对称式和轮换对称式的因式分解
对称式
2
3.
(a + b + c)3 − (b + c − a)3 − (c + a − b)3 − (a + b − c)3
4.
a 5 − b 5 − ( a − b)5
5.
( y − z )3 + ( z − x )3 + ( x − y )3
6.
x2y+xy2+z2x+zy2+yz2+zx2+3xyz
2、 x 3 ( y 6 − z 6 ) + y 3 ( z 6 − x 6 ) + z 3 ( x 6 − y 6 )
3、 a 2 (a + b)(a + c)(b − c) + b 2 (b + c)(b + a )(c − a ) + c 2 (c + a )(c + b)( a − b)
4、 x 2 y + xy 2 + z 2 x + zy 2 + yz 2 + zx 2 + 2 xyz
判 定 mx + ny + rz 是 否 为 多 项 式 f ( x, y, z ) 的 因 式 的 方 法 是 ： 令 mx + ny + rz = 0 ，计算
f ( x，y，z ) ，如果 f ( x，y，z )=0 ，那么 mx + ny + rz 就是 f ( x，y，z ) 的因式，在实际操作时，
可首先考虑 mx + ny + rz 的如下特殊情形：
x，x + y，x − y，x + y + z，x − y + z
因式分解-第1讲竞赛班教师版
第一讲 因式分解综合教学内容：复习因式分解的基本方法、常用方法；学习对称式的分解方法。
一、 知识回顾（例1至例5，重点复习待定系数法和因式定理）回顾因式分解的基本方法：（1）提取公因式；（2）运用公式法；（3）分组分解法；（4）十字相乘法。
因式分解的其他常用方法回顾：（5）拆项、添项；（6）换元法；（7）双十字相乘法；（8）待定系数法；（9）利用因式定理分解。
二、 对称式、交代式和轮换式1． 对称式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，式子不变，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的对称式。
如a b +，22a ab b -+都是关于这两个字母a ，b 的对称式。
2． 交代式：一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，得到的式子和原来的代数式只差一个符号，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的交代式。
例如a b -，22a b -。
3． 轮换式：一个代数式中，如果把所有字母依次替换（即第一个字母换成第二个字母，第二个字母换成第三个字母，类推下去，最后一个字母换成第一个字母），式子不变，那么这个代数式叫做关于这些字母的轮换对称式，简称轮换式。
如a b c ++，ab bc ca ++，3333a b c abc ++-等。
三、 对称式、交代式和轮换式的因式分解由于对称多项式和轮换对称多项式的特殊性，它们的因式分解也有其特殊方法。
因为如果一个对称（或者轮换对称）多项式有一个次数较低的因式，那么与这个因式同类型的式子也是原多项式的因式，这样就可以借助因式定理和待定系数法进行因式分解。
（具体见例6至例10）四、 例题例1. 分解因式66()()x y x y x y -+-《全国奥林匹克初二竞赛教材数学》P21，例4（2）提公因式和公式法例2. 分解因式32332a a a +++ 《全国奥林匹克初二竞赛教材数学》P22，例6分组法，拆项添项法例3. 分解因式222()()()x p q x pq p q p q -+++-《全国奥林匹克初二竞赛教材数学》P23，例8十字相乘法例4. （92年四川初中联赛试题）分解因式22276212x xy y x y -++--《华罗庚数学奥林匹克教材初二年级》P11，例8双十字，待定系数法例5. 分解因式4322928x x x x +--+ 《奥数教程》初二，P13，例7例6. 分解因式3333x y z xyz ++-《全国奥林匹克初二竞赛教材数学》P42，例1例7. （第六届莫斯科数学奥林匹克）分解因式333()()()b c c a a b -+-+-《华罗庚数学奥林匹克教材初二年级》P12，例9例8. 分解因式()()()y z z x x y xyz ++++《全国奥林匹克初二竞赛教材数学》P45，习题六1例9. 分解因式333()()()a b c b c a c a b -+-+-《全国奥林匹克初二竞赛教材数学》P43，例4例10. 分解因式()()a b c ab bc ca abc ++++- 《全国奥林匹克初二竞赛教材数学》P45，习题六3五、 因式分解的应用例11. 已知22223()()a b c a b c ++=++，求证：a b c == 《全国奥林匹克初二竞赛教材数学》P48，例7例12. （第9届莫斯科奥林匹克）证明：对于任何整数x 和y ，下式的值都不会等于33：543223453515412x x y x y x y xy y +--++《华罗庚数学奥林匹克教材初二年级》P22，例8例13. （1982年天津初中数学竞赛）已知在ABC 中，222166100a b c ab bc --++=（a 、b 、c 是三角形三边的长），求证：2a c b +=《华罗庚数学奥林匹克教材初二年级》P23，例9例14. （基辅数学奥林匹克）证明对于任意整数n ，65222n n n n +--能被120整除22原式＝n(n+2)(n-1)(n+1)(n +1)=n(n+2)(n-1)(n+1)(n -4)+5(n-1)n(n+1)(n+2)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1)(n+2)第一项为连续五个自然数相乘，必能被5！＝120整除；第二项中是连续四个整数的乘积的5倍，因此也能被120整除。
齐次轮换式因式分解
