【精品】级数审敛法小结

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一般级数的审敛法

1 单减, 在 (1,+) 上单增, 即 x ln x 1 故当 n 1 时单减, n ln n
1 1 un un+1 ( n 1), n ln n ( n + 1) ln( n + 1)
所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛．
定理如果任意项级数
n 1

则任意重排得到的级数也绝对收敛,且有相同的和数. 注:由条件收敛级数重排得到的新级数,即使收敛也不一定收敛于原来的和数,而且条件收敛收敛级数适当重排后,可得到发散级数,或收敛于任何事先指定的数.如： 1 1 1 1 1 n +1 1 ( 1) 1 + + + A n 2 3 4 5 6 n 1 1 1 1 1 1 3 n+1 1 ( 1) 1+ + + + A n 3 2 5 7 4 2 n 1
lim u2 n+1 0,
n
lim s2 n s u1 .
lim s2 n+1 lim( s2 n + u2 n+1 ) s,
n n
级数收敛于和s, 且s u1 .
余项 rn (un+1 un+ 2 + L),
rn un+1 un+ 2 + L,
n 1 n 1 n 1

sin n 例 3 判别级数 2 的收敛性. n 1 n
解
sin n 1 1 2 2 , 而 2 收敛, n1 n n n

sin n 2 收敛, n n1
故由定理知原级数收敛.

数学分析级数收敛最全汇总

数学分析级数收敛最全汇总什么是级数级数是由一连串数相加所得到的和，通常写成这种形式：$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$$其中 $a_n$ 为数列的第 $n$ 项。

收敛和发散对于一个级数 $\sum a_n$，如果当 $n$ 趋于无穷大时其部分和$S_n=\sum\limits_{k=1}^{n} a_k$ 有极限，那么称级数 $\suma_n$ 收敛，同时称其极限为该级数的和，即：收敛，同时称其极限为该级数的和，即：$$\lim_{n \to \infty} s_n = s$$如果极限不存在，或者为 $\pm \infty$，则称级数 $\suma_n$ 发散。

发散。

收敛的判别法对于一个级数 $\sum a_n$，为了判断其是否收敛，通常使用下面这些判别法：- 正项级数判别法- 比值法- 根值法- 级数收敛的必要条件详情可参考资料。

发散的情况当级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散时，可能会出现以下几种情况：- 无穷递增；- 无穷递减；- 振荡。

常见级数示例- 调和级数$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$- 正项级数$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}, p>0$$ - 幂级数$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$$其中 $a_n$ 为系数，$x$ 为变量。

- 和式$$\sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$其中 $q \neq 1$。

总结本文介绍了级数的定义、收敛和发散等概念，以及常见的判别法和例子。

希望对读者有所帮助。

13.2 正项级数及其审敛法

时，lim n
un
0.
3.
若出现
ρ=1 或
lim
n
n
un
不存在,
则改用其它方法.
4. 条件是充分的, 并非必要.
由
un(, un 0)
收敛
lim n
n
un
1；
n1
由 un(, un 0)
发散
lim n
n
un
1.
n1
均可能出现 1，或不存在.
例14 判定正项级数的敛散性.
解
(1)
lim n
1
但 p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项级数，且
lim n
n
un
,
则
(1) 当 1 时,级数收敛; (2) 当 1 时, 级数发散 .
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
当 x=1时,
级数是调和级数
1 ,
发散.
例12 判定正项级数
解
因为
0
n 2n
cos2
nn1
3
n 2n
cos
n 2n
2
n3n1的n敛散性.
(n 1,2,)
且
lim
n
n1 2n1
2n n
n1 lim
n 2n
1 2
1
,所以
n1
n 2n
收敛,
再由比较判别法知, 原级数也收敛.
例13 利用级数敛散性, 证明
部分和数列有上界 .

