数学八年级上册《轴对称》单元测试卷含答案

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人教版八年级上册数学十三章轴对称单元训练题 (15)(含答案解析)

人教版八年级上册数学十三章轴对称单元训练题 (15)一、单选题1．在△ABC中，已知AB=AC，且一内角为100°，则这个等腰三角形底角的度数为A．100°B．50°C．40°D．30°2．坐标平面内一点A（1，2），O是原点，P是x轴上一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形为等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AC于点E，已知AB＝5，AD＝3，则DE的长为( )A．1.2 B．2 C．2.4 D．4.84．如图，在△PAB中，∠A=∠B，D、E、F分别是边PA、PB、AB上的点，且AD=BF，BE=AF．若∠DFE=34°，则∠P的度数为（）A．112°B．120°C．146°D．150°5．如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75︒方向上．轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60︒方向上，则C处与灯塔A的距离是（）A．50海里B．45海里C．35海里D．25海里6．等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（）A．20°B．50°C．60°D．80°7．若等腰三角形中有两边长分别为2和3，则这个三角形的周长为( )A．7 B．7或8 C．8 D．9或78．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，下列不正确的是（）A．BD＝CD B．∠DAB＝∠DAC C．当∠B＝60°时，AB＝2BD D．AD＝BC 9．点M（﹣5，2）关于x轴对称的坐标是（）A．（﹣5，﹣2）B．（5，﹣2）C．（5，2）D．（﹣5，2）10．下列轴对称图形中只有一条对称轴的是（）A．B．C．D．11．将长方形纸片按如图所示的方式折叠,BC、BD为折痕，若∠ABC=35°,则∠DBE的度数为A．55°B．50°C．45°D．60°12．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是 ( )A．B．C．D．二、填空题13．平面直角坐标系中，与点（4，-3）关于x轴对称的点是______．14．若点P（m，m﹣1）在x轴上，则点P关于x轴对称的点为_____．15．已知点P（m+1，5）与Q（4，n+2）关于x轴对称，则m-n=_________．16．和已知线段的两端点距离相等，且到一个已知点的距离等于定长的点最多有______个．17．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB 边上的中垂线分别交BC 、AB 于点D 、E ，若BC ＝7cm ，AC ＝4cm ，△ADC 的周长为_____cm ．18．如图，△ABC 申，BC 的垂直平分线DP 与∠BAC 的角平分线相交于点D ，垂足为点P ，若∠BAC=82︒，则∠BDC=____.三、解答题19．如图，在ABC ∆中，60A ∠=︒，2ABC C ∠=∠，BC 边的垂直平分线交AC 边于点D ，交BC 边于点BC ，连接BD ，求ADB ∠的度数.20．如图梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝CD ，BD ⊥CD ，求∠C 的度数．21．已知射线AC 是MAN ∠的角平分线，60NAC ∠=︒，点B 是射线AN 上的点，连接BC .(1)如图1，当点D 在射线AM 上时，连接BD ，CD .若90ABC ADC ∠=∠=︒，则BCD ∆的形状是_____.(2)如图2，当点D 在射线AM 的反向延长线AG 上时，连接BD ，CD .若ABC ADC ∠=∠，则(1)中的结论是否成立？请说明理由.22．已知:Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°.(1)探究应用1:如图1,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°，点D在线段CB上，以AD为边作等边△ADE，连接BE，为探究线段BE与DE之间的数量关系，组长已经添加了辅助线：取AB 的中点F，连接EF.线段BE与DE之间的数量关系是_________,并说明理由；(2)探究应用2:如图2,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°，点D在线段CB的延长线上，以AD 为边作等边△ADE，连接BE.线段BE与DE之间的数量关系是__________，并说明理由。

成都西川中学八年级数学上册第三单元《轴对称》测试题(答案解析)