齐次轮换式因式分解答案：轮换式：如果一个多项式中的变数字母按照任何次序轮换后，原多项式不变，那么称该多项式是轮换多项式(简称轮换式)．在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.对称式的因式分解：在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.例7分解因式x4+(x+y)4+y4分析：这是一个二元对称式,二元对称式的基本对称式是x+y,xy 任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.解∵x4+y4=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2.∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4=2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2=2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2]=2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2,例8分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b).此题中若将式中的b换成a,c换成b,a换成c,即为c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不变,这类多项式称为关于a、b、c 的轮换对称式，轮换对称式的因式分解，用因式定理及待定系数法比较简单，下面先粗略介绍一下因式定理，为了叙述方便先引入符号f(x)、f(a)如对一元多项式3x2-5x-2可记作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示当x=a时多项式的值，如x=1时多项式3x2-5x-2的值为f(1)=3×12-5×1-2=-4,当x=2时多项式3x2-5x-2的值为f(2)=3×22-5×2-2=0.因式定理如果x=a时多项式f(x)的值为零,即f(a)=0,则f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式).如多项式f(x)=3x2-5x-2,当x=2时,f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事实上f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2).证明设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,若f(a)=0,则f(x)=f(x)-f(a)=(anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0)=(anan+an-1an-1+…+a1a+a0)=an(xn-an)+an-1(xn-1-an-1)+…+a1(x-a),由于(x-a)|(xn-an),(x-a)|(xn-1-an-1),…,(x-a)|(x-a),∴(x-a)|f(x),对于多元多项式,在使用因式定理时可以确定一个主元,而将其它的元看成确定的数来处理.现在我们用因式定理来解例8.解这是一个含有a、b、c三个字母的三次多项式，现以a为主元，设f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知当a=b和a=c时，都有f(a)=0,故a-b和a-c是多项式的因式，而视b为主元时，同理可知b-c也是多项式的因式，而三次多项式至多有三个因式故可设a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中k为待定系数，令a=0,b=1,c=-1可得k=-1.∴a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=-(a-b)(b-c)(c-a).例9分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).分析这是一个关于a、b、c的四次齐次轮换多项式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a是多项式的三个因式，而四次多项式还有一个因式，由轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c，故可设a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中k为待定系数），取，a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).。
因式分解的七种常见方法
1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2.分解因式技巧掌握：
①等式左边必须是多项式； ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方 面考虑。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来， 从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
ax ay ax y
方法 1 提公因式法
具体方法：
1.当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；
2.字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；
(2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2； ＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2＝5(2a－b)2(3b＋5)
(3)(a－b)2(a＋b)＋(a－b)(a＋b)2. ＝(a－b)(a＋b)[(a－b)＋(a＋b)]＝2a(a－b)(a＋b)
返回
方法 2 公式法
题型1 直接用公式法
5．把下列各式分解因式：
(2)－3x7＋24x5－48x3 ＝－3x3(x4－8x2＋16)
返回
＝－3x3(x2－4)2＝－3x3(x＋2)2(x－2)2.
