高考数学答题策略精讲
高考数学函数与方程考点精讲
高考数学函数与方程考点精讲在高考数学中，函数与方程是极为重要的考点，贯穿了整个高中数学的学习。
理解并掌握这部分知识，对于在高考中取得优异成绩至关重要。
首先，我们来谈谈函数的概念。
函数可以简单地理解为一种对应关系，对于给定范围内的每一个自变量，都有唯一确定的因变量与之对应。
比如说，一次函数 y ＝ 2x ＋ 1 ，当我们给定 x 的值，就能通过这个式子计算出唯一的 y 值。
函数的性质是高考中的重点。
单调性，通俗来讲，如果函数在某个区间内，当自变量增大时，因变量也随之增大，那么这个函数在这个区间就是单调递增的；反之，如果自变量增大时，因变量减小，那就是单调递减。
比如二次函数 y ＝ x²，在区间（∞， 0) 上是单调递减的，在区间（0, ＋∞）上是单调递增的。
奇偶性也是常考的性质之一。
奇函数满足 f(x) ＝ f(x) ，其图像关于原点对称；偶函数满足 f(x) ＝ f(x) ，图像关于 y 轴对称。
像函数 f(x)＝ x³就是奇函数，而 f(x) ＝ x²则是偶函数。
接下来，我们聊聊函数的图像。
函数图像能够直观地反映函数的性质。
比如通过二次函数 y ＝ ax²＋ bx ＋ c 的图像，我们可以直接看出它的开口方向、对称轴、与 x 轴的交点等信息。
对于函数的求值域和定义域，这是必须要掌握的基础。
定义域就是自变量的取值范围，要考虑到分式的分母不为零、偶次根式内的式子大于等于零等情况。
而值域则是因变量的取值范围，可以通过函数的单调性、图像等方法来求解。
再来说说方程。
方程的本质是含有未知数的等式。
在函数与方程的关系中，我们经常会利用函数的零点来求解方程的根。
函数的零点就是使得函数值为零的自变量的值。
例如，对于函数 f(x) ，如果存在实数 c ，使得 f(c) ＝ 0 ，那么 c 就是函数 f(x) 的零点。
通过零点存在定理，可以判断函数在某个区间内是否存在零点。
在解题时，我们常常需要将方程问题转化为函数问题。
2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)6-2 古典概型及条件概率(精讲)(解析版)
6.2 古典概型及条件概率（精讲）（基础版）思维导图考点呈现例题剖析考点一古典概型【例1】（2022·河南安阳）某市在疫情期间，便民社区成立了由网格员､医疗人员､志愿者组成的采样组，并上门进行，核酸检测，某网格员对该社区需要上门核酸检测服务的老年人的年龄（单位：岁）进行了统计调查，将得到的数据进行适当分组后（每组为左开右闭区间），得到的频率分布直方图如图所示.(1)求m 的值，并估计需要上门核酸检测服务的老年人的年龄的平均数；（精确到1，同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）(2)在年龄处于(]70,90的老人中，用分层随机抽样的方法选取9人，再从9人中随机选取2人，求2人中恰有1人年龄超过需要上门核酸检测服务的老年人的平均年龄的概率. 【答案】(1)0.016m =，平均数为80岁(2)59【解析】（1）解：由图可得()0.0320.0400.012101m +++⨯=，解得0.016m =.估计需要上门核酸检测服务的老年人的年龄的平均数为650.16750.32850.4950.1279.880⨯+⨯+⨯+⨯=≈岁.（2）解：(]70,80，(]80,90两组的人数之比为0.032:0.0404:5=，∴在(]70,80，(]80,90的老人中抽取的人数分别为4，5，分别记为1a ，2a ，3a ，4a ，1b ，2b ，3b ，4b ，5b ，从9人中随机选取2人，样本空间()()()()()()()(){1213141112131415Ω,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a ab a b a b a b a b =()()()()()()()23242122232425,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a b a b a b ()()()()()()343132333435,,,,,,,,,,,,a a a b a b a b a b a b ()()()()()4142434445,,,,,,,,,,a b a b a b a b a b ()()()()12131415,,,,,,,,b b b b b b b b ()()()232425,,,,,,b b b b b b ()()3435,,,,b b b b ()}45,b b ，共有36个样本点，恰有一人年龄超过80岁，即恰有一人年龄在(]80,90，令“恰有一人年龄在(]80,90”为事件B ，则()()()()(){1112131415,,,,,,,,,,B a b a b a b a b a b =()()()()()2122232425,,,,,,,,,,a b a b a b a b a b ()()()()()3132333435,,,,,,,,,,a b a b a b a b a b ()()()()()}4142434445,,,,,,,,,a b a b a b a b a b ，共有20个样本点，∴()205369P B ==.【一隅三反】1．（2022河北省）某校为了保障体艺节顺利举办，从高一、高二两个年级的同学中挑选了志愿者60人，人数如下表所示：(1)从所有志愿者中任意抽取一人，求抽到的这人是女同学的概率；(2)用等比例分层随机抽样的方法从所有的女志愿者中按年级抽取六人，再从这六人中随机抽取两人接受记者采访，求这两人中恰有一人来自高一年级的概率.【答案】(1)35(2)815【解析】（1）高一年级志愿者有121628+=人，其中女同学12人，高二年级志愿者有82432+=人，其中女同学24人.故抽到的这人是女同学的概率1224328325+==+P .（2）在高一年级中抽取的志愿者的人数为2，在高二年级中抽取的志愿者的人数为4.记从高一年级中抽取的志愿者为a ，b ，从高二年级中抽取的志愿者为A ，B ，C ，D ，样本空间{(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),()}Ω=ab aA aB aC aD bA bB bC bD AB AC AD BC BD CD ，共15个样本点.设事件M =“这两人中恰有一人来自高一年级”，则{(),(),(),(),(),(),(),()}=M aA aB aC aD bA bB bC bD ，共8个样本点.故所求概率为8()15P M =. 2．（2022·广东）新冠肺炎疫情期间，某地为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在[)70,90的居民有660人．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)根据频率分布直方图估计本次评测分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，并精确到0.1）；(3)为了今后更好地完成当地的防疫工作，政府部门又采用比例分配的分层抽样的方法，从评分在[)40,60的居民中选出6人进行详细的调查，再从中选取两人进行面对面沟通，求选出的两人恰好都是评分在[)40,50之间的概率．【答案】(1)0.025(2)80.7(3)115【解析】（1）()0.0020.0040.0140.0200.035101a +++++⨯=，0.025a ∴=.（2）平均数为()450.002550.004650.014750.020850.035950.0251080.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.（3）评分在[)40,50和[)50,60的频率之比为1:2，∴应在评分在[)40,50的居民中应抽取2人，记为,A B ；在[)50,60的居民中应抽取4人，记为a b c d ,,,，则从中选取两人有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，共15种情况；其中选出的两人恰好都是评分在[)40,50之间的有AB ，仅有1种；∴所求概率115p =. 3．（2022·四川眉山）某校高二（2）班的一次化学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图：(1)求全班人数及全班分数的中位数；(2)根据频率分布直方图估计该班本次测试的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. (3)若从分数在[)80,90及[]90,100的答题卡中采用分层抽样的方式抽取了5份答题卡，再从抽取的这5份答题卡中随机抽取2份答题卡了解学生失分情况，求这2份答题卡至少有一份分数在[]90,100的概率. 【答案】(1)50人，76.5分(2)77.2(3)710【解析】（1）解：由茎叶图可知，分数在[)50,60内的频数为3，由频率分布直方图可知，分数在[)50,60内的频率为0.006100.06⨯=，所以， 全班人数为3500.06=人，因为分数在[)60,70内的频数为11，分数在[)70,80内的频数为16，所以，全班分数的中位数767776.52+=. （2）解：由茎叶图知，分数在[)50,60内的频数为3，在[)60,70内的频数为11，分数在[)70,80内的频数为16，在[]90,100内的频数为8，所以，分数在[)80,90内的频数为5031116812----=，所以，该班本次测试的平均成绩为550.06650.22750.32850.24950.1677.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）解：因为分数在[)80,90内的频数为12，在[]90,100内的频数为8，所以，由分层抽样抽取了5份答题卡中，分数在[)80,90内的有3份，分别记为,,a b c ，分数在[]90,100内的有2份，分别记为,m n ，所以，从抽取的这5份答题卡中随机抽取2份答题卡的所有情况有：()()()(),,,,,,,a b a c a m a n ，()()(),,,,,b c b m b n ，()(),,,c m c n ，(),m n 共10种，其中，这2份答题卡至少有一份分数在[]90,100内的情况有：()(),,,a m a n ，()(),,,b m b n ，()(),,,c m c n ，(),m n 共7种，所以，这2份答题卡至少有一份分数在[]90,100的概率为710P =. 考点二 条件概率【例2-1】（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）设()()()11,||32P P P B A A B A ===，则()P B =（ ）A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】D 【解析】因为()()()1|3P AB P B A P A ==，且()12P A =，所以()16P AB = ()()()1|3P AB P A B P B ==，所以()12P B =，故选：D. 【例2-2】（2022·陕西渭南·高二期末（文））甲、乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从加多宝、唯怡豆奶、雪碧这3种饮品中随机选择一个，且两人的选择结果互不影响．记事件A =“甲选择唯怡豆奶”，事件B =“甲和乙选择的饮品不同”，则条件概率()P B A =________． 【答案】23【解析】由题意得，设加多宝、唯怡豆奶、雪碧分别标号为1,2,3，则两人的选择结果有： (1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)，，，，，,(3,1,)(3,2)(3,3)，，，则事件A 的可能结果为：(2,1)(2,2)(2,3)，，，共3个， 在事件A 的条件下发生事件B 的结果有(2,1)(2,3)，，共2个，所以2()3P B A =.故答案为: 23.【例2-3】（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）已知箱中有5个大小相同的产品，其中3个正品，2个次品，每次从箱中取1个，不放回的取两次，求： (1)第一次取到正品的概率；(2)在第一次取到正品的条件下，第二次取到正品的概率.【答案】(1)35(2)12【解析】（1）解：设A =“第一次取到正品” B =“第二次取到正品”，所以()11341154C C 3C C 5P A ==，第一次取到正品的概率为35；（2）解：()11321154C C 3C C 10P AB ==，所以()()()3110|325P A P AB P B A ===，故在第一次取到正品的条件下第二次取到正品的概率为12. 【一隅三反】1．（2022·福建）设A ，B 为两个事件，已知()0.4P B =，()0.5P A =，()|0.3P B A =，则()|P A B =（ ） A ．0.24B ．0.375C ．0.4D ．0.5【答案】B 【解析】由()0.5P A =，()|0.3P B A =，得()()()|0.15P AB P B A P A =⋅=，所以()()()0.15|0.3750.4P AB P A B P B ===.故选：B 2．（2022·陕西西安）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过2h ，这些人的近视率约为60%．现从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过2h 的概率为（ ） A ．45B ．15C ．35D ．320【答案】A【解析】从该校学生中任意调查一名学生他是近视记为事件A ，且()0.3P A =，从该校学生中任意调查一名学生他每天玩手机超过2h 记为事件B ，且由题可知，()0.60.40.24P AB =⨯=，所以从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过2h 的概率为：()0.244(|)()0.35P BA P B A P A ===.故B ，C ，D 错误.故选：A.3．（2022·福建三明）有3箱同一品种的零件，每箱装有10个零件，其中第一箱内一等品6个，第二箱内一等品4个，第三箱内一等品2个，现从3箱中随机挑出一箱，然后从该箱中依次随机取出2个，取出的零件均不放回，求：(1)第1次取出的零件是一等品的概率；(2)在第1次取出的零件是一等品的条件下，第2次取出的零件也是一等品的概率． 