2016-2017年四川省成都七中实验学校高二上学期数学期中试卷及参考答案(理科)
四川省成都市高二上学期期中数学试卷
四川省成都市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共15分)1. （1分） (2017高一下·安平期末) 已知正项等比数列{an}中，a1=1，其前n项和为Sn（n∈N*），且，则S4=________．2. （1分）已知矩阵A=， B=，则A+B=________ ．3. （1分） (2017高二上·廊坊期末) 与向量 =（3，4，0）同向的单位向量 =________．4. （1分）已知向量与向量平行，其中=（2，5），=（﹣4，t），则t=________5. （1分）(2017·松江模拟) 已知数列{an}满足a1=1，a2=3，若|an+1﹣an|=2n（n∈N*），且{a2n﹣1}是递增数列、{a2n}是递减数列，则 =________．6. （2分） (2016高一下·北京期中) 函数y=cos（x﹣）（x∈[ ，π]）的最大值是________，最小值是________．7. （1分）设△ABC的三个内角为A、B、C，向量，若，则C=________．8. （1分）(2018·杨浦模拟) 计算： ________9. （1分） (2018高二上·阜阳月考) 已知等差数列数列前n的和为 ,,若，，则的值________．10. （1分） (2019高一下·哈尔滨月考) 在数列{an}中，a1 ，an+1＝an2+an ，n∈N* ， bn ，Pn＝b1b2b3…bn ， Sn＝b1+b2+b3+…+bn ，则5Pn+2Sn＝________11. （1分） (2017高三上·唐山期末) 已知是等比数列，，则________.12. （1分） (2015高三上·厦门期中) 在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为________．13. （1分） (2017高二下·濮阳期末) 在△ABC中，不等式 + + ≥ 成立；在四边形ABCD中，不等式 + + + ≥ 成成立；在五边形ABCDE中，不等式 + + + + ≥ 成立．猜想在n边形中，不等式________成立．14. （1分） (2016高二上·大庆期中) 正四面体ABCD的各棱长为a，点E、F分别是BC、AD的中点，则的值为________二、选择题 (共4题；共8分)15. （2分）用数学归纳法证明：“ ”时，由n=k(k>1) 不等式成立，推证 n=k+1 时，左边应增加的项数是（）A . 2k-1B . 2k-1C . 2kD . 2k+116. （2分）定义在上的函数满足下列两个条件：⑴对任意的恒有成立；⑵当时，；记函数，若函数恰有两个零点，则实数k的取值范围是（）A .B .C .D .17. （2分）如果（1﹣2x）n存在，那么x的取值范围是（）A . 0≤x＜1B . 0＜x＜1C . 0≤x≤1D . 0＜x≤118. （2分）已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，G是△ABC的三条边上中线的交点，若= ，且≥m+c恒成立，则实数m的取值范围为（）A .B .C .D .三、解答题 (共4题；共50分)19. （10分） (2017高一下·景德镇期末) 已知平面向量 =（1，x）， =（2x+3，﹣x）（x∈R）．（1）若∥ ，求| ﹣ |（2）若与夹角为锐角，求x的取值范围．20. （15分） (2016高二上·浦东期中) 已知各项为正的数列{an}是等比数列，a1=2，a5=32，数列{bn}满足：对于任意n∈N* ，有a1b1+a2b2+…+anbn=（n﹣1）•2n+1+2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令f（n）=a2+a4+…+a2n，求的值；（3）求数列{bn}通项公式，若在数列{an}的任意相邻两项ak与ak+1之间插入bk（k∈N*）后，得到一个新的数列{cn}，求数列{cn}的前100项之和T100．21. （10分） (2018高二上·会宁月考) 已知等差数列满足且，数列的前项和记为，且 .（1）分别求出的通项公式；（2）记，求的前项和 .22. （15分） (2017高一下·新余期末) 设 = ， =（4sinx，cosx﹣sinx），f （x）= • ．（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知常数ω＞0，若y=f（ωx）在区间是增函数，求ω的取值范围；（3）设集合A= ，B={x||f（x）﹣m|＜2}，若A⊆B，求实数m的取值范围．参考答案一、填空题 (共14题；共15分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、选择题 (共4题；共8分)15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共4题；共50分) 19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
四川省成都,2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
四川省成都七中实验学校2017-2018学年下学期期中考试高二数学（理）试题一、选择题（共12个小题,每小题5分,共60分）1.复数11ii+-（i 为虚数单位）的虚部是（ ） A ．1 B ．-1 C ．i D ．i - 2.在极坐标系中，过点(2,)2π且与极轴平行的直线方程是（ ）A ．2ρ=B ．2πθ=C ．sin 2ρθ=D ．cos 2ρθ=3.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ ）A ．假设a ，b ，c 不都是偶数B ．假设a ，b ，c 至多有两个是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数D ．假设a ，b ，c 都不是偶数4.已知点P 为抛物线24y x =-上的动点，设点P 到此抛物线的准线的距离为1d ，到直线40x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值是（ ）A.52 B ．2C.2 D 5.一个几何体的三视图如图，则这个几何体的体积为（ ）A ．(926π+ B ．(826π+ C.(66π+ D ．(86π+6.若直线l 的参数方程为1324x ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线l 倾斜角的余弦值为（ ）A.35-B ．45- C.35 D ．457.已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ） （1）m α⊆，n α⊆，//m β，////n βαβ⇒ （2）//n m ，n m αα⊥⇒⊥ （3）//αβ，m α⊆，//n m n β⊆⇒ （4）m α⊥，//m n n α⊥⇒ A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个8.定积分1)x dx =⎰（ ）A ．22π+B ．12π+C.142π- D ．122π- 9.已知sin ()x x x x e e xf x e e --++=+，其导函数记为'()f x ，则(2017511)'(2017511)f f +(2017511)'(2017511)f f +---=（ ）A ．0B ．1 C. 2 D ．201751110.在区间[1,5]和[2,4]分别取一个数，记为a ，b ，则方程22221x y a b +=表示焦点在x 轴上且离心率小于2的椭圆的概率为（ ）A ．12 B ．1532 C.1732 D ．313211.一矩形的一边在x 轴上，另两个顶点在函数22(0)1xy x x =>+的图象上，如图，则此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（ ）A ．2πB ．3π C.4πD ．π 12.已知函数1ln ()x f x x+=，若关于x 的不等式2()()0f x af x +>恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1ln 21ln 3(,]23++-- B ．1ln 31ln 2[,)32++C.1ln 21ln 3(,)23++-- D ．1ln 3(1,]3+-- 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.设ABC ∆的三边长分别为a ，b ，c ，ABC ∆的面积为s ，内切圆半径为r ，则2sr a b c=++.类比这个结论可知：四面体A BCD -的四个面分别为1s 、2s 、3s 、4s ，内切球半径为R ，四面体A BCD -的体积为V ，则R = ．14.函数1()x f x x a+=-在区间[1,)+∞上单调递减，则实数a 的取值范围为 ．15设1F 、2F 分别为椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222222222:1(0)x y C a b a b -=>>的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，1290F MF ∠=︒，若椭圆的离心率13[4e ∈，则双曲线2C 的离心率2e 的取值范围为 ．16.如图，正方体1111ABCD A BC D -，则下列四个命题：①P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变；②P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变； ③P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变；④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是过1D 点的直线. 其中真命题的编号是 ．（写出所有真命题的编号）三、解答题（共6小题，17题10分，18题至22题均为12分，共70分）17. 某市统计局就2015年毕业大学生的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图所示，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示[2000,2500).（1）求毕业大学生月收入在[4000,4500)的频率； （2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（3）为了分析大学生的收入与所学专业、性别等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[3500,4000)的这段应抽取多少人？18. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线2C 的极坐标方程为6sin 8cos 0ρθθ+-=(0)ρ≥. （1）化曲线1C 的参数方程为普通方程，化曲线2C 的极坐标方程为直角坐标方程；（2）直线2:32x t l y t λ=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）过曲线1C 与y 轴负半轴的交点，求与直线l 平行且与曲线2C 相切的直线方程.19.如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，D 是AC 的中点.（1）求证：1B C ⊥平面1A BD ； （2）求二面角1A BD A --的大小；（3）求直线1AB 与平面1A BD 所成角的正弦值.20. 设函数21()ln 2a f x x ax x -=+-()a R ∈. （1）当1a >时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若对任意(3,4)a ∈及任意1x ，2[1,2]x ∈，恒有212(1)ln 2|()()|2a mf x f x -+>-成立，求实数m 的取值范围.21. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率2e =，点(0,1)D 在椭圆E 上.（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点2F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆E 于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点(,0)G t ，求点G 的横坐标的取值范围；（3）在第（2）问的条件下，求GAB ∆面积的最大值.22.已知函数21,(,0]()2ln ,(0,)x e x mx x f x x x ⎧-+∈-∞⎪=⎨⎪∈+∞⎩，21()(0)2g x ax bx a =+≠（e 为自然对数的底数）. （1）若函数()f x 的图象在1x =-处的切线方程为1y x n e=+，求m ，n 的值； （2）若2a =-时，函数()()()h x f x g x =-在(0,)+∞内是增函数，求b 的取值范围；（3）当0x >时，设函数()f x 的图象1C 与函数()g x 的图象2C 交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交1C 、2C 于点M 、N ，问是否存在点R ，使1C 在M 处的切线与2C 在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.四川省成都七中实验学校2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试题答案一、选择题1-5:ACDBD 6-10:ABCCB 11、12：DA二、填空题13.12343V S S S S +++ 14.(1,1)-15. 16.①③④三、解答题（共6小题，17题10分，18题至22题均为12分，共70分）17.解：（1）月收入在[4000,4500)的频率为：1(0.00050.00040.00020.0001)(45004000)0.4-+++⨯-=；（2）频率分布直方图知，中位数在[3000,3500)，设中位数为m ，则0.00025000.00045000.0005(3000)0.5x ⨯+⨯+⨯-=，解得3400x =，∴根据频率分布直方图估计样本数据的中位数为3400；（3）居民月收入在[3500,4000)的频率为0.0005(40003500)0.25⨯-=， 所以10000人中月收入在[3500,4000)的人数为0.25100002500⨯=（人）， 再从10000人用分层抽样方法抽出100人， 则月收入在[3500,4000)的这段应抽取25001002510000⨯=人.18.解：（1）由曲线1C 的参数方程为4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），消去参数θ化为普通方程221169x y +=； 由曲线2C 的极坐标方程为6sin 8cos 0ρθθ+-=(0)ρ≥得26sin 8cos 0ρρθρθ+-=，化为直角坐标方程22680x y y x ++-=可化为22(4)(3)25x y -++=.（2）由曲线1C 的方程221169x y +=， 令0x =得3y =±，∴曲线1C 与y 轴负半轴的交点为(0,3)-；直线2:42x t l y t λ=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）过点(0,3)-，02332t t λ=+⎧⎪∴⎨-=-+⎪⎩，解得234t λ=-⎧⎪⎨=⎪⎩，∴直线l 的方程为34120x y --=.设与直线l 平行且与曲线2C 相切的直线方程为340x y m -+=， 则圆心2(4,3)C -到直线l 的距离d r =5=，化为|24|25m +=，解得1m =或49-，∴与直线l 平行且与曲线2C 相切的直线方程为3410x y -+=或34490x y --=.19.