上册圆周角人教版九年级数学全一册课件1
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人教版九年级上册数学课件24.1.4圆周角(共29张PPT)
【设计意图】通过前面学生发现类似的“红旗”图案？这些接下来命题的证明有又有哪些启示？
通过学生动手度量，让学生主动参与课堂，在动手过程中得到结论，去体会知识生成过程的快乐。
我会运用“分类”、“化 学生完成证明过程，思考交流后一种情况的证明思路，在展示台上展示学生的证明过程，教师做思路和规范性点评）
(二) 尝试探究，解决问题
让学生仔细观察，分析思考，
我会运用“分类”、“化归”思想进行有关的证明.
２．创设问题情境
生活实践
通过学生动手度量，让学生主动参与课堂，在动手过程中得到结论，去体会知识生成过程的快乐。
在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，并且都等于这条弧所对的圆心角的一半
在学生认识圆周角与圆心的位置关系的同时引导从三种情况进行分析并推导圆周角定理。
O·
O·
O·
B
C
B
C
C
圆心在圆周
角边上
圆心在圆周
角内部
圆心B 在圆周
角外部
在上述三种情况中你觉得哪个图形较特殊一点,你能利用该
图来证明刚才我们发现的同弧所对的圆周角与圆心角的大小
关系吗?
证一证
O
你能发现几杆类似的“红旗”图案？
这些对该情况下命题的证明有哪些启示？
A
A 证明∵OA=OC
O
∴∠A=∠C.
转化
分类
教学得失
本节课是在圆的基本概念及四量关系定理的基础上，对圆周 角定理的探索，圆周角定理在圆的有关计算和证明中有着广 泛的应用，它为后续学习打下基础，在教材中起着承上启下 的作用．反思本节课，我有如下体会 1、抓重点、破难点、释疑点。本节课的重点是圆周角的概 念及其性质定理，其中“同弧（或等弧）所对的圆周角相等” 学生很容易掌握，但圆周角与圆心角的关系较难理解，我通 过从特殊情况引导学生分析得出一般性结论，从而化解难点。 学生在遇到复杂图形中找圆周角关系时较难识图，我引导学 生从“角—弧—角”的串联形式分析角的关系，效果较好。 2、注重知识的生成，注重思想方法的渗透。通过一系列问 题引导学生从特殊情况入手，在动手测量、自主探索，合作 交流的过程中归纳总结出一般性的结论。在学生认识圆周角 与圆心的位置关系的同时引导从三种情况进行分析并推导圆 周角定理。同时渗透了“分类”、“化归”、“归纳”“从 特殊到一般”等数学思想，有效提高了学生分析问题的能力， 充分体现学生的主体地位与教师的主导作用。
人教版九年级数学上册圆周角教学课件
O
A B
圆内接多边形
若一个多边形各顶点都在同一个圆上，
那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这
个圆叫做这个多边形的外接圆。
D
BC
E
C
O
A
O
D
A B
F
E
A 如图，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形， ⊙O是四边形 ABCD的外接圆。 思考：∠A+∠C=? 能用圆周角定理证明你的结论B吗？
圆内接四边形的对角互补。
人教版九年级数学上册圆周角教学课 件
人教版九年级数学上册圆周角教学课 件
3.当圆心在圆周角外部时 提示:能否转化为1的情况?
A C
过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD
=
1∠AOD,∠CBD
2
=
1
B
∠COD,
2
●O
D
1 ∴ ∠ABC = 2 ∠AOC.
结论:在同圆或等圆中,一条弧所对的圆 周角等于它所对圆心角的一半.
A' C'
A
C
练一练.1试找出下图中所有相等的圆周角。
D
A1
87
2
3 4
6
5
B
C
∠2=∠7 ∠1=∠4
∠3=∠6 ∠5=∠8
如果∠A=44°,则∠BOC=_8_8_0_. 如果∠BOC=44°,则∠A=_2_2_0_. 如果∠A=35°,则∠BDC=_3_5__0 .
B
A D
O C
探究二：
1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？
2
求证： △ABC 为直角三角形.
C
证明： 以O为圆心，AB为直径作⊙O，
∵AO=BO，CO= 1 AB,
人教版数学九年级上册圆周角的概念和圆周角的定理ppt课件
（2）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 相等。
AB
C′
C
E
O
C
F
DF
B' O′
B O
A'
A
【方法一点通】 利用圆周角定理及其推论证明时常用的思路
1.在同圆或等圆中,要证弧相等,考虑证明这两条弧所对的圆周角
（圆心角、弦、弦心距）相等.
