SAS课件_第二十七课符号检验和Wilcoxon符号秩检验
wilcoxon符号秩检验步骤
wilcoxon符号秩检验步骤
Wilcoxon符号秩检验是一种非参数检验方法，用于比较两个相关样本的中位数是否有显著差异。
以下是Wilcoxon符号秩检验的步骤：
1. 收集相关样本数据，并将其按照一定顺序排列。
2. 对每个样本数据，计算其差值（样本数据之间的差异）。
3. 对差值进行绝对值处理，并按照绝对值大小将差值从小到大进行排序。
4. 为每个排序后的差值分配一个秩次（按照排序后的顺序，从1开始）。
5. 计算正差值的秩次和负差值的秩次总和。
6. 根据正差值与负差值的秩次总和，计算出符号检验统计量W值。
7. 根据样本容量以及显著性水平的临界值表，确定临界值。
8. 比较W值与临界值，判断是否有显著差异。
9. 如果W值小于临界值，则认为两个样本的中位数之间没有显著差异；如果W值大于或等于临界值，则认为两个样本的中位数之间存在显著差异。
需要注意的是，Wilcoxon符号秩检验是一种针对配对样本的检验方法，适用于样本容量较小、数据非正态分布或存在异常值情况下的检验分析。
sas 秩和检验(配对完全随机)1
目的要求
1. 掌握利用univariate过程实现配对设计资 料的非参数检验； 2. 掌握利用npar1way过程及Wilcoxon选择 项实现完全随机设计资料的秩和检验。
一、非参数统计的使用范围
（1）等级资料； （2）偏态分布； （3）分布不明； （4）个别数据偏离过大； （5）各组方差明显不齐。
; proc univariate normal; var d; run;
符号秩和的统计量
P值
不服从正态分布
结果解释：
正态性检验：W＝0.84，p＝0.0483，可认为差值d不服从 正态分布。 符号秩和检验：S=T+-N(N+1)/4＝-21, P=0.0313,拒绝H0， 差别有统计学意义，可以认为不同剂量组 的小鼠肝糖原含量有差别。
不同剂量组小鼠肝糖原含量（mg/100g） 小鼠对号 中剂量组 高剂量组 (1) (2) (3) 1 620.16 958.47 2 866.50 838.42 3 641.22 788.90 4 812.91 815.20 5 738.96 783.17 6 899.38 910.92 7 760.78 758.49 8 694.95 870.80 9 749.92 862.26 10 793.94 805.48
刺激物1组 1.94 1.94 2.92 2.92 2.92 2.92 3.27 3.27 3.27 3.27 3.70 3.70 3.74 刺激物2组 3.27 3.27 3.27 3.70 3.70 3.74
PROC NPAR1WAY过程格式
PROC NPAR1WAY Wilcoxon; CLASS 变量名; *指定区分不同组的分组变量 VAR 变量名; *指定要分析的变量 RUN；
秩和检验统计学PPT课件
培训后评分 （3） 10 9 7 7 10 6 9 6 8 9 6 6 7
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1.建立假设：H0：差值的总体中位数为0。 H1：差值的总体中位数不为0。 α＝0.05
2.求差值：
3.编秩：差值的绝对值从小到大编秩，绝对值相等，符号不相同时，取平均秩次；零 差值不参与编秩；将差值的正负标在秩次之前。
合 计
126
82
208
—
— 12955.5 8780.5
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1.建立假设：
H0：两个总体疗效分布的中心位置相同。 H1：两个总体疗效分布的中心位置不同。 α =0.05
2. 编秩：
(1)求各级别合计数。 (2)确定秩次范围。 (3)计算各级别平均秩次。
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3.求秩和：
如遇相同数值时，若相同数值在不同组内， 则取平均秩次。
