备战2018年高考高三数学热点难点突破 把握递推关系解决数学归纳法问题

备战2018年高考高三数学热点难点突破 把握递推关系解决数学归纳法问题 考纲要求: 1．了解数学归纳法的原理； 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

基础知识回顾: 1、数学归纳法的定义 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

2．数学归纳法的框图表示：

应用举例: 类型一、用数学归纳法证明等式

例1、用数学归纳法证明：223333(1)1234nnn… 【答案】详见解析． 【解析】 试题分析：直接运用数学归纳法对命题进行证明即可得出所证的答案，其关键是第（Ⅱ）的证明过程． 试题解析：（Ⅰ）当1n时，左边1，右边1，所以上式成立；

（Ⅱ）假设当nk时等式成立，即223333(1)1234kkk…，那么当1nk时， 2223333332(1)123(1)(1)(1)[(1)]44kkkkkkkk

…

22222244(1)(2)(1)[(1)1](1)444kkkkkkk

，即当1nk时，命题也成立． 综上所述，原命题成立． 类型二、用数学归纳法证明不等式

例2、【2016届江苏省清江中学高三上学期12.29周练】已知Nnxxfnn,)1()(. （1）若),(3)(2)()(654xfxfxfxg求)(xg中含2x项的系数； （2）若np是)(xfn展开式中所有无理项的系数和，数列na是由各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：)1()1)(1()1(2121nnnaaaaaap. 【答案】（1）56；（2）证明见解析． 【解析】

试题解析：（1）解：654654)1(3)1(2)1()(3)(2)()(xxxxfxfxfxg， ∴)(xg中含2x项的系数为.564510132464544CCC （2）证明：由题意，.21nnP 当1n时，1)1(111aaP，成立； 假设当kn时，)1()1(1)1(2121kkkaaaaaaP）（成立， 当1kn时，)1(21)1()1(1211121kkkkaaaaaaa）（）（（11ka） =).1(21211211kkkkkaaaaaaaa （） ∵,1)1(,11121kkkkaaaaaa即1211211kkkkaaaaaaaa， 代入（*）式得)1(21)1()1(1121121kkkkkaaaaaaaa）（）（成立. 综合可知，)1()1(1)1(2121nnnaaaaaaP）（对任意Nn成立. 类型三、归纳——猜想——证明 例3、将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，„，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1＋S3＋S5＋„＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明． S1＝1，

S2＝2＋3＝5，

S3＝4＋5＋6＝15，

S4＝7＋8＋9＋10＝34，

S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，

S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，

„ 解析：由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34； 当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44；猜想：S1＋S3＋S5＋„＋S2n－1＝n4. 下面用数学归纳法证明： (1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即S1＋S3＋S5＋„＋S2k－1＝k4， 那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋„＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋„＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4， 这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)，可知对于任意的n∈N*，S1＋S3＋S5＋„＋S2n－1＝n4都成立． 点评：“归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式．

方法、规律归纳: 1、用数学归纳法证明等式应注意的问题 (1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0的值． (2)由n＝k到n＝k＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明． 2．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据． 3．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．

实战演练: 1．【山东省邹城市第一中学2018届高三上学期期中考试】用数学归纳法证明： “*1221352121nnnnnnnnN”时，从nk到1nk，等式的左边需要增乘的代数式是 A. 21k B. 211kk C. 231kk D. 21221kkk

【答案】D

2．【吉林省乾安县第七中学2018届高三上学期第三次模拟考试】用数学归纳法证明“5331232nnn， *nN”，则当1nk时，应当在nk时对应的等式的两边加上（ ）

A. 333121kkk B. 31k C. 31k D. 63112kk

【答案】A 【解析】当n=k 时，左边为3123k,当n=k+1时，左边为3333123121kkkk，所以左边增加的项为3

33121kkk

，

选A. 3．【河北武邑中学2017—2018高三年级上学期第二次调研考试】用数学归纳法证明*

111

1,12321nnnNn



时，由nk1k时不等式成立，推证nk1时，左边应增加

的项数是（ ） A. 12k B. 21k C. 2k D. 21k

【答案】C 【解析】当n=k时，左边=11112321k



；

当n=k+1时，左边=11112321k+12k+„+1121k. 因为2k，2k+1，2k+2，„，2k+1-1是一个首项为2k，公差为1的等差数列，共有2k项， 所以左边增加了2k项. 故选C. 4．用数学归纳法证明不等2242321312111n

nnnn

的过程中，由nk递推到1nk时，

不等式左边（ ）

A．增加了一项)1(21k

B．增加了一项)1(21121kk

C．增加了)1(21121kk，又减少了11k

D．增加了 )1(21k，又减少了11k

【答案】C 【解析】

【方法点睛】在用数学归纳法，从k项到1k时，应弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉． 5．【江苏省仪征中学2018届高三10月学情检测】设i 为虚数单位， n 为正整数． （1）证明： cossincossin;nxixnxinx （2）结合等式1cossin1cossinnnxixxix， 证明： 121coscos2......cos2coscos22nnnnnn

xnxCxCxCnx.

【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】试题分析： 1利用数学归纳法即可证明。

2由1可知001iiinnnrrrnnrrcosxsinxCcosxsinxCcosrxsinrx，求得其实部，等式右