【答案】(1)25(2)1127【解析】(1)设i A ＝“被挑出的是第i 箱”()i 1,2,3=，i B ＝“第i 次取出的零件是一等品”()i 1,2=， 则()()()12313P A P A P A ===， 因为()()()311121634221|,|,|105105105P B A P B A P B A ======，()()()()()()()223111111313212|||35555P B P A P B A P A P B A P A P B A ⎛⎫=++=++= ⎪⎝⎭，所以第1次取出的零件是一等品的概率是25．(2)由（1）得()125P B =， 因为()()()222642121122123222101010C C C 121|,|,|C 3C 15C 45P B B A P B B A P B B A ======，所以()()()()()()()12112212231231|||P B B P A P B B P A P B B A P A P B B A A =++1112112233315345135=⨯+⨯+⨯=，所以()()()1221111|27P B B P B B P B ==．故在第1次取出的零件是一等品的条件下，第2次取出的零件也是一等品的概率为1127． 考点三 综合运用【例3】（2022·江苏扬州·高三期末）为了更好满足人民群众的健身和健康需求，国务院印发了《全民健身计划（20212025-）》．某中学为了解学生对上述相关知识的了解程度，先对所有学生进行了问卷测评，所得分数的分组区间为(]50,60、(]60,70、(]70,80、(]80,90、(]90,100，由此得到总体的频率分布直方图，再利用分层抽样的方式随机抽取20名学生进行进一步调研，已知频率分布直方图中a 、b 、c 成公比为2的等比数列．(1)若从得分在80分以上的样本中随机选取2人，用X 表示得分高于90分的人数，求X 的分布列及期望；(2)若学校打算从这20名学生中依次抽取3名学生进行调查分析，求在第一次抽出1名学生分数在区间(]70,80内的条件下，后两次抽出的2名学生分数在同一分组区间(]80,90的概率．【答案】(1)分布列见解析，期望为1；(2)257. 【解析】(1)解：由题意得2b a =，4c a =，因为10101010101a b c b a ++++=，所以0.01a =． 由分层抽样，抽出的20名学生中得分位于区间(]50,60内有200.12⨯=人， 位于(]60,70内有200.24⨯=人，位于(]70,80内有200.48⨯=人， 位于(]80,90内有200.24⨯=人，位于区间(]90,100学生有200.12⨯=人， 这样，得分位于80分以上的共有6人，其中得分位于(]90,100的有2人，所以X 的可能取值有0、1、2，()3436C 10C 5P X ===，()214236C C 31C 5P X ===()124236C C 12C 5P X ===， 所以X 的分布列为：所以()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=.(2)解：记事件:A 第一次抽出1名学生分数在区间(]70,80内， 记事件:B 后两次抽出的2名学生分数在同一分组区间(]80,90内，则()82205P A ==，()1284320C A 4A 1519P AB ==⨯，由条件概率公式可得()()()4521519257P AB P B A P A ==⨯=⨯. 【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.（1）求男生甲被选中的概率；（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率.【答案】（1）13；（2）15.【解析】记4名男生为A ，B ，C ，D ，2名女生为a ，b ，则从6名成员中挑选2名成员，有AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，Ba ，Bb ，CD ，Ca ，Da ，Db ，ab ，共15种情况.（1）记“男生甲被选中”为事件M ，不妨假设男生甲为A ，事件M 所包含的基本事件为AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，共有5个，∴()51153P M ==. （2）记“男生甲被选中”为事件M ，“女生乙被选中”为事件N ，不妨设男生甲为A ，女生乙为b ，则()115P M N ⋂=. 又由（1）知：()13P M =，故()()()15P M N P N M P M ⋂==. 2．（2022·辽宁沈阳·二模）甲、乙是北京2022冬奥会单板滑雪坡面障碍技巧项目的参赛选手，二人在练习赛中均需要挑战3次某高难度动作，每次挑战的结果只有成功和失败两种．(1)甲在每次挑战中，成功的概率都为12．设X 为甲在3次挑战中成功的次数，求X 的分布列和数学期望；(2)乙在第一次挑战时，成功的概率为0.5，受心理因素影响，从第二次开始，每次成功的概率会发生改变其规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.1；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率减少0.1．（∴）求乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概率； （∴）求乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率． 【答案】(1)分布列见解析，32(2)（∴）0.4；（∴）0.62． 【解析】(1)由题意得，1~3,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()3311C 122k kk P X k -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0,1,2,3k =， 则X 的分布列为：则()13322E X =⨯=. (2)设事件i A 为“乙在第i 次挑战中成功”，其中1,2,3i =．（∴）设事件B 为“乙在前两次挑战中，恰好成功一次”，则1212B A A A A =+， 则()()()()()()()1212121121P B P A A P A A P A P A A P A P A A =+=+()()0.510.610.50.40.4=⨯-+-⨯=．即乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概为0.4．（∴）因为()()()()()()21212121121P A P A A A A P A P A A P A P A A =+=+0.50.60.50.40.5=⨯+⨯=，且()()()()23123123123123P A A P A A A A A A P A A A P A A A =+=+0.50.60.70.50.40.50.31=⨯⨯+⨯⨯=，所以()()()233220.310.620.5P A A P A A P A ===． 即乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率为0.62．。
高考数学备考经验交流选择填空知识点分布及训练策略
便回顾对比之用，还应要求学生准备自己的错题 本，以便纠错改过之用。 教师在对学生进行了 3-4 次限时训练后，就应参 照学生做题的实际情况，分析学生做题过程中出 现的问题，针对解法不当的题目和学生知识薄弱 易 错 的地方，再次自编题目进行考查，以此来强 化学生的知识。
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二、考点分布
2011年—2013年高考选择、填空题
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二、考点分布
2011年—2013年高考选择、填空题
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二、考点分布
2011年—2013年高考选择、填空题
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1．侧重于主干内容的考查
二、考点分布 高频考点
2011年Βιβλιοθήκη 2012年2013年
二、考点分布
2011年—2013年高考选择、填空题
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2011年—2013年高考选择、填空题
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二、考点分布
2011年—2013年高考选择、填空题
高中数学课堂教学中精讲和精练的教学策略
高中数学课堂教学中精讲和精练的教学策略高中数学课堂教学中精讲和精练的教学策略【摘要】提高课堂教学效率是新课程改革的重要内容。
近年来，如何充分利用课堂时间，优化课堂教学内容，提高教学效率成为广阔教师共同关注和研究的课题。
在新课改理念下，要想改变课堂教学“高投入、低产出〞的困境，就必须实施“精讲精练〞。
本文对高中数学课堂教学中的精讲和精练进行了简单的介绍，对精讲和精练的教学策略作了简略的阐述，希望能与广阔同行切磋交流。
【关键词】高中数学；精讲精练；实施策略传统教学中，高中阶段的数学学习是建立在大量习题练习的根底之上的，这在一定程度上提高了学生的运算能力，但学生分析和解决问题的能力却提高不大。
为了能让学生在高中阶段有效的提高数学综合能力，就必须研究新的学法和教法。
本人通过几年的摸索和实践，找到了一条行之有效的途径，那就是变过去的“多讲多练〞为“精讲精练〞，将“节省的时间〞充分利用。
这既能让学生多动脑思考多动手操练，还可以放手让学生自主探究从而激发学习兴趣，进而提高课堂教学效率。
一、什么是精讲和精练1.精讲精练的内涵精讲就是教师要精心设计每节课的教学目标、教学手段、教学方法及教学过程，通过教师的精心引导，使学生对所学内容产生兴趣，从而提高课堂教学成果。
精讲不是“全讲〞，也不是讲的越少越好，而是要把讲的重点放在关键之处，“好钢用到刀刃上〞，要使学生明白，这节课要学什么，这节课学会了什么。
精练就是教师通过多种形式的练习让学生学会、消化各种知识。
精练的内容包括三个层次：一是根本练习，用以夯实根底；二是拓宽练习，以求举一反三；三是变形练习，促使触类旁通。
数学精练是学生掌握数学根底知识，培养学生灵活运用技巧的有效手段，也是提高学生学习能力的主要途径。
2.精讲精练的必要性有不少高中生数学根底较差，成绩长期上不去。
究其原因，主要有三。
一是缺乏学习兴趣，被动接受；二是不会学习，在课堂上不加思考，不会质疑；三是之前养成了不良的的学习习惯，习惯了被灌输。
2023年高考数学一轮复习精讲精练(新高考专用)专题：二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
专题06：二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳精讲温故知新1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a例1：1．（多选）若关于x 的方程2(1)+2=0x m x m ---的两根为正数(包含等根)，则m 的取值可以是（ ）A ．122--B．-C ．1.9 D ．1.99【答案】BCD 【解析】 【分析】由一元二次函数零点的分布可得答案. 【详解】由题意，构建函数2()(1)2f x x m x m =--+-，因为关于x 的方程2(1)20x m x m --+-=的两根为正数(包含等根)， 所以()()()2Δ142010200m m m f ⎧=---⎪-⎪>⎨⎪>⎪⎩， 解得122m -+<， 故选：BCD. 2.已知函数()2()23f x x ax a a R =-+-∈．（1）若1a =时，求()f x 在区间1[,3]2上的最大值和最小值； （2）若()f x 的一个零点小于0，另一个零点大于0，求a 的范围. 【答案】（1） max 5y =；min 1y = ；（2）3a > 【分析】（1）求出函数的对称轴，再判断对称轴与区间的位置关系，从而得到函数的最值； （2）由题意得(0)0f <，即可得到答案； 【详解】（1）当1a =时，函数的对称轴为11[,3]2x =∈，∴min ()(1)1f x f ==，15(),(3)524f f ==， ∴max ()5f x =。
数学-高考构造函数十三种题型精讲精练
