广义m对合矩阵和(m,l)幂等矩阵的充要条件及应用
具有幂条件的矩阵类的研究与Jordan标准形
E ,称 A 为 m 对合矩阵。
5. 2008 年武汉大学硕士研究生入学试题： 设 A 是一个非零方阵， A3 = A2 ，问是否一定有 A2 = A？为什么？
由上可以看出，具有幂条件的矩阵形式多样，可否
有一个统一的形式？
三 问题的解决
定义 1
设 A Î F n´ n ，若有最小正整数 m使 m > l (? N )
A 分别是幂等和由 - 1 确定的数 在(1)中当C = 0 或B = 0 时, A 为本质 3 幂等的. 量幂等的(见[2])。 当B , C 都非零时,[1]称
这样将从 A2 = A得的“ A3 = A ”与 A3 = A 而 A2 ¹ A的情况区 骣 骣 1 0 0 0 鼢 珑 别开来.由此知， 例 1 中, P = 珑 鼢 为本质 3 幂等的. 鼢 珑 1 0 桫 0 1 桫
A4 = A2 = diag (0, E2 ) , A 为本质 (4,2) 幂等的； mA ( x) = x 2 ( x + 1) ，
如果应用命题 3 的充分性和 mA ( x) | x7 - x5 ，则应得到 A 为本质(7,5)幂等的结论， 这个矛盾说明命题 3 一般不成立； 由 A 为本质 (4,2) 幂等的和 m A ( x )次数 u = 3,知, mA ( x) = x 2 ( x + 1) 的相伴矩阵
N
这样当 d = m - 3(? 3)为奇数时，即 m = d + 3(? 6)为偶数时，
m- 3 d a Cm = a C mA ( x ) = - a Q = (0,0,1) = e2+ 1 = e3 . A ( x)
Am = Al , 这里l 是由 m唯一确定的.
定义1与[13]的(m,l)幂等矩阵的规定相同，[13]还研究了 (m,l)幂等矩阵性质与判定，如：
广义逆在幂等算子表示中的应用
广义逆在幂等算子表示中的应用窦艳妮;杜鸿科【摘要】利用算子分块方法讨论了使用广义逆表示幂等算子的问题.证明了Hilbert空间上幂等算子A（BA）＋B成为正交投影的充要条件是PB＊B=B＊BP （这里A＋表示A的Moore-Penrose逆）,其中PB＊B｜R（P）是R（P）上的可逆算子,PA｜R（A＊B＊）是R（A＊B＊）上的可逆算子.得出幂等算子P能表示成形如A（BA）1B的形式当且仅当PAA＊=AA＊P＊,正交投影P能表示成形如A（BA）＋B的形式当且仅当PAA＊=AA＊P.%By using operator block techniques,the representations of idempotent operators are discussed.It is proved that the necessary and sufficient condition for the operator A（BA）＋ B on a Hilbert space to be an orthogonal projection is that PB＊B=B＊BP,where PB＊B｜R（P） is an invertible operator on R（P）,and PA｜R（A ＊B＊） is an invertible operator on R（A＊B＊）（A＋ denote the Moore-Penrose inverse of A）.It is also proved that an idempotent operator P can be represented as the form A（BA）＋ B if and only if PAA＊=AA＊P＊,and an orthogonal projection P can be represented as the form A（BA）＋ B if and only if PAA＊=AA＊P.【期刊名称】《陕西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(039)006【总页数】4页(P10-13)【关键词】幂等算子;分块算子矩阵;Moore-Penrose逆【作者】窦艳妮;杜鸿科【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710062;陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710062【正文语种】中文【中图分类】O177.1幂等算子是一类具有特殊性质的算子，它也是最基本的、使用最广泛的算子之一，它在统计理论、信息传输、经济学及量子信息中具有相当广泛的应用，所以对幂等算子的线性组合、幂等算子的表示与刻画及其在其他学科中的应用等问题都是学者们关注的课题［1－9］.对有限维 Hilbert空间，文献［1］中给出了幂等算子的一个刻画，证明了矩阵E∈Cm×n是幂等矩阵的充要条件是存在矩阵U∈Cm×p和V∈Cq×m使得E＝U（VU)†V，并给出了相关结论的一些应用.那么，对无限维Hilbert空间，结论会如何呢？本文利用算子分块技巧研究这一问题.B（H)表示复Hilbert空间H中有界线性算子之集.