数项级数及审敛法(IV)

在工程中的应用
结构分析
在土木工程和机械工程中，数项级数被用来描述结构的振动和稳定性。
信号处理
在电子工程和通信工程中，数项级数被用来处理和分析信号。
控制理论
在控制工程中，我们使用数项级数来描述系统的动态行为和稳定性。
05
数项级数的收敛与发散
收敛的定义与性质
收敛的定义
如果数项级数$sum_{n=1}^{infty} a_n$的极限存在，则称该级数收敛。
缺点
需要找到合适的比较对象，对于一些特殊类型的级数可能难以找到合适的比较对象。
几何审敛法
定义
几何审敛法是通过观察级数的一般项的公比来判断级数的收敛性。
优点
简单易行，适用于某些特定类型的级数。
应用范围
适用于一般项的公比在0和1之间的级数，如 $a_n = r^n$，其中$r$为常数且$0 < r < 1$。
如果 $0 leq a_n leq b_n$ 对所有 $n$ 都成立，且 $sum_{n=0}^{infty} b_n$ 收敛，则 $sum_{n=0}^{infty} a_n$ 也收敛。
数项级数的分类
几何级数
每一项都是前一项的常数倍，表示为 $a_n = r^n$，其中 $r < 1$。
算术级数
数项级数是微积分学的基础，它为微积分中的概念和定理提供了严密的数学基础。
在物理中的应用
波动和振动
在物理中，数项级数被用来描述波动和振动的现象，如弦的振动、波动方程等。
热传导
在研究热传导问题时，我们常常使用傅里叶级数来描述温度在不同空间位置的分布。
电磁学
在电磁学中，我们使用数项级数来描述电磁波的传播和分布。

级数敛散性总结

摘要级数理论是数学分析的重要组成部分，研究级数对于深入探讨数学分析问题有着深远的意义。

级数理论中最重要的问题和学者研究最多的问题则是关于级数收敛与发散的问题。

级数的收敛与发散性质更是级数存在当中的最基本的立足点。

基于级数发散和收敛的问题，本文对级数进行了比较详细和系统的介绍，并在级数收敛性方面进行了较为详细的概括，包括级数的分类和收敛性的总结和应用。

本文第一个部分首先对常见的级数：常数项级数、正项级数、交错级数、函数项级数、幂级数、傅立叶级数，进行了大概的介绍，并从常见级数的定义、常见级数的分类、级数收敛发散的充要条件和对应级数常用的收敛判别方法进行详细的分析概括。

本文的第二个部分针对具体的级数收敛方法，从方法的定义和方法的具体例子应用两个方面对其进行较为全面的介绍和分析，其中包括：判别级数发散与收敛的简单方法、比较判别法、比值判别法、高斯判别法、达朗贝尔判别法、对数判别法、积分判别法、拉贝判别法、柯西判别法。

最后，本文第三部分通过整理级数散敛性判断的方法，对本文进行一个综合的概括，主要从基于级数类型的方法和基于通项特征的方法两个方面总结了解答收敛性问题的分析思路和如何更快的寻找有效的方法。

关键词：级数敛散性方法AbstractProgression theory is an important part of the mathematical analysis. The study of series is of profound significance for further discussing mathematical analysis problems. Series convergence and divergence problem is the most important question in progression theory that many researchers research on. For the analysis, series convergence and series divergence is of the basic foothold existing in mathematical analysis.Firstly, based on the series convergence and series divergence, this thesis gives a detailed and systematical introduction to series, and a more detailed summary of series convergence, including the classification of series, application of convergence. Firstly, this paper has a general introduction to common series, including constant series, series of positive term, staggered series, series with function terms, power series, fourier series. Besides, the paper has detailed analysis and summary of the definition of common series, the classification of common series, and the sufficient and necessary conditions for the convergence series, together with the commonly used identification methods of corresponding series.And then the second part of this article has a comprehensive introduction and analysis of the method’s definition and specific examples application of the method, including: simple method distinguishing the divergence of a series , comparative method, ratio method, Gauss method, D'Alembert discriminant method, Logarithmic method, integral method, Rabe method, and Cauchy method.Finally, the third part of this paper made a comprehensive summary through sorting out identifying methods of series convergence and divergence. Based on the types of series and the methods of general term characteristics, this paper summarized the analysis mentality and effective ways of solutions to convergence problem.Key words: Series Convergence Mathod第一章引言级数理论是数学分析的重要组成部分，与极限理论有密切的联系，它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。

