6.4 定积分应用
《经济应用数学》课程复习大纲
《经济应用数学》课程学习资料继续教育学院《经济应用数学》课程复习大纲一、考试要求本课程是一门基础课，要求学生在学完本课程后，能够牢固掌握本课程的基本知识，并具有应用所学知识说明和处理实际问题的能力。
据此，本课程的考试着重基本知识考查和应用能力考查两个方面，包括识记、理解、应用三个层次。
各层次含义如下：识记：指学习后应当记住的内容，包括概念、原则、方法的含义等。
这是最低层次的要求。
理解：指在识记的基础上，全面把握基本概念、基本原则、基本方法，并能表达其基本内容和基本原理，能够分析和说明相关问题的区别与联系。
这是较高层次的要求。
应用：指能够用学习过的知识分析、计算和处理涉及一两个知识点或多个知识点的会计问题，包括简单应用和综合应用。
二、考试方式闭卷笔试，时间120分钟三、考试题型●选择题：18％●填空题：18％●判断题：12％●计算题：52％四、考核的内容和要求（基本要求、重点、难点）基本要求第1章函数【内容提要】§1.1预备知识§1.2 函数概念§1.3函数的几何特征§1.4反函数§1.5复合函数§1.6初等函数§1.7简单函数关系的建立【要求与说明】1．理解实数与实数绝对值的概念，掌握解简单绝对值不等式的方法。
2．理解函数、函数的定义域和值域等概念，熟悉函数的表示法。
3．了解函数的几何特性并掌握各几何特性的图形特征。
4．理解反函数的概念；知道函数与其反函数的图形关系；会求简单函数的反函数。
5．理解复合函数的概念；了解两个（或多个）函数能构成复合函数的条件；掌握求简单函数复合运算的方法；掌握将一个复合函数分解为较简单函数的方法。
6．理解基本初等函数及其定义域、值域等概念；掌握基本初等函数的基本性质。
7．理解初等函数的概念；了解分段函数的概念。
8．了解成本、收益、利润、需求、供给等经济函数及其性质；会建立简单应用问题的函数关系。
9．本章内容带有复习性质，凡中学已经学过的有关函数的知识，只需加以总结，不必再作详细讲解。
高等数学(电子版)
高等数学（电子版）第一章函数与极限1.1 函数的概念函数是数学中最基本的概念之一，它描述了两个变量之间的依赖关系。
在高等数学中，我们主要研究实数集上的函数，即定义域和值域都是实数集的函数。
1.2 函数的性质函数具有许多重要的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。
这些性质有助于我们更好地理解和分析函数的行为。
1.3 极限的概念极限是研究函数在某一点附近行为的一种方法。
当我们讨论一个函数的极限时，我们关注的是当自变量趋近于某个特定值时，函数值的变化趋势。
1.4 极限的运算法则极限运算法则是指对于一些基本函数的极限，我们可以通过简单的运算得到它们的极限。
这些运算法则包括极限的四则运算、复合函数的极限、数列的极限等。
1.5 无穷小与无穷大无穷小与无穷大是描述函数极限的两种特殊情况。
无穷小是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值趋近于0；无穷大是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值趋近于正无穷大或负无穷大。
1.6 连续性与间断点连续性是函数的一个重要性质，它描述了函数在某一点附近的行为。
如果一个函数在某个点连续，那么它在该点附近的极限存在且等于该点的函数值。
间断点是函数不连续的点，它们在函数图像上表现为跳跃或断开。
第二章导数与微分2.1 导数的概念导数是描述函数在某一点附近变化率的一种方法。
它表示了函数在该点的斜率，即函数图像在该点的切线斜率。
2.2 导数的运算法则导数运算法则是指对于一些基本函数的导数，我们可以通过简单的运算得到它们的导数。
这些运算法则包括导数的四则运算、复合函数的导数、幂函数的导数等。
2.3 高阶导数高阶导数是指函数的导数的导数。
它们描述了函数在某一点附近更复杂的变化率。
高阶导数在研究函数的凹凸性、拐点等方面具有重要意义。
2.4 微分的概念微分是导数的一种应用，它描述了函数在某一点附近的微小变化。
微分运算可以用来求解一些实际问题，如曲线的切线问题、最值问题等。
2.5 微分的应用微分在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
上海市二期课改高一到高三所有的数学教材目录
上海市二期课改高一到高三所有的数学教材目录共21个单元高中一年级第一学期第1章集合和命题一、集合1.1集合及其表示法1.2集合之间的关系1.3集合的运算二、四种命题的形式1.4命题的形式及等价关系三、充分条件与必要条件1.5充分条件,必要条件四、逻辑初步(*拓展内容1.6命题的运算五、抽屉原则与平均数原则(*拓展内容1.7抽屉原则与平均数原则第2章不等式2.1不等式的基本性质2.2一元二次不等式的解法2.3其他不等式的解法2.4基本不等式及其应用课题一最大容积问题2.5不等式的证明(拓展内容第3章函数的基本性质3.1函数的概念3.2函数关系的建立课题二邮件与邮费问题课题三上海出租车计价问题3.3函数的运算3.4函数的基本性质函数的零点(拓展内容第4章幂函数、指数函数和对数函数一、幂函数4.1幂函数的性质与图像二、指数函数4.2指数函数的图像与性质三、对数4.3对数概念及其运算换底公式(拓展内容四、反函数4.4反函数的概念五、对数函数4.5对数函数的图像与性质六、指数方程和对数方程4.6简单的指数方程4.7简单的对数方程课题四声音传播问题高中一年级第二学期第5章三角比一、任意角的三角比5.1任意角及其度量5.2任意角的三角比课题一用单位圆中有向线段表示三角比二、三角恒等式5.3同角三角比的关系和诱导公式5.4两角和与差的余弦、正弦和正切5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切5.6三角比的积化和差与和差化积(拓展内容三、解斜三角形5.7正弦定理、余弦定理和解斜三角形课题二测建筑物的高度第6章三角函数一、三角函数的性质与图像6.1正弦函数和余弦函数的性质与图像6.2正切函数的性质和图像课题三制作弯管6.3函数的图像函数的性质(拓展内容二、反三角函数与最简三角方程(拓展内容6.4反三角函数6.5最简三角方程第7章数列7.1数列7.2等差数列与等比数列7.3等差数列与等比数列的通项公式7.4等差数列的前n项和7.5等比数列的前n项和雪花曲线(*拓展内容课题五组合贷款购房中的数学问题第8章数学归纳法8.1归纳——猜想——证明8.2数归纳法的应用第9章行列式初步9.1二阶行列式9.2三阶行列式第10章平面向量10.1向量10.2向量的加减法10.3实数与向量的乘积10.4向量的坐标表示及其运算10.5向量的数量积10.6向量的应用(*拓展内容课题一宇航员的训练第11章坐标平面上的直线11.1直线的方程11.2直线的倾斜角和斜率11.3两条直线的位置关系11.4点到直线的距离第12章圆锥曲线12.1曲线和方程12.2圆的方程课题二追捕走私船12.3椭圆的标