题型3 先局部再整体法
7．把下列各式分解因式：
(1)(x＋3)(x＋4)＋x2－9； ＝(x＋3)(x＋4)＋(x＋3)(x－3) ＝(x＋3)[(x＋4)＋(x－3)] ＝(x＋3)(2x＋1)
取每项相同的多项式，多项式的次数取最低的。
3.如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，
使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
轮换对称性及其在中学数学中的应用 (1)
轮换对称性及其在中学数学中的应用一、轮换对称性的相关定义与性质1.1、轮换对称性的相关定义：定义1. 如果把一个代数式中的字母按照某个秩序排列, 然后依次把第一个字母换成第二个字母，把第二个字母换成第三个字母，……，把最后一个字母换成第一个字母，称这种变换字母的方法叫做轮换.定义2 如果把一个代数式中的字母对调，所得的代数式和原来的代数式恒等，那么，就说原来的代数式关于这些字母对称，原来的代数式就是关于这些字母的对称式.定义3 如果一个函数，则称该函数是对称函数.定义4 如果通过轮换后所得的代数式与原来的代数式恒等，则把原来的代数式叫做关于这些字母的轮换对称式.定义5 如果轮换对称式中各项的次数相等, 则把这样的代数式叫做齐次轮换对称式.1.2、轮换对称性的相关定义与性质性质1 轮换对称式的和、差、积、商也是轮换对称式.性质2 齐次轮换对称式的和、差、积、商也是齐次轮换对称式.二、轮换对称性的应用举例2.1 轮换对称性在因式分解中的应用由轮换对称式的性质可知,当一个轮换对称式有某个因式时,它一定还有关于这个因式中的变数的轮换对称式.根据这个性质,再利用因式定理和待定系数法,可以比较简便地把一个轮换对称式因式分解.例1 设△ABC的三边长分别为 a 、b、c, 且则△ABC的形状是三角形?因为等式是关于a、b、c的轮换对称式,可考虑先去分母,再通过分解因式来确定a 、b、c 的关系.解：将原式去分母,并设其为f, 得当a=b 时,f=0, 由因式定理知f有因式a-b. 又f 是关于a、b、c的轮换对称式,由性质知,f 还有因式b-c和c-a. 于是,f有因式由于f和g 都是三次齐次轮换对称式, 故f和g 之间只差一个非零常数因子, 即由此可知,a-b 、b-c 、c-a中至少有一个等于0, 即a、b、c 中至少有两个相等, 则三角形至少有两条边相等. 所以, 三角形是等腰三角形.2.2 轮换对称性在不等式中的应用例2 已知x 、y 、z 为正实数，求证:解这是道轮换对称不等式, 原命题等价于：又：且;由轮换对称知，必有：；所以原命题为真 .2.3 利用轮换对称性求最值在高考或竞赛的选择、填空题中,常会遇到一类求最值问题, 这类问题的特征是条件式与待求式都是轮换对称式即所给式中的字母x、y、z ……能依次轮换,相互代替而结果不变, 则关于x、y、z、……的代数式的最大( 小) 值, 一定是在x = y = z =……时的值（x = y = z =……时代数式不能有奇点） . 运用此性质,能有效、迅速求解此类题, 从而赢得宝贵的时间.例3 已知P(x,y) 是曲线C:上一动点 . 设，则.解：依据x、y 轮换对称性,可得仅当x=y, 即x2 =y2时,S 取得最大或最小值, 于是. 由条件分析可知, 当x=y 时,最大；当x=-y时,最小 . 所以,故原式的值是 .2.4 轮换对称多项式的乘法例4 计算分析因为原式中的两个因式都是关于x 、y 、z 的轮换对称式,由性质1知,其积也是关于x 、y、z 的轮换对称式, 于是, 只要把第一个因式的第一个字母乘以第二个因式, 然后按照轮换对称的规律写出其余各项即可解由于. 又因为原式为x、y、z的轮换对称式，∴原式2.5 降元法求最值问题因为求一元函数的最值对于解题者来讲有较多和熟悉的方法，尤其有较为有力的导数方法，所以，对于三元轮换对称式S 的最值求法，基本思想是将三变元转化为一个变元函数来处理．先假定三变元变化时，S值变化具有连续性.下面通过例题介绍．例5 设非负实数a、b、c满足a+b+c＝1. 求.解:由轮换对称性可设，对任意给定（固定a的值），有设，显然，。
【数学知识点】多项式的因式分解方法
【数学知识点】多项式的因式分解方法多项式的因式分解方法有提公因式法，公式法，十字相乘法，轮换对称法，分组分解法，拆添项法，配方法。
一、提公因式法如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
