常微分计算题及解答()

计 算 题（每题10分）

1、求解微分方程2

'22x y xy xe -+=。 2、试用逐次逼近法求方程

2y x dx

dy

+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x

y y y e -''+-=的通解 4、求方程组d x d t y d y d t

x y ==+?????2的通解

5、求解微分方程24y xy x '+=

6、试用逐次逼近法求方程

2y x dx

dy

-=通过点(1,0)的第二次近似解。 7、求解方程''+-=-y y y e x

'22的通解 8、求方程组dx

dt x y dy

dt

x y =+=+?????234的通解

9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程

2y x dx

dy

-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x

'24的通解 12、求方程组dx

dt x y dy

dt

x y =+=+?????2332的通解 13、求解微分方程()x

x y y e '-=

14、试用逐次逼近法求方程

22x y dx

dy

+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程22x y y y e -'''+-=-的通解 16、求解方程x

e

y y y -=-+''32 的通解

17、求方程组?????-+=-+=y

x dt dy

dt

dx x y dt dy dt dx

243452的通解18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程

2dy

x y dx

=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ????.

20、利用逐次逼近法，求方程

22dy

y x dx

=-适合初值条件(0)1y =的近似解：

012(),(),()x x x ???。

21、证明解的存在唯一性定理中的第n 次近似解()n x ?与精确解()x ?有如下误差估

计式：

1

0|()()|(1)!

n n n ML x x x x n ??+-≤-+。

22、求初值问题

22,(1)0dy

x y y dx

=--= 在区域 :|1|1,||1R x y +≤≤ 的解的定义

区间，并求第二次近似解，给出在存在区间上解的误差估计。

23、cos cos 0y y x y dx x dy x x ?

?-+= ??? 24、2

221dy y dx x y ??+= ?+-??

25、

21210dy x

y dx x

-=-= 26、ln (ln )0y ydx x y dy +-= 27、'2ln y y y y y x =+- 28、22dy y x dx xy

-=29、222()0xydx x y dy +-=

30、3(ln )0y dx y x dy

x

++= 3122

ydx xdy

x y -=

+

32、(1)10x x y

y

x e dx e dy y ??++-= ??

? 33、2

1

3dy

x y dx x y -+=++34、443()0x y dx xy dy +-= 35、()22(2)0xy y dx y y x dy -+++=

36、310y y ''+= 37、0y y y y ''''''-+-= 38、23100y y y y ''''''--+= 39、(4)0y y += 40、(6)(4)220y y y y ''--+= 41、(4)0y y ''-= 42、(4)48830y y y y y ''''''-+-+= 43、(4)4640y y y y y ''''''-+-+= 44、x y y xe -''+= 45、234x y y y e '''++=- 46、324(2)x y y y x e '''-+=+

47、2613(52)t x x x e t t '''++=-+ 48、t x x e '''-= 49、22t s as a s e '''++= 50、2441t t x x x e e '''-+=++ 51、410y y '''++=

52、33(5)x y y y y e x -''''''+++=- 53、32sin cos y y x x '''+=+ 54、22225sin (0)x kx k x k kt

k '''++=≠

55、sin cos y y x x ''+= 56、22cos x y y y e x -'''-+=

57、210cos 2x y y y e x -'''-+= 58、sin ,0x x at a ''+=> 59、225cos y y x '''+= 60、4sin 2y y x x ''+= 61、234sin 2y y x '''+=+ 62、224cos x y y y e x '''-+= 63、918cos330sin3y y x x ''+=- 64、sin cos2x x t t ''+=- 65、22cos t x x x te t '''-+= 66、求微分方程22

()01y y y

'''+=-的通解。 67、求1cos x y y xe x x '''=

+的通解。 68、求微分方程20y y

y x x

'''-+=的通解。 69、求微分方程2()0xyy x y yy ''''+-=的通解。 70、求微分方程32sin x y y y e x -'''++=+的通解。 71、求微分方程22144x

y y y e x

'''-+=

的通解。 72、求方程245csc x y y y e x '''-+=的通解。 73、求微分方程2220x y xy y '''+-=的通解。 74、求微分方程22222x y xy y x '''+-=+的通解。 75、利用代换cos u

y x

=

将方程 cos 2sin 3cos x y x y x y x e '''-+= 化简，并求出原方程的通解。

76、求下列线性微分方程组2244(1)

22(2)

t

dx x y e dt

dy x y dt -?=-+??

??=-??

77、解下列微分方程组1

12222

3

322(1)

(2)2(3)

dy y y dx dy

y y dx dy y dx ?=-???=-+???=??

的通解。 78、5445dy

y z dx

dz y z dx

?=+???

?=+?? 79、3452dx

x y dt

dy x y dt

?=+???

?=+?? 80、254342x y y x

x y x y

''-=-??

''-=-?