准方程12.4椭圆的性质12.5双曲线的标准方程12.6双曲线的性质课题三探索点的轨迹12.7抛物线的标准方程12.8抛物线的性质课题四做一个有趣的实验高中二年级第二学期第13章排列与组合13.1计数原理I——乘法原理13.2排列二、组合13.3组合13.4计数原理II——加法原理课题一旅行商问题第14章数列的极限14.1数列的极限14.2极限的运算法则14.3无穷等比数列各项的和课题二数列极限在面积计算中的应用第15章复数15.1复数的概念15.2复数的坐标表示15.3复数的加法与减法15.4复数的乘法与除法15.5复数的平方根与立方根复数的立方根(*拓展内容15.6实系数一元二次方程第16章空间图形一、平面16.1平面及其表示法16.2平面的基本性质二、空间点、直线、平面的位置关系16.3空间直线与直线的位置关系16.4空间直线与平面的位置关系16.5空间平面与平面的位置关系(*拓展内容16.6多面体的概念16.7多面体的直观图16.8棱柱、棱锥和棱台的体积及表面积课题三凸多面体的顶点数、棱数和面数的关系高中三年级(文科第17章经济生活中的数学问题17.1存款课题一连续复利17.2货款17.3现值和终值17.4保险第18章线性规划18.1满足条件的解集18.2线性规划问题及其解法课题二线性规划在生活中的应用第19章优选与统筹一、试验设计的若干方法19.1二分法19.2 0.618法二、统筹规划19.3统筹规划课题三组装一辆自行车的工序流程第20章概率初步20.1概率20.2频率20.3期望值20.4事件和的概率20.5独立事件积的概率课题四福利彩票中的概率计算第21章基本统计方法21.1总体和样本21.2抽样技术21.3实例分析课题五抽样调查实习高中三年级(理科第17章参数方程和极坐标方程一、参数方程17.1曲线的参数方程17.2直线和圆锥曲线的参数方程课题一轨迹探究二、极坐标方程17.3极坐标系第18章空间向量及其应用18.1空间向量18.2空间向量的坐标表示18.3空间直线的方向向量和平面的法向量18.4空间向量在度量问题中的应用课题二飞行机器人位置的确定第19章线性规划19.1线性规划问题19.2线性规划的可行域19.3线性规划的解课题三线性规划在生活中的应用第20章概率初步20.1随机事件和概率20.2概率的性质和加法公式20.3独立随机事件20.4期望值课题四中国邮政贺年有奖明信片的中奖率计算第21章基本统计方法21.1总体和样本21.2抽样技术21.3实例分析21.4正态分布(拓展内容拓展型课程专题1矩阵初步1.1向量的另一种定义1.2矩阵的概念1.3矩阵加减法及矩阵与实数的乘积1.4矩阵的乘法1.5逆矩阵课题平面图形的矩阵变换专题2坐标变换与一般二次曲线2.1坐标系的平移变换2.2坐标系的旋转变换2.3一般二元二方方程的讨论与化简专题3二项式定理3.1二项式定理3.2二项式系数的应用专题4数学建模初步4.1数学建模的一般步骤4.2简单数学模型举例专题5曲线拟合5.1直接观察法5.2最小二乘法专题6复数的三角形式6.1复数的三角表示6.2复数三角形式的乘法和除法6.3复数的乘方和开方6.4复数三角形式的应用专题7常见曲线的极坐标方程7.1圆锥曲线的统一的极坐标方程7.2几种特殊曲线的极坐标方程课题玫瑰线专题8随机变量8.1随机变量8.2二项式分布8.3随机变量的数学期望和方差附一期课改高三年级第二学期数学课本目录第17章导数及其应用一、导数的概念17.1变化率与导数17.2切线与导数17.3导函数二、导数的运算17.4导数的运算法则17.5基本导数公式三、导数的应用17.6函数的增减性17.7函数的极值与最大值、最小值第18章定积分及其应用一、定积分的概念18.1定积分的概率18.2定积分的性质18.3基本定积分公式二、定积分的应用18.4平面图形的面积18.5体积三、微积分史话15.1复数的概念15.2复数的坐标表示15.3复数的加法与减法15.4复数的乘法与除法15.5复数的平方根与立方根复数的立方根(*拓展内容15.6实系数一元二次方程第16章空间图形一、平面16.1平面及其表示法16.2平面的基本性质二、空间点、直线、平面的位置关系16.3空间直线与直线的位置关系16.4空间直线与平面的位置关系16.5空间平面与平面的位置关系(*拓展内容三、多面体16.6多面体的概念16.7多面体的直观图16.8棱柱、棱锥和棱台的体积及表面积课题三凸多面体的顶点数、棱数和面数的关系高中三年级(文科第17章经济生活中的数学问题17.1存款课题一连续复利17.2货款17.3现值和终值17.4保险第18章线性规划18.1满足条件的解集18.2线性规划问题及其解法课题二线性规划在生活中的应用第19章优选与统筹一、试验设计的若干方法19.1二分法19.2 0.618法二、统筹规划19.3统筹规划课题三组装一辆自行车的工序流程第20章概率初步20.1概率20.2频率20.3期望值20.4事件和的概率20.5独立事件积的概率课题四福利彩票中的概率计算第21章基本统计方法21.1总体和样本21.2抽样技术21.3实例分析课题五抽样调查实习高中三年级(理科第17章参数方程和极坐标方程一、参数方程17.1曲线的参数方程17.2直线和圆锥曲线的参数方程课题一轨迹探究二、极坐标方程17.3极坐标系第18章空间向量及其应用18.1空间向量18.2空间向量的坐标表示18.3空间直线的方向向量和平面的法向量18.4空间向量在度量问题中的应用课题二飞行机器人位置的确定第19章线性规划19.1线性规划问题19.2线性规划的可行域19.3线性规划的解课题三线性规划在生活中的应用第20章概率初步20.1随机事件和概率20.2概率的性质和加法公式20.3独立随机事件20.4期望值课题四中国邮政贺年有奖明信片的中奖率计算第21章基本统计方法21.1总体和样本21.2抽样技术21.3实例分析21.4正态分布(拓展内容拓展型课程专题1矩阵初步1.1向量的另一种定义1.2矩阵的概念1.3矩阵加减法及矩阵与实数的乘积1.4矩阵的乘法1.5逆矩阵课题平面图形的矩阵变换专题2坐标变换与一般二次曲线2.1坐标系的平移变换2.2坐标系的旋转变换2.3一般二元二方方程的讨论与化简专题3二项式定理3.1二项式定理3.2二项式系数的应用专题4数学建模初步4.1数学建模的一般步骤4.2简单数学模型举例专题5曲线拟合5.1直接观察法5.2最小二乘法专题6复数的三角形式6.1复数的三角表示6.2复数三角形式的乘法和除法6.3复数的乘方和开方6.4复数三角形式的应用专题7常见曲线的极坐标方程7.1圆锥曲线的统一的极坐标方程7.2几种特殊曲线的极坐标方程课题玫瑰线专题8随机变量8.1随机变量8.2二项式分布8.3随机变量的数学期望和方差附一期课改高三年级第二学期数学课本目录第17章导数及其应用一、导数的概念17.1变化率与导数17.2切线与导数17.3导函数二、导数的运算17.4导数的运算法则17.5基本导数公式三、导数的应用17.6函数的增减性17.7函数的极值与最大值、最小值第18章定积分及其应用一、定积分的概念18.1定积分的概率18.2定积分的性质18.3基本定积分公式二、定积分的应用18.4平面图形的面积18.5体积三、微积分史话6。