高考构造函数十三种题型精讲精练目录一、十三种题型精讲【题型一】 利用x f （x ）构造型 【题型二】 利用f （x ）/x 构造型 【题型三】 利用e f （x ）构造型 【题型四】 用f （x ）/e 构造型 【题型五】 利用sin x 与f （x ）构造型 【题型六】 利用cos x 与f （x ）构造型【题型七】 复杂型：e 与af （x ）+bg (x )等构造型 【题型八】 复杂型：（kx +b ）与f （x ）型 【题型九】 复杂型：与ln （kx +b ）结合型 【题型十】 复杂型：基础型添加因式型 【题型十一】 复杂型：二次构造 【题型十二】 综合构造 【题型十三】 技巧计算型构造二、最新模拟试题精练n n nx nx n【题型一】 利用x f （x ）构造型 【典例分析】函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为 A.B.C.D.【详解】 设，则，由已知当时，，是增函数，不等式等价于，所以，解得.方法技巧：本题考查导数的综合应用，解题关键是构造新函数，从而可以利用已知的不等式关系判断其导数的正负，以确定新函数的单调性，在构造新函数时，下列构造经常用：，，，，构造新函数时可结合所要求的问题确定新函数的形式.【提分秘籍】基本规律1.，2.【变式演练】1.已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是A.B.C.D.n ()fx 020165x <+<()()x g x e f x =x ()+()0 0g x =x f x f x f x '>< 对于（），构造（）（）k x ()k ()0 0g x =x f x f x f x '+>< 对于（），构造（）（）【分析】 构造函数，利用已知条件确定的正负，从而得其单调性.【详解】 设，则，∵，即，∴当时，，当时，，递增.又是奇函数，∴是偶函数，∴，，∵，∴，即.故选C.2.已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ）A.B.C.D.【分析】根据题意，构造函数，结合函数的单调性解不等式，即可求解.【详解】根据题意，构造函数，，则，所以函数的图象在上单调递减. 又因为，所以， 所以，解得或（舍）. 所以不等式的解集是.故选：B.()fx ()fx ()fx3.设函数在R 上可导，其导函数为，且.则下列不等式在R 上恒成立的是（ ） A. B.C.D.【分析】根据给定不等式构造函数，利用导数探讨的性质即可判断作答.【详解】 依题意，令函数，则，因，于是得时，时，从而有在上单调递减，在上单调递增，因此得：，而，即f (x )不恒为0，所以恒成立.故选：A【题型二】 利用f （x ）/x 构造型 【典例分析】函数在定义域内恒满足：①，②，其中为的导函数，则 A.B.C.D.【详解】 令，，， ∵，，∴，，()fx ()0f x ≥()0f x≤()0f x ≥n∴函数在上单调递增，∴，即，，令，，， ∵，，， ∴函数在上单调递减，∴，即，，故选D.【提分秘籍】基本规律1.，2.【变式演练】1.已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是（ ）A. B.C.D.【分析】根据题目中信息其导函数为，若可知，需构造函数， 利用导函数判断函数的单调性，利用函数的单调性、奇偶性来解题，当时，即，，当时，即，.【详解】 构造函数 ，，当时，，故，在上单调递增，()-()0 0f x x f x f x g x x '><= （）对于（），构造（）()-()0 0k f x x f x kf x g x x '><= （）对于（），构造（）又为偶函数， 为偶函数，所以为偶函数，在单调递减.，则，；， 当 时，即，，所以 ；当时，即，，所以.综上所述，.故选：A2.已知定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（ ）A. B.C.D.【分析】 由，可得，令，对其求导可得，可得函数在上单调递增，可得，可得原不等式的解集.【详解】 因为，所以，即.令，则，所以函数在上单调递增.又因为，不等式，可变形为，即，所以，即不等式的解集为.故选：C.21y x=(3)1f=【题型三】 利用e f （x ）构造型 【典例分析】已知函数在上 可导，其导函数为，若满足：当时，>0，，则下列判断一定正确的是A.B.C.D.【分析】 构造函数，结合导函数，判定的单调性，得对称轴，对选项判断即可. 【详解】 构造函数，计算导函数得到=，由>0，得当，>0当时，<0.所以在单调递增，在单调递减，而，所以关于对称，故，得到，故选：D.【提分秘籍】基本规律1.，2.【变式演练】1.已知是上可导的图象不间断的偶函数，导函数为，且当时，满足，则不等式的解集为（ ）nx ()()0 0x f x f x g x e f x '+><= 对于（），构造（）（）()()0 0kx f x kf x g x e f x '+><= 对于（），构造（）（）A. B. C. D.【分析】 构造函数，根据，结合题意可知函数是偶函数，且在上是增函数，由此根据结论，构造出的不等式即可. 【详解】 由题意：不等式可化为：，两边同乘以得：，令，易知该函数为偶函数，因为，，所以所以在上是单调增函数，又因为为偶函数，故，解得：.故选：B.2.设函数的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是（ ）A. B.C.D.【分析】 构造函数，通过求导判断函数的单调性，利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】 令，则，因为，所以，化简可得， 即，所以函数在上单调递增，因为，化简得，()fx因为，，所以，解得，所以不等式的解集是.故选：A3.已知定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（ ）A. B.C.D.【分析】 由，可得，令，对其求导可得，可得函数在上单调递增，可得，可得原不等式的解集.【详解】 因为，所以，即.令，则，所以函数在上单调递增.又因为，不等式，可变形为，即，所以，即不等式的解集为.故选：C.【题型四】 用f （x ）/e 构造型 【典例分析】已知函数是定义在上的可导函数，且对于，均有，则有A. B. C.nxD.【分析】 通过构造函数，研究函数的单调性进而判断出大小关系.【详解】 因为.所以<0，即构造函数 ，所以，即在R 上为单调递减函数 所以 ，化简得.同理，化简得所以选D【提分秘籍】基本规律1.，2.【变式演练】1.已知是定义在上的偶函数，当时，（其中为的导函数），若，则的解集为（ ）A. B.C.D.【分析】 由，结合已知条件有偶函数在上单调减，上单调增，再由 即可求解集.【详解】()-()0 0x f x f x f x g x e '><=（）对于（），构造（）()-()0 0kx f x f x kf x g x e '><=（）对于（），构造（）由，而知：在上单调减， 而，即，又知：，∴在上有，又是定义在上的偶函数，则在上为偶函数，∴在上单调增，即，可得，综上，有，故选：A 2.已知函数是定义在上的可导函数，且对于，均有，则有A. B. C. D.【分析】 通过构造函数，研究函数的单调性进而判断出大小关系.【详解】 因为.所以<0，即构造函数 ，所以，即在R 上为单调递减函数 所以 ，化简得.同理，化简得所以选D3.已知定义在上的可导函数满足：，则与的大小关系是A.B.C.D.不确定【详解】令，则，所以函数在上单调递减.()fx ()()x g x e f x因为，所以，选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等()()x g x e f x【分析】 构造函数，由已知可得出在上为增函数，再根据函数的奇偶性的定义得出为偶函数，由此逐一判断选项可得答案.【详解】构造函数，由在上恒有，，在上为增函数，又由，为偶函数，，，，，故A 错误.偶函数在上为增函数，在上为减函数，，，，，故B 正确；，，，，故C 错误；，，，，故D 错误.故选：B.2.已知偶函数是定义在上的可导函数，当时，，若，则实数的取值范围为（ ）A. B.C.D.()fx构造函数，可得是偶函数，求导可得出在上单调递增，在上单调递减，由可得，列出不等式即可求解.【详解】 令，，则当时，，所以函数是定义在上的偶函数.当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减. 又，，所以由，可得，即，所以，所以，解得，所以实数的取值范围为，故选：C.3.设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（ ）A. B.C.D.【分析】 令，易得是定义在上的偶函数，因为，可知在上单调递减，在上单调递增，从而可以根据函数的单调性，确定不等式的解.(0,1](0,1]令，∵是定义在上的奇函数，∴是定义在上的偶函数.当时，，由，得，∴，则在上单调递减.将化为，即，则.又是定义在上的偶函数.∴在上单调递增，且.当时，，将化为，即，则.综上，所求不等式的解集为.故选：B【题型六】利用cos x与f（x）构造型【典例分析】已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（）A. B. C. D.【分析】令，根据题设条件，求得，得到函数在内的单调递减函数，再把不等式化为，结合单调性和定义域，即可求解.【详解】 由题意，函数满足， 令，则函数是定义域内的单调递减函数，由于，关于的不等式可化为，即，所以且，解得，不等式的解集为.故选：B【提分秘籍】基本规律1.，2.3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型【变式演练】1.已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x 的不等式的解集为（ ）A. B.C.D.【分析】cos ()-sin ()0 0cos x f x x f x g x f x x '><= 对于（），构造（）（）cos ()sin ()0 0cos f x x f x x f x g x x'+><= （）对于（），构造（）()f x由题意，设，利用导数求得在上单调递减，且为偶函数，再把不等式，转化为，结合单调性，即可求解.【详解】 由题意，设，则，当时，因为，则有，所以在上单调递减， 又因为在上是偶函数，可得，所以是偶函数，由，可得，即，即又由为偶函数，且在上为减函数，且定义域为，则有，解得或，即不等式的解集为，故选：B.2.已知函数的定义域为，其导函数为.若，且，则下列结论正确的是 A.是增函数 B.是减函数 C.有极大值 D.有极小值【分析】 对化简可得，即为，设函数，研究函数的性质，从而得到的单调性与极值，从而得到答案.【详解】 设函数因为化简可得，即为，故，因为()fx ()f x ()f x ()f x ()f x ()fx所以恒成立，所以在上单调递增，又因为，所以，所以当时，，当时，，，当时，，，，， 故恒成立；当时，，，，， 故恒成立；所以在上恒成立，故在上单调递增，故函数没有极值，不可能单调递减.所以选A.【题型七】 复杂型：e 与af （x ）+bg (x )等构造型 【典例分析】设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）A.B.C. D.【分析】根据条件构造函数，分析的单调性并计算的值，将转化为，由此求解出不等式的解集.【详解】 设，所以， 因为，所以，n ()0-∞，所以在上单调递减，且，又因为等价于，所以解集为，故选：C.【提分秘籍】基本规律【变式演练】1.函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若且，则不等式的解集为__________.【分析】 构造函数，由题知得到在的最小值为0，得到在单增，在上，等价于，利用单调性可解.【详解】 构造函数，在上，等价于，，，得，在上单增，在上单减，在上，恒成立，又，则又在上，等价于，即，则不等式的解集为故答案为：2.函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若，且，则的解集为（ ） A.B.C.D.()()()-() 0x g x e f x k f x f x k =-⎡⎤⎣⎦'><对于（），构造()fx ()fx【分析】设，则，，故，即，解不等式得到答案.【详解】设，则，，故，故，即，，即，，故.故选：.3.设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为A. B.C. D.【分析】构造函数，则可判断，故是上的增函数，结合即可得出答案.【详解】设，则，∵，，∴，∴是上的增函数，又，∴的解集为，即不等式的解集为.故选A.【题型八】复杂型：（kx+b）与f（x）型【典例分析】已知函数的定义域为，其图象关于点中心对称，其导函数，当时，，则不等式的解集为A. B. C. D.【详解】由题意设，则，当时，，当时，，则在上递增，函数的定义域为，其图象关于点中心对称，函数的图象关于点中心对称，则函数是奇函数，令是上的偶函数，且在递增，由偶函数的性质得：函数在上递减，不等式化为：，即，解得，不等式解集是，故选C.【提分秘籍】基本规律授课时，可以让学生写出y=kx+b与y=f(x)的加、减、乘、除各种【变式演练】1.设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，，若，则实数的最小值是（）A. B. C. D.【分析】构造函数，根据等式可得出函数为偶函数，利用导数得知函数在上单调递减，由偶函数的性质得出该函数在上单调递增，由，得出，利用函数的单调性和偶函数的性质解出该不等式即可.【详解】构造函数，对任意实数，都有，则，所以，函数为偶函数，.当时，，则函数在上单调递减，由偶函数的性质得出函数在上单调递增，，即，即，则有，由于函数在上单调递增，，即，解得，因此，实数的最小值为，故选A.2.已知定义域为的函数满足，其中为的导函数，则当时，不等式的解集为（）A. B.C. D.【分析】构造函数，由已知，所以在上单调递增，利用二倍角余弦公式化简变形，有，即，利用单调性即可求解.【详解】令，因为，所以，所以在上单调递增，因为，所以，不等式，即，所以，即，所以，又，所以，故选：D.3.已知是奇函数的导函数，当时，，则不等式的解集为A. B. C. D.【分析】构造函数，可得为奇函数且在上单调递增，根据奇偶性可得在上单调递增，原不等式化为，从而可得结果.【详解】令，当时，，在上单调递增，为奇函数，也是奇函数，且在上单调递增，由化为.得，，的解集为，故选B.【题型九】 复杂型：与ln （kx +b ）结合型 【典例分析】设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数A.既有极大值又有极小值B.有极大值 ，无极小值C.有极小值，无极大值D.既无极大值也无极小值 【分析】 本题首先可以根据构造函数，然后利用函数在处存在导数即可求出的值并求出函数的解析式，然后通过求导即可判断出函数的极值. 【详解】 由题意可知，，即，所以，令，则，因为函数在处存在导数，所以为定值，，，所以，令，当时，， 构建函数，则有，所以函数在上单调递增，当，，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以当时函数必有一解，令这一解为，，则当时，()f x ()f x ()f x ()fx ()f x ()f x ()fx当时，综上所述，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，所以有极小值，无极大值.【提分秘籍】基本规律 1. 2.授课时，可以让学生写出y =ln （kx +b ）与y =f (x )的加、减、乘、除各种结果【变式演练】1..已知是定义在上的奇函数，是的导函数，且满足：则不等式的解集为（ ）A. B.C.D.【分析】根据给定含导数的不等式构造函数，由此探求出在上恒负，在上恒正，再解给定不等式即可. 【详解】 令，，则，在上单调递减，而，因此，由得，而，则，由得，而，则，又，于是得在上，，而是上的奇函数，则在上，，由得：或，即或，解得或，所以不等式的解集为.()()l ()ln x 0 xn x f 0x f f g x x x '+><= （）对于（），构造()f x ()f x (1)()0x f x -⋅<()fx (1)0f <()fx (1)()0x f x -⋅<(1)()0x f x -⋅<故选：D2.设定义在上的函数恒成立，其导函数为，若，则（）A. B.C. D.