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表11-6 三种手术方法治疗肝癌患者的术后生存月数
甲法生存月数 秩次 乙法生存月数 秩次 丙法生存月数 秩次
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
3
4
9
13
1
1
7
10
12
15
2
2.5
7
10
11
14
6
7.5
6
7.5
8
12
4
5
2
2.5
5
6
7
10
Ri
34
60
C
1
t
3 j
N3
tj N
校正后，Hc＞H，P值减小。
H
HC
1
(
t
3 j
两配对样本符号秩检验课件
符号秩检验的原理
符号秩检验基于以下原理：如果两个配对样本来自相同的 总体，那么它们之间的差异应该随机分布，正负差异的频 数应该大致相等。通过比较实际观测到的正负差异频数与 理论上的期望频数，可以判断两个样本的差异是否显著。
05
两配对样本符号秩检 验的注意事项
数据质量与处理
确保数据准确性和完整性
在实施两配对样本符号秩检验之前，应仔细核对数据，确保没有 遗漏或错误。
数据清洗
对于异常值或缺失值，需要进行适当的数据清洗和填充，以避免对 检验结果造成影响。
数据转换
在某些情况下，可能需要对数据进行适当的转换，以便更好地满足 检验的要求。
计算秩次及统计量
计算每对数据的秩次
根据符号化后的数据，按照大小顺序 计算每对数据的秩次。
计算统计量
利用秩次计算统计量，用于后续的假 设检验。
确定P值及结论
确定双尾或单尾检验
结论
根据实际情况选择双尾检验或单尾检 验。
根据P值的大小，判断两配对样本之 间的差异是否具有统计学显著性。
计算P值
根据选择的检验类型和统计量，计算 出P值。
两配对样本符号秩 检验课件
目录
• 符号秩检验的基本概念 • 两配对样本符号秩检验的步骤 • 两配对样本符号秩检验的案例分析 • 两配对样本符号秩检验的优缺点 • 两配对样本符号秩检验的注意事项
01
符号秩检验的基本概 念
Hale Waihona Puke 号秩检验的定义符号秩检验是一种非参数统计检验方法，用于比较两个配对 样本的差异是否显著。它通过比较两个样本中对应观测值的 符号（正、负或零）和绝对差值的大小，利用秩次的概念来 推断两个样本是否来自相同的总体分布。
SAS的非参数检验
SAS的非参数检验非参数检验是一种统计方法，用于处理数据不满足正态分布或方差齐性的情况。
它们不依赖于任何概率分布的假设，因此也被称为非参数检验。
SAS（统计分析系统）是一种常用的统计软件，提供了多种非参数检验方法。
本文将介绍一些常见的非参数检验方法及其在SAS中的应用。
1. Wilcoxon符号秩检验（Wilcoxon Signed Rank Test）：Wilcoxon符号秩检验是一种用于比较两个相关样本或配对样本的非参数检验方法。
它对于数据不满足正态分布的情况非常有用。
它的原假设是两个样本的中位数不同。
在SAS中，可以使用PROC UNIVARIATE来执行Wilcoxon符号秩检验。
下面是一个示例代码：```proc univariate data=mydata;var x1 x2;wilcoxon signedrank;run;```其中，mydata是数据集名称，x1和x2是要比较的两个变量。
wilcoxon signedrank选项告诉SAS执行Wilcoxon符号秩检验。
2. Mann-Whitney U检验（Mann-Whitney U Test）：Mann-Whitney U检验是一种用于比较两个独立样本的非参数检验方法。
它的原假设是两个样本的总体分布相同。
在SAS中，可以使用PROC NPAR1WAY来执行Mann-Whitney U检验。
下面是一个示例代码：```proc npar1way data=mydata;var x;class group;mannwhitney u(x) / wilcoxon;run;```其中，mydata是数据集名称，x是要比较的变量，group是分组变量。
mannwhitney u选项告诉SAS执行Mann-Whitney U检验。
