常微分方程求解的高阶方法毕业论文
变系数高阶非线性常微分方程组的求解
变系数高阶非线性常微分方程组的求解高阶非线性常微分方程组是一类常见的数学问题，其求解相对复杂且困难。
在本文中，将介绍高阶非线性常微分方程组的求解方法，包括常微分方程组的基本概念、求解思路和常用的数值解法。
一、常微分方程组的基本概念常微分方程组是由多个未知函数及其导数构成的方程组。
一般形式如下：'''F(x, y, y', ..., y^(n)) = 0,'''其中 x 是自变量，y 是一维或多维向量函数，y' 是 y 对 x 的一阶导数，y^(n) 是y 对 x 的 n 阶导数。
二、求解思路对于高阶非线性常微分方程组的求解，可以采取以下基本思路：1. 将高阶微分方程组转化为一阶微分方程组，常用方法是引入新的变量，将高阶导数转化为一阶导数的形式。
2. 采用数值方法求解一阶微分方程组。
常用的数值方法如欧拉法、龙格-库塔法等。
3. 可以通过变换将非线性常微分方程组线性化，进而求解出线性常微分方程组。
常用的方法有变换解法和相似变换法。
4. 使用符号计算工具进行求解。
现在有很多符号计算软件，如Mathematica、Maple 等，可以通过输入方程组的符号形式，求解出方程的解析解。
三、数值解法对于高阶非线性常微分方程组，数值解法是仅仅通过计算机运算来近似求解方程的解。
以下介绍常用的数值解法：1. 欧拉法：欧拉法是最简单的一种数值解法。
它利用一阶导数的定义，将微分方程离散化为有限步长的近似计算。
2. 龙格-库塔法：龙格-库塔法是一种常用的数值解法，通过递推计算，可以获得比欧拉法更高阶的数值解。
常用的有二阶和四阶的龙格-库塔法。
3. 改进的欧拉法：改进的欧拉法在欧拉法的基础上进行了改进，提高了数值解的精度。
常用的有改进的欧拉法和龙格-库塔法。
四、符号计算解法符号计算软件可以通过输入方程组的符号形式，求解出方程组的解析解。
以下介绍常用的符号计算解法：2. 手工计算：对于简单的方程组，可以通过代数运算和微积分知识进行手工计算，推导方程组的解析解。
微分方程论文
常微分方程的积分因子每一个微分方程转化为恰当方程之后，可以运用恰当方程的公式进行求解，因此转化成恰当方程是求解微分方程的重要步骤，转化成恰当方程需要求解出积分因子，因此积分因子的求解变得非常重要。
课本中只介绍了仅关于x 或仅关于y 的积分因子，这还远远不够。
此论文主要研究几类微分方程积分因子的求法，从而使微分方程的求解变得较简便。
积分因子的定义：若对于一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=其中(),M x y ，(),N x y 在矩形域内是,x y 的连续函数，且有连续的一阶偏导数．若存在连续可微的函数(),0x y μ≠，使得()()()(),,,,0x y M x y dx x y N x y dy μμ+≡，为一恰当方程，即存在函数V ，使Mdx Ndy dV μμ+=． 则称(),x y μ为方程（1）的积分因子．通过计算可得，函数(),x y μ为0Mdx Ndy +=积分因子的充要条件为：()()M N x y μμ∂∂=∂∂，即M N NM x y y x μμμ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 1.1、定义1 若方程 0),(),(=+dy y x N dx y x M (1) 的左端恰好是某个二元函数),(y x u 的全微分，则称(1)式为恰当微分方程. 1.2、定义2 如果存在连续可微的函数μ=0),(≠y x μ，使得 ),(y x μdx y x M ),(+ ),(y x μdy y x N ),(=0 为一恰当微分方程，即存在函数v ，使dv Ndy Mdx ≡+μμ， 则称),(y x μ为方程(1)的积分因子.1.3 、定义3 函数),(y x μ为(1)的积分因子的充要条件是y M ∂∂)(μ=x N ∂∂)(μ，即是μμμ)(x Ny M y M xN ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ 2.1 结论1：方程（1）具有积分因子μ=)(y x ±μ的充要条件为1))((-∂∂-∂∂M N x Ny M =)(y x F ±积分因子为μ=⎰±±)()(y x d y x F e证明：""⇒设μ=)(y x ±μ为方程的积分因子，y x t +=，则dt d y t x μμμμ=∂∂∂∂=∂∂,（2）由(1)得 x N yM ∂∂-∂∂=dt d M N y x μμ)()(1-+ ∴M N xNy M -∂∂-∂∂=dt d y x μμ)(1+≡)(y x F +∴1))((--∂∂-∂∂M N x Ny M =)(y x F +为方程具有形如)(y x ±μ积分因子的必要条件. ""⇐ 若M N xN y M -∂∂-∂∂≡)(y x F + 取μ=⎰++)()(y x d y x F e 则有x NyM ∂∂-∂∂≡)(y x F +)(M N - 即x N N y x F y x MF y M ∂∂++≡++∂∂)()(,两边乘以μ且由（2），得 μμμ)(x N y M y M x N∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ 即y M ∂∂)(μ=x N ∂∂)(μ⇒μ为原方程的积分因子.同理得1))((-+∂∂-∂∂M N x Ny M =)(y x f -命题得证。
