线性系统理论第二章
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线性系统的运动分析第二章PPT课件
t0)
x(t)(t)x(0) 则有： x(t)(tt0)x(t0)
线性定常系统的状态转移矩阵
9
说明1：状态转移矩阵必须满足以下两个条件：
1）状态转移矩阵初始条件： (t0t0)I
2）状态转移矩阵满足状态方程本身： (tt0)A (tt0)
说明2：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指 数函数本身。
即 A d I ： e A ) 0 ti ( ( i I A ) p i 0 p i T e A
24
（2）当A具有n重特征根 i ：约当标准型 约当矩阵A的矩阵指数函数
eit
eAtTeAtT1
T
0
0
teit
1 tn1eit (n1)!
T1
teit
0
eit
其中： T为使A化为约当标准型的非奇异变换矩阵。
故上式成立，意为 t 0 至 t 2 的状态转移过程可分解为t 0 至 t 1
及 t 1 至 t 2 的分段转移过程。
11
3、分解性：设A为n×n阶矩阵，t1和t2为两个独立 自变量，则有：
e e e A(t1t2)
A1t A2t
4、可逆性： e At 总是非奇异的，必有逆存在，且：(eAt)1 eAt
23
（1）当A的特征值 1,2,,n为两两相异时：对角线标准型
e1t eAtTeAtT1 T
0
0 T1
ent
其中： T为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。
求状态转移矩阵的步骤：
1） 先求得A阵的特征值 i 。
2） 求对应于 i 的特征向量 p i ，并得到T阵及T的逆阵。
3） 代入上式即可得到状态转移矩阵的值。
▪ 直接求解法：根据定义 ▪ 拉氏反变换法 ▪ 标准型法求解：对角线标准型和约当标准型 ▪ 待定系数法： 凯莱－哈密顿定理
现代控制理论(第二章)线性系统的状态空间描述
y
kp
u
s3 1s 2 2s 3
若对其参数一无所知，它的控制律设计就会复 杂得多，而稳定性的分析事实上是无法进行的。
系统的输入—输出描述仅在松弛的条件下才能采用。
若系统在t0时刻是非松弛的，输出 y[t0 ,) 并不能单
单由 u[t0 ,) 所决定，即关系式 不成立。考察简单的一阶系统：
y[t0 ,)
多变量线性系统的单位脉冲响应
结论3：对多变量线性时变系统，u(t)为其p维输 入向量，y(t)为q 维输出向量，在初始条件为零
的条件下，系统的输出响应为：
y(t) G(t, )u( )d
其中：
g11(t, ) g12 (t, )
G(t
,
)
g21
(t
,
)
g22 (t, )
g1p (t, ) g2 p (t, )
H[t0 ,)
yc
1
yc
u
t t0 0
容易得到其解
yc
(t )
e
1t
yc
(0)
t
e1
(t
)u(
)d
显然，若其初始条件
yc
0
(0)
不能确定，则不能
唯一地确定其输出。
1.非零初始条件与脉冲输入
零初始条件：系统的初始条件为零是指系统在初 始时刻没有能量储备。
注意：在建立线性系统的输入—输出描述时， 必须假设系统的初始条件为零。
9、线性系统 系统状态空间描述中，f 和 g 均是线性函数。
10、线性系统的状态空间描述
状态方程为一阶向量线性微分方程或一阶向量线性 差分方程，输出方程是向量代数方程。
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
第二章 现在控制理论 线性系统的数学描述1
第二章现在控制理论线性系统的数学描述1第二章现在控制理论线性系统的数学描述1第二章线性系统的数学描述数学模型可以存有许多相同的形式，较常用的存有三种：第一种是：把系统的输入量和输出量之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入输出描述，或外部描述；比如：微分方程式、传递函数和差分方程。
