初等数论第一次作业
《初等数论》各章习题参考解答
3
1
48
，
在100! 的分解式中的指数
2
100!
100 2
100 4
100 8
100 16
100 64
50
25
12
6
1
94
，
100! 294 348 k 447 348 k 1247 3k,k, 6 1。
故 nmax 47 ， M min 3k ， k, 6 1。
k
+
1 位正整数，记其最左边
那一位数字为 a Î {2,5}，则 xk' + 1 = a´ 10k + xk' ，其中 xk' 是由 2 和 5 组成的十进制 k 位
正整数，由 2k+ 1
若 k = 轾犏臌3 n = 8 ，则 3创5 7篡8 n 840 n ，从而 k = 轾犏臌3 n 吵轾犏臌3 840 9 > 8 ，矛盾！
若 k = 7 ，则 3创4 5篡7 n 420 n ，但 n < 840 ，所以最大的正整数 n = 420 。
6.证明：当 n = 1 时，存在唯一的 x1 = 2 ，则有 21 x1 ；当 n = 2 时，存在唯一的 x2 = 52 ，有 22 x2 ；当 n = 3 时，存在唯一的 x3 = 552 ，有 23 x3 。
n 炒2a
3b 创5g
7 11
77创
k 2
k 3
k 5
77 30
k 3。
由 k ³ 11 ，可得 k ³
11 12
(k
+
1)，从而
n>
77 30
壮k 3
77 30
113 123
(完整版)初等数论第2版习题答案
第一章 §11 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。
∴存在n 个整数n p p p ,,21使n n n m p a m p a m p a ===,,,222111又n q q q ,,,21 是任意n 个整数m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 )12)(1(/6++n n n3 证： b a , 不全为0∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而有形如by ax +的最小整数00by ax +Z y x ∈∀,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+则S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=rby ax by ax ++∴/00 下证8P 第二题by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ).,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+4 证：作序列 ,23,,2,0,2,,23,b b b b b b ---则a 必在此序列的某两项之间即存在一个整数q ，使b q a b q 212+<≤成立 )(i 当q 为偶数时，若.0>b 则令b qa bs a t q s 2,2-=-==，则有22220b t b qb q a b q a t bs a <∴<-=-==-≤若0<b 则令b qa bs a t q s 2,2+=-=-=，则同样有2b t <)(ii 当q 为奇数时，若0>b 则令b q a bs a t q s 21,21+-=-=+=，则有 2021212b t b q a b q a bs a t b ≤∴<+-=+-=-=≤-若 0<b ，则令b q a bs a t q s 21,21++=-=+-= 则同样有 2b t ≤综上 存在性得证 下证唯一性当b 为奇数时，设11t bs t bs a +=+=则b s s b t t >-=-)(11 而b t t t t b t b t ≤+≤-∴≤≤1112,2矛盾 故11,t t s s ==当b 为偶数时，t s ,不唯一，举例如下：此时2b为整数 2,2),2(2212311b t b t b b b b b ≤=-+⋅=+⋅=⋅ 2,2,222211bt b t t bs t bs a ≤-=+=+=5.证：令此和数为S ，根据此和数的结构特点，我们可构造一个整数M ，使MS 不是整数，从而证明S 不是整数（1） 令S=n14131211+++++，取M=p k 75321⋅⋅⋅-这里k 是使n k≤2最大整数，p 是不大于n 的最大奇数。
《初等数论》各章习题参考解答
《初等数论》各章习题参考解答第一章习题参考解答1.解:因为25的最小倍数是100,9的最小倍数是，所以满足条件的最小正整数11111111100a =。
2.解：3在100!的分解式中的指数()1001001001003100!33113148392781⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 在100!的分解式中的指数()1001001001001002100!50251261942481664⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++=++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴ ()9448474847100!2343123,,61k k k k =⋅⋅=⋅⋅=⋅=。
