浅谈同余及其应用
同余方程的求解问题
同余方程的求解问题同余方程是数论中一个重要的概念，它经常出现在代数、密码学、计算机科学等领域。
同余方程求解的问题也是数学界广泛关注的一个研究方向。
本文将介绍同余方程的基本概念、求解方法和一些应用。
一、同余方程的基本概念同余方程是指形如“ax ≡ b (mod n)”的方程，其中a、b、n都是整数，x是未知数。
符号“≡”表示同余关系，即两个数除以一个正整数所得到的余数相等。
如果a、b、n满足一定条件，那么方程“ax ≡ b (mod n)”就有解。
二、同余方程的求解方法1. 列出同余方程首先需要将题目中给出的同余方程写成标准形式。
“ax ≡ b (mod n)”中，a必须是正整数，n必须是正整数且大于1，b可以是任意整数。
2. 确定最大公约数gcd(a, n)用辗转相除法求出a和n的最大公约数gcd(a, n)。
如果gcd(a, n)不等于1，那么同余方程无解；否则，它有解。
3. 求出特解根据扩展欧几里得算法，求出一个x0值和一个y0值，使得ax0 +ny0 = 1。
那么，ax0 ≡ 1 (mod n)。
通过将等式两边同时乘以b，得到abx0 ≡ b (mod n)。
因此，x = bx0是同余方程的一个特解。
4. 求出通解同余方程的通解为：x ≡ bx0 + kn，其中k为任意整数。
因此，同余方程有无穷多个解。
三、同余方程的应用1. 进行密码加密同余方程可以用于密码学中信息的加密和解密。
某些密码算法使用了求解同余方程的思想，如RSA加密算法、古典密码的变种等。
2. 求解中国剩余定理中国剩余定理可以用同余方程求解。
这个问题可以归结为一组同余方程的求解问题，使用同余方程求解算法可以非常高效地解决中国剩余定理问题。
3. 优化计算机算法在计算机科学和信息工程领域中，同余方程也有重要的应用。
例如，在编写程序时，如何通过一些特定的处理，让计算机能够更快地求解同余方程，加快程序的执行速度是一个重要的研究问题。
结语同余方程的求解问题是数学领域广泛关注的一个重要研究领域。
同余方程在数论中的应用解析
同余方程在数论中的应用解析同余方程是数论中一个重要的概念，它在解决很多数学问题中起着关键作用。
它的应用涉及到数论的诸多领域，如同余定理、模运算、密码学等。
本文将从数论的角度出发，对同余方程在数论中的应用进行一番解析。
首先，我们来了解一下同余方程的概念。
同余方程是指两个整数之间满足模同余的关系，即模一个固定的数时，它们的余数相等。
比如，对于整数a和b，若a-b能被m整除，我们可以表示为a≡b (mod m)，其中≡表示模同余关系，mod表示取模运算。
同余方程可以用来描述两个数之间的关系，并在数论中发挥重要作用。
在数论中，同余方程有很多应用。
首先，同余方程与同余定理密切相关。
同余定理是一种用于处理同余方程的重要工具。
根据同余定理，如果两个整数a和b在模m下的余数相等，则它们的和、积、幂等也在模m下具有相等的余数。
利用同余定理，我们可以解决一些整数方程、方程组以及一些特殊的数学问题。
其次，同余方程在模运算中有广泛的应用。
模运算是一种将数按照某一数值取模的运算。
同余方程可以用来求解模运算中的问题，如求模运算下的乘法逆元、模幂运算等。
模运算广泛应用于计算机科学、密码学等领域，通过同余方程的应用，我们可以实现密码的加密和解密，保证数据的安全性。
此外，同余方程也在数论中的素数检测以及素数生成中扮演着重要的角色。
素数是指只能被1和自身整除的数。
同余方程可以用来判断一个数是否为素数。
根据费马小定理，如果p是一个素数，a是任意与p互质的正整数，则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
根据这个性质，我们可以通过同余方程进行素性检测。
最后，同余方程还在数论中的循环小数表示、离散数学以及组合数学等领域发挥着重要作用。
循环小数是指一个有限小数部分和重复的无限循环部分组成的数。
同余方程可以用来分析循环小数的性质，如确定循环节的长度、循环节中的数字等。
此外，在离散数学和组合数学中，同余方程是探索数与数之间的整除关系、约数关系以及数列性质的重要工具。
同余的应用
225 ≡5 ≡- 636 (mod 641)
Ζ 29 ≡- 129 ≡512 = 29 (mod 641) .
