4.2_解非线性方程组的迭代解法
非线性方程和非线性方程组的迭代解法
敛：ｐ＝２，ｃ＞０称序列至少平方收敛；若ｋ≥ｋ．，时，有Ｘｋ＝ｘ４成立，或
ｌｉｍ堕：。二型 ＝０
“‘｜｜Ｘ“一Ｘ＋旷 则称事列（Ｘ）为超ｐ阶收敛
定义４［１３假定迭代序列（ｘ。｝收敛于ｘ＋，量
！抽婪∑梨，当ｘｔ≠ｘ·对ｋ≥ｋ。 。
（１）公式的建立
设ｘ＋是方程ｆ（ｘ）＝ｏ的解，ｆ（ｘ）在ｘ＋的某邻域Ａ＝｛ｘｊ ｘ—ｘ４≤６｝存在
二阶导数，且ＶＸ∈Ａ，ｆ’（Ｘ）≠０，设ｘ。∈△为ｆ的近似值，将ｆ（ｘ）在Ｘ。处 展为一次Ｔａｙｌｏｒ多项式ｆ（Ｘ）＝ｆ（ｘｋ）＋ｆ ７（ｘ。）（ｘ—ｘ。），记ｐ（Ｘ）＝ｆ（ｘ．）十 ｆ’（Ｘ：）（Ｘ—Ｘ．），显然Ｐ（Ｘ）≈ｆ（ｘ）．令Ｐ（ｘ）＝Ｏ，解得
应用这个方法求解了非线性偏微分方程ｕ．＋“萎生等｝＜如Ｖ＞。Ｑ，ｓ（ｕ）＝。，其中
Ｑ“ｕ）２与竿导，万—ｉｉＦ数值计算中得到的非线性方程组，并通过迭代公
式（４－３）与Ｎｅｗｔｏｎ法的数值实验结果的比较，晚明了在相同精度要求卜Ｉ求解这 个问题时，ｆ＝｝｝式ｆ ４—３）优于＼ｅｎｔＯｔｌ法的几个方面．
第一章解非线性方程的常用迭代格式
在第三章写出了这几个迭代公式的相应算法设计，并将这些格式的数值实验 结果与Ｎｅｗｔｏｎ法、 弦截法、Ｍｕｌｌｅｒ法的数值实验结果进行了比较，说明了这 几个迭代格式的有效性．
在第四章中将预测式迭代法推广到了求解非线性方程组，分析了它的收敛 性、收敛阶，给出了其算法设计并进行了数值实验证明了方法的有效性．特别地，
兰州大学 硕士学位论文 非线性方程和非线性方程组的迭代解法及 姓名：尚秀丽 申请学位级别：硕士 专业：计算数学 指导教师：周宇斌
20041101
第二章非线性方程(组)的迭代解法(11)
1.3639
1.3659
1.3649
1.3654
2020/10/11
方法3
方法4
1.5000
1.5000
0.8165
1.3484
2.9969
1.3674
0-2.9412i 1.3650
不收敛
1.3653
J. G. Liu
6次
1.3652
1.3652
*收敛与否，以及收敛快
15次
慢，取决于迭代函数
*精度控制的表达式？？
方法1：x (x) x x3 4x2 10; 方法2：4x2 10 x3 x (x) 1 10 x3 ;
2 方法3：x3 4x2 10 x2 10 4x;
x
x (x) 10 4x
x
方法4：x2 (x 4) 10 x (x) 10 /(x 4);
取初值x0 1.5, 104, 用以上四种方法算，结果如下：
算法停止的条件
2020/10/11
什么时候停止？
a
xa1 x*
xb2 b
baε
或
f (xk1)
其中 ε,为容许误差！
J. G. Liu
x
School of Math. & Phys.
4
North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
2020/10/11
J. G. Liu
Numerical Analysis
2020/10/11
J. G. Liu
内容:
◆ 二分法 ◆ 一般迭代法 ◆ 迭代法的加速 ◆ 牛顿迭代法 ◆ 非线性方程组的牛顿迭代法*
School of Math. & Phys.