对算子A∈B（H)，其值域、零空间分别记为R（A)和N（A).若A2＝A成立，则称算子A为幂等算子或斜投影.若A2＝A＝A＊，则称A是正交投影，其中A＊表示A的伴随算子.若对任意的x∈H都有（Ax，x)≥0，则称A是正算子.若K是H的一个闭子空间，则记K上的正交投影为PK.若M是H的一个子集，M的闭包记作¯M.若算子A†∈B（H)同时满足方程则称A†是A的Moore-Penrose逆.一个基本事实是，A有Moore-Penrose逆当且仅当A的值域R（A)是闭的.另外，当A†存在时，PR（A)＝AA†，PR（A＊)＝A†A且R（A†)＝R（A＊)（见文献［10］).引理1［10］对算子A∈B（H)，当A†存在时，A†＝A＊（AA＊)† ＝（A＊A)†A＊ .引理2 若P是幂等算子，则在空间分解H＝R（P)⊕R（P)⊥下，P的算子矩阵形式为P是正交投影当且仅当P1等于0.从文献［1］的结论可知，幂等矩阵一定能表示为形如U（VU)†V的形式.以下给出无限维Hilbert上幂等算子的刻画.定理1 P∈B（H)是幂等算子当且仅当存在算子B∈ B（H)和可逆算子A ∈ B（H)使得P＝A（BA)†B，并且 N（B)＝ N（P).证明充分性是显然的，下面仅证明必要性.设P是幂等算子，则在空间分解H＝R（P)⊕R（P)⊥下，P的算子矩阵形式是显然，A是可逆的.对向量v＝（x，y)∈ H，x ∈R（P)，y∈R（P)⊥，若Pv＝0，则x＋Sy＝0，从而Bv＝（（I＋SS＊ )－1（x＋Sy)，S＊（I＋SS＊ )－1（x＋Sy))＝0.反之，若Bv＝0，则x＋Sy＝0，从而Pv＝0，所以N（B)＝N（P).又因为且其值域闭，所以定理2 设A、B∈B（H)且BA的Moore-Penrose逆存在，记A（BA)†B＝P，则P是正交投影当且仅当下列条件成立：（ⅰ)PB＊B＝B＊BP；（ⅱ)PB＊B｜R（P)是R（P)上的可逆算子；（ⅲ)PA｜R（A＊B＊)是R（A＊B＊)上的可逆算子.证明因为 A（BA)†B 是幂等的，BA 的Moore-Penrose逆存在，所以R（P)和R（A＊B＊)＝R（（BA)†)都是闭的，因此 H ＝ R（A＊B＊)⊕R（A＊B＊)⊥＝R（P)⊕R（P)⊥.从而由A（BA)†BA＝PA可知A的算子矩阵形式为充分性.设（ⅰ)、（ⅱ)及（ⅲ)成立，则由条件（ⅲ)可知A1是可逆的.由条件（ⅰ)可知B12＋B22＝0.由条件（ⅱ)可知B11＋B21是R（P)上的可逆算子.再由（1)、（2)式可得又因为A1是可逆的，所以也就是说P是正交投影.必要性.设P为正交投影，算子A和B分别有（1)和（2)式所示的算子矩阵形式.一方面，由于 R（（BA)†)＝ R（A＊B＊)，所以（BA)†B的算子矩阵为对比（5)、（6)式可知A1是R（A＊B＊)到R（P)的可逆算子，即（ⅲ)成立.从而由（5)式中A1B2＝0可得B2＝0，因此（BA)†B的算子矩阵可简化为显然，算子S1A1是正的，由（10)又有S1A1是左可逆的，因此S1A1是可逆的，于是S1可逆，从而由方程组（9)中第二个方程可得B12＋B22＝0.因此所以（ⅰ)、（ⅱ)成立.定理3 设A是可逆算子，P是正交投影，则存在B∈B（H)使得A（BA)†B＝P当且仅当PAA＊＝AA＊P.证明充分性.若PAA＊＝AA＊P，则在空间分解H＝R（P)⊕R（P)⊥ 下，其中A1、A2是正的可逆算子.令B＝P，则（PA)†＝A＊P（PAA＊P)†.因此定理4 设P是幂等算子，算子A∈B（H)是可逆的，则存在算子B∈B（H)使得A （BA)†B＝P当且仅当PAA＊＝AA＊P＊.所以TPT－1是正交投影.必要性.设存在算子B∈B（H)使得A（BA)†B＝P. 则TA（BA)†BT－1 ＝TPT－1，因此TA（BT－1 TA)†BT－1 ＝ TPT－1，由定理 3，TPT－1 TAA＊T＊＝TAA ＊T＊TPT－1，从而PAA＊＝AA＊T＊TP（T＊T)－1.显然T＊TP（T＊T｝)－1＝P＊，故PAA＊＝AA＊P＊.充分性.设PAA＊＝AA＊P＊.因为TPT－1是正交投影，所以（TPT－1)（TA)（A ＊T＊)＝TPAA＊T＊，（TA)（A＊T＊)（TPT－1)＝TAA＊P＊T＊.而PAA＊＝AA＊P＊，所以（TPT－1)（TA)（A＊T＊)＝（TA)（A＊T＊)（TPT－1)，因此由定理3可知存在算子B0使得TA（B0TA)†B0 ＝TPT－1，从而A（B0TA)†B0T ＝P.令B＝B0T，即得在算子B∈B（H)时有A（BA)†B＝P.利用算子的 Moore-Penrose逆和算子分块技巧，证明了无限维Hilbert上幂等算子一定能表示成形如U（VU)†V的形式，并给出了正交投影能表示成U（VU)†V 形式的一个充要条件.证明方法充分展示了幂等算子的几何特征.由于幂等算子在算子理论研究和应用中都有很大作用，因此有关幂等算子还有很多相关问题值得研究和讨论.【相关文献】［1］ernA.Characterization of the oblique projector U（VU )† ger V with application to constrained least squares［J］.Linear Algebra and its Applications，2009，431：1564-1570.