河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.3.2双曲线及其标准方程(第二课时)学案 新人教A版选修21
双曲线的定义及其标准方程教案
圆锥曲线教案 双曲线的定义及其标准方程教案 教学目标 1．通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义，双曲线的标准方程的探索推导过程．
2．在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，培养学生会合情猜想，进一步提高分析、归纳、推理的能力．
3．培养学生浓厚的学习兴趣，独立思考、勇于探索精神及实事求是的科学态度．
教学重点与难点 双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点．定义中的“差的绝对值”，a与c的关系的理解是难点．
教学过程 师：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？ (学生口述椭圆的两个定义，标准方程，教师利用投影仪把椭圆的定义、标准方程和图象放出来．)
师：椭圆的两个定义虽然都是由轨迹的问题引出来的，但所采用的方法是不同的．定义二是在认识上已经把椭圆和方程统一起来，在掌握了坐标法基础上利用坐标方法建立轨迹方程．这是通过方程去认识轨迹曲线．定义中设定的常数2a，|F1F2|=2c，它们之间的变化对椭圆有什么影响？
生：当a=c时，相应的轨迹是线段F1F2．当a＜c时，轨迹不存在．这是因为a、c的关系违背了三角形中边与边之间的关系．
师：如果把椭圆定义中的“平面内与两个定点F1、F2的距离的和”改写为“平面内与两个定点F1、F2的距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程又是怎样的呢？
(师生共同做一个简单的实验，请同学们把准备好的实验用具拿出来，一起做实验．教师把教具挂在黑板上，同时板书：平面内与两个定点F1、F2的距离之差为常数的点的轨迹是什么曲线？边画、边操作、边说明．)
师：做法是：适当选取两定点F1、F2，将拉锁拉开一段，其中一边的端点固定在F1处，在另一边上截取一段AF2(＜F1F2)，作为动点M到两定点F1和F2距离之差．而后把它固定在F2处．这时将铅笔(粉笔)置于P处，于是随着拉锁的逐渐打开铅笔就徐徐画出一条曲线；同理可画出另一支．如图2-36．
师：通过这个实验，你们发现了什么？ 生：所画的曲线不是椭圆，是两条相同的曲线，只是位置不同．其原因都是应用“平面内与两个定点的距离之差|MF1|-|MF2|(或|MF2|-|MF1|)是同一常数的条件画图的．
(部编版)2020学年高中数学第二章2.3.2双曲线的简单几何性质学案含解析新人教A版选修201
2．3.2 双曲线的简单几何性质[提出问题]已知双曲线C 1的方程：x 29－y 216＝1.问题1：双曲线C 1中的三个参数a ，b ，c 的值分别为多少？ 提示：3,4,5.问题2：试画出双曲线C 1的草图？ 提示：如图所示：问题3：观察双曲线C 1的图象，曲线与x 轴、y 轴哪一条轴有交点？有无对称性？ 提示：与x 轴有交点，有对称性． [导入新知]1．双曲线的几何性质2．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x ，离心率为e ＝ 2. [化解疑难]对双曲线的简单几何性质的几点认识(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置．(2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，得x 2a 2＝1＋y 2b2≥1，∴x 2≥a 2，∴|x |≥a ，即x ≤－a 或x ≥a .(3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．(4)对称性：由双曲线的方程x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若P (x ，y )是双曲线上任意一点，则P 1(－x ，y )，P 2(x ，－y )均在双曲线上，因P 与P 1，P 2分别关于y 轴、x 轴对称，因此双曲线分别关于y 轴、x 轴对称．只不过双曲线的顶点只有两个，而椭圆有四个．[例1] 求双曲线9y 2－4x 2[解] 双曲线的方程化为标准形式是x 29－y 24＝1，∴a 2＝9，b 2＝4， ∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 又双曲线的焦点在x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133， 渐近线方程为y ＝±23x .[类题通法]已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的先化成标准方程，确定方程中a ，b 的对应值，利用c 2＝a 2＋b 2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．[活学活用]求双曲线9x 2－16y 2＋144＝0的实半轴长、虚半轴上长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出这个双曲线的草图．解：把方程9x 2－16y 2＋144＝0化为标准方程为y 29－x 216＝1.由此可知，实半轴长a ＝3； 虚半轴长b ＝4；c ＝a 2＋b 2＝9＋16＝5，焦点坐标为(0，－5)，(0,5)；离心率e ＝c a ＝53；渐近线方程为y ＝±a b x ＝±34x .双曲线的草图如图．[例2] (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .[解] (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)， 当λ＞0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94.当λ＜0时，a 2＝－9λ， ∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为x 29－4y 281＝1或y 29－x 24＝1.[类题通法](1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a ，b 的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合c 2＝a 2＋b 2及e ＝ca列关于a ，b 的方程(组)，解方程(组)可得标准方程．(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，那么此双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．[活学活用]分别求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)； (2)双曲线过点(3,92)，离心率e ＝103. (3)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)．解：(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2， 得b 2＝1.故双曲线C 的标准方程为x 23－y 2＝1.(2)由e 2＝109，得c 2a 2＝109，设a 2＝9k (k ＞0)， 则c 2＝10k ，b 2＝c 2－a 2＝k .于是，设所求双曲线方程为x 29k －y 2k ＝1，①或y 29k －x 2k＝1，② 把(3,92)代入①，得k ＝－161与k ＞0矛盾； 把(3,92)代入②，得k ＝9， 故所求双曲线的标准方程为y 281－x 29＝1.(3)设与双曲线x22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x22－y 2＝k (k ≠0)，将点(2，－2)代入，得k ＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.[例3] 已知双曲线的渐近线方程为y ＝±4x ，求此双曲线的离心率．[解] 当焦点在x 轴上时， 其渐近线方程为y ＝±b ax ，依题意，得b a ＝34，b ＝34a ，c ＝a 2＋b 2＝54a ，∴e ＝c a ＝54；当焦点在y 轴上时，其渐近线方程为y ＝±a bx ，依题意，得a b ＝34，b ＝43a ，c ＝a 2＋b 2＝53a ，∴e ＝c a ＝53.