常微分论文——精选推荐
论文题目：常微分方程的最大值原理及应用班级：信计10-1班**：***学号：**********微分方程的最大值原理及应用摘要最大值原理是微分方程研究中应用最广而且最为人们熟知的工具之一，它在物理、力学和工程技术中有着广泛的应用。
简要地说，微分方程最大值原理就是对于某些类型的微分方程的解必在所定义的空间或时间边界上取得最大值。
常微分方程、椭圆型偏微分方程和抛物型偏微分方程相关的定解问题的解在一定条件下通常都满足最大值原理。
因此，研究最值原理在何种情况下成立是一个十分具有理论价值和应用价值的重要问题。
微分方程最大值的讨论主要包括常微分方程、抛物偏微分方程、椭圆偏微分方程的最大值原理。
本文主要讨论微分方程中有关常微分方程的最大值原理。
讨论常微分方程的最大值原理，它涉及到二阶常微分方程，并在此基础上深入讨论了广义最大值原理，给出了六个与最大值原理有关的定理和一些简单的推论。
常微分方程的最大值原理及应用1一维最大值原理我们知道，闭区间[,]a b 上连续的函数()u x 必在该区间的某一点处取得它的最大值。
容易发现以下事实：如果函数()u x 在区间[,]a b 上有连续的二阶导数，而且存在(,)c a b ∈，使得()u x 在点c 处取得最大值，则有'()0,u c = ''()0u c ≤， （2.1）假设在开区间),(b a 内，()g x 是有界函数，且函数()u x 满足[]''()()'()0L u u x g x u x ≡+>，（2.2） 的微分不等式，那么，在),(b a 中的任何点c 关系式（2.1）不能成立。
因此满足微分不等式（2.2）的函数()u x 在闭区间[,]a b 的最大植必在区间的边界（端点）处取得。
这一事实为常微分方程的最大值原理最简单的情形。
在（2.2）中要求不等式严格成立，在微分方程的研究和应用中，这样的要求太强了。
关于高阶微分方程的解法
关于高阶微分方程的解法微积分作为数学的一个分支，是许多领域不可或缺的基础学科。
其中微分方程作为微积分的重要内容，在自然科学和工程技术领域中应用广泛。
高阶微分方程是微分方程理论中最基本的部分之一，它的解法十分重要。
一阶微分方程的解法较为简单，但是对于高阶微分方程，往往需要更多的数学工具和技巧才能解决。
常见的高阶微分方程有二阶、三阶和四阶，其解法常常依据微分方程的特点来进行分类。
一、二阶微分方程的解法：在二阶微分方程中，方程中最高阶的导数项是二阶导数，通常表示为y''。
二阶微分方程的解法分为三类：常系数线性齐次方程、常系数线性非齐次方程和变系数线性齐次方程。
（1）常系数线性齐次方程y''+by'+cy=0其中，b和c为常数。
这类方程的特征方程为λ^2+bλ+c=0特征方程的两个根分别为：λ1=(-b+√(b^2-4ac))/2aλ2=(-b-√(b^2-4ac))/2a考虑根的情况：①当根为实数且不相等时，方程的通解为y=c1e^λ1x+c2e^λ2x。
②当根为实数且相等时，方程的通解为y=(c1+c2x)e^λx。
③当根为虚数时，解可以表示为y=e^ax[c1cos(bx)+c2sin(bx)]，其中a 为实部，b为虚部。
（2）常系数线性非齐次方程y''+by'+cy=f(x)这类方程的通解由齐次方程的通解和非齐次线性方程的一个特解相加得到。
（3）变系数线性齐次方程y''+p(x)y'+q(x)y=0这类方程的解法依赖于特殊函数及其性质，在现代数学中有广泛的应用。
例如，Bessel函数、Legendre函数以及超几何函数等。
二、三阶微分方程的解法：三阶微分方程是一种常见的高阶微分方程，由三个未知函数组成。
这种情况下，解决方程的方法可能涉及到不同变量的分离、非线性变换、特殊函数等方法。
（1）三阶常系数齐次方程y'''+by''+cy'+dy=0通常采用特征根法将此类方程转换成某种代数形式的方程和其解法。
变系数高阶非线性常微分方程组的求解
变系数高阶非线性常微分方程组的求解变系数高阶非线性常微分方程组的求解是微分方程理论中的一个重要研究领域。
这类方程组在物理、工程、生物等领域中具有广泛的应用，并且具有较高的理论和实际意义。
本文将介绍变系数高阶非线性常微分方程组的一般形式、求解方法以及具体的应用实例，旨在为读者提供对这一领域的深入了解。
变系数高阶非线性常微分方程组一般具有以下形式：x(t) = (x1(t), x2(t), ..., xn(t))T 是未知函数的向量，t是自变量，f(t, x, x', x'', ..., x(n))是已知函数。