第二种是：不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之为状态空间描述或内部描述；它特别适用于于多输出、多输入系统，也适用于于时变系统、非线性系统和随机控制系统。
第三种是：用比较直观的方块图（结构图）和信号流图模型进行描述。
同一系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要根据不同的情况对这些模型进行取舍，以利于对控制系统进行有效的分析。
许多表面上全然相同的系统（例如机械系统、电气系统、液压系统和经济学系统）有时却可能将具备完全相同的数学模型；从这个意义上讲，数学模型表达了这些系统的共性，所以只要研究透了一种数学模型，也就能完全了解具有这种数学模型形式的各式各样系统的本质特征。
92.1线性系统的时域数学模型对于单输出、单输入线性定常系统，使用以下微分方程去叙述：c(n)(t)?a1c(n?1)(t)?a2c?b0r(m)(n?2)?(t)?anc(t)(t)an?1c(m?1)(t)?b1r(t)?b2r(m?2)?(t)?bmr(t)(t)bm?1r(2.1)式中，r(t)和c(t)分别是系统的输入信号和输出信号，c(n)(t)为c(t)对时间t的n阶导数；ai(i?1,2,?n)和bj(j?0,1,?m)就是由系统的结构参数同意的系数。
通常情况下，列写控制系统运动方程的步骤就是(建模过程):首先，分析系统的工作原理及其各变量之间的关系，找出系统的输入量和输出量；其次，根据系统运动特性的基本定律，通常从系统的输出端的已经开始依次写下各元件的运动方程，在列写元件运动方程时，须要考量相连元件间的相互作用；最后，由组成系统各元件的运动方程中，消去中间变量，求取只含有系统输入和输出变量及其各阶导数的方程，并将其化为标准形式。
第二章 线性系统分析
它可以分解成函数的线性叠加:
f x1 , y1
f , x
1
, y1 dd
即：输入函数 f(x1, y1) 可以看成是无穷多个不同位 置 (, )的δ函数以 f(, ) 为权重的线性叠加。
由线性系统的叠加性和均匀性，可知，线性系统对 输入函数f(x1,y1) 的输出响应为：
证明：输入函数
f x, y exp j 2 ux vy
g x, y f x , y h x, y
f , hx , y dd
exp j 2 u v hx , y dd
2-2 线性平移不变系统
一、线性平移不变系统的定义： 平移不变性
S f x1 , y1 g x2 , y2
S f x1 x0 , y1 y0 g x2 Mx0 , y2 My0
则称该系统具有平移不变性。 所谓平移不变性就是当输入产生平移时，输出也仅发生 平移，形式不变。对于空间函数来讲，也称之为空间平 移不变性。 线性平移不变系统: 既具有线性又具有平移不变性的 系统称为线性平移不变系统。
则称该系统是线性系统。 2）叠加性： 若 g1 x2 , y2 S f1 x1 , y1 g2 x2 , y2 S f 2 x1 , y1
S f1 x1 , y1 f 2 x1 , y1 S f1 x1 , y1 S f 2 x1 , y1 g1 x2 , y2 g 2 x2 , y2
hx2 , y2 ; , S x1 , y1
对于线性平移不变系统应该有：
f x1 , y1
f , x
1
, y1 dd
即：输入函数 f(x1, y1) 可以看成是无穷多个不同位 置 (, )的δ函数以 f(, ) 为权重的线性叠加。
由线性系统的叠加性和均匀性，可知，线性系统对 输入函数f(x1,y1) 的输出响应为：
证明：输入函数
f x, y exp j 2 ux vy
g x, y f x , y h x, y
f , hx , y dd
exp j 2 u v hx , y dd
2-2 线性平移不变系统
一、线性平移不变系统的定义： 平移不变性
S f x1 , y1 g x2 , y2
S f x1 x0 , y1 y0 g x2 Mx0 , y2 My0
则称该系统具有平移不变性。 所谓平移不变性就是当输入产生平移时，输出也仅发生 平移，形式不变。对于空间函数来讲，也称之为空间平 移不变性。 线性平移不变系统: 既具有线性又具有平移不变性的 系统称为线性平移不变系统。