∴此双曲线的离心率为54或53.[类题通法]求双曲线离心率的常用方法(1)依据条件求出a ，c ，计算e ＝c a.(2)依据条件建立a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解；另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba后利用e ＝1＋b 2a2求解． [活学活用]已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q＝90°，求双曲线的离心率．解：设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b2＝1，则y ＝±b 2a.由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°， 知|PF 1|＝|F 1F 2|，∴b 2a＝2c ，∴b 2＝2ac . ∴c 2－2ac －a 2＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－2×c a－1＝0. 即e 2－2e －1＝0.∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． 所以所求双曲线的离心率为1＋ 2.3.直线与双曲线的相交[典例] (12分)已知斜率为2的直线被双曲线x 23－y 22＝1所截得的弦长为4，求直线l 的方程．[解题流程][活学活用]已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围．(2)若直线l 与双曲线C 两支交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1，消去y 整理，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋－k2＞0，解得－2＜k ＜2且k ≠±1.所以实数k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由(1)得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k2. 又直线l 恒过点D (0，－1)，且x 1x 2＜0， 则S △OAB ＝S △OAD ＋S △OBD＝12|x 1|＋12|x 2|＝12|x 1－x 2|＝ 2. 所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8. 解得k ＝0或k ＝±62， 由(1)知上述k 的值符合题意， 所以k ＝0或k ＝±62.[随堂即时演练]1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 解析：选A 由题意知c ＝4，焦点在x 轴上， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋1＝e 2＝4，所以b a＝3，又由a 2＋b 2＝4a 2＝c 2＝16，得a 2＝4，b 2＝12.所以双曲线的方程为x 24－y 212＝1.2．(全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3D ．2解析：选A 因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a .又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义得 2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b2a，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2， 所以离心率e ＝c a＝ 2.3．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为________．解析：由题意得双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4， 即c ∶b ＝5∶4，解得c ＝5，b ＝4， ∴双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.答案：x 29－y 216＝14．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．解析：双曲线的左焦点为F 1(－2,0)，得8x 2－4x －13＝0，显然Δ＞0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138，∴|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋13× ⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－138＝3. 答案：35．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)过点(3，－2)，离心率e ＝52； (2)中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P (4，－10)． 解：(1)若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为双曲线过点(3，－2)， 则9a 2－2b2＝1.①又e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝52，故a 2＝4b 2.② 由①②得a 2＝1，b 2＝14，故所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1.若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．同理可得b 2＝－172，不符合题意．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1.(2)由2a ＝2b 得a ＝b ， ∴e ＝1＋b 2a2＝2，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点P (4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6. ∴双曲线的标准方程为x 26－y 26＝1.[课时达标检测]一、选择题1．下列双曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 解析：选B 由e ＝62得e 2＝32， ∴c 2a 2＝32， 则a 2＋b 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.因此可知B 正确．2．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( ) A ．x 2－y 2＝8 B ．x 2－y 2＝4 C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4解析：选A 令y ＝0得，x ＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)， ∴c ＝4，a 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A.3．(全国乙卷)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)解析：选A 由题意得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n <3.4．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－10,0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12) 解析：选B 由题意知k ＜0，∴a 2＝4，b 2＝－k .∴e 2＝a 2＋b 2a 2＝4－k 4＝1－k 4. 又∵e ∈(1,2)，∴1＜1－k 4＜4， ∴－12＜k ＜0. 5．(天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1 解析：选A 由焦距为25，得c ＝ 5.