n是方程组的阶数，Ai(t)、Bi(t)、Ci(t)是关于t的系数函数，fi(t,x,x',...,x(n))是非线性函数。
这种形式的方程组具有较高的复杂性，求解常常需要借助于数值方法或者特殊的变量变换。
下面将介绍几种典型的求解方法。
1. 变量分离法变量分离法是一种经典的求解常微分方程的方法，对于一些特殊的高阶非线性常微分方程组同样适用。
通过适当的变量变换，将方程组化为一般的形式，然后进行积分即可得到方程的解。
变量分离法的求解过程相对简单，但并不适用于所有的情况。
2.级数法级数法是一种通过级数展开来求解微分方程的方法，对于某些非线性的高阶微分方程组有比较好的适用性。
通过将未知函数展开为幂级数的形式，然后代入原方程组，通过比较同次幂系数的方法可以求得未知函数的近似解。
3.数值方法对于一般的高阶非线性常微分方程组，往往难以通过解析的方法求得解析解。
此时，可以采用数值方法进行求解，如欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法通过离散化微分方程，将微分方程转化为差分方程，然后利用计算机进行数值计算，得到微分方程的近似解。
除了上述介绍的求解方法，还有很多其他的特殊方法，如对称约化法、孤立波解法等。
这些方法都是在特定条件下有效的，需要根据具体的情况选取合适的求解方法。
1. 非线性振动方程在物理学中，非线性振动方程是一个广泛研究的问题。
高阶微分方程
高阶微分方程高阶微分方程是微积分学中的一个重要分支，研究的是含有未知函数及其导数的方程。
它在数学和工程领域中有着广泛的应用和重要性。
本文将对高阶微分方程的概念、求解方法和应用进行介绍。
1.概念高阶微分方程是指方程中的未知函数的最高阶导数大于等于2的微分方程。
一般形式为：$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$，其中$y$是未知函数，$y^{(n)}$表示它的$n$阶导数，$F$是一个关于$x,y,y',y'',...,y^{(n)}$的函数。
高阶微分方程可以是线性或非线性的，可以是常系数或变系数的。
2.求解方法求解高阶微分方程的方法多种多样，常见的方法有特征根法、常数变易法、级数法等。
下面以特征根法为例进行说明。
特征根法适用于线性常系数高阶齐次微分方程。
首先假设$y=e^{mx}$是方程的一个解，代入原方程得到特征方程$F(m)=0$，然后求解特征方程，得到特征根$r_1,r_2,...,r_n$。
根据特征根的性质，可得到方程的通解形式$y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}+...+c_ne^{r_nx}$，其中$c_1,c_2,...,c_n$为待定常数。
通过给定的初始条件，可以确定常数的值，从而得到特定的解。
除了特征根法，我们还可以使用常数变易法和级数法等方法来求解高阶微分方程。
不同的方程形式和初始条件可能会适合不同的方法，选择合适的方法是解决高阶微分方程的关键。
3.应用高阶微分方程在许多科学和工程问题中都有着广泛应用。
例如，在物理学中，牛顿第二定律可以通过二阶微分方程来描述物体的运动。
在电路分析中，电感电容电阻（RLC）电路可以通过二阶微分方程来描述电压和电流的变化。
在工程中，高阶微分方程经常出现在振动系统、控制系统和信号处理等领域。
总结高阶微分方程是微积分学中的一个重要分支，研究的是含有未知函数及其导数的方程。
常微分方程小论文-一阶微分方程的应用
一阶微分方程的应用...(...计算机学院，...1201)摘要：学习数学知识最重要的一点就是应用，文章通过对一阶微分方程的典型例题的讲解总结出解决一阶微分方程应用的一般方法。
关键词：一阶微分方程；应用；方法1 引言在学习微分方程的过程中，我们通常把自己的注意力集中到了怎么去解那些微分方程，而有意无意地忽略了一些微分方程的应用。
的确，复杂多变的微分方程的解法是学习微分方程的一个重要点，但是，我们不能忘了，任何数学知识的学习都是为了应用，虽然一些常微分方程的应用可能解起来比较简单，但是，构造模型的第一步却是对于一些人来说比较困难的。
有一些人对于解各种微分方程得心应手，但是一遇到常微分方程的应用就不知道从哪里下手。
下面，我们通过几个常微分方程的经典应用题来总结一下解决常微分方程应用的一般方法。
2 几个常微分方程应用的典型例题2.1容易建模，但是需要我们知道些基本的其它科目的知识(书本P94 第六题)一个质量为m的物体，在介质中静止下落。
设介质阻力与运动速度成正比，并且介质的比重是物体的比重的,落体的极限速度是24m/s.试求该物体3s末的速度和运动过的距离。
分析：这种类型的题目在高中的物理里面经常接触过，所以建立模型比较简单。
解: 由于介质阻力与速度呈正比，所以，设阻力f = kv。
