湘教版九年级数学下册第一章第二节反比例函数的图像与性质
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2020湘教版九年级数学1.2反比例函数的图象与性质
1.2 反比例函数的图象与性质基础导练1.已知点(1，1)在反比例函数y=kx(k 为常数，k ≠0)的图象上，则这个反比例函数的大致图象是( )2.若反比例函数y=21k x-的图象经过第二、四象限，则k 的取值范围是( ) A.k ＞12 B.k ＜12 C.k=12D.不存在3.若点A(1，y 1)、B(2，y 2)都在反比例函数y=kx (k ＞0)的图象上，则y 1,y 2的大小关系为( )A.y 1＜y 2B.y 1≤y 2C.y 1＞y 2D.y 1≥y 2 4.如图，直线x=2与反比例函数y=2x 和y=-1x的图象分别交于A 、B 两点，若点P 是y 轴上任意一点，则△PAB 的面积是 .5.如图，反比例函数y=kx的图象经过点P ，则k= _____.6.已知反比例函数y=2k x-，当x>0时，y 值随x 值的增大而减小，则k 取值范围 是 (写出满足条件的一个值即可).能力提升7.如图是反比例函数y=5m x-的图象的一支，根据图象回答下列问题： (1)图象的另一支在哪个象限？常数m 的取值范围是什么？(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(a ，b)和B(a ′，b ′)，如果a>a ′，那么b 和b ′有怎样的大小关系？8.如图，已知一次函数y=k x+b 的图象与反比例函数y=-8x的图象交于A ，B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是-2.求： (1)一次函数的解析式； (2)△AOB 的面积.9.如图，一次函数y 1=x ＋1的图象与反比例函数y 2=kx(k 为常数，且k ≠0)的图象都经过点A(m ，2). (1)求A 点的坐标及反比例函数的表达式；(2)结合图象直接比较：当x ＞0时，y 1与y 2的大小.参考答案基础导练1. C2.B3.C4. 1.55.-66.大于2 能力提升7. (1)另一支在第三象限.由题意可知，m-5>0，解得m>5.(2)由图象可知，在每一象限内，函数值随自变量的增大而减小，∴当a>a ′时，b<b ′.8.(1)把x A =-2和y B =-2代入y=-8x中，得到y A =4，x B =4，∴A(-2，4)，B(4，-2).把这两个点分别代入y=k x+b ，得42,24.k b k b =-+⎧⎨-=+⎩解得1,2.k b =-⎧⎨=⎩ ∴一次函数的解析式为：y=-x+2.(2)一次函数的解析式y=-x+2与y 轴的交点C 的坐标为(0，2).∴S △AOC =12OC|x A |=12×2×2=2，S △BOC =12OC|x B |=12×2×4=4.∴△AOB 的面积=S △AOC +S △BOC =6.9.(1)∵一次函数y 1=x ＋1的图象经过点A(m ，2)，∴2=m ＋1.解得m=1. ∴点A 的坐标为A(1，2).∵反比例函数y 2=kx的图象经过点A(1，2)，∴2=1k .解得k=2.∴反比例函数的表达式为y 2=2x.(2)由图象得：当0＜x ＜1时，y 1＜y 2；当x=1时，y 1=y 2；当x ＞1时，y 1＞y 2.。
新湘教版九年级上册初中数学 课时1 反比例函数的图像与性质 教学课件
A．正数
B．负数
C．非正数
D．非负数
第十四页，共十七页。
当堂小练
4. 已知反比例函数 y = mxm²－5，它的两个分支分别在第一、第三象限， 求 m 的值.
解：因为反比例函数 y = mxm²－5 的两个分支分别在第 一、第三象限，
所以有
m2－5=－1， m＞0，
解得 m=2.
第十五页，共十七页。
x
A，B 两点均在该函数图象的第一象限部分，根据2 7 >5，可知
y1，y2的大小关系.
第九页，共十七页。
新课讲解
典例分析
例1 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？
解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、 三象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
连线：用光滑的曲线 顺次连接各点，即可 得 y 6 的图象．
x
第五页，共十七页。
新课讲解
思考：观察这两个函数图象，回答问题：
(1) 每个函数图象分别位于哪些象限？ (2) 在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？ 你能由它们的解析 式说明理由吗？ (3) 对于反比例函数 y k(k＞0)，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的
拓展与延伸
5.已知反比例函数y k 的图象经过点 A (2，3)． x
(1) 求这个函数的表达式； 解：∵ 反比例函数 y k 的图象经过点 A(2，3)，
x ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 3 k ，
2 解得 k = 6. ∴ 这个函数的表达式为 y 6 .
x
第十六页，共十七页。
拓展与延伸
湘教版九年级数学上册第一章教学课件：1.2反比例函数的图像与性质(共15张PPT)
5、下列反比例函数图象一定在第一、三象 限的是( C )．
(A) y m
x
(B) y m 1
x
(C) y m2 1
x
(D) y m
x
6、已知反比例函数y=
k2 x
的图象在第一、
三象限内，则k的值可是___3_____（写出
满足条件的一个k值即可）．
我思 我进步
通过本节课，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。
在每个象限内，y值随x值的增大而增大 .