【分析】由题设构造，易知上，即单调递减，进而可比较、的大小.【详解】由题意，在上的函数恒成立，若，则，∵上，即，∴在上单调递减，而，故∴，可得.故选：B3.已知定义在上的连续奇函数的导函数为，已知，且当时有成立，则使成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【分析】根据题意，设，对求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得在上单调递减，分析的特殊值，结合函数单调性分析可得在区间和上，都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上，都有，进而将不等式变形转化，解得的取值范围，即可得到答案. 【详解】 令，则，因为当时有成立，所以当时，恒成立，所以在上单调递减， 所以当时，，所以，又，所以， 当时，，所以，又，所以，在是连续的函数， 且，所以，时，，又由为奇函数，时，，所以或，解得或，则的取值范围是.故选：B.【题型十】 复杂型：基础型添加因式型 【典例分析】已知函数的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（ ） A.B.C.D.【分析】由已知条件构造函数，再根据，求，不等式转化为，()(1)0g x g <=(1)0f <()fx ()fx结合函数的单调性和奇偶性，解抽象不等式. 【详解】 由题意得，则，由，解得：，故，（2），当时，，，，在上恒成立，即在上单调递增，又，故为上的偶函数， 其图象关于轴对称，在上单调递减，故，故，故选：C.【提分秘籍】基本规律在本专题一、二、三、四等基础上，变形或者添加因式，增加复杂度【变式演练】1.定义在上的函数的导函数满足，则下列不等式中，一定成立的是A. B. C.D.【详解】 设，则，故函数在上递减，所以，所以，即，故选择A.2.已知定义在上的函数的导函数为，且满足，则关于不()fx ()f x ()fx等式的解集为（ ） A. B.C.D.【分析】 构造新函数，利用已知不等式可得的单调性，从而可解不等式.【详解】 涉及函数定义域为，设，则，∵，∴，∴在上单调递增，不等式可化为，即，所以，，又，得，∴原不等式的解为.故选：A.3.已知函数为上的可导函数，其导函数为，且满足恒成立，，则不等式的解集为 A. B.C.D.【分析】 由，构造函数，求导，可得在R 上单调递减，结合单调性，可求出不等式的解集. 【详解】 由题意知，，则构造函数，则，所以在R 是单调递减.又因为，则()fx.所求不等式可变形为，即，又在R 是单调递减，所以，故选A【题型十一】 复杂型：二次构造 【典例分析】已知是函数的导函数，且对于任意实数都有，，则不等式的解集为（ ）A. B.C.D.【分析】本题解题关键在于根据已知构造出合适的函数，，再通过逆用求导公式得到，根据已知条件求得m 的值，从而将抽象不等式转化为一元二次不等式，进而得解. 【详解】 因为，所以，即，亦即 ，又，所以，即有.原不等式可等价于，()fx即，解得的取值范围是.故选：A.【提分秘籍】基本规律二次构造： 授课时，可以适当的借助例题，分析这类题的结构特征.【变式演练】1.已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（ ）A.B.C.D.【分析】 构造函数，由题意可知在上单调递增，再对分情况讨论，利用函数的单调性即可求出不等式的解集. 【详解】 由，当时，可得，即，即，构造函数，所以函数递增，则，此时，即满足；当时，可得， 由函数递增，则，此时或，即满足； 当时，，即满足.综上，.故选： C.n f x r(x)g x r(x)=x e ,sin ,cos nx x x ⨯÷±（）（），其中，等()f x ()fx(0,1]2.已知函数的导函数为，且对任意的实数都有(是自然对数的底数)，且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【分析】由题意得即求出解析式，利用导数研究其单调性和极值与最值，结合图象即可求解.【详解】即，所以，则，所以，因为，所以，所以，，由得，此时单调递增，由得或，此时单调递减，所以时，取得极大值为，当时，取得极小值，又因为，，，且时，，的解集中恰有两个整数等价于在下方的图象只有2个横坐标为整数的点，结合函数图象可得：则，解得，所以时，的解集中恰有两个整数，故实数的取值范围是故选：C3.已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则函数的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4【分析】采用构造函数法，同乘得，变形得，即，由此可得表达式，将求出具体解析式，再结合导数研究增减性，画出大致图象，即可求解.【详解】依题意，，故，则，即，故，令，则，解得，故， 故；令，则，当时，，当，，故，故当时，，当时，；作出函数的大致图象如图所示；观察可知，与有2个交点，即函数有2个零点，故选：B.【题型十二】 综合构造 【典例分析】定义在上的连续函数的导函数为，且成立，则下列各式一定成立的是（ ） A.B.C. D.【分析】 设，由条件可得，即在上单调递减，且，由此卡判断选项A ，B ， C ， 将代入条件可得，可判断选项D.()fx ()0f π>2x π=【详解】 由题可得，所以，设则，所以在上单调递减，且由可得，所以，，所以选项A ､B 错误，选项C 正确. 把代入，可得，所以选项D 错误，故选：C.【提分秘籍】基本规律结合式子，寻找各种综合构造规律，如，或者f （x ）+r （x ）（r （x ）为常见函数）可以借助本小节授课，培养这类观察和构造的思维【变式演练】1.已知函数的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（ ）A.B.C.D.【分析】 先求出的解析式，然后再探究其奇偶性和单调性，最后将原不等式转化，进而求出结果. 【详解】()0f π>2x π=由可得，即，所以（其中为常数），因此，，由可得，故.显然，是上的偶函数.当时，，所以，在上是增函数. 故故选：C.2.定义在上的函数的导函数为，当时，且，.则下列说法一定正确的是（）A. B.C. D.【分析】构造函数，分析出函数为奇函数，利用导数分析出函数在上为增函数，由此可得出该函数在上为增函数，再利用函数的单调性可判断各选项的正误.【详解】令，，，所以，，，所以，函数为上的奇函数，，当时，，即，，所以，在上单调递增，由奇函数的性质可知，函数在上单调递增，所以，函数在上单调递增.对于A 选项，，则，即，A 选项错误； 对于B 选项，，，即，B 选项正确；对于C 选项，，，即，C 选项错误；对于D 选项，，，即，D 选项错误.故选：B.3.已知函数的定义域为，且是偶函数，（为的导函数）.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C.D.【分析】 设函数，求得时，，得到当时，，得到函数的单调性，把任意的，恒成立，转化为，即可求解.【详解】由为偶函数，得函数的图象关于直线对称.设函数，则，当时，，函数在上单调递增，可得当时，，所以当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减.()f x R ()fx ()0p x '>()0f x '>()fx ()0p x '>()0f x '>()fx设函数，则当时，因为，所以由对任意的，恒成立，可得，即，解得或，即实数的取值范围是.【题型十三】 技巧计算型构造 【典例分析】定义在上的函数的导函数为，若，且，则A. B. C.D.【分析】 由得，构造函数：，求导判单调性得，进而得则可求【详解】 因为，所以.构造函数：，所以.所以函数在上单调递增，所以，即，即.故选C【提分秘籍】基本规律()fx授课时，可以让学生写出y =kx +b 与y =f (x )的加、减、乘、除各种【变式演练】1.已知是定义在上的奇函数，记的导函数为，当时，满足.若使不等式成立，则实数的最小值为A.B.C.D.【分析】 由题意构造函数，借助单调性问题转化为e x （x 3﹣3x +3）﹣ae x ﹣x ≤0在上有解，变量分离求最值即可. 【详解】 由是定义在上的奇函数， 当时，满足.可设故为上的增函数， 又∴e x （x 3﹣3x +3）﹣ae x ﹣x ≤0在上有解，∴a ≥x 3﹣3x +3﹣，令g （x ）=x 3﹣3x +3﹣，g ′（x ）=3x 2﹣3+=（x ﹣1）（3x +3+），故当x ∈（﹣2，1）时，g ′（x ）＜0，当x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0，故g （x ）在（﹣2，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数； 故g min （x ）=g （1）=1﹣3+3﹣=1﹣；故选D. 2.定义在上的函数满足：是的导函数， 则不等式的解集为A. B.C.D.【分析】()fx ()fx ()f x ()fx设，得到函数，即函数为单调递增函数，不等式转化为，即可不等式的解集.【详解】 设，则，又由，则，所以，所以函数为单调递增函数， 又由，所以，由不等式，即，即，所以不等式的解集为，故选A.3.已知函数在上处处可导，若[f(x)−f ′(x)]tan x−f(x)<0，则（ ）A.f(ln 32)sin (ln 32)一定小于0.6f(ln 52)sin (ln 52) B.f(ln 32)sin (ln 32)一定大于0.6f(ln 52)sin (ln 52) C.f(ln 32)sin (ln 32)可能大于0.6f(ln 52)sin (ln 52) D.f(ln 32)sin (ln 32)可能等于0.6f(ln 52)sin (ln 52) 【解析】∵[f(x)−f ′(x)]tan x−f(x)<0∴[f(x)−f ′(x)]sin xcos x −f(x)<0，即f(x)sin x−f ′(x)sin x <f(x)cos x⇒f(x)sin x <f ′(x)sin x +f(x)cos x =(f(x)sin x )′即(f(x)sin x )′−f(x)sin x >0，设g(x)=f(x)sin x e x，则g ′(x)=f(x)sin x e x=(f(x)sin x )′e x −e x (f(x)sin x )(e x )2=(f(x)sin x )′−f(x)sin xe x>0，即函数g(x)=f(x)sin x e x在上单调递增，而0<ln 32<ln 52<π2，所以f(ln 32)sin (ln 32)eln 32<f(ln 52)sin (ln 52)eln 52⇒f(ln 32)sin (ln 32)32<f(ln 52)sin (ln 52)52⇒f(ln 32)sin(ln 32)<35f(ln 52)sin (ln 52)选A()f x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭二、最新模拟试题精练1. 已知定义在上的函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【分析】根据题意以及选项对比可知，本题需要构造和，求导后判断其单调性得出和的结论代入化简即可. 【详解】由题意可知，函数在上单调递减.,.构造，定义域为，则，所以在上单调递减，所以，即，故A,B 错误.构造，定义域为，则，所以在上单调递增，所以，即，故B,D 错误. 故选:C【方法点评】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解R ()f x ()f x '()()0f x f x <'<()()()()e 21,2e 1f f f f >>()()()()e 21,2e 1f f f f ><()()()()e 21,2e 1f f f f <>()()()()e 21,2e 1f f f f <<()e ()x h x f x =()()e xf xg x =(2)(1)h h <(2)(1)g g >()f x R ()()0f x f x '+<()()0f x f x '->()e ()x h x f x =R ()()()e ()e e [()]0x x xh x f x f x f x f x '''=+=+<()h x R (2)(1)h h <2e (2)e (1),e (2)(1)f f f f <<()()e x f x g x =R ()()()()2e e ()0(e )ex x x xf x f x f x f xg x ''⋅-⋅-'==>()g x R (2)(1)g g >2(2)(1),(2)e (1)e ef f f f >>2. 定义在上的函数有不等式恒成立，其中为函数的导函数，则（）A. B. C. D. 【分析】根据已知条件可以得到，在(0,+∞)上的单调性，从而分别得到,进而得到结论.【详解】，即，因为定义在上，，令则，，则函数在上单调递增. 由得，即，；同理令，， 则函数在上单调递减. 由得，，即. 综上，. 故选：B.【方法点评】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性和单调性在比较大小中的应用，()0,∞+()y f x =()()()23f x xf x f x '<<()y f x '=()y f x =()()24161f f <<()()2481f f <<()()2341f f <<()()2241f f <<()()2f x g x x =()()3f x h x x=()()()()21,21g g h h ><()()2f x xf x '<()()20f x x f x '⋅->()y f x =()0,∞+∴()()220f x x xf x '⋅->()()2f x g x x=()()241f f >()()()242g 0f x x xf x x x '⋅-'=>()g x ()0,∞+()()21g g >()()222121f f >()24(1)f f >()()3f x h x x =()()()()()3264330f x x x f x f x x f x h x x x ''⋅-⋅-'==<()h x ()0,∞+()()21hg <()()332121f f <()()281f f <()()2481f f <<，从中间是减号，联想到除法的求导法则，从系数2，联想到要有的导数产生，综合需要两边同乘以，得到，进而得到得到函数，同样道理得到的单调性，这是解决本题的关键和难点.3. 已知函数的定义域为，其导函数为，对恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B.C.D.【分析】根据已知条件构造一个函数，再利用的单调性求解不等式即可. 【详解】由，可得， 即，令， 则. 令，， 所以在上是单调递减函数.不等式，等价于，即，， ()()20f x x f x '⋅->2x x ()()220f x x xf x '⋅->()()2f x g x x =()()()242g 0f x x xf x x x '⋅-'=>()()3f x h x x =()f x ()1,+∞()f x '()()()()22x f x xf x xf x '++<⎡⎤⎣⎦()1,x ∈+∞()14525f =()()233210x f x x ++>+()1,2(),2-∞()2,3-()2,2-()()2g x G x x =+()G x ()()()()22x f x xf x xf x '++<⎡⎤⎣⎦()()()2222x f x xf x x f x x '+<+()()()222x f x x f x x '<+()()2g x x f x =()()()()()2022g x g x g x x g x x x '-+'<-=++()()2g x G x x =+()()()()()()22022g x g x x g x G x x x ''+-⎛⎫'==< ⎪++⎝⎭()G x 1∞+（，）()()233210x f x x ++>+()()23325x f x x ++>+()()3325g x G x x ++=>+()()()52555277g f G ===。