由ma = F可知，.因为极限速度为24m/s，此时加速度为0，即，所以,物体静止下落，我们又可以得到初始条件，。
所以，我们可以得到：到现在，条件足够了，显然，这是一个变量可分离的方程，代入数据我们可最终求得：，.小结：这类题目是我们所接触的最简单的常微分方程应用的一种类型，因为这些题目很容易让我们抓住关系，因为以前高中的时候做的多了，唯一需要注意的是这类题目一般要求一些简单的物理知识，比如说F = ma,由比如说在介质中重力加速度的变化，如果这类额外的知识我们能够掌握了，那解题就不在话下了。
2.2题目中会告诉我们模型的建立方法物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温度差成比例，假设室温为20时，一物体由100冷却到60需经过20分钟，试问共经过多少时间方可使此物体的温度从开始的100降低到30？分析：题目简单，因为题目的第一句话已经告诉了我们模型的建立方法。
变系数高阶非线性常微分方程组的求解
变系数高阶非线性常微分方程组的求解
高阶非线性常微分方程组是指同时包含多个高阶导数的常微分方程组，且方程中的系数和未知函数均为非线性函数。
求解高阶非线性常微分方程组是微分方程领域的重要问题之一，其解的存在性、唯一性和稳定性研究着人们的目光。
对于高阶非线性常微分方程组，求解的一般思路有两种：直接法和逐步归递法。
直接法即将方程组直接进行求解，而逐步归递法则将高阶方程组转化为一阶方程组，按照逐步积分的方式来求解。
在直接法中，第一步是将高阶方程组转化为一阶方程组。
假设我们要求解一个n阶的非线性方程组，首先我们将每个高阶导数表示为一阶导数。
令y=Y，y'=Y1，
y''=Y2，......，y(n)=Yn，将这些导数带入原方程组，得到n个一阶方程。
然后可以利用牛顿法或者其他数值方法求解这个一阶方程组，从而得到原方程组的解。
无论是直接法还是逐步归递法，求解高阶非线性常微分方程组都是一项极为复杂的工作。
在某些情况下，我们可以利用对称性、奇偶性等特殊性质来简化方程组的形式，从而简化求解过程。
数值解法也是解决高阶非线性常微分方程组的一种有效途径。
求解高阶非线性常微分方程组是一个具有挑战性的问题。
无论采用何种方法，都需要充分理解方程组的性质和特点，灵活应用数学方法以及编程技巧，并具有较强的数学思维和分析能力。
只有通过不断深入研究和探索，才能解决这一难题，为数学和科学的发展贡献自己的力量。
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常微分方程求解的高阶方法毕业论文安徽大学江淮学院本科毕业论文（设计）题目：常微分方程求解的高阶方法学生姓名：圣近学号：JB074219院（系）：计算机科学与技术专业：计算机科学与技术入学时间：2007年9月导师姓名：汪继文职称/学位：教授导师所在单位：安徽大学计算机科学与技术学院常微分方程的高精度求解方法摘要本文主要讨论了常微分方程的高精度求解方法的相关解法问题。
文章首先案例引入微分方程概念，然后给出了微分方程的基本概念。
科学和工程中建立数学模型时常用到微分方程。
由于它们通常没有已知的解析解，因而需要求其数值近似解。
先从常微分方程解析解法出发，分析解析解法在实际运用中的局限性，引入常微分方程的数值解法，呈现常微分方程数值求解的三个步骤：将问题离散化，建立或寻找一个递推格式，按步进方式计算。
再从对精度需求出发从低阶数值方法到高阶数值方法进行逐步的探讨，分析各种方法的数学原理，阐述其推导方法，比较不同方法的优缺点，重点介绍实用的龙格—库塔方法、欧拉方法、休恩方法、泰勒级数法和预报—校正方法，并以编写相应程序作总结。
最后，再讨论高阶常微分方程和一阶常微分方程组：一般的高阶常微分方程都可以通过相应的变量代换转化为一阶常微分方程组，一阶常微分方程的初值问题求数值解与一阶常微分方程的初值问题求数值解的方法基本相同。
关键词：龙格—库塔方法；欧拉方法；休恩方法；泰勒级数法；预报—校正方法；High accuracy method for solvingordinary differential equationsAbstractThis paper discusses the accuracy method for solving ordinary differential equations related to solution problems. The article first case to introduce the concept of differential equations, and then gives the basic concepts of differential equations. Science and engineering often use a mathematical model equations. As they often do not have known analytic solution, and thus demand