一、选择题1．如图，在△ABD 中，分别以点A 和点D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN 分别交BD 、AD 于点C 、E ．若AE=5cm ，△ABC 的周长=15cm ，则△ABD 的周长是（）A ．35cmB ．30cmC ．25cmD ．20cm 2．若实数a ，b 满足a 2－4a ＋4+(b －4)2=0，且a ，b 恰好是等腰△ABC 两条边的长，则△ABC 周长为（）A ．8B ．8或10C ．12D ．103．如图，在ABC ∆中，90,30C B ∠=︒∠=︒，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交,AB AC 于点M 和N ，再分别以,M N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列结论不正确的是（）A ．AD 是∠BAC 的平分线B ．60ADC ∠=︒ C ．点D 在AB 的垂直平分线上D ． : 1:3DAC ABD S S ∆∆= 4．在等腰ABC ∆中，80A ∠=︒，则B 的度数不可能是（）A ．80︒B ．60︒C ．50︒D ．20︒ 5．如图，ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，且62EBD ∠=，则AEB ∠的度数是（）A ．124B ．122C ．120D ．1186．定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值()1k k >称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形ABC 中，36,A ∠=︒则它的优美比k 为（）A ．32B ．2C ．52D ．37．如图，在ABC 中，AB AC =，108BAC ∠=︒，72ADB ∠=︒，DE 平分ADB ∠，图中等腰三角形的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6 8．等腰三角形的一个内角是50度，它的一腰上的高与底边的夹角是（）度 A ．25或60B ．40或60C ．25或40D ．40 9．下列推理中，不能判断ABC 是等边三角形的是（） A ．A B C ∠=∠=∠B ．,60AB AC B =∠=︒ C ．60,60A B ∠=︒∠=︒D ．AB AC =，且B C ∠=∠ 10．若海岛N 位于海岛M 北偏东30°的方向上，则从海岛N 出发到海岛M 的航线可能是（） A ． B ．C ．D ．11．已知一个等腰三角形ABC 的两边长为5，7，另一个等腰三角形ABC 的两边为23x -，35x -，若两个三角形全等，则x 的值为（）A ．5B ．4C ．4或5D ．10312．如图，在ABC 中，18cm AC =，20cm BC =，点M 从点A 出发以每秒2cm 的速度向点C 运动，点N 从点C 出发以每秒1.6cm 的速度向点B 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当CMN △是以MN 为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是（）A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm二、填空题13．如图，∠C=90°，CB=CO ，且点B 坐标为（-2，0），则点C 坐标为_________．14．如图，长方形纸片ABCD ，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，连接EF ，将BEF ∠对折B 落在直线EF 上的点'B 处，得折痕EM ；将AEF ∠对折，点A 落在直线EF 上的点'A 得折痕EN ，若6215'BEM ∠=︒，则AEN ∠=____．15．如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线DE 分别与,AB BC 交于点,D E ，AC 的垂直平分线FG 分别与,BC AC 交于点,F G ，10,3BC EF ==，则AEF 的周长是________．16．如图，线段AB ，BC 的垂直平分线1l ，2l 相交于点O ．若135∠=︒，则A C ∠+∠的度数为______．17．如图所示为一张三角形纸片，已知6cm AC =，8cm BC =，现将ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则ACD △的周长为________cm ．18．如图：已知在ABC 中，90ACB ︒∠=，36BAC ︒∠=，在直线AC 上找点P ，使ABP △是等腰三角形，则APB ∠的度数为________．19．如图，AOB 与COB △关于边OB 所在的直线成轴对称，AO 的延长线交BC 于点D .若46BOD ∠=︒，22C ∠=︒，则ADC ∠=______°．20．若等腰三角形的一条边长为5cm ，另一条边长为10cm ，则此三角形第三条边长为__________cm ．三、解答题21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出△ABC 向上平移4个单位长度所得到的△A 1B 1C 1，并写出点A 1，B 1的坐标；（2）画出△DEF 关于x 轴对称后所得到的△D 1E 1F 1，并写出点E 1，F 1的坐标；（3）△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1组成的图形是轴对称图形，请画出它的对称轴．22．如图，ABC 是边长为10的等边三角形，现有两点P 、Q 沿如图所示的方向分别从点A 、点B 同时出发，沿ABC 的边运动，已知点P 的速度为每秒1个单位长度，点Q 的运度为每秒2个单位长度，当点P 第一次到达B 点时，P 、Q 同时停止运动．（1）点P 、Q 运动几秒后，可得到等边三角形APQ ？（2）点P 、Q 运动几秒后，P 、Q 两点重合？（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，能否得到以PQ 为底边的等腰APQ ？如存在，请求出此时P 、Q 运动的时间．23．在等边ABC 中，D E 、分别为AB AC 、边上的动点，以DE 为一边作等边DEF ．（1）如图1，若等边DEF 的顶点F 恰好在BC 上，求证：ADE CEF ≌；（2）如图2，若2BD AE ，当点D 从点A 向点B 运动（不运动到点B ）时，连接CF ，请判断ECF ∠的大小是否变化并说明理由．