（3）在同一直角坐标系内，y=
6 x
的图象和y=
的图象关于 x 轴对称，也关于y轴对称．
-
6 x
反比例函数的图像和性质
知
观察分析：y=
6 x
和y= -
6 x
的图象
识 点
（1）它们有什么共同特征和不同点？
一
解：共同点：图象都是双曲线，
关于原点对称。
不同点：分布的象限不同.
___一__、__三___象限，在每个象限内，y• 值随x值的增大而______减_小__. 当k<0时，双曲线的两支分别位于第 ____二_、__四___象限，在每个象限内，y• 值随x值的增大____增_．大
1、如图，这是下列四个函数中哪一 个函数的图象？（ C ）
(A) y = 5x
(C) y = 4 x
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/52021/9/5Sunday, September 05, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 6:51:22 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/52021/9/52021/9/5Sep-215-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/52021/9/52021/9/5Sunday, September 05, 2021
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。2020年12月16日星期三2020/12/162020/12/162020/12/16
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年12月2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/12/162020/12/16December 16, 2020
2、函数 ya(xh)2k的图象与系数的关系
a>0
a>0h<0来自h<0K>0
K<0
a>0
a>0
h>0
h>0
K>0
K<0
2、函数 ya(xh)2k的图象与系数的关系
a<0
a<0
h<0
h<0
K>0
K<0
a<0 a<0
h>0 h>0
K<0 K>0
由于我们已经知道了函数y=a(x-h)2+k的 图象的性质，因此画y=a(x-h)2+k的图象的步 骤如下：
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
1.2 反比例函数的图象与性质 课件 2024-2025学年数学湘教版九年级上册
画 y=- 的图象时,可以先画 y= 的图象,然后通过沿 x 轴或 y 轴 翻折
y轴
对称.因此
得到.
2.当 k<0 时,反比例函数 y= 的图象由分别在第 二、四 象限内的两支曲线组成,它们与 x 轴、y
轴都 不相交 ,在每个象限内,函数值 y 随自变量 x 的增大而 增大
.
画反比例函数 y= (k<0)的图象
m>4
.
1.(2022 永定期中)已知反比例函数 y= 的图象,当 x>0 时,这个函数图象位于( A )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.关于反比例函数 y= 的图象及性质,下列说法不正确的是( D )
A.图象经过点(1,3)
B.图象分别位于第一、三象限
C.图象关于原点对称
5.已知反比例函数 y=
(k 为常数,k≠1).
(1)若点 A(1,2)在这个函数的图象上,求 k 的值;
(2)若在这个函数图象的每一分支上,y 随 x 的增大而减小,求 k 的取值范围;
解:(1)∵点A(1,2)在这个函数的图象上,
∴k-1=1×2,解得k=3.
-
(2)∵在函数 y=
图象的每一分支上,y 随 x 的增大而减小,
观察反比例函数的图象可知,要考虑反比例函数的增减性,必须明确自变量的取值范围.
新知应用
1.当 k=-4 时,反比例函数 y= 的图象大致是( C )
2.已知反比例函数 y= 的图象过点(1,-2),则该函数的图象必在( B )
湘教版九年级数学上册第1章第2节反比例函数的图像与性质(共36张PPT)
例1.已知反比例函数 y k 的图象经过点P （2，4）. x
（3） 这个函数的图象位于哪些象限？ 在每个象限 内， 函数值y 随自变量x 的增大如何变化？
解：因为k > 0， 所以这个反比例函数的图象 位于第一、三象限， 在每个象限内， 函数值 y随自变量x的增大而减小.
例2 .如图是某反比例函数 的图象.
探究
反比例函数
y
=
k x
(k为常数，k≠0)
的图象是什么样子呢？
我们先将k取为6，画出反比例函数
y
=
6 x
的图象并进行观察.
想想我们为什 么要取k=6？
列表
x
y 6 x
比一比
例 ： 画 出 函 数 y6的 图 象
x
x
…? -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 …?
y 6 …? -1 -2 -3 -6 6 3 2 1 …?
y
1
1
2a x
2
增的大图象在二四象
限，那么
，在双曲线每一支上
4.y反随x比的增例大函而数 y . m 3 的图象，当x<0时， y随x的增大而减小x，则m <3 ，图象
经过第 一三 象限.