［2］Du Hongke，Yao Xiyan，Deng Chunyuan.Invertibility of linear combinations of two idempotents［J］.Proceeding of the American Mathematical Society，2006，134：1451-1457.［3］Chen Yanni，Du Hongke，Zhang Haiyan.Path connectivity of idempotents on a Hilbert space［J］.Proceeding of the American Mathematical Society，2008，136：3483-3492.［4］Baksalary J K，Baksalary O M.Idempotency of linear combinations of two idempotency matrices［J］.Linear Algebra and its Applications，2000，321：3-7.［5］Ptak V.Extremal operators and oblique projections［J］.eskoslovenskáAkademieVěd.asopis Pro Pěstování Matematiky，1985，110：343-350.［6］Koliha J J，Rakocevic V.The nullity and rank of linear combinations of idempotent matrices［J］.Linear Algebra and its Applications，2006，418（1)：11-14.［7］Deng Chunyuan.On the idempotent solutions of a kind of operator equations ［J］.ISRN Applied Mathematics，2011，846165（1-11).［8］王洁，张海燕，吉国兴.两个算子乘积的一种广义逆序律［J］.陕西师范大学学报：自然科学版，2010，38（4)：13-17.［9］Cvetkovi Ili，Dragana S，Deng Chunyuan.The Drazin invertibility of the difference and the sum of two idempotent operators［J］.Journal of Computational and AppliedMathematics，2010，233（8)：1717-1722.［10］Campbell S L，Meyer C D.Generalized inverses of linear transformations ［M］.Dover：Dover Publications，1991：10-18.。
第六章广义逆矩阵
第六章广义逆矩阵§6.1 投影矩阵一、投影算子与投影矩阵v设L和M都是C n的子空间，且LÅM=C n．于是任意xÎC n都可唯一分解为x=y+z，yÎL，zÎM，称y是x沿着M到L的投影．v定义将任意xÎC n变为沿着M到L的投影的变换称为沿着M到L的投影算子，记为PL,M ，即PL,Mx=y。
v显然，R(P L,M)=L，N(P L,M)=M．v投影算子P L,M是一个线性算子。
v定义投影算子P L,M在C n的基e1,…,e n下的矩阵称为投影矩阵．记为P。
L,Mv幂等矩阵：A2=Av引理设AÎC n×n是幂等矩阵，则N(A)=R(I-A)。
证明：A2=AÞA(I-A)=OÞ对任意xÎR(I-A),存在yÎC n,x=(I-A)y，必有Ax=0。
故R(I-A)ÌN(A)Þdim R(I-A)£dim N(A)=n-dim R(A)即rank(I-A)£n-rank A。
考虑到I=A+(I-A)Þn£rank A+rank(I-A)有rank(I-A)=n-rank A，使得dim R(I-A)=n-dim R(A)=dim N(A)，即得N(A)=R(I-A)。
v定理：P为投影矩阵的充要条件是P为幂等矩阵为投影矩阵，则对任意xÎC n有证明：设P=PL,MP2L,M x = P L,M (P L,M x) = P L,M y = y = P L,M x故P为幂等矩阵。
反之，设P为幂等矩阵n则对任意xÎC有x=x-Px+Px=(I-P)x+Px，其中(I-P)xÎN(P)，PxÎR(P)，使得C n=N(P)+R(P)。
设zÎN(P)∩R(P)，由于N(P)=R(I-P)故存在u，vÎC n使得z=Pu=P2u=P(I-P)v Þz=Pu=(I-P)v=0故N(P)∩R(P)={0}。
第四章 矩阵
Ch5 P234 习题4（1）
13.正交矩阵
定义7：P370CH9
1.正交矩阵的充要条件
A
（a
）正交（A是实矩阵）
ij
A为正交阵
A1为正交阵
A为正交阵
A*为正交阵
A1 A
2）A正交，则A的特征值的模为1；
3）A正交，则 A 1； 4） A、B正交，则AB正交.
