【精编】2012年广州大联盟数学试题真题附答案
(广东卷)2012年普通高等学校招生全国统一考试试卷及答案(文数)
绝密★启用前 试卷类型：B2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设i 为虚数单位，则复数34i i+=A. 43i --B. 43i -+C. 43i +D. 43i -2.设集合U={1.2.3.4.5.6}，M={1.3.5}，则U M ð=A.{2.4.6}B.{1.3.5}C.{1.2.4}D.U3.若向量(1,2)AB =，(3,4)BC =，则AC =A.（4.6）B.（-4,-6）C.（-2，-2）D.（2，2） 4.下列函数为偶函数的是.sin A y x = 3.B y x = .x C y e=.l D y =5.已知变量x ，y 满足约束条件11.10 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则z=x+2y 的最小值为A ．3 B.1 C.-5 D.-6 6.在ABC 中，若A ∠=60°, ∠B=45°，AC= A ．BC. D7．某几何的三视图如图1所示，它的体积为A ．72πB 48π C.30π D.24π8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x+4y-5=0与圆2x +2y =4相交A 、B 两点，则弦AB的长等于A ． D 1 9．执行如图2所示的程序图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为A ．105B ．16C ．15D ．1 10．对任意两个非零的平面向量α和β，定义=αβαβββ. 若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且.a b 和.b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩中，则.a b = A ．52 B ．32 C ．1 D ．12二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
（一）必做题（11~13题）11.函数y x=的定义域为 . 12.若等比数列{a n }满足241,2a a =则2135a a a = . 13.由正整数组成的一组数据1234,,,,x x x x 其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为 .（从小到大排列）（二）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程3/ 11分别为}||22n n n Z n Z ⎧⎧⎫∈∈⎨⎨⎬⎩⎭⎩（θ为参数，(0)2πθ≤≤12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点坐标为 .15.（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线PB 与圆O 相切于点B,D 是弦AC 上的点，PBA DBA ∠=∠.若AD=m,AC=n,则AB= .16. （（17.18（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，A B P A⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点，F 是CD 上的点，且12DF AB =,PH 为PAD ∆中AD 边上的高。
2012年高考真题——理科数学(广东卷)
2012年高考真题——理科数学（广东卷）设i为虚数单位，则复数=A．6+5i B．6-5i C．-6+5i D．-6-5i【答案解析】D=．故选D．设集合U={1,2,3,4,5,6}，M={1,2,4 }，则CuM=A．U B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6}【答案解析】C，故选C.若向量=（2,3），=（4,7），则=A．（-2,-4）B．(3,4) C．(6,10) D．(-6,-10)【答案解析】A．故选A．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是A.y=ln（x+2）B.y=-C.y=（）xD.y=x+【答案解析】A函数y=ln（x+2）在区间（0，+∞）上为增函数；函数y=-在区间（0，+∞）上为减函数；函数y=（）x在区间（0，+∞）上为减函数；函数y=x+在区间（0，+∞）上为先减后增函数．故选A．已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为A.12B.11C.3D.-1【答案解析】B画约束区域如图所示，令得，化目标函数为斜截式方程得，当时，，故选B。
某几何体的三视图如图所示，它的体积为A．12πB.45πC.57π D.81π【答案解析】C该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，根据三视图中的数量关系，可得．故选C．从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数为0的概率是A. B.C. D.【答案解析】D法一：对于符合条件“个位数与十位数之和为奇数的两位数”分成两种类型：一是十位数是奇数，个位数是偶数，共有个，其中个位数为0的有10,30,50,70,90共5个；二是十位数是偶数，个位数是奇数，共有，所以．故选D．法二：设个位数与十位数分别为，则，1,2,3,4,5,6,7,8,9，所以分别为一奇一偶，第一类为奇数，为偶数共有个数；第二类为偶数，为奇数共有个数。
两类共有45个数，其中个位是0，十位数是奇数的两位有10,30,50,70,90这5个数，所以其中个位数是0的概率是，选D。
2012广州一模试题及答案(数学理)
试卷类型：A2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2012.3本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，其中12nx x x x n+++= . 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为A ．2-B ．1-C ．0D ．2 2．已知全集U =R ，函数11y x =+的定义域为集合A ，函数()2log 2y x =+的定义域为集合B ，则集合()U A B = ðA ．()2,1--B ．(]2,1--C ．(),2-∞-D ．()1,-+∞3．如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为12π，则ω的值为 A ．3 B ．6 C ．12 D ．244．已知点()P a b ，（0ab ≠）是圆O ：222x y r +=内一点，直线l 的方程为20ax by r ++=，那么直线l 与圆O 的位置关系是A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定5．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =， ()0,2b =，则⨯a b 的值为A ．8-B ．6-C ．8D ．67．在△ABC 中，60ABC ∠=，2AB =，6BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为 A ．16 B ．13 C ．12 D ．238．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(),,x y z ，若x y z ++是3的倍数，则满足条件的点的个数为A ．252B ．216C ．72D ．42二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．10．已知()211d 4kx x +⎰2≤≤，则实数k 的取值范围为 ． 11．已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增，则实数m 的值为 ．12．已知集合{}1A x x =≤≤2，{}1B x x a =-≤，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为 ．13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，……，若按此规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = ．512122图2图1 俯视图 22正(主)视图2 2 2 侧(左)视图222（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为5cm ，点P 是弦AB 的中点，3OP =cm ，弦CD 过点P ，且13CP CD =，则CD 的长为 cm ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：1,1x s y s =+⎧⎨=-⎩（s 为参数）和C ：22,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数）， 若l 与C 相交于A 、B 两点，则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）设3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．17．（本小题满分12分）如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．（1）求a 的值； （2）求乙组四名同学数学成绩的方差；（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）．（温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明．）18．（本小题满分14分）如图5所示，在三棱锥ABC P -中，6AB BC ==，平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，1AD =，3CD =，3PD =．（1）证明△PBC 为直角三角形；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值．图4 甲组 乙组 8 9 7 a 3 5 7 9 6 6 图5BPACD P OABCD图319．（本小题满分14分）等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()252123n n n b a n n +=++，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（本小题满分14分）已知椭圆2214y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，离心率为5的双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ． （1）求曲线C 的方程；（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=； 21．（本小题满分14分）设函数()e xf x =(e 为自然对数的底数)，23()12!3!!nn x x x g x x n =+++++L （*n ∈N ）． （1）证明：()f x 1()g x ≥；（2）当0x >时，比较()f x 与()n g x 的大小，并说明理由；（3）证明：()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤L （*n ∈N ）．2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DBCABDCA二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．9．433 10．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．3 12．[]1,2 13．35，10 14．62 15．2 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：9f π⎛⎫⎪⎝⎭tan 34ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭………………………………………………1分 tantan 341tan tan34ππ+=ππ-………………………………………………3分 312313+==---．…………………………………………………4分（2）解：因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………………5分()tan α=+π……………………………………………………6分tan 2α==．…………………………………………………7分所以sin 2cos αα=，即sin 2cos αα=． ①因为22sin cos 1αα+=， ② 由①、②解得21cos 5α=．……………………………………………………9分 因为3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，所以5cos 5α=-，25sin 5α=-．………………………10分 所以cos 4απ⎛⎫-⎪⎝⎭cos cos sin sin 44ααππ=+ ……………………………………11分 52252310525210⎛⎫=-⨯+-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭．…………………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） （1）解：依题意，得11(87899696)(87909395)44a ⨯+++=⨯++++，………………1分 解得3a =.……………………………………………………………………2分（2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为92x =.……………………………3分所以乙组四名同学数学成绩的方差为()()()()222221879293929392959294s ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦. …………5分（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4416⨯=种可能的结果．……………6分这两名同学成绩之差的绝对值X 的所有情况如下表：87 89 96 96 87 0 2 9 9 93 6 4 3 3 93 6 4 3 3 958611所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.…………………………………………………8分由表可得1(0)16P X ==，2(1)16P X ==，1(2)16P X ==，4(3)16P X ==， 2(4)16P X ==，3(6)16P X ==，1(8)16P X ==，2(9)16P X ==.所以随机变量X 的分布列为：X 0 1 2 3 4 6 89P116 216 116 416 216 316 116 216随机变量X 的数学期望为……………………10分甲乙X121423012346161616161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯12891616+⨯+⨯………11分 6817164==.……………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明1：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，AB BC =，所以AC BE ⊥．因为6AB BC ==，4=AC ，所以()2222622BE BC CE =-=-=．………………3分 因为PD ⊥AC ，所以△PCD 为直角三角形． 因为3PD =，3CD =， 所以()22223323PC PD CD =+=+=．………4分连接BD ，在Rt △BDE 中，因为2BE =，1DE =， 所以()2222213BD BE DE =+=+=．