广东省肇庆市2019-2020学年数学高二下期末达标检测试题含解析

广东省肇庆市2019-2020学年数学高二下期末达标检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．A 、B 、C 、D 、E 、F 六名同学站成一排照相，其中A 、B 两人相邻的不同排法数是（ ） A ．720种B ．360种C ．240种D ．120种【答案】C【解析】【分析】先把A 、B 两人捆绑在一起，然后再与其余四人全排列即可求出A 、B 两人相邻的不同排法数.【详解】首先把把A 、B 两人捆绑在一起，有22212A =⨯=种不同的排法，最后与其余四人全排列有5554321120A =⨯⨯⨯⨯=种不同的排法，根据分步计算原理，A 、B 两人相邻的不同排法数是52521202240A A =⨯=，故本题选C. 【点睛】本题考查了全排列和分步计算原理，运用捆绑法是解题的关键.2．已知命题2:()4(1)3p f x ax a x =++-在[3,)+∞上递减；命题:q a m ≤，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则m 的取值范围为（ ）A ．25m <-B ．3m ≤-C ．25m >-D ．65m ≥- 【答案】A【解析】【分析】由题意可得当0a =时不成立，当0a ≠时，满足()04132a a a <⎧⎪+⎨-≤⎪⎩求出a 的范围，从而求出p ⌝，再求出q ⌝，根据p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即可求解.【详解】由命题2:()4(1)3p f x ax a x =++-在[3,)+∞上递减，当0a =时，()43f x x =-，不满足题意， 当0a ≠时，则()0241532a a a a <⎧⎪⇒≤-+⎨-≤⎪⎩， 所以p ⌝：25a >-，由命题:q a m ≤，则q ⌝：a m >，由因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件， 所以25m <-. 故选：A【点睛】本题考查了由充分不必要条件求参数的取值范围以及考查了二次函数的图像与性质，同时考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题.3．若函数32()37f x x x x a =--+的图象与直线21y x =+相切，则a =()A ．284或B ．284-或C ．284-或D ．284--或 【答案】B【解析】【分析】 设切点为00(())x f x ，，由000()21()2f x x f x ，，'=+⎧⎨=⎩可解得切点坐标与参数a 的值。

【详解】设切点为00(())x f x ，，则由题意知000()21()2f x x f x ，，'=+⎧⎨=⎩即32000020037213672x x x a x x x ，，⎧--+=+⎨--=⎩解得0328x a =⎧⎨=⎩，，或者014x a =-⎧⎨=-⎩，，故选B 【点睛】高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：（1）已知切点求切线方程；（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围．4．命题“320,0x x x ∀>+>”的否定是（）A ．320000,0x x x ∃>+≤B ．320000,0x x x ∃≤+≤ C ．320,0x x x ∃>+≤D ．320,0x x x ∃≤+≤ 【答案】A【解析】【分析】根据全称命题的否定形式书写.【详解】根据全称命题的否定形式可知“320,0x x x ∀>+>”的否定是“3200,0x x x ∃>+≤”.故选A.【点睛】本题考查全称命题的否定形式，属于简单题型.5．若随机变量()100,,X B p X ~的数学期望()24E X =，则p 的值是( )A ．25B ．35C ．625D ．1925 【答案】C【解析】分析：由题意结合二项分布数学期望的计算公式求解实数p 的值即可.详解：随机变量()100,,X B p ~则X 的数学期望()100E X p =，据此可知：10024p =，解得：625p =. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查二项分布的数学期望公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6．某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，销售价为8元，每天售出的第20个及之后的半价出售.该商场统计了近10天这种商品的销量，如图所示，设x(个)为每天商品的销量，y(元)为该商场每天销售这种商品的利润.从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】分别计算每个销量对应的利润，选出日利润不少于96元的天数，再利用排列组合公式求解.【详解】当时： 当时：当时： 当时：日利润不少于96元共有5天，2天日利润是97元 故故答案选A【点睛】本题考查了频率直方图，概率的计算，意在考查学生的计算能力.7．在复平面内，向量AB u u u v 对应的复数是2i +，向量CB u u u v 对应的复数是13i -，则向量CA u u u v 对应的复数对应的复平面上的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】【分析】先求CA u u u r，再确定对应点所在象限【详解】 1321A 4CB B CA i i i =-=---=--u u u r u u u r u u u r ，对应点为(1,4)--，在第三象限，选C.【点睛】本题考查向量线性运算以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.8．《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中中有很多对几何体体积的研究．