2.在同圆或等圆中,要证圆周角相等,考虑证明这两个圆周角所对 的弧（圆心角、弦、弦心距）相等.
圆周角定理推理2
同圆或等圆中，相等的圆周角所对 的弧相等
条件“在 同圆或等 圆中”可以 省略吗？
C′
C
B' O′
B O
A'
A
知识要点 圆周角定理的推理
1、（在同圆或等圆中），同弧或等弧所 对的圆周角相等．
2、 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，
它们所对的弧一定相等
A
C
B
·
·
D
E
正确理解圆心角，弦、 弦心距、圆周角与弧 的互推关系
知一推四 前提：同圆 或是等圆中
正确理解圆心角，弦、 弦心距、圆周角与弧 的互推关系
课后练习. P88 第3,4题.
谢谢大家!
课后作业
1． 已知：A⌒C = B⌒D， A
B
求证：AB∥CD． C
D
2.AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使 AD=AB，如果∠ADB=35° ，求∠BOC的度数。
⌒⌒ AB=A′B′
C′
B A′
B′ O′
人教版数学九年级上册圆周角的概念 和圆周 角的定 理p p t 课件
五、定理
圆周角定 理
在同圆或等圆中，一条弧(同弧或等弧)
AB
C′
C
E
O
C
F
DF
B' O′
B O
A'
A
【方法一点通】 利用圆周角定理及其推论证明时常用的思路
1.在同圆或等圆中,要证弧相等,考虑证明这两条弧所对的圆周角
（圆心角、弦、弦心距）相等.
2.在同圆或等圆中,要证圆周角相等,考虑证明这两个圆周角所对 的弧（圆心角、弦、弦心距）相等.
圆周角定理推理2
同圆或等圆中，相等的圆周角所对 的弧相等
条件“在 同圆或等 圆中”可以 省略吗？
C′
C
B' O′
B O
A'
A
知识要点 圆周角定理的推理
1、（在同圆或等圆中），同弧或等弧所 对的圆周角相等．
2、 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，
它们所对的弧一定相等
A
C
B
·
·
D
E
正确理解圆心角，弦、 弦心距、圆周角与弧 的互推关系
知一推四 前提：同圆 或是等圆中
正确理解圆心角，弦、 弦心距、圆周角与弧 的互推关系
课后练习. P88 第3,4题.
谢谢大家!
课后作业
1． 已知：A⌒C = B⌒D， A
B
求证：AB∥CD． C
D
2.AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使 AD=AB，如果∠ADB=35° ，求∠BOC的度数。
⌒⌒ AB=A′B′
C′
B A′
B′ O′
人教版数学九年级上册圆周角的概念 和圆周 角的定 理p p t 课件
五、定理
圆周角定 理
在同圆或等圆中，一条弧(同弧或等弧)
人教版数学九年级上册..圆周角的概念和圆周角的定理课件
议一议 7
圆周角定理
• 综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是
• :圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心
角的一半. 即 ∠ABC = 1 ∠AOC.
2
A
A
A
C
C
C
●O
●O
●O
B
B B
人教版数学九年级上册..圆周角的概 念和圆 周角的 定理课 件
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人教版数学九年级上册..圆周角的概 念和圆 周角的 定理课 件
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想一想 2
类比圆心角探知圆周角
• 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等. • 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？
A C
A C
A C
●O
●O
●O
B
B
为了解决这个问题,我们B先探究一条弧所对的圆周
角和圆心角之间有的关系.
C
∴∠AOC=∠B+∠A.∵OA=ຫໍສະໝຸດ B，●O∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
B
即 ∠ABC = 1∠AOC.
2
一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.
你能写出这个命题吗?
‹#
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人教版数学九年级上册..圆周角的概 念和圆 周角的 定理课 件
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猜一猜 9
1.如图,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?为 什么?
2.想一想，等圆中也有这样的结论吗？
D
B
E
●O
同弧或等弧所对的圆周角相等；
人教版数学九年级上册圆周角课件PPT
24.1.4 圆周角（1）
1、复习提问:
(1)什么是圆心角？ (2)圆心角，弧，弦，弦心
距关系定理是什么？
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∠ACB与 ∠AOB 有何异同点？ 你知道∠ACB这一类的角名字吗？
圆周角的概念 ： C
顶点在圆上，两边与
定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的一半．
推论
在同圆或等圆中，同弧或等弧所
C2
对的圆周角相等
C1
C3
半圆（或直径）所对的圆周角是 直角，90°的圆周角所对的弦 A 是直径．
·O
B
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A
A
A
C
C
C
●O
●O
●O
B
B B
n 为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆 周角和圆心角之间的关系.