…………5分因为PD ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥BD ． 在Rt △PBD 中，因为3PD =，3BD =， 所以()()2222336PB PD BD =+=+=．………………………………6分在PBC ∆中，因为6BC =，6PB =，23PC =，所以222BC PB PC +=．所以PBC ∆为直角三角形．……………………………………………………7分证明2：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC I 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥， 所以PD ⊥平面ABC ．……………………………………………………1分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，因为AB BC =，所以AC BE ⊥． 因为6AB BC ==，4=AC ，所以()2222622BE BC CE =-=-=．………………3分连接BD ，在Rt △BDE 中，因为90BED ∠=o，2BE =，1DE =，所以()2222213BD BE DE =+=+=．………………………………4分在△BCD 中，因为3CD =，6BC =，3BD =，所以222BC BD CD +=，所以BC BD ⊥．………………………………………5分因为PD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以BC PD ⊥．…………………………………………………………6分BPACDE因为BD PD D = ，所以BC ⊥平面PBD ．因为PB ⊂平面PBD ，所以BC PB ⊥．所以PBC ∆为直角三角形．……………………………………………………7分（2）解法1：过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为H ，连PH ，则APH ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．…………………………………8分由（1）知，△ABC 的面积1222ABC S AC BE ∆=⨯⨯=．…………………9分 因为3PD =，所以13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯12622333=⨯⨯=．…………………………10分 由（1）知PBC ∆为直角三角形，6BC =，6PB =，所以△PBC 的面积1166322PBC S BC PB ∆=⨯⨯=⨯⨯=．…………………11分 因为三棱锥A PBC -与三棱锥P ABC -的体积相等，即A PBC P ABC V V --=， 即126333AH ⨯⨯=，所以263AH =．……………………………………12分 在Rt △PAD 中，因为3PD =，1AD =， 所以()2222312AP PD AD =+=+=．………………………………13分因为2663sin 23AH APH AP ∠===． 所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为63．…………………………………………………14分 解法2：过点D 作DM AP ∥，设DM PC M = ，则DM 与平面PBC 所成的角等于AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………8分由（1）知BC PD ⊥，BC PB ⊥，且PD PB P = ，所以BC ⊥平面PBD ．因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBD ．过点D 作DN PB ⊥于点N ，连接MN ，则DN ⊥平面PBC ．所以DMN ∠为直线DM 与平面PBC 所成的角．……10分 在Rt △PAD 中，因为3PD =，1AD =， 所以()2222312AP PD AD =+=+=．……………………………………11分因为DM AP ∥，所以DM CD AP CA =，即324DM =，所以32DM =．………………………………12分 BP A CDMN由（1）知3BD =，6PB =，且3PD =，所以33626PD BD DN PB ⨯⨯===．……………………………………13分 因为662sin 332DN DMN DE ∠===， 所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为63．…………………………………………………14分 解法3：延长CB 至点G ，使得BG BC =，连接AG 、PG ，……………………………………8分 在△PCG 中，6PB BG BC ===， 所以90CPG ∠=o，即CP PG ⊥．在△PAC 中，因为23PC =，2PA =，4AC =， 所以222PA PC AC +=， 所以CP PA ⊥． 因为PA PG P =I ，所以CP ⊥平面PAG ．…………………………………………………………………………………9分 过点A 作AK PG ⊥于点K ， 因为AK ⊂平面PAG ， 所以CP AK ⊥． 因为PG CP P =I ，所以AK ⊥平面PCG ．所以APK ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………………………11分 由（1）知，BC PB ⊥， 所以23PG PC ==．在△CAG 中，点E 、B 分别为边CA 、CG 的中点，所以222AG BE ==．………………………………………………………12分 在△PAG 中，2PA =，22AG =，23PG =，所以222PA AG PG +=，即PA AG ⊥．……………………………………………………………13分因为226sin 323AG APK PG ∠===． 所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为63．…………………………………………………14分 BPACDEGK解法4：以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -，……………………………………………………………………8分则()0,2,0A -，()2,0,0B，()0,2,0C ，()0,1,3P -．于是()0,1,3AP =，()2,1,3PB =- ，()0,3,3PC =-．设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即230,330.x y z y z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩ 取1y =，则3z =，2x =．所以平面PBC 的一个法向量为()2,1,3=n ．………………………………12分设直线AP 与平面PBC 所成的角为θ，则46sin cos 326AP AP AP θ⋅=<>===⋅⋅n ,n n ． 所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为63．………………………………14分若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：（1）以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -，……………………………………………………………………………1分则()2,0,0B，()0,2,0C ，()0,1,3P -．于是()2,1,3BP =-- ，()2,2,0BC =-．因为()()2,1,32,2,00BP BC =---=，所以BP BC ⊥ ．所以BP BC ⊥．所以PBC ∆为直角三角形．…………………………………………………………7分 （2）由（1）可得，()0,2,0A -．BPACDExyzBPACDExyz于是()0,1,3AP = ，()2,1,3PB =- ，()0,3,3PC =-．设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即230,330.x y z y z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩ 取1y =，则3z =，2x =．所以平面PBC 的一个法向量为()2,1,3=n ．…………………………………12分设直线AP 与平面PBC 所成的角为θ，则46sin cos 326AP AP AP θ⋅=<>===⋅⋅n ,n n ． 所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为63．……………………………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，有45323224,22.a a a a a +⎧=⎪⎨⎪=⎩即3452322,2.a a a a a =+⎧⎪⎨=⎪⎩……………………………………………2分 所以234111222112,2.a q a q a q a q a q ⎧=+⎪⎨=⎪⎩…………………………………………………………3分 由于10a ≠，0q ≠，解之得11,21.2a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或11,21.a q ⎧=⎪⎨⎪=-⎩………………………………5分又10,0a q >>，所以111,22a q ==，…………………………………………6分 所以数列{}n a 的通项公式为12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（*n ∈N ）．………………………………7分（2）解：由（1），得()()252123n n n b a n n +=⋅++()()25121232n n n n +=⋅++．………………………………8分所以21121232n n b n n ⎛⎫=-⋅⎪++⎝⎭111(21)2(23)2n nn n -=-++．………………………………………………10分 所以12n n S b b b =+++L()()211111113525272212232n n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪⋅⋅⋅++⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ()113232nn =-+． 故数列{}n b 的前n 项和()113232n nS n =-+．…………………………………14分 20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．……………………………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >，因为双曲线的离心率为5，所以2151b +=，即2b =．所以双曲线C 的方程为2214y x -=．……………………………………………3分 （2）证法1：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），直线AP 的斜率为k （0k >），则直线AP 的方程为(1)y k x =+，………………………………………………4分联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩…………………………………………………5分 整理，得()22224240k x k x k +++-=，解得1x =-或2244k x k -=+．所以22244k x k -=+．……………………………………6分同理可得，21244k x k +=-．……………………………………………………………7分所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………8分证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =）， 则111AP y k x =+，221AT y k x =+．…………………………………………………………………………4分 因为APAT k k =，所以121211y y x x =++，即()()2212221211y y x x =++．………………5分 因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以221114y x -=，222214y x +=． 即()221141y x =-，()222241y x =-．…………………………………………6分所以()()()()22122212414111x x x x --=++，即12121111x x x x --=++．…………………………………7分 所以121x x ⋅=．………………………………………………………………………8分 证法3：设点11(,)P x y ，直线AP 的方程为11(1)1y y x x =++，……………………4分 联立方程组()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩………………………………………………5分整理，得222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦， 解得1x =-或221122114(1)4(1)x y x x y +-=++．…………………………………………………………………6分 将221144y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++，得11x x =，即211x x =． 所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………8分 （3）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则()111,PA x y =--- ，()111,PB x y =--．因为15PA PB ⋅≤，所以()()21111115x x y ---+≤，即221116x y +≤．…………9分因为点P 在双曲线上，则221114y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤． 因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．………………………10分因为1221||||||2S AB y y ==，21111||||||22S OB y y ==， 所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--．…………………11分由（2）知，121x x ⋅=，即211x x =． 设21t x =，则14t <≤，221245S S t t-=--． 设()45t t f t =--，则()()()222241t t f t t t-+'=-+=， 当12t <<时，()0f t '>，当24t <≤时，()0f t '<， 所以函数()f t 在()1,2上单调递增，在(]2,4上单调递减． 因为()21f =，()()140f f ==，所以当4t =，即12x =时，()()2212min40S S f -==．………………………12分当2t =，即12x =时，()()2212max21S S f -==．……………………………13分所以2212S S -的取值范围为[]0,1．…………………………………………14分说明：由()222212121254541S S x x x x -=-+≤-=，得()2212max1S S -=，给1分．21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）证明：设11()()()1xx f x g x e x ϕ=-=--，所以1()1xx e ϕ'=-．…………………………………………………………1分当0x <时，1()0x ϕ'<，当0x =时，1()0x ϕ'=，当0x >时，1()0x ϕ'>．即函数1()x ϕ在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，在0x =处取得唯一极小值，………2分 因为1(0)0ϕ=，所以对任意实数x 均有 11()(0)0x ϕϕ=≥． 即1()()0f x g x -≥，所以()f x 1()g x ≥．