故 max 47n =，min 3M k =，(),61k =。
故 当M 最小值是3的倍数，但不是2的倍数。
3.解：112121n n n n x x ++++++等价于()()21221n n n x x x ++-+-，从而3x ³（n 就不会太大，存在反向关系）。
由()()22121n nn x x x -+-?+，得()()2212n n n x x -+?，即()()()121122nn x x -+?。
若2n ³，则()()()()251221114242nn x xx x-?+??，导致25140x x -+?，无解。
所以，只有1n =，335314x x x +-?，只能是37,14x +=，从而4,11x =。
综上所述，所求正整数对()()(),4,111,1x n =、。
4.解：按题意，2m n >>，记*,m n k k N =+?；则()222211111n n k nk n k k a a a a a a a a a a a a +++-+-?-+--++-22211111n k k n k k a a a a a a a a a ++?---+?-+-，故 存在无穷多个正整数a 满足2111n k k a a a a ++-+-。
初等数论一
)10 (3274 ) 8 ， 2 10 4 3 8 2 8 7 8 4 。 同理，有 (2004
4 3 2
例 2． 求满足 abc (a b c) 3 的所有三位数 abc。 年上海市竞赛试题）
典例分析
（1988
解：由于 100 abc 999 ，则100 (a b c) 3 999 ，从而
ai {0,1,2,,9}, i 1,2,, m 1 且 am1 0 ，像这种 10 的多
项式表示的数常常简记为 A (am1am2 a0 )10
p进制的概念
为了具备一般性，我们给出正整数 A 的 p 进制表示：
A am1 p m1 am2 p m2 a1 p a0
于是所求的三位数只有 512。
典例分析
解：设该数的千位数字、百位数字、十位数字分别为 x, y , z ，则 原数 103 x 102 y 10z y ① ② 103 y 102 z 10y x 例 3颠倒后的新数 ．一个四位数，它的个位数字与百位数字相同。如果将这个 由②－①得 7812＝ 999( y x) 90( z y) ，即 四位数的数字顺序颠倒过来（即个位数字与千位数字互换，十位 868 111 ( y x) 10( z y) 102 ( y x) 10( z y) ( y x) ③ 数字与百位数字互换） ， 所得的新数减去原数， 7812 y 所得的差为 x 8, z x 6 ， 比较③式两端百位、十位、个位数字得 由 于 原 四 位（ 数1979 的千位 数字 x 不能为 0，所以 x 1 ，从而 求原来的四位数。 年云南省竞赛题）
中 am1 0 ） 。由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此 A 可 以 表 示 成 10 的
王进明,,,初等数论,,,习题解答
王进明 初等数论 习题及作业解答1．已知两整数相除，得商12，余数26，又知被除数、除数、商及余数之和为454．求被除数.解：1226,1226454,a b a b =++++=12261226454,b b ++++=(121)454122626390,b +=---=b =30, 被除数a =12b +26=360+26=386.这题的后面部分是小学数学的典型问题之一——“和倍” 问题。
2．证明：(1) 当n ∈Z 且39(09)n q r r =+≤<时，r 只可能是0,1,8;证：把n 按被9除的余数分类，即：若n=3k, k ∈Z ，则3327n k =, r=0；若n=3k +1, k ∈Z ，则3322(3)3(3)3(3)19(331)1n k k k k k k =+++=+++,r=1； 若n=3k －1, k ∈Z ，则33232(3)3(3)3(3)19(331)8n k k k k k k =-+-=-+-+,r=8. (2) 当 n ∈Z 时，32326n n n -+的值是整数。
证 因为32326n n n -+=32236n n n -+，只需证明分子3223n n n -+是6的倍数。
32223(231)(1)(21)n n n n n n n n n -+=-+=--(1)(21)n n n n =--++=(1)(2)n n n --+(1)(1)n n n -+.由k ! 必整除k 个连续整数知：6 |(1)(2)n n n --,6 |(1)(1)n n n -+.或证：2!|(1)n n -, (1)n n -必为偶数.故只需证3|(1)(21)n n n --.若3|n, 显然3|(1)(21)n n n --；若n 为3k +1, k ∈Z ，则n －1是3的倍数，得知(1)(21)n n n --为3的倍数；若n 为3k －1, k ∈Z ，则2n －1=2(3k －1)－1=6k-3, 2n －1是3的倍数.综上所述，(1)(21)n n n --必是6的倍数,故命题得证。