证明 :由 29 ≡512 ≡- 129 (mod 641) ,则
211 ≡- 516 ≡125 (mod 641)
Ζ 213 ≡500 ≡- 141 (mod 641)
Ζ 215 ≡- 564 ≡77 (mod 641)
(1) m | ( a - b) ; (2) 存在整数 k ,使得 a - b = mk . 性质 2 若 a ≡x (mod m) , b ≡y (mod m) , 则 a + b ≡x + y (mod m) , ab ≡xy (mod m) ; 若 a ≡b (mod m) ,则 ak ≡bk (mod m) ; 更一般地 ,若 ai ≡bi (mod m) , x ≡y (mod m) , 则 ak xk + ak - 1 xk - 1 + …+ a1 x + a0 ≡bk yk + bk - 1 yk - 1 + …+ b1 y + b0 (mod m) . 性质 3 (1) 若 ac ≡bc (mod m) ,则
≡0
,1 ,3 (mod
5) .
这表明 ,棋子永远不能到达编号为 2 、4
的方格.
又第一次移动后到达方格 1 中 ,第二次
移动后到达方格 3 中 ,第四次移动后到达方
格 0 中 ,则棋子在移动过程中能到达编号为
0 、1 、3 的三个方格中.
2. 3 质数的判定
对于指数形式的数 ,或是用含有字母的
式子表示的数 ,判断其是否为质数 ,可选择适
4
对任何正整数 n ,设 n ≡r (mod 5) (0 ≤r
数论中的同余定理与同余方程的解法
数论中的同余定理与同余方程的解法数论是研究整数性质和整数运算规律的数学分支。
同余定理和同余方程是数论中重要的概念和工具。
本文将介绍同余定理的基本思想和应用，以及解决同余方程的常见方法。
一、同余定理同余是指两个整数除以同一个数所得的余数相等。
同余定理是数论中的一个基本理论，用于刻画整数之间的关系。
设a、b和n都是整数，n>0，我们称a与b关于模n同余，记作a≡b(mod n)，当且仅当n|(a-b)。
同余定理可以分为以下几条：1. 同余的基本性质（1）自反性：a≡a(mod n)（2）对称性：若a≡b(mod n)，则b≡a(mod n)（3）传递性：若a≡b(mod n)，b≡c(mod n)，则a≡c(mod n)2. 同余的运算性质（1）加法：若a≡b(mod n)，c≡d(mod n)，则a+c≡b+d(mod n)（2）减法：若a≡b(mod n)，c≡d(mod n)，则a-c≡b-d(mod n)（3）乘法：若a≡b(mod n)，c≡d(mod n)，则a*c≡b*d(mod n)3. 同余的整除性质若a≡b(mod n)，则m|a的充分必要条件是m|b。
同余定理不仅在数论中有重要应用，还广泛用于密码学、计算机科学等领域。
二、同余方程的解法同余方程是形如ax≡b(mod n)的方程，其中a、b和n为已知整数，x 为未知整数。
解同余方程可以通过以下几种方法：1. 借助同余定理直接解法：若gcd(a,n)|b，方程ax≡b(mod n)存在解。
具体解法为，求出gcd(a,n)的一个解d，然后将方程两边同时除以d，得到新方程a'x≡b' (mod n')，其中a'、b'和n'为新方程的系数，满足gcd(a',n')=1，然后再求解新方程，最后合并得到原方程的所有解。
2. 中国剩余定理：中国剩余定理是解决同余方程组的一种有效方法。
同余方程的求解方法与应用实例
同余方程的求解方法与应用实例同余方程是数学中的一类方程，是指形如x≡a (mod m)的方程，其中x是变量，a和m都是给定的整数。