……………………………………………………………3分 （2）解：当0x >时，()f x >()n g x ．……………………………………………4分用数学归纳法证明如下：①当1n =时，由（1）知()f x 1()g x >．②假设当n k =（*k ∈N ）时，对任意0x >均有()f x >()k g x ，……………5分令()()()k k x f x g x ϕ=-，11()()()k k x f x g x ϕ++=-，因为对任意的正实数x ，()()11()()()k kk x f x g x f x g x ϕ++'''=-=-， 由归纳假设知，1()()()0k k x f x g x ϕ+'=->．……………………………6分 即11()()()k k x f x g x ϕ++=-在(0,)+∞上为增函数，亦即11()(0)k k x ϕϕ++>， 因为1(0)0k ϕ+=，所以1()0k x ϕ+>． 从而对任意0x >，有1()()0k f x g x +->． 即对任意0x >，有1()()k f x g x +>．这就是说，当1n k =+时，对任意0x >，也有()f x >1()k g x +． 由①、②知，当0x >时，都有()f x >()n g x ．……………………8分 （3）证明1：先证对任意正整数n ，()1e n g <．由（2）知，当0x >时，对任意正整数n ，都有()f x >()n g x ． 令1x =，得()()11=e n g f <．所以()1e n g <．……………………………………………………………………9分再证对任意正整数n ，()1232222112341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112!3!!n =+++++ ．要证明上式，只需证明对任意正整数n ，不等式211!nn n ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭成立． 即要证明对任意正整数n ，不等式1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（*）成立．……………………………………10分以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）： 方法1（数学归纳法）：①当1n =时，1111!2+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，所以不等式（*）成立．②假设当n k =（*k ∈N ）时，不等式（*）成立，即1!2kk k +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………………11分则()()()1111!1!1222k k k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫+=+≤+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为111101111112211121C C C 2111112k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++⎛⎫⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭==+=+++≥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎪⎝⎭，…12分 所以()11121!222k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．………………………………………13分这说明当1n k =+时，不等式（*）也成立．由①、②知，对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立．………………14分方法2（基本不等式法）： 因为112n n +⋅≤，……………………………………………………11分 ()1122n n +-⋅≤， ……，112n n +⋅≤， 将以上n 个不等式相乘，得1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．…………………………………13分所以对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立．……………14分。
2012年高考数学广东卷含参考答案(理科)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科A 卷）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则复数56ii-= A ．65i +B ．65i -C ．65i -+D ．65i --2．设集合U {1,23,4,5,6}=，，M {1,2,4}=则M U =ðA ．UB ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6}3．若向量(2,3)BA = ，(4,7)CA = ，则BC =A ．(2,4)--B ．(3,4)C ．(6,10)D ．(6,10)--4．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是A ． ln(2)y x =+B y =C ． 1()2xy =D ． 1y x x=+5．已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为A ．12B ．11C ．3D ．-16．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A ．12π B ．45π C ．57π D ．81π7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是 A ．49 B ．13 C ．29 D ．198．对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅ ．若平面向量,a b 满足0a b ≥> ，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且αβ 和βα 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b =A ．12 B ．1 C ．32 D ．52二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式|2|||1x x +-≤的解集为___________． 10．261()x x+的展开式中3x 的系数为__________．（用数字作答） 11．已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =________． 12．曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为__________．13．执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为_______．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中xoy 中，曲线1C 和曲线2C 的 参数方程分别为⎩⎨⎧==ty t x （t 为参数）和⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 2cos 2y x （θ为参数），则曲线1C 和曲线2C 的交点坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为1，A ，B ，C 是圆上三点，且满足︒=∠30ABC ，过点A 做圆O 的切线与OC 的延长线交与点P ，则PA= ．图3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数)6cos(2)(πω+=x x f （其中R x ∈>,0ω）的最小正周期为π10．（1） 求ω的值；（2） 设,56)355(,2,0,-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈παπβαf 1716)655(=-πβf ，求)cos(βα+的值． 17．（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是： [40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100], (1)求图中x 的值;(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．18．（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE ．（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）若1PA =，2AD =，求二面角B PC A --的正切值．19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11221n n n S a ++=-+，*n N ∈，且123,5,a a a +成等差数列． （1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a ++⋅⋅⋅+<．20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3． （1） 求椭圆C 的方程（2） 在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n ，使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由．）21．（本小题满分14分）设1a <，集合2{0},{23(1)60}A x R x B x R x a x a =∈>=∈-++>，D A B = ． （1） 求集合D （用区间表示）；（2） 求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理科数学A 卷参考答案一、选择题：1. D2. C3. A4. A5. B6. C7. D8. C 二、填空题：9.12x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭ 10. 20 11. 2n-1 12. y=2x+1 13. 814. （1，1） 15.三、解答题：16. 解：（1）由f(x)得： 其最小正周期（2）由（1）得：同理由：又17. 解：（1）由图得：（2）由图得：由题知：21105T w w ππ==⇒=15w ∴=0,w >又1()2cos()56f x x π=+515(5)2cos 53536f παπαπ⎡⎤⎛⎫∴+=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦62cos 25πα⎛⎫=+=-⎪⎝⎭3sin 5α⇒=5168(5)cos 61717f βπβ-==得：,0,παβ⎡⎤∈⎢⎥4cos 5α∴==15sin 17β=cos()cos cos sin sin αβαβαβ∴+=-483151351751785=⨯-⨯=-()0.0060.0060.010.0540.006101x +++++⨯=0.018x ⇒=()()8090100.18901000.006100.06P X x P X ≤<==≤<=⨯=[)8090∴⨯在，的学生人数为：0.1850=9[)90100⨯在，的学生人数为：0.0650=30,1,2ξ=()()()2122993322212121212910,1,2222222C C C C P P P C C C ξξξ=========18. 解： （1）证明：（2）由（1）得：在矩形ABCD 中，如图所示建立直角坐标系，由（1）知，所以，二面角B-PC-A 的正切值为：3。
2012广州二模理科数学答案
2012年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学(理科)参考答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题， 每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．60.9； 10. -160； 11. -1； 12. -2； ]1,22[13⋅)32,32(14π⋅ 2.15说明：第l4题的答案可以是))(232,32(Z k k ∈+ππ三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分l2分)(本小题主要考查三角函数的图象和性质、二倍角的正弦与余弦、同角三角函数关系、两 角差的正弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)(1)解：∵函数)(x f 的图象的最高点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,125π .2=∴A ……………1分依题意，得函数)(x f 的周期πππ=⎪⎭⎫⎝⎛-=12512112T ……………2分 .22==∴Tπω ……………3分 (2)解：由(1)得⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin 2)(πx x f ……………4分,54sin ),20(=∈απα且，53sin 1cos 2=-=∴αα ……………5分,2524cos sin 22sin ==∴ααα ……………7分 257sin 212cos 2-=-=αα ……………9分 )32sin(2)(παα-=∴f ……………10分)3sin2cos 3cos2(sin 2παπα-= ……………11分⋅+=253724 ……………12 分 17．(本小题满分12分)(本小小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列与数学期望等知识，考查或然与必 然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)(I)解：从6条网线中随机任取三条网线共有2036=C 种情况． ……………1分,6321411=++=++⋅=+==∴411)6(61212C C C P ξ ……………2分 ,7322421=++=++411)7(361212=+==∴C C C P ξ ……………3分 ,8422431=++=++2031)8(3612=+==∴C C P ξ ……………4分 ,9432=++⋅===∴101)9(612C C P ξ …………5分)9()8()7()6()6(=+=+=+==≥∴ξξξξξP p P P P⋅=+++=431012034141答：线路信息畅通的概率为43……………6分 (2)解：ξ的取值为4，5，6，7，8，9． ……………7分,4211=++⋅===∴101)4(3612C C p ξ ……………8分,5221311=++=++⋅=+==∴2031)5(3612C C P ξ ……………9分 ∴ξ的的分布列为：………………………………………………………………………………………………10分1019203841741620351014⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE ……………11分 .5.6= ……………12分18．(本小题满分14分)(本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图、空间角、几何体的体积等知识，考查 数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 解法l ：(1)作MO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，连接AO ，则∠MAO 是直线AM 与平面ABCD 所成的角． ……………l 分 由于平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，故∠MAO 是直线AM 与平面A 1B 1C 1D 1所成的角． ……………2分 作MP ⊥AB ，垂足为P ，连接PO ，⊂AB 平面ABCD ，∴MO ⊥AB ．