2)2＝4，所以圆心为M (0,2)，半径为2.如图，因为∠AMB ＝π3，所以△AMB 是等边三角形，且边长为2，高为3，即圆心M 到直线l 的距离为3，所以|－6＋12|a 2＋9＝3，解得a ＝± 3. 答案： ± 32．(2018·贵阳市摸底考试)过点M (2,2)的直线l 与坐标轴的正方向分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积为8，则△OAB 外接圆的标准方程是________________．解析： 法一：设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，由直线l 过点M (2,2)，得2a ＋2b＝1.又S △OAB ＝12ab ＝8，所以a ＝4，b ＝4，不妨设A (4,0)，B (0,4)，△OAB 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则将O ，A ，B 的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，16＋4E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＝－4，E ＝－4，所以△OAB 外接圆的方程为x 2＋y 2－4x －4y ＝0，标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8.法二：设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，由直线l 过点M (2,2)，得2a ＋2b＝1.又S△OAB＝12ab ＝8，所以a ＝4，b ＝4，所以△OAB 是等腰直角三角形，且M 是斜边AB 的中点，则△OAB 外接圆的圆心是点M (2,2)，半径|OM |＝22，所以△OAB 外接圆的标准方程是(x －2)2＋(y －2)2＝8.答案： (x －2)2＋(y －2)2＝83．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r >0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值．解析： (1)设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0.则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2， 将点P 的坐标代入得r 2＝2， 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2. (2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，且PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2， 令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，则PQ →·MQ →＝x ＋y －2＝2(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2. 所以PQ →·MQ →的最小值为－4.4．已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ＋3y －29＝0相切．(1)设直线ax －y ＋5＝0与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；(2)在(1)的条件下，是否存在实数a ，使得过点P (－2,4)的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．解析： (1)设圆心为M (m,0)(m ∈Z )．∵圆与直线4x ＋3y －29＝0相切，且圆的半径为5， ∴|4m －29|42＋32＝5，即|4m －29|＝25. ∵m 为整数，∴m ＝1.∴圆的方程是(x －1)2＋y 2＝25. 将ax －y ＋5＝0变形为y ＝ax ＋5， 并将其代入圆的方程，消去y 并整理， 得(a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0.由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点，故Δ＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)>0，即12a 2－5a >0， 解得a <0或a >512.∴实数a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞. (2)设符合条件的实数a 存在． 由(1)得a ≠0，则直线l 的斜率为－1a.∴直线l 的方程为y ＝－1a(x ＋2)＋4，即x ＋ay ＋2－4a ＝0.∴直线l 垂直平分弦AB ，∴圆心M (1,0)必在直线l 上． ∴1＋0＋2－4a ＝0，解得a ＝34.∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞， ∴存在实数a ＝34，使得过点P ()－2，4的直线l 垂直平分弦AB .。
高考数学复习专题六解析几何6.1直线与圆市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
由题意得到△ABC 为等腰直角三角形,
∴
圆心 C(m,0)到直线 2x+my-8=0
的距离 d=rsin 45°,
切线长最小值为
.
即
|2-8|
4+2
= 2,解得 m=2 或 14.
(2)当直线上的点到圆心(2,-1)的距离最短时,切线长最小,此时,圆心
|3×2-4×(-1)+5|
到直线的距离 d=
3 2
1 3-2
1 2 1
1
A.
B.
(当且仅
=
·
2
+
≥
+
+
(a+b)· 4 + =
4
2
2 2
2 2 2 2
2
2
3+2 2
3+2 2
C. 2
D. 4
当 b= 2a 时取“=”),故选 D.
关闭
6
(2)已知直线l方程是x+y-6=0,A,B是直线l上两点,且△OAB是正
O 到直线的距离 d= =3 2,故△OAB 外接圆心 C 在直线
规律方法1.求直线方程方法
(1)直接法:直接选取恰当直线方程形式,写出结果;
(2)待定系数法:即先由直线满足一个条件设出直线方程,使方程
中含有待定系数,再由题目中其它条件求出待定系数.
2.两条直线平行与垂直判定
(1)若两条不重合直线l1,l2斜率k1,k2存在,则
l1∥l2⇔k1=k2,l1⊥l2⇔k1k2=-1;
分析问题与处理问题能力.