公因式可以是单项式，也可以是多项式。
具体方法：在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。
当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。
如果多项式的第一项为负，要提出负号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出负号时，多项式的各项都要变号。
基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式；①找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
口诀：找准公因式，一次要提尽，全家都搬走，留1把家守，提负要变号，变形看奇偶。
二、公式法如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。
三、十字相乘法十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。
口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。
(拆两头，凑中间)(1)用十字相乘法分解二次项，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．(3)先以一个字母的一次系数分数常数项；(4)再按另一个字母的一次系数进行检验；(5)横向相加，纵向相乘。
轮换对称式的证明_高中数学_概述说明以及解释
轮换对称式的证明高中数学概述说明以及解释1. 引言1.1 概述本文将重点介绍轮换对称式的证明方法和在高中数学中的应用。
轮换对称式是一种在数学中常见的模式，它具有特殊的性质和定义。
通过探索其证明方法以及应用领域，我们可以提高对数学概念和问题的理解能力，并且能够更好地解决相关问题。
1.2 文章结构本文分为四个主要部分进行论述。
第一部分为引言，主要从整体上概述文章内容，并介绍了本文的目的。
第二部分将详细介绍轮换对称式的定义和性质，并探讨其证明方法及具体案例分析。
第三部分将重点阐述轮换对称式在高中数学中的应用，包括几何、代数和概率统计等方面。
最后一部分为结论与总结，对全文进行回顾并指出可能存在的不足之处，同时展望未来研究方向或提出进一步讨论和思考的问题。
1.3 目的本文旨在帮助读者深入理解轮换对称式这一重要概念，并掌握相关证明方法和应用技巧。
通过详细说明、举例分析和实际应用，希望能够提高读者对数学概念的把握能力，并培养解决实际问题的数学思维和能力。
相信通过阅读本文，读者将对高中数学领域中的轮换对称式有更为全面深入的了解。
2. 轮换对称式的证明：2.1 轮换对称式的定义和性质:轮换对称式是指形如$f(x_1,x_2,...,x_n)=f(x_2,x_3,...,x_n,x_1)$的函数或表达式。
其中，$x_1, x_2, ..., x_n$是一组变量。
这种函数或表达式在变量间进行周期性的轮换，并且不会改变其值。
具体来说，一个轮换对称式是通过将变量按照某种顺序进行循环置换得到的。
例如$f(x,y,z)=xyz+yzx+zxy$就是一个轮换对称式，因为通过将$x,y,z$按照顺序进行循环置换可以得到相同的表达式。
轮换对称性在数学中具有重要的性质和应用。
首先，它可以简化复杂的计算过程，减少重复或冗余计算。
此外，在代数推导和证明中，轮换对称性可以帮助我们发现等价关系、共同特征以及隐藏规律。
因此，了解和掌握轮换对称式的证明方法对于解决高中数学问题非常有帮助。
因式分解三
因式分解三 因式分解（三） 【学习目标】 学习换元法，因式定理，待定系数 【专题简介】 把一个多项式在一个范围（如有理数范围内分解，即所有项均为有理数）化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式.在数学求根作图方面有很广泛的应用. 因式分解是代数式恒等变形的基础之一，方法众多，相应的训练对学生的代数能力提升较为明显. 基本的分解方法有：①提公因式；②公式法；③十字相乘 常见分解技巧有：①主元法；②换元法；③拆添法；④双十字相乘法 高端分解方法有：①因式定理；②待定系数；③轮换对称 【专题分类】 1.换元法：__________________________________________________________ 2. 