计 算 题 答 案

１、解：对应的齐次方程20y xy '+=的通解为2

x y ce -=

用常数变易法，可设非齐次方程的通解为2

()x y c x e -=代入方程

2

22x

y xy xe -'+=得

()2c x x '=因此有2()c x x c =+ 所以原方程的通解为2

2()x y x c e -=+

２、解：按初始条件取 0()0y x ≡

3、解：对应的齐次方程为-20y y y '''+= 特征方程为2 +20λλ-=解得 1,-2λ=

对应的齐次方程通解为

212x x Y c e c e -=+ 设方程的一个特征解为1x y Ae -=

则 1x y Ae -'=-，1x y Ae -''= 代入解得12

A =-

从而11

2

x y e -=- 故方程的通解为2 11212

x x x y Y y c e c e e --=+=+- 。

4、解：它的系数矩阵是A =????

?

?0121 特征方程||A E -=--=λλλ

1

210

或为?2-10?+9=0 特征根?1=1,?2=9

原方程对应于?1 =1的一个特解为y 1=e t ,x 1=-e t 对应于?2=9的一个特解为

y 1=e 9t ,x 1=e 9t

?原方程组的通解为x ce ce y ce ce t t

t t

=+=-+???

--12

21222 5、解：对应的齐次方程20y xy '+=的通解为2x y ce -=

用常数变易法，可设非齐次方程的通解为2

()x y c x e -=

代入方程24y xy x '+=得2()4x c x e x '=因此有2

()2x c x e c =+ 所以原方程的通解为2

2

(2)x x y e c e -=+ 。

6、解：取20011

()0,()()[()]x

n n y x y x y x t y t dt -==+-?

则211

1y ()22

x

x x tdt ==-?

因此，第二次近似解为 532211

y ()2062430

x x x x x =-++--。

7、解：对应的齐次方程为-20y y y '''+=

特征方程为2 +20λλ-=，得 1,-2λ=对应的齐次方程通解为 -212x x Y c e c e =+ 设方程的一个特征解为-1x y Ae = 则- 1x y Ae '=-,-1x y Ae ''=代入解得-1A =，而- 1-x y e = 故方程的通解为-2-112x x x y Y y c e c e e =+=+-

8、解：由方程解出y ，得y x x p x p

=--2122， 代入dx p dy =1得dx x dp

p =

即p cx =

故通解为y c x

c =--21122() 9、解：方程化为y x

y x '-=2

23

对应的齐次方程y x

y '-=20 的通解为y=cx

2

(41) 用常数变易法，可设非齐次方程的通解为y=c(x)x 2

代入方程得

c 1(x)=2x 因此有c(x)=x 2+c (31）

所以原方程的通解为y=(x 2+c)x 2

(11)

10、解：取20010

()0,()()[()]x n n y x y x y x t y t dt -==+-?

则2

10()2x

x y x tdt ==? 2225

20()2220x

t x x y x t dt ????

=-=-?? ???????? 因此，第三次近似解为 532211y ()2062430

x x x x x =-++-- 11、解：对应的齐次方程为20y y y '''+-= 特征方程为?2+?-2=0 解得?=1,-2

对应的齐次方程通解为

212x x Y c e c e -=+设方程的一个特征解为1x y Ae -=

?则1x y Ae -'=- ,1x y Ae -''=代入解得2A =-

?????????从而12x y e -=-故方程的通解为2122x x x y c e c e e --=+-

12、解：它的系数矩阵是A =???

?

?

?0121 特征方程||A E -=--=λλλ

1

210

或为?2-4?-5=0 （21） 特征根?1=-1,?2=5

原方程对应于?1 =5的一个特解为y 1=e 5t ,x 1=e 5t 对应于?2=-1的一个特解为y 2= -e -t ,x 2=e -t

?原方程组的通解为x ce ce y ce ce t t

t t

=+=-+???

--12

21222 13、解：方程化为1x y y e x

'-=对应的齐次方程 -0y y '=的通解为

x y ce =

用常数变易法，可设非齐次方程的通解为 ()x y c x e =

代入方程得1

()c x x

'=因此有()ln ||c x x c =+

所以原方程的通解为(ln ||) x

y e x c =+

14、解：取20010

()0,

()()[()]x

n n y x y x y x t y t dt -==+-?

则3

210

()3

x x

y x t dt =

=

?

23372

20()3363x

t x x y x t dt ????=+=+?? ???????

?

因此，第三次近似解为

15、解：对应的齐次方程特征方程为2 +2=0λλ-解得?=1,-2

对应的齐次方程通解为 -2 12x x Y c e c e =+ 设方程的一个特征解为-1x y Ae =代入解得1A =

从而- 1x y e = 故方程的通解为-2- 112 x x x y Y y c e c e e =+=++

16、解：对应的齐次方程特征方程为?2

+?-2=0 解得?=1,-2

对应的齐次方程通解为

212x x Y c e c e -=+设方程的一个特征解为1x y Ae -=

代入解得32A =- 从而132

x y e -=-

故方程的通解为211232

x x x y Y y c e c e e --=+=+-

17、解：化简有232x x y

y x y

'=-??