第7章.非线性方程迭代法
f
的重根
=
的单根。
➢ 正割法 / Secant Method / ：
Newton’s Method 一步要计算 f 和 f ’，相当于2个函数值， 比较费时。现用 f 的值近似 f ’，可少算一个函数值。
割线
/ secant line /
收敛比Newton’s Method 慢， 且对初值要求同样高。
牛顿迭代法的改进与推广
➢ 重根 / multiple root / 加速收敛法：
Q1: 若 f (x*) ，0 Newton’s Method 是否仍收敛？ 设 x* 是 f 的 n 重根，则：f ( x) ( x x*)n q( x) 且 q( x*) 0。
因为 Newton’s Method 事实上是一种特殊的不动点迭代，
④
|
x
*
xk
|
1
1
L
|
xk 1
xk
|
?
✓ | xk1 xk | | x * xk | | x * xk1 | | x * xk | L | x * xk |
⑤
|
x*
xk
|
Lk 1 L
|
x1
x0
|
?
可用 | xk1 xk |来 控制收敛精度
| xk1 xk | | g( xk ) g( xk1 ) | | g(ξk )(xk xk1 ) |
3
| g( x) | | x2 | 1
现令 ( x) (1 K )x Kg( x) (1 K )x K ( x3 1)
3
希望 | ( x) | | 1 K Kx2 | 1，即
2 K 0 x2 1
在 (1, 2) 上可取任意 2 K，例0如K = 0.5，则对应
计算方法 6 非线性方程迭代法资料
推论 设 C[a, b]满足上面的条件1),且对x [a, b],存在常数L (0,1)，使
| ( x) | L 1， 则 ( x)在[a, b]上存在唯一的不动点.
充分性条件
迭代法的全局收敛性
定理2.2. 设 C[a, b]满足定理2.1中的条件,则对x0 [a, b],由格式
产生的序列{xk }收敛到的不动点x* ,且有误差估计 收敛速度？误差估计？
1)如果对x [a, b],有a ( x) b,则 ( x)在[a, b]上一定存在不动点.
2)在条件1)的基础上，且存在常数L (0,1)，使对x, y [a, b]都有
| ( x) - ( y) | L | x - y |， 称为全局Lipschitz条件
则不动点唯一.
证明. 令g( x) x- ( x), 注意到，
是：a2 : a1; b2 : x1.
否：a2 : x1; b2 : b1. 可知,[a2,b2 ] [a1,b1]. 上述过程继续下去
长度为b - a . 22
可得出一系列有根区间 [ak ,bk ] [a2,b2] [a1,b1] [a,b]. 区间[ak ,bk ]的长度为b2-ka .
事前误差估计
| xk
-
x*
|
L 1 L
|
xk
xk 1
|,
k
1, 2,
| xk
事后误差估计
-
x*
|
Lk 1 L
|
x1
x0
|,
k
1, 2,
称序列是适定的，它表明 迭代法算出的每个点是有 意义的！
证明. 设x*是在[a, b]上的唯一不动点.由格式产生的序列{xk }[a, b],
Ch4 非线性方程与方程组的迭代解法 课件
理学院数学系研究生公共课教学
4.1 根的搜索
1.逐步搜索法
1．画出 f (x)的略图，从而看出曲线与x 轴交点的位置。
f (x)
x0 x0 h
x
b
2．从左端点 x a 出发，按某个预先选定的步长 h 一
步一步地向右跨，每跨一步都检验每步起点 x0 和终点
的 x0 h 函数值，若: f (x0 ) f (x0 h) 0
Lk 1 L
x1 x0
证毕.
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定理1指出, 只要构造的迭代函数满足
|(x)| L 1 迭代法xk1 (xk )就收敛
此时虽收敛但不 一定是唯一根
对于预先给定的误差限 即要求|xk x*| 由(6)式,只要
因此,当
L 1L
xk xk 1
x2
3
x1 1 3 2
1.7937 2
0.9644
x2 = 0.9644
同样的方程
x3 = 0.9940
不同的迭代格式
x4 = 0.9990
有不同的结果
x5 = 0.9998
x6 = 1.0000
迭代函数的构造有关
x7 = 1.0000
已经收敛,故原方程的解为
什么形式的迭代法 能够收敛呢?