⊂=MO M MP MO , 平面⊂MP MOP ,平面MOP ，∴AB ⊥平面MOP ． ……………3分由题意知.4,2,11=====AA AD AP PO MO 在POM Rt ∆中，222=+=MO PO PM在APM Rt ∆中，322=+=PM AP AM在AOM Rt ∆中，3331sin ===∠AM MO MAO ∴直线AM 与平面1111D C B A 所成角的正弦值为33……………5分(2)延长PO 交CD 于点Q ，连接MQ ， 由(1)知AB ⊥平面MOP ∴MQ ⊂平面MOP ， ∴AB ⊥MQ ． ∵MN ∥AB ，∴MN ⊥MP,MN ⊥MQ ． …………6分∴∠PMQ 是二面角A 一MN —C 的平面角． ……………7分 在△PMQ 中，2.2===PQ MP MQ,4222PQ MQ MP ==+.90 =∠∴PMQ ……………8分∴二面角A 一MN 一C 的余弦值为0． ……………9分 (3)作NP 1∥MP 交AB 于点P 1，作NQ 1 ∥MQ 交CD 于点Q 1，由题意知多面体MN —ABCD 可分割为两个等体积的四棱锥M —APQD 和1PBCQ N - 和一个直三棱柱11Q NP MPQ -.四棱锥APQD M -的体积为321213131=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=MO AD AP V …………10分 直三棱柱11Q NP MPQ -的体积为222221212=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=MN MQ MP V …11分 ∴多面体ABCD MN -的体积为3102322221=+⨯=+=V V V ……………12分长方体1111D C B A ABCD -的体积为3242413=⨯⨯=⋅⋅=AA BC AB V ………13分 ∴建筑物的体积为31063=+V V ……………14分 解法2：(1)以点D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，D D 1所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系xyz D -,(如图)，作MO ⊥平面ABCD ，垂足为O ， 作OP ⊥AB ，垂足为P ，依题意知,1===AP OP MO ,4.21==AA AD 则,)1,1,1(),0,0,2(),0,0,0(M A D )4,0,2(),1,3,1(1-A N ……………1分⋅-=∴)1,1,1(AM ……………2分 ⊥1AA 平面1111D C B A∴平面1111D C B A 的一个法向量为)4,0,0(1-=AA ………3分 设直线AM 与平面1111D C B A 所成角为θ，则33434sin =⨯==θ ……………4分 ∴直线AM 与平面1111D C B A 所成角的正弦值为33……5分 (2)由(1)知),1,1,1(),0,2,0(==DM MN 设平面ABNM 的法向量为),,,(1z y x n = 由,0,011=⋅=⋅AM n MN n 得⎩⎨⎧==++-.02,0y z y x令1=x ，则0,1==y z∴平面ABNM 的一个法向量为 )1,0,1(1=n ……………6分 设平面CDMN 的法向量为),,(2z y x n = 由0,022=⋅=⋅MN n DM n ，得⎩⎨⎧==++.02,0y z y x令1=x ，则0,1=-=y z∴平面CDMN 的一个法向量为)1,0,1(2-=n ……………7分,0)1(101121=-⨯++⨯=⋅n n∴平面ABNM ⊥平面CDMN ． ……………8分 ∴二而角A 一MN 一C 的余弦值为0． ……………9分 (3)如图将多面体ABCD MN -补成一个直三棱柱,1BCQ ADQ - 依题意知,211====CQ BQ DQ AQ ,11==NQ MQ ,4,21==AA AD多面体ABCD MN -的体积等于直三棱柱1BCQ ADQ -的体积减去两个等体积的三 棱锥ADQ M -和1BCQ N -的体积2224AD DQ AQ ==+.90 =∠∴AQD∴直三棱柱1BCQ ADQ -的体积为,442221211=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=AB DQ AQ V …………………………10分三棱锥ADQ M -的体积为⋅=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅⋅=31122213121312MQ DQ AQ V …………………………11分∴多面体ABCD MN -的体积为310324221=-=-=V V V …………12分 长方体1111D C B A ABCD -的体积为.3242413=⨯⨯=⋅⋅=AA CD AB V ……13分 ∴建筑物的体积为31063=+V V ………………14分 19．(本小题满分14分)(本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的 数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力) (1)解法1：由⎩⎨⎧=+=yx m x y 4,22消去,y 得.0482=--m x x ……………1分∵直线l 与抛物线2C 只有一个公共点，04482=⨯+=∆∴m ，解得4-=m …………3分∴直线l 的方程为42-=x y ……………4分解法2：设直线l 与抛物线2C 的公共点坐标为),,(00y x由241x y =，得x y 21=' ∴直线l 的斜率0210x y k x x ='== ……………1分 依题意得2210=x ，解得.40=x ……………2分 把40=x 代入抛物线2C 的方程，得.40=y ∵点),(00y x 在直线l 上，,424m +⨯=∴解得.4-=m ……………3分∴直线l 的方程为.42-=x y ……………4分(2)解法l ：∵抛物线2C 的焦点为),1,0(1F依题意知椭圆1C 的两个焦点的坐标为)1,0(),1,0(21-F F ……………5分 设点)1,0(1F 关于直线l 的对称点为),(001y x F则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⨯=+-=⨯-42221,1210000x y x y ……………7分解得⎩⎨⎧-==.1,400y x∴点)1,4(1-F ……………8分∴直线l 与直线1:21-=y F F 的交点为)1,23(0-P ……………9分 由椭圆的定义及平面几何知识得：椭圆.1C 的长轴长,4||||||||||2212121=≥+=+=F F PF PF PF PF a ……………11分 其中当点P 与点0p 重合时，上面不等式取等号．211.2≤=∴≥∴a e a故当2=a 时，,21max =e ……………12分 此时椭圆1C 的方程为13422=+x y ，点P 的坐标为)1,23(- ……………14分 解法2：∵抛物线2C 的焦点为),1,0(1F依题意知椭圆1C 的两个焦点的坐标为)1,0(),1,0(21-F F ……………5分设椭圆1C 的方程为),1(112222>=-+a a x a y ……………6分 由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=11422222a x a y x y 消去,y 得0)16)(1()1(16)45(22222=--+---a a x a x a (*) ……………7分由0)16)(1)(45(4)]1(16[22222≥-----=∆a a a a ……………8分 得020524≥-a a ……………9分 解得.42≥a.2≥∴a ……………10分 ⋅≤=∴211a e ……………11分当2=a 时，,21max=e 此时椭圆1C 的方程为.13422=+x y ……………12分 把2=a 代入方程(*)，解得,23=x .1-=y ……………13分 ∴点P 的坐标为)1,23(- ……………14分 20．(本小题满分l4分)(本小题主要考查函数和方程、导数、函数的极值等知识，考查函数与方程、分类与整合、 化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)解：函数)(x f 的定义域为(0，+∞)． ……………1分xx ax ax x x f 111)(2---=+-=' ……………2分①当0=a 时，0)(,0,1)(>∴>+='x f x xx x f ∴函数)(x f 单调递增区间为(0，+∞)． ……………3分②当0=/a 时，令0)(='x f 得012=---x x ax .41.01.02a x ax x +=∆∴=--∴>(i)当0≤∆，即41-≤a 时，得012≤--x ax ，故0)(≥'x f ∴函数)(x f 的单调递增区间为(0,+∞) ……………4分 (ii)当0>∆，即41->a 时，方程012=--x ax 的两个实根分别为 ,24111a a x +-= aa x 24112++= ……………5分若041<<-a ，则0,021<<x x ，此时，当),0(+∞∈x 时，.0)(>'x f∴函数)(x f 的单调递增区间为(0，+∞)， ……………6分 若0>a ，则0,021><x x此时，当),0(2x x ∈时，0)(>'x f ，当),(2+∞∈x x 时，,0)(<'x f ∴函数)(x f 的单调递增区间为,2411,0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++a a 单调递减区间为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞++,2411aa 分7综上所述，当0>a 时，函数)(x f 的单调递增区间为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++aa 2411,0，单调递减区间 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞++,2411aa 当0≤a 时，函数)(x f 的单调递增区间为(0，+∞)，无单调递减区间． …………8分 (2)解：由(1)得当0≤a 时，函数)(x f 在(0，+∞)上单调递增，故函数)(x f 无极值；…………9分当0>a 时，函数)(x f 的单调递增区间为,2411,0⎪⎪⎭⎫⎝⎛++a a 单谢递减区间为⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞+++，a a 2411 则)(x f 有极大值，其值为2222221ln )(x ax x x f +-=，其中a a x 24112++=…10分而01222=--x ax ，即1222+=x ax21ln )(222-+=∴x x x f ……………11分 设函数)0(21ln )(>-+=x x x x h ，则0211)(>+='x x h ……………12分 则21ln )(-+=x x x h 在(0，+∞)上为增函数．又0)1(=h ，则0)(>x h 等价于.1>x021ln )(222>-+=∴x x x f 等价于12>x ……………13分 即在0>a 时，方程012=--x ax 的大根大于1，设,1)(2--=x ax x ϕ由于)(x ϕ的图象是开口向上的抛物线，且经过点(0，-l)，对称 轴021>=ax ，则只需0)1(<ϕ，即011<--a ，解得2<a ，而.0>a 故实数a 的取值范围为(0，2)． ………………14分 说明：若采用下面的方法求出实数a 的取值范围的同样给1分． 1．由于aa a a a a a a 412121412121241122++=++=++在(0，+∞)是减函数， 而12411=++aa 时，,2=a 故12411>++a a 的解集为(0，2)，从而实数a 的取值范围为(0，2) 2．直接解不等式12411>++aa，而0>a 通过分类讨论得出实数a 的取值范围为(0，2)．21．(本小题满分l4分)(本小题主要考查函数、数列、不等式等知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方 法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识） (1)解：由于对任意)1,1(,-∈y x 都有)1()()(xyyx f y f x f --=- 令0==y x ，得),0()00100()0()0(f f f f =⨯--=-解得.0)0(=f ……………1分令,0=x 得)()010()()0(y f yyf y f f -=⨯--=-,0)0(=f )()(),()(0y f y f y f y f -=--=-∴即 ……………2分∴函数)(x f 是奇函数． ……………3分 (2)解：先用数学归纳法证明10<<n a ①当n=1时211=a ，得.101<<a 结论成立． ②假设n=k 时，结论成立，即10<<k a 当1+=k n 时,由于012,1021>+=<<+kkk k a a a a 又.12212212221==⨯<+=+⋅k kkk k k k a a a a a a a .101<<∴-k a即1+=k n 时，结论也成立．由①②知对任意.10,*<<∈n a N n ……………………4分 求数列)}({n a f 的通项公式提供下面两种方法． 法l ：)()())(1)(()12()(21n n n n n n n n n a f a f a a a a f a a f a f --=-⋅---=+=+……………5分 ∵函数()x f 是奇函数),()(n n a f a f -=-∴)(2)(1n n a f a f =∴+ ……………6分∴数列)}({n a f 是首项为1)21()(1==f a f ，公比为2的等比数列．∴数列)}({n a f 的通项公式为12)(-=n n a f ……………7分 法2：)1()()(111nn nn n n a a a a f a f a f +++--=- ……………5分),(1121122322n nn n n n n n n a f a a a f a a a a a f =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+= ⋅=∴+)(2)(1n n a f a f ……………6分∴数列)}({n a f 是首项为1)21()(1==f a f ，公比为2的等比数列．∴数列)}({n a f 的通项公式为12)(-=n n a f ……………7分(3)证法l ：由(2)知,10<<n a01)1(122221>+-=-+=-+nn n n n n n n a a a a a a a a n n a a >∴+1 ……………8分)2,(12121*1≥∈<<⋅=∴n N n a a n 且 ),,(210*m n N m n a a m n >∈<-<∴且 ……………9分当2≥k 且*N k ∈时，ka a a a A a kk k k +++-=- 21ka a a a a a k k k k )()()(121--++-+-=……………10分k k 21-< …………11分k 2121-= 21<. 210<-<∴k k A a . …………12分 011=-A a ，∴当2≥n 时，21011-<-<∑∑==n A a i ni n i i . ………13分 ∴当2≥n 时，21||11-<-∑∑==n A a ni i ni i . ………14分 证法2：由(2)知10<<n a ，n n n n n a a a a a -+=-+2112 01)1(22>+-=nn n a a a ， n n a a >∴+1. ……8分121,211<<=∴n a a (n ∈N *，且2≥n ) *),(21||N m n a a m n ∈<-∴. ……9分下面用数学归纳法证明不等式21||11-<-∑∑==n A a ni i n i i 成立． ①当n=2时，左边=++-+=|)2(|21121a a a a a =<⨯<-212121||2112a a 右边． ∴n=2时，不等式成立. ………10分 ②假设*),2(N k k k n ∈≥=时，不等式成立，即21||11-<-∑∑==k A a ki i k i i ， 则n=k+1时， 左边||1111i k i k i i A a ∑∑+=+=-=--+=∑∑=+=ki i k k i i A a a 111|1121+++++k a a a k ……………11分+-=∑∑==ki i ki i A a 11)(||1)()1(211++++-++k a a a a k k k )(|11||1111a a k A a k ki i ki i -++-≤+==∑∑|)()(121k k k a a a a -++-+++ ……12分|(|112111a a k k k -++-<+|)|||121k k k a a a a -++-+++ )212121(1121+++++-< k k21121k k k ⨯++-=)1(212121+-+-=k k 2121+-<k 右边． ……………13分 时，不等式也成立．由①②知，当时，成立． ………………14分证法3：由(2)知，故对，有. ……………8分由于对任意x>0，y>0，有，其中表示x 与y 的较大值．于是对，有……9分…………10分. ……………11分故 ……12分……………13分. ……………14分。