5.已知函数
y(k1)xk3
①若它是反比例函数，且在每一支=-上2y随
x的增大而增大，则k .
②若它是正比例函数，且y随x的增大而
y
=
k x
动脑筋
我们知道反比例函数中的 k 值也可以是负数，
以 k = -6 为例，如何画反比例函数 的图象？
y
=
-
6 x
的图象与
y
=
-
6 x
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y 3x2
y3x122
y3x12
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.
X=1
对称轴仍是平行于y轴的直 线(x=1);增减性与y=3x2类似.
开口向上,当 X=1时有最小
值:且最小值=2.
顶点是(1,2).
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象 y=3x2
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
y3(x1)22
探讨2、二次函数y=3(x-
1)2-2的图象与抛物线
y=3x2和y=3(x-1)2有何关 系?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
y 3x2
y3x12
y3x122
二次函数y=3(x-1)2-2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 下平移2个单位后得到的.
我思考，我进步
y=3(x-1)2
+2
把二次函数y=3(x-1)2 加上+2所得 函数y=3(x-1)2+2的图象是怎样的呢？
?
我思考，我进步
探讨1、 二次函数y=3x²,y=3(x1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系? 它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分 别是什么?作图看一看．
九年级数学上第1章反比例函数1.2反比例函数的图像与性质2反比例函数的图象及性质授课课湘教
感悟新知
知1－讲
2. 图象的画法 ( 描点法) (1)列表：先取一些自变量的值，在原点的两边取三对
或三对以上互为相反数的值，如1和-1，2和-2，3 和-3等．求 y 值时，只需计算原点一侧的函数值， 另一侧的函数值可以随之得出．
感悟新知
知1－讲
(2) 描点：根据表中提供的数据，即点的坐标，在平面 坐标系中描出对应的点．
感悟新知
1．反比例函数 y＝－4x(x>0)的图象位于( D ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
知1－练
感悟新知
知1－练
2．如图，函数 y＝1x－(x1x＞(x＜0)，0)的图象所在坐标系的原点是 ( A) A．点 M B．点 N C．点 P D．点 Q
感悟新知
知识点
2
感悟新知
知2－练
1．下列函数中，函数值 y 随自变量 x 的值增大而增大的 是( A ) A．y＝x3 B．y＝－x3 C．y＝3x D．y＝－3x
感悟新知
知2－练
2．反比例函数 y＝－3x，下列说法不正确的是( D ) A．图象经过点(1，－3) B．图象位于第二、四象限 C．图象关于直线 y＝x 对称 D．y 随 x 的增大而增大
课堂小结
反比例函数
反比例函数 y = k (k＜0) 图象x 和性质
反比例函数 y = k (k＜0)
的图象
x
反比例函数
y
=
k
(k＜
Байду номын сангаас
0)
x
的性质
函数图象分别位 于第二、四象限
在每个象限内，y 随 x 的增大而增大
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月11日星期五2022/3/112022/3/112022/3/11 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/112022/3/112022/3/113/11/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/112022/3/11March 11, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/112022/3/112022/3/112022/3/11
九年级数学下册 第1章反比例函数 1.1建立反比例函数模型课件 湘教版
x
2.条件:k≠0.
3.实质:自变量x的指数为-1.
知识点 2 确定反比例函数的关系式 【例2】(2013·扬州中考)在温度不变的条件下，一定质量的 气体的压强P与它的体积V成反比例.当V=200时，P=50，则当 P=25时，V=_____.
【解题探究】
1.根据压强P与体积成反比例，应如何设P与V的函数关系式？
x -1 -2
12
y3
-1 -3
6
(1)写出这个函数的解析式.(2)根据解析式完成上表.
【解析】(1)设y= k ，把x=-1,y=3代入解析式，得 k =3,
x
1
所以k=-3，所以该函数的解析式为y 3 .
x
(2)当x=-2时，y 3 ;
2
当y=-1时，x=3;当y=-3时，x=1;
当x=1时，y=-3;当x=2时，y 3 ;
2
当y=6时，x 1 把， 求得的数据填入表中即可.
2
6.已知一个长方体的体积是100cm3,它的长是ycm,宽是5cm,高 是xcm. (1)写出用高表示长的函数表达式. (2)写出自变量x的取值范围. (3)当x=3时,求y的值.
【解析】(1)根据长方体的体积可知5xy=100,即y 2 0 .
【解析】选A.由题意设y与a之间的关系为 y ak由2 , 于用规格 为50 cm×50 cm的地板砖密铺客厅恰好需要60块，则
k=50×50×60=150
000, y
150 000 a2
.