24．在等边三角形ABC 中，点E 为线段AB 上一动点，点E 与A ，B 不重合，点D 在CB 的延长线上，且ED ＝EC ．（1）当E 为边AB 的中点时，如图1所示，确定线段AE 与BD 的大小关系，并证明你的结论；（2）如图2，当E 不是边AB 的中点时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出BD 与AE 的数量关系；若成立，请给予证明；（提示：过E 作//EF BC 交AC 于点F ）（3）在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED ＝EC ，ABC 的边长为1，AE ＝2，请直接写出CD 的长．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中点(6,8)A ，点(6,0)B ．（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P ，使点P 同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）；①点P 到A ，B 两点的距离相等；②点P 到xOy ∠的两边的距离相等．（2）在（1）作出点P 后，直接写出点P 的坐标______．26．如图所示，已知AB AC =，AD 是中线，BE CF =．（1）求证：BDE CDF ≌；（2）当60B ∠=︒时，过AB 的中点G ，作//GH BD ，求证：4GH AB 1=．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．【详解】解：∵MN 垂直平分线段AD ，∴AC=DC ，AE+ED=AD=10cm ，∵AB+BC+AC=15cm ，∴AB+BC+DC=15cm ，∴△ABD 的周长=AB+BC+DC+AD=15+10=25cm ，故选：C ．【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．2．D解析：D【分析】由已知等式，结合非负数的性质求a 、b 的值，再根据等腰三角形的性质，分类求解即可．【详解】解：∵a 2－4a ＋4+(b －4)2=0，∴(a －2)2+(b －4)2=0，∴a−2＝0，b−4＝0，解得：a ＝2，b ＝4，当a ＝2作腰时，三边为2，2，4，不符合三角形三边关系定理；当n ＝4作腰时，三边为2，4，4，符合三角形三边关系定理，周长为：2＋4＋4＝10．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质．关键是根据非负数的性质求a ，b 的值，再根据a 或b 作为腰，分类求解．3．D解析：D【分析】根据题意作图可知：AD 是BAC ∠的平分线，即可判断A ；先求得∠BAC=60︒，由AD 是BAC ∠的平分线，求得∠CAD=∠BAD=30B ∠=︒，即可得到60ADC ∠=︒，即可判断B ；过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据∠BAD=30B ∠=︒，证得△ABD 是等腰三角形，得到AE=BE ，即可判断C ；由30CAD ∠=︒，可得12CD AD =，由AD DB =，可得12DC DB =．可得::DAC ABD SS CD DB =，由12CD DB =，可得:1:21:3DAC ABD S S =≠，即可判断D ．【详解】解：根据作图方法可得AD 是BAC ∠的平分线，故A 正确；∵90,30C B ∠=︒∠=︒，∴60CAB ∠=︒．∵AD 是BAC ∠的平分线，∴30DAC DAB ∠=∠=︒．∴60ADC ∠=︒．故B 正确；过D 作DE ⊥AB∵30,30B DAB ∠=︒∠=︒，∴AD DB =．∴AE=BE∴点D 在AB 的垂直平分线上．故C 正确；∵30CAD ∠=︒， ∴12CD AD =， ∵AD DB =， ∴12DC DB =． ∴12DAC CD AC S ⋅=，12ABD DB AC S ⋅=，∴::DAC ABD SS CD DB =， ∴12CD DB =， ∴:1:21:3DAC ABD S S =≠，故D 错误．故选择：D ．【点睛】本题考查角平分线的作图方法及性质应用，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟练掌握各部分知识并综合应用是解题的关键．4．B解析：B【分析】分∠A 是顶角和底角两种情况分类讨论求得∠B 的度数，即可得到答案．【详解】当∠A 是顶角时，则∠B=(180°-∠A)÷2=(180°-80°)÷2=50°，当∠B 是顶角时，则∠A 是底角，∴∠B=180°-80°-80°=20°，当∠C 是顶角时，则∠A 和∠B 都是底角，∴∠B=∠A=80°，综上所述：∠B 的度数为：50°或20°或80°．观察各选项可知∠B 不可能是60°．故选B ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想方法，是解题的关键．5．B解析：B【分析】由等边三角形的性质，得到AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=60°，然后证明△ACE ≌△BCD ，则∠CAE=∠CBD ，由角的关系，求出∠ABE+∠BAE=58°，即可得到答案．【详解】解：如图：∵ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACE+∠BCE=∠BCD+∠BCE=60°，∴∠ACE=∠BCD ，∴△ACE ≌△BCD ，∴∠CAE=∠CBD ，即6062BAE EBC ︒-∠=︒-∠，∵60EBC ABE ∠=︒-∠，∴6062(60)BAE ABE ︒-∠=︒-︒-∠，∴58ABE BAE ∠+∠=︒，∴18058122AEB ∠=︒-︒=︒；故选：B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，以及角的和差关系，解题的关键是掌握所学的知识，正确求出58ABE BAE ∠+∠=︒． 