南通中学高三数学周末测试卷20200328一卷
江苏省南通中学2020届高三数学小题强化训练一(无答案)
江苏省南通中学2020届高三强化训练一数学小题1.设集合A={x|-2≤x≤2}, Z 为整数集，则A∩Z 中元素的个数为____2.设复数1,1z i z +=--其中i 为虚数单位,则|z|=___ 3.利用计算机随机产生0~1之间的数a,则事件“3a -1>0”发生的概率为___4.若双曲线221x my +=过点((2,2),-则该双曲线的虚轴长为___5.为了了解学生课外阅读的情况,随机统计了n 名学生的课外阅读时间,所得数据都在[50,150]中，其频率分布直方图如图所示.已知在[50, 75)中的频数为100,则n=___6.若tan α=34，则22sin 2cos n a α+=___ 7.函数1x -的定义域为___8.设公比不为1的等比数列{}n a 满足3121,8a a a =-243,,a a a 成等差数列，则数列{}n a 前4项和为___9.已知函数f(x)是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x<1时, f(x)=4x ,则5()(1)2f f -+=____. 10.在△ABC 中,若2,BC BA AC AB CA CB ⋅+⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 则sin sin A C的值为___. 11.一个长方体的三条棱长分别为3,8,9,若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为____.12.如图，在平面直角坐标系xOy 中,双曲线E:22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点为A,过双曲线E 的右焦点F 作与实轴垂直的直线交双曲线E 于B, C 两点.若△ABC 为直角三角形，则双曲线E 的离心率为___13. 已知,,4242ππππαβ<<<<且:22sin sin sin()cos cos αβαβαβ=+, 则tan(α+β)的最大值为___ 14.设a≠0, e 是自然对数的底数,函数2,0,(),0x ae x x f x x ax a ⎧-≤=⎨-+>⎩有零点，且所有零点的和不大于6,则a 的取值范围是____.。
2020年江苏省南通市通州通海中学高三数学文测试题含解析
2020年江苏省南通市通州通海中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的定义域是（）A． B． C． D．参考答案：C本题考查函数定义域的求解，难度较小.要使有意义，则，解得，故定义域为，故选C.2. 已知Z= (i为虚数单位),则Z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限参考答案：D因为Z=＝＝1-＋，Z的共轭复数为1-－，在第四象限。
3. 一个工厂生产了某种产品24000件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，现采用分层抽样的方法对这批产品进行抽样检查。
已知从甲、乙、丙3条生产线依次抽取的个体数恰好组成一个等差数列，则这批产品中乙生产线的生产的产品数量是A．12000 B．6000 C．4000D．80002,4,6参考答案：D4. 设命题，则是（）A． B． C． D ．参考答案：D5.某电视台连续播放6个广告，三个不同的商业广告，两个不同的奥运宣传广告，一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且奥运宣传广告与公益广告不能连续播放，两个奥运宣传广告也不能连续播放，则不同的播放方式有A．48种B．98种C．108种D．120种参考答案：答案：C6. 设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B，则集合中的元素共有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个参考答案：A7. 已知，则“”是“”的（）.A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B8. 已知函数的图象经过两点，在内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则（ ）A. B. C. D. 参考答案：D 【分析】 由题意画出函数的图像，然后结合图像以及题目的条件，利用特殊点代入，结合参数范围，即可求出函数的解析式.【详解】根据题意可以画出函数的图像大致如下因为，由图可知，又因为，所以，所以，因为，由图可知，，解得，又因为，可得，所以当时，，所以，故答案选D.【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图像与性质，属于中档题.这类型题的关键在于结合图像，以及各个参数的几何意义，利用特殊点代入求解.9. 已知函数y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x∈（﹣∞，0]时，f （x ）为减函数，若a=f （20.3），，c=f （log 25），则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b参考答案：B【考点】对数值大小的比较．【分析】由题意可知f （x ）在[0，+∞）为增函数，根据函数的单调性即可判断．【解答】解：函数y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x∈（﹣∞，0]时，f （x ）为减函数， ∴f（x ）在[0，+∞）为增函数，∵=f （﹣2）=f （2），1＜20.3＜2＜log 25， ∴c＞b ＞a ， 故选：B ．10. “”是“直线与直线相互垂直”的.充分必要条件.充分而不必要条件.必要而不充分条件.既不充分也不必要条件参考答案：B 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量与的夹角是，，.若，则实数.参考答案：略12. 函数最小值是___________参考答案：略13. 在等比数列中,,则.参考答案：32 略14. 设球O 的半径为R ，A 、B 、C 为球面上三点，A 与B 、A 与C 的球面距离都为，B 与C 的球面距离为，则球O 在二面角B -OA -C 内的那一部分的体积是______．参考答案：15. 若函数为奇函数,则实数a 的值为________.参考答案：a =0 易证为奇函数,又因为函数为奇函数,所以为偶函数.故16. 设等比数列的前和为，已知的值是____________.参考答案： 0 略17. 等比数列中，，，则的前项和为参考答案：120三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期阶段考试数学试题(解析版)
故答案为:10. 第1页共21页2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期阶段考试数学试题一、填空题1.已知集合 A 1,0,3 , B {1,2,3},则 Al B ________________ 【答案】{3}【解析】由交集的定义AB ⑶，应填答案⑶.【答案】姮2【解析】由已知得 Z 2 1 i ,将其整理成 i1 Z -2 3. -i 2,即可求出模【详解】解:由题意知，Z 2 i2 i 1 i 1 3i 1 3. 1 i1 i 1 i22i 2所以：Z h 23 2尿V 222故答案为：.2【点睛】本题考查了复数的运算，考查了复数的模•本题的易错点在于化简时，错把i2计算• 3.某人5次上班途中所用的时间（单位：分钟）分别为 12, 8, 10, 11, 的平均数为 ________【答案】10【解析】代入求解平均数的公式计算即可 【详解】解:平均数-12 8 10 11 9 10.5【点睛】 2 .已知复数Z 满足1 i Z2 i ,则复数Z 的模为当成了 1来9•则这组数• 2,0【解析】根据流程框图进行循环计算，跳出循环时b 的值即为所求 【详解】解:第一次循环:b 2,a 2；第二次循环:b 4,a 3•此时a 3不成立故答案为:4. 【点睛】本题考查了程序框图•对于循环结构是常考的题型，一般做法为根据框图，计算每次循环 的结果，注意,临界即跳出循环时的计算结果 •通常循环框图常和数列求和综合到一块 • 5 •在平面直角坐标系 XOy 中，已知双曲线χ2y 21的右焦点与抛物线2y 2px p 0的焦点重合，则 P 的值为 ______________ .【答案】2 2【解析】求出双曲线的右焦点2,0 ,令P\ 2即可求出P 的值•2【详解】 解双曲线c21 1 2,即右焦点为^2,0 .即抛物线y2 2px P 0的焦点为本题考查了平均数的计算•易错点为计算出错b 的值为所以^2'2 ,解得P 2丿2 .故答案为：2 2. 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，考查了抛物线的方程•易错点是误把P 当做了抛物线焦 点的横坐标•6.已知一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球.从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色相同的概率为 ________ . 【答案】0.4【解析】从中一次随机摸2只球，写出基本事件总数 n 和这2只球颜色相同包含的基本 事件数m,由古典概型概率公式计算即可. 【详解】一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球.从中一次随机摸出2只球，基本事件总数 n= C I = 10, 这2只球颜色相同包含的基本事件个数m= C l C 2 = 4,m 4•••这2只球颜色相同的概率为 P= =0.4.n 10故答案为：0.4. 【点睛】本题考查古典概型概率的求法 ，考查运算求解能力，是基础题. 7 .现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为 1 ,高为4.若将它制作成一个总体积不变 的球，则该球的表面积为 ________ . 【答案】44 3 4【解析】 求出圆锥的体积，则由题意，设球的半径为r ,可得一r 3—,求出球的半径，进33而可求球的表面积. 【详解】4 3 4 2则4 r3 ,解得r「所以表面积为4 r 4故答案为：4 【点睛】本题考查了圆锥的体积，考查了球的体积，考查了球的表面积.结合方程的思想，根据题意 第3解:由题意知，圆锥的体积为-3I 2 4 ..设球的半径为r3页共21页求出球的半径•对于球的问题，一般都要首先明确半径的大小8.已知等比数列a n的前n项的和为S n ,aι 16 9®,则a3的值为__________________ .【答案】43【解析】由S6 9S3可得S3 q 1 9S3,进而可求出公比的值，即可求a s的值•【详解】解：S6 a1a2 a3 a°a§a6 d a? a? ^q3 a2q3a3q3S3 q3 1Q S6 9S3S3q3 1 9S3解得,q = 2 .所以a3 a^24.故答案为:4.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和.等比数列问题，一般可采用基本量法进行求解，但是这种方法计算量比较大.因此,对于等比数列的问题，一般首先考虑利用性质简化计算.UiX r IrIJDr IJrill9.已知e ，∈2是夹角为60°的两个单位向量，a 3e∣2e? ， b 2e∣ ke? k R ，r r r且a (a b) 8则k的值为___________ .【答案】67【解析】由题意知；；b 3e1 2e23∈r1 2ee2 2e r1 ke r28 ,进而可求k的值.【详解】r r r r r r r r r r r r r解：a a b 3e 2e23e12e22e1ke23e12e2e1 2 k e23e⅛2 3k 8 6 & 2 2+k e2 3 3k 8 cos60o 2 2k 7k 11 8.2解得k 6.7故答案为：6.7【点睛】本题考查了平面向量的数量积.对于向量的数量积问题若题目中无向量的坐标，则在求数量积时，一般套用定义求解；若题目中已知了向量的坐标，求数量积时一般代入数量积的坐标公式.10.在平面直角坐标系XOy中，已知圆C : x2y22x 8 0 ,直线6BC 【解析】由tan BADBC tanDACBAC ,可得BC613 15d 6 BC 1 - 13 15,进而l : y k X 1 ,k R 过定点A ,与圆C 交于点B, D ,过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ,则AEC 的周长为 ____________ . 【答案】5【解析】由题意得A(1,0),圆心为C 1,0 ,半径为r 3,由平行可知-EA ED ,化简后CB CD可得EA CE r ,进而可求三角形的周长• 【详解】解:当 X 1 时,y 0 与 k 无关则 A(1,0)∙圆 C :x2y 22x 8 x 1y 29所以，圆的圆心为C 1,0 ,半径为r 3.则由题意知,ED r CE故答案为:5. 【点睛】,考查了圆的标准方程•本题的关键在于，由平行得比例关 系•若联立直线与圆的方程，求解各点的坐标，这种思路也可以求出最后答案 ，但计算量太大•11.