解：（1）设1AB 与1A B 相交于点P ，连接PD ，则P 为1AB 中点， D 为AC 中点，1//PD B C ∴.又PD ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD1//B C ∴平面1A BD.（2）正三棱柱111ABC A B C -，1AA ∴⊥底面ABC .又BD AC ⊥，1A D BD ∴⊥，1A DA ∴∠就是二面角1A BD A --的平面角.1=3AA 112AD AC ==，11tan A A A DA AD∴∠==.13A DA π∴∠=，即二面角1A BD A --的大小是3π. （3）由（2）作1AM A D ⊥，M 为垂足. BD AC ⊥，平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC 平面ABC AC =，BD ∴⊥平面11A ACC ，AM ⊂平面11A ACC ，BD AM ∴⊥.1A D BD D =，AM ∴⊥平面1A DB ，连接MP ，则APM ∠就是直线1A B 与平面1A BD 所成的角.13AA =1AD =，∴在1Rt AA D ∆中，13A DA π∠=，1sin 60AM ∴=⨯︒=1AP AB ==sin AMAPM AP ∴∠===.∴直线1AB 与平面1A BD.（备注：也可以建立空间直角坐标系来解答.）20.解：（1）1(1)()(1)1'()a x x a f x x----=， 当111a =-，即2a =时，2(1)'()0x f x x-=≤，()f x 在(0,)+∞上是减函数； 当111a <-，即2a >时，令'()0f x <，得101x a <<-或1x >；令'()0f x >，得111x a <<-；当111a >-，即12a <<时，令'()0f x <，得01x <<或11x a >-；令'()0f x >，得111x a <<-； 综上，当2a =时，()f x 在定义域上是减函数；当2a >时，()f x 在1(0,)1a -，(1,)+∞上单调递减，在1(,1)1a -上单调递增； 当12a <<时，()f x 在(0,1)和1(,)1a +∞-上单调递减，在1(1,)1a -上单调递增. （2）由（2）知，当(3,4)a ∈时，()f x 在[1,2]上单调递减，∴当1x =时，()f x 有最大值，当2x =时，()f x 有最小值， 12|()()|(1)(2)f x f x f f ∴-≤-=3ln 222a -+ ∴对任意(3,4)a ∈，恒有2(1)3ln 2ln 2222a a m -+>-+，231a m a -∴>-. 构造函数23()1a g a a -=-，则222(3)8'()(1)a g a a --+=-， (3,4)a ∈，∴222(3)8'()0(1)a g a a --+=>-.∴函数23()1a g a a -=-在(3,4)上单调增. 1()(0,)15g a ∴∈，115m ∴≥.21. 解：（1）点(0,1)D 在且椭圆E 上，1b ∴=，222222c a b e a a -===22212a a a -==，2222a a ∴=-，22a ∴=，a =∴椭圆E 的方程为2212x y +=.（2）设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，代入2212x y +=，整理得2222(12)4220k x k x k +-+-=. 直线AB 过椭圆的右焦点2F ，∴方程有两个不等实根. 记1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)N x y ，则2112421k x x k +=+，2012212()221k x x x k =+=+，002(1)21k y k x k =-=-+， ∴AB 垂直平分线NG 的方程为001()y y x x k-=--. 令0y =，得22002222121k k t x ky k k =+=-++211242k =-+. 0k ≠，102t ∴<<.t ∴的取值范围为1(0,)2. （3）2121||||2GAB S F G y y ∆=⋅⋅-，而12||y y -==， 由212t m =+，可得212m t+=.所以12||y y -==又2||1F G t =-，所以MPQ S ∆=所以MPQ ∆1)2t <<. 设3()(1)f t t t =-，则2'()(1)(14)f t t t =--.可知()f t 在区间1(0,)4单调递增，在区间11(,)42单调递减. 所以，当14t =时，()f t 有最大值127()464f =. 所以，当14t =时，GAB ∆. 22.解：（1）当0x <时，21()2x f x e x mx =-+，导数'()x f x e x m =-+， 1'(1)1f e m -∴-=++，即函数()f x 的图象在1x =-处的切线斜率为11e m -++，切点为11(1,)2e m ----， 函数()f x 的图象在1x =-处的切线方程为1y x n e=+，111e m e -∴++=，1112n e m e --+=--， 1m ∴=-，212n e =+； （2）2a =-时，函数()()()h x f x g x =-在(0,)+∞的解析式是2()ln h x x x bx =+-， 导数1'()2h x x b x=+-， 函数()h x 在(0,)+∞内是增函数，'()0h x ∴≥即120x b x +-≥在(0,)+∞内恒成立，min 1(2)b x x∴≤+， 0x >时，12x x +≥=b ∴≤b的取值范围是(-∞；（3）假设1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线平行，设点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，120x x <<，则由题意得点M 、N 的横坐标与中点R 的横坐标相等，且为1202x x x +=， 0x >时，1'()f x x=，'()g x ax b =+， 1C ∴在点M 处的切线斜率为1220()2a x x k ax b b +=+=+， 由于两切线平行，则12k k =， 即1212()22a x xb x x +=++，则两边同乘以21()x x -，得， 22212121212()()()2x x a x x b x x x x -=-+-+， 222211()()22a a x bx x bx =+-+=2121ln ln y y x x -=-，2212112(1)ln 1x x x x x x -∴=+， 设21x t x =，则2(1)ln 1t t t -=+，1t >①，令2(1)()ln 1t r t t t -=-+，1t >，则22214(1)'()(1)(1)t r t t t t t -=-=++， 1t >，'()0r t >，()r t ∴在(1,)+∞上单调递增，()(1)0r t r ∴>=，2(1)ln 1t t t -∴>+，这与①矛盾，假设不成立， 故1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行.。
四川省成都七中实验学校2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题缺答案
成都七中实验2017-2018学年上学期半期考试高二理科数学试题考试时间120分钟 满分150分 命题人:韩雄 审题人：高二数学备课组第Ⅰ卷(选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1,则点B 1的坐标是( )()A （1,1，1) ()B (1，0,1) ()C (1,0，0) ()D （1,1，0）2。
双曲线22149x y -=的渐近线方程是（ ）()A 23y x =±()B 49y x =±()C 32y x =±()D 94y x =±3.命题0x ∀>，()ln 10x +>的否定为( ）()A 0x ∃<，()0ln 10x +< ()B 0x∃≤,()0ln 10x+≤()C 0x∃>，()0ln 10x+< ()D 0x∃>，()0ln 10x+≤4、焦点为()12 0F -，，()22 0F ，，长轴长为10的椭圆的标准方程为( ) ()A 22110096x y +=()B 2212521x y +=()C 22196100xy +=()D 2212125xy += 5。
设,、∈x y R 则“2≥x 且2≥y ”是“224+≥xy "的（ ）()A 充分而不必要条件 ()B 必要而不充分条件()C 充分必要条件 ()D 即不充分也不必要条件6.已知直线:l y kx =与双曲线22:12x C y -=的左支交于A 、B 两点，1F 、2F 分别是双曲线C 的左、右焦点,若2ABF ∆的周长为AB =(A (B (C ()D7。
()4,2平分，则这条弦所在的直线方程是（)()A 02=-y x ()B 042=-+y x ()C 23140x y +-=()D 082=-+y x 8．若直线20ax by -+=（0a >，0b >）被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则11a b+的最小值为（ ）()A 32+()B ()C 14()D 32+9．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ )()A 3()B 11()C 22()D 1010．已知下列选项，其中错误．．的是（ ）①过圆()()22124x y -+-=外一点()3,1M ，且与圆相切的直线方程为3450x y --=;②方程()2210,0Ax By A B +=>>表示椭圆方程；③平面内到点()10,4F ，()20,4F -距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线；④以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的．()A ①②③④()B ①②③()C ③④()D ②④11。
四川省成都七中2015-2016学年高二上学期期末数学模拟试卷(理科)(一) 含解析
2015-2016学年四川省成都七中高二（上）期末数学模拟试卷（理科）（一）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（)A．46，45，56 B．46,45,53 C．47,45,56D．45，47，532．执行如图的框图，第3次和最后一次输出的A的值是（）A．7，9 B．5，11 C．7,11 D．5，93．对于线性回归方程，下列说法中不正确的是（）A．直线必经过点B．x增加一个单位时，y平均增加个单位C．样本数据中x=0时，可能有D．样本数据中x=0时,一定有4．如图,以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:①；②∠BAC=60°;③三棱锥D﹣ABC是正三棱锥;④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④5．若A、B两点的坐标分别是A（3cosa,3sina，1），B （2cosb，2sinb，1），则｜|的取值范围是( )A．B．C．（1，5） D．6．平面α与正四棱柱的四条侧棱AA1、BB1、CC1、DD1分别交于E、F、G、H．若AE=3，BF=4，CG=5，则DH等于( ）A．6 B．5 C．4 D．37．已知直线l的倾斜角为α,且60°＜α≤135°，则直线l斜率的取值范围是( ）A．B．C．D．8．已知：,求z=x2+y2最小值为（）A．13 B．C．1 D．9．已知圆C1：（x+1）2+(y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称,则圆C2的方程为（）A．（x+2)2+（y﹣2）2=1 B．（x﹣2)2+（y+2)2=1C．（x+2）2+（y+2）2=1 D．(x﹣2）2+（y﹣2）2=110．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是( ）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8 11．两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2:x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（)A．1条B．2条C．3条D．4条12．已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4,a）作圆C的一条切线，切点为B,则|AB|=（)A．2 B．6 C．4D．2二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分。
【数学】2016-2017年四川省成都七中高二上学期数学期末试卷(理科)及答案
本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除2016-2017学年四川省成都七中高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题p：“a=﹣2”是命题q：“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”成立的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）成都七中为了全面落实素质教育，切实有效减轻学生课业负担，拟从林荫、高新两个校区的初高中学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到初中三个年级、高中三个年级学生的课业负担情况有较大差异，而男女生课业负担差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按年级分层抽样D．系统抽样3．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离4．（5分）已知双曲线的离心率为2，那么双曲线的渐近线方程为（）A．B．x±y=0C．2x±y=0D．5．（5分）函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f （x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）设实数x，y满足，则μ=的取值范围是（）A．[，2]B．[，]C．[，2]D．[2，] 7．（5分）有5名高中优秀毕业生回母校成都7中参加高2015级励志成才活动，到3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（）A．200B．180C．150D．2808．（5分）柜子里有3双不同的鞋，随机地取2只，下列叙述错误的是（）A．取出的鞋不成对的概率是B．取出的鞋都是左脚的概率是C．取出的鞋都是同一只脚的概率是D．取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率是9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为43，则判断框内应填入的条件是（）A．z≤42？B．z≤20？C．z≤50？D．z≤52？10．（5分）某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是[0，5），[5，10），…[35，40]，作出的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（）A．B．C．D．11．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则（）A．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2为定值B．