则称该系统是线性系统。 2）叠加性： 若 g1 x2 , y2 S f1 x1 , y1 g2 x2 , y2 S f 2 x1 , y1
S f1 x1 , y1 f 2 x1 , y1 S f1 x1 , y1 S f 2 x1 , y1 g1 x2 , y2 g 2 x2 , y2
hx2 , y2 ; , S x1 , y1
对于线性平移不变系统应该有：
第二章线性系统的数学模型
R1 U3(s) R2
I1(s) U1(s)
I2(s) 1/C1s
U2(s) 1/C2s
1 U3(s) C1s ＋ －
1
1 U2(s)
R2 I2(s) C2s
三 框图变换和化简
常用的结构图变换方法有二： 一是环节的合并，二是信号分支点或综合点的移动。
原则是：变换前、后的数学关系(输入量、输出量）保持不变。
d表示微分算子gg1g2例22机械旋转系统弹性扭转变形系数例23电阻电感电容串联网络fvkydtdybdmdbdmdbdmdbdmd参考面参考面bdmdbdmdbdmdbdmdridtdidtdqdtdq速度质量弹性系数阻尼系数电压电流电感倒数电阻电荷例24直流他激电动机带动负载设激磁电流恒定并忽略电枢反应
Kg
(s zi )
i 1 n
(s p j )
也可以表示成时间常数的形式
j 1
m
G(s)
b0 a0
dm sm cn sn
dm 1sm1 d1s 1 cn 1sn1 c1s 1
K
(is 1)
i 1 n
(Tjs 1)
1 2!
d2y dx2
x x0
(x
x0 )2
忽略高次项，然后用增量表示
y f (x0 ) Kx
经上述处理后，就变成了线性方程。
上述方法称为小偏差线性化方法。它是基于这样一种假设：输入量和输 出量只是在静态工作点附近作微小变化 。
几点注意：
(1)只适用于不太严重的非线性系统，其非线性函数是可 以利用泰勒级数展开的（非本质非线性）。
ui(t)
第二章 线性系统的运动分析
等式右边括号内的展开式是n×n矩阵，它是一个矩阵指数函数， 记为eAt，即：
e
At
1 2 2 1 k k = I + At + A t +L+ A t +L 2! k!
对于所有的有限时间t，可以证明，eAt都是绝对收敛的。
x(t) = eAt x0
2011-3-22 14
对于任意初始条件x(t 解为： 对于任意初始条件 0)=x0，解为：
2011-3-22
2
2.1
引言
2011-3-22
3
一、运动分析的数学实质
& x = A(t)x + B(t)u, x(t0 ) = x0 , t ∈[t0 , ta ] & x = A + B , x(0) = x0 , t ≥ 0 x u
分析系统的运动的目的，就是要从其数学模型出发，来定量地 分析系统的运动的目的，就是要从其数学模型出发， 和精确地定出系统运动的变化规律， 和精确地定出系统运动的变化规律，以便为系统的实际运动过 程作出估计。 程作出估计。 从数学上看，这个命题可归结为：相对于给定的初始状态 从数学上看，这个命题可归结为：相对于给定的初始状态x0和 外输入作用u，来求解出状态方程的解x(t)，即由初始状态和外 外输入作用 ，来求解出状态方程的解 ， 输入作用所引起的响应。 输入作用所引起的响应。
x(t) = eA（t－t0） 0 x
2011-3-22
15
二、状态转移矩阵
1、状态转移矩阵的物理意义 、
x(t) = eAt x0
或
x(t) = eA（t－t0） 0 x
它反映了从初始时刻的状态向量x0，到任意t>0或t>t0时刻的状态 向量x(t)的一种向量变换关系，变换矩阵就是矩阵指数函数eAt。 x(t) e 它不同于上一章的线性变换矩阵T，它不是一个常数矩阵，它 的元素一般是时间t的函数，即是一个n×n时变函数矩阵； 从时间的角度而言，这意味着它使状态向量随着时间的推移， 不断地在状态空间中作转移，所以eAt也称为状态转移矩阵，通 常记为Φ(t)。
e
At
1 2 2 1 k k = I + At + A t +L+ A t +L 2! k!