'=-? 它的系数矩阵是A =

?????

?0121 特征方程||A E -=--=λλ

λ

1210

或为?2-1=0 （21） 特征根?1=±1

原方程对应于?1 =-1的一个特解为y 1=e -t ,x 1=e -t 对应于?2=1的一个特解为y 2=e t ,x 2=3e t

?原方程组的通解为x ce ce y ce ce t t

t t

=+=-+???

--12

21222 18、解：因22(,)(1),(,)(1)M x y x y N x y y x =-=-

2M N

xy y x

??==??所以为全微分方程 将其分组22()0xy dx yxdy xdx ydy ++-=

?原方程可写成 22221

()02

d x y x y +-=

?方程的通解为 222212x y x y c c +-==

19、解：0()(0)0x y ?==

20、解：零次近似解为 0()(0)1x y ?==

一次近似解为 23101()1(1)13

x

x s ds x x ?=+-=+-?

二次近似解为

21、证：由00()(,())x

x x y f s s ds ??=+?及迭代列

得 0

00|()()||(,())|||x x x x f s s ds M x x ???-≤

≤-?

设 10|()()|||(1)!

k

k k ML x x x x k ??+-≤-+

则 0

1|()()||(,())(,())|x k k x x x f s s f s s ds ????+-≤

-?

由归纳法知，对任意n 次近似解，估计式（1）成立。

22、解：1）由存在唯一性定理知，解的定义区间为 0|1|x h +≤

其中220(,)|1|min(,

),max ||4x y R b

x h a M x y M

∈+≤==-=。这里1,1a b ==，从而

014h =，即得解的定义区间为 1|1|4

x +≤。

2）求初值问题的二次近似解 0()(1)0y x y ≡-=

则二次近似解为

3）由误差估计公式 1

0|()()|(1)!

n n n ML y x y x x x n +-≤-+

其中L 是李普希兹常数。因为

|2|2f

y y

?=≤?，可取2L =，则有 即第二次近似解在存在区间上的误差不超过1

24。

23、解：方程可化为 1

cos dy y y

dx x x

=- 作变换y u x =，代入方程得到1cos du u x u dx u +=-

进一步化简，得 cos dx

udu x =- 两边积分得 sin ln ||u x C =-+

代回原变量，得原放通解 sin ln ||y

x C x

=-+

24、解：令2,3v y u x =+=-，代入原方程得 2

2dv v du u v ??

= ?+??

这是齐次方程，再作变换v z u =，则方程化为 2

21dz z z u du z ??

+= ?+??

将变量分离，得 22(1)(0)(1)z du

dz z z z u

+=-≠+

两边积分得 ln ||2arctan ln ||zu z C =-+ 代回原变量，得通解 2

2arctan

3

2y x y ce +--+=

此外，0z =即2y =-也是解，它包含在上述通解中。 25、解：首先求线性齐次方程

2

120dy x y dx x -+= 的通解。 分离变量，得 221dy x dx y x

-=， 两边积分得 1

2x

y Cx e =

设原方程通解为 12

()x

y C x x e =， 代入原方程，得到 12

1'()x

C x e x -

=?

两边积分得 1

()x

C x C e -=+于是，所求方程的通解为 122x

y Cx e x =+。 26、解：若对调x 与y 的地位，即可把方程化为

1ln dx x dy y y y

=-+

这是以x 为未知函数的一阶线性方程，先求线性齐次方程

0ln dx x dy y y += 的通解。分离变量，得 1

ln dx dy x y y

=-， 两边积分得 ln C x y =

为求得原方程通解，设 ()ln C y x y =，代入原方程，得 1

'()ln C y y y

=

两边积分得 2(ln )()2

y C y C =+所以，所求方程的通解为 ln ln 2C y

x y =+。 27、解：若对调x 与y 的地位，即可把方程化为 12ln dx x

y dy y

=-++

这是以x 为未知函数的一阶线性方程，先求线性齐次方程 dx x

dy y

=- 的通解。

分离变量，得 dx dy x y =-， 两边积分得 C

x y

=

令 ()

C y x y

=，代入原方程，得 '()2ln C y y y y =+

两边积分得 2()ln C y C y y =+ 所以，所求方程的通解为 ln C

x y y y

=+。 28、解：原方程为

122dy y dx x y =-，令2z y =，代入上式得1dz z dx x

=- （1）上式两边同乘1x ，并整理得 '

1z x x ??

=- ???