常数项级数审敛法

反之，若 an 发散，则 bn 发散.
n1
n1
证明
(1) 设 bn
an bn ,
n1
且 sn a1 a2 an b1 b2 bn
即部分和数列有界
an收敛. n1
(2) 设 sn (n ) 且 an bn ,
则 n sn 不是有界数列
bn发散. n1
p
级
数
当当
p p
1时 1时
, ,
收敛发散
补充：积分审敛法
例２判定级数
1
的敛散性
n1 n 2n
解由于
11 n 2n 2n (n 2)
而等比级数
1
n1 2n
收敛，由比较审敛法知原级数收敛．
例 3 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明 1 1 , n(n 1) n 1
(1) n1
n;
ln(1 1 )
(2) n1
n;
解
(1)
n 时，1 cos 1 n
～
1 2n2
而
1 收敛，故原级数收敛
n1 2n2
(2) n
时，ln(1
1)～ n
1 n
而
1发散，
故原级数发散
n1 n
注: ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用的等价无穷小: 当x 0时,
sin x ~ x, tan x ~ x,arcsin x ~ x, arctan x ~ x, ln(1 x) ~ x, e x 1 ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 , (1 x)a 1 ~ ax (a 0)
n!
(2) n1 10n ;
(1)若an与bn是同阶无穷小，则 an与 bn同敛散

高数第三节：常数项级数的审敛法

n =1
其中
un > 0 , n =1, 2, L
定理7（莱布尼兹定理）定理（莱布尼兹定理）如果交错级数
n =1
∑ (−1)
∞
n−1
= u1 − u2 + u3 − u4 +L+ (−1) n−1un +L un
满足条件：满足条件：
n→∞
(1) un ≥ un +1 ( n = 1, 2 , L), ( 2 ) lim un = 0
∞ n=1
∑ un = u1 + u2 + L+ un + L
∞
一般项取绝对值后所得级数记为
n =1
∑ | un | = |u1| + | u2| + L+ |un| + L
∞
∞
收敛， 1）（1）若 ∑ | un | 收敛，则称原级数 ∑ un 绝对收敛
n =1 ∞
n=1
收敛，发散，（2）若 ∑ | un | 发散，而 ∑ un 收敛，）
n −1 1 1 1 1 1 1 ( ) +( ) +L+ ( ) − − − 2 −1 2 +1 3 −1 3 +1 n −1 n +1
vn =
v2 = 2
∞
∞
v3 = 1
+L
∞ 2 2 ∑ vn = ∑ = ∑ 发散，发散，所以原级数发散 . n =2 n =2 n−1 n =1 n
（二）绝对收敛与条件收敛考虑任意项级数考虑任意项级数
∞
∞
（1）该结论的逆命题不成立。）该结论的逆命题不成立。（2）定理提供了检验一般级数 ∑ un 是否收敛的一种）有效方法。有效方法。

正项级数及其审敛法(4)

n vn
由定理11.2知, vn 发散时
n1
un vn
极限形式的比较审敛法使用思路：
lim un l n vn (0 l ),
寻找un的同阶无穷小
14
例5
判定级数的敛散性 :
ln(1
n1
2 3n
).
分析
寻找
un
ln(1
2 3n
)的同阶无穷小.
解当 x 0 时 ln(1 x) ~ x,于是
例2 判断正项级数
2 的敛散性.
n1 n(n 1)
解
2
nn
1
n
2
， 1
且
1
发散
所给级数发散.
n1 n 1
7
例3 讨论 p -级数
1
1 2p
1 3p
1 np
的敛散性
( 常数 p > 0 ).
解 1) p 1 时,
而
1 发散 ,
n1 n
1， n
发散 .
猜：
敛散
p小大
?
2)当p 1 时,
1
从而Sn
σn
σ有上界，故级数
n1
3n
e
收敛.
3
定理11.2 (比较审敛法) 设正项级数
(1) 若
收敛 ,
则也收敛 ;
(2) 若
发散 ,
则也发散 .
证
部分和满足：
0 Sn u1 u2 un n有上界
v1 v2 vn σn σ
故Sn有界，
收敛 .
4
(2) 用反证法：
由(1)
,
故取
1
2n
1 3n