对于所有的有限时间t，可以证明，eAt都是绝对收敛的。
x(t) = eAt x0
2011-3-22 14
对于任意初始条件x(t 解为： 对于任意初始条件 0)=x0，解为：
2011-3-22
2
2.1
引言
2011-3-22
3
一、运动分析的数学实质
& x = A(t)x + B(t)u, x(t0 ) = x0 , t ∈[t0 , ta ] & x = A + B , x(0) = x0 , t ≥ 0 x u
分析系统的运动的目的，就是要从其数学模型出发，来定量地 分析系统的运动的目的，就是要从其数学模型出发， 和精确地定出系统运动的变化规律， 和精确地定出系统运动的变化规律，以便为系统的实际运动过 程作出估计。 程作出估计。 从数学上看，这个命题可归结为：相对于给定的初始状态 从数学上看，这个命题可归结为：相对于给定的初始状态x0和 外输入作用u，来求解出状态方程的解x(t)，即由初始状态和外 外输入作用 ，来求解出状态方程的解 ， 输入作用所引起的响应。 输入作用所引起的响应。
x(t) = eA（t－t0） 0 x
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15
二、状态转移矩阵
1、状态转移矩阵的物理意义 、
x(t) = eAt x0
或
x(t) = eA（t－t0） 0 x
它反映了从初始时刻的状态向量x0，到任意t>0或t>t0时刻的状态 向量x(t)的一种向量变换关系，变换矩阵就是矩阵指数函数eAt。 x(t) e 它不同于上一章的线性变换矩阵T，它不是一个常数矩阵，它 的元素一般是时间t的函数，即是一个n×n时变函数矩阵； 从时间的角度而言，这意味着它使状态向量随着时间的推移， 不断地在状态空间中作转移，所以eAt也称为状态转移矩阵，通 常记为Φ(t)。
第二章线性系统的状态空间描述1
第二章 线性系统的状态空间描述§2-1 状态空间的基本概念1、状态：系统的状态，是指系统的过去、现在和将来的状况。
（如：一个质点作直线运动，它的状态就是它每个时刻的位置和速度）2、状态变量：能完全表征系统运行状态的最小数目的一组变量。
（如果用最少的n 个变量x 1(t)， x 2(t)，……， x n (t)就能完全描述系统的状态，那么这n 个变量就是一组状态变量。
）3、状态向量：设一个系统有n 个状态变量，即x 1(t)，x 2(t)，……，x n (t)，用这n 个状态变量作为分量构成的向量x(t)称为该系统的状态向量。
记为Tn t x t x t x t x )](,),(),([)(21 =4、状态空间：由n 个状态变量作为坐标轴所构成的n 维空间，称为状态空间。
引入了状态和状态空间的概念之后，就可以建立动力学系统的状态空间描述了。
从结构的角度讲，一个动力学系统可用图2-1所示的方块图来表示。
其中x(t)表征系统的状态变量，u(t)为系统控制量（即输入量），y(t)为系统的输出变量。
与输入—输出描述不同，状态空间描述把系统动态过程的描述考虑为一个更为细致的过程：输入引起系统状态的变化，而状态和输入则决定了输出的变化。
5、状态方程：状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系，称为系统的状态方程。
例：设单输入线性定常系统(LTI-Linear Time Invariant )的状态变量为x 1(t)，x 2(t)，……，x n (t)，输入为u(t),则一般形式的状态方程为：)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(2211222221212112121111t u b t x t a t x t a t x a t x t u b t x t a t x t a t x a t x t u b t x t a t x t a t x a t x n n nn n n nn n n n ++++='++++='++++='图2-1 动力学系统结构示意图上式可写成向量—矩阵形式：其中：6、输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量、输入量之间的函数关系式，称为系统的输出方程。
第二章 线性系统的动态分析
• 本章在讨论中，删除第1，2节的内容， 重点讲第3节。
一：动态分析的意义
1. 问题的提出及其解的存在唯一性： 对于线性系统，动态方程为：
x& A(t)x B(t)u
y
C(t
)
x
D(t
)u
x(t0 ) x0
分析系统运动的目的，就是从其数学模型 从工程上讲：出发，来定量地给出系统运动的变化规律，
I
唯一确定。
n
设（1 t )和（2 t）为方程的两个任取的基解矩阵，必
存在非奇异阵P，使（2 t） （1 t )P,则
(t, t0 ) （2 t） 1（2 t0） （2 t）P -1（1 t 0 )
（1 t )PP -1（1 t 0 ) （1 t )（1 t 0 ) 由状态转移矩阵可得，齐次方程的解为
y(t
)
Cx(t
)
Du(t
)
先考虑齐次方程
x& x(t0
Ax )
x0
的解
因为A为常阵，该系统的状态转移矩阵为
(t,
t0
)
I
A(t
t0
)
1 2!
