材料力学第八章(1)

烟 囱 ( 图 a) 有 侧 向 荷 载 （风荷，地震力）时发生弯 压组合变形。
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齿轮传动轴（图b）发生弯曲与扭 转组合变形（两个相互垂直平面内的 弯曲加扭转）。
吊车立柱（图c）受偏心压缩，发 生弯压组合变形。
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立柱内力：轴力，弯矩。拉伸+弯曲
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拉 +弯 +弯 +扭
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两个平面内的弯曲(图d)由于计算构件横截面上应力及横 截面位移时，需要把两个平面弯曲的效应加以组合，故归于 组合变形。
第 8 章 组合变形及连接部分的计算
§8-1 概述 §8-2 双对称截面梁在两个相互 垂直平面内的弯曲
§8-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
§8-4 扭转和弯曲的组合变形
§8-5 连接件的实用计算法
§8-6 铆钉和螺栓连接的计算
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§8-1 概 述
Ⅰ. 组合变形 构件在荷载的作用下如发生两种或两种以上基本形式的 变形，且几种变形所对应的应力（和变形）属于同一数量级， 则构件的变形称为组合变形（combined deformation）。
s t,max
3 103 N 8 103 N m -4 2 40.8 10 m 124 10-6 m 3 63.8 106 Pa 63.8 MPa
s c ,max
3 103 N 8 103 N m -4 2 -6 3 40.8 10 m 124 10 m 65.2 106 Pa 65.2 MPa
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§8-2 双对称截面梁在两个相互垂直 平面内的弯曲
具有双对称截面 的梁，它在任何一 个纵向对称面内弯 曲时均为平面弯曲。
故具有双对称截面的梁在两个纵向对称面内同时承受横向 外力作用时，在线性弹性且小变形情况下，可以分别按平面弯 曲计算每一弯曲情况下横截面上的应力和位移，然后叠加。
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图示悬臂梁 x 截面上的弯矩和任意点C处的正应力为： 由于水平外力F1 由于竖直外力F2
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例题 8-2
图a所示折杆ACB由 两根钢管焊接而成，A 和B处为铰支座，C 处作 用有集中荷载F=10 kN。 试求折杆危险截面上的 最大拉应力和最大压应 力。已知钢管的外直径 D =140 mm，壁厚d =10 mm。
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例题 8-2
解: 1. 约束力为F =F =5 kN。折杆的受力图如图b所示。 A B 根据对称性，只需分析折杆的一半，例如AC杆。将FA分解 为沿AC 杆轴线和垂直于AC轴线方向上的两个分力FAx和FAy 。
可见A截面上的外棱角D1和D2处分别为sc,max和st,max 。
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例题 8-1
4. 求许可荷载集度[q]。
根据强度条件 (s max ) A [s ] ，有
（21.5×10-3)q ≤160×106 Pa
解得 于是
160 106 3 q 7 . 44 10 N/m 3 21.5 10
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对于如图b所示横截面具 有外棱角的梁，求任何横截面 上最大拉应力和最大压应力时， 可直接按两个平面弯曲判定这 些应力所在点的位置，而无需 定出中性轴的方向角q。
工程计算中对于实体截面的梁在斜弯曲情况下，通常不考 虑剪力引起的切应力。
例题 8-1
qa ( N ) 。试求梁的许用 集度为q (N/m)，集中荷载为 F 2 -6
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例题 8-2
由图a所示的几何关系，可见sina =3/5 ，cosa=4/5， FAx = FA sina=3kN和 FAy= FA cosa = 4 kN。AC杆的长度为2m，mm截面上的内力分别为
FN=-FAx=-3 kN Mmax=FAy×2m= 8 kN· m
可见此杆产生弯、压组合变形。
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至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力引起的 附加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有杆的弯曲刚度 相当大（大刚度杆）且在线弹性范围内工作时才可应用叠加 原理。