2.(2013·哈尔滨中考)反比例函数 y 1 2k 的图象经过点
x
(-2，3)，则k的值为( )
A.6
例函数.
2.自变量的取值范围为所有_非__零__实数，即x_≠__0_.
2.条件:k≠0.
3.实质:自变量x的指数为-1.
知识点 2 确定反比例函数的关系式 【例2】(2013·扬州中考)在温度不变的条件下，一定质量的 气体的压强P与它的体积V成反比例.当V=200时，P=50，则当 P=25时，V=_____.
【解题探究】
1.根据压强P与体积成反比例，应如何设P与V的函数关系式？
x -1 -2
12
y3
-1 -3
6
(1)写出这个函数的解析式.(2)根据解析式完成上表.
【解析】(1)设y= k ，把x=-1,y=3代入解析式，得 k =3,
x
1
所以k=-3，所以该函数的解析式为y 3 .
x
(2)当x=-2时，y 3 ;
2
当y=-1时，x=3;当y=-3时，x=1;
当x=1时，y=-3;当x=2时，y 3 ;
2
当y=6时，x 1 把， 求得的数据填入表中即可.
2
6.已知一个长方体的体积是100cm3,它的长是ycm,宽是5cm,高 是xcm. (1)写出用高表示长的函数表达式. (2)写出自变量x的取值范围. (3)当x=3时,求y的值.
【解析】(1)根据长方体的体积可知5xy=100,即y 2 0 .
【解析】选A.由题意设y与a之间的关系为 y ak由2 , 于用规格 为50 cm×50 cm的地板砖密铺客厅恰好需要60块，则
k=50×50×60=150
000, y
150 000 a2
.
2.(2013·哈尔滨中考)反比例函数 y 1 2k 的图象经过点
x
(-2，3)，则k的值为( )
A.6
例函数.
2.自变量的取值范围为所有_非__零__实数，即x_≠__0_.
【最新】湘教版九年级数学下册第一章《二次函数图像与性质》公开课课件.ppt
y
O
x
画函数y=x2的图像 解:(1)列表
x
…
(2) 描点
y…
(3) 连线
我们可以用一条光滑曲线把
原点和y轴右边各点顺次连接起 来；然后利用对称性，画出图
象在y轴左边的部分（把y轴左 边的对应点和原点用一条光滑
曲线顺次连接起来），这样就
得到了 y=x2 的图象．如右图
0 1 23…
0 1 49…
A′ B′
2.图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的 增大而___减__小_______，简称为右___降___________;
3.图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的 增大而__增__大________，简称为左__升____________;
4.当x=__0________时，函数值最___大__________.
y 10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
A
y=x2
B
-5-4-3-2-1 o 1 2 3 4 5 x
从图（1）看出，点A和点A′，点B和点B′，……， 它们有什么关系？
点A和点A ′关于y轴 对称，点B和点B ′
也是…… 由此你能作出什么猜测？
我猜测 y=x2 的图象关于
y轴对称．
从图还可看出，y轴右边描出的各点，当横坐标增
【总结】
当a<0时，y ax2 的图象也具有上述性质，于是 今后在画 y ax2 (a 0) 的图象时，可以直接先画
出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出 图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只要 “列表、描点、连线”三个步骤就可以了.
讲例:
例2.画二次函数
y
1 4
x2
O
x
画函数y=x2的图像 解:(1)列表
x
…
(2) 描点
y…
(3) 连线
我们可以用一条光滑曲线把
原点和y轴右边各点顺次连接起 来；然后利用对称性，画出图
象在y轴左边的部分（把y轴左 边的对应点和原点用一条光滑
曲线顺次连接起来），这样就
得到了 y=x2 的图象．如右图
0 1 23…
0 1 49…
A′ B′
2.图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的 增大而___减__小_______，简称为右___降___________;
3.图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的 增大而__增__大________，简称为左__升____________;
4.当x=__0________时，函数值最___大__________.
y 10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
A
y=x2
B
-5-4-3-2-1 o 1 2 3 4 5 x
从图（1）看出，点A和点A′，点B和点B′，……， 它们有什么关系？
点A和点A ′关于y轴 对称，点B和点B ′
也是…… 由此你能作出什么猜测？
我猜测 y=x2 的图象关于
y轴对称．
从图还可看出，y轴右边描出的各点，当横坐标增
【总结】
当a<0时，y ax2 的图象也具有上述性质，于是 今后在画 y ax2 (a 0) 的图象时，可以直接先画
出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出 图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只要 “列表、描点、连线”三个步骤就可以了.
讲例:
例2.画二次函数
y
1 4
x2