6．B解析：B【分析】由已知可以写出∠B 和∠C ，再根据三角形内角和定理可以得解．【详解】解：由已知可得：∠B=∠C=k ∠A=（36k ）°，由三角形内角和定理可得：2×36k+36=180，∴k=2，故选B ．【点睛】本题考查等腰三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想的应用是解题关键．7．C解析：C【分析】利用等腰三角形的性质“等边对等角”，求出角的度数，再根据“等角对等边”证明三角形是等腰三角形．【详解】解：∵AB AC =，∴ABC 是等腰三角形，∵108BAC ∠=︒， ∴180108362B C ︒-︒∠=∠==︒， ∵72ADB ∠=︒， ∴18072BAD B ADB ∠=︒-∠-∠=︒，∴ADB BAD ∠=∠，∴AB BD =，∴ABD △是等腰三角形，∵1087236DAC BAC BAD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴DAC C ∠=∠，∴AD CD =，∴ACD △是等腰三角形，∵DE 平分ADB ∠， ∴1362ADE BDE ADB ∠=∠=∠=︒， ∴18072AED ADE DAE ∠=︒-∠-∠=︒，∴AED DAE ∠=∠，∴DE DA =，∴ADE 是等腰三角形，∵BDE B ∠=∠，∴BE DE =，∴BED 是等腰三角形，一共有5个等腰三角形．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定． 8．C解析：C【分析】当顶角为50°时和底角为50°两种情况进行求解．【详解】当顶角为50°时，底角为：（180°−50°）÷2＝65°．此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−65°＝25°．当底角为50°时，此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−50°＝40°．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中两个底角相等．同时考查了分类讨论的思想．9．D解析：D【分析】根据等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理进行判断．【详解】A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．10．D解析：D【分析】根据题意画出图形，再利用“上北下南”求出方向角即可．【详解】解：如图：∵海岛N位于海岛M的北偏东30°方向上，∴海岛N在海岛M上方，故排除A､B选项，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，排除选项C，故选D．【点睛】本题考查了方向角，解题的关键是熟练掌握方向角的概念．11．B解析：B【分析】根据等腰ABC 的两边长为5，7，得到ABC 的三边长为5，7，7；或5,5,7；之后根据全等分2x-3=5，2x-3=7，3x-5=5，3x-5=7四种情况分类讨论，舍去不合题意的即可求解．【详解】解：∵等腰ABC 的两边长为5，7，∴ABC 的三边长为5，7，7；或5,5,7；由题意得另一个等腰三角形的两边为23x -，35x -，且与等腰ABC 全等（1）当2x-3=5时，解得x=4，则3x-5=7，符合题意；（2）当2x-3=7时，解得x=5，则3x-5=10，不合题意；（3）当3x-5=5时，解得103x =，则2x-3=113，不合题意；（4）当3x-5=7时，解得x=4，则2x-3=5，符合题意；综上所述：x 的值为4．故答案为：B【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的性质，根据题意分类讨论是解题关键． 12．D解析：D【分析】要求运动后得到的等腰三角形的腰长，首先要求出动点所运动的时间．我们可以设M 、N 运动的时间为x 秒．【详解】设M 、N 运动的时间为x 秒．当CMN △是以MN 为底的等腰三角形时，,182, 1.6CM CN CM x CN x ==-= 即182 1.6x x -=，解得5x =．∴腰长为5 1.68cm ⨯=故选D ．【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度．二、填空题13．(－11)【分析】过点C 作CD ⊥y 轴于点D 根据等腰三角形的性质得出OD=CD=1得出结果【详解】解：过点C 作CD ⊥y 轴于点D ∵∠ACB=90°CB=CO ∴∠CBO=∠COB=45°∵CD ⊥y 轴∴∠C解析：(－1，1)【分析】过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，根据等腰三角形的性质得出OD=CD=1，得出结果．【详解】解：过点C作CD⊥y轴于点D，∵∠ACB=90°，CB=CO，∴∠CBO=∠COB=45°，∵CD⊥y轴，∴∠CDO=90°，∴∠COD=∠DOC，∴OD=CD，∵CD⊥y轴，CB=CO，∴OD=12OB，∵点B坐标为（-2，0），∴OB=2，∴OD=CD=1，∴点C坐标为(－1，1)，故答案为(－1，1)．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线．14．