中考真题电子版-数学广州卷-2012
2012年广州市初中毕业生学业考试数学30A(满分:150分时间:120分钟)第Ⅰ卷(选择题,共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.实数3的倒数是()A.-13B.13C.-3D.32.将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位,则平移后的二次函数的解析式为()A.y=x2-1B.y=x2+1C.y=(x-1)2D.y=(x+1)23.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是()A.四棱锥B.四棱柱C.三棱锥D.三棱柱4.下面的计算正确的是()A.6a-5a=1B.a+2a2=3a3C.-(a-b)=-a+bD.2(a+b)=2a+b5.如图,在等腰梯形ABCD中,BC∥AD,AD=5,DC=4,DE∥AB交BC于点E,且EC=3,则梯形ABCD的周长是()A.26B.25C.21D.206.已知|a-1|+√7+b=0,则a+b=()A.-8B.-6C.6D.87.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是()A.365B.1225C.94D.3√348.已知a>b,若c 是任意实数,则下列不等式中总是成立的是( ) A.a+c<b+c B.a-c>b-c C .ac<bc D.ac>bc 9.在平面中,下列命题为真命题的是( )A.四边相等的四边形是正方形B.对角线相等的四边形是菱形C.四个角相等的四边形是矩形D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形10.如图,正比例函数y 1=k 1x 和反比例函数y 2=k2x 的图象交于A(-1,2)、B(1,-2)两点,若y 1<y 2,则x的取值范围是( )A.x<-1或x>1 B .x<-1或0<x<1 C.-1<x<0或0<x<1 D.-1<x<0或x>1第Ⅱ卷(非选择题,共120分)二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分.)11.已知∠ABC=30°,BD 是∠ABC 的平分线,则∠ABD= 度. 12.不等式x-1≤10的解集是 . 13.分解因式:a 2-8a= .14.如图,在等边△ABC 中,AB=6,D 是BC 上一点,且BC=3BD,△ABD 绕点A 旋转后得到△ACE,则CE 的长度为 .15.已知关于x 的一元二次方程x 2-2√3x-k=0有两个相等的实数根,则k 的值为 . 16.如图,在标有刻度的直线l 上,从点A 开始,以AB=1为直径画半圆,记为第1个半圆;以BC=2为直径画半圆,记为第2个半圆;以CD=4为直径画半圆,记为第3个半圆;以DE=8为直径画半圆,记为第4个半圆,……,按此规律,继续画半圆,则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的 倍,第n 个半圆的面积为 (结果保留π).三、解答题(本大题共9小题,满分102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分9分) 解方程组:{x -y =8,3x +y =12.18.(本小题满分9分)如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.求证:BE=CD.19.(本小题满分10分)广州市努力改善空气质量,近年来空气质量明显好转,根据广州市环境保护局公布的2006~2010这五年各年的全年空气质量优良的天数,绘制折线图如图,根据图中信息回答:(1)这五年的全年空气质量优良天数的中位数是,极差是;(2)这五年的全年空气质量优良天数与它前一年相比较,增加最多的是年(填写年份);(3)求这五年的全年空气质量优良天数的平均数.30B20.(本小题满分10分)已知1a +1b =√5(a ≠b),求ab(a -b)-ba(a -b)的值.21.(本小题满分12分)甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片,甲袋中的三张卡片上所标的数值分别为-7、1、3,乙袋中的三张卡片上所标的数值分别为-2、1、6.先从甲袋中随机取出一张卡片,用x 表示取出的卡片上标的数值,再从乙袋中随机取出一张卡片,用y 表示取出的卡片上标的数值,把x 、y 分别作为点A 的横坐标、纵坐标. (1)用适当的方法写出点A(x,y)的所有情况; (2)求点A 落在第三象限的概率.22.(本小题满分12分)如图,☉P的圆心为P(-3,2),半径为3,直线MN过点M(5,0)且平行于y轴,点N在点M的上方.(1)在图中作出☉P关于y轴对称的☉P',根据作图直接写出☉P'与直线MN的位置关系;(2)若点N在(1)中的☉P'上,求PN的长.23.(本小题满分12分)某城市居民用水实行阶梯收费,每户每月用水量如果未超过20吨,按每吨1.9元收费;每户每月用水量如果超过20吨,未超过的部分仍按每吨1.9元收费,超过的部分则按每吨2.8元收费.设某户每月用水量为x吨,应收水费为y元.(1)分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨时,y与x间的函数关系式;(2)若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元,求该户5月份用水多少吨?24.(本小题满分14分)如图,抛物线y=-38x 2-34x+3与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C.(1)求点A 、B 的坐标;(2)设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时,求点D 的坐标;(3)若直线l 过点E(4,0),M 为直线l 上的动点,当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只．．．有．三个时,求直线l 的解析式.25.(本小题满分14分)如图,在平行四边形ABCD 中,AB=5,BC=10,F 为AD 的中点,CE ⊥AB 于点E,设∠ABC=α(60°≤α<90°). (1)当α=60°时,求CE 的长; (2)当60°<α<90°时,①是否存在正整数k,使得∠EFD=k ∠AEF?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由; ②连结CF,当CE 2-CF 2取最大值时,求tan ∠DCF 的值.2012年广州市初中毕业生学业考试一、选择题1.B由倒数的定义可知,a(a≠0)的倒数是1a,故选B.评析本题考查了倒数的意义,学生很容易混淆倒数和相反数这两个概念,属简单题.2.A根据函数图象的平移规律可得到y=x2-1,故选A.3.D由左视图和主视图可知:几何体是柱体,再由俯视图可知:几何体的底面是三角形,故选D.4.C由同类项的定义可知:选项A中,6a与-5a是同类项,其合并的结果应为a,故A错;选项B 中,a与2a2不是同类项,不能合并,故B错;选项D是单项式与多项式相乘,由乘法法则可知结果应为2a+2b,故D错;选项C由去括号法则可知其正确.5.C因为BC∥AD,DE∥AB,由平行四边形的定义可知:四边形ABED是平行四边形,所以BE=AD=5,从而BC=BE+EC=5+3=8;又因为四边形ABCD是等腰梯形,且BC∥AD,所以AB=CD=4,从而梯形ABCD的周长为4+4+5+8=21,故选C.6.B由于|a-1|+√7+b=0,则根据实数的绝对值和算术平方根的非负性可知|a-1|和√7+b均为0,所以a=1,b=-7,从而a+b=-6,故选B.7.A点C到AB的距离即等于AB边上的高,作出其高CD,在Rt△ABC中,由勾股定理可得AB=√AC2+BC2=√92+122=15,再由S△ABC=12AB·CD=12AC·BC可求得CD=365,故选A.8.B由不等式的基本性质可知:选项A错;当c≥0时,选项C不成立,故C错;当c≤0时,选项D 不成立,故D错;由不等式的基本性质可知选项B正确,故选B.9.C由平行四边形、菱形和正方形的定义及判定可知:A、B、D均错;对于选项C,由于四边形的内角和是360°,故四角相等时均为直角,由矩形判定可知C正确.评析本题考查了正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定方法,是一道简单的综合问题,中考常结合起来进行考查,属容易题.10.D当正比例函数y1=k1x和y2=k2x的图象交于两点A(-1,2)、B(1,-2)时,要判断其函数值的大小关系,首先要根据两函数图象的两交点横坐标-1、1和x≠0将x的取值范围划分成六个部分:x<-1、x=-1、-1<x<0、0<x<1、x=1、x>1;其次再结合图象可知:若y1<y2,则-1<x<0或x>1,故选D.二、填空题11.答案15解析由角平分线定义可知∠ABD=12∠ABC=15°.12.答案x≤11解析由不等式基本性质可知x≤11.13.答案a(a-8)解析用提公因式法可分解得到.14.答案2解析 ∵△ABC 是等边三角形,∴BC=AB=6,又BC=3BD,∴BD=2,∵△ABD 绕点A 旋转后得到△ACE,∴CE=BD=2. 15.答案 -3解析 ∵关于x 的一元二次方程x 2-2√3x-k=0有两个相等的实数根,∴Δ=(2√3)2-4·1·(-k)=0,∴k=-3. 16.答案 4;π·22n-5解析 由题意可知:半圆的直径依次扩大2倍,第3个和第4个半圆的直径分别为4和8,其面积分别为2π、8π,所以第4个半圆的面积是第3个半圆面积的4倍.从第1个半圆开始,其直径依次为20、21、22、23、…,第n 个半圆的直径为2n-1,其半径为2n-2,面积为12π(2n-2)2=π·22n-5. 评析 本题考查的是规律探索,其关键是得出第n 个半圆的半径为2n-2,是一道难题.三、解答题17.解析 {x -y =8, ①3x +y =12,②①+②得4x=20,x=5.(4分)把x=5代入①得5-y=8,y=-3.(8分)∴原方程组的解是{x =5,y =-3.(9分)18.解析 在△ABE 和△ACD 中, ∵{∠B =∠C,AB =AC,∠A =∠A,(4分) ∴△ABE ≌△ACD,(7分) ∴BE=CD.(9分)19.解析 (1)这五年的全年空气质量优良天数的中位数是345,极差是357-333=24. (4分,中位数和极差各2分)(2)这五年的全年空气质量优良天数与它前一年相比较,增加数为:2007年是333-334=-1,2008年是345-333=12,2009年是347-345=2,2010年是357-347=10,所以增加最多的是2008年.(7分) (3)334+333+345+347+3575=343.2(天),∴这五年的全年空气质量优良天数的平均数为343.2.(10分)评析 本题是一道统计题,首先要求学生能够正确理解图中数据的意义,考查了学生利用折线统计图分析问题和解决问题的能力,同时考查了中位数、极差、增长率、平均数的求法,属容易题. 20.解析ab(a -b)-ba(a -b)=a 2-b 2ab(a -b)=(a+b)(a -b)ab(a -b)=a+b ab .(5分)又∵1a +1b=√5(a ≠b),∴a+b ab=√5,(8分)∴原式=a+b ab=√5.(10分)评析 本题先化简分式再求值,考查了因式分解、整体思想,属中等题. 21.解析 (1)x:-7、-1、3, y:-2、1、6.(1分) 列表得:xy -7-1 3 -2 (-7,-2) (-1,-2)(3,-2) 1 (-7,1) (-1,1) (3,1) 6 (-7,6)(-1,6)(3,6)或画树状图得:(5分)由表格或树状图可知,A(x,y)的所有情况有9种:(-7,-2)、(-7,1)、(-7,6)、(-1,-2)、(-1,1)、(-1,6)、(3,-2)、(3,1)、(3,6).(8分)(2)若点A 落在第三象限,则x<0,y<0,(9分) ∴只有(-7,-2)、(-1,-2)符合条件.(10分) ∴P(点A 落在第三象限)=29.(12分)22.解析 (1)∵☉P 的圆心为P(-3,2),半径为3,∴☉P 关于y 轴对称的☉P'的圆心P'的坐标为(3,2),半径为3.(2分) ☉P'如图所示,(4分)由作图可知:☉P'与直线MN 相交.(6分) (2)连结PN 、P'N 、PP',并延长PP'与MN 相交于点D. ∵点P 、P'的坐标分别为(-3,2)、(3,2),∴PP'∥x 轴,从而有PD ⊥ND,P'D=5-3=2,PD=5-(-3)=8.(9分) ∴在Rt △P'DN 中,DN=2-P'D 22-22√5.(10分) ∴在Rt △PDN 中,PN=√PD 2+DN 2=√82+(√5)2=√69.(12分) 23.解析 (1)y={1.9x(0≤x ≤20),2.8x -18(x >20).(6分)(2)设该户5月份用水量为x 吨,则 2.8x-18=2.2x.(9分) 解得x=30.(11分)∴该户5月份用水量为30吨.(12分)24.解析 (1)在抛物线y=-38x 2-34x+3中令y=0,得x=-4或2,∴由题知点A 、B 的坐标分别是(-4,0)、(2,0).(2分) (2)抛物线y=-38x 2-34x+3中令x=0,得y=3, ∴点C 的坐标是(0,3).∴S △ABC =12AB ·OC=12×[2-(-4)]×3=9.(3分)抛物线y=-38x 2-34x+3的对称轴为x=-1,则点D 的横坐标为-1,故可设点D 的坐标为(-1,b),作DP ⊥y 轴于点P. ①当点D 在直线AC 上方时,若b>3,则S △ACD =S 梯形AOPD -S △CDP -S △AOC =12(1+4)·b-12(b-3)×1-12×4×3=2b-92,当S △ACD =S △ABC 时,即2b-92=9,b=274;(4分)若b<3,则S △ACD =S 梯形AOPD +S △CDP -S △AOC =12(1+4)·b+12(3-b)×1-12×4×3=2b-92<9. 若b=3,则S △ACD =12×1×3=32<9.∴此时点D 的坐标是(-1,274).(5分)②当点D 在直线AC 下方时,若b<0,则S △ACD =S 梯形AOPD +S △AOC -S △CDP =12(1+4)·(-b)+12×4×3-12(3-b)×1=-2b+92, 当S △ACD =S △ABC 时,-2b+92=9,b=-94;(6分)若b>0,则S △ACD =S △AOC -S 梯形AOPD -S △CDP =12×4×3-12×(1+4)×b-12×(3-b)×1=-2b+92<9; 若b=0,则S △ACD =12×(4-1)×3=92<9.∴此时点D 的坐标是(-1,-94).(7分) 综上,点D 的坐标是(-1,274)或(-1,-94).(8分)(3)设以AB 为直径的圆为☉Q,若直线l 与☉Q 没有公共点时,则以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形只有两个(即分别过点A 、B 作x 轴的垂线与直线l 相交时)或不存在(即直线l 与x 轴垂直时);(9分)若直线l 与☉Q 相交时,则以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有四个,也即存在四个点M,即:分别过点A 、B 作x 轴的垂线与直线l 相交的两个交点及直线l 与☉Q 相交的两个交点;(10分)故当且仅当直线l 与☉Q 相切(设切点为点N)时,当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个,即存在三个点M:分别过点A 、B 作x 轴的垂线与直线l 相交的两个交点及切点N.(11分)当切点N 在x 轴上方时,设直线l 与直线x=-1相交于点F,连结QN.∵点A 、B 的坐标分别是(-4,0)、(2,0),∴点Q 的坐标是(-1,0),则☉Q 的半径为3,QE=5,由相切可知:QN ⊥EF,故在Rt △QEN 中,NE=√QE 2-QN 2=√52-32=4.