如图，已知两座建筑物 AB,CD 的高度分别为15m 和9m,且AB BC CD ,从 建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角为 CAD ,测得tan CAD —,则B,C 间13可求B,C 间的距离.Q EA 与CB 平行EA ED 即EA 』 CB CD r r EA CE r则 AEC 的周长AC AE CEAC r 2 3 5.本题考查了直线过定点的问题 白勺距离 _____ m.【答案】12【详解】BC 解:由题意知tan BAD -AB CDBC~6^tan DAC BACBC 6tan DAC tan BAC 1 tan DAC tan BAC2BC239BC 180 0 ,解得BCBC6 j⅛,整理得1 -13 151512 或BC .Q BC CD 9， BC 122故答案为:12.【点睛】本题考查了三角恒等变换的应用•难点在于已知正切值的使用•有的同学可能由正切值求出正弦和余弦，结合正弦定理和余弦定理列出方程进行求解•由于本题所给的正切值求出的正弦余弦值数比较大，因此这种思路计算量较大，效率不高而且容易做错•m12 •设曲线yx+1m 0在X t,t 1处的切线为I ,则点P 2t, 1 到I的最大距离为【答案】、.2【解析】求出切线方程为mx 2t 1 y 2mt m 0 ,从而则P 2t, 1 到I的距离可用t表示出来，结合基本不等式即可求解【详解】解:y'整理得mxd2 d22mt2mt2mt2则切线方程为0•则P2t,2m2 m2m41的距离2m,当且仅当1 2 即d 2.2m2t 1 2- 2t 1时等号成立【答案】{3,5} 第7页共21页【点睛】本题考查了切线的求解，考查了点到直线的距离，考查了基本不等式•求最值常见的思路 有导数法、函数图像法、函数单调性法、基本不等式法 •本题的难点是对距离进行变形 整理•的取值范围是3【答案】三2【详解】5r ,t的情况•本题的难点是分界点能否取得的判断f k (x) InX 恰有3个不同的零点，贝U k 的取值集合为13.已知函数y c0s(3X) , Xt 5既有最小值也有最大值，则实数t【解析】由诱导公式可知3y cosSin X ,令 mX ,结合函数图像，讨论最大值为1和1两种情况2,进而求出 t的取值范围•解：y 3cos — 2Sin X 令m X •则由X -I t6可得Sin m, m•要使其既有最小值又有最大值若最大值为 13若最大值为 1,则t 2 ,解得t5•综上所述:-2 2故答案为:【点睛】本题考查了诱导公式 ,考查了三角函数最值问题•本题的易错点是漏解,只考虑了最大值14. 已知函数f 1(x)X 1 , f k 1 (X) f 1(f k (X)) , k 5, k N•若函数【解析】由题意写出fι(x), f2(x), f3(x), f4(x), f5(x)的解析式，根据图像的平移变换分别画出它们的图像，判断哪个函数图像与y In X图像有三个交点，即为所求.【详解】解:由题意知f1(x) X 1 , f2(x) IlX 1 I,f3(x) IIX 111,f4(χ) IIIlX 1 1 1 1,f5(χ) IIIlX 1111 1 •则其函数图像为∖r1*. 'I J. * I I i I . I I I I I 鼻⅛ n d I J i 2 ]■⅜ J < β 1 1 ]e4r/fL由图像可知，当k 3或5时,函数y f k(x) InX恰有3个不同的零点•故答案为：{3,5}.【点睛】本题考查了函数的图像变换考查了函数的零点•若函数f(x) g(x) h(x),则函数f(x)的零点个数就等同于函数g(x), h(x)图像的交点个数•本题的难点是画含绝对值的函数图像•对于y f (x),首先画出y f(x)的图像,然后将X轴下方的图像向上翻折即可；对于y f(x)的图像,首先画出y f (x)的图像，然后将y轴右侧向左翻折、解答题15.在平面直角坐标系XOy中，设向量∖ 3sin x,sin X , cosx,sin X , X 0,(1)若a b ,求X的值；(2)求a b的最大值及取得最大值时X的值•5 3【答案】(1)或；(2)最大值一，X .6 6 2 3r r r r 1【解析】⑴求出∣a∣,∣b∣,由IalIbl可得ISi nx∣ ?,结合X [0,]可求出所求•r r 1⑵a b Sin 2x ,结合X [0,]和正弦函数的图像，即可分析出最值及取得6 2最大值时X的值•【详解】解：(1)因为a ( .3 sin x,sin x), b (cosx,sin x)所以∣a∣ 3sin2x sin2x 2∣si nx∣,∣b∣ . CQS X Si nx2 1r r 1因为∣a ∣ ∣b ∣,所以∣ Sinx∣ .因为X [0,],所以SinX 2（2）ab.3sin xcosxSin X Sin2x1 cos2x 1 Sin 2x 12 2 2 6 2因为X [0,],所以2x11, ,于；曰 1 . Sin 2x1 36 6 6 2 6 2 2所以当π π2x ,即X时，a b取最人值 36 2 3 2【点睛】本题考查了向量的模，考查了向量的数量积，考查了三角恒等变换，考查了三角函数的最值•对于y ASin ωxφ型的函数，在求最值、对称轴、对称中心、单调区间时，一般（2）平面EDB i ⊥平面B I BD .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】⑴取B l D的中点F ,连OF l EF通过证明AC//EF从而证明线面平行.⑵通过AC BD ,B i B AC推出EF BB i, EF BD ,从而证明EF 平面B i BD , 进而可证面面垂直 . 【详解】证明：（1）在正方体ABCD A i B i C i D i中,设AC与BD相交于点0 ,则Q为BD的中点1取B i D 的中点F ,连OF, EF 所以QF∕∕BB i,QF -BB v2在正方体ABCD A i B i C i D i中，AA i∕∕BB i, AA i BB i.又点E是A i A的中点所以AE∕∕0F, AE OF .于是四边形AEFO是平行四边形从而AC//EF .又因为AC 平面EDB i ,EF 平面EDB i,所以AC//平面EDB i .A IB lC lD I中，E是棱A l A的中点.求证:都是采取整体的思想进行计算•⑵在正方体ABCD A1B1C1D1中，B1B 平面ABCD ,而AC 平面ABCD ,所以B I B AC.又在正方体ABCD A I B I C I D I中，四边形ABCD为正方形所以AC BD.由⑴知，EF//AC ,于是EF BB-EF BD .又B1B 平面B l BD , BD 平面B1BD, B j B BD B ,所以EF 平面B1BD .又因为EF 平面EDB1 ,所以平面EDB1 平面B1BD .【点睛】本题考查了线面平行的判定，考查了面面垂直的判定•线面平行或者面面平行的判定，一般都归结为证明线线平行；线面垂直或者面面垂直的判定，一般都归结为证明线线垂直•此类问题如果采用逻辑推理的方法无法证明，有时也可以建立空间直角坐标系，运用空间向量证明平行和垂直•2 217 .如图，在平面直角坐标系XOy中，已知代B两点分别为椭圆笃当1,a b 0a b的右顶点和上顶点，且AB , 7 ,右准线I的方程为X 4.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点A的直线交椭圆于另一点P ,交I于点Q若以PQ为直径的圆经过原点，求直线PQ 的方程.2 2 _ _ _ _【答案】⑴仝y1;(2)、.3X y 2 3 0或3x y 2、、3 0.4 3【解析】(1)由右准线I 的方程为X 4以及AB 、、7可列出方程组2—4 Ca 2b 2 C 2解.a 2b 2得即可求出椭圆的方程 ⑵设PQ 的方程为y k(x 2),与椭圆方程联立，求出P 8k 264k 23 12k24k 2 3;联立y k(x 2) UUU 可得Q(4,2k),由OP OQ 可知OP X 4 IujOQ 0 ,从而可求出k,3 ,进而可求直线的方程• 【详解】 解:(1)设椭圆的焦距为 2c(c 0) •由题意得2-4 C2 ,2a b 2 2,解得a 4,b ■, a 2b 2■, 7C 2所以椭圆的标准方程为 (2)由题意得直线 PQ 不垂直于X 轴,设PQ 的方程为y k(x 2) y 联立x 2 4 k(x 2 y 3 2), 2 2 ,消y 得4k 3 X 1, 2 2 16k X 16k 12 0.又直线PQ 过点 A(2,0),则方程必有一根为 2则X P 8k 26 4k 23代入直线y k(x 2),得点 P 8k 26 4k 23 12k 产.联立 y k(xX 42),所以 Q(4,2k).又以PQ 为直径的圆过原点 ,所以OP OQ . IlJU UUir 8k 2 6 则OPOQ 4汁28k 2 24 4k 230 ,解得k 2所以直线PQ 的方程为.3x y 2-、3【点睛】本题考查了椭圆的准线方程，考查了椭圆的性质，考查了直线与椭圆相交问题，考查了向量的数量积•本题第二问的难点在于圆过原点这一条件得运用 •一般若题目中已知圆过某 点,则一般等量关系为：圆心到该点的距离为半径或者圆上两点与已知点的连线垂直 18 •下图是一块平行四边形园地 ABCD ,经测量，EB 2.5m , FC 7.5m 时,EF 最短,其长度为 5. 3 .(3)当0 X 10,由二次函数的性质可求最值 ；当10≤x≤20时,由基本不等式可求最值【详解】1解:⑴当点F 与点C 重合时，由题设知，s BEC - S YABCD .41 1于是一EB h AB h ,其中h 为平行四边形AB 边上的高.2 41得EB -AB ,即点E 是AB 的中点.2⑵因为点E 在线段AB 上,所以0 X 20.当10≤ x≤20时,由(1)知点F 在线段BC 上.因为AB20m, BC 10m, ABC 120 所以 S Y ABCD AB BC SinABC 20 10 —100、3. 2AB 20m,BC 10m, ABC 120o•拟过线段AB 上一点E 设计一条直路EF (点将该园地分为面积之比为 3:1的左,X, EF y (单位：m).(2) 求y 关于X 的函数关系式; (3) 试确定点E,F 的位置，使直路EF 的长度最短.2 X 25x 25【答案】(1) E 是AB 的中点；(2)yχ2 10θ∞ 10010 X10;(3)当201【解析】(I)由S BE C S YABCD 41 1可知-EB h 4AB h,从而证明E 是AB 的中点. ⑵求出平行四边形的面积为 S YABCD100,3,进而可求S EBF 25 3 ,从而用X 可将BF 表示出来，利用余弦定理即可得到y 关于X 的函数关系式.当点F 与点C 重合时，试确定点 E 的位置; (1) F 在四边形ABCD 的边上，不计直路的宽度)，1由S EBF X BF sin1202 25 3得,BF .所以EBF中,由余弦定理得X得 CF 10 X .当 BE CF 时,EF .. 102 (2x 10)22 10 (2x 10) cos120当 BE CF 时,EF X 102(10 2x)22 10 (10 2x) cos60本题考查了函数模型的应用 ，考查了余弦定理，考查了基本不等式•本题的易错点是没有 讨论自变量的取值，从而造成了漏解•求最值时，常用的方法有：导数法、函数图像法、函数 单调性法、基本不等式法• 19.已知函数y f (X)的定义域为D ,若满足 X D,x f(x) f(x),则称函数f(χ)为’L 型函数”.(1)判断函数y e x 和y InX 是否为(L 型函数”，并说明理由；(2)设函数 f(x) (X 1)lnx (X 1)lna,a 0 ,记 g(x)为函数 f (x)的导函数• ①若函数 g(x)的最小值为1,求a 的值；②若函数 f(x)为“L 型函数 ”，求a 的取值范围.【答案】 (1) y e x不是,yIn X 是,理由见解析；(2)①a e ；②02a e . 【解析】(1)分别求出两个函数的定义域 ，判断 X D,xf(x) f (x)即可综上： 当E 距点B2.5m , F 距点C7.5m 时，EF 最短，其长度为5、. 3 .2X当且仅当X 2= 10000即X 10时，取等号 【点睛】y EFx 2100 X100.当0 X 10时,点F 在线段CD 上,由S 四边形EBCF-(X CF) 10 Sin60 2 25 3化简均为y EF 2 ∖ X 2 5x25.综上，y⑶当0 曰、【/是当X2 X 25x 2510χ210000100 X 210 X20X 10 时,y2 X 25x 2525 752 时,y min155、3,此时 CF 10 X当 10≤ x ≤20 时,y χ2 10000100 2,.'X 2X 210000100 10、3 X 22x 100 cos12010000所以由零点存在性定理得X 0 (1,a)使g X 00,又g(x)在(1,)上为增函数1⑵①求出g(x) f (x) InX 1 In a, x (O,),再求g (x),通过导数探究当 XX 取何值时，g(χ)取最小值，令最小值为1,即可求出a 的值•②由题意X (0, ),(X 1)f (X) (X 1)[(x 1)lnx (X 1)ln a] 0恒成立，分别讨论当0 a e 2和a e 2时,通过探究f(x)的单调性判断是否使得不等式恒成立，从而求出a 的取值范围.【详解】解:⑴对于函数y e x,定义域为R ,显然0 ee 0不成立，所以y e x 不是’L 型函数 对于函数y Inx ,定义域为(0,).