【分析】先根据折叠的性质求出∠B′EM根据邻补角求出∠AEA′再根据折叠的性质即可求出∠AEN【详解】解：根据折叠可知：EM平分∠BEB′∴∠B′EM=∠BEM=62°15′∴∠AEA′=180°-解析：2745'【分析】先根据折叠的性质求出∠B′EM，根据邻补角求出∠AEA′，再根据折叠的性质即可求出∠AEN．【详解】解：根据折叠可知：EM平分∠BEB′，∴∠B′EM=∠BEM=62°15′，∴∠AEA′=180°-2×62°15′=55°30′，EN平分∠AEA′，∴∠AEN=∠A′EN=12∠AEA′=12×55°30′=27°45′，故答案为：27°45′．【点睛】本题考查了折叠的性质，邻补角的定义，以及角的计算、度分秒的换算，解决本题的关键是掌握折叠的性质．15．16【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EAAF＝FC根据三角形的周长公式计算得到答案【详解】解：∵DE是AB边的垂直平分线∴EB＝EA∵FG是AC边的垂直平分线∴AF＝FC∴△AEF的周长解析：16【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA、AF＝FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵DE是AB边的垂直平分线，∴EB＝EA，∵FG是AC边的垂直平分线，∴AF＝FC，∴△AEF的周长=AF+AE+EF=FC+BE+EF=EC+EF+BE+EF=BC+2EF=10+6=16，故答案为：16．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．16．35°【分析】连接OB同理得AO=OB=OC由等腰三角形的性质得∠A=∠ABO∠C=∠CBO进而得到∠A+∠C=∠ABC由等腰三角形三线合一得∠AOD=∠BOD∠BOE=∠COE由平角的定义得∠DO解析：35°【分析】连接OB，同理得AO=OB=OC，由等腰三角形的性质得∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，进而得到∠A+∠C=∠ABC，由等腰三角形三线合一得∠AOD=∠BOD，∠BOE=∠COE，由平角的定义得∠DOE=145°，最后由四边形内角和定理可得结论．【详解】解：连接OB，∵线段AB 、BC 的垂直平分线l 1、l 2相交于点O ，∴AO=OB=OC ，∴∠AOD=∠BOD ，∠BOE=∠COE ，∠A=∠ABO ，∠C=∠CBO ，∴∠A+∠C=∠ABC ，∵∠DOE+∠1=180°，∠1=35°，∴∠DOE=145°，∴∠ABC=360°-∠DOE-∠BDO-∠BEO=35°；故答案为：35°【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，四边形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．17．14【分析】根据折叠的性质得到AD=BD 即可求出答案【详解】由折叠得：AD=BD ∵∴的周长=AC+AD+CD=AC+BC=6cm+8cm=14cm 故答案为：14【点睛】此题考查折叠的性质：折叠前后对解析：14【分析】根据折叠的性质得到AD=BD ，即可求出答案．【详解】由折叠得：AD=BD ，∵6cm AC =，8cm BC =，∴ACD △的周长=AC+AD+CD=AC+BC=6cm+8cm=14cm ，故答案为：14．【点睛】此题考查折叠的性质：折叠前后对应的线段相等，熟记性质是解题的关键．18．72°或18°或108°或36°【分析】分四种情况：①AB ＝BP1时②当AB ＝AP3时③当AB ＝AP2时④当AP4＝BP4时分别讨论根据等腰三角形的性质求出答案即可【详解】∵在Rt △ABC 中∠C ＝9解析：72°或18°或108°或36°【分析】分四种情况：①AB ＝BP 1时，②当AB ＝AP 3时，③当AB ＝AP 2时，④当AP 4＝BP 4时，分别讨论，根据等腰三角形的性质求出答案即可．【详解】∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝36°，∴当AB ＝BP 1时，∠BAP 1＝∠BP 1A ＝36°，当AB ＝AP 3时，∠ABP 3＝∠AP 3B ＝12∠BAC ＝12×36°＝18°，当AB ＝AP 4时，∠ABP 4＝∠AP 4B ＝12×（180°−36°）＝72°，当AP 2＝BP 2时，∠BAP 2＝∠ABP 2，∴∠AP 2B ＝180°−36°×2＝108°，∴∠APB 的度数为：18°、36°、72°、108°．故答案为：72°或18°或108°或36°【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解题关键．19．70【分析】根据三角形的外角和定理得和再根据轴对称的性质得和列式求出的值即可得到结果【详解】解：∵是的外角∴∵是的外角∴∵与关于边OB 所在的直线成轴对称∴∴即解得∴故答案是：【点睛】本题考查轴对称的解析：70【分析】根据三角形的外角和定理，得ADC A ABC ∠=∠+∠和ADC BOD OBD ∠=∠+∠，再根据轴对称的性质得12OBD ABC ∠=∠和22C A ∠=∠=︒，列式求出ABC ∠的值，即可得到结果．【详解】解：∵ADC ∠是ABD △的外角， ∴ADC A ABC ∠=∠+∠， ∵ADC ∠是BOD 的外角， ∴ADC BOD OBD ∠=∠+∠， ∵AOB 与COB △关于边OB 所在的直线成轴对称， ∴12OBD ABC ∠=∠，22C A ∠=∠=︒， ∴12A ABC BOD ABC ∠+∠=∠+∠，即122462ABC ABC ︒+∠=︒+∠，解得48ABC ∠=︒， ∴224870ADC A ABC ∠=∠+∠=︒+︒=︒．故答案是：70．【点睛】本题考查轴对称的性质和三角形外角和定理，解题的关键是熟练运用这两个性质定理进行求解．20．