， 两边积分得 ln ||z C x x =-

这样，得到线性方程（1）的通解为 ln ||z Cx x x =- 代回原变量，得原方程通解 2ln ||y Cx x x =-

此外，x 出现在分母位置，不可取0。

29、解：因为22(,)2,(,)()M x y xy N x y x y ==-，所以有

(,)(,)

2M x y N x y x y x

??==?? 因此方程为全微分方程。取000,0x y ==，得

于是方程的通解为 3

2

3

y x y C -=。

30、解：这里 3(,),(,)ln y

M x y N x y y x x

==+，于是 (,)1(,)M x y N x y y x x ??==?? 因此这是一个全微分方程。把方程重新分项组合，得到

3

ln 0y dx xdy y dy x ??++= ???

即 4(ln )04y d y x d += 所以，方程的通解为 4

ln 4

y y x C +=

31、解：这里

22(,)y M x y x y =++，22(,)x

N x y x y =++

于是 32222

22222

(,)(,)12(1)()M x y N x y y xy x y y x x y x y -??==-+++-

??++ 因此这是一个全微分方程。即

arctan 0y d d x ?

?-= ??

?

所以，方程的通解为

arctan y

C x

-=。

32、解：这里(,)1,x

y M x y e =+ (,)1x y x N x y e y ??

=- ??

?，经计算知(,)(,)M x y N x y y x ??=?? 这是一个全微分方程。把方程重新分项组合，得到

即 0x y dx d ye ??

+= ? ???

， 所以，方程的通解为 x

y x ye C +=。

33、解：将方程改写为 2(1)(3)0x y dx x y dy -+-++=

这里 2(,)1,(,)(3)M x y x y N x y x y =-+=-++ 所以

(,)(,)

1M x y N x y y x

??==-?? 这是一个全微分方程。取000,0x y ==，得

23323

x y x xy y =+---于是方程的通解为

23

323

x y x xy y C +---=。 34、解：443(,),(,)M x y x y N x y xy =+=-，???

334,M N

y y y x

??==-?? 所以 33345M N

y y y x N xy x ??-+??==--，这样，方程有积分因子 5

5

1()dx x

x e x μ-?== 原方程两端乘以51

x

，得到全微分方程 43540dx y y dx dy x x x +-=

即 44(ln ||)04y d x d x ??-= ???

，原方程的通解为 4

4ln ||4y x C x -=。

35、解：22(,)2,(,)M x y xy y N x y y y x =-=++，???41,1M N

xy y x

??=-=?? 于是得到然

2(21)2(21)M N

xy y x M y xy y

??-

-??==----， 所以，方程有积分因子 2

21()dy

y y e y

μ-?==

于是原方程可化为 211210x x dx dy y y y ?

?

?

?

-++

+= ? ??

?

?

?

即 2()(ln ||)0x d x d dy d y y ??-++= ???

， 因而，方程的通解为 2ln ||x

x y y C y

-++= 36、解：令 'y p =，则 "dp y p

dy =，代入方程得 31

pdp dy y

=-

两边积分得 2

2

2

1Cy p y += ，从而将方程降为一阶方程 dy dx =将变量分离，易求得其通解为 2211()Cy Cx C +=+。

37、解：特征方程为 3210λλλ-+-=， 因式分解为 2(1)(1)0λλ-+=

特征根为12,31,i λλ==±，故所求通解为 123cos sin x y C e C x C x =++。 38、解：特征方程为 3223100λλλ--+=， 因式分解为 2(2)(45)0λλλ+-+=

特征根为12,32,2i λλ=-=±，故所求通解为

22123(cos sin )x x y C e e C x C x -=++。

39、解：特征方程为 410λ+=， 特征根为1,23,4,2222

λλ=

±=±， 故所求通解为

1234sin cos sin 2222y C x C x e C x C x ????

=+++ ? ? ? ?????

。

40、解：特征方程为 642220λλλ---=， 因式分解为

特征根为12345,61,1,i λλλλλ====-=±，故所求通解为

123456cos sin x x y C C e C e C e C x C x -=+++++.

41、解：特征方程为 420λλ-=，

特征根为123,41,1,0λλλ=-==（二重），故所求通解为

1234x x y C C x C e C e -=+++.

42、解：特征方程为 43248830λλλλ-+-+=，因式分解为22(1)(23)0λλλ--+=

特征根为1,21λ=-（二重），3,41λ=±，故所求通解为

1234()()x x y e C C x e C C =+++.

43、解：特征方程为 43246410λλλλ-+-+=， 即 4(1)0λ-= 特征根为1λ=（四重），故所求通解为

231234()x y e C C x C x C x =+++.