因为双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，所以b a ＝12.又c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 二、填空题 6．若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是________． 解析：由渐近线方程为y ＝±m 2x ＝±32x ，得m ＝3，所以c ＝7.又因为焦点在x 轴上，所以焦点坐标为(±7，0)．答案：(±7，0) 7．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a ＋c ＝b 2a， 即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．答案：28．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x .不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫175，－3215. 所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )|y B | ＝12×(5－3)×3215＝3215. 答案：3215三、解答题9．已知椭圆方程是x 210＋y 25＝1，双曲线E 的渐近线方程是3x ＋4y ＝0，若双曲线E 以椭圆的焦点为其顶点，求双曲线的方程． 解：由已知，得椭圆的焦点坐标为(±5，0)，顶点坐标为(±10，0)和(0，±5)． 因双曲线以椭圆的焦点为顶点，即双曲线过点(±5，0)时，可设所求的双曲线方程为9x 2－16y 2＝k (k ≠0)，将点的坐标代入得k ＝45，故所求方程是x 25－16y 245＝1.10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，且a 2c ＝33. (1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值． 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2c ＝33，c a ＝3，解得⎩⎨⎧ a ＝1，c ＝ 3.所以b 2＝c 2－a 2＝2. 所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1. (2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋m ＝0，x 2－y 22＝1， 得x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式Δ＞0)．所以x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m .因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5. 故m＝±1.。
高中数学 教学设计 双曲线的定义和标准方程
双曲线的定义及标准方程一、教材分析1、教材的地位与作用本内容选自人教A版·普通高中课程标准实验教科书·数学·选修1-1 ，新课程在必修学完直线与圆后，把圆锥曲线放在了选修内容里，体现了新课程对知识掌握是螺旋式上升的要求，也体现了圆锥曲线的重要性。
双曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种，作为第二种圆锥曲线来学习是教材一贯的传统安排．本节内容的学习前有椭圆的铺垫引领，后有抛物线的巩固加强，在整个圆锥曲线的学习中占据承前启后的重要地位.它是学好圆锥曲线的关键之一，能让学生进一步掌握求曲线方程的方法，并对后面由方程讨论曲线性质，从而借助形和数的对应关系，形数互化来讨论问题产生积极的影响.这也是深化解析几何的基本思想和方法，从而提升学生分析问题、解决问题的能力.2、学生状况分析学生经过解析几何的较系统学习，已初步掌握解析法和具备解析研究能力，并学习了椭圆的相关知识，基本掌握了椭圆的相关问题及研究方法.本节在在数学思想和方法上没有新内容，知识的正迁移作用可以在本节课中凸现．学生对解决双曲线一般问题已具备一定的基础.另外，学生思维活跃，敢于表现自己，不喜欢被动地接受别人现成的观点，但同时也缺乏发现问题和提出问题的意识。
根据以上对教材和学生的分析，考虑到学生已有的认知规律我希望学生能达到以下三个教学目标。
3、教学目标（1）知识与技能：掌握双曲线定义、相关概念及标准方程，能根据简单条件写出双曲线的标准方程.（2）过程与方法：经历双曲线轨迹的探索过程并与椭圆类比获得双曲线的知识，培养学生观察、类比、分析、运算、推理、归纳和探索等能力.通过求双曲线方程提高学生进一步运用坐标法解决几何问题的能力.（3）情感态度与价值观：在类比探究、师生互动过程中激发学生的求知欲，培养学生积极参与、相互交流的主体意识，养成学生敏锐发现问题并按规律及时解决问题的严谨治学态度.4、教学重点、难点重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程。
高中数学选择性必修一课件：双曲线及其标准方程(第2课时)
(2)已知 F1，F2 分别为双曲线x52－y42＝1 的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一
点，点 A 在双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为( C )
A. 37＋4
B. 37－4
C. 37－2 5
D. 37＋2 5
【解析】 因为|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2 5，所以要求|AP|＋|AF2|的最小 值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值．
【解析】 双曲线的两个焦点 F1(－4，0)，F2(4，0)分别为两圆的圆心，且 两圆的半径分别为 r1＝2，r2＝1，易知|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM| －|PN|的最大值为|PF1|＋2－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝2＋3＝5.
(2)如图，已知双曲线的方程为 x2－y42＝1，点 A 的坐标为(－ 5，0)，B 是圆 x2＋(y－ 5)2＝1 上的点，点 C 为其圆心，点 M 在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB| 的最小值．
思考题 1 (1)如图，在△ABC 中，已知|AB|＝4 2，且三内角 A，B，C 满 足 2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方程．
【思路分析】 建立坐标系后利用正弦定理与双曲线的定义确定轨迹方程． 【解析】 以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面 直角坐标系如图所示，则 A(－2 2，0)，B(2 2，0)．
如图，连接 F1P 交双曲线的右支于点 A0.当点 A 位于点 A0 处时，|AP|＋|AF1| 最小，最小值为|PF1|＝ [3－（－3）]2＋12＝ 37.故|AP|＋|AF2|的最小值为 37－ 2 5.
2.3双曲线 教学设计 教案
教学准备1. 教学目标1 知识与技能[1] 理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题。
[2] 能根据已知条件利用定义或待定发系数法求双曲线的标准方程.理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法。
[3] 进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法.了解借助信息技术探究动点轨迹的《几何画板》的制作或操作方法。
2过程与方法[1]提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。
[2]通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用.[3]培养学生的类比推理能力、观察能力、归纳能力、探索发现能力。
3 情感态度与价值观[1]亲身经历双曲线及其标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶。