,A )为准对角阵，则 S
秩A=秩A +秩A
1
2
L
秩AS
4）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 1
2
,L
,B ) S
那么 AB diag( A1B1,L , AS BS )
5）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 12
,L
,B ) S
8) 设A为n m复矩阵，则 秩A=秩A=秩AA=秩AA
9) A,B为n n矩阵，AB=0,则 秩A+秩B n,(P200.18)
10) A为n n矩阵, A2 E,则
秩（A+E）+秩(A-E)=n；（P .3） 203
11) A为n n矩阵, A2 A,则
秩A+秩(A-E)=n；（P .4） 203
1）设 A, B 为n阶矩阵，则
① tr(A B) trA trB
② tr(kA) ktrA
③ trA trA ④ trAB trBA
2）A ~ B 那么 trA trB
3) A为n阶方阵，则A的特征多项式为
则有 E A
n
b n1 n1
两个矩阵等价的充分必要条件
两个矩阵等价的充分必要条件矩阵，是线性代数中基本的概念，它在数学、物理、信号处理、数据分析等诸多领域都有应用。
在矩阵的研究过程中，有一个重要的问题，就是如何证明两个矩阵等价。
本文将从两个矩阵等价的定义出发，分步骤阐述两个矩阵等价的充分必要条件。
1.两个矩阵等价的定义什么是两个矩阵等价呢？我们知道，矩阵是一个由数个数排列成的矩形数组，其中每个数称为一个元素。
如果一个 $m \times n$ 的矩阵 A 可以通过一系列的初等变换得到一个 $m \times n$ 的矩阵 B，那么矩阵 A 与矩阵 B 就是等价的。
初等变换包括三种：交换矩阵的两行（列）、用非零实数乘矩阵的某一行（列）、用一个数乘另一行（列）加到另一行（列）。
初等变换可以理解为将矩阵的行（列）进行一定的组合操作，结果矩阵具有相同的秩、特征值、特征向量等性质。
2.充分必要条件了解了两个矩阵等价的定义，接下来我们来探讨两个矩阵等价的充分必要条件。
根据初等变换的定义，我们可以得到如下结论：两个矩阵等价，当且仅当它们具有相同的秩。
秩是矩阵的一个重要性质，它描述的是矩阵所代表的线性空间的维度。
对于一个 $m \times n$ 的矩阵来说，其秩不会超过 $m$ 和$n$ 中的较小值。
因此，我们可以将两个矩阵等价的充分必要条件分为以下两步：2.1 充分条件假设两个矩阵 A 和 B 等价，那么它们可以互相转化。
我们可以通过初等变换将矩阵 A 转化为矩阵 B。
由于初等变换不会改变矩阵的秩，所以矩阵 B 的秩与矩阵 A 的秩相同。
因此，当两个矩阵等价时，它们具有相同的秩。
2.2 必要条件假设两个矩阵 A 和 B 具有相同的秩，那么它们是否等价呢？我们来考虑这个问题。
一个矩阵的秩描述的是其行（列）向量组成的向量空间的维度。
具有相同秩的矩阵，可以看作在相同的向量空间中，其中的每个向量都可以用其他向量线性表出。
因此，我们可以从向量空间的角度来考虑这个问题。
假设 A 和 B 具有相同的秩 k。
研究生矩阵理论课后答案第8章
线性方程组一般理论复习续
定理B:对一般线性方程组
Ax=b, ACrmn,xCn,bCm (1) ①(1)有解的充要条件是 bR(A)={Ay|yCn}(R(A)也称为A的值域) ②(1)有解的充要条件是rank(A,b)=rank A (增广矩阵(A,b)与系数矩阵A的秩相等,其 意义是b是A的某些列的线性组合即bR(A)) ③(1)的通解=(1)的特解+齐次方程组通解N(A) (齐次方程组解空间N(A)={xCn|Ax=0}也称为A的核) ④(1)有无穷多解的充要条件是 rank A < n dim N(A)= n-rank A= n-r > 0
①运算T,*与- 可交换(这是T,*与-1可交换的推广) AA-A=A(AA-A)T=AT即AT(A-)TAT=AT(A-)T=(AT)AA-A=A(AA-A)*=A*即A*(A-)*A*=A*(A-)*=(A*)②(A)-=+A-,其中,+=1/,当0;+=0,当=0 利用显然的等式:+= 不难验证 (A)(+A-)(A)=(+)AA-A=A(A)-=+A③ SCmmm,TCnnn ,(SAT)-=T-A-S这是(SAT)-1=T-1A-1S-1推广
3
1 0 0 1 1
3 1
0 0 5 2 0 0 1
2 1/ 2 0 P 1 0 0 3 2 1
1 0 11/ 2 5 / 2 0 1 3 Q 1 0 1
0 1 1 1
11 2 5 2
1 5 | 0 1 0 3 0 | 1 0 0 9 0 | 0 2 1 11/ 2 5 / 2 | 2 1 / 2 0 3 0 | 1 0 0 0 0 | 3 2 1
矩阵论知识要点
证明 必要性显然，下面证明充分性.
设 A = ( aij )m n ，把 A 用列向量表示为
A ( a1 , a 2 , , a n ) ,
a1T a1Ta1 a1Ta2 a1Tan T T T T a2 a2 a1 a2 a2 a2 an T A A (a1, a2 ,, an ) , aT a T a aT a a T a n n n n 1 n 2
序言 • 矩阵论是一门经典的数学学科，也是一门繁 琐的、但有广泛应用价值的数学课程。 • 矩阵理论和方法是现代科技领域中处理有限 维空间形式与数量关系的强有力的不可缺少 的工具。 • 尤其是计算机的普及，更为矩阵论的应用提 供了广阔的应用舞台，如系统工程、控制工 程、最优化方法、管理工程等。
问题一 线性方程组的求解
4) 行列式 |A| 的各元素的代数余子式 Aij 所 构成的方阵
A11 A21 A12 A22 * A A A 2n 1n
叫做方阵 A 的伴随矩阵.
An1 An 2 , Ann
伴随矩阵具有重要性质: AA* = A*A =|A|E.