x 1.0000
如果存在一点x*,使得迭代序列{xk }0 满足
lim
k
xk
x*
--------(4)
则称迭代法(3)收敛,否则称为发散
例1. 用迭代法求解方程2x3 x 1 0
解: (1) 将原方程化为等价方程
x 2x3 1 如果取初值x0 0,由迭代法(3),得
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第六章线性与非线性方程组的迭代解法IterativeMethodfor
x(0) x x(0) (I M )1 g (I M)1 (I M )x(0) g
(I M )1 x(0) Mx(0) g
(I M )1 x(0) Mx(0) g (I M )1 x(0) x(1) 代入前述不等式即得。
其中 D diag(a11, a22 , , ann )
0
a21 0
L a31 a32 0
0 a12 a13
a1n
0 a23
a2n
U ห้องสมุดไป่ตู้
0
an1 an2
0 an,n1 0
0 an1,n 0
如果aii 0(i 1, 2, , n) 原方程组可化为 x D1(L U )x D1b Mx g 其中M D1(L U ) (I D1A); g D1b
Jacobi迭代法：M D1(L U ) I D1A
D(I M ) A Gauss-Seidel迭代法： M ( D L)1U
(D L)(I M ) A
引理 6.2.1 迭代法 x(k1) M x(k) g 收敛的充要条件是M k O 证明：设迭代法 x(k1) M x(k) g 收敛，则有
x jk
x
k
j
1
bij
x
k
j
1
x
k
j
2
j 1
ji 1
i 1, 2, , n
两边取绝对值得
xik xik1
li
max j
x
k
j
x
非线性方程组求解
非线性方程组求解非线性方程组在科学、经济等领域中应用广泛，然而，由于非线性方程组的求解困难性，这使得许多问题存在困扰。
非线性方程组求解是一个复杂的过程，在此过程中需要对多种数学技术和算法有深入的了解。
本文就非线性方程组求解这个话题进行了探讨。
一、非线性方程组的定义非线性方程组是指一组包含至少一个非线性方程的方程组。
非线性方程组是一种数据的数学模型，它描述了在特定条件下各个因素之间的相互依赖关系。
非线性方程组的解通常用来预测一个系统的行为，并且是许多数学和科学领域的重要工具。
二、非线性方程组求解的困难性非线性方程组求解的困难性是因为它们存在着多个未知数和多个方程之间的相互依赖关系。
这使得非线性方程组的求解无法通过简单的代数运算来获得，而且通常需要更高级的数学知识和算法。
在许多情况下，非线性方程组可能无法解析地求解，这时需要采用数值方法来求解。
三、非线性方程组求解的方法1. 牛顿迭代法牛顿迭代法是最常用的求解非线性方程组的方法之一。
它将非线性方程组看作一组关于未知量的函数，并利用泰勒公式将其逼近为线性表达式。
由于直接求解非线性方程组比较难，牛顿迭代法通常将其转化为求解一系列线性方程组的问题。
2. 非线性迭代法非线性迭代法是一种通过递推计算的方式求解非线性方程组的方法。
具体地说，非线性迭代法会将非线性方程组转化为一组迭代公式，然后通过不断迭代来逼近方程组的解。
3. 二分法二分法是一种通过对非线性方程组的解进行区间逼近来求解的方法。
二分法的基本思路是通过每次将原来的区间对半分来寻找解所在的范围。
四、结语非线性方程组求解是一个重要的数学问题，应用广泛且具有挑战性。
本文主要介绍了三种很常用的求解方法，即牛顿迭代法、非线性迭代法和二分法。
在实际运用中，这些方法可以单独或者联合使用，以求得更准确的解。
第9章 2-非线性方程组的迭代解法
L L2 xk x * xk xk 1 xk 1 xk 2 1 L 1 L
Lk x1 x0 1 L
由于 L 1, lim( xk x*) 0
k
因此对任意初值 x0 , 迭代法xk 1 ( xk )均收敛于x *
L xk x * xk xk 1 1 L 3o
* (k ) n
, n
写成向量形式有
F ( x* ) F ( x( k ) ) F '( x( k ) )( x* x( k ) )
(k ) 其中F ' ( x ) 为F ( x) 的Jacobi矩阵 F ' ( x) 在 x ( k )的值，而