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议圆一议周角和圆心角的关系
为了进一步探究上面的发现，如图在⊙O任取一个圆周角 ∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O和∠BAC的顶点 A．由于点A的位置的取法可能不同，这时折痕可能会；
（1）在圆周角的一条边上；
∵OA=OC，
A
O·
B
C
∴∠A=∠C． 又∠BOC=∠A+∠C ∴∠BOC=2∠A
1、复习提问:
(1)什么是圆心角？ (2)圆心角，弧，弦，弦心
距关系定理是什么？
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∠ACB与 ∠AOB 有何异同点？ 你知道∠ACB这一类的角名字吗？
圆周角的概念 ： C
顶点在圆上，两边与
定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的一半．
推论
在同圆或等圆中，同弧或等弧所
C2
对的圆周角相等
C1
C3
半圆（或直径）所对的圆周角是 直角，90°的圆周角所对的弦 A 是直径．
·O
B
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A
A
A
C
C
C
●O
●O
●O
B
B B
n 为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆 周角和圆心角之间的关系.
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议圆一议周角和圆心角的关系
为了进一步探究上面的发现，如图在⊙O任取一个圆周角 ∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O和∠BAC的顶点 A．由于点A的位置的取法可能不同，这时折痕可能会；
（1）在圆周角的一条边上；
∵OA=OC，
A
O·
B
C
∴∠A=∠C． 又∠BOC=∠A+∠C ∴∠BOC=2∠A
九年级数学上册24.1圆垂径定理圆心角圆周角124.1.2垂径定理课件(新人教版)_1
即ＡＥ＝ＢＥ
⌒ ⌒⌒ ⌒
ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ
·O
E
A
B
D
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分
弦所对的两条弧．
思考： 平分弦的直径垂直于这条弦吗？
平分弦的直径垂直于弦（ ）
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
1.被平分的
C
弦不是直径
O
A
E
D
2.被平分的弦是直径
CD是直径
AE=BE AB不是直径
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧
7.2米
37.4米
1300多年前,我国隋朝建的赵州石 拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨 度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高 为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国 古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的 长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱 的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你 发现了什么？由此你能得到什么结论？
第24章
24.1圆、、垂径定理、圆心角、圆周角（1） 24.1.2垂径定理
学习目标：
• 1.理解圆的轴对称性。 • 2.掌握垂径定理及推论，能用垂径定理及其推论进行有关
计算和证明，进一步应用垂径定理解决实际问题。 • 3.学习中通过对比理解垂径定理及其推论，应用中将实际
问题转化为数学问题，培养建模思想和提高分析问题、解 决问题的能力。
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B
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∴AD=BD.
等的圆周角所对的弧相等.
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 AB 2 10 5 2 (cm)念和定理:
圆周角, 圆周角定理 两个推论：
同弧或等弧所对的圆周角相等；
半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径.
三种思想方法：
明辨真假
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
P
P
P
P 不是
顶点不 在圆上。
是
顶点在圆上， 两边和圆相 交。
不是
两边不和 圆相交。
不是
有一边和圆 不相交。
人教版数学九年级上册.. 圆周角课件 教学课件
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动手操作
在圆中任意画一个圆周角∠BAC,看一下圆
心在什么位置?画出圆周角所对弧所对的
圆心角∠BOC.
A
A
A
O
O
O
B
CB
CB
C
圆心在一边上
圆心在角内
圆心在角外
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观察猜想 人教版数学九年级上册.. 圆周角课件 教学课件
互助释疑
• 如图,观察圆周角∠ BAC与圆心角∠ BOC,它们的大 小有何等量关系?
说说你的想法,并与同伴交流.你能证明所发现的结论吗？
问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问： ∠C1，∠C2，∠C3的度数是 90°.
C1 C2
问题2： 若∠C1，∠C2，∠C3是 C3 直角，那么∠AOB是 180°.
A
O
B 推论2：半圆（或直径）所对 的圆周角是直角；90°的圆 周角所对的弦是直径.