10【分析】因为等腰三角形的两边分别为5cm 和10cm 但没有明确哪是底边哪是腰所以有两种情况需要分类讨论【详解】当5cm为底时其它两边都为10cm5cm10cm10cm可以构成三角形；当5cm为腰时解析：10【分析】因为等腰三角形的两边分别为5cm和10cm，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【详解】当5cm为底时，其它两边都为10cm，5cm、10cm、10cm可以构成三角形；当5cm为腰时，其它两边为5cm和10cm，因为5+5=10，所以不能构成三角形，故舍去．所以三角形三边长只能是5cm、10cm、10cm，所以第三边是10cm．故答案为：10．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．三、解答题21．（1）图见解析，A1（3，2），B1（4，1）；（2）图见解析，E1（﹣2，﹣3），F1（0，﹣2）；（3）见解析【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出点A1，B1，C1的坐标，然后描点即可；（2）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出点D1，E1，F1的坐标，然后描点即可；（3）直线C1F1和C1F1的垂直平分线都是△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形的对称轴．【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，A1（3，2），B1（4，1）；（2）如图，△D1E1F1为所作，E1（﹣2，﹣3），F1（0，﹣2）；（3）如图，直线l和直线l′为所作．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了平移变换．22．（1）点P 、Q 运动103秒后，可得到等边三角形APQ ；（2）点P 、Q 运动10秒后，P 、Q 两点重合；（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，能得到以PQ 为底边的等腰三角形，此时P 、Q 运动的时间为403秒．【分析】（1）设点P 、Q 运动t 秒后，可得到等边三角形APQ ，利用,AP AQ = 列方程，解方程可得答案；（2）设点P 、Q 运动x 秒后，P 、Q 两点重合，由追及问题中的相等关系：Q 的运动路程等于P 的运动路程加上相距的路程，列方程，解方程即可得到答案；（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，可以得到以PQ 为底边的等腰三角形．先证明：ACP △≌ABQ △，可得CP BQ =，再列方程，解方程并检验即可得到答案．【详解】解：（1）设点P 、Q 运动t 秒后，可得到等边三角形APQ ，如图①，AP t =，102AQ AB BQ t =-=-，∵三角形APQ 是等边三角形，,AP AQ ∴=∴102t t =-，解得103t =， ∴点P 、Q 运动103秒后，可得到等边三角形APQ ．（2）设点P 、Q 运动x 秒后，P 、Q 两点重合，102x x +=，解得：10x =．∴点P 、Q 运动10秒后，P 、Q 两点重合．（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，可以得到以PQ 为底边的等腰三角形．理由如下：由（2）知10秒时P 、Q 两点重合，恰好在C 处，如图②，假设APQ 是等腰三角形，∴AP AQ =，∴APQ AQP ∠=∠，∴APC AQB ∠=∠，∵ACB △是等边三角形，∴C B ∠=∠，在ACP △和ABQ △中，,,,AC AB C B APC AQB =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩， ∴ACP △≌ABQ △，∴CP BQ =，设当点P 、Q 在BC 边上运动时，P 、Q 运动的时间y 秒时，APQ 是等腰三角形，由题意得：10CP y =-，302QB y =-，∴ 10302y y -=-，解得：403y =， P 的最长运动时间为2020,1s = Q 从B A C B →→→的最长时间为30=152s ，由403＜15， ∴ 403y =符合题意， ∴当点P 、Q 在BC 边上运动时，能得到以PQ 为底边的等腰三角形，此时P 、Q 运动的时间为403秒．【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，动点问题，掌握以上知识是解题的关键．23．（1）见解析；（2）不变，理由见解析．【分析】（1）根据AAS 证明ADE CEF ≌即可；（2）在AC 上截取CH AE =，连接FH ，根据等边△ABC 和等边△DEF 的性质证明△ADE HEF ≅∆可得FH CH =，得∠FCH HFC =∠，进一步可得∠30ECF =︒．【详解】解：（1）证明：∵△ABC 和△DEF 是等边三角形∴∠A=∠C=60°，∠DEF=60°，DE=EF∵∠DEF=60°，∴∠DEF+∠FEC=180°-60°=120°∵∠C=60°∴∠CFE+∠FEC=180°-60°=120°∴∠DEA EFC =∠在△ADE 和△CEF 中，A C DEA EFC DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADE CEF ≌；（2）在AC 上截取CH AE =，连接FH ，设,AE CH x ==等边△ABC 的边长为a∵22BD AE x ==∴2AD EH a x ==-∵△ABC 是等边三角形∴∠60A =︒∴∠120ADE DEA +∠=︒∵△DEF 是等边三角形∴∠60,DEF DE EF =︒=∴∠120AED FEC +∠=︒∴∠ADE FEC =∠∴△()ADE HEF SAS ≅∆∴∠60,FHE A FH AE x =∠=︒==∴FH CH =∴∠FCH HFC =∠∵∠60FCH HFC FHE +∠=∠=︒∴260FCH ∠=︒∴∠30FCH =︒即∠30ECF =︒【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键．