高考数学冲刺介值定理考点精讲
高考数学冲刺介值定理考点精讲在高考数学的备考过程中，介值定理是一个较为重要的考点，对于同学们解决一些函数相关的问题具有关键作用。
今天，咱们就来深入地了解一下介值定理。
介值定理是数学分析中的一个基本定理，它有着广泛的应用。
首先，咱们来看看介值定理的具体内容。
介值定理表述为：设函数 f(x) 在闭区间 a, b 上连续，且f(a) ≠ f(b)，那么对于 f(a) 与 f(b) 之间的任意一个实数μ，在开区间（a, b) 内至少存在一个ξ，使得f(ξ) ＝μ 。
为了更好地理解介值定理，咱们来看几个具体的例子。
假设函数 f(x) ＝ x² 2x 在闭区间 0, 3 上连续，f(0) ＝ 0，f(3) ＝ 3。
那么对于 0 到 3 之间的任意一个实数，比如 15，必然存在一个ξ 属于（0, 3)，使得f(ξ) ＝ 15 。
通过求解方程 x² 2x ＝ 15 ，可以得到 x 的值，从而验证介值定理。
再比如，函数 f(x) ＝ sin x 在闭区间0, π 上连续，f(0) ＝ 0，f(π) ＝0 。
对于 0 到 0 之间的任意一个实数（包括 0 ），都能在（0, π) 内找到一个ξ ，使得f(ξ) 等于这个实数。
那介值定理在高考中通常会怎么考呢？一种常见的题型是判断函数在某个区间内是否存在零点。
比如给定一个函数 f(x) ，并且知道 f(a) 和 f(b) 的正负情况，根据介值定理就可以判断在区间（a, b) 内是否存在零点。
另一种题型是利用介值定理证明不等式。
通过构造合适的函数，利用函数的连续性和介值定理来得出不等式的结论。
还有一种题型是求解方程根的存在性和个数。
通过分析函数的性质，结合介值定理来确定方程根的情况。
在解决这些问题时，关键是要正确地构造函数，并准确运用介值定理。
那么，在高考冲刺阶段，咱们该如何有效地掌握介值定理这个考点呢？第一步，要透彻理解介值定理的概念和条件。
不仅要记住定理的表述，更要明白其内涵和适用范围。
新高考高中数学核心知识点全透视：函数(精讲精析篇)(附答案及解析)
专题3.1函数（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 求函数的定义域1.(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.2.已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．3．抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．【典例1】（2019·江苏高考真题）函数2=+-_____.76y x x【典例2】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）已知函数(31)f x -的定义域是[]0,2,则函数()f x 的定义域是( ) A.[]0,2B.1[1]3，C.[-15]，D.无法确定【典例3】（2018·上海上外浦东附中高一月考）已知()f x 的定义域为[]3,3-，则()21f x -的定义域为_______________. 【特别提醒】求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达．热门考点02 求函数的解析式1. 求函数解析式的四种方法【典例4】（2016·浙江高考真题（文））设函数f(x)=x 3+3x 2+1.已知a≠0，且f(x)–f(a)=(x –b)(x –a)2，x R ∈，则实数a=_____，b=______.【典例5】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）若()22144f x x x +=+,则()f x 的解析式为__________.【典例6】（2018·上海市金山中学高一期末）设()f x 是定义在R 上的函数，且满足对任意,x y 等式()()()22343f y x f x y x y -=-+-+恒成立，则()f x 的解析式为_____________．【特别提醒】谨防求函数解析式的两种失误：(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x 的取值范围． (2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．如已知f (x )＝x ＋1，求函数f (x )的解析式，可通过换元的方法得f (x )＝x 2＋1，函数f (x )的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．热门考点03 分段函数及其应用1.(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.2.根据分段函数解析式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．3.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围． 提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论． 【典例7】（山东省2018年普通高校招生（春季））已知函数，则的值等于__________．【典例8】（2018·上海市金山中学高一期末）已知()[)[]21,1,01,0,1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，则下列函数的图象错误的是（ ）A.(1)f x -的图象B.()f x -的图象C.(||)f x 的图象D.|()|f x 的图象【典例9】（上海高考真题（理））设若，则a 的取值范围为_____________.【典例10】（2018届河北省唐山市三模）设函数则使得成立的得取值范围是__________．【典例11】（2014浙江高考理第15题）设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______ 【总结提升】关于分段函数的命题角度主要有：一是分段函数求值，二是分段函数与方程、不等式结合.由于分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值、解方程（不等式）时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．热门考点04 函数的单调性与最值（值域）1.增函数、减函数（1）增函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；（2）减函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.2.函数的最值（1）最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； ②存在0x I ∈，使得()0f x M =.那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值.（2）最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足： ①对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥； ②存在0x I ∈，使得()0f x m =.那么，我们称m 是函数()y f x =的最小值.【典例12】函数2()23f x x mx =-+，当[2,)x ∈-+∞时是增函数，当(,2]x ∈-∞-时是减函数，则(1)f 等于（ ）A ．-3B ．13 C. 7 D ． 5【典例13】（2019·山西省长治市第二中学校高一期中）若函数2()21f x x mx =-+在[2,)+∞上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A.(,1]-∞B.[1,)+∞C.[2,)+∞D.(,2]-∞【典例14】函数()21,12,1x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-+<⎩的最大值为（ ）A.1B.2C.12D.13【总结提升】1.利用基本初等函数的单调性与图象：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；2.性质法：（1）增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；（2）函数()f x -与函数()f x 的单调性相反； （3）0k >时，函数()f x 与()k f x 的单调性相反（()0f x ≠）；0k <时，函数()f x 与()k f x 的单调性相同（()0f x ≠）.3.定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）.*4.导数法：()0f x '≥在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递增；()0f x '≤在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递减.【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函数值的大小比较.5.函数单调性的应用（1）比较函数值大小（随着基本初等函数的学习，逐步体会）比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解． （2）求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))＞f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )＞h (x )(或g (x )＜h (x ))． （3）利用单调性求参数的范围(或值)的方法①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． 6.函数值域的常见求法： (1)配方法配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F (x )＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c (a ≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法． (2)数形结合法若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法． (3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题） (4)利用函数的单调性①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递增，则y 最小＝f (a )，y 最大＝f (b )； 若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递减，则y 最小＝f (b )，y 最大＝f (a )．②形如y ＝ax ＋b ＋dx ＋c 的函数，若ad ＞0，则用单调性求值域；若ad ＜0，则用换元法．③形如y ＝x ＋kx(k ＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x ＞0时，函数y ＝x ＋k x (k ＞0)的单调减区间为(0，k ]，单调增区间为[k ，＋∞)．一般地，把函数y ＝x ＋kx(k ＞0，x ＞0)叫做对勾函数，其图象的转折点为(k ，2k )，至于x ＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决．*(5)导数法利用导函数求出最值，从而确定值域．热门考点05 函数的奇偶性、周期性与单调性1.判断函数的奇偶性的两种方法 (1)定义法：(2)图象法：2．函数奇偶性的应用 (1)求函数解析式①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式． (2)求参数值在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f (－x )＝－f (x )或偶函数满足f (－x )＝f (x )列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f (0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法． *3.函数周期性的判定及应用(1)只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T .(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数整体的性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合考查．