当 0 X Hdlnx 0,所以(X 1)l nx 0,即 xlnx In X ; 当 X 1 时，Inx 0,所以(X 1)l nx 0,即 xl nx ln x . 所以 X (0,),都有xl nx Inx .所以函数y Inx 是型函数”.X 11⑵①因为 g(x) f (x) In XInaInX 1 Ina, x (0,)XX1 1 X 1所以g (x)22.当X (0,1)时，g(χ) 0所以g(x)在(0,1)上为减函数X X X当X (1,)时,g (x) 0,所以g(x)在(1,)上为增函数. 所以 g(x)min g(1) 2 In a .所以 2 In a 1,故 a e . ②因为函数f (x) (X 1)l nx (X 1)l na 为(L 型函数所以 X (0,),(x 1)f (x) (X 1)[(x 1)l nx (X 1)l n a] 0().(i)当 2 In a 0 ,即 0 a e 2时，由①得 g(x) 0,即 f (x) 0.所以f (X)在(0,)上为增函数,又 f (1) 0,当X (0,1)时,f (X) 0所以(X 1)f (X) 0；当 X [1,)时,f (x) 0,所以(X 1)f (X) 0.所以X (0,),适合()式.2 1(ii) 当 2 In a 0,即 a e 2时，g(1) 0,g(a) - 10.第15页共21页所以由零点存在性定理得X0 (1,a)使g X0 0,又g(x)在(1,)上为增函数所以当X 1,X o 时，g(x) 0,所以f (X)在1,X o 上为减函数又f(1) 0,所以当X 1,X o 时,f(x) 0,所以(X 1)f(x) 0,不适合()式. 综上得，实数a 的取值范围为0 a e 2∙ 【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了函数的最值，考查了不等式恒成立问题.本题的难点在 于最后一问，学生往往想不起来通过函数的单调性等来判断函数在某一区间的正负问题 20 .已知数列 a n 的首项为1,各项均为正数，其前n 项和为S n ,1设数列 b n 满足 b 1 1 , b n 1b n a n ,求证：- 2.、a n 1 i 1 b【解析】⑴令n 1,n2即可求出a 2 ,a 3的值;1当n 1时,-b 11•从而可证.【详解】【答案】(1)a 22,a 3 3;(2)证明见解析;(3)证明见解析.a n 1 a n ⑵由2 Sn —1 n an 1得2Sm a n a na n an —(n 2)两式相减进行整理可得 an 1 a n 1 a n a n a n 1(n ≥ 2),即可证明 a n 为等差数列. ⑶由⑵可知b n 1b n n , b n b n 1 n1(n 2)两式相减整理得 丄 b n 1 b n 1 (n 2),则b n1 丄丄丄b i b 1 b 2 b 3 1 丄 bib nbl b 2 b n b n 1 ,通过放缩即可证明；解:⑴令n 1得,2S∣a ? a 〔 a 2 a 1,又a 11,解得a 2 2；令n 2得,2S 2a 〔a 2,即 2a 1a 3 a 2a 22a 1a 32 ,从而a3 3.2S na n QnOW n N •(1) 求a 2,a 3的值;(2) 求证：数列 a n 为等差数列;(3)1a ∏ 1a ∏⑵因为2S ∏ a ∏ 1 a∏ ①;所以2S ∏ 1 Jn 2)② a∏ 1 a ∏①-②得,2a ∏ a ∏ 1a∏ a ∏ 1 a∏ a ∏a∏ 1 a ∏ a ∏ .因为数列 a ∏的各项均为正数，所以a ∏ 0.a ∏ 1 a ∏从而2 口 ∏ a ∏ 1 a ∏ a ∏ a ∏ 1去分母得,2 a ∏ 1 a ∏ a ∏ a ∏ a ∏ 1 a ∏ a ∏ 1 a ∏ 1 a∏ 1 a n 化简并整理得，a ∏a ∏1 2a ； a ∏a ∏ 0,即 2a ∏ a ∏ 1 a ∏1(∏ 2),所以 a ∏ 1 a ∏ a ∏ a ∏ι( n ≥ 2).所以数列 a n 为等差数列. (3)由(2)知,b ∏ 1b ∏ ∏ ③.当 ∏ 1 时,b 2b 1 1 ,又 b 1,所以 b 2 1.由③知,b ∏b ∏ 1 ∏ 1(∏ 2) ④.③-④得,b ∏1b ∏ b ∏b ∏ 1 1 (∏ 2)即b ∏b ∏ 1 b∏ 1 1(∏2),依题意,b ∏ 0 ,所以占b ∏ 1 b ∏ b ∏ 1(∏2).b 11 b2 b 3b∏1 b ib 3 b 1 b 4 b 2 b 5 b 3b ∏ b ∏ 2 b ∏ 1 b ∏1 b ibi b 2 b ∏ b ∏ 12.b ∏1b ∏12 a ∏ 1 ,当 ∏ 1时，11 ,原不等式也成立.b 1∏ 1综上得，- i 1 b 2云1 【点睛】 本题考查了由递推公式求项 ，考查了等差数列的定义，考查了放缩法，考查了数列求和.本 题难点在于整理出丄 b ∏ 1 b ∏1(∏ b ∏ 2),从而对所证式子进行化简.涉及到S n 和a ∏的递推公式时，一般代入公式a ∏S nT \进行求解. S n 1, n 2 21•已知 a，b R,若 M= ba3所对应的变换 TM 把直线2x-y=3变换成自身，试3求实数a, b.【答案】户■- J -- 【解析】【详解】 JC R = 十 αυ一 τ, = ⅛x + 3V.L*aμT 2x r-y f= l.∖2(-x+α})- (⅛x + 3y) = 3.即-一一 --_.■此直线即为-'-/ ■ .■- ■二—2 -口二 2.2C 7 — 3 二—1.则.-.22 •在极坐标系中，设P 为曲线C : 2上任意一点，求点P 到直线l : Si n-3的最大距离• 【答案】5【解析】将圆C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程， 转化为求圆上的点到直线 I 距 离的最大值，求出圆心到直线 I 距离，即可求出结论. 【详解】 曲线C :2化直角坐标方程为 X 2 y 24表示圆,1 Sin— 3,- Sin 3 OCoS 3 ,322化为直角坐标方程为 ,3x y 6 0,6 圆C 上点P 到直线I 距离的最大值为 .【点睛】想，属于基础题本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化、圆上点到直线距离的最值， 考查数形结合思设a b c 6 ,求证：.a bl ',厂2, 3 二.23 .设a, b, C为正实数,【答案】证明见解析2 2 2 2 2 2 2【解析】 根据柯西不等式 Xi% X 2y 2 X 3y 3 % X 2 X 3 y ι y 2 y 3 ,将原式进行配凑并结合已知条件 a b c 6加以计算，即可得证；【详解】证明：因为a, b, C 为正实数，a b c 6，2 2所以,a . b 1 . c 2 .. a 1 ., b 11 . c 2 1a b 1 c 2 1 1 1 27于是λa ..尸 、、厂2, 3.3 ,当且仅当,a 、、L 、、厂2 ,即a 3，b 2，C 1时取等号，所以,a ..尸、、厂2, 3. 3 ,得证； 【点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式，属于中档题 24 •假定某篮球运动员每次投篮命中率均为 P(O P 1).现有3次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即终止投篮 ,已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰好用完3次投篮机会的概率是 -25(1)求P 的值；(2)设该运动员投篮命中次数为X ,求X 的概率分布及数学期望E(X).3【答案】(1); (2)分布列见解析，期望为5【解析】 分析：(1)设事件A :恰用完3次投篮机会”则其对立事件 A ：前两次投篮均不应概率即可详解：(1)设事件A ：恰用完3次投篮机会”则其对立事件 A :前两次投篮均不中解得P 3.5(2)依题意，X 的所有可能值为0,1,2,3,213 125所以，PA 1 P A⑵X 的所有可能值为 250,1,2,3,计算其对依题意，PA 1 P A25，25所以m3 C k c ；k C ：k L点睛：利用对立事件计算概率是概率问题中长用的方法，所以出现 关键字眼时要注意利用对立事件的思路解题，往往能够简化计算 25 •设 S 4k a 1 a 2 La 4k ( k N *),其中 ai 0,1( i 1,2,L ,4k ).当S 4k 除以4的余数是b ( b 0,1,2,3)时，数列a 1,a 2丄,a 4k 的个数记为m b .(1) 当k 2时，求m 1的值；(2) 求m3关于k 的表达式，并化简.2k 1【答案】(1) 64； (2)m 3 4【解析】(1) (1)根据定义，确定条件： 8个数的和除以4的余数是1,因此有1个1或5个1,其余为0,从而m C 8 C 564 ；(2)--:个数的和除以4的余数是3,因此有3个1,或7个1,或11个1,∙∙∙,或4k 1 个1 ,其余为0, m 3 C 43k CJ k Cr k L C4k 1,再根据组合数性质即可化简求值• 【详解】(1)当k 2时，数列a 1,a 2,a 3^L ,%中有1个1或5个1,其余为0, 所以 m C 8 C 8564 .(2)依题意，数列a 1, a 2,L ,a 4k 中有3个1,或7个1,或11个1,…， 或4k 1个1 ,其余为0,4k 1C4k第20页共21页X 的概率分布列为 数学期望E X24 ,125兰2竺3空空125 125 125 125至多”至少”等其他同理，得 m 1 C 41k C 45k C49kL C 44k k 3因为 C 4ik C 44k k ii 3,7,11,L ,4k 1 ，所以 m 1 m 31 3 9 4k 3 4k 1 4k 1m 3 C 4kC 4k C 4k L C 4k C 4k 2点睛】 本题考查组合数的性质，组合数的运算，属中档题所以 m 34k 224k 22k 14。
江苏南通2020届高三数学测试(2.22)
江苏省南通第一中学2020届高三学生测试（2.22）一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 已知集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{2，3}，B ＝{1，3}，则A ∩(∁U B)＝________．2． 设命题p ：x ≤4；命题q ：x 2－5x ＋4≤0，那么p 是q 的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)3． 从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是________．4． 某中学共有学生2 000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人．现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0．21，则该校高三学生共有________人．5． 下面是一个算法的伪代码．如果输出的y 值是60，那么输入的x 值是________．6． 已知在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 4a 6＝81，则a 7－a 9a 3－a 5＝________． 7． 若曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线与直线x ＋ay ＋3＝0垂直，则实数a 的值为________． 8． 已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，x ∈R ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的最大值和最小值分别为a ，b ， 则a －b 的值为________．9． 已知奇函数f (x )的图象关于直线x ＝－2对称，当x ∈[0，2]时，f (x )＝2x ，那么f (e 2)的值为________．(e 为自然对数的底数)10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos B 的值为________．11．已知a >b >0，a ＋b ＝2，则4a －b ＋12b的最小值等于________． 12．在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝10，BC ＝2，M 为边AB 的中点，P 是△ABC 内(包括边界)一点，则BP⃗⃗⃗⃗⃗ ∙CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是________． 13． 设函数f (x )={−x 3+x 2,x <2alnx,x ≥2的图象上存在两点M ，N ，使得以M ，N 为直径的圆经过点O (其中O 为坐标原点)，且M ，N 的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是______________．14．在平面直角坐标系中，已知⊙O 1与⊙O 2交于P (1，2)，Q 两点，两圆半径之积为1．