A2
(t
t0
)2
1 3!
A3 (t
t0
)3
L
(t t0 )
i 1
1 k!
Ak
(
t
t
0
)k
e A(tt0 )
对于定常系统，状态响应曲线的形状与起点的时间无关，
n
i 1,L , n使x(t0 ) e0 1e1 L nen i xi (t0 ) i 1 n
由微分方程初值问题解的唯一性，x(t) i xi (t) i 1
定义3.8 如果xi (t)，i 1,L , n是解空间的一组基， 那么n n矩阵(t) [ x1(t),L , xn(t)]称为方程的一个 基本解矩阵。
一：动态分析的意义
1. 问题的提出及其解的存在唯一性： 对于线性系统，动态方程为：
x& A(t)x B(t)u
y
C(t
)
x
D(t
)u
x(t0 ) x0
分析系统运动的目的，就是从其数学模型 从工程上讲：出发，来定量地给出系统运动的变化规律，
I
唯一确定。
n
设（1 t )和（2 t）为方程的两个任取的基解矩阵，必
存在非奇异阵P，使（2 t） （1 t )P,则
(t, t0 ) （2 t） 1（2 t0） （2 t）P -1（1 t 0 )
（1 t )PP -1（1 t 0 ) （1 t )（1 t 0 ) 由状态转移矩阵可得，齐次方程的解为
y(t
)
Cx(t
)
Du(t
)
先考虑齐次方程
x& x(t0
Ax )
x0
的解
因为A为常阵，该系统的状态转移矩阵为
(t,
t0
)
I
A(t
t0
)
1 2!
A2
(t
t0
)2
1 3!
A3 (t
t0
)3
L
(t t0 )
i 1
1 k!
Ak
(
t
t
0
)k
e A(tt0 )
对于定常系统，状态响应曲线的形状与起点的时间无关，
n
i 1,L , n使x(t0 ) e0 1e1 L nen i xi (t0 ) i 1 n
由微分方程初值问题解的唯一性，x(t) i xi (t) i 1
定义3.8 如果xi (t)，i 1,L , n是解空间的一组基， 那么n n矩阵(t) [ x1(t),L , xn(t)]称为方程的一个 基本解矩阵。
第二章 线性系统的状态空间描述
xn
pn1x1
...
pnn xn
记 : x [x1,..., xn ]T ,
x [x1,...xn ]T ,
p11...p1n
P ............