在计算机科学中，同余方程经常被用来解决密码学和数据安全的问题。
因此，了解同余方程的求解方法和应用实例是非常重要的。
求解同余方程的方法1. 直接法：如果x和a都是已知的，那么只需要检查m是否整除x-a。
如果整除，那么x是同余方程的解。
例如，假设要求同余方程x≡5 (mod 7)的解。
我们可以尝试x=5, 12, 19, 26等等，直到发现其中有一个数是7的倍数。
显然，当x=12时，x-a=7，7是7的倍数，因此x=12是x≡5 (mod 7)的解。
2. 取模法：同余方程是模运算的基础，因此我们可以使用模运算进行同余方程的求解。
假设要求同余方程x≡a (mod m)的解，可以将其转化为x=a+k*m的形式。
由于同余方程的定义是x=a (mod m)，因此x和a在模m下应该是同余的。
因此，k*m是m的倍数，所以x-a必须是m的倍数。
因此，k=(x-a)/m就是同余方程的解。
例如，要求解x≡5 (mod 7)，可以将其转化为x=5+k*7的形式。
假设k=2，那么x=19就是同余方程的解。
3. 欧几里得算法：该算法也称为辗转相除法，是求两个整数的最大公约数的一种方法。
可以利用欧几里得算法来求解同余方程。
假设要求同余方程ax≡1 (mod m)的解，其中a和m是给定的整数，而且a和m互质。
首先利用欧几里得算法求出a和m的最大公约数d，然后检查1/d是否是a模m下的逆元。
如果是，那么同余方程的解是x= a⁻¹ (mod m)，否则没有解。
例如，我们要求解7x≡1 (mod 15)的解。
首先求7和15的最大公约数：gcd(7,15)=1。
然后检查1/7是否是15的逆元。
由于7*13≡1 (mod 15)，因此7的逆元是13。
因此，同余方程的解是x≡13 (mod 15)。
应用实例1. RSA算法：RSA算法是公钥加密算法的一种，它利用到了同余方程的性质。
谈同余理论在初等数学中的几点应用
谈同余理论在初等数学中的几点应用
同余理论是初等数学中的一种重要概念，可以被用来解决定义域范围内的各种问题。
本文将重点介绍其在初等数学中的几点应用。
首先，同余可以用来表示一组数据中的重复性，尤其是在形式上表现为有限多次方程的情况下，它可以帮助人们用简单的方法来解决问题。
比如对于一个有限的无向图G=(V,E)，它的节点数量恰当是n，那么它的节点序列就可以用同余表示，即 x=0,1,2,...,n-1这样每个节点就可以用它们的编号表示，以便后面更加方便地处理。
此外，同余也可以用于求解距离问题。
例如，假设有一个有n个点的无向图。
对于任意的i，j，它的距离可以表示为d(i,j)。
这可以用同余来表示，即 d(i,j) = (i-j) mod n 。
这样，一个完整的图的所有点之间的距离就可以用同余的方式来表示和求解。
最后，同余理论可以用来解决相关的运筹学问题。
例如，假设有n个点需要连接，每两个点之间的距离都可以表示为d(i,j)。
如果用同余表示法来连接所有的点，即用n步把所有点连接起来，每步两个点之间的距离都小于m，则可以用同余表示来表示最小路径支付金额。
总结而言，同余是初等数学中一种重要的原理，在表示重复性、求解距离问题和解决运筹学问题等方面都有着广泛的应用。
本文重点介绍了它在初等数学中的几点应用，以期对大家有所帮助。
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同余问题口诀的原理