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2
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 的 一半 ．
几何语言： ∵∠AOB是 AB 所对的圆心角，
∠ACB是 AB 所对的圆周角 ∴∠ACB= 1 ∠AOB
2
证明圆周角定理：
在⊙O任取一个圆周角∠BAC，则圆心O 在圆周角的位置，会出现三种情况：
图1
图2
图3
证明圆周角定理
①在圆周角的一条边上（如图1）圆心O
圆周角
1、理解圆周角的概念；
2、理解圆周角的定理，理解圆周角定 理的推论.
1、什么是圆心角？ 答：顶点在圆心的角是圆心角.
2、圆心角、弦、弧之间有什么内在联系？ 答：在同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弧相等，所对的弦也相等.
1、顶点在 圆上 ，并且两边都与圆 相交 的 角叫做圆周角．
2、圆周角定义的两个特征：
(1)顶点都在 圆上 ；(2)两边都与圆相交 ．
判断下列图形，指出哪个是圆周角，并说明 理由.
答：第三个是圆周角.因为它的顶点在圆 上，并且两边都与圆相交.
思考 如图，AB 所对的圆周角 是ACB ，AB 所对的圆心角是AOB.
用量角器度量它们的度数，发现它们 有什么关系？在⊙O上任取一条弧， 做出这条弧所对的圆周角和圆心角， 有答同：样A的CB结论1 吗A？OB. 有
证明：∵∠C是半圆AB所对的圆周角
∴ C 1 AOB
.
2
又∵半圆AB,即∠AOB=180º
∴ C 90
.
1、如图，A，B，C，D是圆上的点， ∠1＝68°，∠A＝40°.则∠D＝_2_8_°___.
2、你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心 吗？有几种方法？与同学交流一下.
答：能.有三种方法，分别是： 1.任意画出两条弦，作两弦的垂 直平分线，交点就是圆心； 2.用三角板在圆上确定一个90°， 可找到直径，两次交点就是圆心； 3.用刻度尺找最长的弦，即直径， 两次交点就是圆心.
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 的 一半 ．
几何语言： ∵∠AOB是 AB 所对的圆心角，
∠ACB是 AB 所对的圆周角 ∴∠ACB= 1 ∠AOB
2
证明圆周角定理：
在⊙O任取一个圆周角∠BAC，则圆心O 在圆周角的位置，会出现三种情况：
图1
图2
图3
证明圆周角定理
①在圆周角的一条边上（如图1）圆心O
圆周角
1、理解圆周角的概念；
2、理解圆周角的定理，理解圆周角定 理的推论.
1、什么是圆心角？ 答：顶点在圆心的角是圆心角.
2、圆心角、弦、弧之间有什么内在联系？ 答：在同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弧相等，所对的弦也相等.
1、顶点在 圆上 ，并且两边都与圆 相交 的 角叫做圆周角．
2、圆周角定义的两个特征：
(1)顶点都在 圆上 ；(2)两边都与圆相交 ．
判断下列图形，指出哪个是圆周角，并说明 理由.
答：第三个是圆周角.因为它的顶点在圆 上，并且两边都与圆相交.
思考 如图，AB 所对的圆周角 是ACB ，AB 所对的圆心角是AOB.
用量角器度量它们的度数，发现它们 有什么关系？在⊙O上任取一条弧， 做出这条弧所对的圆周角和圆心角， 有答同：样A的CB结论1 吗A？OB. 有
证明：∵∠C是半圆AB所对的圆周角
∴ C 1 AOB
.
2
又∵半圆AB,即∠AOB=180º
∴ C 90
.
1、如图，A，B，C，D是圆上的点， ∠1＝68°，∠A＝40°.则∠D＝_2_8_°___.
2、你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心 吗？有几种方法？与同学交流一下.
答：能.有三种方法，分别是： 1.任意画出两条弦，作两弦的垂 直平分线，交点就是圆心； 2.用三角板在圆上确定一个90°， 可找到直径，两次交点就是圆心； 3.用刻度尺找最长的弦，即直径， 两次交点就是圆心.
数学：24.1.4《圆周角》课件(人教新课标九年级上)
典型例题
Байду номын сангаас
2.如图，点A、B在⊙O上，点P为⊙O上 动点，要是△ABP为等腰三角形， (1)请画出所有符合条件的点P.
(2)如果∠AOB=１００°，请求出所 有符合条件∠P的度数.