考向预测:浙江省直线与圆问题普通以直线与圆位置关系为主,
难度不大,题型主要是选择题或者填空题;解答题中也有考查直线
2019届高考数学总复习第九单元解析几何第61讲求轨迹方程的基本方法检测
第61讲 求轨迹方程的基本方法1．已知点A (－2,0)、B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是(D)A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线PA →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )，因为PA →·PB →＝x 2，所以(－2－x )·(3－x )＋y 2＝x 2，即y 2＝x ＋6.2．已知F 1(－1,0)、F 2(1,0)，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹是(A)A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段由于|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4>2，所以P 点轨迹为椭圆．3．曲线f (x ，y )＝0关于直线x －y ＋2＝0对称曲线的方程是(D)A ．f (x ＋2，y )＝0B ．f (x －2，y )＝0C ．f (y ＋2，x －2)＝0D ．f (y －2，x ＋2)＝0设(x 0，y 0)是f (x ，y )＝0上任一点，它关于x －y ＋2＝0的对称点为(x ，y )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，y －y 0x －x 0＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝y －2，y 0＝x ＋2.又f (x 0，y 0)＝0，所以f (y －2，x ＋2)＝0.4．设A 1、A 2是椭圆x 29＋y 24＝1长轴的两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为(C)A.x 29＋y 24＝1B.y 29＋x 24＝1 C.x 29－y 24＝1 D.y 29－x 24＝1设交点为P (x ，y )，A 1(－3,0)，A 2(3,0)，P 1(x 0，y 0)，P 2(x 0，－y 0)．因为A 1、P 1，P 三点共线，所以y －y 0x －x 0＝y x ＋3，① 因为A 2、P 2，P 三点共线，所以y ＋y 0x －x 0＝y x －3，② 解①②得x 0＝9x ，y 0＝3y x ，代入x 209＋y 204＝1， 化简得x 29－y 24＝1. 5．在圆x 2＋y 2＝9中，过已知点P (1,2)的弦的中点的轨迹方程为 (x －12)2＋(y －1)2＝54.设弦的中点为M ，则OM ⊥PM .所以M 在以OP 为直径的圆上，故所求轨迹方程为(x －12)2＋(y －1)2＝54. 6．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆在x 轴上截得的线段长为22，在y 轴上截得的线段长为23，则圆心P 的轨迹方程为 y 2－x 2＝1 .设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题意y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3，所以P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.7．设点F (2,0)，动点P 到y 轴的距离为d ，求满足条件|PF |－d ＝2的点P 的轨迹方程．(方法一)设P 的坐标为(x ，y )，由|PF |＝2＋d ，得x －2＋y 2＝2＋|x |，即(x －2)2＋y 2＝(2＋|x |)2.所以y 2＝4|x |＋4x .当x ≥0时，y 2＝8x ；当x <0时，y 2＝0即y ＝0.故所求轨迹方程为y 2＝8x (x ≥0)和y ＝0(x <0)．(方法二)由题意|PF |＝2＋d ，当P 在y 轴右侧时，可转化为|PF |＝x ＋2，即点P 到定点F 的距离等于到定直线l ：x ＝－2的距离，所以点P 在抛物线y 2＝8x 上．当P 点在y 轴左侧时，|PF |＝2－x ， 即点P 到F (2,0)的距离等于P 到直线x ＝2的距离，从而有y ＝0(x <0)．综上可知，所求轨迹方程为y 2＝8x (x ≥0)和y ＝0(x <0)．8．点P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆上的一点，过焦点F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为点M ，则点M 的轨迹是(D)A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线D ．圆连接OM ，延长F 2M 交F 1P 的延长线于点Q ，则|PQ |＝|PF 2|.所以|QF 1|＝|PF 1|＋|PQ |＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a .因为OM 为△F 1F 2Q 的中位线，所以|OM |＝12|QF 1|＝a . 因此点M 的轨迹是圆．故选D. 9．直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1交于P 、Q 两点，已知l 的斜率为1，则弦PQ 中点的轨迹方程为 x ＋4y ＝0(－455＜x ＜455) . 