高等数学系列教材目录表
高等数学系列教材目录表第一章：极限与连续1.1 极限的概念1.2 极限的运算法则1.3 无穷小与无穷大1.4 一元函数的连续性第二章：函数的导数与微分2.1 导数的定义2.2 导数的基本运算法则2.3 高阶导数与高阶微分2.4 隐函数与参数方程求导第三章：一元函数的微分学应用3.1 最值与最值存在条件3.2 凹凸性与拐点3.3 曲线的渐近线3.4 微分中值定理与Taylor公式第四章：不定积分4.1 不定积分的概念4.2 基本积分表与换元法4.3 分部积分与定积分的计算4.4 函数积分的性质第五章：定积分5.1 定积分的概念5.2 定积分的计算方法5.3 反常积分5.4 定积分的应用第六章：微分方程6.1 常微分方程的基本概念6.2 可分离变量与齐次方程6.3 一阶线性微分方程6.4 高阶线性微分方程第七章：多元函数微分学7.1 多元函数的极限与连续7.2 多元函数的偏导数7.3 隐函数与参数方程的偏导数7.4 多元函数的全微分第八章：重积分8.1 二重积分的概念与计算8.2 极坐标系下的二重积分8.3 三重积分的概念与计算8.4 数值积分与重积分的应用第九章：曲线曲面积分9.1 第一类曲线积分9.2 第二类曲线积分9.3 曲面积分的概念与计算9.4 应用实例解析第十章：无穷级数10.1 数项级数的概念与性质10.2 收敛级数的判定10.3 幂级数与函数展开10.4 泰勒级数与麦克劳林级数第十一章：常微分方程11.1 一阶常微分方程11.2 高阶常微分方程11.3 实际问题建模与解答11.4 系统常微分方程第十二章：向量代数与解析几何12.1 向量空间与基底12.2 向量的内积与外积12.3 线性方程组与矩阵12.4 空间曲线与曲面第十三章：多元函数微分学的应用13.1 梯度与方向导数13.2 多元函数的极值与最值条件13.3 二次型与正定性13.4 特征值与特征向量第十四章：多元积分学14.1 二重积分的计算技巧14.2 三重积分的计算技巧14.3 坐标变换与积分的几何应用14.4 曲线曲面积分的计算方法第十五章：无穷级数的应用15.1 幂级数的收敛域与函数展开15.2 Fourier级数与函数展开15.3 数学物理方程的解析解15.4 波动方程与热传导方程第十六章：曲线积分与曲面积分的应用16.1 曲线积分的物理应用16.2 曲面积分的物理应用16.3 物理场的散度与旋度16.4 应用实例解析与计算第十七章：多元函数的傅里叶级数17.1 多元函数的Fourier级数展开17.2 空间中的Fourier级数与Fourier变换17.3 矢量值函数的Fourier级数展开17.4 傅里叶级数的物理应用第十八章：向量场与格林公式18.1 向量场的数学描述18.2 向量场的积分与路径无关性18.3 格林公式的证明与应用18.4 微分形式与斯托克斯公式这是一份高等数学系列教材的目录表，涵盖了极限与连续、函数的导数与微分、微分方程、重积分、曲线曲面积分、无穷级数、向量代数与解析几何、多元函数微分学的应用等主要内容。
不定积分 定积分讲义
第五章不定积分学习目标：1．理解原函数、不定积分的概念2．掌握不定积分的性质及基本积分表3．理解第一类换元法的基本思想4．掌握第一类换元法的内容及其证明方法5．掌握凑微分的技巧和方法6．掌握第二类换元法的内容及其证明7．会用第二类换元法计算不定积分8．熟练地应用分部积分法计算不定积分学习重点：1.不定积分的性质2.第一类换元积分法3.凑微分4.用第二类换元法计算不定积分学习难点：1．第一类换元积分法2．凑微分3．第二类换元法中的变量替换4．分部积分公式中u与dv的选取教学方法：讲授法，辅以练习计划学时：10学时新课导入：上一章我们学习了已知原函数求导数的运算，这一章我们进行已知导函数求原函数——不定积分的运算问题。
§5.1 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念1定义 设)(x f 是定义在区间I 上的函数，如果存在函数)(x F ，对于I x ∈∀,都有)()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(=,则称函数)(x F 为函数)(x f 在区间I 上的一个原函数.例如，x sin 是x cos 的原函数,因为 x x cos )(sin =' .又因为x x 2)(2=',x x 2)1(2='+ ,所以2x 和12+x 都是2x 的原函数.2．问题1：一个函数若有原函数，原函数是否唯一？（不唯一，无数多个）问题2：同一函数的无数多个原函数之间是什么关系？如果)(x F ，)(x G 为函数)(x f 在区间I 上的任意两个原函数, )())((x f x F =' ,)())((x f x G =',于是有 0)()()()())()((=-='-'='-x f x f x F x G x F x G . 所以 C x F x G =-)()(,或C x F x G +=)()( .回答：任意两个原函数相差一个常数。
微积分资料
微积分第一章函数1.1函数的关系:★常量:a、b、c----------变量:x、y、z★微积分中主要研究变量与变量之间的关系。
★函数的概念: x(自变量)、y(因变量)、D(定义域)、W(值域)、f（x）对应法则。
★函数相同则:两个函数的定义域和对应法则都相同.-----------------如y=1和y=sin2x+cos2x。
★定义域有意义:1.在分式中，分母不能为零。
2.在根式中，负数不能开偶次方根。
3.在对数中，真数必须大于零，底数应大于零且不等于1。
4.在反三角函数中，应满足三角函数的定义要求。
5.如果函数的解析表达式中含有分式、根式、对数式和反三角函数式中的两者或两者以上的，求定义域时应取各部分定义域的交集。
★函数的奇偶性:1.偶函数: f（-x）= f（x）偶函数图像关于y轴对称。
2.奇函数: f（-x）= -f（x）奇函数的图像关于原点对称。
3.奇*奇=偶、偶*偶=偶、奇+奇=奇、偶+偶=偶、奇*偶=奇4.讨论奇偶性的前提条件是：-x∈D和x∈D，即D是关于原点对称的集合。
★函数的单调性：1.对于区间（a，b）内的任意两点x，当x1<x2，有f（x1）< f（x2），则称函数f（x）在区间（a，b）内是严格单调增加的。
2..对于区间（a，b）内的任意两点x，当x1<x2，有f（x1）> f（x2），则称函数f（x）在区间（a，b）内是严格单调减少的。
★函数的有界性：1.y= sin x函数就是有界函数。
就是无界函数2.f（x）=1x★函数的周期性：1.f（x +t）=f（x），如y=sin x中t=2π1.2初等函数★反函数性质：1.原函数y=f（x），x为自变量，y为应变量，定义域为D，值域为W。
反函数y=f -1（y），y为自变量，x为应变量，定义域为W，值域为D。
2.原函数有单调性，反函数也有单调性。
3.反函数的充要条件：y=f（x）值域中每个y，定义域D中都有唯一确定的x与之对应。