3. Kruskal-Wallis检验（Kruskal-Wallis Test）：Kruskal-Wallis检验是一种用于比较三个或更多独立样本的非参数检验方法。
Wilcoxon符号秩检验的使用方法(五)
Wilcoxon符号秩检验的使用方法在统计学中，Wilcoxon符号秩检验是一种非参数检验方法，用于比较两组相关样本的中位数是否存在显著差异。
与t检验相比，Wilcoxon符号秩检验对数据的分布要求更为宽松，适用于样本不符合正态分布的情况。
本文将介绍Wilcoxon 符号秩检验的使用方法，包括检验的原理、步骤和注意事项。
一、原理Wilcoxon符号秩检验基于样本的秩和来比较两组相关样本的中位数。
首先将两组样本的差值按绝对值从小到大排序，然后将其对应的秩分别赋予给正差值和负差值。
最后，计算出正差值的秩和与负差值的秩和，通过比较这两个秩和的大小来判断中位数是否存在显著差异。
二、步骤进行Wilcoxon符号秩检验时，需要按照以下步骤进行：1. 收集相关数据：首先需要收集两组相关样本的数据，确保数据的来源和采集方式符合研究要求。
2. 计算差值：对每对相关样本进行差值的计算，得到一组差值数据。
3. 计算绝对值：对差值数据取绝对值，并按照绝对值的大小进行排序。
4. 计算秩和：分别计算正差值和负差值的秩和，通常使用的是小样本秩和公式。
5. 比较秩和：比较正差值的秩和与负差值的秩和，利用统计软件或查表得出显著性水平。
三、注意事项在进行Wilcoxon符号秩检验时，需要注意以下事项：1. 样本的相关性：Wilcoxon符号秩检验适用于两组相关样本的比较，因此需要保证样本的相关性。
2. 样本的独立性：确保样本数据是相互独立的，避免样本之间存在重复计数或相互影响的情况。
3. 样本的大小：样本的大小对检验结果有一定影响，特别是在样本较小的情况下，需要谨慎解释检验结果。
4. 数据的分布：虽然Wilcoxon符号秩检验对数据的分布要求不高，但是若样本数据明显偏离正态分布，可能会影响检验结果的可靠性。
综上所述，Wilcoxon符号秩检验是一种非参数检验方法，适用于比较两组相关样本的中位数是否存在显著差异。
在进行检验时，需要注意样本的相关性、独立性、大小和数据的分布情况，以确保检验结果的准确性和可靠性。
Wilcoxon符号秩检验的使用方法(九)
Wilcoxon符号秩检验的使用方法1、介绍Wilcoxon符号秩检验Wilcoxon符号秩检验是一种非参数统计方法，用于比较两组相关样本或配对样本之间的差异。
与t检验相比，Wilcoxon符号秩检验不要求数据满足正态分布，因此适用性更广泛。
在实际应用中，Wilcoxon符号秩检验常常用于分析实验前后的差异、治疗前后的效果以及相关变量的关联性等问题。
2、数据准备在使用Wilcoxon符号秩检验之前，首先需要准备两组相关样本或配对样本的数据。
这两组数据可以是来自同一组体验的两个时间点的数据，也可以是来自同一组实验对象的两种不同条件下的数据。
数据的收集需要尽量避免主观性和偏差，以确保结果的可靠性。
3、假设检验在进行Wilcoxon符号秩检验之前，需要明确研究假设。
通常来说，备择假设是研究者关心的问题，而零假设是默认状态。
对于Wilcoxon符号秩检验而言，备择假设可以是两组样本之间存在显著差异，或者两组样本之间的中位数存在差异。
在进行假设检验之前，还需要选择显著性水平，通常取或。
4、R语言实现在R语言中，可以使用()函数进行Wilcoxon符号秩检验。
该函数的输入参数包括两组样本的数据向量，以及可选的alternative参数和exact参数。
在使用()函数时，需要注意数据的配对关系，并根据实际情况选择合适的参数设置。
5、SPSS软件实现在SPSS软件中，可以通过选择非参数检验中的相关样本检验功能进行Wilcoxon符号秩检验。
在输入数据后，需要选择相关样本设计，并在选项中勾选Wilcoxon符号秩检验。
在结果输出中，可以查看Wilcoxon符号秩检验的统计量、P值以及效应量大小等信息。
6、结果解读在进行Wilcoxon符号秩检验后，需要对结果进行解读。