for its numerical approximate solution. Start with the analytical solution of ordinary differential equations, analyzes the analytical solution of the limitations in the practical application, the introduction of numerical solution of ordinary differential equations, numerical solution of ordinary differential equations presented in three steps: discretization of the problem, create or find arecursive format is calculatedby step. Starting from the demand for accuracy andthen from low to high numerical method of step bystep numerical method to analyze various methods of mathematical theory to explain their derivation, compare the advantages and disadvantages of different methods, focusing on practical Runge - Kutta method, Euler method, Bethune method, Taylor series method and prediction- correction methods, and procedures for the preparation of the corresponding summary. Finally, discuss the higher order ordinary differential equations and first order ordinary differential equations: general higher order ordinary differential equations can be substitutedby the corresponding variable into a first-order ordinary differential equations, first order initial value problems for ordinary differential equations numerical solution with aninitial value problem of differential equation numerical solution method is basically the same.Keywords: Runge - Kutta methods; Euler method; Huon method; Taylor series method; prediction - correction;目录第一章前言 (1)1.1案例引入微分方程概念 (1)1.2微分方程的基本概念 (1)1.2.1微分方程及微分方程的阶 (1)1.2.2微分方程的解、通解与特解 (1)1.2.3微分方程的初值条件及其提法 (2)1.2.4微分方程的解的几何意义 (2)1.3从解析方法到数值方法概述 (3)1.4常温分方程的离散化 (4)第二章数值解法公共程序模块分析 (5)第三章欧拉（Euler）方法 (7)3.1 Euler方法思想 (7)3.2 Euler方法的误差估计 (8)3.3改进的Euler方法 (9)3.3.1梯形公式 (9)3.3.2改进Euler法 (9)第四章休恩方法 (10)4.1 休恩方法思想 (10)4.2休恩方法的步长和误差 (11)第五章泰勒级数法 (12)5.1泰勒定理 (12)5.2 N次泰勒方法 (13)第六章龙格-库塔（Runge—Kutta法） (14)6.1龙格-库塔（Runge—Kutta）方法基本思想 (14)6.2 阶龙格-库塔（Runge—Kutta）方法公式 (15)第七章预报-校正方法 (16)7.1 Milne-Simpon方法 (16)7.2误差估计于校正 (17)7.3 正确的步长 (18)第八章一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法 (18)8.1 一阶微分方程组的数值解法 (18)8.2 高阶微分方程的数值解法 (19)第九章常微分方程模型数值解法在数学建模中的应用 (20)9.1耐用消费新产品的销售规律模型 (20)9.1.1 问题的提出 (20)9.1.2 模型的构建 (20)9.1.3 模型的求解 (21)9.2 司机饮酒驾车防避模型的数值解法 (22)9.2.1 模型假设 (23)9.2.2 模型建立 (24)9.2.3 模型求解 (26)9.2.4 模型评价 (27)9.2.5 诚恳建议 (28)9.2.6 模型推广 (28)主要参考文献 (29)致谢 (29)第一章 前 言1.1案例引入微分方程概念在科技、工程、经济管理、生态、生态、刑侦等各个领域微分方程有着广泛的应用。