44、解：对应齐次方程的特征方程为 210λ+=， 特征根为 1,2i λ=±，

齐次方程的通解为 12cos sin y C x C x =+

由于1-不是特征根，故已知方程有形如 1()x y Ax B e -=+

的特解。将1()x y Ax B e -=+代入已知方程，比较系数得 11,2

2

A B == 即 11(1)2

x y x e -=+，因此，已知方程的通解为

121

cos sin (1)2

x y C x C x x e -=+++。

45、解：对应齐次方程的特征方程为 22310λλ++=，特征根为 1211,2

λλ=-=-，

齐次方程的通解为 12

12x x

y C e C e --=+

由于0,1都不是特征根，故已知方程有形如 1x y A Be =+

的特解。将1x y A Be =+代入已知方程，比较系数得 14,6

A B ==- 即 146x

y e =-，因而，所求通解为12

121

46

x x

x y C e C e

e --=++-。

46、解：对应齐次方程的特征方程为 2240λλ-+=， 特征根为 1,21λ=，

齐次方程的通解为 12()x y e C C =+

由于3不是特征根，故已知方程有形如 31()x y e Ax B =+

的特解。将31()x y e Ax B =+代入已知方程，比较系数得 1

10,749

A B == 即 311107

49x y e x ??

=+

???

，因此，已知方程的通解为

3121

10()7

49x x y e C C e x ??=+++ ???。

47、解：对应齐次方程的特征方程为 26130λλ++=， 特征根为 1,232i λ=-±，

齐次方程的通解为 312(cos 2sin 2)t y e C t C t -=+

由于1不是特征根，故已知方程有形如 21()t x At Bt C e =++ （1） 的特解。求出 21[(2)()]t x At A B t B C e =++++ （2）

21[(4)(22)]t x At A B t A B C e =+++++ （3） 将（1）、（2）、（3）代入已知方程，比较系数得 129211

,,201001000

A B C ===

即 21129

21120

1001000t x t t e ??=-+

???，因此，已知方程的通解为 32121

29211(cos 2sin 2)20

1001000t t x e C t C t e t t -??=++-+ ???。

48、解：对应齐次方程的特征方程为 310λ-=，特征根为 12,31

1,2

λλ==-±

，

故通解为 1

2

123cos sin 22t t

x C e C C e -??=++ ? ???

由于1是一重特征根，所以已知非齐次方程有形如 1t x Ate =

的特解。将1t x Ate =代入已知方程，得 1

3

A =

即 11

3

t x te =，因此，所求通解为

12

1231cos sin 223t t

t

x C e C C e te -??=+++ ? ??

?。 49、解：对应齐次方程的特征方程为 2220a a λλ++=，特征根为 1,2a λ=-（二重）。

① 若1a ≠-，此时齐次方程的通解为过 12()at s C C t e -=+

由于1不是特征根，故已知方程有形如 1t s Ae = 的特解。

将1t s Ae =代入已知方程，得 21(1)A a =

+， 即 12

1

(1)

t s e a =+ 所以，1a ≠-时已知方程的通解为 122

1

()(1)

at t s C C t e e a -=+++。 ② 若1a =-，此时齐次方程的通解为过 12()t s C C t e =+

由于1是二重特征根，故已知非齐次方程有形如 22t s At e = 的特解。 将22t s At e =代入已知方程，得 12

A =， 即 2212

t s t e = 所以，1a =-时已知方程的通解为 2121()2

t s C C t t e =++

50、解：对应齐次方程的特征方程为 2440λλ-+=，

特征根为 2λ=（二重），故齐次方程的通解为 212()t x C C t e =+ 由于2是二重特征根，1和0不是特征根，故已知非齐次方程有形如

的特解。将221t t x A Be Ct e =++代入已知方程，得 11,1,42

A B C === 即 221114

2

t t x e t e =++，因此，所求通解为

221211()42t t t

x C C t e e t e =++

++。 51、解：对应齐次方程的特征方程为 2

40λλ+=，特征根为 120,4λλ==-，

齐次方程的通解为 412x y C C e -=+

因为0是一重特征根，故已知非齐次方程有形如 1y Ax = 的特解。将1y Ax =代入已知方程，得 14

A =- 所以，所求通解为 41214

x y C C e x -=+-。

52、解：对应齐次方程的特征方程为 323310λλλ+++=，特征根为 1λ=-（三重），

故通解为 2123()x y C C x C x e -=++

由于1-是三重特征根，所以已知非齐次方程有形如 31()x y x A Bx e -=+

的特解。将31()x y x A Bx e -=+代入已知方程，得 51,6

24

A B =-= 即 3151

()6

24

x y x x e -=-+

，因此，所求通解为 23

1231()(20)24

x x y C C x C x e x x e --=+++-。

53、解：对应齐次方程的特征方程为 230λλ+=，特征根为 120,3λλ==-，

所以对应齐次方程的通解为 312x y C C e -=+

由于i ±不是特征根，所以已知方程有形如 1cos sin y A x B x =+

的特解。将1cos sin y A x B x =+代入已知方程，得 71,1010

A B =-= 因此，所求通解为31271

cos sin 1010

x y C C e x x -=+-

+。 54、解：对应齐次方程的特征方程为 22220k k λλ++=，特征根为 1,2k ki λ=-±，

齐次方程的通解为 ()12cos sin kt x e C kt C kt -=+

由于k i ±不是特征根，所以已知方程有形如 1cos sin x A kt B kt =+

的特解。将1cos sin x A kt B kt =+代入已知方程，得 2,1A B =-= 因此，所求通解为

()12cos sin 2cos sin kt x e C kt C kt kt kt -=+-+。 55、解：对应齐次方程的特征方程为 210λ+=，特征根为 1,2i λ=±，