∵∠ENQ=∠EQF=90°,∠QEN=∠FEQ,∴△EQF ∽△ENQ,可得EN QN =EQ FQ ,即43=5FQ ,FQ=154,∴点F 的坐标为(-1,154).(12分)设直线l 的解析式为y=mx+n,分别代入点E(4,0)和点F (-1,154),可求得解析式为y=-34x+3.(13分)当切点N 在x 轴下方时,由对称性可知:直线l 的解析式为y=34x-3,∴直线l 的解析式为y=34x-3或y=-34x+3.(14分)25.解析 (1)∵CE ⊥AB,∴∠BEC=90°,∴在Rt △BEC 中,sin α=CE BC ,∴CE=BCsin α=10×sin 60°=5√3.(3分)(2)解法一:连结CF 并延长交BA 延长线于点G.(4分)①存在满足要求的k,k=3.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD,AB=CD=5,AD=BC=10.(5分)∴∠AGF=∠FCD,∠GAF=∠D,又AF=DF,∴△CFD ≌△GFA,得AG=CD=5,GF=FC,又∠CEG=90°,∴EF=GF,∴∠AEF=∠AGF.(6分)∵AG=5=AF,∴∠AGF=∠AFG=∠CFD=∠AEF,又∠EFC=∠AEF+∠AGF=2∠AEF,∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=3∠AEF,故k=3.(8分)②设BE=x,则EG=AG+AE=10-x,在Rt △BEC 中,CE 2=BC 2-BE 2=100-x 2.(9分) 在Rt △GEC 中,CG 2=CE 2+EG 2=200-20x.(10分)∴CF 2=(12CG)2=50-5x.(11分)∴CE 2-CF 2=-x 2+5x+50=-(x -52)2+2254.(12分)当x=52时,CE 2-CF 2取最大值,此时CE=5√152,EG=152,(13分)∴tan ∠DCF=tan ∠AGF=CE EG =√153.(14分)解法二:作FN ⊥EC 于点N,连结CF.①存在满足要求的k,k=3.∵CE ⊥AB,FN ⊥EC,∴∠AEC=∠FNC=90°,∴AE ∥FN,∴∠AEF=∠EFN.(4分) ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD,AB=CD=5,AD=BC=10,∴AE ∥FN ∥CD,又AF=DF,∴EN=CN(平行线等分线段定理).(9分)又FN ⊥EC,∴EF=CF,∴∠EFN=∠CFN.∵FN ∥CD,∴∠CFN=∠FCD.∵FD=12AD=5=CD,∴∠FCD=∠CFD,∴∠EFD=∠EFN+∠CFN+∠CFD=3∠EFN=3∠AEF,故k=3.②同解法一.(14分)。
广东省各地市2012年高考数学联考试题分类汇编(12)统计.pdf
一、选择题: 9. (广东省佛山市2012年普通高中高三教学质量检测一文科) 某随机抽出名，岁之间，根据调查结果得年龄情况频率分布直方图A．B．C．D．: 11．某中学举行了一次田径运动会，其中有50名学生参加了一次百米比赛，他们的成绩和频率如图所示.若将成绩小于15秒作为奖励的条件，则在这次百米比赛中获奖的人数共有 ▲ 人. 内的人数为：（人） 所以这次百米比赛中获奖的人数共有11人. 12．(广东省六校2012年2月高三第三次联考文科)某工厂的库房有A、B、C、D四类产品，它们的数量依次成等比数列，共计300件。
现采用分层抽样方法从中抽取15件进行质量检测，其中B、D两类产品抽取的总数为10件，则原库房中A类产品有____20______件． 11．(广东省深圳市2012年2月高三下学期第一次调研文科)某人５次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，，，，，估计此人每次上班途中平均花费的时间为 10 分钟． 11. (广东省佛山市2012年普通高中高三教学质量检测一文科)某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学参加一个社团） 社社书法社4530高二151020 学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从中抽取人，结果社被抽出这三个社团共 11、广东省惠州市2012届高三第三次调研为了保证食品安全，现采用分层抽样的方法对某市场的甲、乙、丙、丁四个厂家生产的奶粉进行检测，若甲、乙、丙、丁四个厂家生产的奶粉分别为120袋、100袋、80袋、60袋，已知甲乙两个厂家抽取的袋数之和为22袋，则四个厂家一共抽取 袋. 17. (广东省六校2012年2月高三第三次联考文科)（本小题满分12分） 某班名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。
（）秒且小于秒 认为良好，求该班在这次百米测试中 成绩良好的人数； （）的概率。
2012年高考理科数学广东卷-答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)答案解析的元素即得{3,5,6UM =【提示】给出全集和子集，根据集合的基本运算求解子集的补集【答案】A【解析】(2,BC BA AC BA CA =+=-=-由向量(2,3)BA =向量(4,7)CA =知(2,AB =-，(4,7)AC =--再由BC AC AB =-能求出【考点】向量的线性运算，向量的坐标运算||cos ||a b θ，||cos ||y b a θ，x ，，所以4cos Z ，所以cos3||||a b ，3||||b a ∈Z ， ||||0a b ≥>，所以||1||a b ≥，所以只能取||3||a b =，||1||3a b =，则||cos 33322||a ab b θ==⨯=．【提示】定义两向量间的新运算，根据数量积运算与新运算间的关系进行化简，再运用集合的知识求解即可．1x 解得x 无解；1x 解得2x ≤1，解得2x ≤-12x ⎫≤-⎬⎭．可先将不等式左边变形为分段函数的形式，60，所以根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，60，因为直线是直角三角形，最后利用三角函数在直角三角形中的定义，结合题中=tan603【解析】（Ⅰ）10T =π=（Ⅱ）由（Ⅰ）得()f x =65f ⎛-= ⎝3sin 5α∴=16517f ⎛= ⎝cos β∴=110(0.054x f =-0.018x ∴=（Ⅱ）成绩不低于PA PC P=，PAC；=，连结AC BD O BDE，OE，BE⊥BE，--B PC A所以(0,0,1)P ，(0,2,0)，所以(2,DB =-的一个法向量，(0,2,0)BC =，(2,0,1)BP =-的法向量为(,,)n x y z =22n BC y n BP x z ⎧==⎪⎨=-+⎪⎩，取(1,0,2)n =， PC A -的平面角为21||||8510DB n DB n ==，sin 所以二面角B PC A --的正切值为3．【答案】（Ⅰ）2n n S a +=12337a a a a =⎧⎪⇒=⎨⎪=⎩133n -，所以1a 1221122222n n n n n n n C C --++⋯++-122-1-1222222n n n n n n C C C +++>522(21)=>⨯⨯-，1||||sin 2OA OB AOB ∠的距离22d =，即21m 2)(,)x +∞，2x <，所以2(,A x B +∞=2)(,)x +∞，30a =>，所以2212339309339309(0,)(,)0,,44a a A B a a a a x x ⎛⎫⎛+--+++-++∞=+∞ ⎪⎪ ⎝⎝⎭=A B =(0,+∞综上所述，当0a ≤时，33a ⎛⎫⎛++⎪ ⎪ ⎭⎝1)，令(f '2)(,)x +∞的变化情况如下表：a。
惠州一中珠海一中东莞中学中山纪念中学深圳实验中学广州二中2012届高三数学第二次联考理
2012届六校11月联考试题理科数学一、选择题（本大题8小题，每题5分，共40分） 1．已知集合},1|{2R x x y y M ∈-==，}2|{2x y x N -==，则=N M （）A. ),1[+∞-B. ]2,1[-C. ),2[+∞D. ∅2．已知命题“012,2<++∈∃ax x x R ”是真命题，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．)1,(--∞B ．),1(+∞C ．),1()1,(+∞--∞D ．（—1，1）3．如图，正方形ABCD 的顶点2(0,)2A ，2(,0)2B ，顶点CD 、位于第一象限，直线:(02)l x t t =≤≤将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为()f t ，则函数()s f t =的图象大致是（ ）4．已知120201,cos 15sin 15M x dx N -==-⎰,则 ( )A. M N <B. M N >C.M N =D. 以上都有可能 5．右图是函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈在区间5[,]66ππ-上的图象。
为了得到这个函数的图象，只要将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点 （ ）（ A ）A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 B ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变6.若函数1(),(2)2f x x x x =+>-在x n =处有最小值，则n =( )ADB CxyOlABCD3题图5题图A．11+7．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x 单调递减，若数列{}n a 是等差数列，且30a <，则()()()()()12345f a f a f a f a f a ++++的值（ ） A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负8. 若函数()21,x f x a b c =-<<且()()()f a f c f b >>，则以下结论中，必成立的是( )A ．0,0,0a b c <<<B ．0,0,0a b c <≥>C ．22a c -<D ．222a c +< 二、填空题（本大题6小题，每题5分，共30分） 9、若3cos 5α=-，且3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=； 10．已知,0,0x y xy x y +=>>则x y +的最小值是； 11．定义运算法则如下：1112322,lg lg a b a ba b a b -⊕=+⊗=-；若1824125M =⊕1,25N =，则M ＋N ＝ ；12．设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -= 13. 设曲线1()n y xn +=∈*N 在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则201212012220122011log log log x x x +++的值为；14、如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动。
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(广东卷)
12广东(理)1.(2012广东,理1)设i 为虚数单位,则复数56i i-=( ).A .6+5iB .6-5iC .-6+5iD .-6-5iD 56i i -=(56i)i i i -⋅⋅=225i 6i i -=65i 1+-=-6-5i .2.(2012广东,理2)设集合U ={1,2,3,4,5,6},M ={1,2,4},则∁U M =( ). A .U B .{1,3,5} C .{3,5,6} D .{2,4,6} C ∵U ={1,2,3,4,5,6},M ={1,2,4},∴∁U M ={3,5,6}. 3.(2012广东,理3)若向量BA =(2,3),CA =(4,7),则BC=( ).A .(-2,-4)B .(2,4)C .(6,10)D .(-6,-10)A ∵BA =(2,3),CA=(4,7),∴BC =BA +AC =BA -CA=(2,3)-(4,7)=(2-4,3-7) =(-2,-4).4.(2012广东,理4)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ). A .y =ln (x +2) B .yC .y =12x⎛⎫ ⎪⎝⎭D .y =x +1xA ∵函数y =ln (x +2)的定义域为(-2,+∞),y '=12x +在(-2,+∞)上大于0恒成立,(0,+∞)⊆(-2,+∞),∴函数y =ln (x +2)在区间(0,+∞)上为增函数.5.(2012广东,理5)已知变量x ,y 满足约束条件2,1,1,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩则z =3x +y 的最大值为( ).A .12B .11C .3D .-1B 由约束条件作出可行域,如图,∴可得最优解2,1,y x y =⎧⎨-=⎩即3,2,x y =⎧⎨=⎩ ∴z max =3×3+2=11.6.(2012广东,理6)某几何体的三视图如图所示,它的体积为( ).A .12πB .45πC .57πD .81πC 由三视图知该几何体是由圆锥和圆柱构成的组合体,示意图如图所示,∴该几何体的体积为V =V 圆锥+V 圆柱=13πr 2h 1+πr 2h 2=13π×32×4+π×32×5=12π+45π=57π.7.(2012广东,理7)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是( ). A .49B .13C .29D .19D 在个位数与十位数之和为奇数的两位数中:(1)当个位数是偶数时,由分步计数乘法原理知,共有5×5=25个; (2)当个位数是奇数时,由分步计数乘法原理知,共有4×5=20个. 综上可知,基本事件总数共有25+20=45(个), 满足条件的基本事件有5×1=5(个), ∴概率P =545=19.8.(2012广东,理8)对任意两个非零的平面向量α和β,定义α =α·β.若平面向量a ,b 满足|a |≥|b |>0,a 与b 的夹角θ∈0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭,且a b 和b a 都在集合 n 2n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则a b =( ). A .12B .1C .32D .52C 由题意知|a |≥|b |>0,∴|b ||a |≤1.∵θ∈0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭,∴cos θ∈⎫⎪⎪⎝⎭,即a b =a b b b ⋅⋅=2|a ||b |θ|b |cos ⋅⋅=|a ||b |·cos θ;b a =b a a a ⋅⋅=|b ||a |θ|a |cos ⋅⋅=|b ||a |·cos θ.又∵a b 和b a 都在集合 n 2n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,且|b ||a |·cos θ<1,∴|b ||a |·cos θ=12,即得|b ||a |=12θcos , ∴a b =|a ||b |cos θ=2cos 2θ∈(1,2),∴a b =32.9.(2012广东,理9)不等式|x +2|-|x |≤1的解集为 .1x|x }2⎧≤-⎨⎩由题意知,-2和0将R 分成三部分.(1)当x ≤-2时,原不等式可化简为-(x +2)-(-x )≤1,即-2≤1,∴x ≤-2. (2)当-2<x <0时,化简为(x +2)+x ≤1,即2x ≤-1,∴x ≤-12,∴-2<x ≤-12.(3)当x ≥0时,化简为x +2-x ≤1,即2≤1,此时无解.综上可得不等式的解集为1x|x }2⎧≤-⎨⎩.10.(2012广东,理10)621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中x 3的系数为 .