数值分析上机作业1-1解析
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数值计算方法上机题目1
1、实验1. 病态问题
实验目的:
算法有“优”与“劣”之分,问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感,反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。
数值分析的大部分研究课题中,如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决,当然一般要付出一些代价(如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等)。
问题提出:
考虑一个高次的代数多项式
∏=-=
---=20
1
)()20)...(2)(1()(k k x x x x x p (E1-1)
显然该多项式的全部根为l ,2,…,20,共计20个,且每个根都是单重的(也称为简单的)。现考虑该多项式方程的一个扰动
0)(19
=+x
x p ε (E1-2)
其中ε是一个非常小的数。这相当于是对(E1-1)中19
x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较(E1-1)和(E1-2)根的差别,从而分析方程(E1-1)的解对扰动的敏感性。
实验内容:
为了实现方便,我们先介绍两个 Matlab 函数:“roots ”和“poly ”,输入函数
u =roots (a )
其中若变量a 存储1+n 维的向量,则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为
121,...,,+n a a a ,则输出u 的各分量是多项式方程
0...1121=++++-n n n n a x a x a x a
的全部根,而函数
b=poly(v)
的输出b 是一个n +1维变量,它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“Poly ”是两个互逆的运算函数.
ve=zeros(1,21); ve(2)=ess;
roots(poly(1:20))+ve)
上述简单的Matlab 程序便得到(E1-2)的全部根,程序中的“ess ”即是(E1-2)中的ε。 实验要求:
(1)选择充分小的ess ,反复进行上述实验,记录结果的变化并分析它们。如果扰动项的系数ε很小,我们自然感觉(E1-1)和(E1-2)的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现?表明有些解关于如此的扰动敏感性如何?
(2)将方程(E1-2)中的扰动项改成18
x ε或其他形式,实验中又有怎样的现象出现? 实验步骤:
(1)程序
function t_charpt1_1
clc
result=inputdlg({'请输入扰动项:在[0 20]之间的整数:'},'charpt 1_1',1,{'19'}); Numb=str2num(char(result));
if((Numb>20)|(Numb<0))errordlg('请输入正确的扰动项:[0 20]之间的整
数!');return;end
result=inputdlg({'请输入(0 1)之间的扰动常数:'},'charpt 1_1',1,{'0.00001'}); ess=str2num(char(result));
ve=zeros(1,21);
ve(21-Numb)=ess;
root=roots(poly(1:20)+ve);
x0=real(root); y0=imag(root);
plot(x0',y0', '*');
disp(['对扰动项 ',num2str(Numb),'加扰动',num2str(ess),'得到的全部根为:']);
disp(num2str(root));
二、实验结果分析
ess分别为1e-6,1e-8.1e-10,1e-12.
对扰动项19加扰动1e-006得到的全部根为:
21.3025+1.56717i 21.3025-1.56717i 18.5028+3.6004i 18.5028-3.6004i 15.1651+3.76125i 15.1651-3.76125i 12.4866+2.88278i 12.4866-2.88278i 10.5225+1.71959i 10.5225-1.71959i 9.04485+0.594589i 9.04485-0.594589i 7.9489+0i
7.00247+0i 5.99995+0i 5+0i 4+0i 3+0i 2+0i 1+0i
对扰动项19加扰动1e-010得到的全部根为:
19.9953+0i 19.0323+0i 17.8696+0i 17.2186+0i 15.4988+0.0211828i 15.4988-0.0211828i 13.7707+0i 13.1598+0i 11.9343+0i 11.029+0i
9.99073+0i 9.00247+0i 7.99952+0i 7.00007+0i 5.99999+0i
5+0i 4+0i 3+0i 2+0i 1+0i
ess分别为1e-6,1e-8.1e-10,1e-12的图像如下:
从实验的图形中可以看出,当ess 充分小时,方程E.1.1和方程E.1.2的解相差很小,当ess 逐渐增大时,方程的解就出现了病态解,这些解都呈现复共轭性质。 (2) 将扰动项加到x 18上后,ess=1e-009时方程的解都比较准确,没有出现复共轭现象。ess=1e-008时误差与x 19(ess=1e-009)时相当,即扰动加到x 18上比加到x 19小一个数量级。对x 8的扰动ess=1000时没有出现复共轭,误差很小;对x 的扰动ess=10e10时没有出现复共轭,误差很小。因此,扰动作用到x n 上时,n 越小,扰动引起的误差越小。
2、实验2。多项式插值的振荡现象,即插值的龙格(Runge )现象
问题提出:
考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数。显然,拉格朗日插值中使用的节点越多,插值多项式的次数就越高、自然关心插值多项式的次数增加时,)(x L n 是否也更加靠近被逼近的函数。龙格给出的一个例子是极著名并富有启发性的。设区间]1,1[-上函数
2
2511
)(x x f +=
实验内容:
考虑区间]1,1[-的一个等距划分,分点为
n i n
i
x i ,...,2,1,0,21=+
-= 则拉格朗日插值多项式为
∑
=+=n
i i
i
n x l x x L 02)(2511
)( 其中的)(x l i ,n i ,...,2,1,0=是n 次拉格朗日插值基函数。 实验要求:
(l )选择不断增大的分点数目,...3,2=n ,画出原函数)(x f 及插值多项式函数)(x L n 在]1,1[-上的图像,比较并分析实验结果。
(2)选择其他的函数,例如定义在区间[-5,5]上的函数
x x g x
x
x h arctan )(,1)(4
=+= 重复上述的实验看其结果如何。