[2]通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。
[3]养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神.通过自主学习、主动参与、积极探究的学习过程，激发学生学习数学的自信心和积极性，培养学生良好的思维习惯，培养学生分析、解决问题的能力。
2. 教学重点/难点重点：通过类比、提出猜想进而操作确认，获得双曲线的定义并推导双曲线的标准方程。
难点：[1]双曲线的标准方程的推导。
[2]综合应用双曲线的标准方程解决生产生活中的实际问题。
3. 教学用具多媒体、木板、拉链等4. 标签教学过程教学过程设计1 旧知回顾、引入新课【师】同学们好。
从今天我们开始进入新一节内容的学习：双曲线及其标准方程。
【板书】2.3.1.双曲线及其标准方程【师】请同学们回忆一下前几节课的知识？【板书】椭圆的定义？椭圆的标准方程？椭圆的简单几何性质？椭圆知识的考查方式？【生】椭圆的定义是：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于ⅠF1F2Ⅰ）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为m时，椭圆即为点集。
双曲线及其标准方程
2．3.1双曲线及其标准方程（第1课）教学目的：1．使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用； 2．通过对双曲线标准方程的推导，提高学生求动点轨迹方程的能力； 3．使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程； 4．使学生理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等）； 5．培养学生发散思维的能力教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用教学难点：双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”、“椭圆及其标准方程”之后，学习又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何中学习的重要的内容之一，它在社会生产、日常生活和科学技术止有着广泛的应用，大纲明确要求学生必须熟练掌握 本节教材仍是继续训练学生用坐标法解决方程与曲线有关问题的重要内容，对它的教学将帮助学生进一步熟悉和掌握求曲线方程的一般方法双曲线的定义和标准方程是本节的基本知识，所以必须掌握 而掌握好双曲线标准方程的推导过程又是理解和记忆标准方程的关键 应用双曲线的有关知识解决数学问题和实际应用问题是培养学生基本技能和基本能力的必要环节 坐标法是中学数学学习中必须掌握的一个重要方法，它充分体现了化归思想、数形结合思想，是用以解决实际问题的一个重要的数学工具 犹如前面学习的圆和圆锥曲线一样，双曲线也是一种动点的轨迹 双曲线和其方程分属于几何和代数这两个分立的体系，但是通过直角坐标系人们又将它们很好地结合在一起 因此我们要充分利用这节教材对学生进行好思想教育双曲线的标准方程，内容可分为二个课时，第一课时内容主要是双曲线的定义和标准方程以及课本中的例1；第二课时主要是课本中的例2、例3及几个变式例题 教学过程：一、复习引入： 1 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（→线段）两定→圆）椭圆标准方程： （1）2222=+b ya x（2）2222=+bx ay 其中222b c a +=二、讲解新课：1．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线 即a MF MF 221=-这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ”在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（→两条平行线） 两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（→两条射线） 双曲线的形状与两定点间距离、定差有关 2．双曲线的标准方程：根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程 过程如下：（1）建系设点；（2）列式；（3）变换；（4）化简；（5）证明取过焦点21F F ，的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴设P （y x ,）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c （0>c ）则 )0,(),0,(21c F c F -，又设M 与)0,(),0,(21c F c F -距离之差的绝对值等于2a （常数），c a 22<{}a PF PF P P 221±=-=∴221)(yc x PF ++=又，a yc x yc x 2)()(2222±=+--++∴，化简，得：)()(22222222a c a ya x a c -=--，由定义c a 22< 022>-∴a c令222b a c =-∴代入，222222b a y a x b =-， 两边同除22b a 得：12222=-bya x， 此即为双曲线的标准方程它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是)0,(),0,(21c F c F -，其中222b a c += 若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程，如焦点在y 轴上，则焦点是),0(),,0(21c F c F -，将y x ,互换，得到 12222=-bxa y，此也是双曲线的标准方程3．双曲线的标准方程的特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-b y ax (0>a ,0>b )； 焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-bx ay (0>a ,0>b )(2)c b a ,,有关系式222b ac +=成立，且0,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系:可以为b a b a b a ><=,,4.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上三、讲解范例：例1 已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到)0,5()0,5(21F F ，-的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程解：因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为 12222=-by ax (0>a ,0>b )∵102,62==c a∴5,3==c a ∴1635222=-=b 所求双曲线标准方程为116922=-yx补充：例2求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与⊙C ：()2222x y ++=内切，且过点()2,0A ；② 与⊙1C ：()2211x y +-=和⊙2C ：()2214x y +-=都外切；③ 与⊙1C ：()2239x y ++=外切，且与⊙2C ：()2231x y -+=内切．解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆M 的半径为r ．① ∵⊙C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外，∴MC r =-，M A r =，因此有MA MC -=M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是(222217y x x -=≤；② ∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 均外切，∴11M C r =+，22M C r =+，因此有211M C M C -=，∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，∴M 的轨迹方程是22434134x y y ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭；③ ∵M 与1C 外切，且M 与2C 内切，∴13M C r =+，21M C r =-，因此124M C M C -=，∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，∴M 的轨迹方程是()221245x yx -=≥四、课堂练习：1．