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2为定值C．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大D．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2也减小12．（5分）以椭圆+=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2，已知点M坐标为（2，1），双曲线C上点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）满足=，则﹣S（）A．2B．4C．1D．﹣1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）命题∀x∈R，|x|＜0的否定是．14．（5分）已知双曲线x2﹣my2=1的虚轴长是实轴长的3倍，则实数m的值是．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成的图形的面积为．16．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）与直线l：y=x+3，且直线l上有唯一的一个点P，使得过点P作圆C的两条切线互相垂直．设EF是直线l上的一条线段，若对于圆C上的任意一点Q，，则的最小值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）．（1）求居民收入在[3000，3500）的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数、平均数及其众数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，按收入从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则应在月收入为[2500，3000）的人中抽取多少人？18．（12分）口袋中装有4个形状大小完全相同的小球，小球的编号分别为1，2，3，4，甲、乙、丙依次有放回地随机抽取1个小球，取到小球的编号分别为a，b，c．（1）在一次抽取中，若有两人抽取的编号相同，则称这两人为“好朋友”，求甲、乙两人成为“好朋友”的概率；（2）求抽取的编号能使方程a+b+2c=6成立的概率．19．（12分）某科研所对新研发的一种产品进行合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得统计数据．单价x（万元）88.28.48.88.69销量y（件）908483758068（1）①求线性回归方程y=x+；②谈谈商品定价对市场的影响；（2）估计在以后的销售中，销量与单价服从回归直线，若该产品的成本为 4.5元/件，为使科研所获利最大，该产品定价应为多少？（附：=，=﹣，=8.5，=80）20．（12分）已知⊙C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m ﹣4=0．（1）求证：直线l与⊙C恒有两个交点；（2）若直线l与⊙C的两个不同交点分别为A，B．求线段AB中点P的轨迹方程，并求弦AB的最小值．21．（12分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（1）求曲线C的方程；（2）是否存在整数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有|FA|2+|FB|2＜|AB|2？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知椭圆的上顶点M与左、右焦点F1，F2构成三角形MF1F2面积为，又椭圆C的离心率为，左右顶点分别为P，Q．（1）求椭圆C的方程；（2）过点D（m，0）（m∈（﹣2，2），m≠0）作两条射线分别交椭圆C于A，B两点（A，B在长轴PQ同侧），直线AB交长轴于点S（n，0），且有∠ADP=∠BDQ．求证：mn为定值；（3）椭圆C的下顶点为N，过点T（t，2）（t≠0）的直线TM，TN分别与椭圆C 交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的λ倍，求λ的最大值．2016-2017学年四川省成都七中高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题p：“a=﹣2”是命题q：“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”成立的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据直线垂直的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”，则6a+3×4=0，解得a=﹣2，故p是q成立的充要条件，故选：A．2．（5分）成都七中为了全面落实素质教育，切实有效减轻学生课业负担，拟从林荫、高新两个校区的初高中学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到初中三个年级、高中三个年级学生的课业负担情况有较大差异，而男女生课业负担差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按年级分层抽样D．系统抽样【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：事先已了解到初中三个年级、高中三个年级学生的课业负担情况有较大差异，而男女生课业负担差异不大，按年级分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．3．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离【分析】求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．【解答】解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d==，R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选：B．4．（5分）已知双曲线的离心率为2，那么双曲线的渐近线方程为（）A．B．x±y=0C．2x±y=0D．【分析】利用双曲线的离心率，转化求出a，b关系，即可求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线的离心率为2，可得，即，可得，双曲线的渐近线方程为：y=±，即．故选：D．5．（5分）函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f （x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．【分析】先解不等式f（x0）≤0，得能使事件f（x0）≤0发生的x0的取值长度为3，再由x0总的可能取值，长度为定义域长度10，得事件f（x0）≤0发生的概率是0.3【解答】解：∵f（x）≤0⇔x2﹣x﹣2≤0⇔﹣1≤x≤2，∴f（x0）≤0⇔﹣1≤x0≤2，即x0∈[﹣1，2]，∵在定义域内任取一点x0，∴x0∈[﹣5，5]，∴使f（x0）≤0的概率P==故选：C．6．（5分）设实数x，y满足，则μ=的取值范围是（）A．[，2]B．[，]C．[，2]D．[2，]【分析】根据不等式组画出可行域，得到如图所示的△ABC及其内部的区域．设P（x，y）为区域内一点，根据斜率计算公式可得μ=表示直线OP的斜率，运动点P得到PQ斜率的最大、最小值，即可得到μ=的取值范围．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部的区域其中A（1，2），B（4，2），C（3，1）设P（x，y）为区域内的动点，可得μ=表示直线OP的斜率，其中P（x，y）在区域内运动，O是坐标原点．运动点P，可得当P与A点重合时，μ=2达到最大值；当P与C点重合时，μ=达到最小值．综上所述，μ=的取值范围是[，2]故选：A．7．（5分）有5名高中优秀毕业生回母校成都7中参加高2015级励志成才活动，到3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（）A．200B．180C．150D．280【分析】根据题意，分2步进行分析，①、先将5个人分成3组，分析可得有2种分组方法：分成2﹣2﹣1的三组或分成3﹣1﹣1的三组，分别求出每种情况的分组方法数目，由分类计数原理可得分组方法数目，②、将分好的3组对应三个班级，由排列数公式可得其方法数目，进而由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析，①、先将5个人分成3组，若分成2﹣2﹣1的三组，有=15种情况，若分成3﹣1﹣1的三组，有=10种情况，一共有15+10=25种分组方法；②、将分好的3组对应三个班级，有=6种方法，则一共有25×6=150种不同分派方法，故选：C．8．（5分）柜子里有3双不同的鞋，随机地取2只，下列叙述错误的是（）A．取出的鞋不成对的概率是B．取出的鞋都是左脚的概率是C．取出的鞋都是同一只脚的概率是D．取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率是【分析】利用等可能事件概率计算公式分别求解，能求出结果．【解答】解：∵柜子里有3双不同的鞋，随机地取2只，∴基本事件总数n==15，在A中，取出的鞋是成对的取法有3种，∴取出的鞋不成对的概率是：1﹣=，故A 正确；在B中，取出的鞋都是左脚的取法有=3种，∴取出的鞋都是左脚的概率为：，故B正确；在C中，取出的鞋都是同一只脚的取法有：=6，∴取出的鞋都是同一只脚的概率是p==；在D中，取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，由题意，可以先选出左脚的一只有=3种选法，然后从剩下两双的右脚中选出一只有=2种选法，所以一共6种取法，∴取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率是，故D 错误．故选：D．9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为43，则判断框内应填入的条件是（）A．z≤42？B．z≤20？C．z≤50？D．z≤52？【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量z的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：第一次执行z=2x+y后，z=1，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则x=1，y=1，第二次执行z=2x+y后，z=3，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则x=1，y=3，第三次执行z=2x+y后，z=5，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则x=3，y=5，第四次执行z=2x+y后，z=11，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则x=5，y=11，第五次执行z=2x+y后，z=21，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则x=11，y=21，第六次执行z=2x+y后，z=43，满足输出条件，故进行循环的条件可以为z≤42？，故选：A．10．（5分）某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是[0，5），[5，10），…[35，40]，作出的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（）A．B．C．D．【分析】由频率分布直方图可得，[25，30），[30，35）的频率相同，频数为3，即可得出结论．【解答】解：由频率分布直方图可得，[25，30），[30，35）的频率相同，频数为3，故选：B．11．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则（）A．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2为定值B．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2为定值C．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大D．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2也减小【分析】连接BD、AC，假设AD=t，根据余弦定理表示出BD，进而根据双曲线的性质可得到a的值，再由AB=2c，e=可表示出e1=，最后根据余弦函数的单调性可判断e1的单调性；同样表示出椭圆中的c'和a'表示出e2的关系式，最后令e1、e2相乘即可得到e1e2的关系．【解答】解：连接BD，AC设AD=t，则BD==∴双曲线中a=e1=∵y=cosθ在（0，）上单调减，进而可知当θ增大时，y==减小，即e1减小∵AC=BD∴椭圆中CD=2t（1﹣cosθ）=2c∴c'=t（1﹣cosθ）AC+AD=+t，∴a'=（+t）e2==∴e1e2=×=1故选：B．12．（5分）以椭圆+=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2，已知点M坐标为（2，1），双曲线C上点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）满足=，则﹣S（）A．2B．4C．1D．﹣1【分析】通过已知条件，写出双曲线方程，结合已知等式及平面几何知识得出点M是△F1PF2的内心，利用三角形面积计算公式计算即可．【解答】解：∵椭圆方程为+=1，∴其顶点坐标为（3，0）、（﹣3，0），焦点坐标为（2，0）、（﹣2，0），∴双曲线方程为，设点P（x，y），记F1（﹣3，0），F2（3，0），∵=，∴=，整理得：=5，化简得：5x=12y﹣15，又∵，∴5﹣4y2=20，解得：y=或y=（舍），∴P（3，），∴直线PF1方程为：5x﹣12y+15=0，∴点M到直线PF1的距离d==1，易知点M到x轴、直线PF2的距离都为1，结合平面几何知识可知点M（2，1）就是△F1PF2的内心．故﹣===2，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）命题∀x∈R，|x|＜0的否定是∃x0∈R，|x0|≥0．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，去判断．【解答】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定：∃x0∈R，|x0|≥0．故答案为：∃x0∈R，|x0|≥0．14．（5分）已知双曲线x2﹣my2=1的虚轴长是实轴长的3倍，则实数m的值是．【分析】利用双曲线x2﹣my2=1的虚轴长是实轴长的3倍，列出方程求解即可．【解答】解：双曲线x2﹣my2=1的虚轴长是实轴长的3倍，可得：=3，解得m=．故答案为：．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成的图形的面积为6π+8．【分析】x＞0，y＞0时，方程化为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，其面积为=+2，根据图象的对称性，可得曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成的图形的面积．