曲线与方程中的和、差、积、商

图2

MF 1 MF 2

MF 2 = 1.81厘米

MF 1 = 3.55厘米A 1A 2 = 1.73厘米图1

F 1M + MF 2

MF 2 = 1.33厘米F 1M = 3.25厘米A 1A 2 = 4.58c = 1.57 MF 1

∙ MF 2 = 3.07 MF 2 = 1.00厘米

MF 1 = 3.07厘米a 2

a = 1.75曲线与方程中的和、差、积、商

摘要 和、差、积、商本来是代数中的数语，但是，在几何中也有用武之地，并且有不俗的表现，它把代数中的有关知识与几何中的有关知识联系起来，使人有耳目一新的感受.

关键词 解析几何，和，差，积，商，距离，斜率

解析几何是以坐标为核心的几何学，是用代数的方法研究几何问题的一门数学学科.它以坐标法为基础，在坐标平面上，以坐标表示点，用方程表示曲线（包括直线），通过研究方程的特征，间接地来研究曲线的性质.因此，它主要有两方面作用：一，以代数为方法解决几何问题，也就是几何问题的代数化；二，给代数问题以一种几何解释，即代数关系的几何意义.

距离、斜率是解析几何中的两个基本概念，在坐标平面内，一条线段的长度或其所在直线的斜率与其上的两个点的坐标有关，所以，两点间的距离或经过两点直线的斜率是这两个点的坐标的函数.

和、差、积、商，本来是代数中的基本运算，但是它在解析几何中也有不俗的表现，下面请看： 一、与距离有关

1、平面内到两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫椭圆.这两个定点F

、F 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离12F F 叫做椭圆的焦距.

解析：以两定点1F 、2F 所在直线为x 轴，12F F 的 中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设(),M x y 为

椭圆上任意一点，椭圆的焦距为()20c c >，则()1

,0F c -，

()2,0F c ，常数22a c >，所以由条件有122MF MF a +=2a =，化简得22

221x y a b

+=，

其中222

a b c =+(如图1).

2、平面内到两个定点1F 、2F 的距离之差等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫双曲线.这两个定点1F

、2F 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的焦距.

解析：以两定点1F 、2F 所在直线为x 轴，12F F 的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设(),M x y

为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为()20c c >，则()1,0F

c -，

()2,0

F c ，常数022a c <<，所以由条件有122MF MF a -=±，即

2a =±，化简得

22

221x y a b

-=，其中222c a b =+(如图2) . 3、平面内到两个定点1F 、2F 的距离的乘积等于常数的点的轨迹叫卡西尼卵形线.这两个定点1F 、2F 叫做卡西尼卵形线的焦点，两焦点间的距离叫做卡西尼卵形线的焦距.

解析：以两定点1F 、2F 所在直线为x 轴，12F F 的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设(),M x y 为卡西尼卵形线上任意一点，两定点1F 、2F 间的距离为()20c c >，常数为()2

0a

a >，则(

)1,0F c -，()2,0F c ，所以21

2MF MF a =，即

2

a =，化简得()()2

2

2222442x y

c x y a c +--=-(如图3) .

F 1Q QF 2

= 3.00

QF 2

F 1Q 图5F 1P PF 2PF 2 = 1.06厘米F 1P = 3.18厘米MF 1MF 2 = 3.00

a=c=1.94 MF 1∙ MF 2 = 3.75 MF 2 = 1.11厘米 MF 1 = 3.39厘米a 2

= 3.75

图4

特别地，当a c =时，得到贝努利双纽线(

)

()2

2

22222x y a x y +=-(如图4) .

当c a <时，得到没有自交点的两个卵形线.

4、平面内到两个定点1F 、2F 的距离之比等于常数（不等于1）的点的轨迹叫圆（也称阿波罗尼斯圆）.这个圆，是以两已知点为端点的线段的定比为常数（不等于1）的内外分点作为直径的两端点的圆.

解析：以两定点1F 、2F 所在直线为x 轴，12F F 的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设(),M x y 为阿波罗尼斯圆上任意一点，两定点1F 、2F 间的距离为()20c c >

，常数为()1a a ≠，则()1,0F c -，()2,0F c ，所以由条件有

12

MF a MF =，

a =化简得()()()22222221210a x y c a x a c c -+-++-=(如图5) .也就是说，是以12F MF ∠的外角平分

线及12F MF ∠的平分线与1F 、2F 所在直线的交点为直径端点的圆.

特别地，当1a =时，轨迹为两定点所在线段的中垂线.

二、与斜率有关

1、平面内与两定点连线斜率之和为定值（不等于零）的点的轨迹是双曲线的一部分.

解析：以两定点1F 、2F 所在直线为x 轴，12F F 的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设(),M x y 为曲线上任意一

点，两定点1F 、2F 间的距离为()20c c >，定值为()0a a ≠，则()1,0F c -，()2,0F c ，所以1

2MF MF k k a +=，即y y a x c x c

+=+-()x c ≠±，化简得()2

2

20ax xy ac x c --=≠±，所以，满足条件的点的轨迹方程为

()2220ax xy ac x c --=≠±.

2、平面内与两定点连线斜率之差为定值（不等于零）的点的轨迹是抛物线的一部分.

解析：以两定点1F 、2F 所在直线为x 轴，12F F 的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设(),M x y 为曲线上任意一点，两定点1F 、2F 间的距离为()20c c >，定值为()0a a ≠，则()1,0F c -，()2,0F c ，所以1

2MF MF k k a -=，即y y a x c x c

-=+-()x c ≠±，化简得()2

2

20ax cy ac x c +-=≠±，所以，满足条件的点的轨迹方程为

()2220ax cy ac x c +-=≠±.

3、平面内与两定点连线斜率之积为定值（不等于零）的点的轨迹是圆或椭圆或双曲线的一部分.