若两圆均与直线l ：y ＝kx 和x 轴相切，则直线l 的方程为________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15． (本小题满分14分) 设向量a ＝(3cos x ， sin x )，b ＝(1，－1)，c ＝(1，1)，其中x ∈[0,π]．(1) 若(a +b )∥c ，求实数x 的值；(2) 若a ·b ＝13，求函数sin (x +π6)的值．16． (本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，PC ⊥底面ABCD ，E 为PB 上一点，G 为PO 的中点．(1) 若PD ∥平面ACE ，求证：E 为PB 的中点；(2) 若AB ＝2PC ，求证：CG ⊥平面PBD ．17． (本小题满分14分)如图，把一块边长为40cm 的正六边形铁皮剪去阴影部分，制成一个正六棱柱形的无盖容器．设容器的底面边长为x cm ，容积为y cm 3．(1) 求出y 关于x 的函数关系式y =f (x )，并写出函数的定义域；(2) 当容器的底面边长为多大时，无盖容器的容积最大？最大是多少？18． (本小题满分16分)已知椭圆C ： x 2+y 2b 2=1(0<b <1)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，椭圆C 的离心率为e ．(1) 若点A 的坐标为(b,√34)，求椭圆C 的方程；(2) 记AF 1的中点为M ，BF 1的中点为N ，OM ⊥ON ．①证明AF 1→·AF 2→为定值；②设直线AB 的斜率为k ，若k ≥33，求e 的取值范围．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n S a =−，*n ∈N ．数列{}n b 满足1(1)(1)n n nb n b n n +−+=+，*n ∈N ，且b 1=0．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若c n =a n b n n ，数列{}n c 的前n 项和为n T ，对任意的*n ∈N ，都有n n T nS a ≤−，求实数a 的取值范围；（3）是否存在正整数m ，n ，使a 1，m a ，b n +n （1n >）成等差数列，若存在，求出所有满足条件的m ，n ，若不存在，请说明理由．20． (本小题满分16分)设函数f (x )＝x 3－ax ，a ∈R ，g (x )＝x e x，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）， f （x ）>g （x ），g （x ）， f （x ）≤g （x ）(e 为自然对数的底数)． (1) 求函数f (x )的单调增区间；(2) 若函数h (x )的最小值为－1e，求实数a 的取值范围； (3) 是否存在实数a 使得h (x )＝f (x )或h (x )＝g (x )恒成立，如果是，求出a 的取值集合，如果不是，请说明理由.数学附加题21． 【限选题】共2小题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．B ． 选修4-2：矩阵与变换已知矩阵1012⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，若直线y =kx −1在矩阵A 对应的变换作用下得到的直线过点(2,6)P ，求实数k 的值．C ． 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋32(t 是参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，选取相同的单位长度，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4．由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22． (本小题满分10分)批量较大的一批产品中有40%的优等品，现进行重复抽样检查，共取3个样品，以X 表示这3个样品中的优等品的个数．(1)求取出的3个样品中有优等品的概率；(2)求随机变量X 的概率分布及数学期望E (X )．23． (本小题满分10分)设集合A ={1,2}，A n ={t|t =a n ⋅3n +a n−1⋅3n−1+⋯+a 1⋅3+a 0,a i ∈A,i =0,1，2，…，n}，n ∈N ∗．(1)写出集合A 1和A 2；(2)求证：能将集合A n (n ≥2,n ∈N ∗)分成两个没有公共元素的子集B s ={b 1,b 2,…,b s }和C l ={c 1,c 2,…,c l }，s ，l ∈N ∗，使得b 1+b 2+⋯+b s =c 1+c 2+⋯+c l 和b 12+b 22+⋯+b s 2=c 12+c 22+⋯+c l 2同时成立．。
江苏省南通市海安市2024-2025学年高三上学期开学数学试题(解析版)
2025届高三期初学业质量监测试卷数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合A，然后由交集运算可得.【详解】解不等式，得，所以.故选：B2. 已知命题，则：（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用存在题词命题的否定是全称量词命题，直接写出结论.【详解】命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以：.故选：C3. 函数在区间上（）A单调递增 B. 单调递减 C. 先增后减 D. 先减后增【答案】D【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解即可.【详解】，即，设，则单调递减，且故存在唯一一个使故在上，，此时单调递减；在上，，此时单调递增；故在区间上先减后增.故选：D4. 已知函数，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据解析式代入验证即可.【详解】因为，而，所以.故选：C5. 已知，则（）A. B. 6 C. 8 D. 9【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用对数的运算法则，求得，结合指数幂与对数的运算法则，即可求解.详解】由，可得，则，则.故选：D.6. 设，函数，则“关于x的不等式的解集为”是“恒成立”的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 不充分不必要【答案】A【解析】【分析】由二次函数的性质确定不等式和函数成立的条件，再由充分必要条件得出结果即可；【详解】因为关于x的不等式的解集为，则，可得恒成立，故充分性成立；取，满足恒成立，但的解集为，故必要性不成立；所以“关于x的不等式的解集为”是“恒成立”的充分不必要条件.故选：A.7. 已知直线与曲线相切，则的最大值为（）A. B. 2 C. D. 5【答案】C【解析】【分析】设切点切点横坐标为，由题意列出的关系，进而得到，再由二次函数求最值即可.【详解】设切点横坐标为，求导：得，由题意可得解得：，所以，所以时，的最大值为.故选:C8. 若函数的3个零点由小到大排列成等差数列，则（）A. 2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】将问题转化为和的交点，结合函数图象以及一元二次方程的根可得，，即可利用等差中项求解.【详解】令可得，在同一直角坐系中作出和的图象如下：要使有3个零点，则，由图可知：有一个零点，有2个零点，且，即有一个零点，有2个零点，且故，，由于，故，化简可得，平方解得，由于，故，故选：D【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的常用方法：(1) 直接法：令则方程实根的个数就是函数零点的个数；(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列曲线平移后可得到曲线的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据图像的平移变换可判断ABD，根据图像的伸缩变换可判断C.【详解】对于A，曲线向右平移3个单位可得到曲线，故A正确；对于B，曲线向上平移3个单位可得到曲线，故B正确；对于C，曲线横坐标伸长为原来的3倍可得到曲线，故C错误；对于D，曲线，向左平移个单位可得到曲线，故D正确；故选：ABD10. 一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%，且这个比值越大，通风效果越好．（）A. 若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为B. 若窗户面积和地面面积都增加原来的10%，则教室通风效果不变C. 若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好D. 若窗户面积第一次增加了m%，第二次增加了,地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差【答案】BC【解析】【分析】设该公寓窗户面积为x，依题意列出不等式组求解可判断A；记窗户面积为a和地板面积为b，同时根据B，C，D设增加的面积，表示出增加面积前后的比值作差比较即可判断B，C，D.【详解】对于A，设该公寓窗户面积为，则地板面积为，依题意有，解得，所以，这所公寓的窗户面积至少为，故A错误；对于B，记窗户面积为a和地板面积为b，同时窗户增加的面积为，同时地板增加的面积为，由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，所以公寓采光效果不变，故B正确；对于C，记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c.由题可知，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，因为，且，所以，即,所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了，故C正确；对于D，记窗户面积为a和地板面积为b，则窗户增加后的面积为,地板增加后的面积为，由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，因为，又因为，所以，因为，所以,当时，采光效果不变，所以无法判断公寓的采光效果是否变差了，故D错误.故选：BC.11. 设函数的定义域关于原点对称，且不恒为0，下列结论正确的是（）A. 若具有奇偶性，则满足的奇函数与偶函数中恰有一个为常函数，其函数值为0B. 若不具有奇偶性，则满足奇函数与偶函数不存在C. 若为奇函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对D. 若为偶函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对【答案】ACD【解析】【分析】利用奇偶性的定义即可判断A选项；通过举例，即可判断B选项；通过构造，即可判断C选项；通过构造即可判断D选项.【详解】对于A，，则，当为奇函数时，则，即；当为偶函数时，则，即，即满足的奇函数与偶函数中恰有一个为常函数，其函数值为0，故A正确；对于B，当，时，不具有奇偶性，满足的奇函数与偶函数存在，故B错误；对于C，为奇函数时，令奇函数，偶函数，则，，故存在无数对奇函数与偶函数，满足.故C正确；对于D，为偶函数，令奇函数，偶函数，则，，故存在无数对奇函数与偶函数，满足.故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 设函数的图象上任意两点处的切线都不相同，则满足题设的一个______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】只需要函数在不同点处的切线斜率不同即可.【详解】设，则.在上任取一点，则函数在该点处的切线方程为：即.只要不同，切线方程就不同.故答案为：（答案不唯一）13. 已知矩形的周长为24，将沿向折叠，AB折过去后与DC交于点P．设，则______________（用x表示），当的面积最大时，______________．【答案】①. . ②.【解析】【分析】结合图形，折叠后易得，设，利用，即可求得的表示式；依题意，求出的面积表示式，利用基本不等式即可求得面积最大值，从而得到此时的值.【详解】如图2是图1沿着折叠后的图形，因，则，因矩形的周长为24，则，对折后,易得,设，则,在中，由勾股定理，，整理得，即的面积为，因，则当且仅当时，，此时时，.故答案为：；.14. 已知a为常数，且．定义在上的函数满足：，且当时，，则______________．【答案】1【解析】【分析】根据题意，先求出，再赋值得到，将转化为，运用不等式传递性，得到.式子恒成立.只能.解方程即可.【详解】时，，则.．定义在上的函数满足：．令，得到，即.由于，则.则要使得式子恒成立，则，解得或或者.由于.则.故答案为：1．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 如图，在三棱柱中，平面，E，F，G 分别是棱AB，BC，上的动点，且．（1）求证：；（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求．