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图a所示发生弯一拉组合变形的杆件，跨中截面为危险截 1 面，其上的内力为FN=Ft， M max Fl 。该横截面上与轴 4 FN Ft st ， 力FN对应的拉伸正应力st为均匀分布(图b)， A A 而与最大弯矩Mmax对应的弯曲正应力在上、下边缘处(图c)， 其绝对值 s M max Fl 。 b W 4W
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键连接中，键主要受剪切及挤压。
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工程计算中常按连接件和构件在连接处可能产生的破 坏情况，作一些简化的计算假设（例如认为螺栓和铆钉的 受剪面上切应力均匀分布）得出名义应力,然后与根据在相 同或类似变形情况下的破坏试验结果所确定的相应许用应 力比较，从而进行强度计算。这就是所谓工程实用计算法。
这就表明，只要 Iy≠Iz ，中性轴的方向 就不与合成弯矩M的矢量重合。因此， 通常把这类弯曲称为斜弯曲。
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确定中性轴的方向后，作平行于 中性轴的两直线，分别与横截面的周 边相切，这两个切点（图a中的点D1、 D2）就是该截面上拉应力和压应力为 最大的点。从而可分别计算水平和竖 直平面内弯曲时这两点的应力，然后 叠加。
F z F z yF y s (1 2 2 ) A iy iz
(c)
上式是一个平面方程，它表明偏心拉伸时杆的横截面上的正 应力按直线规律变化。
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(2) 偏心拉(压)杆横截面上中性轴的位置 现在来确定横截面绕着转动的中性轴的位置。设中性轴 上任意点的坐标为y0、z0，以此代入式(c)并令s =0可得中性 轴的方程
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故有中性轴的方程：
My Mz z0 y0 0 Iy Iz
中性轴与y轴的夹角q（图a）为
z0 M z I y I y tan q tan y0 M y I z I z
其中 角为合成弯矩 与y的夹角。
2 M My M z2
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Iy tan q tan Iz
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对于组合变形下的构件，在线性弹性范围内且小 变形的条件下，可应用叠加原理将各基本形式变形 下的内力、应力或位移进行叠加。
在具体计算中，究竟先按内力叠加（按矢量法则叠加） 再计算应力和位移，还是先计算各基本形式变形下的应力或 位移然后叠加，须视情况而定。
Ⅱ.连接件的实用计算 连接件（螺栓、铆钉、键等）以及构件在与它们连接 处实际变形情况复杂。 螺栓连接中，螺栓主要受剪切及挤压（局部压缩）。
π 2 A [ D ( D 2d )2 ] 4 40.8 104 m 2
π 4 I [ D ( D 2d )4 ] 64 8 4 868 10 m
I W 124 106 m 3 D/2
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例题 8-2
4. 将FN 和Mmax以及A和W的值代入式(a)得
故D 截面也是可能的危险面。为确定危险截面，需比较A 截面和D 截面上的最大弯曲正应力。
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例题 8-1
(e)
y
z
z
D1
MyA
y
MzA
y
D2
z
M yA M zA 0.642q (12 ) 0.266q (12 ) (s max ) A 6 Wy Wz 31.5 10 237 10 6 3 (21.5 10 ) q M yD M zD 0.444q (12 ) 0.456q (12 ) (s max ) D 6 Wy Wz 31.5 10 237 106 (16.02 103 ) q 由于 (s max ) A (s max ) D ，可见A截面为危险截面。由图e
zF yF 1 2 z0 2 y0 0 iy iz
可见，偏心拉伸时中性轴为一条不通 过横截面形心的直线（图a）。
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而中性轴在形心主惯性轴y、z上的截距（图b）为
iz2 ay yF
或
2 iy az zF
由此还可知，中性轴与偏心拉力作用点位于截面形心的相 对两侧。
荷载集度[q]。已知：a =1 m; 20a号工字钢：Wz=237×10 图a所示悬臂梁，由20a号工字钢制成，梁上的均布荷载
m3，Wy=31.5×10-6 m3；钢的许用弯曲正应力[s ]=160 MPa。
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例题 8-1
解: 1. 将集中荷载F 沿梁横截面的两个对称轴y、z分解为