【解答】解：x＞0，y＞0时，方程化为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，其面积为=+2根据图象的对称性，可得曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成的图形的面积为6π+8，故答案为6π+8．16．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）与直线l：y=x+3，且直线l上有唯一的一个点P，使得过点P作圆C的两条切线互相垂直．设EF是直线l上的一条线段，若对于圆C上的任意一点Q，，则的最小值是4+4．【分析】由圆的对称性知直线l上的唯一点P与圆心C（1，0）所在直线必与直线l垂直，求得PC所在直线方程，与直线l求得交点P，再根据对称性可得r=2，由题意，知|EF|取得最小值时，一定关于直线y=﹣x+1对称，画出图形，通过图形观察，当两圆相内切时，求得最小值．【解答】解：根据圆的对称性知直线l上的唯一点P与圆心C（1，0）所在直线必与直线l垂直，则PC所在直线的方程为x+y=1，与直线y=x+3联立求得P（﹣1，2），再根据对称性知过点P（﹣1，2）的两条切线必与坐标轴垂直，r=2；由题意，知|EF|取得最小值时，一定关于直线y=﹣x+1对称，如图所示，因此可设以点P（﹣1，2）为圆心，以R为半径的圆，即（x+1）2+（y﹣2）2=R2与圆C内切时，的最小值即为2R，由相切条件易知2R=2（|CP|+2）=2（2+2）=4+4．故答案为：4+4．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）．（1）求居民收入在[3000，3500）的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数、平均数及其众数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，按收入从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则应在月收入为[2500，3000）的人中抽取多少人？【分析】（1）根据频率=小矩形的高×组距来求；（2）根据中位数的左右两边的矩形的面积和相等，所以只需求出从左开始面积和等于0.5的底边横坐标的值即可，运用取中间数乘频率，再求之和，计算可得平均数，求出众数即可；（3）求出月收入在[2500，3000）的人数，用分层抽样的抽取比例乘以人数，可得答案．【解答】解：（1）月收入在[3000，3500）的频率为0.0003×500=0.15；（2）从左数第一组的频率为0.0002×500=0.1；第二组的频率为0.0004×500=0.2；第三组的频率为0.0005×500=0.25；∴中位数位于第三组，设中位数为2000+x，则x×0.0005=0.5﹣0.1﹣0.2=0.2⇒x=400．∴中位数为2400（元）由1250×0.1+1750×0.2+2250×0.25+2750×0.25+3250×0.15+3750×0.05=2400，样本数据的平均数为2400（元）；众数是：=2250，和=2750；（3）月收入在[2500，3000）的频数为0.25×10000=2500（人），∵抽取的样本容量为100．∴抽取比例为=，∴月收入在[2500，3000）的这段应抽取2500×=25（人）．18．（12分）口袋中装有4个形状大小完全相同的小球，小球的编号分别为1，2，3，4，甲、乙、丙依次有放回地随机抽取1个小球，取到小球的编号分别为a，b，c．（1）在一次抽取中，若有两人抽取的编号相同，则称这两人为“好朋友”，求甲、乙两人成为“好朋友”的概率；（2）求抽取的编号能使方程a+b+2c=6成立的概率．【分析】（1）将甲、乙依次取到小球的编号记为（a，b），利用列出法求出基本事件个数和甲、乙两人成为好朋友包含的情况种数，由此能求出甲、乙两人成为“好朋友”的概率．（2）将甲、乙、丙依次取到小球的编号记为（a，b，c），求出基本事件个数，利用列举法求出丙抽取的编号能使方程a+b+2c=6成立包含的基本事件个数，由此能求出抽取的编号能使方程a+b+2c=6成立的概率．【解答】解：（1）将甲、乙依次取到小球的编号记为（a，b），则基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个．记“甲、乙两人成为好朋友”为事件M，则M包含的情况有：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），共4个人，故甲、乙两人成为“好朋友”的概率为P（M）==．（2）将甲、乙、丙依次取到小球的编号记为（a，b，c），则基本事件有n=4×4×4=64个，记“丙抽取的编号能使方程a+b+2c=6成立”为事件N，当丙抽取的编号c=1时，a+b=4，∴（a，b）分别为（1，3），（2，2），（3，1），当丙抽取的编号c=2时，a+b=2，∴（a，b）为（1，1），当丙抽取的编号c=3或c=4时，方程a+b+2c=6不成立．综上，事件N包含的基本事件有4个，∴．19．（12分）某科研所对新研发的一种产品进行合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得统计数据．单价x（万元）88.28.48.88.69销量y（件）908483758068（1）①求线性回归方程y=x+；②谈谈商品定价对市场的影响；（2）估计在以后的销售中，销量与单价服从回归直线，若该产品的成本为 4.5元/件，为使科研所获利最大，该产品定价应为多少？（附：=，=﹣，=8.5，=80）【分析】（1）①根据公式求出和的值，求出回归方程即可；②根据b的值判断即可；（2）求出关于w的表达式，结合二次函数的性质求出w的最大值即可．【解答】解：（1）①依题意：==﹣20，=﹣=80+20×8.5=250，∴回归直线的方程为y=﹣20x+250；②由于=﹣20＜0，则x，y负相关，故随定价的增加，销量不断降低．（2）设科研所所得利润为w，设定价为x，∴w=（x﹣4.5）（﹣20x+250）=﹣20x2+340x﹣1125，∴当时，w max=320，故当定价为8.5元时，w取得最大值．20．（12分）已知⊙C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m ﹣4=0．（1）求证：直线l与⊙C恒有两个交点；（2）若直线l与⊙C的两个不同交点分别为A，B．求线段AB中点P的轨迹方程，并求弦AB的最小值．【分析】（1）求出圆C的圆心和半径，整理直线方程为m（2x+y﹣7）+（x+y﹣4）=0，求出直线2x+y﹣7=0，x+y﹣4=0的交点，判断它在圆内，即可得证；（2）由题意知，设点P（x，y）为弦AB的中点，连接CP，则CP⊥PQ，由平面几何知识可得点P的轨迹方程是以CQ为直径的圆，求得圆心和半径，注意运用中点坐标公式，再由当Q（3，1）是弦AB的中点时，|AB|最小，运用勾股定理即可得到所求值．【解答】解：（1）证明：⊙C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0，即（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，圆心C（1，2），半径r=5，又直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，化为m（2x+y﹣7）+（x+y﹣4）=0，由解得，则直线l恒过定点Q（3，1），由|CQ|==＜5，可得Q在圆C内，则直线l与⊙C恒有两个交点；（2）由题意知，设点P（x，y）为弦AB的中点，由（1）可知CP⊥PQ，点P的轨迹方程是以CQ为直径的圆，线段CQ的中点为（2，），|CQ|=，则线段AB中点P的轨迹方程为；由圆的几何性质可知，当Q（3，1）是弦AB的中点时，|AB|最小．弦心距，⊙C的半径为5，可得|AB|min=2=4．21．（12分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（1）求曲线C的方程；（2）是否存在整数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有|FA|2+|FB|2＜|AB|2？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设P（x，y）（x＞0）是曲线C上任意一点，列出方程求解即可．（2）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．设l的方程为x=λy+m，联立利用韦达定理，结合向量的数量积推出m2﹣6m+1＜4λ2，对任意实数λ，4λ2的最小值为0，转化求解即可得到m的取值范围．【解答】解：（1）设P（x，y）（x＞0）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：，化简得y2=4x（x＞0）．（2）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．设l的方程为x=λy+m，由得y2﹣4λy﹣4m=0，△=16（λ2+m）＞0，于是①，又，②，又，于是不等式②等价于③，由①式，不等式③等价于m2﹣6m+1＜4λ2④对任意实数λ，4λ2的最小值为0，所以不等式④对于一切π成立等价于m2﹣6m+1＜0，即．由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有|FA|2+|FB|2＜|AB|2，且m的取值范围为．22．（12分）已知椭圆的上顶点M与左、右焦点F1，F2构成三角形MF1F2面积为，又椭圆C的离心率为，左右顶点分别为P，Q．（1）求椭圆C的方程；（2）过点D（m，0）（m∈（﹣2，2），m≠0）作两条射线分别交椭圆C于A，B两点（A，B在长轴PQ同侧），直线AB交长轴于点S（n，0），且有∠ADP=∠BDQ．求证：mn为定值；（3）椭圆C的下顶点为N，过点T（t，2）（t≠0）的直线TM，TN分别与椭圆C 交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的λ倍，求λ的最大值．【分析】（1）利用椭圆离心率三角形的面积，解得a，b，即可得到椭圆方程．（2）设AB：y=k（x﹣n）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及斜率关系，推出结果即可．（3）设E（x3，y3），F（x4，y4），通过，直线TM方程为：x=t（y﹣1），直线TN：3x﹣ty﹣t=0，联立直线与椭圆方程，求出E，F坐标，求出E到直线TN：3x﹣ty﹣t=0的距离，推出两个三角形的面积，利用基本不等式求解即可．【解答】解：（1）椭圆离心率，又，解得a=2，b=1，∴椭圆．（2）由已知AB必有斜率，设AB：y=k（x﹣n）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立.⇒k（x1﹣n）（x2﹣m）+k（x1﹣m）（x2﹣m）=0⇒2x1x2﹣（m+n）（x1+x2）+2mn=0⇒mn=4．（3）设E（x3，y3），F（x4，y4），因为，直线TM方程为：x=t（y﹣1），直线TN：3x﹣ty﹣t=0，联立，联立，所以E到直线TN：3x﹣ty﹣t=0的距离，，∴，（取等条件），λ的最大值为．本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除。
四川省成都市第七中学实验学校高二数学上学期期中试题
成都七中实验学校高2015级高二（上）半期考试数 学 试 题（理）试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题（每小题5分，共60分。
）1、已知椭圆的标准方程为22110y x +=，则椭圆的焦点坐标为（ ） ()3,0,(3,0)A -、 ()0,3,(0,3)B -、()C 、(0,D 、2、空间直角坐标系中，点()3,4,0A -到(),1,6B x -x 的值为( ) A 、2 B 、8- C 、28-或 D 、28-或3、直线250x y +-=与240x y a ++=a 等于( )A 、0B 、20-C 、200-或D 、100-或4、设变量x ，y 满足约束条件311x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩则目标函数42z x y =+的最大值为( )A 、10B 、8C 、6D 、25、设A 为圆()2211x y -+=上的动点，PA 是圆的切线且1PA =，则P 点的轨迹方程是( ) A 、()2214x y -+= B 、()2212x y -+=C 、22y x =D 、22y x =- 6、直线12y kx k =+-与椭圆22194x y +=的位置关系为( ) A 、相交 B 、相切 C 、相离 D 、不确定7、已知()1,1是直线l 被椭圆221369x y +=所截得的线段的中点，则l 的斜率是( ) A 、14- B 、12- C 、14 D 、128、已知点()()2,33,2A B ---、，若直线10kx y k +--=与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A 、344k k ≤-≥或B 、344k -≤≤ C 、344k k ≤-≥或 D 、1544k -≤≤ 9、过定点()1,2作两直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围 是（ ）A 、2k >B 、32k -<<C 、32k k <->或D 、以上皆不对10、已知P 是椭圆22143x y +=上的一点，12F F 、是该椭圆的两个焦点，若12F PF ∆的内切圆半径为12，则12PF PF 的值为（ ） A 、32 B 、94 C 、94- D 、0 11、设,m n R ∈，若直线()()1120m x n y +++-=与圆()()22111x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ）A 、1⎡+⎣B 、(),2222,⎡-∞-++∞⎣C 、2⎡-+⎣D 、(),113,⎡-∞++∞⎣ 12、已知椭圆22:14x C y +=的左、右焦点分别为12F F 、，点M 与椭圆C 的焦点不重合，分别延长12MF MF 、到P Q 、，使得112222,33MF F P MF F Q ==，D 是椭圆C 上一点，延长MD 到N ，若3255QD QM QN =+，则PN QN +=（ ） A 、 3 B 、5 C 、6 D 、10二、填空题(每小题5分，共20分)13、已知点()()()3,2,2,,8,12A B a C -在同一条直线上，则______a =14、椭圆22194x y +=的焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，120PF PF =， 则12_____PF PF =15、若直线340x y m ++=向左平移2个单位，再向上平移3个单位后与圆221x y +=相切，则____m =16、已知实数x y 、满足方程224960x y y ++-=，有下列结论：①x y +的最小值为2--②对任意实数m ，方程()()()2211680m x m y m m R --+++=∈与题中方程必有两组不同的实数解；③过点()0,18M 向题中方程所表示曲线作切线，切点分别为A B 、，则直线AB 的方程为3y =；④若*x y N ∈,，则xy 的值为36或32。
【全国百强校】四川省成都七中实验学校2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题