如果P值小于选定的显著性水平，就可以拒绝零假设，认为两组样本之间存在显著差异。
此时，还需要关注效应量的大小，以判断差异的实际意义。
如果P值大于选定的显著性水平，则不能拒绝零假设，即无法得出两组样本之间存在显著差异的结论。
wilcoxon方法
wilcoxon方法摘要：一、Wilcoxon方法简介二、Wilcoxon符号秩检验三、Wilcoxon符号秩检验的应用四、Wilcoxon符号秩检验的优缺点五、总结正文：一、Wilcoxon方法简介Wilcoxon方法是一种非参数检验方法，主要用于比较两个样本的总体中位数是否显著不同。
它由美国统计学家Wilcoxon于1945年首次提出，适用于样本量较小、分布未知的情况。
Wilcoxon方法包括两种检验：Wilcoxon符号秩检验和Wilcoxon符号秩和检验。
二、Wilcoxon符号秩检验Wilcoxon符号秩检验是一种基于符号的检验方法，用于比较两个样本的中位数是否存在显著差异。
检验过程中，首先对两个样本的数据进行排序，然后计算符号检验的统计量Z。
若Z值显著，则说明两个样本的中位数存在显著差异。
三、Wilcoxon符号秩检验的应用Wilcoxon符号秩检验广泛应用于医学、生物学、心理学等领域。
例如，在临床试验中，可以利用Wilcoxon符号秩检验比较治疗组和对照组之间的疗效差异；在教育研究中，可以运用Wilcoxon符号秩检验分析不同教学方法对学生成绩的影响。
四、Wilcoxon符号秩检验的优缺点优点：1.不受分布假设的限制，适用于各种数据类型。
2.对样本量较小的情况具有较好的检验性能。
3.操作简单，计算方便。
缺点：1.对极端值敏感，可能导致检验结果不稳定。
2.当样本量较大时，Wilcoxon符号秩检验的检验力可能较低。
五、总结Wilcoxon方法作为一种非参数检验方法，在样本量较小、分布未知的情况下具有较好的应用价值。
通过Wilcoxon符号秩检验，我们可以有效地比较两个样本的中位数差异，为实证研究提供依据。
然而，Wilcoxon方法也存在一定的局限性，如对极端值敏感、在大样本情况下的检验力较低等。
R语言wilcoxon秩和检验及wilcoxon符号秩检验的操作
R语⾔wilcoxon秩和检验及wilcoxon符号秩检验的操作说明wilcoxon秩和及wilcoxon符号秩检验是对原假设的⾮参数检验，在不需要假设两个样本空间都为正态分布的情况下，测试它们的分布是否完全相同。
操作#利⽤mtcars数据library(stats)data("mtcars")boxplot(mtcars$mpg~mtcars$am,ylab='mpg',names = c('automatic','manual))#执⾏wilcoxon秩和检验验证⾃动档⼿动档数据分布是否⼀致wilcox.test(mpg~am,data = mtcars)#wilcox.test(mtcars$mpg[mtcars$am==0],mtcars$mpg[mtcars$am==1])（与上⾯等价）Wilcoxon rank sum test with continuity correctiondata: mpg by amW = 42, p-value = 0.001871alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0Warning message:In wilcox.test.default(x = c(21.4, 18.7, 18.1, 14.3, 24.4, 22.8, :⽆法精確計算带连结的p值总结执⾏wilcoxon秩和检验（也称Mann-Whitney U检验）这样⼀种⾮参数检验。
t检验假设两个样本的数据集之间的差别符合正态分布（当两个样本集都符合正态分布时，t检验效果最佳），但当服从正态分布的假设并不确定时，我们执⾏wilcoxon秩和检验来验证数据集中mtcars中⾃动档与⼿动档汽车的mpg值的分布是否⼀致，p 值<0.05,原假设不成⽴。
R语言wilcoxon秩和检验及wilcoxon符号秩检验