齐次方程的通解为 12cos sin y C x C x =+ 因为 1sin cos sin 22

x x x =

由于2i ±不是特征根，故已知方程有形如 1cos2sin 2y A x B x =+

的特解。将1cos2sin 2y A x B x =+代入已知方程，得 1

0,6

A B ==-

因此，所求通解为121

cos sin sin 26y C x C x x =+-。

56、解：对应齐次方程的特征方程为 2

220λλ-+=，特征根为 1,21i λ=±，

齐次方程的通解为 ()12cos sin x y e C x C x =+

由于1i -±不是特征根，故已知方程有形如 1(cos sin )x y e A x B x -=+ 的特解。将1(cos sin )x y e A x B x -=+代入已知方程，得 11,88

A B ==-

因此，所求通解为()121cos sin (cos sin )8

x x y e C x C x e x x -=++-。 57、解：对应齐次方程的特征方程为 22100λλ-+=，特征根为 1,213i λ=±，

齐次方程的通解为 ()12cos3sin3x y e C x C x =+ 由于12i -±不是特征根，所以已知非齐次方程有形如 的特解。将上式代入已知方程，得 32911,,,2633813169

A B C D ===-=- 因此，所求通解为

()123291

1cos3sin3cos2sin 22638813169x y e C x C x x x x ????=+++-+ ? ?????