定积分的计算1
§4 定积分的计算由于定积分的计算基于求原函数（即不定积分）的计算，对应于不定积分的换元积分法和分部积分法，定积分也有相应的换元积分法和分部积分法，此时要注意积分上下限的处理。
4.1 定积分换元法证 由假设知上式两端的被积函数是连续的，因此，原函数存在。
设()x F 是()x f 的一个原函数，用Newton-Leibniz 公式，则()()()a F b F dx x f ba-=⎰。
另一方面，()[]()()[]()[]()()a F b F F F dt t t f -=-='⋅⎰αϕβϕϕϕβα。
比较以上两式得式(4.1)。
注 (1) (4.1) 式称为定积分的换元公式，故称为定积分的换元法； (2) 应用公式(4.1)时，换元要注意换积分限；换元后，不一定有αβ>，要注意上下限对应关系α→a ，β→b ；(3) 换元的公式(4.1)从右到左进行，即为凑微分方法；(4) 从结论(4.1)看到，在用换元积分法计算定积分时，一旦得到了用新变量表示的原函数后，立即用相应的积分限代入，并求其差值就可以了。
亦即不必作变量还原，再用原来积分限去计算定积分的值。
这就是定积分换元法与不定积分换元法的区别。
这一区别的原因在于不定积分所求的是被积函数的原函数，理应采用与原来相同的自变量；而定积分的计算结果是一个确定的数，它与计算过程中所采用的变量符号无关。
(5) 如果定理的条件中对f 只假定可积，但要求ϕ严格单调，那么(4.1)式仍然正确。
例4.1计算定积分0-ò解 代换：u x tan =，则00=→=u x ；41π-=→-=u x ；]0,4[π-∈u 时，[]0,1-∈x ，满足定理条件，故-ò42:tan 1sec sec x uudu up-==ò⎰-=04sec πudu 04tan sec ln π-+=u u)12ln(|12|ln 0--=--=例4.2 计算定积分⎰-2)1(dx x f ，其中()001111<≥⎩⎨⎧=++x x x f xe x。
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高等数学效教材目录高等数学教材目录第一章极限与连续1.1 数列的极限1.1.1 数列极限的定义与性质1.1.2 常见数列的极限1.2 函数的极限1.2.1 函数极限的定义与性质1.2.2 无穷小量与无穷大量1.3 极限的运算法则1.3.1 极限四则运算法则1.3.2 极限的夹逼定理1.4 连续与间断1.4.1 连续函数的定义与性质1.4.2 间断点的分类1.4.3 利用介值定理解决问题第二章导数与微分2.1 导数的概念2.1.1 导数的定义与几何意义2.1.2 导数的性质2.2 常用函数的导数2.2.1 幂函数、指数函数和对数函数的导数 2.2.2 三角函数的导数2.3 高阶导数与导数的应用2.3.1 高阶导数的定义与性质2.3.2 导数在几何和物理问题中的应用2.4 微分与线性近似2.4.1 微分的定义与性质2.4.2 线性近似与微分的应用第三章微分学应用3.1 函数的单调性与极值3.1.1 函数单调性的判定与性质3.1.2 极值点的判定与性质3.2 函数的凹凸性与拐点3.2.1 函数凹凸性的判定与性质3.2.2 拐点的判定与性质3.3 函数图形的描绘3.3.1 函数图形的对称性与周期性 3.3.2 用导数研究函数的图形3.4 微分中值定理与泰勒公式3.4.1 微分中值定理及其应用3.4.2 泰勒公式及其应用第四章定积分4.1 定积分的概念与性质4.1.1 定积分的定义与几何意义4.1.2 定积分的性质4.2 定积分的计算方法4.2.1 基本积分表4.2.2 定积分的计算技巧4.3 定积分的应用4.3.1 曲线长度与物理问题中的应用4.3.2 定积分与变速问题4.4 微积分基本定理4.4.1 微积分基本定理的几何意义 4.4.2 牛顿—莱布尼茨公式及其应用第五章多元函数微分学5.1 多元函数的极限与连续5.1.1 多元函数极限的定义与性质 5.1.2 多元函数连续的定义与性质 5.2 偏导数与全微分5.2.1 偏导数的定义与计算方法5.2.2 全微分的定义与性质5.3 多元函数的导数与方向导数5.3.1 多元函数的导数的定义与性质 5.3.2 方向导数的定义与计算方法 5.4 隐函数与参数方程5.4.1 隐函数的求导与应用5.4.2 参数方程的求导与应用第六章重积分6.1 二重积分的概念与性质6.1.1 二重积分的定义与几何意义 6.1.2 二重积分的计算方法6.2 三重积分的概念与性质6.2.1 三重积分的定义与几何意义 6.2.2 三重积分的计算方法6.3 重积分的应用6.3.1 质量、质心与转动惯量6.3.2 重积分与坐标变换6.4 曲线与曲面积分6.4.1 第一类曲线积分6.4.2 第二类曲线积分6.4.3 曲面积分的计算第七章空间解析几何7.1 空间坐标与向量7.1.1 点、向量的概念与表示7.1.2 向量的线性运算7.2 空间中的直线与平面7.2.1 直线的方程与性质7.2.2 平面的方程与性质7.3 空间几何体7.3.1 球面的方程与性质7.3.2 圆柱面、圆锥面的方程与性质7.4 空间曲线与曲面7.4.1 参数方程与投影曲线7.4.2 旋转曲面的参数方程注：以上目录为虚构，仅供参考；实际教材目录以具体版本为准。
《微积分》上册部分课后习题答案
微积分上册 一元函数微积分与无穷级数第2章 极限与连续2.1 数列的极限1.对于数列n x ,若a x k →2(∞→k ),a x k →+12(∞→k ),证明:a x n → (∞→n )． 证. 0>∀ε, a x k →2 (∞→k ), Z K ∈∃∴1, 只要122K k >, 就有ε<-a x k 2; 又因a x k →+12(∞→k ), Z K ∈∃∴2, 只要12122+>+K k , 就有ε<-+a x k 12. 取{}12,2m ax 21+=K K N , 只要N n >, 就有ε<-a x n , 因此有a x n → (∞→n ). 2．若a x n n =∞→lim ，证明||||lim a x n n =∞→，并举反例说明反之不一定成立.证明： a x n n =∞→lim ，由定义有：N ∃>∀,0ε，当N n >时恒有ε<-||a x n又 ε<-≤-||||||a x a x n n对上述同样的ε和N ，当N n >时，都有ε<-||||a x n 成立 ∴ ||||lim a x n n =∞→反之,不一定成立.如取 ,2,1,)1(=-=n x nn显然 1||lim =∞→n n x ，但n n x ∞→lim 不存在.2.2 函数的极限1. 用极限定义证明:函数()x f 当0x x →时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等．证: 必要性. 