拓展提高 1、如图，AD是⊙O的直径． (1) 如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2 把圆周4等分，则∠B1的度数是 ， ∠B2的度数是 ；
拓展提高
1、如图，AD是⊙O的直径． (2) 如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2， B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2， ∠B3的度数；
拓展提高 1、如图，AD是⊙O的直径． (3) 如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2， B3 C3，…，BnCn把圆周2n等分，请你用含 n的代数式表示∠Bn的度数(只需直接写出答 案 )．
人教版九年级上册
C E O D
B
A
路桥三中 张春凤
知识回顾
顶点在圆心的角叫圆心角
探究新知
顶点在圆上，两边都与圆相交的 角叫做圆周角。 C
O A B
探究新知 下列哪些图中的∠α是圆周角? 一个角是圆周角的条件：
1
（1）角的顶点在圆上； （2）角的两边都与圆相交 。 (3)
(6)
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角相等 ,都等于这条弧所对圆心角的一 思考 :在同圆或等圆中，等弧所对的圆周 角相等吗 ? 半。
活动小结 1、因图形的位置不能确定， 就必须分类讨论；
2、正确选择分类的标准，进行合理分类； 3、逐类讨论解决； A
A
●
O
O
B C
4、归纳并作出结论。
转化 思想
24.1.4 圆周角 人教版九年级数学上册课件
丙D来自A乙C甲O
丁E
B
C
O
B
C O
D A
1、已知∠AOB＝75°，
C
求：∠ACB=
。
O
2、已知∠AOB＝120°，
A
B
求： ∠ACB =
A
3、已知∠ACD＝30°，
求：∠AOB =
4、已知∠AOB＝110°，
B 求：∠ACB =
O
B
A
C
5、教材P89 3题 6、判断下列命题的真假，若是真命题请证明，
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
要点归纳 圆周角定理
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以通
过其中的圆弧形玻璃AB 观看窗内的海洋动物,同学甲站在 圆心的O 位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C， 他们的视角（∠AOB 和∠ACB）有什么关系？
弧所对的圆心角相等， 所对
对 的 弧所对的圆周角相等， 所对
的弦也相等。
圆 周 的弦也相等。
角
3、在同圆或等圆中，相等的
等 于 3、在同圆或等圆中，相等的
弦所对的圆心角相等，所对
它 所 弦所对的圆周角相等或互补！
的弧也相等．
对 的
圆
·O
B
C
顶点不在圆上
（5）√
A B
（6）√
二 圆周角定理及其推论
测量与猜测
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC 1 BOC 2
猜想： 同一条弧（或相等的弧） 所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推导与论证
丁E
B
C
O
B
C O
D A
1、已知∠AOB＝75°，
C
求：∠ACB=
。
O
2、已知∠AOB＝120°，
A
B
求： ∠ACB =
A
3、已知∠ACD＝30°，
求：∠AOB =
4、已知∠AOB＝110°，
B 求：∠ACB =
O
B
A
C
5、教材P89 3题 6、判断下列命题的真假，若是真命题请证明，
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
要点归纳 圆周角定理
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以通
过其中的圆弧形玻璃AB 观看窗内的海洋动物,同学甲站在 圆心的O 位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C， 他们的视角（∠AOB 和∠ACB）有什么关系？
弧所对的圆心角相等， 所对
对 的 弧所对的圆周角相等， 所对
的弦也相等。
圆 周 的弦也相等。
角
3、在同圆或等圆中，相等的
等 于 3、在同圆或等圆中，相等的
弦所对的圆心角相等，所对
它 所 弦所对的圆周角相等或互补！
的弧也相等．
对 的
圆
·O
B
C
顶点不在圆上
（5）√
A B
（6）√
二 圆周角定理及其推论
测量与猜测
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC 1 BOC 2
猜想： 同一条弧（或相等的弧） 所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推导与论证
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第二十四章 圆
第4课时 圆周角(1)
学习目标
1．熟知圆周角的定义． 2．理解圆周角定理的推导过程，并会运用圆周角定理，掌
知识要点
知识点一：圆周角的定义 顶点 在圆上，并且两边都与圆 相交 的角叫做圆周角.