求a =4，b =3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程2．求a =25，经过点（2，-5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程3．证明：椭圆22525922=+y x 与双曲线151522=-y x 的焦点相同4．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 5．设双曲线191622=-yx上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（ ）A ．7 B.23 C.5或23 D.7或23练习答案：1.191622=-yx; 2. 1162022=-xy;3. 22525922=+y x ⇒ )0,4(192522±⇒=+F yx,151522=-y x ⇒)0,4(111522±⇒=-F yx;4. D.1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线⇒Ⅳ∈⇒⎩⎨⎧><ααα0cos 0sin ,所以选D. 5. D. =⇒==-d a d 82|15|7或23五、小结 ：双曲线的两类标准方程是)0,0(12222>>=-b a by ax 焦点在x 轴上，)0,0(12222>>=-b a bx ay 焦点在y 轴上 c b a ,,有关系式222b ac +=成立，且baa><,b=, ,0>,0a >>ca其中a与b的大小关系:可以为b b六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：2.3．1双曲线及其标准方程（第2课时）1．使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用；2．使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程；3．培养学生发散思维的能力教学重点：标准方程及其简单应用教学难点：双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：二、讲解范例：例1 已知双曲线的焦点在y 轴上，中心在原点，且点)24,3(1-P ，)5,49(2P ，在此双曲线上，求双曲线的标准方程分析：由于已知焦点在y 轴上，中心在原点，所以双曲线的标准方程可用设出来，进行求解 本题是用待定系数法来解的，得到的关于待定系数b a ,的一个分式方程组，并且分母的次数是2，解这种方程组时利用换元法可将它化为二元二次方程组；也可将22,b a 的倒数作为未知数，直接看作二元一次方程组解：因为双曲线的焦点在y 轴上，中心在原点，所以设所求双曲线的标准方程为12222=-bx ay （0,0>>b a ）则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--1)49(513)24(22222222b ab a ，即⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-⋅=⋅-⋅1116811251191322222b a b a 解关于221,1b a 的二元一次方程组，得911,161122==b a所以，所求双曲线的标准方程为191622=-xy变式例题1 点A 位于双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax上，21,F F 是它的两个焦点，求21F AF ∆的重心G 的轨迹方程分析：要求重心的轨迹方程，必须知道三角形的三个顶点的坐标，利用相关点法进行求解 注意限制条件解：设21F AF ∆的重心G 的坐标为),(y x ，则点A 的坐标为)3,3(y x因为点A 位于双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 上，从而有 )0(1)3()3(2222≠=-y by ax ，即)0(1)3()3(2222≠=-y by ax所以，21F AF ∆的重心G 的轨迹方程为)0(1)3()3(2222≠=-y b ya x点评：求轨迹方程，常用的方法是直接求法和间接求法两种 例1是直接利用待定系数法求轨迹方程 本题则是用间接法(也叫代入法)来解题，补充本例是为了进一步提高学生分析问题和解决问题的能力 另外本题所求轨迹中包含一个隐含条件，它表现为轨迹上点的坐标应满足一个不等关系，而这一点正是学生容易忽略，造成错误的地方，所以讲解本题有利于培养学生数学思维的缜密性，养成严谨细致的学习品质 变式例题2 已知ABC ∆的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，使A CB sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹分析：首先建立坐标系，由于点A 的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可利用正弦定理将其化为边的关系，注意有关限制条件解：以底边BC 为x 轴，底边BC 的中点为原点建立xoy 坐标系，这时)0,6(),0,6(C B -，由A C B sin 21sin sin =-得621==-a c b ,即||||=-AB AC所以，点A 的轨迹是以)0,6(),0,6(C B -为焦点，2a =6的双曲线的左支其方程为：)3(127922-<=-x yx点评：求轨迹方程的过程中，有一个重要的步骤就是找出(或联想到)轨迹上的动点所满足的几何条件，列方程就是根据这些条件确定的，由于轨迹问题比较普遍，题型多样，有些轨迹上的动点满足的几何条件可能比较隐蔽和复杂解决它需要突出形数结合的思考方法，运用逻辑推理，结合平面几何的基本知识，分析、归纳，这里安排本例就是针对以上情况来进行训练的例2 一炮弹在某处爆炸，在A 处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s ． (1)爆炸点应在什么样的曲线上？(2)已知A 、B 两地相距800m ，并且此时声速为340 m ／s ，求曲线的方程．分析：解应用题的关键是建立数学模型根据本题设和结论，注意到在A 处听到爆炸声的时间比B 处晚2s,这里声速取同一个值 解：(1)由声速及A 、B 两处听到爆炸声的时间差，可知A 、B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A 、B因为爆炸点离A 处比离B 处更远，所以爆炸点应在靠近B 处的一支上．(2)如图，建立直角坐标系xoy ，使A 、B 两点在x 轴上，并且点O 与线段AB 的中点重合设爆炸点P 的坐标为),(y x ，则 |PA|－|PB|=340×2=680，即 2a ＝680，a ＝340． 又|AB|=800， ∴ 2c=800，c=400，222a c b -=＝44400 ∵ |PA|－|PB|＝680＞0，∴ x ＞0所求双曲线的方程为14440011560022=-yx（x ＞0）例2说明，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置．如果再增设一个观测点C ，利用B 、C(或A 、C)两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置．这是双曲线的一个重要应用 想一想，如果A 、B 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上．（爆炸点应在线段AB 的中垂线上） 点评：本例是培养学生应用双曲线知识解决实际问题的一道典型题目，安排在此非常有利于强化学生“应用数学”的意识，后面对“想理，有利于调动学生的学习主动性和积极性，培养他们的发散思维能力例3求与圆1)3(22=+-y x 及9)3(22=++y x 都外切的动圆圆心的轨迹方程解：设动圆的半径为r ，则由动圆与定圆都外切得 r MF r MF +=+=1,321，又因为2)1()3(21=+-+=-r r MF MF ， 由双曲线的定义可知，点M 的轨迹是双曲线的一支所求动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，其方程为：18122=-yx1(≥x 三、课堂练习： 1．判断方程13922=---k yk x所表示的曲线。