,
pn1...pnn
P可逆
则 x Px, 或 x P 1x
系统的任意选取的两个状态之间为线性非奇异变换的关系。
另外: 一个非线系统可通过泰勒展开获得局部近似线
性化系统（P.29, 自学）
2020/2/11
35
时变和时不变（自治）系统
时变系统:
x f (x,u,t)
y
g(x,
, u, t )
x A(t)x B(t)u
y
C(t)x
D(t)u
向量函数、参数矩阵至少一个是时间变量的显函数。
d
21
d 22
dm1 dm2
d1p
d
2
p
,
d
mp
m n维输出矩阵 表征输出和每个状态变量的关系
m p维前馈矩阵,又称为直接转移矩阵 表征输入对输出的直接传递关系 通常D＝0
2020/2/11
21
动态方程或状态空间表达式：
将状态方程和输出方程联立，就构成动态方程或状态空间
2020/2/11
1
2.1 状态和状态空间
2020/2/11
2
1、系统动态过程的两类数学描述
2020/2/11
3
2020/2/11
4
（1）系统的外部描述（输入-输出描述）
信号与线性系统第二章ppt课件
2.6 卷积的数值计算 卷积积分除通过直接积分或查表的方法进行求解外，还可以
利用计算机求解，这就是卷积积分的数值计算。
.
单位冲激函数的工程定义:
(t) 0
t 0 t 0
和
(t)dt1
单位冲激函数的工程定义直观地反映了它出现时间极短和面
积为1两个特点。从它t=0时函数值趋于无穷大，可以看出，
不是通常意义下的函数。人们将这类非常规函数称为广义函
数（generalized function），或称分配函数（distribution
function）。这类函数的数学定义不是象普通函数那样，由对
应于自变量的变化值所取的函数值来定义，而是由它对另一
个函数（常称为测试函数）的作用效果来定义的，也就是说，
不是用它“是”什么来定义，而. 是用它能“做”什么来定义 的。
单位冲激函数的严格的数学定义。
(t)(t)d t (0)
（2.1-4）
y(t) x()h(t)d
t1
（2.3-14）
更一般的确定卷积积分的积分限的方法将在下一节中进一步
进行分析讨论。 .
2.4 卷积的图解和卷积积分限的确定 上一节讨论了一般形式的卷积积分，以及x(t)和h(t)均为有始
函数时积分上下限的表示方法，但实际上卷积积分限还要根 据具体情况来确定，特别是当x(t)和h(t)两者或两者之一是分段 定义的函数时，图解能帮助正确地确定卷积积分的上下限。
2.4.2 卷积的另一种计算方法 如果x(t)和h(t)两者或两者之一是分段连续的函数时，采用式 （2.3-14）进行卷积计算也是一种较为简便的方法。 2.5 卷积积分的性质 作为一种数学运算方法，卷积积分具有某些特殊的性质。利 用这些性质可使卷积运算大为简化。
利用计算机求解，这就是卷积积分的数值计算。
.
单位冲激函数的工程定义:
(t) 0
t 0 t 0
和
(t)dt1
单位冲激函数的工程定义直观地反映了它出现时间极短和面
积为1两个特点。从它t=0时函数值趋于无穷大，可以看出，
不是通常意义下的函数。人们将这类非常规函数称为广义函
数（generalized function），或称分配函数（distribution
function）。这类函数的数学定义不是象普通函数那样，由对
应于自变量的变化值所取的函数值来定义，而是由它对另一
个函数（常称为测试函数）的作用效果来定义的，也就是说，
不是用它“是”什么来定义，而. 是用它能“做”什么来定义 的。
单位冲激函数的严格的数学定义。
(t)(t)d t (0)
（2.1-4）
y(t) x()h(t)d
t1
（2.3-14）
更一般的确定卷积积分的积分限的方法将在下一节中进一步
进行分析讨论。 .