f1 ( x) f1 ( x) f1 x x x x 1 2 n f1 ( x)T f 2 ( x) f 2 ( x) f 2 ( x) T f 2 ( x) x x x F '( x) 1 2 n f ( x)T n f x f x f x n n n x x x 1 2 n
性函数，若其全为线性的则为线性方程组。 产生背景: 许多科学理论与工程技术都可化为非线性方程组 非线性方程组包
括：
高次方程组,即代数方程组 超越方程组
求解的特点：无求解公式，无直接解法， 难求得精确解。 间接法即迭代法。 求解的方法： 迭代法求解的要求：
迭代公式合适(好的) 收敛 初始值好
9.3 非线性方程组的迭代解法
含有n个未知数的n个方程的非线性方程组为
F ( x) 0
(1)
其中 x ( x1 , x2 , xn )T为n维列向量，
第六章线性和非线性方程组的迭代解法
x(0) x x(0) (I M )1 g (I M)1 (I M )x(0) g
(I M )1 x(0) Mx(0) g
(I M )1 x(0) Mx(0) g (I M )1 x(0) x(1) 代入前述不等式即得。
利用矩阵的范数判定迭代收敛只是一个充分条
li ui 1 li ui
li 1 li
1
li
ui
0
ui 1 li
li
ui
❖其次证明Gauss-Seidel迭代收敛，即 (M ) 1
设 为 M D L 1 U 的任意特征值，相应的
特征向量为 x 1, 2 ,L , n T ，且
i
x 1
则有 D L 1 Ux x
再对 x(k) x *
x(i ) x(i1) 两边取范数得
ik
x(k) x
x(i ) x(i1)
ik
i x(1) x(0)
k
x(1) x(0)
ik
1
Th6.2.5 设 B 为Jacobi法的迭代矩阵，若 B 1 1
则Gauss-Seidel迭代收敛，而且有估计式
上述方法称为Jacobi迭代法，简称J法或简单迭代法
分量形式：
i 1
n
bi
aij
x(k) j
aij
x
(k j
)
x ( k 1) i
j 1
ji 1
a ii
;i 1, 2,L , n
二、 Gauss-Seidel迭代法
在J迭代公式中，计算 xi(k1时) ，利用已经算出来的新的
x ( k 1) 1
x(k) x M ( x(k1) x ) L M k ( x(0) x )
第六章非线性方程组的迭代解法
第六章非线性方程组的迭代解法6.3 一元方程的常用迭代法6.3.1 Newton迭代法6.3.2 割线法与抛物线法第六章非线性方程组的迭代解法设x*是方程f(x)=0的实根，是一个近似根，用Taylor展开式有,)(2)())(()()(02*"*'*k k k k x x f x x x f x f x f −+−+==ξ*xx k ≈k x 这里假设存在并连续。
若，可得)(''x f 0)('≠k x f ,)()(2)()()(2*'"'*k k k k k x x x f f x f x f x x −−−=ξ（6.3.1）其中。
若（6.3.1）的右端最后一项忽略不记，作为x*新的一个近似值，就有之间与在k x x *ξ)()('1k k k k x f x f x x −=+，k=0,1,…，（6.3.2）这就是Newton 迭代法。
6.3.1 Newton 迭代法第六章非线性方程组的迭代解法对（6.3.2）可作如下的几何解释：为函数f(x)在点处的切线与横坐标轴的交点,见图6-3.因此Newton 迭代法也称为切线法.k x 1+k x Y1+k x *xy=f(x))(k x f kxX将(6.3.2)写成一般的不动点迭代(6.2.3)的形式,有,)()()('x f x f x x −=ϕ2'"')]([)()()(x f x f x f x =ϕ所以有Newton 迭代法是超线性收敛的。
更准确地,从(6.3.1)和(6.3.2)可得下面的定理.)0)((,0)(*'*'≠=x f x ϕ第六章非线性方程组的迭代解法定理6.5, 且f(x)在包含x*的一个区间上有二阶连续导数,则Newton 迭代法（6.3.2）至少二阶收敛，并且0)(,0)(*'*≠=x f x f 设.)(2)()(*'*"2**1lim x f x f x x x x k k k =−−+∞→以上讨论的是Newton 法的局部收敛性。