同余问题口诀的原理（实用版）目录1.同余问题的定义与基本概念2.同余问题口诀的原理3.同余问题的解法及应用举例4.总结与拓展正文一、同余问题的定义与基本概念同余问题是指在模运算下，两个或多个整数之间的关系。
若整数 a、b 除以整数 m，所得的余数相同，则称 a、b 对模 m 同余。
同余关系用符号“≡”表示，如 a≡b(mod m)，读作“a 同余于 b 模 m”。
二、同余问题口诀的原理同余问题口诀，也被称为“同余定理”或“欧拉定理”，是数论中解决同余问题的重要方法。
其原理如下：若 a≡b(mod m)，则 a^φ(m)≡b^φ(m)(mod m)，其中φ(m) 表示模 m 的欧拉函数值，即小于等于 m 的与 m 互质的正整数的个数。
三、同余问题的解法及应用举例利用同余问题口诀，我们可以轻松地解决许多同余问题。
下面举一个典型的例子：问题：有一个自然数，用它分别去除 63、90、103，都有余数，且三个余数的和是 25。
这三个余数中最大的一个是多少？解：设这个自然数为 x，则根据题意可列出以下三个同余式：x ≡ 1 (mod 63)x ≡ 1 (mod 90)x ≡ 23 (mod 103)由同余问题口诀，我们有：x ≡ 1^φ(63) (mod 63)x ≡ 1^φ(90) (mod 90)x ≡ 23^φ(103) (mod 103)其中，φ(63) = 17，φ(90) = 18，φ(103) = 19。
因此，我们可以将原问题转化为求解以下三个同余式：x ≡ 1 (mod 63)x ≡ 1 (mod 90)x ≡ 23^19 (mod 103)解得 x = 63k + 1 = 90m + 1 = 103n + 23^19，其中 k、m、n 均为整数。
由于三个余数的和是 25，我们有：1 + 1 + 23^19 ≡ 25 (mod 103)即 23^19 ≡ 23 (mod 103)因此，最大的余数为 23。
浅谈同余理论的应用
浅谈同余理论的应用作者：武保强来源：《文理导航·教师论坛》2012年第10期在日常生活中，我们所要注意的不仅仅是某些整数，而是某些数用某一固定的数去除所得的余数。
例如：我们经常会问现在是几点钟了，这实际上就是用24去除某一个总的时数所得的余数，又如问现在是星期几，就是用7去除某一个总的天数所得的余数。
这样，在数学中就产生了同余的概念。
同余是可除性的符号语言，在西方是由高斯最先引进的。
他的名著《算术探究》奠定了近代数论的基础。
我们国家对同余式的研究有着光辉而悠久的历史。
如《孙子算经》中的“物不知其数”问题就是同余式研究的开始。
下面将着重介绍同余式在日常生活中的应用。
其中将用到同余的一些基本概念、基本性质，以及孙子定理等等知识来解决“物不知其数”问题，列举检查因数的方法以及在密码学上的简单应用。
定义 1：给定一个正整数m，把它叫做模。
如果用m去除任意两个整数a与b所得的余数相同，我们就说a，b对模m同余。
记作a≡b（mod m）。
如果余数不同，我们就说a，b对模m不同余。
定理 1：整数a，b对模m同余的充分与必要条件是m（a-b），即：a=b+mt，t是整数。
证明：设a=mq1+r1，b=mq2+r2，0≤r1若a≡b（mod m），则r1=r2，因此a-b=m（q1-q2）反之若m（a-b），则m[m（q1-q2）+（r1-r2）因此m（r1-r2），但r1-r2定理1说明同余这一概念又可定义如下：若m（a-b），则a，b叫做对模m同余。
一、“物不知其数”问题定理2（孙子定理）：设 m1，m2，…mk是k个两两互质的正整数。