因式定理：__________________________________________________________ 3. 待定系数：__________________________________________________________ 题型一：换元法 基础夯实 【例1】分解因式：(x＋1)4＋(x＋3)4－272 【练1】分解因式：a4＋44＋(a－4)4 【例2】分解因式：(a－c)2－4(a－b)(b－c) 【练2】分解因式：(x2＋xy＋y2)2－4xy(x2＋y2) 【例3】分解因式：(a＋b－2ab)(a＋b－2)＋(1－ab)2 【练3】分解因式：xy(xy＋1)＋(xy＋3)－2(x＋y＋1 2 )－(x＋y－1)2 【例4】分解因式：x4＋x3－4x2＋x＋1 【练4】分解因式：a4＋2a3b＋3a2b2＋2ab3＋b4题型二因式定理 因式定理：如果x＝a时，多项式a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0的值为为，x－a是该多项式的一个因式. 特别的，如果多项式的系数的和等于0，那么1一定是它的根；如果多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于0，那么－1一定是它的根. 多项式有理根的性质： 有理根 p c q 的分子p是常数项a0的因数，分母q是首项系数a n的因数. 基础夯实 【例5】分解因式：⑴x3＋4x2－5 ⑵x3＋6x2＋11x＋6 【练】5分解因式：⑴x3－x2＋2 ⑵x3＋8x－3 强化挑战 【例6】分解因式：3x3－5x2＋x＋1 【练6】分解因式：2x3－x2－5x－2 【例7】分解因式：6x4＋5x3＋3x2－3x－2 【练7】分解因式：⑴2x4＋x3＋7x2＋4x－4 ⑵x4＋2x3－3x2－4x＋4 【例8】分解因式：x3－9x2y＋26xy2－24y3 【练8】分解因式：⑴3x3－5x2y＋xy2＋y3⑵6x3－5x2y－3xy2＋2y3 【例9】分解因式：x3＋px2＋px＋p－1 【练9】分解因式：(a－1)x3－ax2－(a－3)x＋(a－2) 【例10】分解因式：x3－(a＋b＋c)x2＋(ab＋bc＋ca)x－abc 【练10】分解因式：⑴8x3＋4(a＋b＋c)x2＋2(ab＋bc＋ac)x＋abc ⑵(l＋m)x3＋(3l＋2m－n)x2＋(2l－m－3n)x－2(m＋n) 题型三待定系数法 知识点睛 特定系数法： 如果两个多项式恒等，则左右两边同类项系数相等. 即，如果a n x n＋a n－1x n－1＋a n－2x n－2＋…a1x1＋a0＝b n x n＋b n－1x n－1＋b n－2x n－2＋…b1x1＋b0恒成立，那么a n＝b n，a n－1＝b n－1，…a1＝b1，a0＝b0. 特定系数法的使用前提是知道所需要求的代数式的形式，根据代数式的形式把不确定的部分设为未知数，然后通过比较系数得到方程，进而求解. 基础夯实 【例11】用待定系数法分解因式：x2＋5x＋6 【练11】用待定系数法分解因式：x4－3x－2 【例12】关于x，y的二次式x2＋7xy＋my2－5x＋43y－24可分解为两个一次因式的乘积，则m的值是_________. 【练12】设px3＋mx2＋nx＋y是x的一次式的完全平方式，求证3mr＝n2. 练习： 1.用待定系数法分解因式：2x4－x3＋6x2－x＋6 2. 分解因式：x4＋x3＋2x2－x＋3 3.k为________时，多项式x2－2xy＋ky2＋3x－5y＋2能分解为两个一次因式的积. 4. 分解因式：x3－5 3 x2－ 11 3 x－1 5.多项式2x4－3x3＋ax2＋7x＋b能被x2＋x－2整除，求a b 的值. 6.多项式x2＋axy＋by2－5x＋y＋6的一个因式是x＋y－2，试确定a＋b的值. 7. 分解因式：x4＋3x3－4x2－8x＋8 8. 分解因式：－24y3＋26y2－9y＋1 9. 分解因式：9x4－3x3＋7x2－3x－2 10.已知x2＋x－2与2x－1分别是多项式ax3＋bx2＋cx－5及多项式ax3＋bx2＋cx－25 16 的因式，求a，b，c。 11. 分解因式：x4＋x2＋2ax＋1－a2 12.若x2＋2x＋5是x4＋px2＋q的一个因式，则pq的值是_________. 13.