我们看一实例。
案例：一次谋杀案，在某天下午四点发现尸体，尸体的体温为30℃，假设当时屋内空间的温度保护20℃不变，现判断谋杀是何时发生的？解决此问题首先必须要从尸体温度的变化寻求关系式，这就需要知道物理学中的加热与冷却规律。
物理学家牛顿（Newton ）曾提出，一块热的物体，其温度下降的速度是与它自身温度的差值成正比。
同样，一块冷的物体，其温度上升的速度是与他自身温度同外界温度的差值成正比。
据此我们可找到温度与时间之间的函数关系式，这事实上就是一个微分方程的建立问题。
再如传染病传染问题（人口增长模型问题）也要用到微分方程的知识。
通过求解微分方程，可以得到所需求的函数。
1.2微分方程的基本概念1.2.1微分方程及微分方程的阶含未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程；未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方；2d 3d (1.1)y x x =，22d (1.2)d s g t = (1.1)和(1.5)式均是微分方程.微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶.微分方程(1.1)是一阶的，微分方程(1.2)是二阶的.1.2.2微分方程的解、通解与特解能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程的解.例如3y x c =+和3y x 1=+都是3dy 3x dx =的解.又如 21212C t C gt s ++=和212s gt =都是22d d s g t =的解.如果微分方程的解中含任意常数,且独立的(即不可合并而使个数减少的)任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解为微分方程的通解.不包含任意常数的解为微分方程特解.1.2.3微分方程的初值条件及其提法用以确定微分方程解中任意常数的特定条件，称为微分方程的初值条件. 初值条件的提法：当x=x 0时，y=y 0，1.2.4微分方程的解的几何意义.微分方程的解的图形称为微分方程的积分曲线.通解的图形是一族积分曲线， 3C x y +=例如.d 3d 2的通解是x x y =.d d 22的通解是g t s = 21212C t C gt s ++=又如 13+=x y 例如.d 3d 2的特解是x x y =221gt s =又如.d d 22的特解是g t s =.,,,)( ,| )( ,| 00000000000都是已知值其中或，或记作y'y x y'x y'y'y'y x y y y x x x x ======.)(,)( )()1(00)1(0000--===n n y x y y'x y'y x y n n ，，个初值条件：阶微分方程需给出一般地，对于称为微分方程的积分曲线族.微分方程的某个特解的图形就是积分曲线族中满足给定初值条件的某一特定的积分曲线.2212120e e () 40 (1.3) 0, 1 (1.4x x x x y C C C C y"y y y'-===+-===验证函数，为任意常数是二阶微分方程的通解，并求此微分方程满足初值条件：).的特解，得，分别求一阶及二阶导数将函数xxx x C C y'C C y 22212221e 2e 2 e e ---=+=，x x C C y"2221e 4e 4-+=22221212(1.3) 44e 4e4e 4exxx xy"y C C C C ---=+--=把它们代入微分方程的左端，得所以函数x x C C y 2221e e -+=是所给微分方程(1.3)的解.又因为这个解中含有两个独立的任意常数，任意常数的个数与微分方程(1.3)的阶数相同，所以它是该方程的通解.22122212(1.4):0'1 e e '2e 2e x x x x xxyy y C C y C C ==--===+=-把式中的条件“”及“”分别代入及中，得.41411220212121-==⎩⎨⎧=-=+C C C C C C ，解得，，).e e (4122x x y --=初值条件的特解为于是所求微分方程满足1.3从解析方法到数值方法概述求解常微分方程的解析方法很多，像变量分离法，积分因子法，遗憾的是实际上得到的大部分常微分方程都不能使用这些理论上的方法。