对点训练
1.下列各圆中，∠A 是圆周角的是( A )
上册第24章 第4课时 圆周角(1)-2020秋人教版九年级数 学全一 册课件( 共24张 PPT)
︵
角有 1 个，BC所对的圆周角有
无数 个，在图中
︵
再画两个BC所对的圆周角．
图略
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知识点三：圆周角定理的证明 如图，当圆心O在圆周角∠ABC边上时， ∵OA＝OB，∴∠A＝∠B. ∴∠AOC＝∠ A ＋∠ B ＝2∠B， 即∠B＝12∠AOC.
12.如图，AB 是⊙O 的直径，点 C，D，E 都在⊙O 上，若∠C ＝∠D＝∠E，则∠A＋∠C 在圆上，AD，BD 分别平分 ∠BAC 和∠ABC，延长 AD 交该圆于点 E，连接 BE.求证： BE＝DE.
证明：由图可得∠EBC＝∠EAC. ∵AD，BD分别平分∠BAC和∠ABC， ∴∠BAE＝∠EAC，∠DBC＝∠ABD， ∴∠EBC＝∠BAE，∴∠EBC＋∠DBC＝∠BAE＋∠ABD. 又∵∠EBC＋∠DBC＝∠EBD，∠BAE＋∠ABD＝∠BDE， ∴∠EBD＝∠BDE，∴BE＝DE.
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知识点四：圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半.
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当圆心 O 在圆周角∠ABC 外部时， 由知识点三可得∠ABD＝12∠AOD，∠CBD＝21∠COD， ∴∠CBD－∠ABD＝12∠COD－12∠AOD， ∴∠ABC＝12∠AOC.
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变式练习
10.如图，点 A，B，C 为⊙O 上的三个点，∠BOC＝2∠AOB， ∠BAC＝40°，则∠ACB＝ 20°.
7.【例 2】如图，在⊙O 中，弦 AB，CD 相交于点 P，若∠A ＝30°，∠APD＝70°，则∠B＝ 40°.
小结：本题求圆周角的解题思路： 目标角→对应弧→对应圆周角.
4．如图，点 A，B，C 是⊙O 上的三点，∠B＝75°，则∠AOC 的大小为 150°.
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知识点五：圆周角定理的推论 1 同弧或等弧所对的圆周角 相等 ．
小结：巧用圆周角定理转化角相等.
★13.如图，点A，B，C在圆上，△ABC的高AD，BE相交于 点H，延长AD交该圆于点G，连接BG.求证：HD＝GD.
11.如图，在⊙O 中，两弦 AB，CD 相交于点 E，且 AB⊥CD， 若∠A＝30°，则∠B 等于( C )
A．30° C．60°
B．50° D．70°
︵︵︵
8.【例 3】如图，在⊙O 中，∠C＝15°，且AB＝BC＝CD，则 ∠E＝ 40°.
小结：本题的关键是连半径，创造条件用圆周角定理.
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证明：当圆心 O 在圆周角∠ABC 内部时， 由知识点三可得∠ABD＝12∠AOD，∠CBD＝21∠COD， ∴∠ABD＋∠CBD＝12∠AOD＋12∠COD， ∴∠ABC＝12∠AOC.
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︵︵
5．如图，在⊙O 中，AB＝AC，∠C＝75°，则∠A＝
30° .
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知识点二：弧与圆周角、圆心角的对应关系
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︵
︵
2．如图，∠BAC 称为 BC 所对的圆周角. BC所对的圆心
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精典范例
6.【例 1】如图，点 A，B，P 在⊙O 上，若∠PBO＝15°，PA ∥OB，则∠AOB＝ 30°.
小结：本题求圆心角的解题思路： 目标角→对应弧→对应圆周角.
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3.如图，当圆心O分别在圆周角∠ABC内部、外部时，证明： ∠B＝21∠AOC.
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第4课时 圆周角(1)
学习目标
1．熟知圆周角的定义． 2．理解圆周角定理的推导过程，并会运用圆周角定理，掌
知识要点
知识点一：圆周角的定义 顶点 在圆上，并且两边都与圆 相交 的角叫做圆周角.
对点训练
1.下列各圆中，∠A 是圆周角的是( A )
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︵
角有 1 个，BC所对的圆周角有
无数 个，在图中
︵
再画两个BC所对的圆周角．
图略
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知识点三：圆周角定理的证明 如图，当圆心O在圆周角∠ABC边上时， ∵OA＝OB，∴∠A＝∠B. ∴∠AOC＝∠ A ＋∠ B ＝2∠B， 即∠B＝12∠AOC.