将代数式x3＋(2a＋1)x2＋(a2＋2a－1)x＋(a2－1)分解因式，得_____________________. 14. 分解因式：x4＋5x3＋15x－9 15.已知关于x的多项式3x2＋x＋m因式分解后有一个因式为（3x－1），试求m的值.并将多项式因式分解. 课外阅读轮换对称式 对称式：x，y的多项式x＋y，xy，x2＋y2，x3＋y3，x2y＋xy2，…在字母x与y互换时，保持不变，这样的多项式称为x，y的对称式. 类似地，关于x，y，z的多项式x＋y＋z，x2＋y2＋z2，xy＋yz＋zx，x3＋y3＋z3，x2y＋x2z＋y2z＋y2x＋z2x＋z2y，xyz，…在x，y，z中任意两个字母互换时，保持不变. 这样的多项式称为x，y，z的对称式. 轮换式：关于x，y，z的多项式x＋y＋z，x2＋y2＋z2，xy＋yz＋zx，x3＋y3＋z3，x2y＋y2z＋z2x，xy2＋yz2＋zx2，xyz，… 在将字母x，y，z轮换（即将x换成y，y换成z，z换成x）时，保持不变. 这样的多项式称为x，y，z的轮换式.显然，关于x，y，z的对称式一定是x，y，z的轮换式，但是，关于x，y，z的轮换式不一定是对称式. 例如，x2y＋y2z＋z2x就不是对称式. 次数低于3的轮换式同时也是对称式. 两个轮换式（对称式）的和，差，积，商（假定被除式能被除式整除）仍然是轮换式（对称式），同时如果一个轮换式可以分解因式，那么分解因式结果中的所有因式都是轮换式.特别地，齐次轮换式四则运算 的结果仍然是齐次轮换式，同时齐次轮换式因式分解的结果也都是齐次轮换式. 基本轮换式: 一次基本轮换式有: x＋y＋z； 二次基本轮换式有: x2＋y2＋z2，xy＋yz＋zx； 三次基本轮换式有：x3＋y3＋z3，x2y＋y2z＋z2x，xy2＋yz2＋zx2，xyz. 每个轮换式都可以写成不高于它次数的基本轮换式的线性和. 【例1】分解因式：a3＋b3＋c3－3abc 【解析】原式为关于a，b，c的三次齐次式，故必能分解为一个一次式与二次式的乘积， 设原式＝(a＋b＋c)[k(a2＋b2＋c2)＋l(ab＋bc＋ac)]，对比系数可知k＝1，l＝－1， ∴原式＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ac) 【例2】分解因式：x2(y－z)＋y2(z－x)＋z2(x－y). 【解析】原式是关于x，y，z的轮换式. 若将原式视为关于x的多项式，则当x＝y时，原式＝0，所以 x－y是原式的因式，又由于轮换式的特性，所以y－z，z－x也为原式的因式.所以 x2(y－z)＋y2(z－x)＋z2(x－y)＝k(x－y)(y－z)(z－x) 对比等式两边的x2y的系数，可知k＝－1，所以 x2(y－z)＋y2(z－x)＋z2(x－y)＝－(x－y)(y－z)(z－x) 【例3】分解因式：(y－z)5＋(z－x)5＋(x－y)5 【解析】类似之前的例题可知(x－y)(y－z)(z－x)是原式的因式. 因为原式是五次的轮换式，而(x－y)(y－z)(z－x)是三次式，所以需要添加二次齐次轮换式， (y－z)5＋(z－x)5＋(x－y)5＝[l(x2＋y2＋z2)＋m(xy＋yz＋zx)] (x－y)(y－z)(z－x) 令x＝2, y＝1, z＝0 可得， 5l＋2m＝15 ① 再令;x＝l，y＝0，z＝－1可得 2l－m＝l5 ② 由①，②可知l＝5，m＝－5 ∴(y－z)5＋(z－x)5＋(x－y)5＝[5(x2＋y2＋z2)－5(xy＋yz＋zx)] (x－y)(y－z)(z－x) ＝5(x－y)(y－z)(z－x) (x2＋y2＋z2－xy－yz－xz)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.
二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.
对称式的因式分解
在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.
例7分解因式x4+(x+y)4+y4
分析这是一个二元对称式,二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.
解∵x4+y4
=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2