绝密★启用前【全国百强校】四川省成都七中实验学校2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：66分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、甲、乙两人约定在下午间在某地相见，且他们在之间到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．2、若对任意的，恒有成立，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．3、某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是（ ）A ．B ．C ．D ．4、已知表示两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则5、函数，则的值为( )A ．B ．C ．D ．6、已知曲线在点处的切线与曲线也相切，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．7、已知函数的图象如图所示，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．8、如图在一个的二面角的棱上有两个点，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，且，则的长为( )A ．B ．C ．D ．9、如图，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，分别是的中点，那么异面直线与所成角的余弦值等于（）A ．B ．C ．D ．10、函数的单调递减区间是( ) A ．B ．C ．D ．11、已知函数，若且，则下列不等式中正确的是（） A ．B ．C ．D ．A． B． C． D．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知椭圆与双曲线有相同的右焦点，点是椭圆与双曲线在第一象限的公共点，若，则椭圆的离心率等于_______.14、已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数_______.15、已知函数的导函数为，满足，，则的解集为_______.16、_______.三、解答题（题型注释）17、已知椭圆经过点，离心率。
2024-2025学年四川省成都七中高二(上)期中数学试卷(含答案)
2024-2025学年四川省成都七中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以点C(−1,−5)为圆心，并与x轴相切的圆的方程是( )A. (x+1)2+(y+5)2=9B. (x+1)2+(y+5)2=16C. (x−1)2+(y−5)2=9D. (x+1)2+(y+5)2=252.若a=(−1,2,1)，b=(1,3,2)，则(a+b)⋅(2a−b)=( )A. 2B. 5C. 21D. 263.“m=−3”是“直线l1：(m+1)x+2y+1=0与直线l2：3x+my+1=0平行”的( )A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知椭圆的两个焦点坐标分别为(−2,0)，(2,0)，且椭圆上的点P到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为( )A. x236+y227=1 B. x210+x26=1 C. x216+y212=1 D. y216+x212=15.从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是( )A. 23B. 12C. 13D. 146.如果一组数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则下列说法一定错误的是( )A. 数据中可能存在极端大的值B. 这组数据是不对称的C. 数据中众数一定不等于中位数D. 数据的平均数大于中位数7.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在线段CC1上，且CC1=4CE，点F为BD中点，则点D1到直线EF的距离( )A. 1143B. 1142C. 742D. 7438.已知O(0,0)，Q(0,1)，直线l1：kx−y+2k+4=0，直线l2：x+ky+4k+2=0，若P为l1，l2的交点，则2|PO|+|PQ|的最小值为( )A. 6−32B. 37C. 9−32D. 3+6二、多选题：本题共3小题，共18分。
2017届高三(上)期中(理科)数学试卷-答案
四川省成都七中实验学校2017届高三上学期期中（理科）数学试卷答 案1~5．DACDB 6~10．ABDAC 11~12．CD 13．1714．2 15．[)2,+∞16．[)1,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭U 17．解：（1）函数()()()sin cos cos sin sin f x m n x x x x x x ωωωωωω==+-+u r rg gπ=cos22sin 2,6x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 相邻两对称轴间的距离不小于π2π,T ∴≥则2ππ,2ω≥解得0<1ω≤； （2）Q 当1ω=时，()π2sin 216f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭且()0,π,A ∈22222π41,cos ,3222b c a b c A A bc bc +-+-∴====224,b c bc ∴+=+又222,b c bc ≥+42,bc bc ∴+≥即4,bc ≤当且仅当2b c ==时，4,bc =1πsin 2sin 23ABC S bc A ∴=≤=△18．解：（1）由茎叶图得到所有的数据从小到大排，8.6出现次数最多，∴众数：8.6；中位数：8.75；（2）设i A 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件，则()()()3121241201331616121140C C C P A P A P A C C =+=+= （3）ξ的可能取值为0,1,2,3.()33270464P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭； ()213132714464P C ξ⎛⎫===⎪⎝⎭． ()22313924464P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()3113464P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．ξ的分布列为ξ 0123P2764 2764 964 164所以27279101230.7564646464E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 另解：ξ的可能取值为0,1,2,3．则，()331133,,444kkk B P k C ξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭:．ξ的分布列为ξ 0123P334⎛⎫ ⎪⎝⎭12131344C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21231344C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 314⎛⎫⎪⎝⎭所以130.754E ξ=⨯=． 19．证明：（1）由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱,ADE BCF -且4,90,AB BC BF DE CF CBF =====∠=o 连结,BE M 在BE 上，连结CE,,EM BM CN BN ==所以,MN CE CE ⊂∥面,CDEF MN ⊄面,CDEF所以MN ∥平面CDEF ．（2）以,,EA AB AD 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴， 建立空间直角坐标系，()()()()()()()()0,0,0,0,4,0,0,4,4,0,0,4,4,0,0,4,4,0,2,2,0,0,4,2,A B C D E F N M ---()()()()2,2,2,4,4,2,0,4,0,4,0,4MN MF DC DE =--=--==--u u u u r u u u u r u u u r u u u r设面MNF 法向量为(),,,n x y z =r则2220,4420n MN x y z n MF x y z ⎧=-+-=⎪⎨=-+-=⎪⎩r u u u u r g r u u uu r g 取1,x =得()1,1,0,n =r 设平面CDEF 的法向量(),,,m a b c =u r则40,440m DC b m DE a c ⎧==⎪⎨=--=⎪⎩u r u u u r g u r u u u r g 取1,a =得()1,0,1,m =-u r设平面MNF 与平面CDEF 所成的锐二面角为,θ则1cos ,2m n m nθ==u r r g ur r g 60,θ=o∴平面MNF 与平面CDEF 所成的锐二面角的大小为60o ．20．解：（Ⅰ）由右焦点到直线10:34l x y +=的距离为353,5=解得1c =又1,2c e a ==所以2222,3,a b a c -=== 所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（Ⅱ）设()()1122,,,,A x y B x y 把直线2:l y kx m =+代入椭圆方程22143x y +=得到：()2224384120,kx kmx m -+++=因此21212228412,,4343km m x x x x k k --+==++ 所以AB 中点M 2243,,4343kmm k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭又M 在直线1l 上，得2243340,4343km mk k -⨯+⨯=++因为0,m ≠所以1,k =故212128412,,77m m x x x x --+==所以12AB x =-==原点O 到AB的距离为d =得到()227S 2m m +-==当且仅当272m =取到等号，检验0∆>成立． 所以OAB △的面积S ．21．解：（1）()()2ln ,0,f x x bx a x x =+->()2,a f x x b x '=+-()220,af x x''=+>故()f x '在()0,+∞递增，故0x →时，()f x ',→-∞x →+∞时，(),f x →+∞故存在()00,,x ∈+∞使得：()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 递减，()0,x x ∈+∞时，()0,f x '>()f x 递增，故函数()f x 存在极小值，但不存在极大值； （2）()2,2af x x b x x'=-+=Q 是函数()f x 的极值点， ()2402af b '∴=-+=． 1Q 是函数()f x 的零点，得()111,f b =+=由40,210a b b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩解得6,1,a b ==- ∴()26ln ,x x f x x --=令()()()()2326210,0,,x x f x x x x x+-'=--=>∈+∞得2x >；令()0f x '<得02,x <<所以()f x 在()0,2上单调递减；在()2,+∞上单调递增 故函数()f x 至多有两个零点，其中()()010,2,2,,x ∈∈+∞因为()()()()()()2e 210,361ln30,462ln 46ln 0,4f f f f <==-<=-=>所以()03,4,x ∈故3n =．（3）令()[]2ln ,2,1,xb x a x g b b ∈--=+-则()g b 为关于b 的一次函数且为增函数，根据题意，对任意[],2,1,b ∈--都存在()1,e ,x ∈使得()0f x <成立，则()()max 21ln 0g x x a g b x =--=-<在()1,e x ∈有解， 令()2ln ,x x h x a x --=只需存在()01,e x ∈使得()00h x <即可，由于()2221,a x x ax x h x x--=--='令()()22,410,x x x a x x ϕϕ'-=->-=()x ϕ∴在()1,e 上单调递增，()()11,x a ϕϕ>=-①当10,a -≥即1a ≤时，()0,x ϕ>即()()0,h x h x '>在()1,e 上单调递增，()()10,h x h ∴>=不符合题意．②当10,a -<即1a >时，()()2110,e 2e e a a ϕϕ=-<=--．若22e e>1,a ≥-则()e 0,ϕ<∴在()1,e 上()0x ϕ<恒成立，即()0h x '<恒成立，∴()h x 在()1,e 上单调递减，∴存在0x ∈()1,e 使得()()010,h x h <=符合题意．若2e e>1,a ->则()e 0ϕ>∴在()1,e 上一定存在实数,m 使得()0,m ϕ=∴在()1,m 上()0x ϕ<恒成立，即()00h x '<恒成立，()h x 在()1,m 上单调递减， ∴存在存在0x ∈()1,m 使得()()010,h x h <=符合题意．综上所述，当1a >时，对[]2,1,b ∀∈--都有∃x ∈()1,e （e 为自然对数的底数），使得()0f x <成立．22．解：（1）圆1O 的极坐标方程为2,ρ=直角坐标方程224,x y +=2O的极坐标方程为2π,cos 2,4ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭-直角坐标方程222220y x y x ---+=；（2）两圆的方程相减，可得直线AB 的方程为10,x y ++=参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入224,x y +=可得230t -=AB ∴=四川省成都七中实验学校2017届高三上学期期中（理科）数学试卷解析1．【考点】集合的表示法．【分析】求出∁U A={x|x≤0或x≥1}，即可得出结论．【解答】解：∵∁U A={x|x≤0或x≥1}，B={0，1}，∴B⊆∁U A，故选D．2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的充要条件计算得答案．【解答】解：由===，得，解得a=﹣．故选：A．3．【考点】四种命题．【分析】根据命题“若p则q”的逆否命题“若￢q则￢p”，写出即可．【解答】解：命题“若x2=1，则x=1或x=﹣1”的逆否命题是“若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1”．故选：C．4．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】直接由空间中的点线面的位置关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：①∵l⊥平面α，直线m⊂平面β．若α∥β，则l⊥平面β，有l⊥m，①正确；②如图，由图可知②不正确；③∵直线l⊥平面α，l∥m，∴m⊥α，又m⊂平面β，∴α⊥β，③正确；④由②图可知④不正确．∴正确的命题为①③．故选：D．5．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算满足S=+++…+=的整数p的值，并输出，结合等比数列通项公式，可得答案．【解答】解：由程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算满足S=+++…+=的整数p的值，∵+++…+=1﹣=，故==，故p=5．故选：B．6．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于7，求得r的值，即可求出x7的系数．【解答】解：（x2﹣x）5的展开式中，通项公式为T r+1=C5r•x10﹣2r•（﹣x）r，=•（﹣1）r•x10﹣r，令10﹣r=7，求得r=3，可得展开式中x7的系数为（﹣1）3•C53=﹣10．故选：A．7．