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资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 1 / 8 级数审敛法小结不好意思，又要打扰大家一下了，针对本学期期中考试而言，大致分为两大部分：级数，常微分方程。其中级数(应该都已经讲完了)占得比重相对少些大概有45%左右，还希望大家能抽空复习一下，毕竟这一章的内容有些难度.下面的内容是从一些资料书中总结的一些小内容，希望大家能抽空看一下,谢谢。

首先:针对常数项级数而言要明白它的分类:正项级数,任意项级数（其中，包含特殊的交错级数)。对于不同的级数,他们有不同的审敛法.

第一节:正项级数（当然我们有时也会遇到一些负项级数,他们的判断敛散性的方法和正项级数相同，只是需要我们在运用前,把他们所有的项全部变成正的就可以了)

（注意以下方法要求大家在判断出Un的极限为0的时候用哦,若Un的极限不为0，级数发散.）

A. 定义法（注意这个方法适用于所有的级数,但不一定解得出。): 首先,了解一个充要条件：1nUn收敛部分和数列{Sn｝有界，针对这个东西，用的地方不多后面会有介绍。资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 2 / 8 比较审敛法：（这里首先强调一下这里介绍的方法完全是针对正项级数而言,不能滥用）.对于比较审敛法,也许不要按书上的用起来会更方便一点。简单一句话：我们的目的就是要找要判断的级数的等价无穷小，或是证明这个级数是一个已知收敛级数的高阶无穷小也可.(当然这是证明级数收敛时用的，这里就要求我们要有能一眼猜出级数敛散性的能力，下面会教大家如何第一眼就可以看出绝大多数级数的敛散性）例1：设k，m为正整数，.0,000ba（这里主要是保证以下的多项式恒为正)是推导出级数 1110110......nk

kkmmmbnbnbanana

收敛的充要条件。

解:设kkkmmmnbnbnbananau......110110。取mknnv1,因为00limbavunnn,所以11,nnnnvu具有相同的敛散性，由Vn收敛的充要条件是k—m〉1，

所以所求级数的收敛的充要条件是k-m〉1。（这是一个简单的例题，可是他说明了两个问题：1，凡是一般项Un是有理分式的,我们一眼就能看出级数是否收敛例如级数13235523)()12()1(nnnnnn

是收敛的,这因为分子的最高次幂是13,分母的

是15，15—13=2〉1 ，故收敛。（至于解题时，我们可以模仿本题构造Vn去做）2，这个例题的解法具有一般性.设0nu，我们只需要找到Un的一个同阶无穷小或是等价无穷小Vn，如果Vn的敛散性我们已经掌握，问题解决。资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 3 / 8 大家可以试着用等价无穷小的方法接一下以下几题: （1）);1tan()3(,,)cos1(),2(,,sin)1(13222112nNnnannanan （通过上面的一点，大家感悟一下，有没有什么收获，这只是如何一眼看出敛散性的其中一个，接下来会继续介绍，但希望大家先消化一下刚刚说的内容。）资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

3 / 8 比值审敛法：比值审敛法的内容与书中所说并无差异。关键是我们要能够灵活运用,这需要我们能多做一些习题。先看一下几个例子：判断下列级数的敛散性 111!)3(!)2()1(nnnnnnk

nnnaan

解答是利用比值审敛法即可，（由于这个公式

好多有点难打就不打了啊,请原谅）大家应该都懂得就是nnnuu1lim判断其和1的关系。以上结果为全部收敛。（小结：1,在级数一般项Un中，若含有!.,,nannnnk的因子时，适用于比值审敛法，2，我们可以得到如下常用函数的级别大小（a>1，k>1，）nnknnannn!ln