若()A x f x x =→0lim , 0>∀ε, 0>∃δ, 当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 因而, 当δ<-<00x x 时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =+→0lim ; 同时当δ<-<x x 00时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =-→0lim .充分性. 若()A x f x x =+→0lim ,()A x f x x =-→0lim . 0>∀ε, 01>∃δ, 当100δ<-<x x 时, 就有()ε<-A x f , 也02>∃δ, 当200δ<-<x x 时, 有()ε<-A x f . 取{}21,m in δδδ=,则当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 所以()A x f x x =→0lim .2．写出下列极限的精确定义：（1）A x f x x =+→)(lim 0，（2）A x f x =-∞→)(lim ，（3）+∞=+→)(lim 0x f x x ，（4）-∞=+∞→)(lim x f x ，（5）A x f x =+∞→)(lim ．解：（1）设R x U f →)(:0是一个函数，如果存在一个常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀δε，使得当δ<-<00x x 时，恒有ε<-|)(|A x f ，则称A 是)(x f 当+→0x x 时的极限，记作A x f x x =+→)(lim 0或 )()(0+→=x x A x f . （2）设R f D f →)(:是一函数，其中0,),,()(>>--∞⊃αααR f D .若存在常数R A ∈，满足关系：0)(,0>∈∃>∀R X ε，使得当X x -<时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A 是)(x f 当-∞→x 时的极限，记作：A x f x =-∞→)(lim 或 A x f =)()(-∞→x .（3）设R x U f →)(:0是任一函数，若0>∀M ，0>∃δ，使得当δ<-<00x x 时，恒有M x f >)(，则称当+→0x x 时)(x f 的极限为正无穷大，记作+∞=+→)(lim 0x f x x 或 +∞=)(x f )(0+→x x . （4）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0>∀M ，0)(>∈∃R X ，使得当X x >时，恒有M x f -<)(则称当+∞→x 时)(x f 的极限为负无穷大，记作：-∞=+∞→)(lim x f x 或 -∞=)(x f )(+∞→x .（5）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀X ε，使得当X x >时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A是)(x f 当+∞→x 时的极限，记作：A x f x =+∞→)(lim 或 A x f =)()(+∞→x .2.3 极限的运算法则1.求∑=∞→+⋯++Nn N n 1211lim． 解. ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=+⋯++111212211211n n n n n n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋯++∑=1112111312121122111N N N n Nn 21112lim 211lim1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⋯++∴∞→=∞→∑N nN Nn N 2．求xe e xxx 1arctan11lim110-+→． 解. +∞=+→x x e 10lim , 0lim 10=-→xx e,,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-++++→--→→x ee x e e x xxx xxx ,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-+---→→→x e e x e e x x xx x x x 21arctan 11lim 110π=-+∴→x e e x xx3．设)(lim 1x f x →存在，)(lim 2)(12x f x x x f x →+=，求)(x f . 解：设 )(lim 1x f x →=A ，则A x x x f ⋅+=2)(2再求极限：A A A x x x f x x =+=⋅+=→→21)2(lim )(lim 211⇒ 1-=A∴ x x xA x x f 22)(22-=+=.4．确定a ,b ,c ，使 0)1(3)1()1(lim 2221=-+-+-+-→x x c x b x a x 成立.解：依题意,所给函数极限存在且 0)1(lim 21=-→x x∴ 0]3)1()1([lim 221=+-+-+-→x c x b x a x ⇒ 2=c∴ 上式左边=])32)(1(11[lim ))1(321(lim 21221++-+--+=-+-+-+→→x x x x b a x x x b a x x])32)(1(1)32([lim 221++---+++=→x x x x b a x同理有 0]1)32([lim 21=--++→x x b x ⇒ 21=b ∴ 163)23)(1(8)1(3lim )32)(1(1)32(21lim221221=++---=++---++-=→→x x x x x x xx a x x 故 2,21,163===c b a 为所求.2.4 极限存在准则1. 设1x =10，n n x x +=+61，( ,2,1=n )．试证数列{n x }的极限存在，并求此极限． 证: 由101=x , 4612=+=x x , 知21x x >. 假设1+>k k x x , 则有21166+++=+>+=k k k k x x x x . 由数学归纳法知, 对一切正整数n , 有1+>n n x x ,即数列{n x }单调减少. 又显然, () ,2,10=>n x n , 即{n x }有界. 故n n x ∞→lim 存在.令a x n n =∞→lim , 对n n x x +=+61两边取极限得a a +=6, 从而有062=--a a ,,3=∴a 或2-=a , 但0,0≥∴>a x n , 故3lim =∞→n n x2．证明数列 nn n x x x x ++=<<+3)1(3,3011收敛，并求其极限．证明：利用准则II ，单调有界必有极限来证明.