m=m1m2…mk，m=miMi，i=1，2，…k，则同余式组x≡b1（mod m1），x≡b2（mod m2），…，x≡bk（mod mk）的解是：x≡M′1M1b1+M′2M2b2+M′kMkbk（mod m）其中M′1M1≡1（mod mi），i=1，2，…k这个方法与孙子的算法完全一致，它在国外文献中被称为中国剩余定理。
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揭阳职业技术学院毕业论文(设计)题目: 浅谈同余定理及其应用学生姓名黄指导教师某某某系(部) 师范教育系专业数学教育班级９９9 班学号 1１２１１2１１提交日期200 年月日答辩日期 20０年月日200 年月日浅谈同余定理及其应用摘要初等数论是研究数的规律,特别是整数性质的数学分支.它以算术方法为主要研究方法,在日常生活中，我们所要注意的常常不是某些整数,而是这些数用某一固定的数去除所得的余数。
同余理论是初等数论中的重要内容之一,其性质及应用研究已引起许多学者的关注.本文归纳总结了同余的若干性质,结合实例,探究了同余性质在检验、判断整除问题、求余数、判断合数、韩信点兵问题等方面的具体应用.体现了用同余性质解决问题的简洁性.关键词:同余整除余式方程绪论初等数论是研究整数性质的一门学科,它是数学中最古老的分支之一，内容极为丰富,曾被数学家说成是数学的皇后。
同余问题在当今中小学乃至大学的数学教学中都有涉及,它作为初等数论的核心内容之一,具有很强的应用价值，很多数学问题都要借助同余理论来解决。
同余的应用问题分为很多种类型，每种类型的题目又有一定的解题技巧。
掌握了这些题型的技巧，可以提高大家解决问题的能力。
本文基于对同余理论的理解,将应用同余理论解决的问题具体整理分类,从中分析出一些借助同余理论解题的技巧与规律。
现在初等数论中关于同余的内容主要包括:同余的定义及基本性质、剩余类与剩余系、欧拉定理、费马小定理、循环小数、一次同余方程及一次同余方程组。
到目前为止，古今中外很多学者与数学家,对同余的应用问题都有了一定的研究。
在中国，早在宋代,大数学家秦九韶所著的《数书九章》中就记载了求解同余方程的“大衍求一术”。
还有,著名的古代数学著作《孙子算经》中也记载能解决“物不知其数"问题的孙子定理,也被称作“中国剩余定理”。
以及“韩信点兵＂问题的研究,都为解决一次同余方程和同余方程组的问题带来了便利。
在西方，除了高斯引入同余的概念之外,欧拉和费马提出的定理也为解决同余的相关问题做出了重要的贡献.希望通过本文的研究能将同余理论的应用问题更加系统全面的展现出来.以便,今后大家在探究同余理论时，能对同余应用问题的类型和解决技巧有一个清晰的认识和理解，更好的解决相关问题。
1 相关性质定理[1］性质１同余是一种等价关系，即有:（１)反身性 a≡a(mod m）。
（2)对称性若ａ≡b(moｄ m）,则b≡a(mod ｍ)。
（3)传递性若a≡b(mod ｍ）, ｂ≡c（moｄ m),则a≡c(mod m)。
性质2同余式可以相加减,即若ａ≡ｂ(mod m）,c≡d(mｏd m)，则(1) a＋c≡ｂ＋d（ｍod m）。
（2） a－c≡b-d（ｍoｄｍ）.性质3同余式可以相乘，即有：(1) 若a ≡b(m ｏｄ m), ｃ为自然数， 则ａc ≡bc(ｍod ｍ）． (2） 若a ≡ｂ（mod m ）,c ≡d （ｍod m ），则ac ≡b ｄ(mod m ）. (3) 若a ≡b(mod m), n ≥2， 则ａn ≡b n （ｍo ｄ m ）。
性质4 若ac ≡bc （m ｏd ｍ），且（c ，m ）＝1,则有a ≡b （mod ｍ）.(其中（c ，ｍ)表示c 与m 的最大公约数)。