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.2.2椭圆及其标准
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.2.2椭圆及其标准方程二学案新人教A版选修2-1课题选修_2-1_ 第二章：执稿人杨秀江审阅人杨秀江讲课日期一、学习目标：1、理解椭圆的几何定义；2、了解轨迹的求法；二、学习过程：1、课前复习：①椭圆的定义：②当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为：_________________________________. 当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为：_________________________________.其中a、b、c的关系为___________________。
2、研究课本例题：（是对基本知识的体验）再做一遍例题如下例2：如图，在圆x2+y 2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？题后反思：①你能发现椭圆与圆的关系吗？②通过此题，你能体会求轨迹方程的方法吗？例3、如图，设点A ，B 的坐标分别为(-5，0)，（5，0），直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是- 49，求点M 的轨迹方程.题后反思：①通过此题，你能体会求轨迹方程的方法吗？3、师生共同研讨例题：（补充例题，以对知识更牢固的掌握）先做后讨论，老师答疑 例4：如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动，点Q 的轨迹是什么？为什么？并建立适当的坐标系求出动点Q 的轨迹方程。
题后反思：①通过此题，你能体会求轨迹方程的方法吗？探究题：例5：如图，两同心圆O 的半径分别为定长a 、b （a >b ），P 是大圆O 上一个动点，OP 与小圆交点为Q ，过P 作x 轴的垂线AM ，再过点Q 作AM 的垂线交PM 于M ，当点P 在圆上运动，点M 的轨迹是什么？为什么？并建立适当的坐标系求出动点M 的轨迹方程。
高中数学_双曲线及其标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思
双曲线及其标准方程教学设计一、教学目标1.掌握双曲线的定义，能说出其焦点、焦距的意义；2.能根据定义，按照求曲线方程的步骤推导出双曲线的标准方程，熟练掌握两类标准方程；3.能解决较简单的求双曲线标准方程的问题；4.培养学生观察、分析，归纳和逻辑推理能力。
二、教学重点与难点教学重点：双曲线的定义和标准方程。
教学难点：双曲线标准方程的推导过程。
三、教学过程设计（一）创设情境，引入新课教师：我们已经学习过椭圆，知道椭圆是平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2 |）的点的轨迹，那么平面上到两个定点距离的差是一个非零常数的点的轨迹是什么呢？【设计意图】：数学教学应当从问题开始。
首先设疑，提出新的问题，打破知识结构的平衡，引发学生的学习兴趣。
学生活动：可以由学生动手实验，如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一个点，分别固定在点F1,F2上，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线。
问题1：在运动的过程中，这条曲线上的点所满足的几何条件是什么？学生：小组交流讨论，分析实验中的“变”与“不变”的条件。
【设计意图】弄清楚曲线上的点所满足的几何条件是建立曲线方程的关键之一。
新教材为引导学生自主发现、探索留有比较充分的空间，在教学中我们应充分利用这些空白空间，目标问题化，问题设疑化，过程探讨化，再给予学生发挥的空间，促进他们主动地学习和发展，让空白的地方丰富多彩也是学习方式丰富的表现。
教师：问题2：应该如何描述动点M所满足的几何条件呢？学生：双曲线是平面上一个动点到两个定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹。
即P=｛||MF2|-|MF1||=常数｝。
【设计意图】：整理实验，教会学生独立思考，大胆探索和灵活运用类比、归纳的数学思想的学习方法。
教师：问题3：还有其它的约束条件吗？的距离|F1F2 |<2a.师生活动：师生共同讨论，平面上一个动点到两个定点距离之差等于这两个定点间的距离的点的轨迹是什么？类比椭圆的定义，由学生给出双曲线的定义，教师总结.教师再利用多媒体技术对其进行演示，更能使学生直观的了解其特点，加深印象。
双曲线及其标准方程教案.doc
2.3.1找⑥銭殳國林淮方綏（一）翁学反毘教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用.教学难点：双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组. 授课类型：新授课.课时安排：1课时.教具：多媒体、实物投影仪.♦知识与技能目标理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解借助信息技术探究动点轨迹的《几何画板》的制作或操作方法.♦过程与方法目标一、预习与引入过程预习教科书56页至60页，当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面与圆锥的轴线或平行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线；第二、你能举出现实生活中双曲线的例子.当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起思考与探究P56页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子两条（一条约10cm长，另一条约6cm每条一端结一个套）和笔尖带小环的铅笔一枝,教师准备无弹性细绳子两条（一条约20cm,另一条约12cm, 一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）.当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子的另一端重合在一起，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是双曲线.启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？K板书』§2. 3. 1双曲线及其标准方程.1 .椭圆定义:平面内与两个定点许,竹的距离之和等于常数（大于1坊尸2丨）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（T线段）.两定点间距离较短，贝U所画出的椭圆较圆（-> 圆）.椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关.2.椭圆标准方程：2 2 2 2（1）罕+ J = 1・（2）笃 + 与=1・其中- c2 +b2・a b a b二、讲解新课：1.双曲线的定义：平面内到两定点片,佗的距离的差的绝对值为常数（小于|坊笃|）的动点的轨迹叫双曲线.BP 11^1-1^11 = 2（7这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、'‘常数小于卩/2〔” •在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（T两条平行线） .两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（T两条射线）.双曲线的形状与两定点间距离、定差有关.2.双曲线的标准方程：根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程.过程如下：（1）建系设点；（2）列式；（3）变换；（4）化简；（5）证明取过焦点耳，笃的直线为*轴，线段耳场的垂直平分线为丁轴・设P （x,y）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2 c （c〉0）.则许（-C,0）,F2（C,0）,又设M与耳（一c,0）,巧（c,0）距离之差的绝对值等于2a（常数）, 2a < 2c.