qa Fy F cos 40 cos 40o 0.383qa 2 qa o Fz F sin 40 sin 40o 0.321qa 2
FN M y z M z y s A Iy Iz F FzF z FyF y A Iy Iz
(b)
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在工程计算中，为了便于分析一些问题，常把惯性矩Iy和 Iz写作如下形式：
2 I y Ai y ,
I z Ai z2
上列式中的iy和iz分别称为截面对于y轴和z轴的惯性半径，其 单位为m或mm；它们也是只与截面形状和尺寸有关的几何 量—截面的几何性质。于是式(b)亦可写作
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由于Mey和Mez作用在包含形心主惯性轴的纵向面内，故引 起的都是平面弯曲。可见偏心拉伸（压缩）实为轴向拉伸 （压缩）与平面弯曲的组合，且当杆的弯曲刚度相当大时 可认为各横截面上的内力相同。
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图c所示任意横截面n-n上的内力为 FN=F， My=Mey=F· zF， Mz=Mez=F· yF 横截面上任意点C ( y, z ) 处的正应力为
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II.偏心拉伸(压缩) 偏心拉伸或偏心压缩是 指外力的作用线与直杆的轴 线平行但不重合的情况。 图a所示等直杆受偏心距 为e 的偏心拉力F 作用，杆 的横截面的形心主惯性轴为 y轴和z轴。
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(1) 偏心拉(压)杆横截面上的内力和应力
将偏心拉力F向其作用 截面的形心O1简化为轴向 拉力F和力偶矩Fe，再将 该力偶矩分解为对形心主 惯性轴y和z的分量Mey和 Mez(图b及图c)： Mey=Fe sina =F· zF , Mez=Fe cosa =F· yF
弯 矩
My(x)=F1 x
Mz(x)=F2 (x-a)
My 弯曲正应力 s z Iy
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Mz s y Iz
注意到在F1 作用下x 截面绕中性轴y 转动，在F2 作用下x 截 面绕中性轴z 转动,可见在F1和F2共同作用下，x 截面必定绕通过 y 轴与z 轴交点的另一个轴转动，这个轴就是梁在两个相互垂直 平面内同时弯曲时的中性轴，其上坐标为y、z的任意点处弯曲正 应力为零。
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例题 8-2
2. AC杆危险截面m-m上的最大拉应力st,max和最大压应 力sc,max分别发生在该截面的下边缘f点处和上边缘g点处(图 b)，其计算公式分别为
s t ,max
FN M max A W
或
s c ,max
FN M max (a) A W
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例题 8-2
3. 钢管横截面的几何性质分别为
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在FN 和Mmax共同作用下，危险 截面上正应力沿高度的变化随sb和st 的值的相对大小可能有图d 、e 、f 三种情况。危险截面上的最大正应力 是拉应力：
s t ,max
Ft Fl A 4W
注意到危险截面最大拉应力作用点（危险点）处为单向应力 状态，故可把st,max直接与材料的许用正应力进行比较来建立 强度条件。
o
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例题 8-1
2. 梁的计算简图如图b所示，并分别作水平弯曲和竖直弯曲 的弯矩My图和Mz 图（图c ,d）。
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例题 8-1
3. 分析梁的危险截面，并求smax A截面上My最大，MyA=0.642 qa2,该截面上Mz虽不是最大， 但因工字钢Wy<<Wz ，故A截面是可能的危险截面， MzA=0.226qa2。 D 截面上Mz 最大： MzD=0.456 qa2 ，且 MyD= 0.444 qa2，
[q]=7.44×103 N/m =7.44 kN/m
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§8-3 拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
Ⅰ. 横向力与轴向力共同作用
图a为由两根槽钢组成的杆件，受横向力F和轴向力Ft 作用时的计算简图，该杆件发生弯曲与拉伸的组合变形。
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轴向拉力会因杆件有弯曲变形而产生附加弯矩，但它与横 向力产生的弯矩总是相反的，故在工程计算中对于弯一拉组合 变形的构件可不计轴向拉力产生的弯矩而偏于安全地应用叠加 原理来计算杆中的应力。