R语言wilcoxon秩和检验及wilcoxon符号秩检验wilcoxon秩和及wilcoxon符号秩检验是对原假设的非参数检验，在不需要假设两个样本空间都为正态分布的情况下，测试它们的分布是否完全相同。
操作#利用mtcars数据library(stats)data("mtcars")boxplot(mtcars$mpg~mtcars$am,ylab='mpg',names = c('automatic','manual))自动档手动档mpg值#执行wilcoxon秩和检验验证自动档手动档数据分布是否一致wilcox.test(mpg~am,data = mtcars)#wilcox.test(mtcars$mpg[mtcars$am==0],mtcars$mpg[mtcars$am==1])（与上面等价）Wilcoxon rank sum test with continuity correctiondata: mpg by amW = 42, p-value = 0.001871alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0Warning message:In wilcox.test.default(x = c(21.4, 18.7, 18.1, 14.3, 24.4, 22.8, :无法精確計算带连结的p值总结执行wilcoxon秩和检验（也称Mann-Whitney U检验）这样一种非参数检验。
t检验假设两个样本的数据集之间的差别符合正态分布（当两个样本集都符合正态分布时，t检验效果最佳），但当服从正态分布的假设并不确定时，我们执行wilcoxon秩和检验来验证数据集中mtcars中自动档与手动档汽车的mpg值的分布是否一致，p值<0.05,原假设不成立。
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第二十七课 符号检验和Wilcoxon 符号秩检验在统计推断和假设检验中，传统的检验统计量都叫做参数检验，因为它们都依赖于确定的概率分布，这个分布带有一组自由的参数。
参数检验被认为是依赖于分布假定的。
通常情况下，我们对数据进行分析时，总是假定误差项服从正态分布，这是人们易于接受的事实，因为正态分布的原始出发点就是来自于误差分布，至于当样本相当大时，数据的正态近似，这是由于大样本理论所保证的。
但有些资料不一定满足上述要求，或不能测量具体数值，其观察结果往往只有程度上的区别，如颜色的深浅、反应的强弱等，此时就不适用参数检验的方法，而只能用非参数统计方法（non-parametric statistical analysis ）来处理。
这种方法对数据来自的总体不作任何假设或仅作极少的假设，因此在实用中颇有价值，适用面很广。
一、 单样本的符号检验符号检验（sign test ）是一种最简单的非参数检验方法。
它是根据正、负号的个数来假设检验。
首先需要将原始观察值按设定的规则，转换成正、负号，然后计数正、负号的个数作出检验。
该检验可用于样本中位数和总体中位数的比较，数据的升降趋势的检验，特别适用于总体分布不服从正态分布或分布不明的配对资料，有时当配对比较的结果只能定性的表示，如试验前后比较结果为颜色从深变浅、程度从强变弱，成绩从一般变优秀，即不能获得具体数字，也可用符号检验，例如用正号表示颜色从深变浅，用负号表示颜色从浅变深。
用于配对资料时，符号检验的计算步骤为：首先定义成对数据指定正号或负号的规则，然后计数正号的个数+S 及负号的个数-S ，由于在具体比较配对资料时，可能存在配对资料的前后没有变化，或等于假设中的中位数，此时仅需要将这些观察值从资料中剔除，当然样本大小n 也随之减少，故修正样本大小-++=S S n 。
当样本n 较小时，应使用二项分布确切概率计算法，当样本n 较大时，常利用二项分布的正态近似。
1. 小样本时的二项分布概率计算当20≤n 时，+S 或-S 的检验p 值由精确计算尺度二项分布的卷积获得。