设M (x ，y )为PQ 中点，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x 214＋y 21＝1， ①x 224＋y 22＝1. ② ①－②，得k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－14x 1＋x 2y 1＋y 2＝－14·2x 2y＝1. 所以x ＋4y ＝0. 则M (x ，－x4)，因为M 在椭圆内， 所以x 24＋(－x 4)2＜1，解得－455＜x ＜455.所以所求轨迹方程为x ＋4y ＝0(－455＜x ＜455)． 10．(2016·新课标卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．由题意知F (12，0)．设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A (a 22，a )，B (b 22，b )，P (－12，a )，Q (－12，b )，R (－12，a ＋b2)．记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.(1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba ＝－b ＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a ||x 1－12|，S △PQF ＝|a －b |2.由题设可得2×12|b －a ||x 1－12|＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D (1,0)重合．所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.。
专题61直线与圆的方程及位置关系(解密讲义)2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测(原卷版)
专题61 直线与圆的方程及位置关系01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧） 02考情分析·解密高考03高频考点·以考定法（五大命题方向+5道高考预测试题）考点一直线与方程➢ 命题点1 方程组解的个数与两直线的位置关系（共1小题） ➢ 命题点2 两条平行直线间的距离（共1小题） ➢ 命题点3两直线的夹角（共1小题） ➢ 高考猜题 考点二 圆与方程➢ 命题点1 圆的一般方程（共3小题） ➢ 命题点2 直线与圆的位置关系（共1小题） ➢ 高考猜题04创新好题·分层训练精选20道最新名校模拟试题+8道自招提升）真题多维细目表考点一 直线与方程命题点1方程组解的个数与两直线的位置关系典例01 （2022•上海）若关于x，y的方程组有无穷多解，则实数m的值为．命题点2 两条平行直线间的距离典例02（2020•上海）已知直线l1：x+ay＝1，l2：ax+y＝1，若l1∥l2，则l1与l2的距离为．命题点3两直线的夹角典例03（2021•上海）直线x＝﹣2与直线x﹣y+1＝0的夹角为．预计2024年高考直线与方程方向进行命制.1．平行直线与之间的距离为．2．直线y＝2与直线3x﹣y+1＝0的夹角的正弦值为．考点二圆与方程命题点1 圆的一般方程典例04（2023•上海）已知圆x2+y2﹣4x﹣m＝0的面积为π，则m＝．典例05（2023•上海）已知圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，则圆C的半径为．典例06（2021•上海）若x2+y2﹣2x﹣4y＝0，求圆心坐标为．命题点2 直线与圆的位置关系典例07（2022•上海）设集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}①存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧；②存在直线l，使得集合Ω中存在无数点在l上；（）A．①成立②成立B．①成立②不成立C．①不成立②成立D．①不成立②不成立判断直线与圆的位置关系常见的方法：(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程随后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．预计2024年高考圆与方程方向进行命制.3.以抛物线y2＝4x的焦点为圆心、且与该抛物线的准线相切的圆的方程为．4．（2023•浦东新区校级一模）圆x2+y2﹣2x+4y＝0的圆心到直线3x+4y﹣5＝0的距离等于．5．已知曲线C1：|y|＝x+2与曲线C2：（x﹣a）2+y2＝4恰有两个公共点，则实数a的取值范围为．（★精选20道最新名校模拟考试题+8道自招提升）1．（2023•黄浦区校级三模）若直线y＝3x的倾斜角为α，则sin2α的值为．2．（2023•浦东新区校级三模）若是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角大小为．3．（2023•闵行区校级一模）若直线l的一个法向量为，则直线l的倾斜角为．4．（2023•浦东新区校级模拟）过点（3，﹣2）且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为．5．（2023•徐汇区校级三模）已知直线l1：（m﹣2）x﹣3y﹣1＝0与直线l2：mx+（m+2）y+1＝0相互平行，则实数m的值是．6．