(1)
( A B) A B ;
H H H
(2) (A)
H
A ;
H
(3)
(4)
( AB) B A ;
H H H
(A ) A
H H
3)设 A (aij ) Cnn ，如果 AH A ，则称 是Hermite矩阵，如果 A 是反Hermite矩阵。
H
A
A ，则称 A
(iii) (A-1)-1 = A; (A)-1 = 1/ A-1 ( 0 );
俩矩阵相似的充分必要条件
俩矩阵相似的充分必要条件在数学的领域中，矩阵相似是一个非常重要的概念。
理解两个矩阵相似的充分必要条件，对于解决众多数学问题以及在实际应用中都具有关键意义。
要探讨两个矩阵相似的充分必要条件，首先得明确什么是矩阵相似。
简单来说，如果存在一个可逆矩阵 P ，使得矩阵 A 经过 P 的变换得到矩阵 B ，即 P⁻¹AP ＝ B ，那么我们就称矩阵 A 和矩阵 B 相似。
那相似矩阵都有哪些性质呢？其一，相似矩阵具有相同的特征值。
这意味着，如果矩阵 A 和矩阵 B 相似，那么它们的特征值是完全一样的。
其二，相似矩阵的行列式相等。
行列式反映了矩阵的一些重要性质，相似矩阵在这方面保持一致。
其三，相似矩阵的秩相等。
秩是描述矩阵线性无关行或列的数量，相似矩阵在这一数值上也相同。
接下来深入探讨两个矩阵相似的充分必要条件。
一个重要的条件是它们具有相同的特征多项式。
特征多项式是通过求解矩阵的特征方程得到的，若两个矩阵的特征多项式相同，那么它们相似。
这是因为特征多项式决定了矩阵的特征值，而前面已经提到相似矩阵具有相同的特征值。
另一个充分必要条件是它们具有相同的不变因子。
不变因子是通过对矩阵进行一系列特定的运算得到的一组多项式。
若两个矩阵的不变因子相同，那么它们必然相似。
再看若两个矩阵相似，那么它们的初等因子也相同。
初等因子是矩阵的一种特殊表示形式，通过对矩阵进行初等变换可以得到。
反之，若两个矩阵的初等因子相同，也能得出它们相似的结论。
为了更好地理解这些条件，我们通过一些具体的例子来进行说明。
假设矩阵 A ＝［2 1 ； 1 2 ］，矩阵 B ＝［1 2 ； 2 1 ］。
我们先计算它们的特征多项式。
对于矩阵 A ，其特征多项式为｜λI A| ＝（λ 2)² 1 ＝λ² 4λ ＋ 3 ；对于矩阵 B ，其特征多项式为｜λI B| ＝（λ 1)² 4 ＝λ² 2λ 3 。
由于它们的特征多项式不同，所以矩阵 A 和矩阵 B 不相似。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
广义m对合矩阵和(m,l)幂等矩阵的充要条件及应用吕洪斌;杨忠鹏;冯晓霞;陈梅香;黄丽琴【摘要】Based on the properties of the rank of the matrix polynomial, the necessary and sufficient conditions of generalized m involutory matrix and (m,l) idempotent matrix were obtained so as to generalize and improve the corresponding results of m involutory matrix and m-idempotent matrix.%由矩阵多项式的秩性质,给出广义m对合矩阵与(m,l)幂等矩阵的充要条件,推广并改进了m对合矩阵和m幂等矩阵的相应结论.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2012(050)006【总页数】6页(P1069-1074)【关键词】广义m对合矩阵;(m,l)幂等矩阵;矩阵秩;充要条件【作者】吕洪斌;杨忠鹏;冯晓霞;陈梅香;黄丽琴【作者单位】北华大学数学学院,吉林吉林 132033;福建省高校重点实验室莆田学院应用数学实验室,福建莆田 351100;莆田学院数学系,福建莆田 351100;漳州师范学院数学系,福建漳州 363000;福建省高校重点实验室莆田学院应用数学实验室,福建莆田 351100;莆田学院数学系,福建莆田 351100;福建师范大学数学与计算机科学学院,福州 350007;福建省高校重点实验室莆田学院应用数学实验室,福建莆田 351100【正文语种】中文【中图分类】O151.211 基本概念与引理设Fn×n和F[x]分别为数域F上的n×n阶矩阵和一元多项式集合; C为复数域; r(A)表示矩阵A的秩; f(x),g(x)∈F[x]的首项系数为1的最大公因式, 最小公倍式分别记为(f(x),g(x)),[f(x),g(x)]; N表示所有非负整数的集合, Z+=N\{0}.若存在m∈Z+, 使得Am=In, 则称A∈Fn×n为m对合矩阵. 对给定的幂等矩阵P2=P, 若AP=PA=A∈Cn×n且A2=P, 则称A为广义对合矩阵[1]. 若m,l∈N满足m>l, 并使得Am=Al, 则称A∈Fn×n为(m,l)幂等矩阵[2-3], 记(1)如果m(≥2)∈N, 则当Am=A时, A∈Fn×n称为m幂等的, 记(2)若存在最小的m, 使得m>l(m,l∈N)且Am=Al成立, 则称A∈Fn×n为本质(m,l)幂等的[2], 且本质(m,0)和(m,1)幂等矩阵分别称为本质m对合的和本质m幂等的. 由文献[2-3]知, 矩阵的(m,l)幂等性与所在数域扩大无关.矩阵A∈Cn×n的Jordan标准形中的幂零Jordan块的最大阶数称为A的秩指数[4], 记为l(A). 