定理１ 整数a,b 对模ｍ同余的充分与必要条件是ｍ∣a-b ，即 ａ＝b+mt 。
(t 是整数。
)定理2 设a ＝11αp 22αp …kk p α，则)a （ϕ＝a （1－11p )（1-21p )…(1-kp 1)定理3 （Eule ｒ) 设m 是大于１的整数， (a,m ）＝１, 则a )m （ϕ≡１（mod ｍ),其中)m （ϕ为欧拉函数定理４ (Fer ｍat ） 若ｐ是素数，则a p ≡a(modp).。
证明以上三个定理：定理1证明: 设 a=mq 1＋r 1， ｂ=ｍq 2＋ｒ2， 0≤r １＜ｍ, 0≤r ２<m, 若a ≡b （ｍo ｄ m ）， 则r 1=r 2， 因此a －b ＝m ﹙ｑ1-q 2﹚.反之, 若 m ｜ a-b, 则m ｜ｍ﹙ｑ１－ｑ2﹚+﹙ｒ1－r 2﹚,因此 m | r １-r 2. 又 ｜ r 1－r 2 |<m ，故r 1=r 2定理3证明： 设a 1 a 2 … a )m （ϕ， 是mo ｄm 的一个简化剩余系, 且（a ,m)＝1，aa １ aa 2 … aa )m （ϕ也是mo ｄm 的一个简化剩余系. a 1 a 2，… ａ)m （ϕ,≡aa 1 a ａ2 … a ａ)m （ϕ (m ｏd ｍ) ＝a )m （ϕa 1 a ２ … a )m （ϕ（m ｏdm ）. 因此a )m （ϕ≡1（m ｏd ｍ）.定理4证明: 若(a ，ｐ)=１,则有ａｐ—１≡ａ（ｍodp ），因而a p ≡a （m ｏｄp ）.若(a ，ｐ)≠１,则p|a ，因而a p ≡0（modp), a ≡0(modp) 故ａp ≡a(modp ）2 同余性质的应用2。
１求余数问题2.1．１利用同余的性质及定理求余数例1：将从１开始的连续自然数依次写下来,一直写到2０0３成为一个多位数,123456…2002２００3，求这个数除以3的余数.解：由连续的３个自然数的和必能被3整除,而3|200１，（2+0+0+2+2+0+０＋３)≡0（ｍod3), 所以原多位数除以3余数为0例2:求201022001被3除所得的非负余数.解: 设２０102200１=３q+ｒ, 其中０≤ｒ<3，故r≡20１022001(ｍod3)且0≤r<3。
又20102=３×670＋２,所以2０102≡２(ｍｏd３）。
从而22０01≡220０0×２≡4１00０×2（mｏd3)而 220０1≡22０00×2≡４1０00×2(mod３)，４≡1(mod3)故 4１０00≡１(ｍod3) ，４1０00×2≡2 (ｍod3).从而 r≡２(mｏd3)。
而０≤r<3，故r=2.即 2０1０2２001除以3所得的余数为２．分析:此类题目解题的关键在于应用同余的乘方性,先求出底数2０１02对3的余数,再根据性质求出余数的２0０1次幂对3的余数即可例3：求437×３０9×1993被７除的余数．解：４７3≡３（mod7)309≡1(moｄ7)由＂同余的可乘性"知:43７×309≡3×1（mod7)≡3(moｄ７)又因为１993≡5(mod7）所以：437×309×１9９3≡3×5(mod7)≡15（mod7)≡１（mod7)即：437×3０９×19９３被7除余1。
分析：此类题目解题的关键在于应用同余的可乘性，分别求出每个因数对于7的余数,在相乘即可简单求出2。
１.2 求星期几问题求某年某月某日为星期几时,则令D=第N年m月ｄ日,，设Ｄ这一天为星期WＤW D ≡d+[51m 13-]＋ｙ+［4y ]＋[4c］+2c （ｍo ｄ7） 其中c,y 满足N=10０c+y,０≤y ≤１0０。