■■P = {PiPF}\-\PF2\ = ±2a}又••• |P耳卜JCr + cF + b ,J(” + c) _ + y 一— J(尢-c)2 + y ~ = ±2a ,化简，得：(c2-a2)x2-a2y2 =a2(c2-a2),由定义2a < 2c c2— a? > Q令.•<2—/ =沪代入，得：b2x2-a2y2 =a2b2f2 2两边同除/戸得：罕—务=1, a b此即为双曲线的标准方程它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是F I（-C,0）,F2（C,0）,3.双曲线的标准方程的特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种:焦点在询上时双曲线的标准方程为：令-* " (a >0, b > 0)；焦点在y轴上时双曲线的标准方程为：厶——= l(a〉0,b〉0)⑵ a,b,c有关系式c? = a2成立，且a>0,b>0,c>0.其中a与b的大小关系:可以为a = b,a <b,a>b.4.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母/、护项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴.而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即*项的系数是正的，那么焦点在x轴上；护项的系数是正的，那么焦点在y轴上.三、讲解范例：例题讲解、引申与补充例1已知双曲线两个焦点分别为耳(-5,0),毘(5,0),双曲线上一点P到耳，笃距离差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c.补充：求下列动圆的圆心M的轨迹方程：①与0C：(x + 2)2+ y2=2内切，且过点4(2,0)；②与©C1： x2+(y-l)2 =lff©C2： /+(y_i)2=4 都外切；③与© Q ： (x + 3)2 +/ =9夕卜切，且与OC2： (x-3)2 + / =1 内切.解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题.具体解：设动圆M的半径为r .①•: QC与©M内切，点4在。
2．2双曲线教学设计教案
2．2双曲线教学设计教案第一篇：2．2 双曲线教学设计教案教学准备1.教学目标知识与技能掌握双曲线的定义，掌握双曲线的四种标准方程形式及其对应的焦点、准线．过程与方法掌握对双曲线标准方程的推导，进一步理解求曲线方程的方法——坐标法．通过本节课的学习，提高学生观察、类比、分析和概括的能力．情感、态度与价值观通过本节的学习，体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想．2.教学重点/难点教学重点双曲线的定义及焦点及双曲线标准方程．教学难点在推导双曲线标准方程的过程中，如何选择适当的坐标系．3.教学用具多媒体4.标签教学过程教学过程设计新知探究探究点一双曲线的定义【问题导思】1．取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？【提示】如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．2．双曲线定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？【提示】双曲线的一支．3．双曲线定义中，为什么要限制常数2a＜|F1F2|? 【提示】只有当2a＜|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线；若2a＝|F1F2|，轨迹是两条射线；若2a＞|F1F2|，满足条件的点不存在．.已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？【提示】(1)∵表示点P(x，y)到两定点F1(－5,0)、F2(5,0)的距离之差的绝对值，|F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线．(2)∵表示点P(x，y)到两定点F1(－4,0)、F2(4,0)的距离之差，|F1F2|＝8，∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线的右支．探究点二双曲线的标准方程【问题导思】1．能否用推导椭圆标准方程的方法推出双曲线的方程？怎样推导？【提示】能．(1)建系：以直线F1F2为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系．(2)设点：设M(x，y)是双曲线上任一点，且双曲线的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a，可得(4)化简：移项，平方后可得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．令c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为2．双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？【提示】双曲线标准方程中x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴：当x2系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关．双曲线的标准方程【典例精讲】命题方向一双曲线标准方程的理解例1.方程表示的曲线为C，给出下列四个命题①曲线C不可能是圆；②若1＜k＜4，则曲线C为椭圆；③若曲线C为双曲线，则k＜1或k＞4；④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则其中正确命题的序号是________．【解析】当4－k＝k－1＝0时，即题．对于②，当1＜k＜4且时，曲线C是圆，∴命题①是假命时，曲线C是椭圆，则②是假命题．根据双曲线和椭圆定义及其标准方程，③④是真命题．【答案】③④ 【小结】1．双曲线焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的系数为正；双曲线焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的系数为正．2．在曲线方程中，若m＝n＞0，则曲线表示一个圆；若m＞0，n＞0，且m≠n，则曲线表示一个椭圆；若mn＜0，则曲线表示双曲线．【变式训练】若k∈R，则“k＞3”是“方程()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件表示双曲线”的【解析】方程表示双曲线的充要条件是(k－3)(k＋3)＞0，即k＜－3或k＞3；当k＞3时，一定有(k－3)(k＋3)＞0，但反之不成立．∴k＞3是方程表示双曲线的充分不必要条件．【答案】A 命题方向二求双曲线的标准方程例2.(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点线的标准方程；(2)求与双曲线解析：有公共焦点，且过点的双曲线方程．求双曲(1)由已知可设所求双曲线方程为解得∴双曲线的方程为(2)方法一设双曲线方程为由题意易求得又双曲线过点又∵故所求双曲线的方程为方法二设双曲线方程为k＝4，∴所求双曲线方程为【小结】(－4代入得1．求双曲线标准方程一般有两种方法：一是定义法，二是待定系数法． 2．用待定系数法求双曲线标准方程的步骤：(1)定位：确定双曲线的焦点位置，如果题目没有建立坐标系，一般把焦点放在x轴上；(2)设方程：根据焦点的位置设相应的双曲线标准方程(当焦点在两个坐标轴上都有可能时，一般设为Ax2＋By2＝1(AB＜0))；(3)定值：根据题目的条件确定相关的系数的方程，解出系数，代入所设方程．【变式训练】(1)与椭圆共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程为________．(2)设双曲线的焦点为－|PF2|＝4，则双曲线的方程为________．双曲线上的一点P满足|PF1|【解析】(1)由题意知双曲线的焦点为设其方程为双曲线的方程为，又过Q(2,1)，则解得a2＝2，则所求(2)由双曲线的定义可知2a＝4，即a＝2，又为双曲线的焦点在y轴上，故其方程为∴b2＝c2－a2＝3，又因【答案】命题方向三双曲线定义的应用例3.已知A，B两地相距2 000 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚4 s，且声速为330 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．