（2023•奉贤区二模）“a＝2”是“直线y＝﹣ax+2与直线垂直”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件7．（2023•黄浦区二模）若直线（a﹣1）x+y﹣1＝0与直线3x﹣ay+2＝0垂直，则实数a的值为（）A．B．C．D．8．（2023•长宁区校级三模）已知直线l1：x+y＝0和l2：2x﹣ay+3＝0（a∈R），若l1⊥l2，则a＝．9．（2023•徐汇区校级三模）已知直线l1：x+y＝0，l2：ax+2y+1＝0，若l1⊥l2，则a＝．10．（2023•青浦区二模）过点P（﹣1，3），与直线垂直的直线方程为．11．（2023•浦东新区校级模拟）已知|A1A2|＝1，当n≥2时，A n+1是线段A n A n﹣1的中点，点P在所有的线段A n A n+1上，则|A1P|＝．12．（2023•徐汇区校级三模）已知两个函数的图像相交于A，B两点，若动点P满足，则（O为坐标原点）的最小值为．13．（2023•闵行区校级一模）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知动点P（m，n）在圆O：x2+y2＝1上，若点，点C （1，1），则2|P A|+|PC|的最小值为．14．（2023•普陀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣6x+5＝0，点A，B在圆上，且AB＝2则||的取值范围是．15．（2023•嘉定区校级三模）若P，Q分别是抛物线x2＝y与圆（x﹣3）2+y2＝1上的点，则|PQ|的最小值为．16．（2023•浦东新区校级三模）已知三条直线l1：x﹣2y+2＝0，l2：x﹣2＝0，l3：x+ky＝0将平面分为六个部分，则满足条件的k的值共有（）A．1个B．2 个C．3个D．无数个17．（2023•静安区二模）设直线l1：x﹣2y﹣2＝0与l2关于直线l：2x﹣y﹣4＝0对称，则直线l2的方程是（）A．11x+2y﹣22＝0B．11x+y+22＝0C．5x+y﹣11＝0D．10x+y﹣22＝018．（2023•宝山区校级模拟）如图所示，圆心为原点O的单位圆的上半圆周上，有一动点P（x，y）（y＞0）．设A（1，0），点B是P关于原点O的对称点．分别连结P A、PB、AB，如此形成了三个区域，标记如图所示．使区域Ⅰ的面积等于区域Ⅱ、Ⅲ面积之和的点P的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个19．（2023•黄浦区模拟）已知圆C：x2+y2＝4，点P（2，2）．（1）直线l过点P且与圆C相交于A，B两点，若，求直线l的方程；（2）若动圆D经过点P且与圆C外切，求动圆的圆心D的轨迹方程；（3）是否存在异于点P的点Q，使得对于圆C上任意一点M，均有为常数？若存在，求出点Q坐标和常数λ的值；若不存在，也请说明理由．20．（2023•松江区校级模拟）在平面直角坐标系中，已知⊙C的方程为x2+y2﹣2mx+（10﹣2m）y+10m﹣29＝0，平面内两定点E（1，0）、G（6，）．当⊙C的半径取最小值时：（1）求出此时m的值，并写出⊙C的标准方程；（2）在x轴上是否存在异于点E的另外一个点F，使得对于⊙C上任意一点P，总有为定值？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明你的理由；（3）在第（2）问的条件下，求μ＝﹣2|PE|的取值范围．1．（2020•上海自主招生）已知边长为a的正三角形ABC，D，E分别在边AB，BC上，满足AD＝BE＝，联结AE，CD，则AE和CD的夹角为．2．（2020•上海自主招生）△ABC的顶点坐标分别为A（3，4），B（6，0），C（﹣5，﹣2），则角A的平分线所在的直线方程为．3．（2020•上海自主招生）当实数x、y满足x2+y2＝1时，|x+2y﹣a|+|a+6﹣x﹣2y|的取值与x、y均无关，则实数a的取值范围是．4．（2020•上海自主招生）若k＞4，直线kx﹣2y﹣2k+8＝0与2x+k2y﹣4k2﹣4＝0和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是．5．（2020•上海自主招生）已知直线m：y＝x cos a和n：3x+y＝c，则有（）A．m与n可能重合B．m与n不可能垂直C．直线m上存在一点P，使得直线n以P为中心旋转后与m重合D．以上都不对6．（2020•上海自主招生）已知直线m：y＝x cosα和n：3x+y＝c，则（）A．m和n可能重合B．m和n不可能垂直C．存在直线m上一点P，以P为中心旋转后与n重合D．以上都不对7．（2020•上海自主招生）若三条直线x﹣2y+2＝0，x＝2，x+ky＝0将平面划分成6个部分，则k可能的取值情况是（）A．只有唯一值B．有两个不同的值C．有三个不同的值D．无穷多个值8．（2022•上海自主招生）⊙O1，⊙O2与y＝kx，x轴正半轴均相切，r1r2＝2，交点P（2，2），则k＝（）A．1B．C．D．。
2021高考数学 专题六 6-1解析几何名师指导历炼试题 理（含解析）新人教A版(1)