初等数论作业汇总
一、选择题1、如果a|b，b|c，则（C ）。
A：a=c B：a=-c C：a|c D：c|a2、360与200的最大公约数是（D ）。
A：10 B：20 C：30 D：403、如果a|b，b|a ，则（C ）。
A：a=b B：a=-b C：a=b或a=-b D：a，b的关系无法确定4、-4除-39的余数是（C ）。
A：3 B：2 C：1 D：05、设n，m为整数，如果3整除n，3整除m，则9（A ）mn。
A：整除B：不整除C：等于D：小于6、整数6的正约数的个数是（D ）。
A：1 B：2 C：3 D：47、如果5|n ，7|n，则35（D ）n 。
A：不整除B：等于C：不一定D：整除8、288与158的最大公约数是（A）。
A：2 B：4 C：6 D：89、-337被4除余数是（D ）。
A：0 B：1 C：2 D：310、两个整数的公因数是它们的最大公因数的（A）。
A：因数B：倍数C：和D：差11、小于40的素数的个数（D）。
A：10 B：9 C：8 D：1212、定方程525x+231y=210（A ）。
A：有解B：无解C：有正整数解D：有负整数解13、因为(D )，所以不定方程12x+15y=7没有解。
A：7不整除（12，15）B：7不整除[12，15] C：[12，15]不整除7 D：（12，15）不整除7二、填空题（1）模7的最小非负完全剩余系是0，1，2，3，4，5，6 ．142535036021020252510100736025202545（2）{-3.8} = 0.2 ；[-4.38] = －5 ． （3）890的标准分解式是 2×5×89 ．（4）16除-81的商是 －6 ，余数是 15 ． （5）（1516，600）= 4 ．（6）不定方程ax + by = c (其中a ，b ，c 是整数)有整数解的充要条件是 c b a ),(． （7）710被11除的余数是 1 ．（8）340的十进位表示中的个位数字是 1 ． （1）98!的末尾有_______22________个零。
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）V 1. 题见图片A. AB. BC. CD. D满分：2 分2.题见图片A. AB. BC. CD. D满分：2 分3.。
A. AD. D满分：2 分4.题见图片A. AB. BC. CD. D满分：2 分5. 。
C. CD. D满分：2 分6.。
A. AB. BC. CD. D满分：2 分题见图片A. AB. BC. CD. D满分：2 分8.。
B. BC. CD. D满分：2 分9.题见图片A. AB. BC. CD. D满分：2 分题见下图A. AB. BC. CD. D满分：2 分11.。
A. AB. BC. CD. D满分：2 分12.题见图片A. AC. CD. D满分：2 分13.。
A. AB. BC. CD. D满分：2 分14.A. AB. BC. CD. D满分：2 分15.。
A. AC. CD. D满分：2 分16.题见下图A. AB. BC. CD. D满分：2 分17.A. AB. BC. CD. D满分：2 分18.题见图片A. AC. CD. D满分：2 分19.题见图片A. AB. BC. CD. D满分：2 分20.A. AB. BC. CD. D满分：2 分21.题见图片A. AC. CD. D满分：2 分22.。
A. AB. BC. CD. D满分：2 分23.。
A. AB. BC. CD. D满分：2 分24.题见图片A. AC. CD. D满分：2 分25.题见图片A. AB. BC. CD. D满分：2 分题见图片A. 错误B. 正确满分：2 分2. 题面见图片A. 错误B. 正确满分：2 分3.题见图片A. 错误B. 正确满分：2 分4.题见图片A. 错误B. 正确满分：2 分5. 题面见图片A. 错误满分：2 分6.题见下图A. 错误B. 正确满分：2 分7.题见图片满分：2 分8. 题面见图片A. 错误B. 正确满分：2 分9.题见图片A. 错误B. 正确满分：2 分B. 正确满分：2 分11.题见下图A. 错误B. 正确满分：2 分12. 题面见图片A. 错误B. 正确13. 题面见图片A. 错误B. 正确满分：2 分14.题见图片A. 错误B. 正确满分：2 分15. 题面见图片A. 错误满分：2 分16.题见下图A. 错误B. 正确满分：2 分17.题见图片满分：2 分18.题见图片A. 错误B. 正确满分：2 分19.题见下图B. 正确满分：2 分20. 题面见图片A. 错误B. 正确满分：2 分21.题见图片A. 错误B. 正确22. 题面见图片A. 错误B. 正确满分：2 分23.题见图片A. 错误B. 正确满分：2 分24.题见图片A. 错误B. 正确满分：2 分25.题见图片A. 错误B. 正确满分：2 分。
初等数论习题及答案
初等数论习题及答案初等数论习题及答案数论作为数学的一个分支，研究的是整数的性质和关系。
它广泛应用于密码学、计算机科学和其他领域。
初等数论是数论的基础，它涉及到一些基本的概念和定理。
本文将介绍一些常见的初等数论习题，并提供相应的答案。