∴301<<x ，由递推公式33312131213213)1(30111112=++<++=++=++=<x x x x x x∴ 302<<x 同理可证：30<<n x 有界又 03)3)(3(333)1(311112111112>++-=+-=-++=-x x x x x x x x x x∴ 12x x > 同理 23x x > ，… ，1->n n x x ∴数列 }{n x 单调递增，由准则II n n x ∞→lim 存在，设为A ，由递推公式有：AA A ++=3)1(3 ⇒ 3±=A （舍去负数）∴ 3lim =∞→n n x .3．设}{n x 为一单调增加的数列，若它有一个子列收敛于a ，证明a x n n =∞→lim .证明：设}{k n x 为}{n x 的一子列，则}{k n x 也为一单调增加的数列，且a x k k n n =∞→lim对于1=ε，N ∃，当N n >时有1||<-a x k n 从而||1||||||||a a a x a a x x k k k n n n +<+-≤+-=取|}|1|,|,|,max {|1a x x M N n n += ，对一切k n 都有 M x k n ≤|| 有界.由子列有界，且原数列}{n x 又为一单调增加的数列，所以，对一切n 有M x n ≤||有界，由准则II ，数列}{n x 极限存在且a x n n =∞→lim .2.5 两个重要极限1. 求]cos 1[cos lim n n n -++∞→．解： 原式 =21sin 21sin2lim nn n n n -+++-+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=-+=-+-+-+++-=+∞→n n n n n n nn nn nn n 1110212121sin21sin2lim 2. 求)1sin(lim 2++∞→n n π．解. 原式=()()n nn n n nn n -+-=-+++∞→+∞→1sin 1lim )1sin(lim 22ππππ()()()()0111sin 1lim 222=-+⋅-+-+-=+∞→n nn n nnnn πππ3. 求x x xx )1cos 1(sinlim +∞→． 解. 原式=()[]()e t t t tttt tt xt =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=→→=22sin 2sin 10212012sin 1lim cos sin lim 令4. 设 ⎩⎨⎧+-=32)cos 1(2)(x x x x f 00≥<x x 求 20)(lim x x f x →. 解： 1lim )(lim 232020=+=++→→x x x x x f x x ，1)cos 1(2lim )(lim 2020=-=--→→x x x x f x x ∴ 1)(lim2=→xx f x .2.6 函数的连续性1. 研究函数()[]x x x g -=的连续性，并指出间断点类型. 解. n x =，Z n ∈ (整数集)为第一类 (跳跃) 间断点.2. 证明方程)0(03>=++p q px x 有且只有一个实根.证. 令()()()0,0,3>∞+<∞-++=f f q px x x f , 由零点定理, 至少存在一点ξ使得()0=ξf , 其唯一性, 易由()x f 的严格单调性可得.3．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0 ,)(11x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型. 解. )(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+111lim x x e,0lim 111=-→-x x e, ()00=f , 因此,1=x 是)(x f 的第二类无穷间断点; (),lim lim 1110--→→==++e ex f x x x()()01ln lim lim 00=+=--→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.4．讨论nx nxn e e x x x f ++=∞→1lim )(2的连续性．解. ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=++=∞→0,0,00,1lim)(22x x x x x e e x x x f nxnxn , 因此)(x f 在()()+∞∞-,0,0,内连续, 又()()00lim 0==→f x f x , ()x f ∴在()+∞∞-,上连续.5.设函数),()(+∞-∞在x f 内连续，且0)(lim=∞→xx f x ，证明至少存在一点ξ，使得0)(=+ξξf .证：令x x f x F +=)()(，则01]1)([lim )(lim>=+=∞→∞→x x f x x F x x ，从而0)(>xx F .由极限保号性定理可得，存在01>x 使0)(1>x F ；存在02<x 使0)(2<x F .)(x F 在],[12x x 上满足零点定理的条件，所以至少存在一点ξ使得0)(=ξF ，即0)(=+ξξf .6．讨论函数nnx x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性，若有间断点，判别其类型.解： ⎪⎩⎪⎨⎧-=101)(x f 1||1||1||>=<x x x ，显然 1±=x 是第一类跳跃间断点，除此之外均为连续区间.7．证明：方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根，且不超过b a +. 证明：设b x a x x f --=sin )(，考虑区间],0[b a +0)0(<-=b f ，0))sin(1()(≥+-=+b a a b a f ，当0))sin(1()(=+-=+b a a b a f 时，b a x +=是方程的根；当0))sin(1()(>+-=+b a a b a f 时，由零点定理，至少),0(b a +∈∃ξ使0)(=ξf ，即 0sin =--b a ξξ成立,故原方程至少有一个正根且不超过b a +.2.7 无穷小与无穷大、无穷小的比较1. 当0→x 时，下面等式成立吗？(1))()(32x o x o x =⋅；(2))()(2x o xx o =；(3) )()(2x o x o =． 解. （1）()()()002232→→=⋅x xx o x x o x , ()()()032→=⋅∴x x o x o x （2） ()()()0)(,00)()(2222→=∴→→=x x o x x o x x x o xxx o（3） ()2xx o不一定趋于零, )()(2x o x o =∴不一定成立(当0→x 时) 2. 当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax ，则求常数c b a ,,．