解析：如图建立直角坐标系xOy，使A，B两点在x轴上，并且坐标原点O 与线段AB的中点重合．设爆炸点P的坐标为(x，y)，则|PA|－|PB|＝330×4＝1 320，即2a＝1 320，a＝660.又|AB|＝2 000，所以2c＝2 000，c＝1 000，b2＝c2－a2＝564 400.因为|PA|－|PB|＝330×4＝1 320>0，所以x>0.因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的方程为小结(1)解答与双曲线有关的应用问题时，不但要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用．(2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围．【变式训练】已知圆C1：和圆C2：动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．【解】如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.∵|MA|＝|MB|，∴|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，∴|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2.这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支，则2a＝2，a＝1，c＝3，∴b2＝c2－a2＝8 因此所求动点M的轨迹方程为当堂检测 1．设P 是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝()A．1B．17 C．1或17D．以上答案均不对【解析】由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝8，又|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6－4＝2＞1，∴|PF2|＝17.【答案】B 2．若k>1，则关于x，y的方程A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．焦点在y轴上的双曲线 D．焦点在x轴上的双曲线【解析】将已知方程化为标准形式，根据项的系数符号进行判断．原方程可化为∵k>1，∴k2－1>0,1＋k>0.∴已知方程表示的曲线为焦点在所表示的曲线是（）y轴上的双曲线．3．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()【解析】将双曲线方程化为标准形式所以a2＝1，∴右焦点坐标为【答案】C4．双曲线的一个焦点为(0，－6)，且经过点(－5,6)，求此双曲线的标准方程．【解】由题意知c＝6，且焦点在y轴上，另一焦点为(0,6)，所以由双曲线的定义有∴a＝4，∴b2＝62－42＝20，∴双曲线的标准方程为课堂小结1．理解双曲线的定义应特别注意以下两点：(1)距离的差要加绝对值，否则表示双曲线的一支．(2)距离差的绝对值必须小于焦距，否则不是双曲线2．求双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两个过程．“定位”指确定焦点在哪个坐标轴上，“定量”是指确定a2，b2的大小.板书第二篇：2.3双曲线教学设计教案教学准备1.教学目标知识与技能[1] 理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题。
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1
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.3.2双曲线及其标准方程
（第二课时）学案 新人教A版选修2-1
【学习目标】
1. 熟练双曲线的定义；
2.会利用双曲线的定义求有关双曲线的标准方程
【重点难点】 双曲线的定义 双曲线的标准方程
【学习过程】
一、复习回顾：
1.复述双曲线的定义：
2.写出双曲线的标准方程：
当焦点在x轴上时：_________________________________
当焦点在y轴上时：_________________________________
3.利用待定系数法求双曲线的标准方程的步骤:
二．例题演练：
例1：若方程x24－t＋y2t－1＝1表示双曲线，则实数t的取值范围是____________________．
变式训练1：双曲线mx2+y2=1，又可表示成x24t2－y2t2＝λ的形式，则实数m=_______.
题后反思：此题应注意什么问题?
例2.已知B(－5,0)，C(5,0)是三角形ABC的两个顶点，且sinB－sinC＝35sinA, 求顶点
A
2
的轨迹方程．
题后反思：此题是什么方法求动点P的轨迹的?
变式训练1：已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)，动点P满足：||PF1|－|PF2||=10，求动点
P
的轨迹方程.
变式训练2.已知两定点1(5,0)F,2(5,0)F,动点P满足
12
6PFPF
,求动点P的轨迹方程.
变式训练3.已知点P（x，y）的坐标满足2222(4)(4)4xyxy，则动点P的轨
迹是（ ）
A．抛物线 B．圆 C．双曲线的一支 D．椭圆
例3:已知A,B两地相距800m。在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，
求炮弹爆炸点的轨迹方程。
思考1:若在A,B两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点的轨迹是什么?
______________________________________________。
2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线
上，但不能确定爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的
准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢?
______________________________________________。
3
______________________________________________。
【课堂小结与反思】
1.双曲线的几何定义：
2．用双曲线定义法求轨迹方程的思考：
【课堂练习与作业】
1.已知方程11222mymx表示焦点在y轴双曲线时，则m的取值范围
2．已知方程11222mymx表示双曲线，求m的取值范围
3.一双曲线的两个焦点的坐标为F1(0，13)，F2(0，-13)，曲线上一点P到F1、F2的距离的
差的绝对值等于12，求双曲线的标准方程。
4双曲线064422yx上一点P到焦点1F的距离等于1那么点P到另一个焦点2F的
距离是 ；
5．一动圆与两圆：x2＋y 2＝1和x2＋y 2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )
A．抛物线 B．圆 C．双曲线的一支 D．椭圆
6．已知F1，F2是双曲线x216－y29＝1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，且PQ的倾斜角为60°，那
么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值为______．
4
7.已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，点A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，那么|PF|＋
|PA|的最小值为______．
8．设F1，F2是双曲线x24－y2＝1的焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝90°，则点P到
x
轴的距离为( )
A．1 B.55
C．2 D.5
9．P为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上一点，若F是一个焦点，以PF为直径的圆与圆x2＋
y
2
＝a2的位置关系是( )
A．内切 B．外切
C．外切或内切 D．无公共点或相交