，记住这个顺序，有助于我们对某些级数

敛散性的初步判别，也就是在我们计算之前,就可以估计出敛散性。）（结合上面讲过的那个,我们基本上就能初步判定一些级数的敛散性了) B. 根值审敛法。这里由于和书上无太多差别,就不多做介绍了。根值判别法，主要适用于一般项中含有n次方的时候.他与比值判别法属于同一类型的审敛法，当用根植判别法不行时，不要再去用比值判别法做了，效果一样。对于根值判别法有一点需注意:当遇到一般项含n次方时里应用根植判别法，而nnnulim不存在时，可以改用如下的方法：若n从某个标号起存在r使得1runn（注意此处并无极限符号），则级数必收敛。因为nnru,且1nnr收敛。(简单地说就是进行一点放缩）资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 4 / 8 当比值审敛法,根植审敛法失效时，一般应考虑比较审敛法，寻找同阶或是等价的无穷小。另外，我们要积累一些简单的级数如几何级数,调和级数，p-级数，以及1)(ln1npnn(p〉1时收敛，p<=1时发散，这个可以当做定理用的) 第二节交错级数

对于交错级数而言，它分为条件收敛和绝对收敛两类.对于判断绝对收敛时，我们可以利用正项级数的判别方法去判定。而对于条件收敛的判定课本上给出了一个方法（除此，并无其他较好的方法去解决此类问题)：莱布尼兹判别法。 A.莱布尼兹判别法：（注意运用此方法千万要慎重,注意观察An的单调性是否递减,以及最终是否趋近于0等,一旦有一个条件不满足，我们便不能再去用此方法。而在我们做题时总会有那么几题不适用，这就要求我们要懂得一些小技巧）一,泰勒公式（此法对于我们来说有一定的难度，建议不到万不得已不想此法）：利用泰勒展开式判断敛散性；例判别级数：111lnnnn的敛散性。（对于这个交错级数，我们不能判定单调性,因此无法利用莱布尼兹判别法。要掌握一般项nunn11ln的级别，我们运用泰勒公式.）资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 5 / 8 解:有泰勒公式：

是收敛的发散，而级数级数n1-1n21,211121lim1211)1(1lnn1nno

nonnonnn



所以原级数发散。二，这个技巧比泰勒公式弱了点,他是要求我们要懂得把一个交错级数(可能适用于多种级数,大家可以试一下)，拆成两项或是多项相加减的形式（这里，我们要懂得一些收收为收，收发为发，发发不确定（一旦有两个发散的级数在里面则拆分失败）的道理。）例如，判别级数111nnnn的敛散性。（这是一个交错级数，尽管n1nuu,0但nu不成立，莱布尼兹失效。）但我们可以这样解： 

111)1(1)1(n)1()1()1(unnnnn

nnnnn对于前一项利用莱布尼兹判别法

可知其条件收敛，而后一项发散，可知其整体为发散。故原级数发散。三,定义法（可能有些题，既不能运用莱布尼兹,也不好拆分，这就要求我们能回归原始，利用级数收敛的定义去解题）资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 6 / 8 一般此类题比较难出现的可能性较小，这里只举一例。例，判别级数nNn)1()1(的敛散性。

首先，看其是否绝对收敛，设nnnu)1(1，这里我们直接可以看出其发散,因为分母的最高次幂为1/2，接下来判断其是否条件收敛：

nnsn21121...4151213

2此部分和 S2n的各

项都是负数，因此其单调减少，又因为，

212212121221...416121412nnnsn

,所以数列s2n有极限,设snsussssNnnnnnnnnnn)1(121limlimlimlimlim

2122122

所以

原级数收敛条件收敛。（这类题比较难做,出现的几率不大，但也希望大家能做一下了解）

Over 最后做一个补充：如何一眼看出一些级数的敛散性。针对正项级数而言: 设Un和Vn都是正项级数则有：(麻烦大家试着证明一下,资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

7 / 8 收敛都收敛，则和）若（）收敛。（收敛，收敛，收敛，则）若（nnnnann1nknvuvu21anuuuuu1n

试着用一下吧：已知正项级数收敛1nna则31)1(nannn...。要求直接不用计算说出答案。谢谢大家