24．（1）AE ＝BD ；见解析；（2）成立；AE ＝BD ；见解析；（3）CD 的长为3或1.【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质证得∠ECB ＝30°，由DE ＝CE ，求出∠D ＝∠ECB ＝30°得到∠DEB ＝30°，推出BD ＝BE ，根据AE ＝BE 证得结论；（2）过E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，得到△AEF 是等边三角形，推出BE=CF ，利用∠DBE ＝∠EFC ＝120°，∠BED ＝∠ECF ，证得△DEB ≌△ECF （AAS ），得到BD ＝EF=AE ；（3）作EF ∥BC 交CA 的延长线于点F ，则△AEF 为等边三角形，利用∠CEF ＝∠EDB ，EB ＝CF ＝3，∠F ＝∠B ＝60°，证得△CEF ≌△EDB （AAS ），得到BD ＝EF ＝2，求出CD ＝BD －BC ＝1，同理可得CD ＝3【详解】解：（1）AE ＝BD ；证明：∵△ABC 为等边三角形，AE ＝BE ，∴CE 平分∠ACB ，∴∠ECB ＝30°．∵DE ＝CE ，∴∠D ＝∠ECB ＝30°．∵∠ABC ＝∠D ＋∠DEB ＝60°，∴∠DEB ＝30°，∴∠D ＝∠DEB ，∴BD ＝BE ．∵AE ＝BE ，∴AE ＝BD ；（2）当E 为边AB 上任意一点时，AE ＝BD 仍成立；证明：如图1，过E 作EF ∥BC 交AC 于点F ．∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠A ＝60°，AB ＝AC ＝BC ，∴∠AEF ＝∠ABC ＝60°，∠AFE ＝∠ACB ＝60°，即∠AEF ＝∠AFE ＝∠A ＝60°,∴△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝AF．∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D＋∠BED＝∠FCE＋∠ECD＝60°．∵DE＝EC，∴∠D＝∠ECD，∴∠BED＝∠ECF，∴△DEB≌△ECF（AAS），∴BD＝EF，∴AE＝BD；（3）CD的长为3或1如图2，作EF∥BC交CA的延长线于点F，则△AEF为等边三角形，∴AF＝AE＝EF＝2，∠BEF＝60°，∴∠CEF＝60°＋∠BEC．∵∠EDC＝∠ECD＝∠B＋∠BEC＝60°＋∠BEC，∴∠CEF＝∠EDB．又∵EB＝CF＝3，∠F＝∠B＝60°，∴△CEF≌△EDB（AAS），∴BD＝EF＝2，∴CD＝BD－BC＝1，如图3，同理可得CD＝3，综上所述，CD的长为3或1【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线的性质，等腰三角形等边对等角的性质，熟练掌握三角形的知识并熟练应用是解题的关键．25．（1）作图见解析；（2）（4，4）【分析】（1）作AB的垂轴平分线和∠xOy的角平分线，它们的交点即为P点；（2）由于点P在AB的垂轴平分线上，则P点的纵坐标为4，再利用点P在第一象限的角平分线上，则点P的横纵坐标相同，从而得到P点坐标．【详解】（1）如图，点P 为所作；（2）P 点坐标为（4，4）．故答案为（4，4）．【点睛】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．26．（1）见详解；（2）见详解．【分析】（1）由AB=AC ，AD 是中线，得到∠B=∠C ，BD=CD ，即可得到结论；（2）由等腰三角形的性质得到AD ⊥BC ，根据平行线的性质得到∠AHG=90°，再根据三角形的中位线定理即可得到结果．【详解】证明（1）如图：∵AB=AC ，AD 是中线，∴∠B=∠C ，BD=CD ，在△BDE 与△CDF 中，BE CF B C BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△CDF ；（2）∵GH ∥BD ，∠B=60°，∴∠AGH=60°，∵AB=AC ，AD 是中线，∴AD⊥BC，∴∠BAD=30°∠AHG=90°，∴GH=1AG，2∵AG=1AB，2∴GH=1AB．4【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握定理是解题的关键．。

上海上海第中学八年级数学上册第三单元《轴对称》检测(包含答案解析)

一、选择题1．如图，在边长为9的等边△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，点E 、F 分别是边AB 、AC 上的两个点，且AE=CF=4cm ，在CD 上有一动点P ，则PE +PF 的最小值是（）A ．4B ．4.5C ．5D ．82．如图所示，等腰直角三角形ADM 中，AM DM =，90AMD ∠=︒，E 是AD 上一点，连接ME ，过点D 作DC ME ⊥交ME 于点C ，过点A 作AB ME ⊥交ME 于点B ，4AB =，10CD =，则BC 的长度为（）A ．3B ．6C ．8D ．103．如图，在ABC ∆中，90,30C B ∠=︒∠=︒，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交,AB AC 于点M 和N ，再分别以,M N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列结论不正确的是（）A ．