解. 因为当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax , 所以01lim 111lim 22=+++=++++∞→+∞→c bx ax x x c bx ax x x , 故c b a ,,0≠任意.3．写出0→x 时，无穷小量3x x +的等价无穷小量.解： 11lim 1lim lim303630=+=+=+→→→x xx xxx x x x∴ 当0→x ，3x x +～6x第3章 导数与微分3.1 导数概念1. 设函数)(x f 在0x 处可导，求下列极限值． (1)hh x f h x f h )3()2(lim000--+→；(2)000)()(lim 0x x x xf x f x x x --→．解.（1） 原式()()()000000533)3(22)2(lim x f h x f h x f h x f h x f h '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---+⋅-+=→（2） 原式()[]()()()()00000000)(limx f x f x x x x x x f x f x f x x x -'=----=→2．设函数R f →+∞),0(:在1=x 处可导，且),0(,+∞∈∀y x 有)()()(y xf x yf xy f += 试证：函数f 在),0(+∞内可导，且)1()()(f xx f x f '+='． 解：令1==y x ，由()()()y xf x yf xy f +=有()()121f f =得()01=f ．()+∞∈∀,0x ，()()()()()()()()()()xx f f x x f xx f x x f x x f x f x x x x xf x x f x x x f x x f x x f x f x x x x +'=+∆-⎪⎭⎫⎝⎛∆+=∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆++⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆→∆111lim 11lim 1lim lim 0000 故()x f 在()+∞,0内处处可导，且()()()xx f f x f +'='1． 3.设()f x 在(,)-∞+∞内有意义，且(0)0f =，(0)1f '=， 又121221()()()()()f x x f x x f x x ϕϕ+=+，其中22()cos xx x x e ϕ-=+, 求()f x '．解： ()()()()()()()()x x f x x f x x f x x f x x f x f x x ∆-∆+∆=∆-∆+='→∆→∆ϕϕ00lim lim()()()()()()()()()001lim 0lim 00ϕϕϕϕ'+'=∆-∆+∆-∆=→∆→∆x f x f xx x f x x f x f x x ()x e x x x 22cos -+==ϕ4.设函数0)(=x x f 在处可导，且21arctan lim )(0=-→x f x e x，求)0(f '.解：由已知，必有0]1[lim )(0=-→x f x e，从而0)(lim 0=→x f x ，而0)(=x x f 在连续，故0)0(=f .于是)0(1)0()(1lim )(lim 1arctan lim200)(0f xf x f x f x e x x x x f x '=-==-=→→→. 故21)0(='f .5.设)(x f 具有二阶导数，)(,sin )()2(lim )(2x dF t xx f t x f t x F t 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∞→.解： 令t h 1=，则)(2 sin )()2(lim)(0x f x hhxh x f h x f x F t '=⋅-+=→.从而)(2)(2)(x f x x f x F ''+'='，dx x f x x f dx x F x dF )]()([2)()(''+'='=.6．设f 是对任意实数y x ,满足方程 22)()()(xy y x y f x f x f +++= 的函数，又假设1)(lim=→xx f x ,求：（1）)0(f ；（2）)0(f '； （3）)(x f '. 解：（1）依题意 R y x ∈∀,，等式 22)()()(xy y x y f x f y x f +++=+ 成立令0==y x 有 )0(2)0(f f = ⇒ 0)0(=f（2）又 1)(lim=→x x f x ，即 )0(10)0()(lim 0f x f x f x '==--→，∴ 1)0(='f（3）xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0x x f x x x x x f x f x ∆-∆⋅+∆⋅+∆+=→∆)()()()(lim 220 x x x x x x f x ∆∆⋅+∆⋅+∆=→∆220)()(lim ])([lim 20x x x xx f x ∆⋅++∆∆=→∆ ]1)0(22x x f +=+'=∴ 21)(x x f +='.7．设曲线)(x f y =在原点与x y sin =相切，试求极限 )2(lim 21nf nn ∞→. 解：依题意有 1)0()0(='='f y 且0)0(=f∴ 222)0()2(lim )2(lim 2121=⋅-⋅=⋅∞→∞→n nf n f n nf n n n .8．设函数)(x f 在0=x 处可导且0)0(,0)0(='≠f f ，证明1])0()1([lim =∞→nn f n f .证：n n n n f f n f f n f ])0()0()1(1[lim ])0()1([lim -+=∞→∞→.=10)0(11)0()01(lim )0()0()1(lim ===⋅-+-∞→∞→e ee f nf n f f f n f n n n .1．计算函数baxax xb ab y )()()(= （0,0>>b a ）的导数．解. a xb bx a b a x xb a b a a x b a x a b x b x b a a x x b a b a b y )(1)()()()(ln )(121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+='-- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x b x a a b a x x b a b b a x ln )()()( 2.引入中间变量,1)(2x x u +=计算1111ln 411arctan 21222-+++++=x x x y 的导数dx dy ．解. 