2.4 卷积的图解和卷积积分限的确定 上一节讨论了一般形式的卷积积分，以及x(t)和h(t)均为有始
函数时积分上下限的表示方法，但实际上卷积积分限还要根 据具体情况来确定，特别是当x(t)和h(t)两者或两者之一是分段 定义的函数时，图解能帮助正确地确定卷积积分的上下限。
2.4.2 卷积的另一种计算方法 如果x(t)和h(t)两者或两者之一是分段连续的函数时，采用式 （2.3-14）进行卷积计算也是一种较为简便的方法。 2.5 卷积积分的性质 作为一种数学运算方法，卷积积分具有某些特殊的性质。利 用这些性质可使卷积运算大为简化。
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y4 kx4 2kx2 2 y2 y3 kx3 k ( x1 x2 ) y1 y2 y2 kx2 y1 kx1 x1
x4 2 x2 x 2 x3 x1 x2 x
Physical System Validate
Verify Model Control
Analyze
Verification
Model Performance acceptible Update model/analysis Analyze Control
Simulate
Simulation / Visualization
Milestones in development of Control Theory
Classical Control Theory:
Before 1950’s. Characterized by Transfer Function analysis method. Not very good for multi-variable or large-scale system Root Locus, Frequency Response methods are extensively used Very much dependent on design experience
Input System Output
Why we need to study a system?
Because we want to control it.
What is control?
Roughly speaking, control is to make a system behave like we desire.
Some terms-- Linearity
Linearity: A system is linear if it satisfies the superposition property, i.e., 1x1 (t0 ) 2x 2 (t0 ) 1y1 (t ) 2 y 2 (t ) 1u1 (t ) 2u2 (t ), t t0 y y kx
Physical System Validate
Model
Verify Control
Model
Control
Return to design
Analyze
Simulation / Visualization No Update performance, specifications
Simulate
Linear System Theory
Lecture 1 Introduction
Contents
Introduction to control Development of control theory Steps to design control Mathematical model of system How to build mathematical model of a system Relation of different models Background knowledge
Essential elements
Some terms
Input u(t)
System Black Box
Output y(t) y(k)
u(k)
SISO: Single-Input-Single-Output MIMO: Multiple-Input-Multiple-Output SIMO: MISO:
Milestones in development of Control Theory
Modern Control Theory:
After 1960’s. Characterized by state variable analysis method. Very good for multi-variable or large-scale system, and can be easily extended to timevariable system or even non-linear system Systematic methods are developed to analyze the controllability, observability and stability Performance can be clearly specified and analytical methods are developed to accomplish the design
Vc, IL: state variable
VR, IL: not state variable
Some terms—Lumpedness
Lumpedness: A system is said to be lumped if its number of state variable is finite
Some terms-- Memory
A system with memory is one whose output depends on itself from an earlier point in time;
E.g., Capacitor C, Inductor L
A memoryless system is one whose output depends only on the current time and current 3 input. E.g., Resistor R 1
Milestones in development of Control Theory
Large-scale System Theory and Intelligent Control
After 1970’s Proposed for dealing with large-scale, complex, and hierarchical control of large system. Highly intelligent, adaptive and robust
3 1
4 2
4 2Some terms--Cusality
A system is said to be causal if the value of the output at time t0 depends on the values of the input and output for all t0 up to t0, i.e., t<=t0 Every practical system is causal For easy understanding, this means that we cannot use anyway to change what have already happened.
Control Examples
Flyingball control boiler Manual control fluid
Control Examples
Boiler-generator Control
Control Examples
Power Generation Control
Modeling of physical system
Some terms—state variable
State Variable: a set of variables that define the system response. Once the initial conditions are given, the differential equations completely characterize any chosen output function from the initial time for any admissible input function.
Analyze
Simulate
Open-loop control
A control model
u
Plant
y
Roughly speaking, control system design deals with the problem of making a concrete physical system behave according to desired specifications
Closed-loop control
Definition of “system”
System is described by “model”, which is a group of differential u(t) y(t) Black Box equations (partial or ordinary), or y(k) u(k) algebraic equations concerning relevant variables Definition: Literally: a group or combination of interrelated, interdependent, or interacting elements forming a collective entity; a methodical or coordinated assemblage of parts, facts, concepts, etc. Here: Mathematical description of a relationship between externally supplied quantities (I.e., those coming from outside of the system) and the dependent quantities that result from the action or effect on those external quantities