已知某囤积粮食的容器是由同底等高的一个圆锥和一个圆柱组成,若圆锥的底面积为8π、高为h ,则该容器外接球的表面积为（ ）A ．12πB ．18πC ．36πD ．48π【答案】C【解析】【分析】首先求出外接球的半径，进一步利用球的表面积公式的应用求出结果【详解】根据已知条件，圆锥的底面积为8π，所以π•r 2＝8π，解得圆锥的底面半径为22r = 由题外接球球心是圆柱上下底面中心连线的中点，设外接球半径为R,则2213222h R r h h h ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，解得32,32h R h =∴== 所以表面积24(3)36S ππ=⋅⋅=．故选C ．【点睛】本题考查的知识要点：组合体的外接球的半径的求法及应用，球的表面积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．抽查10件产品，设事件A ：至少有两件次品，则A 的对立事件为（ ）A ．至多两件次品B ．至多一件次品C ．至多两件正品D ．至少两件正品 【答案】B【解析】试题分析：事件A 不包含没有次品或只有一件次品，即都是正品或一件次品9件正品，所以事件A 的对立事件为至多一件次品．故B 正确．考点：对立事件．10．连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，在已知两次的点数均为偶数的条件下，两次的点数之和不大于8的概率为（ ）A ．13B ．49C ．59D ．23【答案】D【解析】【分析】求出两次点均为偶数的所有基本事件的个数，再求出在两次均为偶数而且和不大于8的基本事件的个数后可得概率．【详解】记{}A =两次的点数均为偶数，{}8B =两次的点数之和不大于，因为()339n A =⨯=，()6n AB =， 所以()()()6293n AB P B A n A ===． 故选：D.【点睛】本题考查条件概率，本题解题关键是求出两次的点数均为偶数的条件下，两次的点数之和不大于8所含有的基本事件的个数．11．已知函数31()42f x x ax =++ ，则“0a > ”是“()f x 在R 上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】 f′(x)＝32x 2＋a ，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R 上单调递增”的充分不必要条件．故选A.12．已知集合U N =，{}*|2,A x x n n N==∈，{|16}B x x =<…，则()U A B =I ð（ ） A ．{2,3,4,5,6}B ．{2,4,6}C ．{1,3,5}D ．{3,5}【答案】D【解析】【分析】按照补集、交集的定义，即可求解.【详解】 {}*|2,A x x n n N ==∈，{|16}B x x =<…，()U A B =I ð{3,5}.故选:D.【点睛】本题考查集合的混合计算，属于基础题.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点B 与椭圆的两个焦点1F 、2F 组成的三角形的周长为4+1223F BF π∠=，则椭圆的方程为________. 【答案】2214x y +=或2214y x += 【解析】【分析】先假设椭圆的焦点在x 轴上，通过直角三角形△2F OB 推出a ，c 的关系，利用周长得到第二个关系，求出a ，c 然后求出b ，求出椭圆的方程，最后考虑焦点在y 轴上的椭圆也成立，从而得到问题的答案.【详解】设椭圆的焦点在x 轴上，长轴长为2a ，焦距为2c ，如图所示，则在△2F OB 中，由23F BO π∠=得：32c a =， 所以△21F BF 的周长为2223423a c a a +=+=+，2a ∴=，3c =，21b ∴=；故所求椭圆的标准方程为2214x y +=．当椭圆的焦点落在y 轴上，同理可得方程为：2214y x +=. 故答案为：2214x y +=或2214y x += 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，要求先定位、再定量，考查运算求解能力，求解的关键是求出a ，b 的值，易错点是没有判断焦点位置．14．底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为______．3π 【解析】【分析】先由勾股定理求圆锥的高，再结合圆锥的体积公式13V S h =底运算即可得解. 【详解】解：设圆锥的高为h ，由勾股定理可得22213h =-=，由圆锥的体积可得2131333V ππ=⨯=，故答案为：3. 【点睛】 本题考查了圆锥的体积公式，重点考查了勾股定理，属基础题.15．在复数集，方程24x =-的解为________.【答案】2i ±【解析】【分析】设复数(,)=+∈x a bi a b R 是方程24x =-的解，根据题意列出等式，求解，即可得出结果.【详解】设复数(,)=+∈x a bi a b R 是方程24x =-的解，则2()4-+=a bi ，即2224=-+-b abi a ， 所以22420a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得02a b =⎧⎨=±⎩，所以2i =±x . 故答案为2i ±【点睛】本题主要考查在复数集上求解方程，熟记复数运算法则即可，属于常考题型.16．设集合{2,4}A =,{2,6,8}B =,则A B =U ____________.【答案】{2,4,6,8}【解析】分析：{}2,4,6,8A B ⋃=详解：因为{}2,4A =,{}2,6,8B =,A B ⋃表示A 集合和B 集合“加”起来的元素，重复的元素只写一个，所以{}2,4,6,8A B ⋃=点睛：在求集合并集时要注意集合的互异性.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知0a >，设命题p ：函数(32)x y a =-在R 上为减函数，命题q ：不等式210ax ax -+>对x R∀∈恒成立，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求a 的取值范围. 