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr，∴=（2πr）2h，∴π=．故选：B．8．【考点】正弦函数的定义域和值域．【分析】去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，在化为分段函数时应求出每一段的定义域，由三角函数的性质求之．【解答】解：由题=，当时，f（x）∈[﹣1，]当时，f（x）∈（﹣1，）故可求得其值域为．故选：D．9．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线方程可求得焦点坐标和准线方程，设过F的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设A（x1，y1），B（x2，y2）根据韦达定理可求得x1x2的值，又根据抛物线定义可知|AF|=x1+1，|BF|=x2+1代入答案可得．【解答】解：易知F坐标（1，0）准线方程为x=﹣1．设过F点直线方程为y=k（x﹣1）代入抛物线方程，得k2（x﹣1）2=4x．化简后为：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1x2=1，根据抛物线性质可知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，∴=+==1，故选A．10．【考点】函数的图象；对数函数的图象与性质．【分析】由题意可知，函数为周期函数，作函数的图象解答．【解答】解：∴函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=﹣f（x），∴f（x）的周期为2，又∵当x∈[﹣1，0）时，，作出函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象如下：由图可得：函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点的个数是4个，故选：C11．【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={x|0＜x＜30}做出集合对应的线段，写出满足条件的事件对应的集合和线段，根据长度之比得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={x|0＜x＜30}，而满足条件的事件对应的集合是A═{x|0＜x＜20}，得到其长度为20，∴小张能取到快递的概率是．故选：C．12．【考点】正弦定理．【分析】根据余弦定理和角平分线定理，求出△ABC是正三角形时面积取得最小值，当AB⊥BC时，△ABC面积取得最大值，由此求出结果．【解答】解：如图所示，锐角△ABC中，∠A=，∠BAC的平分线交边BC于点D，|AD|=1，根据余弦定理，BD2=c2+1﹣2c•cos=c2﹣c+1，CD2=b2+1﹣2b•cos=b2﹣b+1；根据角平分线定理， =，即=；∴b2c2﹣b2c+b2=b2c2﹣bc2+c2，即bc（c﹣b）=（c﹣b）（c+b）；当b=c时，△ABC是正三角形，由|AD|=1，得AB=AC=，则S△ABC=bcsin=；当b≠c时，bc=b+c≥2，当且仅当b=c时“=”成立，所以bc≥，即b=c=时S△ABC取得最小值为；又当AB⊥BC时，BD=，AB=，DC=AD=1，S△ABC=××（1+）=为最大值，△ABC面积的取值范围是[，]．故选：D．13．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．【分析】利用同角三角函数的基本关系求出cosα和tanα的值，利用两角和的正切公式求出tan 的值．【解答】解：∵α∈（，π），sinα=，∴cosα=﹣，∴tanα=﹣．∴tan==，故答案为：17．14．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出曲线的导函数，把x=x0代入即可得到切线的斜率，然后根据过点P0的切线方程为4x﹣y﹣1=0得出切线的斜率从而求出切点的坐标，最后将切点的坐标代入曲线方程即可求出实数k的值．【解答】解：由函数y=3lnx+x+k知y′=3×+1=+1，把x=x0代入y′得到切线的斜率k=+1，因切线方程为：4x﹣y﹣1=0，∴k=4，∴+1=4，得x0=1，把x0=1代入切线方程得切点坐标为（1，3），再将切点坐标（1，3）代入曲线y=3lnx+x+k，得3=3ln1+1+k，∴k=2．故答案为：2．15．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为1得到+=1，然后利用基本不等式求最值【解答】解：∵△ABC中，点O是BC的中点，∴=（+），∵，，∴=+，又∵O，M，N三点共线，∴+=1，∴m+n=（m+n）（+）=（2++）≥（2+2）=2，当且仅当m=n=1时取等号，故m+n的取值范围为[2，+∞），2,+∞故答案为：[)16．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】根据条件构造函数g（x）=xf（x），求函数的导数，结合函数极值和导数之间的关系求函数的极值和单调性即可得到结论．【解答】解：∵xf′（x）=（x﹣1）f（x），∴f（x）+xf′（x）=xf（x）设g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），即g′（x）=g（x），则g（x）=ce x，∵f（1）=1，∴g（1）=f（1）=1，即g（1）=ce=1，则c=，则g（x）=xf（x）=•e x，则f（x）=，（x≠0），函数的导数f′（x）==，由f′（x）＞0得x＞1，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得x＜0或0＜x＜1，此时函数单调递减，即当x =1时，函数f （x ）取得极小值，此时f （1）==1，即当x ＞0时，f （x ）≥1，当x ＜0时，函数f （x ）单调递减，且f （x ）＜0，综上f （x ）≥1或f （x ）＜0，∵A 为△ABC 的最大内角，∴≤A ＜π，则0≤A ﹣＜， 则设m =tan （A ﹣），则m ≥0或m ＜﹣， ∴当m ≥0时，f （m ）≥1，当m ＜﹣，f （m ）∈（f （﹣），0）， 即f （m ）∈（﹣，0）， 即f [tan （A ﹣）]的取值范围为 的值域为（﹣，0）∪[1，+∞），故答案为：[)1,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭U17．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；余弦定理．【分析】（1）函数()πf x n =•r r =（sinωx +cosωx ） （cosωx ﹣sinωx ）+2cosωx •sinωx =cos2ωx +sin2ωx =2sin （2ωx +），由f （x ）相邻两对称轴间的距离不小于，则，解得ω的范围； （2）当ω=1时，，求得A ，由余弦定理、不等式的性质，得bc 的最大值，【解答】解：（1）函数()()()πsin cos cos sin sin f x n x x x x x x ωωωωωω=•=+-+•r rπ=cos22sin2,6x x xωωω⎛⎫=+⎪⎝⎭()f x相邻两对称轴间的距离不小于π2π,T∴≥则2ππ,2ω≥解得0<1ω≤；（2）Q当1ω=时，()π2sin216f A A⎛⎫=+=⎪⎝⎭且()0,π,A∈22222π41,cos,3222b c a b cA Abc bc+-+-∴====224,b c bc∴+=+又222,b c bc≥+42,bc bc∴+≥即4,bc≤当且仅当2b c==时，4,bc=1πsin2sin23ABCS bc A∴=≤=△…18．【考点】离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数．【分析】（1）根据所给的茎叶图看出16个数据，找出众数和中位数，中位数需要按照从小到大的顺序排列得到结论．（2）由题意知本题是一个古典概型，至多有1人是“极幸福”包括有一个人是极幸福和有零个人是极幸福，根据古典概型公式得到结果．（3）由于从该社区任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”学生的人数，得到变量的可能取值是0、1、2、3，结合变量对应的事件，算出概率，写出分布列和期望．【解答】解：（1）由茎叶图得到所有的数据从小到大排，8.6出现次数最多，∴众数：8.6；中位数：8.75；（2）设iA表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件，则()()()3121241201331616121140C C CP A P A P AC C=+=+=（3）ξ的可能取值为0,1,2,3.()3327464Pξ⎛⎫===⎪⎝⎭；()213132714464P Cξ⎛⎫===⎪⎝⎭()22313924464P Cξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()3113464Pξ⎛⎫===⎪⎝⎭ξ的分布列为ξ0123P27642764964164七彩教育网所以27279101230.7564646464Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．另解：ξ的可能取值为0,1,2,3．则，()331133,,444k k k B P k C ξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭:．ξ的分布列为ξ 01 2 3 P 334⎛⎫ ⎪⎝⎭ 12131344C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21231344C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 314⎛⎫ ⎪⎝⎭所以130.754E ξ=⨯=． 19．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE ﹣BCF ，且AB =BC =BF =4，DE =CF =4，∠CBF =90°，由此能证明MN ∥平面CDEF ．（2）以EA ，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面MNF 与平面CDEF 所成的锐二面角的大小．【解答】证明：（1）由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱,ADE BCF -且4,90,AB BC BF DE CF CBF =====∠=o连结,BE M 在BE 上，连结CE,,EM BM CN BN ==所以,MN CE CE ⊂∥面,CDEF MN ⊄面,CDEF所以MN ∥平面CDEF ．（2）以,,EA AB AD 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()()()()()0,0,0,0,4,0,0,4,4,0,0,4,4,0,0,4,4,0,2,2,0,0,4,2,A B C D E F N M ---()()()()2,2,2,4,4,2,0,4,0,4,0,4MN MF DC DE =--=--==--u u u u r u u u u r u u u r u u u r设面MNF 法向量为(),,,n x y z =r则2220,4420n MN x y z n MF x y z ⎧•=-+-=⎪⎨•=-+-=⎪⎩r u u u u r r u u u u r 取1,x =得()1,1,0,n =r 设平面CDEF 的法向量(),,,m a b c =u r则40,440m DC b m DE a c ⎧•==⎪⎨•=--=⎪⎩u r u u u r u r u u u r 取1,a =得()1,0,1,m =-u r 设平面MNF 与平面CDEF 所成的锐二面角为,θ则1cos ,2m n m nθ•===•u r r u r r 60,θ=o∴平面MNF 与平面CDEF 所成的锐二面角的大小为60o ．20．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由点到直线的距离公式可得，得c 值，由离心率可得a 值，再由b 2=a 2﹣c 2可得b 值；（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），把直线l 2：y =kx +m 代入椭圆方程得到：（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2﹣12=0，利用韦达定理及中点坐标公式可得AB 中点横坐标，代入l 2得纵坐标，由中点在直线l 1上可求得k 值，用点到直线的距离公式求得原点O 到AB 的距离为d ，弦长公式求得|AB |，由三角形面积公式可表示出S △OAB ，变形后用不等式即可求得其最大值；【解答】解：（Ⅰ）由右焦点到直线10:34l x y +=的距离为353,5=解得1c = 又1,2c e a ==所以2222,3,a b a c -=== 所以椭圆C 的方程为22143x y +=； （Ⅱ）设()()1122,,,,A x y B x y 把直线2:l y kx m =+代入椭圆方程22143x y +=得到： ()2224384120,k x kmx m -+++= 因此21212228412,,4343km m x x x x k k --+==++ 所以AB 中点M 2243,,4343km m k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭又M 在直线1l 上，得2243340,4343km m k k -⨯+⨯=++ 因为0,m ≠所以1,k =故212128412,,77m m x x x x --+==所以12AB x =-==原点O 到AB 的距离为d =得到()227S 2m m +-== 当且仅当272m =取到等号，检验0∆>成立．所以OAB △的面积S ．21．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数f （x ）的导数，通过判断导函数的符号，得到函数的单调区间，从而判断出函数的极值即可；（2）先求导得到f ′（x ），由f ′（2）=4﹣+b =0，f （1）=1+b =0，得到a 与b 的值，再令导数大于0，或小于0，得到函数的单调区间，再由零点存在性定理得到得到x 0∈（3，4），进而得到n 的值；（3）令g （b ）=xb +x 2﹣alnx ，b ∈[﹣2，﹣1]，则g （b ）为关于b 的一次函数且为增函数，由于对任意b ∈[﹣2，﹣1]，都存在x ∈（1，e ），使得f （x ）＜0成立，则g （b ）max =g （﹣1）=x 2﹣x ﹣alnx ＜0在x ∈（1，e ）有解．令h （x ）=x 2﹣x ﹣alnx ，只需存在x 0∈（1，e ）使得h （x 0）＜0即可．【解答】解：（1）()()2ln ,0,f x x bx a x x =+->()2,a f x x b x '=+-()220,a f x x''=+> 故()f x '在()0,+∞递增，故0x →时，()f x ',→-∞x →+∞时，(),f x →+∞故存在()00,,x ∈+∞使得：()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 递减，()0,x x ∈+∞时，()0,f x '>()f x 递增，故函数()f x 存在极小值，但不存在极大值；（2）()2,2a f x x b x x'=-+=Q 是函数()f x 的极值点，()2402a fb '∴=-+=． 