12.如图，AB 是⊙O 的直径，点 C，D，E 都在⊙O 上，若∠C ＝∠D＝∠E，则∠A＋∠C 在圆上，AD，BD 分别平分 ∠BAC 和∠ABC，延长 AD 交该圆于点 E，连接 BE.求证： BE＝DE.
证明：由图可得∠EBC＝∠EAC. ∵AD，BD分别平分∠BAC和∠ABC， ∴∠BAE＝∠EAC，∠DBC＝∠ABD， ∴∠EBC＝∠BAE，∴∠EBC＋∠DBC＝∠BAE＋∠ABD. 又∵∠EBC＋∠DBC＝∠EBD，∠BAE＋∠ABD＝∠BDE， ∴∠EBD＝∠BDE，∴BE＝DE.
上册第24章 第4课时 圆周角(1)-2020秋人教版九年级数 学全一 册课件( 共24张 PPT)
知识点四：圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半.
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上册第24章 第4课时 圆周角(1)-2020秋人教版九年级数 学全一 册课件( 共24张 PPT)
上册第24章 第4课时 圆周角(1)-2020秋人教版九年级数 学全一 册课件( 共24张 PPT)
当圆心 O 在圆周角∠ABC 外部时， 由知识点三可得∠ABD＝12∠AOD，∠CBD＝21∠COD， ∴∠CBD－∠ABD＝12∠COD－12∠AOD， ∴∠ABC＝12∠AOC.
上册第24章 第4课时 圆周角(1)-2020秋人教版九年级数 学全一 册课件( 共24张 PPT)
变式练习
10.如图，点 A，B，C 为⊙O 上的三个点，∠BOC＝2∠AOB， ∠BAC＝40°，则∠ACB＝ 20°.
7.【例 2】如图，在⊙O 中，弦 AB，CD 相交于点 P，若∠A ＝30°，∠APD＝70°，则∠B＝ 40°.
小结：本题求圆周角的解题思路： 目标角→对应弧→对应圆周角.
4．如图，点 A，B，C 是⊙O 上的三点，∠B＝75°，则∠AOC 的大小为 150°.
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知识点五：圆周角定理的推论 1 同弧或等弧所对的圆周角 相等 ．
小结：巧用圆周角定理转化角相等.
★13.如图，点A，B，C在圆上，△ABC的高AD，BE相交于 点H，延长AD交该圆于点G，连接BG.求证：HD＝GD.
11.如图，在⊙O 中，两弦 AB，CD 相交于点 E，且 AB⊥CD， 若∠A＝30°，则∠B 等于( C )
A．30° C．60°
B．50° D．70°
︵︵︵
8.【例 3】如图，在⊙O 中，∠C＝15°，且AB＝BC＝CD，则 ∠E＝ 40°.
小结：本题的关键是连半径，创造条件用圆周角定理.
上册第24章 第4课时 圆周角(1)-2020秋人教版九年级数 学全一 册课件( 共24张 PPT)
证明：当圆心 O 在圆周角∠ABC 内部时， 由知识点三可得∠ABD＝12∠AOD，∠CBD＝21∠COD， ∴∠ABD＋∠CBD＝12∠AOD＋12∠COD， ∴∠ABC＝12∠AOC.
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︵︵
5．如图，在⊙O 中，AB＝AC，∠C＝75°，则∠A＝
30° .
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知识点二：弧与圆周角、圆心角的对应关系
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︵
︵
2．如图，∠BAC 称为 BC 所对的圆周角. BC所对的圆心
上册第24章 第4课时 圆周角(1)-2020秋人教版九年级数 学全一 册课件( 共24张 PPT)
精典范例
6.【例 1】如图，点 A，B，P 在⊙O 上，若∠PBO＝15°，PA ∥OB，则∠AOB＝ 30°.
小结：本题求圆心角的解题思路： 目标角→对应弧→对应圆周角.
上册第24章 第4课时 圆周角(1)-2020秋人教版九年级数 学全一 册课件( 共24张 PPT)
上册第24章 第4课时 圆周角(1)-2020秋人教版九年级数 学全一 册课件( 共24张 PPT)
上册第24章 第4课时 圆周角(1)-2020秋人教版九年级数 学全一 册课件( 共24张 PPT)
3.如图，当圆心O分别在圆周角∠ABC内部、外部时，证明： ∠B＝21∠AOC.
上册第24章 第4课时 圆周角(1)-2020秋人教版九年级数 学全一 册课件( 共24张 PPT)