【答案】3(0,1],42⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭. 【解析】【分析】化简命题p 可得312a <<，化简命题q 可得04a ≤<，由p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，可得,p q 一真一假，分两种情况讨论，对于p 真q 假以及p 假q 真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数a 的取值范围.【详解】∵p ：函数()32x y a =-在R 上为减函数，∴0321a <-<，即312a <<.∵q ：不等式210ax ax -+>对一切R 恒成立，∴0a =或2040a a a >⎧⎨∆=-<⎩，即04a ≤<.∵p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，∴p ，q 一真一假， 若p 真q 假，则3124a a ⎧<<⎪⎨⎪≥⎩，此时a 不存在，若p 假q 真，则301204a a a ⎧<≤≥⎪⎨⎪<<⎩，，解得01a <≤或342a ≤<. ∴a 的取值范围为3(0,1],42⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题通过判断或命题、且命题以及非命题的真假，综合考查指数函数的性质以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.18．设函数f(x)＝1－x 2＋ln(x ＋1).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若不等式f(x)＞1kx x +－x 2(k∈N *)在(0，＋∞)上恒成立，求k 的最大值. 【答案】 (1)见解析(2)1【解析】【分析】（1）首先求出f （x ）的定义域，函数f （x ）的导数，分别令它大于0，小于0，解不等式，必须注意定义域，求交集；（2）化简不等式f （x ）＞1kx x +﹣x 2，得：（x +1）[1+ln （x+1）]＞kx ，令g （x ）=（x +1））[1+ln （x+1）]﹣kx ，求出g'（x ），由x ＞0，求出2+ln （x+1）＞2，讨论k ，分k ≤2，k ＞2，由恒成立结合单调性判断k的取值，从而得到k 的最大值．【详解】（1）函数f （x ）的定义域为（﹣1，+∞），函数f （x ）的导数f'（x ）=﹣2x +11x +， 令f'（x ）＞0则11x +＞2x ，解得1122x --+＜， 令f'（x ）＜0则121x x +＜，解得x ＞12-+或x ＜12--， ∵x ＞﹣1，∴f （x ）的单调增区间为（﹣1，，+∞）； （2）不等式f （x ）＞1kx x +﹣x 2 即1﹣x 2+ln （x+1）＞21kx x x -+，即1+ln （x+1）＞1kx x +， 即（x +1）[1+ln （x+1）]＞kx （k ∈N *）在（0，+∞）上恒成立，令g （x ）=（x +1））[1+ln （x+1）]﹣kx ，则g'（x ）=2+ln （x+1）﹣k ，∵x ＞0，∴2+ln （x+1）＞2，若k ≤2，则g'（x ）＞0，即g （x ）在（0，+∞）上递增，∴g （x ）＞g （0）即g （x ）＞1＞0，∴（x+1）[1+ln （x+1）]＞kx （k ∈N *）在（0，+∞）上恒成立；若k ＞2，可以进一步分析，只需满足最小值比0大，即可，结合K 为正整数，故k 的最大值为1．【点睛】本题主要考查运用导数求函数的单调性，求解时应注意函数的定义域，同时考查含参不等式恒成立问题，通常运用参数分离，转化为求函数的最值，但求最值较难，本题转化为大于0的不等式，构造函数g （x ），运用导数说明g （x ）＞0恒成立，从而得到结论．这种思想方法要掌握．19．参与舒城中学数学选修课的同学对某公司的一种产品销量与价格进行了统计,得到如下数据和散点图.定价x(元/千克) 10 20 30 40 50 60 年销量y(千克) 1150 643 424 262 165 86 z=2 ln y 14.1 12.9 12.1 11.1 10.2 8.9参考数据:6662i i1i11(x-x)?(y-y)-34580,(-)?(-)-175.5,(-)i i ii ix x z z y y∑∑∑=====，61776840,(-)?(-)3465.2i iiy y z z∑===.(1)根据散点图判断y与x,z与x哪一对具有较强的线性相关性(给出判断即可,不必说明理由)?(2)根据(1)的判断结果及数据,建立y关于x的回归方程(方程中的系数均保留两位有效数字．．．．．．．．．．．．．．．)．.(3)当定价为150元/千克时,试估计年销量.附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(x n,y n),其回归直线y b=＾＾x+a＾的斜率和截距的最小二乘估计分别为i i11n222i11(x-x)?(y-y)?-?·b,a-b.(-)-?n ni ii ini iix y n x yy xx x x n x∑∑∑∑=======＾＾＾【答案】 (1) z与x具有较强的线性相关性(2)15-0.102y ex=＾（3）估计年销量为y＾=1千克【解析】【分析】()1由散点图可知z与x对应的散点图基本都在一条直线附近，线性相关性更强()2根据公式计算出回归方程的系数，即可写出回归方程()3代入回归方程求出年销量【详解】(1)由散点图知, z与x具有较强的线性相关性.(2)∵6i i 162i 1(x -x)?(z -z)-175.5b 1750(-)i i x x ∑∑====＾≈-0.10, ∴a z b x =-＾＾≈15,∴z b =＾＾x+a ＾=15-0.10x.又∵z=2ln y,∴y 关于x 的回归方程为z 15-0.1022y e ex==＾＾.(3)当定价为150元/千克时,估计年销量为y ＾=1千克. 