2021高考数学 专题六 6-1解析几何名师指导历炼试题 理（含解析）新人教A 版1．(背景新)将一颗骰子抛掷两次，第一次显现的点数记为a ，第二次显现的点数记为b ，设两条直线l 1：ax ＋by ＝2，l 2：x ＋2y ＝2平行的概率为P 1，相交的概率为P 2，那么复数P 1＋P 2i 所对应的点P 与直线l 2：x ＋2y ＝2的位置关系是( )A ．P 在直线l 2的右下方B ．P 在直线l 2的右上方C ．P 在直线l 2上D ．P 在直线l 2的左下方命题猜想解析：如下图，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线y ＝k(x ＋1)过定点C(－1,0)，依照抛物线的概念可知|AM|＝2|BN|，那么B 为AC 的中点，因此x 2＝x 1－12，y 2＝y 12，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，⎝ ⎛⎭⎪⎫y 122＝4×x 1－12，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，y 1＝±22，因此直线斜率k ＝y 1x 1＋1＝±222＋1＝±223，应选A .答案：A [历 炼]1．解析：易知当且仅当a b ≠12时两条直线只有一个交点，而a b ＝12的情形有三种：a ＝1，b ＝2(现在两直线重合)；a ＝2，b ＝4(现在两直线平行)；a ＝3，b ＝6(现在两直线平行)．而抛掷两次的所有情形有6×6＝36种，因此两条直线相交的概率为P 2＝1－336＝1112；两条直线平行的概率为P 1＝236＝118，P 1＋P 2i 所对应的点P 为⎝ ⎛⎭⎪⎫118，1112，易判定P ⎝ ⎛⎭⎪⎫118，1112在l 2：x ＋2y ＝2的左下方，应选D . 答案：Dx2 4＋y22．(概念新)点P在曲线C：＝1上，假设存在过点P 的直线交曲线C 于点A ，交直线l ：x ＝4于点B ，知足|PA|＝|PB|，那么称点P 为“H 点”，那么以下结论正确的选项是( )A ．曲线C 上的所有点都是“H 点”B ．曲线C 上仅有有限个点是“H 点” C ．曲线C 上的所有点都不是“H 点”D ．曲线C 上有无穷多个点(但不是所有的点)是“H 点”3．(交汇新)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b ＞a ＞0)的右极点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点别离为B ，C ，假设A ，B ，C 三点的横坐标成等比数列，那么双曲线的离心率为( )4．(交汇新)如下图，已知圆O ：x 2＋y 2＝2交x 轴于A ，B 两点，曲线C 是以AB 为长轴，离心率为22的椭圆，其左核心为F.假设P 是圆O 上一点，连接PF ，过原点O 作直线PF 的垂线交直线x ＝－2于点Q.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)假设点P 的坐标为(1,1)，求证：直线PQ 与圆O 相切；(3)试探讨：当点P 在圆O 上运动时(不与A ，B 重合)，直线PQ 与圆O 是不是维持相切的位置关系？假设是，请证明；假设不是，请说明理由．[历炼]2．解析：设点P(x ，y)，B(4，m)．当|PA|＝|PB|，即点P 是AB 的中点时，那么点A(2x－4,2y －m)，由于点A ，P 均在椭圆C 上，因此有⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，2x －424＋2y －m 2＝1，化简为⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x －22＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 22＝1，结合图形不难看出(图略)，当m 取适当的值时，椭圆x 24＋y 2＝1与(x －2)2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 22＝1(该方程表示中心在点⎝⎛⎭⎪⎫2，m 2的椭圆)始终会有交点，即在椭圆C 上知足|PA|＝|PB|的点P 有无数多个(但不是所有的点)，因此选D .答案：D3．解析：由题意可知，通过右极点A 的直线方程为y ＝－x ＋a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝－x ＋a ，解得x ＝a 2a ＋b.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ba x ，y ＝－x ＋a ，解得x ＝a 2a －b .因为b ＞a ＞0，因此a 2a －b ＜0，且a 2a ＋b＞0，又点B 的横坐标为等比中项，因此点B 的横坐标为a 2a －b ，那么a·a 2a ＋b ＝⎝⎛⎭⎪⎫a 2a －b 2，解得b ＝3a ，因此双曲线的离心率e ＝c a＝a 2＋b 2a＝10.答案：C4．解析：(1)因为a ＝2，e ＝22，因此c ＝1，那么b ＝1，即椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：因为P(1,1)，因此k PF ＝12，因此k OQ ＝－2，因此直线OQ 的方程为y ＝－2x. 又Q 在直线x ＝－2上，因此点Q(－2,4)， ∴k PQ ＝－1，又∵k OP ＝1，∴k OP ·k PQ ＝－1，即PQ ⊥OP ，故直线PQ 与圆O 相切．(3)当点P 在圆O 上运动时，直线PQ 与圆O 维持相切的位置关系．证明如下： 设P(x 0，y 0)(x 0≠±2)，那么y 20＝2－x 20，因此k PF ＝y 0x 0＋1，k OQ ＝－x 0＋1y 0，因此直线OQ 的方程为y ＝－x 0＋1y 0x ，因此点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，2x 0＋2y 0. 因此k PQ ＝y 0－2x 0＋2y 0x 0＋2＝y 20－2x 0＋2x 0＋2y 0＝－x 20－2x 0x 0＋2y 0＝－x 0y 0，又k OP ＝y 0x 0，因此k OP ·k PQ ＝－1，即OP ⊥PQ(P 不与A ，B 重合)，故直线PQ 始终与圆O 相切．。