【答案】（1）证明过程见解析（2）【解析】【分析】（1）证明线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到垂直关系；（2）在（1）的基础上，得到，故，从而得到线面垂直，故为平面的一个法向量，结合平面的法向量，利用向量夹角余弦公式得到方程，求出，从而求出.【小问1详解】因为平面，平面，所以，，又，故两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，因为，，设，，所以，则，则，故；【小问2详解】，则，则，则，又，平面，所以平面，故为平面的一个法向量，又平面的法向量为，则平面与平面的夹角的余弦值为，又平面与平面的夹角的余弦值为，所以，解得，故.16. 某学习小组研究得到以下两个公式：①；②．（1）请你在①和②中任选一个进行证明；（2）在中，已知，求的面积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）若选①，利用两角和差的正弦公式及同角之间的关系即可证明；若选②，利用两角和差的正弦公式及同角之间的关系即可证明；（2）利用两角和差的正弦公式及正弦定理可得，再利用面积公式求解.【小问1详解】若选①，证明如下：.若选②，证明如下：.【小问2详解】由已知，可得，即，即，由正弦定理可得，又，所以，所以的面积.17. 分别过椭圆的左、右焦点作两条平行直线，与C在x轴上方的曲线分别交于点．（1）当P为C的上顶点时，求直线PQ的斜率；（2）求四边形的面积的最大值．【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）结合图形，易得，求得的斜率，由直线与椭圆的方程联立，求得点，即得直线PQ的斜率；（2）结合图形，由对称性可知，四边形是平行四边形，四边形的面积是面积的一半，设直线的方程，并与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出和点到直线的距离，得到四边形的面积函数式，利用换元和对勾函数的单调性即可求得面积的最大值.【小问1详解】由可知,椭圆上顶点为，即,直线的斜率为，则直线的方程为：，将其代入整理得，，解得，或，因点在x轴上方,故得点，于是直线PQ的斜率为：；【小问2详解】如图，设过点的两条平行线分别交椭圆于点和，利用对称性可知，四边形是平行四边形，且四边形面积是面积的一半.显然这两条平行线的斜率不可能是0（否则不能构成构成四边形），可设直线的方程为代入，整理得：，显然，设，则，于是，，点到直线的距离为，则四边形的面积为，令，则，且，代入得，，因函数在上单调递增，故，当时，取得最小值为4，此时.18. 已知红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为.现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，训练结束.假定红方、蓝方互不影响，各轮结果也互不影响.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件A，蓝方击中红方目标为事件B.求：（1）概率；（2）经过1轮对抗，红方与蓝方击中对方目标次数之差X的概率分布及数学期望；（3）在4轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率．【答案】（1），（2）分布列见解析，（3）【解析】【分析】（1）根据概率的乘法公式即可求出；（2）求出的可能取值范围及对应的概率，求出；（3）分蓝方击中、和次三种情况讨论.【小问1详解】，；【小问2详解】的可能取值为，因为，，，所以分布列为：所以；【小问3详解】若蓝方击中次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为，若蓝方击中次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为，若蓝方击中次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为，所以红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为.19. （1）函数与的图象有怎样的关系?请证明；（2）是否存在正数c，对任意，总有？若存在，求c的最小值；若不存在，请说明理由；（3）已知常数，证明：当x足够大时，总有．【答案】（1）关于直线对称，证明见解析；（2）存在，；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用互为反函数的性质判断并证明.（2）由零点，可得，再构造函数，利用导数证明时不等式恒成立.（3）根据给定条件，等价变形不等式，构造函数，利用导数，结合零点存在性定理推理即得.【详解】（1）函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称，令为函数图象上任意一点，即，则，因此点在函数的图象上，反之亦然，而点与关于直线对称，所以函数与的图象关于直线对称.（2）存在正数，对任意的，恒成立，令，显然，根据指数函数与幂函数的增长特征，在上恒有，当时，求导得，令，求导得，函数在上单调递增，，函数在上单调递增，，函数在上单调递增，因此，；令，求导得，函数在上单调递增，，因此函数在上单调递增，，所以存在正数c，对任意的，总有，.（3），不妨令，则不等式，令，求导得，当时，；当，函数在上单调递增；在上单调递减，当时，，，当时，由，得是函数的一个零点，又，而趋近于正无穷大时，趋近于，因此存在大于的正数，使得，当时，，所以对于，存在正数，使得，恒有；，不妨令，，不等式，令，则函数在上单调递增；在上单调递减，，令，求导得，函数在上单调递增，值域为，存在，使得，当，即时，，恒成立，当，即时，函数有两个零点，对于，恒成立，因此对于，存在正数，使得，恒成立，取，对于任意的，成立，所以当x足够大时，总有.【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.。
南通市2020届高三数学(南通四模参考答案(定稿)
…… 14 分
16．（本小题满分 14 分）
已知函数 f (x) = 2cos2 (x + ) + cos(2x + )，x R ．
4
6
（1）求 f (x) 的最小值；
（2）在 △ABC
中，
0
A
3
，且
f
( A)
=
−
1 2
．若
AC
=
2，BC
=
2 ，求角 B 的大小．
【解】（1） f (x) = 2cos2 (x + ) + cos(2x + )
S1，S2，则 S1 的值为 ▲ ． S2
【答案】 3 2 D
C
（第 10 题）
A
B
（第 12 题）
11．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 M 经过直线 l： x − 3y + 2 3 = 0 与圆 C： x2 + y2 = 4 的
两个交点．当圆 M 的面积最小时，圆 M 的标准方程为 ▲ ．
【答案】 (x + 3 )2 + ( y − 3)2 = 1
3． 某中学为了了解高三年级女生的体重（单位：千克）情况，从中随机抽测了 100 名女生的体重，
所得数据均在区间 48，58 中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 100 名女生中，体重在
区间 50 ，56 的女生数为 ▲ ．
【答案】75
频率/组距
0.150 0.125 0.100
0.075 0.050
因为当
x
=
k
+
3
（
k
Z
）时，
cos(2x
+
江苏省南通市通州区2020届高三第一次调研抽测数学试卷含附加题
2020届高三第一次调研抽测20190920数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间 为120分钟。
考试结束后，请将答题卡交回。
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写 在答题卡上。
3. 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。
如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
参考公式： 锥体的体积公式1=3V Sh 锥体， 其中为锥体的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答題卡相应位置1. 己知集合{1,1,2},{1,2,4}A B =-=，则A B =I ▲.2. 设i 为虚数单位，则复数的实部为 ▲.3. 某校共有学生2 400人，其中高三年级600人.为了解各年级学生的兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从全校学生中抽取容量为100的样本，则高三年级应抽取的学生人数为 ▲.4. 若从甲、乙、丙、丁 4位同学中选出3名代表参加学校会议，则甲被选中的概率为 ▲.5. 在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为-2,则输入的的值为▲.6. 已知双曲线2221(0)x y a a-=>的焦距为4,则的值为▲. 7． 不等式23122x x --<的解集为▲.8. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点是棱1BB 的中点，则三棱锥11D DEC -的体积为▲ . 9. 已知等比数列{}n a 的前项和为n S .若2361,80a a a =+=，则5S 的值为▲.10. 将函数()sin()4f x x π=+的图象向右平移个单位，得到函数的图象.则“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的 ▲ 条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中选填一个）11. 已知函数()()x f x ax b e =+，若曲线()y f x =在点处的切线方程为310x y -+=,则的值为▲.12. 设.0,0,24x y x y >>+=，则(4)(2)x y xy++的最小值为▲. 13. 已知()f x 是定义在上且周期为3的周期函数，当(0,3]x ∈时，()11f x x =--. 若函数()log (01)a y f x x a a =->≠且在(0,)+∞上有3个互不相同的零点，则 实数的取值范围是▲.14. 在平面直角坐标系xOy 中，(2,2),(0,4)P Q -为两个定点，动点在直线1x =-上，动点满足2216NO NQ +=，则PM PN +u u u u r u u u r 的最小值为▲.二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答題卡指定区域内作答.解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.15. （本小题满分14分）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，相交于点， OP OC =,为PC 的中点，.（1） 求证：平面；（2） 求证：平面16. (本小题满分14分) 在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知向量(sin(),1)6a A π=+-，向量(1,cos )b A =，且12a b ⋅=. (1)求角的大小；(2)若4,5b c ==，求sin 2B 的值.17. (本小题满分14分)设数列{}n a 的各项均为正数，{}n a 的前n 项和21(2),8n n S a n N *=+∈ (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设等比数列{}n b 的首项为2,公比为(0)q q >，前n 项和为n T .若存在正整数m ，使得33m S S T =⋅，求q 的值.18.(本小题满分16分)如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通,A B 两地，A 地位于东西方向的直线MN 上的陆地处，B 地位于海上一个灯塔处，在A 地用测角器测得4BAN π∠=，在A 地正西方向4km 的点C 处，用测角器测得tan 3BCN ∠=. 拟定铺设方案如下：在岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设.预算地下、水下的 电缆铺设费用分别为2万元/km 和4万元/km ,设BPN θ∠=，,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，铺设电缆的总费用为()f θ万元. (1)求函数()f θ的解析式；(2)试问点P 选在何处时，铺设的总费用最少，并说明理由.19. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，己知椭圆2222:1(0)43x y C t t t-=>的左、右顶点为,A B ， 右焦点为F .过点A 且斜率为的直线交椭圆于另一点.(1)求椭圆的离心率；(2)若12k =，求22PA PB 的值； (3)设直线:2l x t =，延长AP 交直线l 于点Q ，线段BQ 的中点为E ，求证：点关于直线的对称点在直线PF 上。