(用数字作答)20 T r +1=r 6C ·(x 2)r ·6r1x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=r 6C ·x 3r -6,∴要求展开式中x 3的系数,即3r -6=3,∴r =3,即T 4=36C ·x 3=20x 3,∴x 3的系数为20.11.(2012广东,理11)已知递增的等差数列{a n }满足a 1=1,a 3=22a -4,则a n = . 2n -1 设等差数列{a n }的公差为d (d >0).由a 3=22a -4得a 1+2d =(a 1+d )2-4,即1+2d =(1+d )2-4,d 2=4.又{a n }是递增数列,∴d =2, ∴a n =a 1+(n -1)d =1+(n -1)·2=2n -1.12.(2012广东,理12)曲线y =x 3-x +3在点(1,3)处的切线方程为 . 2x -y +1=0 由y =x 3-x +3得y '=3x 2-1,∴切线的斜率k =y '|x =1=3×12-1=2,∴切线方程为y -3=2(x -1),即2x -y +1=0.13.(2012广东,理13)执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为8,则输出s 的值为 .8 i =2,k =1,2<8,s =11×(1×2)=2;i =4,k =2,4<8,s =12×(2×4)=4;i =6,k =3,6<8,s =13×(4×6)=8;i =8,k =4,8=8,输出s =8.14.(2012广东,理14)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1和C 2的参数方程分别为x t,y =⎧⎪⎨⎪⎩t 为参数)和x θ,y θ⎧⎪⎨⎪⎩(θ为参数),则曲线C 1与C 2的交点坐标为 .(1,1) 由C 1得y 即y 2=x (y ≥0).①由C 2得x 2+y 2=2.②由①②联立222y x,x y 2,⎧=⎨+=⎩得x 1,y 1.=⎧⎨=⎩15.(2012广东,理15)(几何证明选讲选做题)如图,圆O 的半径为1,A ,B ,C 是圆周上的三点,满足∠ABC =30°,过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ,则PA = .连接AO ,则由∠ABC =30°知∠AOP =60°.又OA =1,∴PA =OA ·tan 60°16.(2012广东,理16)已知函数f (x )=2cos ωx 6π⎛⎫+ ⎪⎝⎭(其中ω>0,x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值;(2)设α,β∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,f 55α3π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-65,f 55β6π⎛⎫- ⎪⎝⎭=1617,求cos (α+β) 的值.17.(2012广东,理17)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].(1)求图中x 的值;(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ,求ξ的数学期望.18.(2012广东,理18)如图所示,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,点E 在线段PC 上,PC ⊥平面BDE . (1)证明:BD ⊥平面PAC ;(2)若PA =1,AD =2,求二面角B -PC -A 的正切值.19.(2012广东,理19)设数列{a n }的前n 项和为S n ,满足2S n =a n +1-2n +1+1,n ∈N *,且a 1,a 2+5,a 3成等差数列. (1)求a 1的值;(2)求数列{a n }的通项公式;(3)证明:对一切正整数n ,有11a +21a +…+n1a <32.20.(2012广东,理20)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22x a +22y b =1(a >b >0)的离心率e且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程;(2)在椭圆C 上,是否存在点M (m ,n ),使得直线l :mx +ny =1与圆O :x 2+y 2=1相交于不同的两点A ,B ,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积;若不存在,请说明理由.21.(2012广东,理21)设a <1,集合A ={x ∈R |x >0},B ={x ∈R |2x 2-3(1+a )x +6a >0},D =A ∩B . (1)求集合D (用区间表示);(2)求函数f (x )=2x 3-3(1+a )x 2+6ax 在D 内的极值点.。
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2012小联盟小升初数学试卷一、填空题（每小题2分，共20分）1．目前，我国香港地区的总面积是十亿九千二百平方米，横线上的这个数写作_________平方米，省略亿后面的尾数约是_________亿平方米．2．为绿化城市，某街道栽种一批树苗，这批树苗的成活率是75%～80%，如果要栽活2400棵树苗，至少要栽种_________棵．3．在8x （x 为自然数）中，如果它是一个真分数，x 最大能是_________；如果它是假分数，x 最小能是_________．4．a=2×3×m ，b=3×5×m （m 是自然数且m≠0），如果a 和b 的最大公约数是21，则m 是_________，a 和b 的最小公倍数是_________．5．一个圆锥与一个圆柱的底面积相等，已知圆锥与圆柱的体积比是1：9，圆锥的高是4.8厘米，则圆柱的高是_________厘米．6．甲数是乙数的58，甲数比乙数少_________%，乙数比甲数多_________%． 7．一个长方形长宽之比是4 : 3，面积是432平方厘米，它的周长是_________厘米．8．一批苹果分装在33个筐内，如果每个筐多装110，可省_______个筐． 9．把37化成循环小数是0.428571428571…，这个循环小数的小数部分第50位上的数字是_________．10．如图，长方形ABCD 被分成两个长方形，且AB ：AE=4：1，图中阴影部分三角形的面积为4平方分米．求长方形ABCD 的面积_________．二、判断题（对的在括号内打“√”，错的在括号内打“×”，每小题1分，共5分）11．用四舍五入法将0.6295精确到千分位是0.630．_________．12．长方形、正方形、三角形、圆和梯形都是轴对称图形．_________．13．在含盐30%的盐水中，加入6克盐和14克水，这时盐水的含盐百分比是30%．_________．14．一种商品提价10%后，销量大减，于是商家又降价10%出售．现在的价格比最初的价格降低．_________．15．如图中的阴影部分的面积占长方形的_________．三、选择题（每小题1分，共5分）16．在比例尺是1：3000000的地图上，量得A 、B 两港距离为12厘米，一艘货轮于上午7时以每小时24千米的速度从A 港开向B 港，到达B 港的时间是（ ）A ． 16点B ． 18点C ． 20点D ． 22点17．将一根木棒锯成4段需要6分钟，则将这根木棒锯成6段需要（ ）A ． 7B ． 10C ． 12D ． 1518．一个两位数除以5余3，除以7余5，这个两位数最大是（ ）A ． 72B ． 37C ． 33D ． 6819． 1000+999﹣998﹣997+996+…+104+103﹣102﹣101=（ ）A ． 225B ． 900C ． 1000D ． 400020．甲、乙两人各走一段路，他们的速度比是3：4，路程比是8：3，那么他们所需时间比是（ ）A ． 2：1B ． 32：9C ． 1：2D ． 4：3四、计算题（共30分）21．直接写出得数（5分）（2012•广州）25×24= 2.2 3.57+= 312=4⨯ 63=7÷ 514665++= 1124-= 0.055=÷ 5 1.4 1.6--= 80%14⨯= 21+12=32⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭22．解方程（5分）117:1:3209x = 160.8 1.55x +=⨯23．计算下列各题，能简便的请用简便方法（20分）(1)1880201.1187.92011⨯⨯﹣ （2）225555⨯÷⨯837(3)25%9416⎡⎤⎛⎫⨯-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()3447.26173.82105⨯+⨯五、解决问题（每小题5分，共40分）24．求图中阴影部分的面积．（单位：厘米）（5分）25．（5分）从儿童节那天开始，小明前4天看了72页书，照这样计算，这个月小明一共可以看多少页书？（用比例知识解）26．（5分）妈妈给我再银行存入20000元的教育费，定期一年，年利率是3.5%，到期缴纳利息税（利息的20%）后，本金和税后利息一共是多少元？27．（5分）修路队修一条公路，计划每天修105米，450天完成，如果要提前30天完成，那么实际每天要修多少米？（用方程解）28．营养学家建议：儿童每日喝水应不少于1500毫升，青青每天用底面直径6厘米，高10厘米的水杯喝6满杯水，达到要求了吗？29．工程队用3天修完一段路，第一天修的是第二天的910，第三天修的是第二天的65倍，已知第三天比第一天多修270米，这段路长多少米？30．为了学生的卫生安全，学校给每个住宿生配一个水杯，每只水杯3元，大洋商城打九折，百汇商厦“买八送一”．学校想买180只水杯，请你当“参谋”，算一算：到哪家购买较合算？请写出你的理由．31．甲仓有粮80吨，乙仓有粮120吨，如果把乙仓的一部分粮调到甲仓，使得乙仓存量是甲仓的60%，需要从乙仓调入甲仓多少吨粮食？32．（附加题）一个容器正好装满10升纯酒精，倒出3升后用水加满，再倒出4.5升后，再用水加满，这时容器中溶液的浓度时多少？33．（附加题）客车和货车分别从甲乙两站同时相向开出，5小时后相遇，相遇后两车仍按原速度前进，当他们相距196千米时，客车行了全程的35，货车行了全程的80%．（1）全程是多少千米？（2）货车行完全程需要多少个小时？2012年广东省广州市13所民校联考小升初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题2分，共20分）1．（2分）目前，我国香港地区的总面积是十亿九千二百平方米，横线上的这个数写作1000009200平方米，省略亿后面的尾数约是10亿平方米．考点：整数的改写和近似数．分析：利用数位顺序表从高位向低位依次写出即可；先改写成以亿作单位的数，把数的小数点向左数出8位点上小数点，并在后面加“亿”字，再运用四舍五入的方法求得近似数即可．解答：解；十亿五千二百万平方米，写作1052000000平方米，1052000000=10.52亿≈11亿．故答案为：1052000000，11亿．点评：此题考查整数的写法和改写以及求近似数的方法．2．（2分）（2012•广州）为绿化城市，某街道栽种一批树苗，这批树苗的成活率是75%～80%，如果要栽活2400棵树苗，至少要栽种3000棵．考点：百分率应用题．分析：已知这种树苗的成活率一般为75%﹣80%，如果要栽活2400棵树苗，求至少应栽多少棵．也就是按照最高的成活率80%计算，根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法解答．解答：解：2400÷80%=2400÷0.8=3000（棵）；答：至少应栽3000棵．故答案为：3000．点评：此题属于已知一个数的百分之几是多少，求这个数，直接用除法解答即可．3．（2分）（2012•广州）在（x为自然数）中，如果它是一个真分数，x最大能是7；如果它是假分数，x最小能是8．考点：分数的意义、读写及分类．分析：在（x为自然数）中，如果它是一个真分数，根据真分数的意义，分子小于分母，分母是1～7中的任何一个数，其中7最大；如果它是假分数，根据假分数的意义，分子大于或等于分母，分母是大于或等于8的数，其中8最小．解答：解：在（x为自然数）中，如果它是一个真分数，x最大能是7；如果它是假分数，x最小能是8；故答案为：7，8．点评：本题是考查真、假分数的意义．注意，不要忘记分子、分母相等的分数也是假分数．4．（2分）a=2×3×m，b=3×5×m（m是自然数且m≠0），如果a和b的最大公约数是21，则m是7，a和b的最小公倍数是210．考点：求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．分析：根据求最大公约数和最小公倍数的定方法可知a和b的最大公约数为3×m=21，从而求得m，然后求出它们的最小公倍数，由此可以解决．解答：解：a=2×3×m，b=3×5×m（m是自然数且m≠0），且a和b的最大公约数是21，可得：3×m=21，则m=7．所以a和b的最小公倍数是：2×3×5×7=210．故答案为7，210．点评：此题考查了求几个数的最大公因数和最小公倍数的方法．在实际问题中要灵活运用．5．（2分）（2012•广州）一个圆锥与一个圆柱的底面积相等，已知圆锥与圆柱的体积比是1：9，圆锥的高是4.8厘米，则圆柱的高是14.4厘米．考点：圆柱的侧面积、表面积和体积；圆锥的体积．分析：设圆柱的高为h，底面积为S，利用圆柱的体积=Sh，圆锥的体积=Sh，再据“圆锥与圆柱的体积比1：9”即可求出圆柱的高．解答：解：设圆柱的高为h，底面积为S，则Sh=S×4.8，h=×4.8，h=1.6，h=14.4；答：圆柱的高是14.4厘米．故答案为：14.4．点评：此题主要考查圆柱和圆锥的体积的计算方法的灵活应用．6．（2分）甲数是乙数的，甲数比乙数少37.5%，乙数比甲数多60%．考点：百分数的实际应用．分析：问题一求甲数比乙数少百分之几，是把乙数当做单位“1”，求甲数比乙数少的数占乙数的百分之几．（8﹣5）÷8；问题二求乙数比甲数多百分之几，是把甲数当做单位“1”，求乙数比甲数多的数是甲的百分之几，即（8﹣5）÷5．解答：解：（8﹣5）÷8，=0.375，=37.5%；（8﹣5）÷5，=0.6，=60%；故答案为：37.5，60．点评：完成本题要注意确定单位“1”，一般情况下，单位“1”都处在“比或占”的后边，再利用求一个数是另一个数的几分之几列式解决问题．7．（2分）一个长方形长宽之比是4：3，面积是432平方厘米，它的周长是84厘米．考点：长方形的周长；长方形、正方形的面积．分析：可设长方形长为4x厘米，宽为3x厘米，根据面积是432平方厘米，列出方程求得长方形的长和宽，再根据长方形的周长公式求解即可．解答：解：设长方形长为4x厘米，宽为3x厘米，则：4x×3x=432，12x2=432，x2=36，x=6；4x=4×6=24，3x=3×6=18，（24+18）×2=42×2，=84（厘米）；答：它的周长是84厘米．故答案为：84．点评：本题的关键是根据面积是432平方厘米，利用长方形的面积公式列出方程求得长方形的长和宽．8．（2分）（2012•广州）一批苹果分装在33个筐内，如果每个筐多装，可省3个筐．考点：分数除法应用题．分析：设原来每个筐装的苹果数量是1，把它看成单位“1”，现在每筐装原来的（1+），由此求出现在每筐装的数量；苹果的总数量是33×1，用这个数量除以现在每筐装的数量就是现在需要的筐数，进而求出节省的筐数．解答：解：设原来每筐装的数量是1，那么现在每筐装的数量是：1×（1+）=；现在需要的筐数是：（1×33）÷，=33，=30（筐）；33﹣30=3（筐）；答：可以节省3筐．故答案为：3．点评：本题关键是找出单位“1”，用单位“1”的量表示出总数量以及现在每筐装的数量，进而求解．9．（2分）（2012•广州）把化成循环小数是0.428571428571…，这个循环小数的小数部分第50位上的数字是2．考点：算术中的规律．分析：此题首先分析循环小数0.428571428571…的循环节有几位数字，然后用50除以循环节的位数，余是几，第50位上的数字就是循环节的第几位数字．解答：解：=0.428571428571…，循环节为428571，有6位数字，因为50÷6=8…2，循环节中第二个数是2，所以这个循环小数的小数部分第50位上的数字是2．故答案为：2．点评：此题属于探索规律的题目，找规律，要从给出的条件着手，仔细观察，发现解决问题的最佳办法解决问题．10．（2分）如图，长方形ABCD被分成两个长方形，且AB：AE=4：1，图中阴影部分三角形的面积为4平方分米．求长方形ABCD的面积32/3平方分米．考点：长方形、正方形的面积；比的应用；三角形的周长和面积．