在比较配对资料试验前后有否变化，或增加或减小的假设检验时，如果我们定义试验后比试验前增加为正号，反之为负号，那么对于原假设：试验前后无变化来说，正号的个数+S 和负号的个数-S 可能性应当相等，即正号出现的概率p =0.5，于是+S 与-S 均服从二项分布)5.0,(n B ，对于太大的+S 相应太小的-S ，或者太大的-S 相应太小的+S ，都将拒绝接受原假设；对于原假设：试验后比试验前有增加来说，正号的个数+S 大于负号的个数-S 的可能性应该大，即正号出现的概率5.0>p ，对于太小的+S 相应太大的-S ，将拒绝接受原假设；对于原假设：试验后比试验前减小来说，正号的个数+S 小于等于负号的个数-S 的可能性应该大，即正号出现的概率5.0≤p ，对于太大的+S 相应太小的-S ，将拒绝接受原假设。
例27.1有一种提高学生某种素质的训练，有人说它是无效的，有人说它是有效的，那么真实情况究竟应该是怎样的呢？随机地选取15名学生作为试验样本，在训练开始前做了一次测验，每个学生的素质按优、良、中、及、差打分，经过三个月训练后，再做一次测试对每个学生打分。
数据见表27.1所示。
我们将素质提高用正号表示，反之用负号表示，没有变化用0表示。
显著性水平取0.1。
表27.1 训练前后的素质比较学生编号训练之前 训练之后 差异符号 1 中 优 ＋ 2 及 良 ＋ 3 良 中 － 4 差 中 ＋ 5 良 良 0 6 中 优 ＋ 7 差 及 ＋ 8 良 优 ＋ 9 中 差 － 10 差 中 ＋ 11 中 优 ＋ 12 及 良 ＋ 13 中 及 － 14 中 优 ＋ 15差中＋从表27.1中15名学生训练前后的差异分析可得出：有14名学生有差异，其中+S =11，-S =3。
1名学生无差异（学生编号为5），应该从分析中去掉，所以n =15－1=14。
假设检验为：5.0:0≤p H 即训练之后学生素质没有提高。
5.0:1>p H 即训练之后学生素质有提高。
由于试验的结果只有两种可能，正号或负号，对每一个学生试验出现正号的假定概率为p =0.5，负号为1—p =0.5，这样整个试验的概率是相同的，并且每一个试验是相互独立的。
因此在n =14次独立的试验中，正号出现的次数服从二项分布)5.0,14(B ，见表27.2所示。
表27.2 二项分布的概率和累计概率n =14,p =0.5正号出现的次数正号出现的概率累计概率 0 0.0001 0.0001 1 0.0009 0.0009 2 0.0056 0.0065 30.02220.02874 0.0611 0.08985 0.1222 0.21206 0.1833 0.39537 0.2095 0.60478 0.1833 0.78809 0.1222 0.9102 10 0.0611 0.9713 11 0.0222 0.9935 12 0.0056 0.9991 13 0.0009 0.9999 140.00011.0000从表27.2的累计概率列中我们看到，正号出现的次数大于10的概率为1－0.9713=0.0287，或者换一种方法计算为=0.0001+0.0009+0.0056+0.0222=0.0287，二者的微小差异是因为小数点后舍入问题造成的。
而试验的结果：正号出现的次数为11，大于10，出现的概率不会超过0.0287，我们开始设定的显著性水平为0.1，由于0.0287<0.1，所以我们拒绝原假设，接受备选假设。
如果我们的原假设为p =0.5，既训练前后学生素质相等，那么就是双侧检验，应该加上正号出现的次数小于4的概率0.0287，即2×0.0287=0.0574<0.1，同样是拒绝原假设，接受区间为4次到10次，而拒绝区间为小于等于3次（小于4次）或大于等于11次（大于10 次）。
2. 大样本时的正态近似概率计算当20>n 时，样本可以认为是大样本。
我们可以利用二项分布的正态近似，即对于),(~p n B S ，二项分布的期望均值为np ，方差为)1(p np -，当n 比较大时，且np 和)1(p n -大于5，可以近似地认为)1,0(~)1(N p np np S z --=(27.1)公式中的S 表示正号或者负号的个数，符号检验时，p =0.5代入（27.1）式中，得到大样本时的正态近似统计量)1,0(~5.05.0N nn S z -=(27.2)当S >2/n 时，应该修正S 为S －0.5；当S <2/n 时，应该修正S 为S ＋0.5。