本文把A∈Fn×n的特征多项式在复数域上的根称为A的特征根, 数域F上n×n阶矩阵总有n个特征根；单位根λ的阶k是指使λk=1成立的最小正整数, 易知n次单位根的阶不一定相同.引理1[3] 设A∈Fn×n, 则A为(m,l)幂等的⟺l≥l(A), 同时A的每个非零特征根都是m-l次单位根, 且由其确定的Jordan块都是1阶的.引理2[2] 设A∈Fn×n不是幂零的, 则A为本质(m,l)幂等的⟺ l=l(A), 每个非零特征根λj确定的Jordan块都是1阶的,且所有零特征根的阶的最小公倍数为m-l.引理3 设A∈Fn×n. 1) 如果l≥2且A为本质(m,l)幂等矩阵, 则A不可对角化； 2) 如果A为m幂等矩阵, 则A可对角化.证明: 1) 由式(1)、引理1和引理2知, 当l≥2时, 本质(m,l)幂等矩阵都不可对角化.2) 由式(2)知xm-x为m幂等矩阵A的化零多项式, 表明A的最小多项式无重根, 应用文献[5]中问题3.4.25和文献[6]中推论3.3.8知A可对角化. 证毕.引理4[7-9] 设A∈Fn×n, f(x),g(x)∈F[x], 则r(f(A))+r(g(A))=r((f(A),g(A)))+r([f(A),g(A)]).引理5[10] 设P为幂等阵, 若A∈Fn×n满足AP=PA=A, 则存在可逆阵W∈Fn×n, 使得A=Wdiag(A1,0)W-1, P=Wdiag(Ir,0)W-1, r(P)=r, A1∈Fr×r.引理6 设则r(Ak)=r(Al), k=l+1,l+2,…,m.证明: 由矩阵方幂的秩性质知, r(Al)≥r(Ak)≥r(Am)=r(Al). 证毕.2 广义m对合矩阵的充要条件及应用定理1 设A,P(=P2)∈Fn×n,满足AP=PA=A, 给定m(≥2)∈N, 则(3)其中ε0,ε1,…,εm-1是所有的m次单位根.证明: 由引理5知, 存在可逆阵W∈Fn×n, 使得Am-P=Wdiag(-Ir,0)W-1, A-εiP=Wdiag(A1-εiIr,0)W-1;(4)r(Am-P)=r(-Ir), r(A-εiP)=r(A1-εiIr), i=0,1,…,m-1.(5)设多项式fi(x)=x-εi(i=0,1,…,m-1), 这里ε0,ε1,…,εm-1为所有m次单位根. 因此(6)于是, 由文献[7]中定理2.2、文献[11]中推论3和文献[12]中推论1及式(4)～(6), 有即式(3)成立. 证毕.由定理1, 可得:定理2[3] 设A,P(=P2)∈Fn×n, 满足AP=PA=A, m(≥2)∈N. 如果ε0,ε1,…,εm-1是所有的m次单位根, 则A∈Fn×n为广义m对合的⟺当P=In时, 由定理2可得文献[13]的定理2.定理3 设A,P(=P2)∈Fn×n, 满足AP=PA=A, m(≥2)∈N. 如果l0,l1,…,lm-1∈Z+, 且ε0,ε1,…,εm-1是所有的m次单位根, 则(7)证明: 由引理5和定理1的证明知, 对i=0,1,…,m-1, l0,l1,…,lm-1∈Z+, 有(A-εiP)li=Wdiag((A1-εiIr)li,0)W-1, r(A-εiP)li=r(A1-εiIr)li;(8)(9)设fi(x)=x-εi(i=0,1,…,m-1), 则由式(6)知(10)于是由文献[7]中定理2.2、文献[11]中推论3、文献[12]中推论1及式(8)～(10), 有即式(7)成立. 证毕.当l0=l1=…=lm-1=1时, 由定理3可得定理1.例1 设易见A3=I3, 且3是使Ak=I3(k∈Z+)成立的最小正整数(即A为本质3对合的), 但另一个3次单位根并不是A的特征根.在文献[13]定理1和定理2及文献[14]定理1的证明中, 都使用了：“(A-εiIn)x=0的解空间Vi是属于特征根εi的特征子空间”. 例1表明, 即使A∈Cn×n 是本质m对合矩阵, 但所有的m次单位根ε0,ε1,…,εm-1也未必都是A的特征根. 因此, 定理1～定理3不仅证明要简单得多, 而且与m次单位根εi是否为A∈Cn×n的特征根无关.定理4 给定P=P2, A∈Fn×n满足AP=PA=A, 则r(A-P)+r(P+A+A2+…+Am-1)=r(P)+r(Am-P), m(≥2)∈N；(11)Am=P ⟺ r(A-P)+r(P+A+A2+…+Am-1)=r(P).证明: 由引理5知, 存在可逆阵W∈Fn×n, 使得Ak-P=Wdiag(-Ir,0)W-1, Ak=Wdiag(,0)W-1, k∈Z+.(12)于是由文献[13]中定理2和式(12), 有即式(11)成立, 进而可得Am=P的充要条件. 证毕.当P=In时, 由定理4可得文献[15]的定理2.1和定理3.3.3 (m,l)幂等矩阵的充要条件及应用定理5 设A∈Fn×n, m,l∈N满足m>l, 若ε0,ε1,…,εm-l-1为m-l次所有单位根, 则(13)证明: 设f(x)=xl, g(x)=xm-l-1∈F[x], 则(f(x),g(x))=1, [f(x),g(x)]=xm-xl;注意到(x-εi,x-εj)=1, i≠j和由引理4, 有r(Al)+r(Am-l-In)=n+r(Am-Al).(14)又由定理1的证明可知,于是由式(14)有即式(13)成立. 证毕.由r(A0)=r(In)=n和式(1)知: 当l=0时, 由定理5可得文献[13]中定理2, 且可得到不同于引理1和引理2的(m,l)幂等矩阵的判定条件.