1Q 是函数()f x 的零点，得()111,f b =+= 由40,210a b b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩解得6,1,a b ==- ∴()26ln ,x x f x x --=令()()()()2326210,0,,x x f x x x x x+-'=--=>∈+∞得2x >； 令()0f x '<得02,x <<所以()f x 在()0,2上单调递减；在()2,+∞上单调递增故函数()f x 至多有两个零点，其中()()010,2,2,,x ∈∈+∞因为()()()()()()2e 210,361ln30,462ln 46ln 0,4f f f f <==-<=-=> 所以()03,4,x ∈故3n =．（3）令()[]2ln ,2,1,xb x a x g b b ∈--=+-则()g b 为关于b 的一次函数且为增函数，根据题意，对任意[],2,1,b ∈--都存在()1,e ,x ∈使得()0f x <成立，则()()max 21ln 0g x x a g b x =--=-<在()1,e x ∈有解，令()2ln ,x x h x a x --=只需存在()01,e x ∈使得()00h x <即可，由于()2221,a x x a x x h x x--=--=' 令()()22,410,x x x a x x ϕϕ'-=->-=()x ϕ∴在()1,e 上单调递增，()()11,x a ϕϕ>=-① 当10,a -≥即1a ≤时，()0,x ϕ>即()()0,h x h x '>在()1,e 上单调递增，()()10,h x h ∴>=不符合题意．② 当10,a -<即1a >时，()()2110,e 2e e a a ϕϕ=-<=--．若22e e>1,a ≥-则()e 0,ϕ<∴在()1,e 上()0x ϕ<恒成立，即()0h x '<恒成立，∴()h x 在()1,e 上单调递减，∴存在0x ∈()1,e 使得()()010,h x h <=符合题意．若2e e>1,a ->则()e 0ϕ>∴在()1,e 上一定存在实数,m 使得()0,m ϕ=∴在()1,m 上()0x ϕ<恒成立，即()00h x '<恒成立，()h x 在()1,m 上单调递减，∴存在存在0x ∈()1,m 使得()()010,h x h <=符合题意．综上所述，当1a >时，对[]2,1,b ∀∈--都有∃x ∈()1,e （e 为自然对数的底数），使得()0f x <成立． 22．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用x =ρcosθ、y =ρsinθ把圆O 1，圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程．（2）把2个圆的直角坐标方程相减可得公共弦所在的直线方程，再化为参数方程．利用直线AB 的参数方程求两圆的公共弦长|AB |．【解答】解：（1）圆1O 的极坐标方程为2,ρ=直角坐标方程224,x y +=2O的极坐标方程为2π,cos 2,4ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭-直角坐标方程222220y x y x ---+=； （2）两圆的方程相减，可得直线AB 的方程为10,x y ++=参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）， 代入224,x y +=可得230t -=AB ∴=。
2016-2017年四川省成都市双流中学高二上学期数学期中试卷及参考答案
2016-2017学年四川省成都市双流中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．答案务必写在答题卡的相应位置．1．（5分）直线x+y﹣1=0的倾斜角α为（）A．B．C．D．2．（5分）椭圆11x2+20y2=220的焦距为（）A．3 B．6 C．2D．3．（5分）设向量=（x﹣1，4），=（2，x+1），则“x=3”是“∥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设a=20.01，b=ln，c=log3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b5．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题6．（5分）已知直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a的值是（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣17．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10 B．8 C．3 D．28．（5分）已知椭圆+=1（0＜m＜9），左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为10，则m的值为（）A．3 B．2 C．1 D．9．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且f（﹣1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）的值为（）A．1 B．0 C．﹣2 D．210．（5分）已知F1，F2是椭圆的左右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11．（5分）已知有序实数对（x，y）满足条件x≤y≤，则x+y的取值范围是（）A．[﹣2，]B．[﹣，]C．[﹣1，]D．（﹣∞，]12．（5分）在平面直角坐标系中，过动点P分别作圆C1：x2+y2﹣4x﹣6y+9=0与圆C2：x2+y2+2x+2y+1=0的切线PA与PB（A，B为切点），若|PA|=|PB|若O为原点，则|OP|的最小值为（）A．2 B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案务必写在答题卡的相应位置．13．（5分）﹣=．14．（5分）已知向量=（﹣1，1），=（3，﹣4）的夹角为θ，sinθ的值为．15．（5分）若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值为．16．（5分）设焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则•的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答务必写在答题卡的相应位置．17．（10分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列，（1）求{a n}的公比q；（2）求a1﹣a3=3，求S n．18．（12分）已知命题P：对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立；命题q：不等式x2+ax+2＜0有解，若p∨q、￢q都是真命题，求实数a的取值范围．19．（12分）已知直角△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，0），直角顶点B的坐标为（1，），顶点C在x轴上．（1）求边BC所在直线的方程；（2）求直线△ABC的斜边中线所在的直线的方程．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD（Ⅰ）证明：BD⊥PC（Ⅱ）若AD=6，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P﹣ABCD 的体积．21．（12分）已知平面直角坐标系中的动点M与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记动点M的轨迹为C，过点P（﹣2，3）的直线l被C所截得的弦长为8，求直线l的方程．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且点P（2，1）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点A、B都在椭圆C上，且AB中点M在线段OP（不包括端点）上．求△AOB面积的最大值．2016-2017学年四川省成都市双流中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．答案务必写在答题卡的相应位置．1．（5分）直线x+y﹣1=0的倾斜角α为（）A．B．C．D．【解答】解：直线x+y﹣1=0 即y=﹣x+，故直线的斜率等于﹣，设直线的倾斜角等于α，则0≤α＜π，且tanα=﹣，故α=，故选：D．2．（5分）椭圆11x2+20y2=220的焦距为（）A．3 B．6 C．2D．【解答】解：椭圆11x2+20y2=220化为：，椭圆的焦距2c=2=6．故选：B．3．（5分）设向量=（x﹣1，4），=（2，x+1），则“x=3”是“∥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：=（x﹣1，4），=（2，x+1），∥，∴（x﹣1）（x+1）=4×2，解得x=±3，∵集合{3}是集合{3，﹣3}的真子集，∴“x=3”是“∥”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）设a=20.01，b=ln，c=log3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b【解答】解：a=20.01＞1，0=ln1＜b=ln＜lne=1，c=log3＜0，则a＞b＞c，故选：A．5．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题【解答】解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法得到D正确．故选：D．6．（5分）已知直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a的值是（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1【解答】解：∵直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，∴a（2a﹣1）﹣a=0，解得a=0或a=1．故选：C．7．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10 B．8 C．3 D．2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．8．（5分）已知椭圆+=1（0＜m＜9），左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为10，则m的值为（）A．3 B．2 C．1 D．【解答】解：由0＜m＜9可知，焦点在x轴上，∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，∴|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=12∴|BF2|+|AF2|=12﹣|AB|．当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|=，∴10=12﹣，解得m=3故选：A．9．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且f（﹣1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）的值为（）A．1 B．0 C．﹣2 D．2【解答】解：∵f（2﹣x）=f（x），∴f[2﹣（2+x）]=f（2+x），即f（﹣x）=f（2+x），即﹣f（x）=f（2+x），∴f（x+4）=f（4+x），故函数f（x）的周期为4．∵定义在R上的奇函数f（x）满足f（2﹣x）﹣f（x）=0，且f（﹣1）=2，∴f（0）=0，f（1）=﹣f（﹣1）=﹣2，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（﹣1）=2，f （4）=f（0）=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=504•[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（2017）=504×（﹣2+0+2+0）+f（1）=0+（﹣2）=﹣2，故选：C．10．（5分）已知F1，F2是椭圆的左右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵F1，F2是椭圆的左右两个焦点，∴离心率0＜e＜1，F1（﹣c，0），F2（c，0），c2=a2﹣b2，设点P（x，y），由PF1⊥PF2，得（x﹣c，y）•（x+c，y）=0，化简得x2+y2=c2，联立方程组，整理，得x2=，解得e≥，又0＜e＜1，∴≤e＜1．故选：B．11．（5分）已知有序实数对（x，y）满足条件x≤y≤，则x+y的取值范围是（）A．[﹣2，]B．[﹣，]C．[﹣1，]D．（﹣∞，]【解答】解：有序实数对（x，y）满足条件x≤y≤，表示的平面区域如图阴影部分：令z=x+y，如图红色直线，显然，z=x+y经过A时取得最小值，经过B时取得最大值．A（﹣1，﹣1），B（，）．x+y∈[﹣2，]．故选：A．12．（5分）在平面直角坐标系中，过动点P分别作圆C1：x2+y2﹣4x﹣6y+9=0与圆C2：x2+y2+2x+2y+1=0的切线PA与PB（A，B为切点），若|PA|=|PB|若O为原点，则|OP|的最小值为（）A．2 B．C．D．【解答】解：设P（x，y），则∵|PA|=|PB|，∴x2+y2﹣4x﹣6y+9=x2+y2+2x+2y+1，∴3x+4y﹣4=0，∴|OP|的最小值为O到直线的距离，即=故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案务必写在答题卡的相应位置．13．（5分）﹣=．【解答】解：cos2﹣sin2=cos（2×）=cos=．故答案为：14．（5分）已知向量=（﹣1，1），=（3，﹣4）的夹角为θ，sinθ的值为．【解答】解：根据条件，；∵0≤θ≤π；∴=．故答案为：．15．（5分）若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值为．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y+1=0是以（﹣1，2）为圆心，以2为半径的圆，又∵直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0所截得的弦长为4，故圆心（﹣1，2）在直线ax﹣by+2=0上即：+b=1则==（）+（）≥故的最小值为故答案为：．16．（5分）设焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则•的最大值为4．【解答】解：由焦点在x轴上的椭圆+=1，a=2，c=，离心率e===，解得：b2=3，∴椭圆的标准方程，∴F（﹣1，0），A（2，0），设点P（x0，y0），则有，解得：=3（1﹣），=（﹣1﹣x0，﹣y0），=（2﹣x0，﹣y0），•=（﹣1﹣x0）（2﹣x0）+=﹣x0﹣2+3（1﹣）=﹣x0+1=（﹣1）2，∵﹣2≤x0≤2，∴当x0=﹣2时，•取最大值，最大值为4，故答案为：4．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答务必写在答题卡的相应位置．17．（10分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列，（1）求{a n}的公比q；（2）求a1﹣a3=3，求S n．【解答】解：（Ⅰ）依题意有a1+（a1+a1q）=2（a1+a1q+a1q2）由于a1≠0，故2q2+q=0又q≠0，从而（Ⅱ）由已知可得故a1=4从而18．