(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用． 【典例15】（2017·全国高考真题（理））函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）．A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【典例16】（2018·全国高考真题（理））已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ） A.50-B.0C.2D.50【典例17】（2017·山东高考真题（文））已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.【典例18】（2013·上海高考真题（理））设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()97a f x x x=++．若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围是 .【总结提升】 拓展：1.函数奇偶性的判断(1)复合函数奇偶性的判断：若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数的奇偶性可根据若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”．(2)抽象函数奇偶性的判断：应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判断． 2．熟记4种常见抽象函数的周期 (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2|a |； (2)若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2|a |； (3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2|a |；(4)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则T ＝2|a |.3.当函数具有两个对称时函数一般也是周期函数．当函数()f x 是奇函数，又有对称轴x m =时，则函数一定是周期函数，且周期为4T m =；若()f x 有两条对称轴x a =和x b =，则函数是周期函数，2b a -是函数的一个周期；同样若()f x 有两个对称中心(,0)a 和(,0)b ，则函数是周期函数，2b a -是函数的一个周期.巩固提升1.有意义的实数x 的取值范围是（ ）A.{|0x x >或}1x <-B.{|0x x …或}1x -„ C.{}10x x -<<D.{}10x x -剟2．（2019·重庆高一）若()335f x x +=+，则()f x 等于（ ）． A.32x + B.38x + C.31x -D.34x -3.（2017·浙江高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关4.（2019·江苏高一月考）函数()()02f x x =-+ ） A.()2,+∞ B.()1,-+∞ C.()()1,22,-+∞UD.R5.（2014·全国高考真题（文））奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．16.（2019·山西省长治市第二中学校高一期中）已知函数2()3f x ax bx =++是定义在[3,2]a a -上的偶函数，则+a b 的值是（ ） A.1-B.1C.3-D.07.（2019·浙江学军中学高一期中）函数()f x = ）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数8.（2017·全国高考真题（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f =__________.9.（2016·四川高考真题（文））若函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f （x ）=，则f （）+f （2）= .10.（2019·上海闵行中学高一期中）已知21(1)()(1)(1)x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，则(3)f =________11．（2019·上海市第二中学高二期末）若函数()3f x x a =+为奇函数，则()1f =______．12.（2018·上海上外浦东附中高一月考）函数()21y k x b =++在R 上是增函数，则实数k 的取值范围是_________.13.（2018·上海上外浦东附中高一月考）已知函数2y x =，[]0,3x ∈，则函数的值域为__________.14.（2015·浙江高考真题（文））已知函数()2,1{ 66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦ ， ()f x 的最小值是 ．15.（2019·上海市高桥中学高一期末）已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，若()10f x -<，则x 的取值范围是_________.16.（2018·上海曹杨二中高一期末）设函数()1f x x =-，若0a b <<且()()f a f b =，则ab 的取值范围是_________；专题3.1函数（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 求函数的定义域1.(1)在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 2.已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f (x )是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集． (2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 3．抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 【典例1】（2019·江苏高考真题）函数276y x x =+-_____. 【答案】[1,7]-. 【解析】由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤ 解得17x -≤≤， 故函数的定义域为[1,7]-.【典例2】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）已知函数(31)f x -的定义域是[]0,2,则函数()f x 的定义域是( ) A.[]0,2 B.1[1]3，C.[-15]，D.无法确定【答案】C 【解析】由已知02x ≤≤，1315x ∴-≤-≤，即函数()f x 的定义域是[-15]，， 故选：C ．【典例3】（2018·上海上外浦东附中高一月考）已知()f x 的定义域为[]3,3-，则()21f x -的定义域为_______________.【答案】[]22-,【解析】由于函数()y f x =的定义域为[]3,3-，对于函数()21y f x =-，有2313x -≤-≤，即224x -≤≤，即24x ≤，解得22x -≤≤.因此，函数()21y f x =-的定义域为[]22-,. 故答案为：[]22-,. 【特别提醒】求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达．热门考点02 求函数的解析式1. 求函数解析式的四种方法【典例4】（2016·浙江高考真题（文））设函数f(x)=x 3+3x 2+1.已知a≠0，且f(x)–f(a)=(x –b)(x –a)2，x R ∈，则实数a=_____，b=______.【答案】－2，1【解析】()()32323232313133f x f a x x a a x x a a -=++---=+--，()()()()2322222x b x a x a b x a ab x a b --=-+++-，所以223223{20 3a b a ab a b a a --=+=-=--，解得2{ 1a b =-=． 【典例5】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）若()22144f x x x +=+,则()f x 的解析式为__________.【答案】2()1f x x =- 【解析】 令21x t +=，12t x -∴=，代入()22144f x x x +=+， ()22114()4122t t f t t --∴=+⋅=-，故答案为：2()1f x x =-．【典例6】（2018·上海市金山中学高一期末）设()f x 是定义在R 上的函数，且满足对任意,x y 等式()()()22343f y x f x y x y -=-+-+恒成立，则()f x 的解析式为_____________．【答案】()()31f x x x =+ 【解析】Q ()f x 是定义在R 上的函数，且对任意,x y ，()()()22343f y x f x y x y -=-+-+恒成立，∴令y x =，得()()()22343f x x f x x x x -=-+-+， 即()()()2333f x f x x x =-++，()()3333f x x x ∴=+， ()()31f x x x ∴=+.故答案为：()()31f x x x =+ 【特别提醒】谨防求函数解析式的两种失误：(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x 的取值范围． (2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．如已知f )＝x ＋1，求函数f (x )的解析式，可通过换元的方法得f (x )＝x 2＋1，函数f (x )的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．热门考点03 分段函数及其应用1.(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.2.根据分段函数解析式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．3.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围． 提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论． 【典例7】（山东省2018年普通高校招生（春季））已知函数，则的值等于__________． 【答案】【解析】 因为，所以.【典例8】（2018·上海市金山中学高一期末）已知()[)[]21,1,01,0,1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，则下列函数的图象错误的是（ ）A.(1)f x -的图象B.()f x -的图象C.(||)f x 的图象D.|()|f x 的图象【答案】D 【解析】作出()[)[]21,1,01,0,1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，如下图(1)f x -的图象，由()f x 的图象向右平移一个单位，故A 正确；()f x -的图象，由()f x 的图象y 轴右侧的翻折到左侧，左侧翻折到右侧，故B 正确； (||)f x 的图象，由()f x 的图象右侧的保留不变，且把右边的翻折到左边，故C 正确；|()|f x 的图象，把x 轴下方的翻折到上方，图象与()f x 一样，故D 错误；故选：D【典例9】（上海高考真题（理））设若，则a 的取值范围为_____________.【答案】(,2]-∞ 【解析】由题意，若2a >，则(2)2f =不合题意，因此2a ≤，此时[,)x a ∈+∞时，2()f x x =，满足(2)4f =.【典例10】（2018届河北省唐山市三模）设函数则使得成立的得取值范围是__________． 【答案】.【解析】 由，得或，得或，即得取值范围是，故答案为.【典例11】（2014浙江高考理第15题）设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______【答案】a ≤【解析】由题意()()()202f a f a f a <⎧⎪⎨+≤⎪⎩或()()202f a f a ≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩，解得()2f a ≥-，当202a a a <⎧⎨+≥-⎩或202a a ≥⎧⎨-≥-⎩，解得，0a <或a ≤≤，故a ≤【总结提升】关于分段函数的命题角度主要有：一是分段函数求值，二是分段函数与方程、不等式结合.由于分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值、解方程（不等式）时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．热门考点04 函数的单调性与最值（值域）1.增函数、减函数（1）增函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；（2）减函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.2.函数的最值（1）最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； ②存在0x I ∈，使得()0f x M =.那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值.（2）最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足： ①对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；②存在0x I ∈，使得()0f x m =.那么，我们称m 是函数()y f x =的最小值.