定理6 设A∈Fn×n, m,l∈N满足m>l, 若ε0,ε1,…,εm-l-1为m-l次所有单位根, 则⟺(15)式(15)与如下由文献[8]中定理7给出的(m,l)幂等矩阵充要条件的形式不同:⟺r(Al)+r(A-Am-l+1)=r(A), m>l(≥2)∈N.当l=1时, 由式(15)可得文献[16]中定理6.定理7 设A∈Fn×n, 则下述结论等价：2) r(Ak)+r(Am-l-In)=r(Ak)+r(A-In)+r(In+A+A2+…+Am-l-1)-n=n, l≤k≤m-1;3) r(Al)+r(Am-l-In)=r(Al)+r(A-In)+r(In+A+A2+…+Am-l-1)-n=n.证明: 1)⟺ 2). 当t,k∈N满足t>k时, 设f(x)=xk, g(x)=x-1, h(x)=1+x+x2+…+xt-k-1∈F[x],显然f(x),g(x),h(x)两两互素, 且s(x)=f(x)g(x)h(x)=xt-xk, 于是由秩恒等式(14)或引理4有r(At-Ak)=r(Ak)+r(At-k-In)-n,而由文献[15]中式(2.2)和定理3.3可得秩恒等式r(At-k-In)=r(A-In)+r(In+A+A2+…+At-k-1)-n,从而其中t,k∈N满足t>k.当时, 由其化零多项式xm-xl取m=t, l=k及式(16), 有由式(17)和引理6可得2).2)⟺ 3) 在2)中取k=l可得3).3)⟺ 1) 由秩恒等式(14)知3)成立时, r(Am-Al)=0, 即证毕.当l=1时, 由定理3可得文献[16]中定理7.如果1为A的s重特征根, 则m-l+1(≥2)和1分别为In+A+A2+…+Am-l的s重和n-s重特征根.证明: 设复数λ1,λ2,…,λn∈C为的全部特征根, 由引理1和引理2知λi=0或λi=1或λi≠1且(18)易见为In+A+A2+…+Am-l的特征根, 由式(18), 有(19)因为当λi≠1且时,所以于是由式(18)知且(20)又由式(18)～(20)知, 当有s个满足λi=1的特征根时, m-l+1(≥2)和1分别为In+A+A2+…+Am-l的s重和n-s重特征根. 证毕.由定理8及式(18)～(20)知, 当时, In+A+A2+…+Am-l的所有可能不同特征根仅有m-l+1(≥2)和1, 即该矩阵所有的特征根都是非零的, 于是有:推论1 设则r(In+A+A2+…+Am-l)=n.推论1表明定理8改进了文献[16]中定理7. 作为定理8的应用, 还可得:定理9 设如果1为A的s重特征根, 则m和1分别为In+A+A2+…+Am-1的s 重和n-s重特征根, 且(21)证明: 由式(1),(2)并在定理8中取l=1知, 此时m和1分别为In+A+A2+…+Am-1的s重和n-s重特征根, 于是由引理3知,在复数域上是可对角化的, 从而In+A+A2+…+Am-1在复数域上也是可对角化的. 于是由引理3存在可逆阵Q∈Fn×n, 使得(22)由及式(22), 有即式(21)成立. 证毕.参考文献【相关文献】[1] Farebrother R W, Trenkler G. On Generalized Quadratic Matrices [J]. Linear Algebra and Its Applications, 2005, 410(15): 244-253.[2] YANG Zhong-peng, CHEN Mei-xiang, GUO Wen-jing. Studies on Character of Essential (m,l) Idempotent Matrix [J]. Journal of Mathematical Study, 2011, 44(1): 86-94. (杨忠鹏, 陈梅香, 郭文静. 本质(m,l)幂等矩阵的特征研究 [J]. 数学研究, 2011, 44(1): 86-94.)[3] GUO Wen-jing, YANG Zhong-peng, CHEN Mei-xiang. On Characteristics of (m,l) Rank-Idempotent Matrix and (m,l) Idempotent Matrix [J]. Journal of Beihua University: Natural Science, 2009, 10(1): 5-9. (郭文静, 杨忠鹏, 陈梅香. (m,l)秩幂等矩阵和(m,l)幂等矩阵的特性研究[J]. 北华大学学报：自然科学版, 2009, 10(1): 5-9.)[4] QI Zheng-kun, WANG Ting-ming, FU Hai-lun. On Identity for Rank of Square Matrix and Its Application [J]. Journal of Shandong Normal University： Natural Science, 2008,23(3)： 15-17. (亓正坤, 王廷明, 傅海伦. 方阵幂的秩等式及其应用 [J]. 山东师范大学学报：自然科学版, 2008, 23(3)： 15-17.)[5] ZHANG Fu-zhen. Matrix Theory: Basic Results and Techeques [M]. 2nd ed. New York：Springer, 2011.[6] Horn R A, Johnson C R. Matrix Analysis [M]. New York： Cambridge University Press, 1985.