（12分）已知命题P：对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立；命题q：不等式x2+ax+2＜0有解，若p∨q、￢q都是真命题，求实数a的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：∵m∈[﹣1，1]，∴∈[2，3]对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立，可得a2﹣5a﹣3≥3∴a≥6或a≤﹣1．故命题p为真命题时，a≥6或a≤﹣1…（5分）又命题q：不等式x2+ax+2＜0有解，∴△=a2﹣8＞0，即a＞2，或a＜﹣2，…（8分）∵p∨q、￢q都是真命题∴q为假命题，p为真命题从而命题q为假命题时，﹣2a≤2，…（10分）∴命题p为真命题，q为假命题时，a的取值范围为﹣2a≤﹣1…（12分）19．（12分）已知直角△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，0），直角顶点B的坐标为（1，），顶点C在x轴上．（1）求边BC所在直线的方程；（2）求直线△ABC的斜边中线所在的直线的方程．【解答】解：（1）依题意，直角△ABC的直角顶点为所以AB⊥BC，故k AB•k BC=﹣1，又因为A（﹣3，0），∴k AB==，∴k BC=﹣=﹣．∴边BC所在的直线方程为：y﹣=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．（2）因为直线BC的方程为，点C在x轴上，由y=0，得x=2，即C（2，0），所以，斜边AC的中点为（0，0），故直角△ABC的斜边中线为OB（O为坐标原点）．设直线OB：y=kx，代入，得，所以直角△ABC的斜边中线OB的方程为．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD（Ⅰ）证明：BD⊥PC（Ⅱ）若AD=6，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P﹣ABCD 的体积．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，∴BD⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC．…（5分）解：（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接PO，由（Ⅰ）知BD⊥平面PAC，∴∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角，∴∠DPO=30°，由BD⊥平面PAC，PO⊂平面PAC，知BD⊥PO．在Rt△POD中，由∠DPO=30°，得PD=2OD．∵四边形ABCD是等腰梯形，AC⊥BD，∴△AOD，△BOC均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为AD+BC=×（6+2）=4，于是S ABCD=×（6+2）×4=16．在等腰三角形AOD中，OD=AD=3，∴PD=2OD=6，PA===6，∴V P=S ABCD×PA=×16×6=32．…（12分）﹣ABCD21．（12分）已知平面直角坐标系中的动点M与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记动点M的轨迹为C，过点P（﹣2，3）的直线l被C所截得的弦长为8，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），由题意得：=5，化简得：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25…（5分）所以动点M的轨迹方程是：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，动点M的轨迹是以（1，1）为圆心，5为半径的圆…（6分）（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，过点A（﹣2，3）的直线l：x=﹣2，此时过点A（﹣2，3）的直线l被圆所截得的线段的长为：2=8，∴l：x=﹣2符合题意．当直线l的斜率存在时，设过点A（﹣2，3）的直线l的方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，圆心到l的距离d=，由题意，得（）2+42=52，解得k=．∴直线l的方程为x﹣y+=0．即5x﹣12y+46=0．综上，直线l的方程为x=﹣2，或5x﹣12y+46=0．…（12分）22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且点P（2，1）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点A、B都在椭圆C上，且AB中点M在线段OP（不包括端点）上．求△AOB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：，解得，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），直线AB的斜率为k，则，两式作差可得，得，又直线OP：，M在线段OP上，∴，解得k=﹣1．设直线AB的方程为y=﹣x+m，m∈（0，3），联立，得3x2﹣4mx+2m2﹣6=0，△=16m2﹣12（2m2﹣6）=72﹣8m2＞0，得﹣3＜m＜3．．∴|AB|=，原点到直线的距离d=，∴．当且仅当∈（0，3）时，等号成立．∴△OAB面积的最大值．。
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第1页（共21页） 2016-2017学年四川省成都七中实验学校高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（每小题5分，共60分．） 1．（5分）已知椭圆的标准方程为，则椭圆的焦点坐标为（ ） A．（﹣3，0），（3，0） B．（0，﹣3），（0，3） C．（﹣，0），（，0） D．（0，﹣），（0，） 2．（5分）空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于（ ） A．2 B．﹣8 C．2或﹣8 D．8或2 3．（5分）直线x+2y﹣5=0与2x+4y+a=0之间的距离为，则a等于（ ） A．0 B．﹣20 C．0或﹣20 D．0或﹣10
4．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（ ） A．12 B．10 C．8 D．2 5．（5分）设A为圆（x﹣1）2+y2=1上的动点，PA是圆的切线且|PA|=1，则P点的轨迹方程（ ） A．（x﹣1）2+y2=4 B．（x﹣1）2+y2=2 C．y2=2x D．y2=﹣2x
6．（5分）直线y=kx+1﹣2k与椭圆的位置关系为（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 7．（5分）已知（1，1）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的斜率是（ ） A． B． C． D． 8．（5分）已知点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2），若直线kx+y﹣k﹣1=0与线段AB相交，则k的取值范围是（ ） 第2页（共21页）
A． B． C． D． 9．（5分）过定点（1，2）可作两直线与圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0相切，则k的取值范围是（ ） A．k＞2 B．﹣3＜k＜2 C．k＜﹣3或k＞2 D．以上皆不对
10．（5分）已知P是椭圆+=1上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆半径为，则的值为（ ） A． B． C． D．0 11．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（ ） A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞） C．[2﹣2，2+2] D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞） 12．（5分）如图所示，已知椭圆C：+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，点M与C的焦点不重合，分别延长MF1，MF2到P，Q，使得=，=，D是椭圆C上一点，延长MD到N，若=+，则|PN|+|QN|=（ ）
A．10 B．5 C．6 D．3 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．（5分）已知点A（3，2），B（﹣2，a），C（8，12）在同一条直线上，则a= ．
14．（5分）椭圆的焦点为F1、F2，P为椭圆上的一点，，则= ． 第3页（共21页）
15．（5分）若直线3x+4y+m=0向左平移2个单位，再向上平移3个单位后与圆x2+y2=1相切，则m= ． 16．（5分）已知实数x、y满足方程x2+y2+4y﹣96=0，有下列结论： ①x+y的最小值为； ②对任意实数m，方程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0（m∈R）与题中方程必有两组不同的实数解； ③过点M（0，18）向题中方程所表示曲线作切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为y=3； ④若x，y∈N*，则xy的值为36或32． 以上结论正确的有 （用序号表示）
三、解答题（共6小题，共70分） 17．（10分）已知直线l经过两直线l1：2x﹣y+4=0与l2：x﹣y+5=0的交点，且与直线x﹣2y﹣6=0垂直． （1）求直线l的方程； （2）若点P（a，1）到直线l的距离为，求实数a的值． 18．（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过两点；
（2）过点P（﹣3，2），且与椭圆有相同的焦点． 19．（12分）（1）△ABC的顶点坐标分别是A（5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8），求它的外接圆的方程； （2）△ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（5，0），C（0，12），求它的内切圆的方程．
20．（12分）已知椭圆的短轴长为4，焦距为2． （1）求C的方程； （2）过椭圆C的左焦点F1作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A、B两点，求AB的长． 21．（12分）已知圆M的半径为3，圆心在x轴正半轴上，直线3x﹣4y+9=0与 第4页（共21页）
圆M相切 （Ⅰ）求圆M的标准方程； （Ⅱ）过点N（0，﹣3）的直线L与圆M交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），而且满足+=x1
x2，求直线L的方程．
22．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切． （1）求椭圆C的方程； （2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点 A，B，设P为椭圆上一点，且满足（ O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围． 第5页（共21页）
2016-2017学年四川省成都七中实验学校高二（上）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共60分．） 1．（5分）已知椭圆的标准方程为，则椭圆的焦点坐标为（ ） A．（﹣3，0），（3，0） B．（0，﹣3），（0，3） C．（﹣，0），（，0） D．（0，﹣），（0，）
【解答】解：根据题意，椭圆的标准方程为， 则其焦点在y轴上，且a2=10，b2=1， 则c2=a2﹣b2=9，即c=3， 故其焦点的坐标为（0，3），（0，﹣3）； 故选：B．
2．（5分）空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于（ ） A．2 B．﹣8 C．2或﹣8 D．8或2 【解答】解：因为空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为， 所以=，所以（x+3）2=25．解得x=2或﹣8． 故选：C．
3．（5分）直线x+2y﹣5=0与2x+4y+a=0之间的距离为，则a等于（ ） A．0 B．﹣20 C．0或﹣20 D．0或﹣10 【解答】解：直线x+2y﹣5=0，可化为2x+4y﹣10=0， ∵直线x+2y﹣5=0与2x+4y+a=0之间的距离为， 第6页（共21页）
∴=， ∴a=0或﹣20． 故选：C．
4．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（ ） A．12 B．10 C．8 D．2 【解答】解：本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时，z取得最大值10．
5．（5分）设A为圆（x﹣1）2+y2=1上的动点，PA是圆的切线且|PA|=1，则P点的轨迹方程（ ） A．（x﹣1）2+y2=4 B．（x﹣1）2+y2=2 C．y2=2x D．y2=﹣2x 【解答】解：作图可知圆心（1，0）到P点距离为， 所以P在以（1，0）为圆心， 以为半径的圆上， 其轨迹方程为（x﹣1）2+y2=2． 故选：B． 第7页（共21页）
6．（5分）直线y=kx+1﹣2k与椭圆的位置关系为（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【解答】解：直线y=kx+1﹣2k=k（x﹣2）+1，恒过点P（2，1），∵，
∴点P（2，1）在椭圆内部，∴直线y=kx+1﹣2k与椭圆的位置关系为相交． 故选：A．
7．（5分）已知（1，1）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的斜率是（ ） A． B． C． D．
【解答】解：设直线l被椭圆+=1所截得的线段AB，A（x1，y1），B（（x2，y2） 线段AB中点为（1，1），∴x1+x2=2，y1+y2=2
，⇒+=0， ⇒，l的斜率是． 故选：C．
8．（5分）已知点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2），若直线kx+y﹣k﹣1=0与线段AB相交，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：由kx+y﹣k﹣1=0，得y=﹣k（x﹣1）+1， ∴直线过定点C（1，1）， 第8页（共21页）
又A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2）， 讨论临界点： 当直线l经过B点（﹣3，﹣2）时， kBC=﹣k==，
结合图形知﹣k∈[，+∞）成立，∴k∈（﹣∞，﹣]； 当直线l经过A点（2，﹣3）时， kAC=﹣k==﹣4， 结合图形知﹣k∈（﹣∞，﹣4]，∴k∈[4，+∞）． 综上k∈（﹣∞，﹣]∪[4，+∞）． 故选：C．
9．（5分）过定点（1，2）可作两直线与圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0相切，则k的取值范围是（ ） A．k＞2 B．﹣3＜k＜2 C．k＜﹣3或k＞2 D．以上皆不对 【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+k）2+（y+1）2=16﹣k2，
所以16﹣k2＞0，解得：﹣＜k＜， 又点（1，2）应在已知圆的外部， 把点代入圆方程得：1+4+k+4+k2﹣15＞0，即（k﹣2）（k+3）＞0， 解得：k＞2或k＜﹣3， 则实数k的取值范围是（﹣，﹣3）∪（2，）． 故选：D．