=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2.
∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4
=2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2
=2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2]
=2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2,
例8分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b).
此题中若将式中的b换成a,c换成b,a换成c,即为c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不变,这类多项式称为关于a、b、c的轮换对称式，轮换对称式的因式分解，用因式定理及待定系数法比较简单，下面先粗略介绍一下因式定理，为了叙述方便先引入符号f(x)、f(a)如对一元多项式3x2-5x-2可记作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示当x=a时多项式的值，如x=1时多项式3x2-5x-2的值为f(1)=3×12-5×1-2=-4,当x=2时多项式3x2-5x-2的值为f(2)=3×22-5×2-2=0.
因式定理如果x=a时多项式f(x)的值为零,即f(a)=0,则f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式).
如多项式f(x)=3x2-5x-2,当x=2时,f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事实上
f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2).
证明设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,
若f(a)=0,则
f(x)=f(x)-f(a)
=(anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0)
=(anan+an-1an-1+…+a1a+a0)
=an(xn-an)+an-1(xn-1-an-1)+…+a1(x-a),
由于(x-a)|(xn-an),(x-a)|(xn-1-an-1),…,(x-a)|(x-a),
∴(x-a)|f(x),
对于多元多项式,在使用因式定理时可以确定一个主元,而将其它的元看成确定的数来处理.
现在我们用因式定理来解例8.
解这是一个含有a、b、c三个字母的三次多项式，现以a为主元，设
f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知当a=b和a=c时，都有f(a)=0,故a-b和a-c 是多项式的因式，而视b为主元时，同理可知b-c也是多项式的因式，而三次多项式至多有三个因式故可设a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中k为待定系数，令a=0,b=1,c=-1可得k=-1.
∴a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)
=-(a-b)(b-c)(c-a).
例9分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).
分析这是一个关于a、b、c的四次齐次轮换多项式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a是多项式的三个因式，而四次多项式还有一个因式，由轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c，故可设
a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中k为待定系数），取，a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以
原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).。