引入,1)(2x x u += 得11ln 41arctan 21-++=u u u y ,于是dxdudu dy dx dy ⋅=, 又 ()()4242422111111111141121x x x u u u u du dy +-=+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++=,21xx dx du +=, 则()22242121121xx x x x x x dx dy ++-=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-= 3.设y y x +=2，232)(x x u +=，求dudy． 解. dudxdx dy du dy ⋅= , 又()()1223,12212++=+=x x x dx du y dy dx ,得121+=y dx dy , ()x x x du dx ++=21232, 则得()()xx x y du dy +++=2121232 4．已知 2arctan )(),2323(x x f x x f y ='+-=，求=x dx dy ．解：22)23(12)2323arctan()2323()2323(+⋅+-='+-⋅+-'='x x x x x x x f y π43)23(12)2323arctan(02200=+⋅+-='=∴===x x x x x x y dxdy .1. 计算下列各函数的n 阶导数. (1) 6512-+=x x y ; (2) x e y xcos =． 解 （1）⎪⎭⎫⎝⎛+--=611171x x y ，()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴++1161117!1611171n n nn n n x x n x x y （2） ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='4cos 2sin 21cos 212sin cos πx e x x e x x e y x x x()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''42cos 24sin 4cos 22πππx ex x e y xx由此推得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=4cos 2πn x eyxnn2. 设x x y 2sin 2=, 求()50y ．解 ()()()()()()()()()()"+'+=248250249150250502sin 2sin 2sin x x C x x C x x y⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2482sin 2249502492sin 2502502sin 24950250πππx x x x xx x x x x 2sin 212252cos 2502sin 24950250⋅+⋅+-= ()[]x x x x 2cos 1002sin 212252249+-=3. 试从y dy dx '=1, 0≠'y , 其中y 三阶可导, 导出()322y y dy x d '''-=, ()()52333y y y y dy x d '''''-''= 解 y dy dx '=1 ，()()322211y y y y y dy dx y dx d dyx d '''-='⋅'-''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∴ ()()()()()()52623333313y y y y y y y y y y y dy dx y y dx d dy x d '''''-''='⋅'''⋅'⋅''+''''-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-=∴ 4. 设()x f 满足()()0 312≠=⎪⎭⎫⎝⎛+x xx f x f , 求()()()()x f x f x f n ,,'．解 以x 1代x ，原方程为()x x f x f 321==⎪⎭⎫ ⎝⎛，由()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f x f x x f x f 321 312，消去⎪⎭⎫⎝⎛x f 1，求得()x x x f 12-=，且得()212xx f +='，()()()()2!111≥-=++n x n x f n n n . 5．设()arcsin f x x =，试证明()f x 满足 （1）2(1)()()0x f x xf x '''--= （2） ,1,0,0)()()12()()1()(2)1()2(2==-+--++n x f n x xf n x f x n n n（3）求()(0)n f解 （1）()211x x f -='，()()()22221112211xx xx x x x f --=-⋅--=''， ()()()012='-''-∴x f x x f x ，（2）上式两边对x 求n 阶导数得()()[]()()[]()()()()()()()()()()()()()()()[]x f n x xf x f n n x f x n x f x x f x x f x n n n n n nn⋅⋅+-⋅-⋅---+-='-''-=+++1221211021222即 ()()()()()()()()01212122=-+--++x f nx xf n x f xn n n 。
6.1定积分的概念与性质
与分割法、i的取法无关 ;
3o若f
在
a,
b
上可积,
则 b a
f
x dx仅由f
, a, b决定,
与积分变量
的符号无关,即 b a
f
x
dx＝ b a
f
t
dt
,
故有时也用记号 b a
f
表示.
4
规定 :
b
a
f
(x)
dx
a b
f
(x)
dx
,
a
b
;
a
a
f
(x)
dx
0
.
2.性质与判定
命题 : (1) 若 f ( x)在 [a,b]上可积 , 则存在 M 0, 使得 f (x) M , x [a,b];
b
m(b a) a f ( x)dx M (b a)
(1)若m(b a)
b
f ( x)dx M (b a)
a
1 b
m
f ( x)dx M
ba a
令F( x) f ( x) 1
b
f ( x)dx
ba a
F ( x) 在 [ x1, x2 ] 上连续, F ( x1 ) F ( x2 ) 0,
例1. 利用定义计算定积分 解: 将 [0,1] n 等分, 分点为
y
y x2
取
则
f
(i )xi
2 i
xi
i2 n3
o
n f ( i )xi
i 1
1 n3
n i 1
i 2
1 n3
1 n(n 1)(2n 1) 6
1 (1 1)(2 1)
6n n