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江苏省南通市通州高级中学2022-2023学年高三上学期第一次阶段性测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________四、双空题16．记()R n 表示正整数的所有正因数中最大的奇数，如6的正因数有1，2，3，6，则()63R =，10的正因数有1，2，5，10，则()510R =，记()()()()()12321n T n R R R R =++++-L ，()2T =______； ()T n =______．EG EF FA AG EB =++= uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 正确；对于B，由正六边形的性则向量CDuuu r在ABuuu r上的投影向量为则()0,0A，()2,0B，设P[]22,6AP AB m×=Î-uuu r uuu r，C对于D，由题意知：(0,2 E设()(),002G t t ££，CE \uuu r ()3331CG CE t ×=---=uuu r uuu r 56AG AB =uuu r uuu r ，即56l =，D 故选：AC.12．ABC【分析】对于A 直接计算即可；对于当71063b-<<时,函数()g x有3个零点．20．(1)证明见解析(2)43535【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
南通市中学2020年高三数学模拟试卷
南通市中学2020年高三数学模拟试卷命题:丁艳 江苏省华罗庚中学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．答案写在答卷纸上．）1．若全集R U =，集合{}01<+=x x A ，{}03<-=x x B ，则集合B A C U )(= ▲ ． 2．已知复数i a z 3)4(2+-=，R a ∈，则“2a =”是“z 为纯虚数”的___ __ ▲ 条件． （填写“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中的一个） 3．如图所示的算法流程图中，若2()2,(),xf xg x x ==则(3)h 的值等于 ▲． 4． 投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m ，n ，设),(n m a =→，则满足5<→a的概率为 ▲ ．5、若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，则双曲线的标准方程为 ▲ 。
6．已知正六棱锥ABCDEF P -的底面边长为1cm ，侧面积为32cm ， 则该棱锥的体积为 ▲ 3cm ．7．已知角αβ、的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，(0)αβπ∈、，， 角β的终边与单位圆交点的横坐标是13-，角αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α= ▲ ．8．设圆C ：224x y +=的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点,A B ，则AB 的最小值为 ▲ ． 9.正项等比数列{}n a 满足5762a a a -=，若存在两项n m a a ,，使得22a a a n m =，则nm 41+的最小值为 ▲10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆12222=+by a x （0>>b a ）被围于 由4条直线a x ±=，b y ±=所围成的矩形ABCD 内，任取椭圆上一点P ，若OB n OA m OP ⋅+⋅=（m 、R n ∈），则m 、n 满足的一个等式是___▲______11.已知函数()x f 的定义域为R ，且对任意R x ∈都有()()()11++-=x f x f x f ，若()()31,21==-f f 则()()=-+20122012f f ▲12．已知F 是椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆22214x y b+=相切于点Q ，且→→=QF PQ ，则椭圆C 的离心率为 ▲ ． 13.记{}⎩⎨⎧>≤=)()(,min b a b b a a b a ，已知函数(){}34,12m in 222+--++=x x t tx x x f 为偶函数（t 为实常数），开始输入x f(x)>g(x)h(x)=f(x)h(x)=g(x)输出h(x)结束是否则函数)(x f y =的零点为 ▲ （写出所有零点）14.把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大顺序排成一列，得到一个数列{}n a ，若2011=n a ，则=n ▲1 12 3 4 2 4 5 6 7 8 9 5 7 910 11 12 13 14 15 16 10 12 14 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 17 19 21 23 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 26 28 30 32 34 36 ………….. ……………..图甲 图乙 二、简答题15.（本题满分14分）已知(2cos 23sin ,1),(cos ,)m x x n x y =+=-，满足0m n ⋅=． （1）将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期；（2）已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的边长，若()()2A f x f ≤对所有x R ∈恒成立，且2a =，求b c +的取值范围．17．（本题满分16分）如图为河岸一段的示意图，一游泳者站在河岸的A 点处，欲前往河对岸的C 点处。
2020届江苏省南通市高三下学期3月开学考试数学试题(解析版)
2020届江苏省南通市高三下学期3月开学考试数学试题一、填空题1．已知集合{}02,{1}M x x N x x =<<=>，则M N =I ________________. 【答案】{|12}x x <<【解析】根据交集的定义，即得解. 【详解】集合{}02,{1}M x x N x x =<<=> 根据交集定义，{|12}M N x x =<<I 【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 2．已知复数z 满足()21i z i -=+,i 为虚数单位,则复数z = 【答案】531i+ 【解析】略3．某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45 s ，黄灯时间为3 s ，绿灯时间为60 s ．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为____． 【答案】512. 【解析】利用几何概型求解. 【详解】由几何概型得遇到红灯的概率为4545360=++ 512．故答案为：512【点睛】（1）本题主要考查几何概型，意在考查学生对知识的掌握水平.(2) 几何概型的解题步骤：首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件A 构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式()A P A =构成事件的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件A 分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.4．在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的15，且第一组数据的频数为25，则样本容量为__________. 【答案】150【解析】设第一个小矩形面积为x ，列出方程得61x =，由此能求出样本容量． 【详解】解：设第一个小矩形面积为x ， 由61x =，得16x =， ∴样本容量为256150⨯=．故答案为：150． 【点睛】本题考查样本容量的求法，考查频率分布直线方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．5．如图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为__________.【答案】7【解析】分析：直接利用程序框图的循环结构求出结果. 解析：在执行循环前：k=1，S=1. 执行第一次循环时： S=1，k=3. 执行第二次循环时： S=3，k=5. 执行第三次循环时： S=15，k=7. 由于S>10，∴输出k=7.故答案为：7.点睛：（1）条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件进行判断；（2）对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支．6．如图，棱长均为2的正四棱锥的体积为_______．42【解析】在正四棱锥中，顶点S 在底面上的投影为中心O ，即SO ⊥底面ABCD ，在底面正方形ABCD 中，边长为2，所以2，在直角三角形SOA 中()2222222SO SA OA =-=-=所以1122233V sh ==⨯⨯=42 427．将函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭（0>ω）的图象向左平移π3个单位长度后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为______. 【答案】12【解析】利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律求得g （x ）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得ω的最小值． 【详解】将函数f （x ）＝sin （ωx 6π-）（ω＞0）的图象向左平移3π个单位后，可得函数y ＝sin （ωx 36πωπ+-）的图象，再根据所得图象关于直线x ＝π对称，可得ωπ36πωπ+-=k π2π+，k ∈Z ，∴当k ＝0时，ω取得最小值为12，故答案为12．【点睛】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数.当0x ≥时，23()1x f x x -=+，则不等式(ln )f x <1的解集为_______.【答案】441,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化进行求解即可． 【详解】解：()f x Q 是定义在R 上的偶函数，∴不等式()1f lnx <等价为(||)1f lnx <，当0x …时，232(1)55()2111x x f x x x x -+-===-+++，则函数()f x 为增函数， 由23()11x f x x -==+，得4x =，即f （4）1=， 则不等式(||)1f lnx <等价为()()||4f lnx f <， 则||4lnx <， 即44lnx -<<， 即441x e e<<， 即不等式的解集为441,e e ⎛⎫⎪⎝⎭， 故答案为：441,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的单调性，利用函数单调性和奇偶性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键，属于中档题．9．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且26a =，若137,,a a a 成等比数列，则8S 的值为______． 【答案】88 【解析】由题意得()()()222317666561202a a a d d d d d d d =∴+=-+∴=≠∴=Q所以181624,84872882a S =-==⨯+⨯⨯⨯= 10．若椭圆22221x y a b+=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是【答案】22154x y +=【解析】∵点(1，12)在圆外，过点(1，12)与圆相切的一条直线为x ＝1，且直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c ＝1，设点P(1，12)，连接OP ，则OP ⊥AB ，∵k OP ＝12，∴k AB ＝－2．又直线AB 过点(1,0)，∴直线AB 的方程为2x ＋y －2＝0，∵点(0，b)在直线AB 上，∴b ＝2，又c ＝1，∴a 2＝5，故椭圆方程是25x ＋24y ＝1．11．已知函数()ln f x m x =图像与函数()g x =m 的值为_________【答案】e【解析】设函数()f x 和()g x 的交点为0(x ，0)y ，求出()f x 和()g x 在0(x ，0)y 处切线方程的斜率，然后建立关于m 的方程，再求出m 的值． 