。 58、解：对应齐次方程的特征方程为 210λ+=，特征根为 1,2i λ=±，

所以对应齐次方程的通解为 12cos sin x C t C t =+ I ）若1a =，由于i ±是一重特征根，故已知方程有形如

的特解。将1(cos sin )x t A t B t =+代入已知方程，得 1,02

A B =-= 所以，1a =时所求通解为 121cos sin cos 2

x C t C t t t =+-。

II ）若1a ≠，此时已知方程有形如 2cos sin x C at D at =+

的特解。将2cos sin x C at D at =+代入已知方程，得 2

1

0,1C D a

==- 所以，1a ≠时所求通解为 122

1

cos sin sin 1x C t C t at a

=+-

- 59、解：对应齐次方程的特征方程为 2250λλ+=，特征根为 1250,2

λλ==-，

齐次方程的通解为 52

12x y C C e

-=+ ，因为 21cos2cos 2

x

x +=

而0是一重特征根，2i ±不是特征根，故已知方程有形如

的特解。将上式代入已知方程，得 115

,,1041164

A B C =

=-=

因此，所求通解为5212115

cos2sin 21041164

x y C C e x x x -=++-+

。 60、解：对应齐次方程的特征方程为 240λ+=，特征根为 1,22i λ=±，

齐次方程的通解为 12cos2sin 2y C x C x =+ 由于2i ±是一重特征根，故已知方程有形如

的特解。将上式代入已知方程，得 11,0,0,816

A B C D =-=== 因此，所求通解为

21211

cos2sin 2cos2sin 2816y C x C x x x x x =+-+。

61、解：对应齐次方程的特征方程为 2

20λλ+=，特征根为 122,0λλ=-=，

齐次方程的通解为 212x y C e C -=+

由于0是一重特征根，2i ±不是特征根，所以已知方程有形如 的特解。将上式代入已知方程，得 311,,2

2

2

A B C ==-=- 因此，所求通解为

21231

(cos2sin 2)22

x y C e C x x x -=++

-+。 62、解：对应齐次方程的特征方程为 2220λλ-+=，特征根为 1,21i λ=±，

齐次方程的通解为 12(cos sin )x y C x C x e =+

由于1i ±是一重特征根，故已知方程有形如 1(cos sin )x y xe A x B x =+

的特解。将1(cos sin )x y xe A x B x =+上式代入已知方程，得 0,2A B == 因此，所求通解为

12(cos sin )2sin e x y C x C x e xe x =++。

63、解：对应齐次方程的特征方程为 290λ+=，特征根为 1,23i λ=±，

齐次方程的通解为 12cos3sin3y C x C x =+ 因为3i ±是一重特征根，所以已知方程有形如

的特解。将1(cos3sin3)y x A x B x =+上式代入已知方程，得 5,3A B == 因此，所求通解为

12cos3sin35cos33sin3y C x C x x x x x =+++。

64、解：对应齐次方程的特征方程为 210λ+=，特征根为 1,2i λ=±，

齐次方程的通解为 12cos sin x C t C t =+

因为i ±是一重特征根，而2i ±不是特征根，故已知方程有形如 的特解。将上式代入已知方程，得 131

,0,,023

A B C D =-=== 因此，所求通解为

1211

cos sin cos sin 23x C t C t t t t =+-+。

65、解：对应齐次方程的特征方程为 2

220λλ-+=，特征根为 1,21i λ=±，

齐次方程的通解为 12(cos sin )t x e C t C t =+

因为1i ±一重特征根，故已知方程有形如

的特解。将上式代入已知方程，得 110,,0,,0,044

A B C D E F ====== 因此，所求通解为121(cos sin )(cos sin )4

t t x e C t C t te t t t =+++。 66、解：设 ()dp

y p y y p dy '''==?

原方程化为 2201dp p p dy y +

=- 分解得 0p = 和 2

01dp p dy y

+

=- 由 0p = 得解 y c = 由 201dp p dy y +=- 21dp dy

p y -=- 得 2(1)dp p c y dx ==- 2

(1)dy cdx y =- 积分之得 1211c x c y -=+- 或者 22

1

1y c x c =-+ 故方程的全部解为 12

1

1y c x c =-+ 和 y c =.

67、解：令,y p y p ''''== 原方程化为

即

11

(sin cos )2

x dy c x xe x x dx =++ 积分得到 212111sin (cos sin )222x x y c x xe x e x x c ??

=++-+????

.

68、解：令 y ux = 则 ,2y u xu y u xu '''''''=+=+代入原方程得：

化简得 xu u '''=- 解得 1'c

u x

= 12ln u c x c =+

故通解为 12(ln )y c x c x =+.

69、解：（解法一）将原方程重新改写为 2[()]0x yy y yy ''''+-=

由于 2()yy yy y '''''=+ 令'u yy = 方程化为 du

x

u dx

= 分离变量可得 1u c x = 即 1yy c x '= 或者 1ydy c xdx =

两边积分 2212y c x c =+.

（解法二）由于方程两端关于,,y y y '''是二次齐次函数，故可作变换 代入方程后得 22[][]0u u u u u x e e u u x e u e e u '''''??++-??= 消去 22,2()0u e xu x u u ''''++= 不显含u ，令 ()()u p x u p x ''''==

得到伯努利方程

21

2dp p p dx x

-=- 令 12,v p v p p --''==- 所以 12

1du x

p v dx c x -===+

两边积分

22

1

ln x

u dx c x c ==+? 因此通解为

ln c u

y e e

c ===或者改写 2234y c x c =+.

70、解：原方程对应齐次方程特征方程为2320,r r ++=121,2r r =-=-，所以对应

齐次方程通解为 212x x y c e c e --=+

自由项1()1x f x e λ-==- 是单重特征根，1x y Axe -=。

自由项2()sin f x x i λ== 不是特征根 2sin cos y B x C x =+。

故令 ***

12

sin cos x y y y Axe B x C x -=+=++ 代入原方程两端比较系数得 13

1,,1010

A B C ===- 故方程的通解为 21213

sin cos 1010

x x x y xe x x C e C e ---=+

-++. 71、解：相应齐次方程的特征方程为2244(2)0,r r r -+=-= 故122r r ==，齐次方

程的通解为 212()x y c x c e =+。

非齐次方程的特解可令为 *2212()()x x y c x xe c x e =?+。

故 221222222()()01()()'()()x x x x

x c x xe c x e c x xe c x e e

x ''??+=??'''+=??

即 2122'()'()0

(1)1

'()(12)2'()(2)c x x c x c x x c x x ?+=???++=??

(1)22?- 得 121'()c x x

= , 代入(1)得 2

1

()c x x '=. 所以 1122211

(),()ln c x dx c c x x c x x

==-+=-+?.

故原方程的通解为 22121

()(ln )x x y c xe x c e x

=-++-+

2213()ln x x c x c e x e =+-?. 32(1)c c =-。

72、解：设 *2*2*2(),(2()()),(4()())x x x y e u x y e u x u x y e u x u x '''''=?=+=+

代入后得到 ()u x 满足 csc u u x ''+=

其特征方程210r +=，齐次方程的通解为 12sin cos c x c x +。 设特解为*12()sin ()cos u c x x c x x =+。 12(),()c x c x 满足