【典例12】函数2()23f x x mx =-+，当[2,)x ∈-+∞时是增函数，当(,2]x ∈-∞-时是减函数，则(1)f 等于（ ）A ．-3B ．13 C. 7 D ． 5 【答案】B【解析】由题意知函数()f x 的对称轴224b mx a =-==-，所以8m =-，所以(1)28313f =++=，故选B ．【典例13】（2019·山西省长治市第二中学校高一期中）若函数2()21f x x mx =-+在[2,)+∞上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A.(,1]-∞ B.[1,)+∞ C.[2,)+∞ D.(,2]-∞【答案】D 【解析】由题意，函数2()21f x x mx =-+，开口向上，其对称轴x m =，∵在[2,)+∞上是增函数，∴2m ≤，即实数m 的取值范围为(,2]-∞， 故选D.【典例14】函数()21,12,1x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-+<⎩的最大值为（ ）A.1B.2C.12D.13【答案】B 【解析】当1x ≥时，函数()1f x x=在()1,+∞单调递减，此时()f x 在1x =处取得最大值，最大值为()11f =； 当1x <时，函数()22f x x =-+在0x =处取得最大值，最大值为()02f =． 综上可得，()f x 的最大值为2．故选：B ． 【总结提升】1.利用基本初等函数的单调性与图象：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；2.性质法：（1）增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；（2）函数()f x -与函数()f x 的单调性相反； （3）0k >时，函数()f x 与()k f x 的单调性相反（()0f x ≠）；0k <时，函数()f x 与()k f x 的单调性相同（()0f x ≠）.3.定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）.*4.导数法：()0f x '≥在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递增；()0f x '≤在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递减.【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函数值的大小比较.5.函数单调性的应用（1）比较函数值大小（随着基本初等函数的学习，逐步体会）比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解． （2）求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))＞f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )＞h (x )(或g (x )＜h (x ))． （3）利用单调性求参数的范围(或值)的方法①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． 6.函数值域的常见求法： (1)配方法配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F (x )＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c (a ≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法． (2)数形结合法若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法．(3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题） (4)利用函数的单调性①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递增，则y 最小＝f (a )，y 最大＝f (b )； 若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递减，则y 最小＝f (b )，y 最大＝f (a )．②形如y ＝ax ＋b ＋dx ＋c 的函数，若ad ＞0，则用单调性求值域；若ad ＜0，则用换元法．③形如y ＝x ＋kx(k ＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x ＞0时，函数y ＝x ＋k x (k ＞0)的单调减区间为(0，k ]，单调增区间为[k ，＋∞)．一般地，把函数y ＝x ＋kx(k ＞0，x ＞0)叫做对勾函数，其图象的转折点为(k ，2k )，至于x ＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决． *(5)导数法利用导函数求出最值，从而确定值域．热门考点05 函数的奇偶性、周期性与单调性1.判断函数的奇偶性的两种方法 (1)定义法：(2)图象法：2．函数奇偶性的应用 (1)求函数解析式①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式．(2)求参数值在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f (－x )＝－f (x )或偶函数满足f (－x )＝f (x )列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f (0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法． *3.函数周期性的判定及应用(1)只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T .(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数整体的性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合考查．(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用． 【典例15】（2017·全国高考真题（理））函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）． A ．[2,2]- B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D 【解析】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【典例16】（2018·全国高考真题（理））已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ） A.50- B.0C.2D.50【答案】C 【解析】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ， 因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，选C.【典例17】（2017·山东高考真题（文））已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.【答案】6 【解析】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+= ()16f =-=. 【典例18】（2013·上海高考真题（理））设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()97a f x x x=++．若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围是 .【答案】87a ≤- 【解析】∵()y f x =是定义在R 上的奇函数，∴当0x >时，2()()97a f x f x x x=--=+-，而229729767a a x x a x x+-≥⋅-=-，当些仅当3x a =时，“=”成立，∴当0x >时，要使()1f x a ≥+恒成立，只需86717a a a -≥+⇒≤-或85a ≥，又∵0x =时，(0)01f a =≥+，∴1a ≤-，综上，故实数a 的取值范围是8(,]7-∞-.【总结提升】 拓展：1.函数奇偶性的判断(1)复合函数奇偶性的判断：若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数的奇偶性可根据若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”．(2)抽象函数奇偶性的判断：应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判断． 2．熟记4种常见抽象函数的周期 (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2|a |； (2)若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2|a |； (3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2|a |；(4)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则T ＝2|a |.3.当函数具有两个对称时函数一般也是周期函数．当函数()f x 是奇函数，又有对称轴x m =时，则函数一定是周期函数，且周期为4T m =；若()f x 有两条对称轴x a =和x b =，则函数是周期函数，2b a -是函数的一个周期；同样若()f x 有两个对称中心(,0)a 和(,0)b ，则函数是周期函数，2b a -是函数的一个周期.巩固提升1.有意义的实数x 的取值范围是（ ）A.{|0x x >或}1x <-B.{|0x x …或}1x -„ C.{}10x x -<< D.{}10x x -剟【答案】C 【解析】依题有，2x x ⎧--≥⎪≠，解得10x -<<．故选：C ．2．（2019·重庆高一）若()335f x x +=+，则()f x 等于（ ）． A.32x + B.38x + C.31x - D.34x -【答案】D 【解析】令3x t +=，所以3x t =-，所以()()33534f t t t =-+=-，所以()34f x x =-， 故选：D.3.（2017·浙江高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．4.（2019·江苏高一月考）函数()()02f x x =-+ ） A.()2,+∞ B.()1,-+∞ C.()()1,22,-+∞U D.R【答案】C 【解析】幂函数的零次方底数不为0，即20x -≠ ，2x ≠；偶次方根被开方数大于等于零，分式分母不为零，即10x +>，1x >- 所以()()1,22,x ∈-+∞U . 故选：C5.（2014·全国高考真题（文））奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】D 【解析】(2)f x +是偶函数，则()f x 的图象关于直线2x =对称，又()f x 是奇函数，则(0)0f =，且()f x 是周期函数，且周期为4，所以(8)(9)(0)(1)1f f f f +=+=．故选D ．6.（2019·山西省长治市第二中学校高一期中）已知函数2()3f x ax bx =++是定义在[3,2]a a -上的偶函数，则+a b 的值是（ ） A.1- B.1C.3-D.0【答案】B 【解析】∵函数2()3f x ax bx =++是定义在[3,2]a a -的偶函数， ∴320a a -+=，解得1a =，由()()f x f x =-得0b =，即1a b +=， 故选：B.7.（2019·浙江学军中学高一期中）函数()249x x f x x+-=-的奇偶性为（ ）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数【答案】B 【解析】 函数()249x x f x x +-=-，所以有290->x ，解得33x -<<， 所以()f x 定义域为()3,3- 此时40x -<恒成立， 所以()2224999x x f x x x x +-===---，()()()2299f x f x xx -===---，所以()f x 是偶函数， 故选：B8.（2017·全国高考真题（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f =__________. 【答案】12 【解析】函数()f x 是定义在上的奇函数，()()f x f x -=-，则()()f x f x =--，()()()()322222212f f ⎡⎤=--=-⨯-+-=⎣⎦.9.（2016·四川高考真题（文））若函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f （x ）=，则f （）+。
高考数学必考题型及答题技巧整理
高考数学必考题型及答题技巧整理（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高考数学函数与方程考点精讲
高考数学函数与方程考点精讲在高考数学中，函数与方程是极为重要的考点，也是许多同学感到棘手的部分。
接下来，让我们深入探讨一下这个关键考点。
一、函数的概念与性质函数，简单来说，就是对于一个自变量 x 的每一个确定的值，都有唯一的因变量 y 与之对应。
函数通常用 y ＝ f(x) 的形式来表示。
函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等。
单调性是指函数在某个区间内是递增还是递减。
如果对于区间内的任意两个自变量的值 x1 和 x2，当 x1 ＜ x2 时，都有 f(x1) ＜ f(x2)，那么函数在这个区间就是单调递增的；反之，如果 f(x1) ＞ f(x2)，则函数在这个区间单调递减。
奇偶性则是关于函数图象的对称性。