【详解】解：设函数()f x 和()g x 的交点为0(x ，0)y ，则 由()f x mlnx =，得()mf x x'=， ()f x ∴在0(x ，0)y 处的切线方程的斜率10m k x =， 同理，函数()g x 在0(x ，0)y处的切线方程的斜率20k ，()f x Q 和()g x 在交点处切线方程相同，12k k ∴=，即000x mx =①， 又000()y f x mlnx ==②，000()2y g x x ==③， 由①②③解得，m e =． 故答案为：e ． 【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属于基础题． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1l ：y mx =与曲线3()2f x x x =+从左至右依次交于A 、B 、C 三点，若直线2l ：2y kx =+上存在P 满足1PA PC +=u u u v u u u v，则实数k 的取值范围是_______． 【答案】15k ≤-或15k ≥【解析】由曲线()32f x x x =+及直线1l ：y mx =的图象都关于原点对称，所以B 为原点，且为AC 中点，2PA PC PB u u u r u u u r u u u r+= ，因为直线2l ：2y kx =+上存在P 满足1PA PC +=u u u v u u u v ，所以直线上存在点到原点的距离为12，得2121k ≤+，解得k 的取值范围 【详解】因为曲线()32f x x x =+及直线1l ：y mx =的图象都关于原点对称，所以B 为原点，且B 为AC 中点，所以2PA PC PB u u u r u u u r u u u r+= ，因为直线2l ：2y kx =+上存在P 满足1PA PC +=u u u v u u u v ，即21PB =u u u r ，所以直线上存在点到原点的距离为12，得2121k ≤+，解得15k ≤-或15k ≥ 【点睛】根据函数性质，数形结合，理解题目问题的几何意义，建立不等关系求解参数的取值范围13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：，圆C ：，动点P在直线上的两点E ，F 之间，过点P 分別作圆O ，C 的切线，切点为A ，B ，若满足PB≥2PA ，则线段EF 的长度为_______．【答案】【解析】因为动点P 在直线上，设点，分别表示，，利用PB≥2PA 解出的取值范围，得线段EF 的长度 【详解】 动点P 在直线上，设点，圆O ：，过点P 分別作圆O 的切线，切点为A ，所以，同理可得，因为PB≥2PA ，得，即，解得，所以,,线段【点睛】从圆外一定点点引圆的切线，切线段的长利用定点到圆心的距离，半径求解14．若ABC ∆中，2,8AB BC ==，B ∠=45°，D 为ABC ∆所在平面内一点且满足()()4AB AD AC AD ⋅⋅⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v，则AD 长度的最小值为________2【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设(,)D x y ，则(1,1),(7,1),(,)AB AC AD x y =--=-=u u u v u u u v u u u v，求得()(7)4x y y x +-=，令7x y my x n +=⎧⎨-=⎩，解得4mn =，进而利用二次函数的性质，求得AD 2. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，(1,1),(7,1)B C ---， 设(,)D x y ，所以(1,1),(7,1),(,)AB AC AD x y =--=-=u u u v u u u v u u u v， 所以()()()(7)4AB AD AC AD x y x y ⋅⋅⋅=---=u u u v u u u v u u u v u u u v，即()(7)4x y y x +-=，令7x y m y x n +=⎧⎨-=⎩，则1()81(7)8x m n y m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以4mn =，所以22222211()(7)5021288AD x y m n m n m n mn =+=-++=++222225*********m n mn =++≥+=， 当且仅当525m n ==±时，AD 取得最小值2.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用问题，其中建立适当的直角坐标系，利用向量的数量积的运算，得到4mn =，利用表示出AD 关于x 的二次函数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.二、解答题15．如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ⊥AB 于D ，且12BD AD c -=． （1）求证：sin 2sin()C A B =-； （2）若3cos 5A =，求tan C 的值．【答案】（1）见解析（2）4811-【解析】（1）由题意可得1cos cos 2a Bb Ac -=，由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，即可作出证明；（2）由（1）得3cos sin sin cos A B A B =，得到4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =，即可求解tan C 的值. 【详解】（1）证明：因为12BD AD c -=， 所以1cos cos 2a Bb Ac -=，由正弦定理，得1sin cos sin cos sin2A B B A C-=，所以()sin2sinC A B=-．（2）解：由（1）得，()()sin2sinA B A B+=-，所以()sin cos cos sin2sin cos cos sinA B A B A B A B+=-，化简，得3cos sin sin cosA B A B=．又3cos5A=，所以4sin5A=，所以4tan3A=，4tan9B=，所以()44tan tan4839tan tan441tan tan11139A BC A BA B++=-+=-=-=---⋅．【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.16．如图，在三棱柱111ABC A B C-中，已知M，N分别为线段1BB，1A C的中点，MN 与1AA所成角的大小为90°，且1MA MC=.求证：（1）平面1A MC⊥平面11A ACC；（2）//MN平面ABC.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）推导出1MN AC⊥，1MN AA⊥，从而MN⊥平面11A ACC，由此能证明平面1A MC⊥平面11A ACC．（2）取AC中点P，连结NP，BP，推导出四边形PNMB是平行四边形，从而//MN BP ，由此能证明//MN 平面ABC ．【详解】证明：（1）因为MN 与1AA 所成角的大小为90°，所以MN ⊥1AA ，因为1MA MC =，且N 是A 1C 的中点，所以MN ⊥1A C . 又111AA A C A =I ，1A C 、1AA ⊂平面11A ACC ， 故MN ⊥平面11A ACC ，因为MN ⊂平面1A MC ，所以平面1A MC ⊥平面11A ACC . （2）取AC 中点P ，连结NP ，BP .因为N 为A 1C 中点，P 为AC 中点，所以PN //AA 1，且PN 12=AA 1. 在三棱柱111ABC A B C -中，BB 1 // AA 1，且BB 1=AA 1. 又M 为BB 1中点，故BM // AA 1，且BM 12=AA 1. 所以PN // BM ，且PN =BM ，于是四边形PNMB 是平行四边形， 从而MN // BP .又MN ⊄平面ABC ，BP ⊂平面ABC ， 故//MN 平面ABC . 【点睛】本题考查面面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．17．已知点O 为坐标原点，椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 22，点I ，J 分别是椭圆C 的右顶点、上顶点，△IOJ 的边IJ 上的中线（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点H （－2，0）的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若AF 1⊥BF 1，求直线AB 的方程．【答案】（1）2212x y +=（2）x －2y ＋2＝0或x ＋2y ＋2＝0【解析】(1)由直角三角形中线性质得到IJ =222,2,c a a b c ⎧=⎪==+⎪⎪⎩求解即可；（2）设出直线AB ，联立直线和椭圆得到二次方程，由AF 1⊥BF 1，得到110AF BF ⋅=u u u v u u u v，整理得（1＋2k 2）（x 1＋x 2）＋（1＋k 2）x 1x 2＋1＋4k 2＝0，代入韦达定理即可. 【详解】（1）由题意得△IOJ，所以IJ = 设椭圆C 的半焦距为c，则2222,c aa b c ⎧=⎪==+⎪⎪⎩解得 1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）由题知，点F 1的坐标为（－1，0），显然直线AB 的斜率存在， 设直线AB 的方程为y ＝k （x ＋2）（k≠0），点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．联立()221,22,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得（1＋2k 2）x 2＋8k 2x ＋8k 2－2＝0，所以Δ＝（8k 2）2－4（1＋2k 2）（8k 2－2）＝8（1－2k 2）＞0，所以2102k <<．（）且2122812k x x k +=-+，21228212k x x k-=+． 因为AF 1⊥BF 1，所以110AF BF ⋅=u u u v u u u v， 则（－1－x 1，－y 1）·（－1－x 2，－y 2）＝0， 1＋x 1＋x 2＋x 1x 2＋y 1y 2＝0，1＋x 1＋x 2＋x 1x 2＋k （x 1＋2）·k （x 2＋2）＝0，整理，得（1＋2k 2）（x 1＋x 2）＋（1＋k 2）x 1x 2＋1＋4k 2＝0． 即()()()22222221828121401212k k k k k k k +-⎛⎫+⋅-+++= ⎪++⎝⎭． 化简得4k 2－1＝0，解得12k =±． 因为12k =±都满足（）式，所以直线AB 的方程为()122y x =+或()122y x =-+． 即直线AB 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＋2y ＋2＝0． 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．18．某校有一块圆心O ，半径为200米，圆心角为2π3的扇形绿地OPQ ，半径,OP OQ 的中点分别为,M N ， A 为弧PQ 上的一点，设AOQ α∠=，如下图所示，拟准备两套方案对该绿地再利用.（1）方案一：将四边形绿地OMAN 建成观赏鱼池，其面积记为1S ，试将1S 表示为关于α的函数关系式，并求α为何值时， 1S 取得最大？（2）方案二：将弧AQ 和线段,AN NQ 围成区域建成活动场地，其面积记为2S ，试将2S 表示为关于α的函数关系式；并求α为何值时， 2S 取得最大？【答案】（1）1π3sin 6S α⎛⎫=+⎪⎝⎭，当π3α=时， ()1max =100003S （平方米）；（2）()2100002sin S αα=-，2π0,3α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，当2π3α=时，()1max 4π3=1000032S ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭（平方米） 【解析】试题分析：首先表示四边形ANOM 的面积，利用AON ∆与AOM ∆面积相加，借助2,3AOQ AOM παα∠=∠=-来表示，再根据三角函数求出最值，然后利用扇形OAQ 的面积减去OAN ∆的面积表示ANQ 的面积2S ，并借助导数求出最值.试题解析：（1）由已知， AOQ α∠=, 2π0,3α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 1ONA OMA S S S =+V V ； 故1112100200sin 100200sin()223S παα=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-， 整理得1100003sin()6S πα=+（平方米）， ∴当π3α=时， 1max ()100003S =（平方米）. （2）由已知， 2ONA AOQ S S S ∆=-扇形， ∴211200200100200sin 22S αα=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯， 即2100002sin S αα=-（）；∴2()100002cos S αα=-'（），故2()0S α'>； ∴2()S α在2π(0,]3上为增函数， ∴当2π3α=时， 2max 43()100003S π=（（平方米）. 