【点睛】本题考查了线性回归方程及其应用，只需理清题目中的数据，代入公式即可求出线性回归方程，然后求出年销量，较为基础20．在直角坐标系中，曲线1cos :sin 1x t C y t αα=⎧⎨=+⎩（α为参数，0t >），曲线212:12x s C y s⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（s 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为：cos sin 2ρθρθ-=，记曲线2C 与3C 的交点为P . （Ⅰ）求点P 的直角坐标；（Ⅱ）当曲线1C 与3C 有且只有一个公共点时，1C 与2C 相较于,A B 两点，求22||||PA PB +的值.【答案】（Ⅰ）()1,1P -（Ⅱ）1 【解析】 【详解】试题分析：（1）将23,C C 转化为普通方程，解方程组可得P 的坐标；（2）1C 为圆，当13,C C 有一个公共点时，可求得参数t 的值，联立12,C C 的普通方程，利用根与系数的关系可得22PA PB +的值．解：（Ⅰ）由曲线212C :{1x s y =-=-可得普通方程x y 0+=.由曲线3C :ρcos θρsin θ2-=可得直角坐标方程：x y 20--=. 由0{20x y x y +=--=得()P 1,1-，（Ⅱ）曲线1C :{1x tcos y tsin αα==+（α为参数，t 0>）消去参数α可得普通方程：()222x y 1t +-=，圆1C 的圆心()1C 0,1半径为t ，Q 曲线1C 与2C有且只有一个公共点，t =，即t 2=， 设()()1122A x ,x ,B x ,x --联立()220{9x y 12x y +=+-=得2121274x 4x 70,x x 1,x x 4+-=∴+=-=- ()()()()222222121212PA PB 2x 12x 12x x 4x x 4∴+=-+-=+-++2122()x x =+-4x 1x 2﹣4（x 1+x 2）+4＝2×（﹣1）2﹣4×（﹣1）﹣474⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭4＝1．. 21．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴正半轴重合,直线l 的参数方程为：2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，[0,)απ∈），曲线C 的极坐标方程为:4sin ρθ=. （1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点,直线l 过定点M ,若MP MQ +=l 的斜率. 【答案】（1）22(2)4x y +-=；（2）1-. 【解析】 【分析】（1）由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，由此能求出曲线C 的直角坐标方程；（2）把2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入()2224x y +-=，整理得()24cos sin 40t t αα+-+=，由1212MP MQ t t t t +=+=+，得34πα=，能求出直线l 的斜率． 【详解】（1）曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，所以24sin ρρθ=.即224x y y +=，即()2224x y +-=.（2）把直线l 的参数方程带入()2224x y +-=得()24cos sin 40t t αα+-+=设此方程两根为12,t t ，易知()2,0M ,而定点M 在圆C 外，所以1212MP MQ t t t t +=+=+，4cos sin αα∴-=cos sin αα∴-=[0,)απ∈，可得34πα=， ∴1k =-，所以直线l 的斜率为-1.【点睛】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．22．已知在平面直角坐标系xOy 内,点(),P x y 在曲线1:x cos C y sin θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数, R θ∈)上运动.以Ox 为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为cos 04πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程;（2）若l 与C 相交于,A B 两点,点M 在曲线C 上移动,试求ABM ∆面积的最大值. 【答案】 (Ⅰ)曲线C 的标准方程：()2211x y -+=；直线l 的直角坐标方程为：0x y -= (Ⅱ)()max21ABM S ∆+=【解析】试题分析：(Ⅰ)对于曲线C ，理平方关系消去参数θ即可；对于极坐标方程cos 04πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭利用三角函数的和角公式后再化成直角坐标方程，再利用消去参数θ得到直线l 的直角坐标方程．(Ⅱ)欲求ABM ∆面积的最大值，由于AB 一定，故只要求AB 边上的高最大即可，根据平面几何的特征，当点M 在过圆心且垂直于AB 的直线上时，距离AB 最远，据此求面积的最大值即可．试题解析：(Ⅰ)消参数θ得曲线C 的标准方程：()2211x y -+=.由题得：cos sin 0ρθρθ-=，即直线l 的直角坐标方程为：0x y -=.(Ⅱ)圆心到l 的距离为2211d ==+，则点M 到l 的最大距离为，2222122AB ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭∴()max 122121222ABM S ∆⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭. 考点：极坐标。