如果对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x，都有 f(x) ＝ f(x)，那么函数 f(x)就是偶函数，其图象关于y 轴对称；如果 f(x) ＝ f(x)，则函数 f(x)是奇函数，其图象关于原点对称。
周期性指的是函数值按照一定的规律重复出现。
若存在非零常数T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋ T) ＝ f(x)都成立，那么就把函数 y ＝ f(x)叫做周期函数，周期为 T。
二、函数的图象函数的图象是理解函数性质的重要工具。
通过图象，我们可以直观地看出函数的单调性、奇偶性、最值等信息。
例如，一次函数 y ＝ kx ＋ b（k ≠ 0）的图象是一条直线。
当 k ＞ 0 时，函数单调递增；当 k ＜ 0 时，函数单调递减。
二次函数 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）的图象是一条抛物线。
当 a ＞0 时，抛物线开口向上，函数有最小值；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，函数有最大值。
三、函数的基本类型常见的函数类型有一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数等。
一次函数和二次函数在实际问题中的应用非常广泛。
反比例函数 y＝ k/x（k 为常数，k ≠ 0）的图象是以原点为对称中心的两条曲线。
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高考数学答题策略精讲
数学是一切科学的基础，小编准备了高考数学答题策
略，希望你喜欢。
一、历年高考数学试卷的启发
1.试卷上有参考公式，80%是有用的，它为你的解题指引了
方向;
2.解答题的各小问之间有一种阶梯关系，通常后面的问要使
用前问的结论。如果前问是证明，即使不会证明结论，该结
论在后问中也可以使用。当然，我们也要考虑结论的独立性;
3.注意题目中的小括号括起来的部分，那往往是解题的关键;
二、答题策略选择
1.先易后难是所有科目应该遵循的原则，而数学卷上显得更
为重要。一般来说，选择题的后两题，填空题的后一题，解
答题的后两题是难题。当然，对于不同的学生来说，有的简
单题目也可能是自己的难题，所以题目的难易只能由自己确
定。一般来说，小题思考1分钟还没有建立解答方案，则应
采取“暂时性放弃”，把自己可做的题目做完再回头解答;
2.选择题有其独特的解答方法，首先重点把握选择支也是已
知条件，利用选择支之间的关系可能使你的答案更准确。切
记不要“小题大做”。注意解答题按步骤给分，根据题目的已
知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法、或是判断。
虽然不能完全解答，但是也要把自己的想法与做法写到答卷
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上。多写不会扣分，写了就可能得分。
三、答题思想方法
1.函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联
系。首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。
2.如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合
的思想方法;
3.面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参
数没有影响到的不变的性质。如所过的定点，二次函数的对
称轴或是……;
4.选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法;
5.求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，
用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形
的过程中，优先选择分离参数的方法;
6.恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二
次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，
分类讨论应该不重复不遗漏;
7.圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲
线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与
弦的中点无关，选择韦达定理公式法;使用韦达定理必须先考
虑是否为二次及根的判别式;
8.求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定
系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设
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点、列式、化简(注意去掉不符合条件的特殊点);
9.求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关
系等式即可;
10.三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次
同角弦函数，然后使用辅助角公式解答;解三角形的题目，重
视内角和定理的使用;与向量联系的题目，注意向量角的范
围;
11.数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法;
注意归纳、猜想之后证明;猜想的方向是两种特殊数列;解答
的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想;
12.立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完
成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成;注意向量角与
线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三
角函数值的转化;锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面
积的计算注意系数1/2 ;与球有关的题目也不得不防，注意连
接“心心距”创造直角三角形解题;
13.导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步
骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找
到突破口，必要时应该放弃;重视几何意义的应用，注意点是
否在曲线上;
14.概率的题目如果出解答题，应该先设事件，然后写出使用
公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略;如果有
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分布列，则概率和为1是检验正确与否的重要途径;
15.三选二的三题中，极坐标与参数方程注意转化的方法，不
等式题目注意柯西与绝对值的几何意义，平面几何重视与圆
有关的知积，必要时可以测量;
16.遇到复杂的式子可以用换元法，使用换元法必须注意新元
的取值范围，有勾股定理型的已知，可使用三角换元来完成;
17.注意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的
使用与赋值的方法，排列组合中的枚举法，全称与特称命题
的否定写法，取值范或是不等式的解的端点能否取到需单独
验证，用点斜式或斜截式方程的时候考虑斜率是否存在等;
18.绝对值问题优先选择去绝对值，去绝对值优先选择使用定
义;
19.与平移有关的，注意口诀“左加右减，上加下减”只用于函
数，沿向量平移一定要使用平移公式完成;
20.关于中心对称问题，只需使用中点坐标公式就可以，关于
轴对称问题，注意两个等式的运用：一是垂直，一是中点在
对称轴上。
四、每分必争
1.答题时间共120分，而你要答分数为150分的考卷，算一
算就知道，每分钟应该解答1分多的题目，所以每1分钟的
时间都是重要的。试卷发到手中首先完成必要的检查(是否有
印刷不清楚的地方)与填涂。之后剩下的时间就马上看试卷中
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可能使用到的公式，做到心中有数。用心算简单的题目，必
要时动一动笔也不是不行(你是写名字或是写一个字母没有
人去区分)。
2.在分数上也是每分必争。你得到89分与得到90分，虽然
只差1分，但是有本质的不同，一个是不合格一个是合格。
高考中，你得556分与得557分，虽然只差1分，但是它决
定你是否可以上重本线，关系到你的一生。所以，在答卷的
时候要精益求精。对选择题的每一个选择支进行评估，看与
你选的相似的那个是不是更准确?填空题的范围书写是不是
集合形式，是不是少或多了一个端点?是不是有一个解应该舍
去而没舍?解答题的步骤是不是按照公式、代数、结果的格式
完成的，应用题是不是设、列、画(线性归化)、解、答?根据
已知条件你还能联想到什么?把它写在考卷上，也许它就是你
需要的关键的1分，为什么不去做呢?
3.答题的时间紧张是所有同学的感觉，想让它变成宽松的方
法只有一个，那就是学会放弃，准确的判断把该放弃的放弃，
就为你多得1分提供了前提。
4.冷静一下，表面是耽误了时间，其实是为自己赢得了机会，
可能创造出奇迹。在头脑混乱的时候，不防停下来，喝口水，
深吸一口气，再慢慢呼出，就在呼出的同时，你就会得到灵
感。
5.题目分析受挫，很可能是一个重要的已知条件被你忽略，
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所以重新读题，仔细读题才能有所发现，不能停留在某一固
定的思维层面不变。联想你做过的类似的题目的解题方法，
把不熟悉的转化为你熟悉的也许就是成功。
“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的
门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算
是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”
概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知
识那般的含义。《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》
中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”
等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。其实《国
策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。可见“先生”
之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接
近。看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问
者的专称。称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?曲礼》，
有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、
资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。
家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿
阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期
抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情
况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故
事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很
快。6.高考只是人生的重要考试之一，其实人生是由每一分
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钟组成的。把握好人生的每一分钟才能真正把握人生。高考
就是广州三模罢了，其实真正的高考是在你生活的每1分钟
里。
高考数学答题策略就为大家介绍到这里，希望对你有所帮
助。
“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的
门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算
是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”
概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知
识那般的含义。《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》
中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”
等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。其实《国
策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。可见“先生”
之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接
近。看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问
者的专称。称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?曲礼》，
有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、
资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。