答：（1）当π3α=时， 1max ()100003S =；（2）2S 关于α的函数表达式2100002sin S αα=-（）， 2π(0,]3α∈ 当2π3α=时，2max 4()1000032S π=-（（平方米）. 【点睛】解决实际应用问题要注意实际问题的要求，表示图形面积注意使用割、补方法，借助几个图形面积的和或差表示图形面积，结合所学数学知识求最值，如利用三角函数、二次函数、基本不等式、函数的单调性、导数工具等.19．已知正项数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足22n n n S a a =+，*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）如果对任意正整数n都成立，求证：实数c 的最大值为1.【答案】（1）n a n =；（2）见解析 【解析】（1）利用公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩…进行代入计算，化简整理可发现数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，即可得到数列{}n a 的通项公式； （2）从两个方面分别计算出1max c …及1max c „．从而可得1max c =． 【详解】（1）当1n =时，21112S a a =+，解得11a =，或10a =（舍）由22n n n S a a =+得，21112n n n S a a +++=+，2211122()()n n n n n n S S a a a a +++-=+-+，即221112()()n n n n n a a a a a +++=-+-，也就是2211()()0n n n n a a a a ++--+=，11()(1)0n n n n a a a a +++--=，由于数列{}n a 各项均为正数，所以110n n a a +--=，即11n n a a +-=.所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列， 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =. （2）由（1>*n N ∈Q ，c∴<====因为1n≥，所以2223n<≤+，1≤，1>，对任意的正整数n恒成立，即c<对任意的正整数n恒成立，又当1c=，则c的最大值为1；【点睛】本题主要考查数列求通项公式，以及数列不等式的证明问题．考查了转化思想，分类讨论，放缩法的应用，逻辑推理能力和数学运算能力．属于中档题．20．已知函数()xax bf xe-=（其中,a b∈R）.（1）当1a=时，若函数()y f x=在[)0,+∞上单调递减，求b的取值范围；（2）当1b=，0a≠时，①求函数()y f x=的极值；②设函数()y f x=图象上任意一点处的切线为l，求l在x轴上的截距的取值范围.【答案】（1）1b≤-；（2）①见解析，②11,4,a a⎛⎤⎡⎫-∞⋃++∞⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】（1）当1a=时，求出导数，分离参数b，求出即可；（2）①1b=时，对a进行讨论，根据()f x的导数判断呐喊声的单调性和极值得出结论；②设切点为1(,)tatT te-，则曲线在点T处的切线l方程为11()t tat at ay x te e--++-=-，当1ata+=时，切线没有截距，否则表示出截距，结合基本不等式求出截距的范围． 【详解】（1）1a =时， ()xx b f x e-=的导函数1()x x bf x e -++'=， ∴由题意知对任意()0,x ∈+∞有1()0xx bf x e -++'=≤，即10x b -++≤∴()min 1b x ≤-，即1b ≤-.（2）1b =时， 1()x ax f x e -=的导函数1'()xax af x e -++=， ①(i )当0a >时，有1(,),()0a x f x a +'∈-∞>；1(,),()0a x f x a +'∈+∞<，∴函数()y f x =在1(,)a x a +∈-∞单调递增，1(,)a x a+∈+∞单调递减，∴函数()y f x =在1a x a +=取得极大值1a a a e +-⋅，没有极小值.(ii )当0a <时，有1(,),()0a x f x a +'∈-∞<；1(,),()0a x f x a +'∈+∞>，∴函数()y f x =在1(,)a x a +∈-∞单调递减，1(,)a x a+∈+∞单调递增，∴函数()y f x =在1a x a+=取得极小值1a a a e +-⋅，没有极大值.综上可知: 当0a >时，函数()y f x =在1a x a+=取得极大值1a a a e +-⋅，没有极小值；当0a <时，函数()y f x =在1a x a+=取得极小值1a a a e +-⋅，没有极大值.②设切点为1(,)t at T t e-，则曲线在点T 处的切线l 方程为11()t tat at a y x t e e--++-=-， 当1a t a +=时，切线l 的方程为11a a tat y a e e+--==⋅，其在x 轴上的截距不存在. 当1a t a+≠时， ∴令0y =，得切线l 在x 轴上的截距为1(1)111111111111211at at a a a x t t t t at a at a at a t a t a at a ---+=+=+=++=++--------=--+++--∴当110t a-->时，11111122411x t a a a a t a =--+++≥+=+--， 当110t a--<时，1111112211x t a a a a t a =--+++≤-+=--， ∴当切线l 在x 轴上的截距范围是11,4,a a ⎛⎤⎡⎫-∞⋃++∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 【点睛】本题考查导数法判断函数的单调性和极值，含参问题的讨论，函数的切线问题，基本不等式的应用等，综合性较强．21．已知矩阵A 的逆矩阵111 3341 33-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A .求矩阵A 的特征值和相应的特征向量.【答案】见解析【解析】由111334133A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，得1141⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，由特征多项式211(1)4041λλλ--=--=--，求得λ，即可得出．【详解】由111334133-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，得1141⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 由特征多项式1141λλ----＝2(1)40λ--=，得1231 λλ==-，， 所以特征值13λ=对应的特征向量12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α1，特征值21λ=-对应的特征向量12⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α2. 【点睛】本题考查了矩阵变换、特征值与特征向量、逆矩阵，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．22．在极坐标系中，已知圆C 的圆心极坐标为(2,)4π，且圆C 经过极点，求圆C 的极坐标方程.【答案】4cos()4πρθ=-【解析】直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步求出结果． 【详解】解：因为2,4C π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为，半径2r =，所以圆C 的直角坐标方程为22((4x y -+=，即220x y +--=，故圆C 的极坐标方程为24cos()04πρρθ--=，即4cos()4πρθ=-． 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23．已知a ，b ，c 为正实数，33311127abc a b c+++的最小值为m . 【答案】18【解析】根据题意，由基本不等式的性质求出33311127abc a b c +++的最小值，即可得答案． 【详解】解：根据题意，a ，b ，c 为正实数，则333111327272718abc abc abc a b c abc +++=+厖，当且仅当a b c ===“=”， 故33311127abc a b c+++的最小值为18； 所以18m =． 【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，注意不等式成立的条件，属于基础题．24．把编号为1，2，3，4，5的五个大小、形状相同的小球，随机放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里．每个盒子里放入一个小球. （1）求恰有两个球的编号与盒子的编号相同的概率；（2）设恰有X 个小球的编号与盒子编号相同，求随机变量X 的分布列与期望. 【答案】（1）16（2）见解析，数学期望为1 【解析】()1满足条件的放法共有55120A =种，恰有两个球的编号与盒子的编号相同的放法有25220C ⨯=种，由古典概率公式可得所求概率．()2写出随机变量X 的可能值以及取各值的概率，即可得到分布列，再利用公式求期望即可. 【详解】（1）记恰有2个小球与盒子编号相同为事件A .将5个小球随机放入五个盒子中，每个盒子放一个共有53A 即120种不同的放法.事件A 共有25220C ⨯=种放法，所以201()1206P A ==. 答：恰有2个盒子与小球编号相同的概率为16. （2）随机变量X 的可能值为0，1，2，3，5.()1143234411(0)12012030C C P X ⋅+====，51(333)453(1)1201208C P X ++====， 522201(2)1201206C P X ⨯====，35101(3)12012012C P X ====，1(5)120P X ==.所以113111()012351308612120E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查古典概型的应用、离散型随机变量的分布列与期望以及排列组合的应用，属中档题．25．设0()(1)nk knk m P n m C m k==-+∑，，()nn m Q n m C +=，，其中*m n ∈N ，． （1）当1m =时，求(1)(1)P n Q n ⋅，，的值； （2）对m +∀∈N ，证明：()()P n m Q n m ⋅，，恒为定值． 【答案】（1）1（2）1【解析】分析：（1）当1m =时可得()()1,1,?,111P n Q n n n ==++，可得()(),1,11P n Q n ⋅=.（2）先得到关系式()(),1,nP n m P n m m n=-+，累乘可得()()()!!1,0,!n n m n m P n m P m n m C +==+，从而可得()(),,1P n m Q n m ⋅=，即为定值．详解：（1）当1m =时，()()()1100111,111111nn kk kk nn k k P n C C k n n ++===-=-=+++∑∑， 又()1111n Q n C n +==+，， 所以()(),1,11P n Q n ⋅=. （2）()(),1nkknk mP n m C m k==-+∑ ()()1111111()1n knk k n n k m m C C m k m k----==+-++-++∑ ()()111111111n nkk kk n n k k m m CC m k m k----===+-+-++∑∑ ()()1111,1nkk n k mP n m C m k--==-+-+∑ ()()01,1n k kn k m m P n m C n m k==-+-+∑()()1,,mP n m P n m n =-+即()(),1,nP n m P n m m n =-+， 由累乘可得()()()!!1,0,!n n m n m P n m P m n m C +==+，又(),nn m Q n m C +=，第 21 页 共 21 页 所以()(),,1P n m Q n m ⋅=．即()()P n m Q n m ⋅，，恒为定值1．点睛：本题考查组合数的有关运算，解题时要注意所给出的()(),,P n m Q n m 和的定义，并结合组合数公式求解．由于运算量较大，解题时要注意运算的准确性，避免出现错误．。