注意:算出的结果为1 至７，各代表星期一到星期日.例:1949年１０月1日是星期几？2。
1.3 尾数问题例１:求243402的末三位数?解:因为(２４3，１０0０）=１,()1000ϕ=10０0×﹙1- 21)（１－ 51）=400 由欧拉定理知,２4３40０ ≡1(mod1000)，故２43４0２≡2432≡49（mod1000）所以２４3402的末三位数为049.例2：求32０0１·7２002·１３2003的个位数字？ 解：应用欧拉定理,(３,10)=1,34≡1(mod １0)，则有３2０0１≡3４k+1≡3（mod １0)；同理,7４≡１(m ｏd10)， 72002≡74ｋ+２≡9(mod1０); 13４≡1(mod10),１32003≡134k ＋３≡７（ｍod1０）； 因3×７×9=１89,故个位数字为 9 。
分析:利用同余的性质,求一个数字的个位数字就是求其除以１0所得的余数, 同类题型的变换问法:求某数的末两位数字是多少?（模为100)２.2 同余在检验方面的应用2.2.１ 检查因数的一些方法[1]方法一： 一整数能被3（9)整除的必要且充分的条件是它的十进位数码的和能被3(9)整除。
证明：显然我们只须讨论任一正整数a 便可.把a 写成十进位数的形式: a=a n 10ｎ＋a n-1１0n －１+…+a 1×１0+a 0 ， 0≤a i ＜10。
因１0≡1（mod 3)，故由定理2得a≡a n +ａn －１＋…+a 1＋ａ0（m ｏd 3)。
由已知性质，即知3︱a 当且仅当3︱∑=ni 0a i 。
同法可得9︱a 当且仅当９︱∑=ni 0a i方法二： 设正整数a=a ｎ100０ｎ+a n －１1０00ｎ-1＋…＋a １×1000+a 0 ， 0≤a i 〈1000.则７(或11，或13）整除ａ的必要且充分的条件是7（或11或１３)整除（a 0+a ２+…）—（a 1+a 3＋…)=∑=ni 0（﹣1)i a i证明：因为１000与-1对模7（或1１或13）同余，故由定理知a 与∑=ni 0（﹣1）i a i对模７(或１1或１3）同余。
由已知性质,7(或11或13) 整除a 当且仅当7(或11或13）整除∑=ni 1（﹣1)i ａi2。
2。
2 弃九法[１]（假设我们由普遍乘法的运算方法求出整数a,b 的乘积是P ，并令 a=a n 1０n +ａn －１１０ｎ-1＋…＋a 1×10+ａ0 , 0≤ａi 〈１0。
b=b ｍ10m +b m-1１０m －1＋…+b 1×１0+b 0 ， ０≤b j 〈10。
Ｐ=c l １０ｌ＋c l-１１０l-1＋…＋c １×10+c 0 , ０≤c k <１０．我们说:如果(∑=ni 0a ｉ）（∑=mj 0b j )不同余于∑=lk ｃk (ｍｏd9）,那么所求得的乘积是错误的。
因为ａb≡(∑=ni 0a i )(∑=m j 0b j ）(mo ｄ９）,P≡ ∑=lk c k （mo ｄ9)。
若 (∑=ni 0a i ）(∑=mj 0b ｊ)不同余于∑=lk ｃk (ｍo ｄ9),则ａb 不同余Ｐ(ｍod ９）， 故ab 不是Ｐ。
2.２。
3 判定合数由费马定理可得推论如下若p 是素数，且(a,p ） ＝1，则a p －１≡１（ｍodp ）.利用推论可以判定一个数是否为合数,即若N 是我们要检验的数,先取某一个与N 互素并比N 小的数a ，通常合适的是把a 取为不能整除Ｎ的小素数,如ａ＝２， ａ＝3或a ＝5…… 如果N 是素数那么由推论它应该满足ａN-１≡1(mod Ｎ),因此如果验算这个同余不成立,我们就断言 Ｎ 是合数。