S 值加或减的0.5是连续性修正因子，目的是为了能将连续分布应用到近似的离散型分布。
二、 配对资料的Wilcoxon 符号秩检验当两组配对资料近似服从正态分布，它们差值的检验可以使用配对t 检验法。
如果配对资料的正态分布的假设不能成立，就可以使用Frank Wilcoxon （1945）符号秩检验，它是一种非参数检验方法，对配对资料的差值采用符号秩方法来检验。
它的基本要求是差值数据设置为最小的序列等级和两组配对资料是相关的（配成对）。
在两组配对资料的差异有具体数值的情况下，符号检验只利用大于0和小于0的信息，即正号和负号的信息，而对差异大小所包含的信息却未加利用，但Wilcoxon 符号秩检验方法既考虑了正、负号，又利用了差值大小，故效率较符号检验法高。
例27.2某制造商想要比较两种不同的生产方法所花费的生产时间是否有差异。
随机地选取了11个工人，每一个工人都分别使用两种不同的生产方法来完成一项相同的任务，每一个工人开始选用的生产方法是随机的，即可以先使用生产方法1再使用生产方法2，也可以先用生产方法2再使用生产方法1。
这样，在样本中的每一个工人都提供了一个配对观察。
数据见表27.3所示。
任务完成时间的正差值表示生产方法1需要更多的时间，负差值表示生产方法2需要更多的时间。
表27.3 两种不同生产方法完成任务的时间（分钟） 工人编号n生产方法M 差值D 绝对差值 秩次 R 符号秩次R M 1 M 2 D =M 1－M 2|D | － ＋ 1 10.2 9.5 0.7 0.7 8 8 2 9.6 9.8 －0.2 0.2 2 2 3 9.2 8.8 0.4 0.4 3.5 3.5 4 10.6 10.1 0.5 0.5 5.5 5.5 5 9.9 10.3 －0.4 0.4 3.5 3.5 6 10.2 9.3 0.9 0.9 10 10 7 10.6 10.5 0.1 0.1 1 1 8 10.0 10.0 0 0 — — — 9 11.2 10.6 0.6 0.6 7 7 10 10.7 10.2 0.5 0.5 5.5 5.5 1110.69.80.80.899 符号秩次总和-T =5.5，+T =49.55.549.5为了比较两种方法的任务完成时间是否有显著差异，假设检验为：:0H 任务完成时间的两个总体是相同的。
:1H 任务完成时间的两个总体是不相同的。
使用Wilcoxon 符号秩检验方法的主要步骤见表27.3中每列的计算方法和过程，先求出每对数据的差值D ，按差值绝对值|D |由小到大排列并给秩R ，从秩1开始到秩10，注意工人编号为8的配对数据，由于差值为0，在排秩中丢弃，样本数目修正为n =11－1=10。
在给秩值时，遇到相等|D |，也称为结值（tied ），使用平均秩，如工人编号3和5具有相同的绝对差值0.4，所以平分秩3和秩4，各为秩3.5。
一旦绝对差值的秩值R 给出后，然后将R 分成正和负差值的两个部分秩值+R 和-R ，最后求符号秩和∑++=R T，∑--=R T ，如-T =2+3.5=5.5。
对于样本数目有n 个，+T 与-T 的最小可能值为0，而最大可能值为（1+2+…+n ）=n (n +1)/2。
显然，应当有+T +-T = n (n +1)/2，如本例5.5+49.5=55=10(10+1)/2。
那么符号秩的平均值为n (n +1)/4。
构造Wilcoxon 符号秩统计量为4)1(+-=+n n T S (27.3)显然如果原假设为真，+T 与-T 应该有相同的值，等于n (n +1)/4，因此太大的S 值或太小的S 值都是我们拒绝的依据。
在实际工作中便于计算常取W=min (+T ，-T )，W 服从所谓的Wilcoxon 符号秩分布，对于本例n =10，=S 49.5－10(10+1)/4=22,W = min (49.5，5.5)=5.5，查表可得在显著水平=α0.05，n =10的双侧检验的临界值为8，即W 值的拒绝区域为0到8，接受区域为8到27.5。