[7] LIN Guo-qin, YANG Zhong-peng, CHEN Mei-xiang. A Rank Identity of Matrix Polynomial and Its Application [J]. Journal of Beihua University: Natural Science, 2008, 9(1): 5-8. (林国钦, 杨忠鹏, 陈梅香. 矩阵多项式秩的一个恒等式及其应用 [J]. 北华大学学报：自然科学版, 2008, 9(1): 5-8.)[8] YANG Zhong-peng, CHEN Mei-xiang, LIN Guo-qin. Some Notes on the Rank of Matrix Power [J]. Journal of Fuzhou University: Natural Science Edition, 2009, 37(1): 24-28. (杨忠鹏, 陈梅香, 林国钦. 关于矩阵方幂的秩恒等式的注记 [J]. 福州大学学报：自然科学版, 2009, 37(1):24-28.)[9] YANG Zhong-peng, LIN Guo-qin, CHEN Mei-xiang. An Identity on the Sum of Rank of Matrix Polynomial and Its Application [J]. College Mathematics, 2010, 26(1): 265-268. (杨忠鹏, 林国钦, 陈梅香. 矩阵多项式秩的和的恒等式及其应用 [J]. 大学数学, 2010, 26(1): 265-268.) [10] HUANG Ai-ping, CHEN Jing-jing, CHEN Mei-xiang, et al. Rank Identities of Generalized Matrix Polynomial and Their Applications [J]. Journal of Beihua University: Natural Science, 2011, 12(6)： 651-655. (黄爱萍, 陈菁菁, 陈梅香, 等. 广义矩阵多项式的秩等式及应用 [J]. 北华大学学报：自然科学版, 2011, 12(6)： 651-655.)[11] HU Fu-gao, ZENG Yu-e. Identities and Application of the Rank of a Class of Matrices Polynomials [J]. Journal of Shandong University: Natural Science, 2008, 43(8): 51-54. (胡付高, 曾玉娥. 一类矩阵多项式秩恒等式与应用 [J]. 山东大学学报：理学版, 2008, 43(8): 51-54.) [12] LÜ Hong-bin, YANG Zhong-peng, LI Yan, et al. Sum of Ranks of Matrix Polynomials without Constraints [J]. Journal of Jilin University: Science Edition, 2011, 49(6): 1019-1023. (吕洪斌, 杨忠鹏, 李艳, 等. 无约束条件的矩阵多项式的秩和 [J]. 吉林大学学报：理学版, 2011,49(6): 1019-1023.)[13] TANG Jian-guo, YAN Qing-yun. Necessary and Sufficient Conditions for Unit-Ponent Matrices [J]. Mathematics in Practice and Theory, 2010, 40(20)： 172-176. (唐建国, 严青云. 幂幺矩阵的充要条件 [J]. 数学的实践与认识, 2010, 40(20)： 172-176.)[14] CHEN Yi-zhi. Equivalent Conditions for m Times Idempotent Matrices [J]. Mathematics in Practice and Theory, 2011, 41(23)： 190-193. (陈益智. m次幂等矩阵的等价条件 [J]. 数学的实践与认识, 2011, 41(23): 190-193.)[15] YANG Zhong-peng, LIN Zhi-xing. An Identity of the Rank about the Power of Matrix and Its Application [J]. Journal of Beihua University: Natural Science, 2007, 8(3): 294-298. (杨忠鹏, 林志兴. 矩阵方幂的秩的一个恒等式及应用 [J]. 北华大学学报：自然科学版, 2007, 8(3): 294-298.)[16] JIN Hui-ping, WU Miao-xian. k Degree Idempotent Matrix and the Orthogonality of Idempotent Matrix [J]. Journal of Maoming University, 2010, 20(1): 55-57. (金慧萍, 吴妙仙. k次幂等矩阵和矩阵的正交性 [J]. 茂名学院学报, 2010, 20(1): 55-57.)。