解得 12

()cot ()1c x x c x ''==- 于是 1122()lnsin ,()c x x c c x x c =+=-+

所以原方程的通解为 212[(lnsin )sin ()cos ]x yM e c x x c x x =++-。

73、解：令,t d

x e D dt

==

，则 2(1)xy Dy x y D D y '''==- 原方程化为 (1)220D D y Dy y -+-=。 即 2220d y dy

y dt dt

+

-=。 特征方程为 2

1220,2,1r r r r +-==-=

通解为 212t t y c e c e -=+ 或 122

c

y c x x =+。

74、解：令,t

d x

e D dt

==，则原方程化为 22222t d y dy y e dt dt +-=+，特征根为2,1-。

自由项2()2t f t e λ==不是特征根，故特解*21t y Ae =

自由项()20f t λ==不是特征根，故特解*

2

y B =。 设 *2*2*224t t

t y Ae B

y Ae y Ae '''=+==。 代入方程后 221

42214

t t A e B e A B ?-=+==-

通解为 22121

14

t t t y c e c e e -=++-

或者 2

122

114

c y c x x x =++-。 75、解：（解法一）由 cos u y x = 两端对x 求导，得

可将原方程化为 "4x u u e += 特征方程为 21,2402r r i +==±， 齐次方程通解为 12cos 2sin 2u c x c x =+。 自由项()1x f x e λ== 不是特征根。

设 *x u Ae = 代入方程解得 15

A =

其通解为 121cos 2sin 25

x u c x c x e =++ （12,c c 为任意常数）

原方程的通解为 12cos 2sin 21cos cos 5cos x

x x e y c c x x x =++ 1222cos 2'sin 2('2)cos cos x x e c c x c c x x

=++=。

（解法二）也可由 sec y u x = 代入原放后得方程 4x u u e ''+=

以下解法同解法一。

76、解：由（2）式解得 12dy

x y dt

=+

（3） 代入（1）得到 21242

t t y y e -''+= 或 248t t y y e -''+= （4）

相应特征方程 21,240

2r r i +==±

齐次方程通解为 12cos2sin 2y c t c t =+ 自由项2()82t f t e λ-==- 不是特征根。

设 *2t y Ae -= 代入方程（4）得到 22(44)8t t A A e e --+=，得 1A = 。 故方程（4）的通解为 212cos2sin 2t y c t c t e -=++

代入（3）式得到2212121cos2sin 2(2sin 22cos22)2

t t x c t c t e c t c t e --=+++-+-

即原方程通解为 1221212

()()cos2()sin 2()cos2sin 2t

x t c c t c c t

y t c t c t e -=++-??=++?。 77、解：由（3）式正是一阶常系数微分方程，特征方程202r r -==，故233x y c e =

代入（2） 2223x dy

y c e dx

+= （4）

特征方程 101r r +==-。而自由项 23()2x f x c e λ== 不是特征根。

设*

22

x y Ae =，解得： 313A c =。故方程（2）可解出 222313x x y c e c e -=+ 代入（1）式得到 211232

223

x x dy y c e c e dx --=-- （5）

特征方程为 202r r -==

自由项222

()23

x x f t c e e -=--中11λ=-不是特征根，22λ=是单重特征根，

故设特解为 *21x x y Be Dxe -=+。

代入（5）得

得 2322,3

3

B c D c ==-，

方程（5）的通解为 2211232

23

3

x x x y c e c e c xe -=+-

最后可写出方程组的通解为 21

132223223322()33

13x

x x x x y c c x e c e y c e c e y c e --?=-+??

?

=+??

=???

78、解：系数矩阵5445A ??

= ???

的特征方程是 求得特征值为 121,9λλ==。

相应于11λ=的特征向量a b ?? ???满足 44()044a a A E b b ??????

-== ? ????????? 解之得 1,1a b ==-。

相应于29λ=的特征向量a b ??

???满足 4

4(9)04

4a a A E b b -??????

-== ?

???-??????

解之得1a b ==。

由此得方程组的通解为 9121111

x x y C e C e z ??????=+ ? ? ?-??

?

?

??

。

79、解：系数矩阵3452A ??

=

???

的特征方程为 求得特征值为 122,7λλ=-=。

相应于12λ=-的特征向量a b ?? ???满足 54(2)054a a A E b b ??????

+== ? ?????????

即5

4b a =-。所以，特征向量可取为 45a b ????= ? ?-????

相应于27λ=的特征向量a b ?? ???满足 44(7)055a a A E b b -??????

-== ? ???-??????

即a b =。所以，特征向量可取为 11a b ????

= ? ?????

由此得方程组的通解为 27124151t t x C e C e y -??????

=+ ? ? ?-??????

。

80、解：把方程组改写为 232x x y y x y =-=-

为系数矩阵2312A -??= ?

-??

的特征方程2

23det()1012A E λλλλ---==-=-- 解之，得特征值为 121,1λλ==-。相应于11λ=的特征向量a b ??

???

满足

13013a b -????= ???-????解之得3a b =。不妨取1b =，则3a =。那么，对应的解为 31t x e y ????

= ? ?????

相应于11λ=-的特征向量a b ?? ???满足 33033a b -????

= ???-????

解之得a b =。不妨取1a b ==。那么，对应的解为 11t x e y -????

= ? ?????

于是，方程组的通解为 123111t t x C e C e y -??????

=+ ? ? ???????

。