1. 习题：证明任意两个正整数的最大公约数和最小公倍数之积等于这两个正整数的乘积。
答案：设两个正整数分别为a和b，它们的最大公约数为d，最小公倍数为l。
根据最大公约数和最小公倍数的定义，我们有以下等式：a = dxb = dy其中x和y是互素的正整数。
根据最大公约数和最小公倍数的性质，我们有： l = dxy因此，最大公约数和最小公倍数之积等于这两个正整数的乘积。
2. 习题：证明任意一个正整数的平方都是4的倍数或者4的倍数加1。
答案：设正整数为n。
根据整数的奇偶性，我们可以将n分为两种情况讨论。
情况一：n为偶数。
偶数可以表示为2k的形式，其中k为整数。
那么n的平方为(2k)^2 = 4k^2，显然是4的倍数。
情况二：n为奇数。
奇数可以表示为2k+1的形式，其中k为整数。
那么n的平方为(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1，显然是4的倍数加1。
综上所述，任意一个正整数的平方都是4的倍数或者4的倍数加1。
3. 习题：证明任意一个正整数的立方都是6的倍数、6的倍数加1或者6的倍数减1。
答案：设正整数为n。
根据整数的奇偶性，我们可以将n分为三种情况讨论。
情况一：n为偶数。
偶数可以表示为2k的形式，其中k为整数。
那么n的立方为(2k)^3 = 8k^3，显然是6的倍数。
情况二：n为奇数且不是3的倍数。
奇数可以表示为2k+1的形式，其中k为整数。
那么n的立方为(2k+1)^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1，显然是6的倍数加1。
情况三：n为奇数且是3的倍数。
奇数可以表示为2k+1的形式，其中k为整数。
那么n的立方为(2k+1)^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 = 6(4k^3 + 2k^2 + k)+ 1，显然是6的倍数减1。
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初等数论第一次作业
简答题
1.叙述整数a被整数b整除的概念。
答：设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如果存在一个整数q使得等式a=bq 成立，我们就称b整除a或a被b整除,记做b|a。
2.给出两个整数a，b的最大公因数的概念。
答：设a,b是任意两个整数，若整数d是他们之中每一个的因数，那么d就叫做a,b的一个公因数。
a,b的公因数中最大的一个叫做最大公因数。
3.叙述质数的概念，并写出小于14的所有质数。
答：一个大于1的整数，如果它的正因数只有1和它本身，就叫作质数(或素数)。
14的所有质数为2,3,5,7,11,13
4.叙述合数的概念，并判断14是否为合数。
答：一个大于1的整数，如果它的正因数除了1和它本身，还有其他的正因数，则就叫作合数。
14的所有正因数为1,2,7,14，除了1和本身14，还有2和7两个正因数，所以14是合数。
5. 不定方程c
ax=
+有整数解的充分必要条件是什么？
by
答：不定方程有整数解的充分必要条件是。
6. 列举出一个没有整数解的二元一次不定方程。
答：没有整数解的二元一次不定方程10x+10y=5。
7. 写出一组勾股数。
答：一组勾股数为3,4,5。
8.写出两条同余的基本性质。
答：同余的基本性质为：
性质1 m为正整数，a，b，c为任意整数，则
①a≡a（mod m）；
②若a≡b（mod m），则b≡a（modm）；
③若a≡b（modm），b≡c（modm），则a≡c（modm）。
性质3
①若（modm），（modm），则（modm）
②若a＋b≡c（modm），则a≡c－b（modm）。
9. 196是否是3的倍数，为什么？
答：196不是3的倍数。
因为由定义可知设a,b是任意两个整数，其中b ≠0，如果存在一个整数q使得等式a=bq成立，则将a叫做b的倍数。
所以a=196，b=3，不存在一个整数q使得等式a=bq成立，所以196不是3的倍数。
10. 696是否是9的倍数，为什么？
答：696不是9的倍数。
因为由定义可知设a,b是任意两个整数，其中b ≠0，如果存在一个整数q使得等式a=bq成立，则将a叫做b的倍数。
所以a=696，b=9，不存在一个整数q使得等式a=bq成立，所以696不是9的倍数。
11.叙述孙子定理的内容。
答：孙子定理的内容为：设是k个两两互质的正整数,
（1)设,
则同余式组(1)的解是
(2)其中是满足的任一个整数，i＝1,2,…,k。
12.叙述算术基本定理的内容。
答：任一大于1的整数能表成质数的乘积，即任一大于1的整数
，
其中是质数，并且若，,其中
是质数，则m＝n，，i＝1，2，…，n。
13.给出模6的一个完全剩余系。
答：模6的一个完全剩余系为1，2，3，4，5，6。
14.给出模8的一个简化剩余系。
答：由于8的标准分解式为8=23，所以
所以模8的一个简化剩余系由4个数构成，这两个数都与8互质，并且它们关于模8不同余。
比如1,7就是模8的一个简化剩余系。
15.写出一次同余式)
ax 有解得充要条件。
b
(mod m
答：一次同余式有解的充要条件是(a,m)|b。