分析：图中阴影部分三角形的面积为2平方分米，由图可以观察出：阴影部分面积是长方形EBCF的一所以可知EBCF的面积为4，又由条件“AB：AE=4：1”得知AB：EB=4：3，则EBCF的面积是AB的，从而可以求得ABCD的面积．解答：解：长方形EBCF的面积=2×2=4（平方分米）则长方形ABCD的面积=8÷==32/3（平方分米）故答案为32/3平方分米．点评：此题主要考查长方形的面积公式及一个数是另一个数的几分之几的问题，将数据代入公式即可．二、判断题（对的在括号内打“√”，错的在括号内打“×”，每小题1分，共5分）11．（1分）（2012•广州）用四舍五入法将0.6295精确到千分位是0.630．正确．考点：近似数及其求法．分析：精确到千分位，即保留小数点后面第三位，看小数点后面第四位（万分位），利用“四舍五入”法解即可．解答：解：0.6295≈0.630，故答案为：正确．点评：此题主要考查小数的近似数取值，关键要看清精确到的位数；注意0在这里不能去掉．12．（1分）（2012•广州）长方形、正方形、三角形、圆和梯形都是轴对称图形．错误．考点：轴对称图形的辨识．分析：根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；进行判断即可．解答：解：根据轴对称图形的意义可知：正方形、长方形、圆都是轴对称图形，而三角形和梯形不一定是轴对称图形，只有等腰三角形和等腰梯形是轴对称图形；故答案为：错误．点评：此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合．13．（1分）（2012•广州）在含盐30%的盐水中，加入6克盐和14克水，这时盐水的含盐百分比是30%．正确．考点：百分数的实际应用．分析：含盐百分比是指含盐的重量占盐水总重量的百分之几，求出后来加入的盐水的含盐百分比然后与30%比较即可．解答：解：6÷（6+14）×100%，=6÷20×100%，=30%；加入的盐水的含盐百分比30%，与原来相同，所以后来的含盐百分比也是30%．故答案为：正确．点评：本题关键是理解含盐百分比，找出其计算的方法，只要加入的盐水的含盐百分比也是30%，那么后来的盐水的含盐百分比就是30%．14．（1分）（2012•广州）一种商品提价10%后，销量大减，于是商家又降价10%出售．现在的价格比最初的价格降低．√．考点：百分数的实际应用．分析：第一个单位“1”是原价，提价后的价格就是原价的1+10%；第二个10%的单位“1”是提价后的价格，现价是提价后价格的1﹣10%，求出现价再与原价比较即可．解答：解：设原价是1，则提价后的价格是：1×（1+10%）=110%；现价是：110%×（1﹣10%）=110%×90%，=99%；99%＜1，即现价低于原价．故答案为：√．点评：解答此题的关键是分清两个单位“1”的区别，找清各自以谁为标准，再把数据设出，根据数量关系求解．15．（1分）如图中的阴影部分的面积占长方形的．考点：三角形的周长和面积；长方形、正方形的面积．分析：分别计算出两部分阴影的面积和大长方形的面积，进行比较后即可得到结果．解答：解：阴影的面积=2×2÷2+2×2÷2=4；大长方形的面积=2×8=16；则4：16=1：4；故此题应填．点评：此题主要考查三角形和长方形的面积公式，将数据代入公式即可求得结果．三、选择题（每小题1分，共5分）16．（1分）（2012•广州）在比例尺是1：3000000的地图上，量得A、B两港距离为12厘米，一艘货轮于上午7时以每小时24千米的速度从A港开向B港，到达B港的时间是（）A．16点B．18点C．20点D．22点考点：比例尺应用题．分析：先根据图上距离÷比例尺=实际距离，再根据路程÷速度=时间，进而解出答案．解答：解：12÷=36000000（厘米）=360（千米），360÷24=15（小时），上午7时过15小时是晚上的22时，故选：D．点评：解答此题用了比例尺和行程方面的知识解答．17．（1分）将一根木棒锯成4段需要6分钟，则将这根木棒锯成6段需要（）A．7B．10 C．12 D．15考点：整数、小数复合应用题．分析：将一根木棒锯成4段需锯的次数是（4﹣1）次，需要6分钟，锯一次用的时间就是6÷（4﹣1）次将这根木棒锯成7段需要锯的次数是（6﹣1）次，然后根据乘法的意义进行解答．解答：解：锯一次用的时间是：6÷（4﹣1），=6÷3，=2（分钟），据7段需用的时间是：（6﹣1）×2，=5×2，=10（分钟）．答：锯7次需要10分钟．故答案选：B．点评：本题属于植树问题，锯的次数=段数﹣1是本题的关键．18．（1分）一个两位数除以5余3，除以7余5，这个两位数最大是（）A．72 B．37 C．33 D．68考点：有余数的除法；求几个数的最小公倍数的方法．分析：比较简单的方法可以用排除法；另外可以通过公倍数的知识解决．解答：解：首先找出5的倍数115，10，15，20，25，30…尾数都是0或5的整数，而这个数应该是：8，13，18，23，28，33…尾数都是3或8的整数；满足情况的只有答案C或D，而7×9+5=68满足题意．故：答案选择D．点评：本道题是有余数的除法，以及商×除数+余数=被除数．而且还有一个数的公倍数的知识那就是5的倍数的规律．19．（1分）（2012•广州）1000+999﹣998﹣997+996+…+104+103﹣102﹣101=（）A．225 B．900 C．1000 D．4000考点：加减法中的巧算．分析：将算式四个分为一组，然后找一下共有几组这样的数，然后根据规律解答．解答：解：1000+999﹣998﹣997+996+…+104+103﹣102﹣101，=（1000+999﹣998﹣997）+（996+995﹣994﹣993）+…+（104+103﹣102﹣101），=4×225，=900．故选：B．点评：此题也可这样理解：此算式除了1000和后三项103﹣102﹣101，其它每四个数字为一组，结果为0，因此此算式的结果为1000+103﹣102﹣101=1000+（103﹣102）﹣101=1000+1﹣101=900．20．（1分）（2012•广州）甲、乙两人各走一段路，他们的速度比是3：4，路程比是8：3，那么他们所需时间比是（）A．2：1 B．32：9 C．1：2 D．4：3考点：比的应用．分析：根据题意，把乙的速度看作1，那么甲的速度就为；把甲的路程看作1，那么乙的路程就为；根据时间=路程÷速度，可得甲用的时间为1÷=，乙用的时间为÷1=；进而写出甲和乙所需的时间比，再把比化成最简比即可．解答：解：把乙的速度看作1，那么甲的速度就为，把甲的路程看做1，那么乙的路程就为，甲用的时间为：1÷=，乙用的时间为：÷1=，甲乙用的时间比：：=（×24）：（×24）=32：9；答：甲乙所需的时间比是32：9．故选：B．点评：关键是把速度和路程设出来，然后根据时间=路程÷速度，先求得各自用的时间，再写出所用的时间比并化简比．12四、计算题（共30分）21．（5分）（2012•广州）直接写出得数25×24= 2.2+3.57== = ==0.05÷5= 5﹣1.4﹣1.6= 80%×14==考点：整数的乘法及应用；运算定律与简便运算；分数的加法和减法；分数乘法；分数除法；分数的简计算；小数的加法和减法；小数除法；百分数的加减乘除运算．分析：本题根据整数、分数、小数的乘法，除法，加法与减法的运算法则计算即可；25×24可将24拆分为4×6计算．5﹣1.4﹣1.6可根据一个数减两个数，等于减去这两个数的和的减法性质进行计算；可根据乘法分配律计算．解答：解：25×24=600， 2.2+3.57=5.77，=9，=，=1，=，0.05÷5=0.01，5﹣1.4﹣1.6=2，80%×14=11.2，=14．故答案为：600，5.77，9，，1，，0.01，2，11.2，14．点评：完成此类题目要注意分析式中数据的特点，能简便计算的要简便计算，然后快速准确得出答案．22．（5分）解方程：：=1：X 6X+=0.8×1.5．考点：方程的解和解方程．分析：（1）先根据比例的基本性质，把原式转化为，再根据等式的性质，在方程两边同时上3来解．（2）先化简，再根据等式的性质，在方程两边同时减去，再除以6来解．解答：解：（1），，，x=；13（2）6x ，6x+=1.2，6x，6x÷6=1÷6，x=．点评：本题考查了学生利用比例的基本性质和等式的性质解方程的能力，注意等号对齐．23．（20分）（2012•广州）计算下列各题，能简便的请用简便方法（1）1880×201.1﹣187.9×2011（2）（3）（4）．考点：运算定律与简便运算；分数的简便计算；分数的四则混合运算；整数、分数、小数、百分数四则混合运算．分析：（1）1880×201.1﹣187.9×2011，转化为188×2011﹣187.9×2011，再运用乘法分配律进行简算；（2），转化为，进行简算；（3），按照分数四则混合运算的运算顺序和计算法则进行计算；（4）．把分数化成小数，再根据小数四则混合运算的运算顺序和计算法则进行计算．解答：解：（1）1880×201.1﹣187.9×2011，=188×2011﹣187.9×2011，=（188﹣187.9）×2011，=0.1×2011，=201.1；（2），=，=1×5×5，=25；（3），1415=[﹣（）]，=[]，=，=； （4），=7.2×61.3+73.8×2.8，=441.36+206.64， =648．点评： 此题主要考查分数、小数四则混合运算，要注意分析式中数据，运用合适的简便方法计算．五、解决问题（每小题5分，共40分） 24．（5分）求图中阴影部分的面积．（单位：厘米）考点： 圆、圆环的面积．分析：通过分析图可知，外圆的直径是14厘米，内圆的半径是5厘米，先根据“直径÷2=半径”，算出外圆半径，再根据圆的面积公式算出两个圆的面积，然后用外圆的面积减去内圆的面积，就是阴影部的面积，即环形的面积． 解答：解：14÷2=7（厘米）外圆的面积 S=πr 2=3.14×72=153.86（平方厘米）内圆的面积 S=πr 2=3.14×52=78.5（平方厘米） 阴影部分的面积=外圆的面积﹣内圆的面积 =153.86﹣78.5=75.36（平方厘米） 故答案是75.36．点评： 解答本题的关键是要先把图看懂，然后根据“环形的面积=外圆的面积﹣内圆的面积”计算．25．（5分）（2012•威宁县）从儿童节那天开始，小明前4天看了72页书，照这样计算，这个月小明一共可以看多少页书？（用比例知识解）考点： 比例的应用． 分析： 抓住“照这样计算”是解题的关键，“照这样计算”意思是小明平均每天看的页数是一定的，即看的页与看的时间的比的比值是一定的；看书的页数与看的时间成正比例关系，由此解答即可．解答： 解：设小明一个月（30天）可以x 页书，4x=72×30x=540．答：这个月小明一共可以看540页书．点评：此题属于正比例应用题，解题的关键是理解“照这样计算”这句话的意思，判断出两种相关联的量成正比例还是成反比列；如果是比值一定，那么这两种相关联的量就成正比例，如果是积一定，那么这两种相关联的量就成反比列；由此设未知数为x，用比例解答即可．26．（5分）（2012•广州）妈妈给我再银行存入20000元的教育费，定期一年，年利率是3.5%，到期缴纳利息税（利息的20%）后，本金和税后利息一共是多少元？考点：存款利息与纳税相关问题．分析：在此题中，本金是20000元，时间是1年，年利率是3.5%．根据关系式“本息=本金+本金×利率×时间×（1﹣20%）”即可解决问题．解答：解：20000+20000×3.5%×1×（1﹣20%），=20000+20000×0.035×1×0.8，=20000+560，=20560（元）；答：本金和税后利息一共是20560元．点评：这种类型属于利息问题，有固定的计算方法，本息=本金+本金×利率×时间×（1﹣20%），找清数据与问题，代入公式计算即可．27．（5分）修路队修一条公路，计划每天修105米，450天完成，如果要提前30天完成，那么实际每天要修多少米？（用方程解）考点：有关计划与实际比较的三步应用题．分析：根据题意可找出数量间的相等关系：实际每天修的米数×实际的天数=计划每天修的米数×计划的天数，设实际每天要修x米，列出并解方程即可．解答：解：设实际每天要修x米，由题意得，（450﹣30）x=105×450，420x=47250，x=112.5．答：实际每天要修112.5米．点评：此题用方程解答比较容易，关键是找准题里数量间的相等关系，设未知数为x，列并解方程即可．28．（5分）（2007•庐江县）营养学家建议：儿童每日喝水应不少于1500毫升，青青每天用底面直径6厘米，高10厘米的水杯喝6满杯水，达到要求了吗？考点：圆柱的侧面积、表面积和体积．分析：根据圆柱的体积公式，求出青青喝水的水杯的容积，再求出青青每天一共喝水的毫升数，最后与1500毫升进行比较，即可得出判断．解答：解：3.14××10×6，=3.14×9×10×6，=31.4×54，16=1695.6（立方厘米），1695.6立方厘米=1695.6毫升，因为，1500毫升＜1695.6毫升，所以，青青的喝水量达到要求，答：青青每日的喝水量达到了要求．点评：解答此题的关键是根据圆柱的体积公式（V=sh=πr2h），计算出青青每天的喝水量，由此进一步得出案．29．（5分）（2012•广州）工程队用3天修完一段路，第一天修的是第二天的，第三天修的是第二天的倍，已知第三天比第一天多修270米，这段路长多少米？考点：分数四则复合应用题．分析：把第二天修的长度看作单位“1”，第一天修的是第二天的，第三天修的是第二天的倍，已知第天比第一天多修270米，因此第二天修了270÷（﹣）=900（米）．然后根据三天所修路之间的系，求出全长即可．解答：解：第二天修了：270÷（﹣），=270÷，=900（米）；这段路长：900×+900+900×，=810+900+1080，=2790（米）；答：这段路长2790米．点评：此题解决的关键是把第二天修的长度看作单位“1”，求出第二天修的米数．30．（5分）（2010•海珠区）为了学生的卫生安全，学校给每个住宿生配一个水杯，每只水杯3元，大洋商城打九折，百汇商厦“买八送一”．学校想买180只水杯，请你当“参谋”，算一算：到哪家购买较合算？请写出你的理由．考点：最佳方法问题；百分数的实际应用．分析：此题可以通过计算，对比得出最佳方案．①大洋商城打九折：3×0.9=2.7（元）；②百汇商厦“买八送一”：3×8=24元，24元实际是买了9个水杯，所以：24÷9=2.666…（元），2.7＞2.66由此即可得出最佳方案．解答：解：大洋商城打九折的单价为：3×0.9=2.7（元）；百汇商厦“买八送一”的单价为：3×8÷（8+1），17=24÷9，=2.666…（元），2.7元＞2.666…元，答：到百汇商厦买，因为价格比大洋商城的价格低，省钱．点评：此题是先计算出各个商城的水杯的单价，价格低的方案为最佳．31．（5分）（2012•广州）甲仓有粮80吨，乙仓有粮120吨，如果把乙仓的一部分粮调到甲仓，使得乙仓存量是甲仓的60%，需要从乙仓调入甲仓多少吨粮食？考点：百分数的实际应用．分析：本题可列方程进行解答，设需要从乙仓调入甲仓x吨粮食，才能得乙仓存量是甲仓的60%．则此时甲仓有粮80+x吨，乙仓有粮120﹣x吨，根据题意可得：（120﹣x）÷（80+x）=60%．解此方程即可．解答：解：设需要从乙仓调入甲仓x吨粮食，才能得乙仓存量是甲仓的60%，可得方程：（120﹣x）÷（80+x）=60%．120﹣x=（80+x）×60%，120﹣x=48+60%x，160%x=72，x=45．答：需要从乙仓调入甲仓45吨粮食，才能得乙仓存量是甲仓的60%．点评：通这设未知数，根据题意列出等量关系式是完成本题的关键．32．（2012•广州）（附加题）一个容器正好装满10升纯酒精，倒出3升后用水加满，再倒出4.5升后，再用水加满，这时容器中溶液的浓度时多少？考点：浓度问题．分析：第一次倒出3升后，还剩10﹣3=7升，酒精浓度为7÷10=70%；第二次倒出4.5升后，剩7﹣4.5×70%=3.85升；根据“×100%=酒精浓度”求出即可．解答：解：10﹣3﹣4.5×=3.85（升）；3.85÷10=38.5%；答：这时酒精的浓度是38.5%．点评：此题属于百分数的实际应用，根据“×100%=酒精浓度”解答．33．（2012•广州）（附加题）客车和货车分别从甲乙两站同时相向开出，5小时后相遇，相遇后两车仍按原速度前进，当他们相距196千米时，客车行了全程的，货车行了全程的80%．（1）全程是多少千米？（2）货车行完全程需要多少个小时？考点：简单的行程问题；分数、百分数复合应用题．分析：（1）根据题意，客车行了全程的，货车行了全程的80%，可知两车是相遇后又分开196千米，因此全程是196÷（+80%﹣1），计算即可；18（2）客车、货车的速度比为：80%=3：4，则货车速度为：（490÷5）×=56（千米），那么货行完全程需要的时间是：490÷56，计算即可．．解答：解：（1）196÷（+80%﹣1），=196÷（0.6+0.8﹣1），=196÷0.4，=490（千米）；答：全程是490千米．（2）客货速度比为：：80%=3：4；则货车速度为：（490÷5）×，=98×，=56（千米）；货车行完全程需要的时间是：490÷56=8（小时）．答：货车行完全程需要8小时．19。