AD 是∠BAC 的平分线B ．60ADC ∠=︒ C ．点D 在AB 的垂直平分线上D ． : 1:3DAC ABD S S ∆∆= 4．下列命题正确的是（）A ．全等三角形的对应边相等B ．面积相等的两个三角形全等C ．两个全等三角形一定成轴对称D ．所有等腰三角形都只有一条对称轴 5．剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图①，②中的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）A ．B ．C ．D ．6．如图，长方形ABCD 沿直线EF 、EG 折叠后，点A 和点D 分别落在直线l 上的点A '和点D 处，若130∠=︒，则2∠的度数为（）A ．30°B ．60°C ．50°D ．55°7．平面直角坐标系中，已知()1,1A ，()2,0B ．若在x 轴上取点C ，使ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．如图，已知点D 为ABC 内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若6AC =，4BC =，则BD 的长为（）A ．2B ．1.5C ．1D ．2.59．如图，在ABC 中，87,A ABC ∠=︒∠的平分线BD 交AC 于点,D E 是BC 中点，且DE BC ⊥，那么C ∠的度数为（）A ．16︒B ．28︒C ．31︒D ．62︒10．如图，在ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，交AC 边于E ，交BC 边于D ，连接AD ，若3AE =，ABD △的周长为13，则ABC 的周长（）A ．16B ．19C ．20D ．2411．如图，在ABC 中，18cm AC =，20cm BC =，点M 从点A 出发以每秒2cm 的速度向点C 运动，点N 从点C 出发以每秒1.6cm 的速度向点B 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当CMN △是以MN 为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是（）A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm12．下列图案中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．如图，点CD 在线段AB 的同侧，CA =6，AB =14，BD =12，M 为AB 中点，∠CMD =120°．则CD 的最大值为____．14．在平面直角坐标系中，将点(3,2)P -向右平移4个单位得到点P '，则点P '关于x 轴的对称点的坐标为________．15．嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用()1,1-表示，右下角的圆形棋子用()0,0表示，淇淇将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置是__________．16．如图，E 是腰长为2的等腰直角ABC 斜边上一点，且BE BC P =，为CE 上任意一点，PQ BC ⊥于点Q PR BE ⊥，于点R ，则PQ PR +的值是___________．17．如图，∠AOB ＝45°，OC 平分∠AOB ，点M 为OB 上一定点，P 为OC 上的一动点，N 为OB 上一动点，当PM ＋PN 最小时，则∠PMO 的度数为___________．18．如图，在四边形ABCD 中，130DAB ∠=︒，90D B ∠=∠=︒，点M ，N 分别是CD ，BC 上两个动点，当AMN 的周长最小时，AMN ANM ∠+∠的度数为_________．19．如图，已知∠AOB=60°，点P 在边OA 上，OP=24，点M ，N 在边OB 上，PM=PN ，若NM=6，则OM=______________．20．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∠BAD ＝20°，且AE ＝AD ，则∠CDE 的度数是______．三、解答题21．如图，在ABC 中，60A ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线分别交AC 、AB 于点D 、E ，CE 、BD 相交于点F ，连接DE ．（1）若7AC BC ==，求DE 的长；（2）求证：BE CD BC +=．22．已知在ABC 中，CAB ∠的平分线AD 与BC 的垂直平分线DE 交于点D ，DM AB ⊥于M ，DN AC ⊥交AC 的延长线于N ．（1）证明：BM CN =；（2）当80BAC ∠=︒时，求DCB ∠的度数．23．如图，//AB CD ，点E 在CB 的延长线上，A E ∠=∠，AC ED =．（1）求证：BC CD =；（2）连接BD ，求证：ABD EBD ∠=∠．24．在直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点的位置如图所示．（1）请画出ABC ∆关于y 轴对称的'''A B C ∆（其中',','A B C 分别是,,A B C 的对应点，不写画法）；（2）直接写出',','A B C 三点的坐标'A （），'B （），'C （），（3）求出'''A B C ∆的面积25．如图，在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为G ，且AD AB =，60EDF ∠=︒，其两边分别交AB ，AC 于点E ，F ．（1）求证：ABD △是等边三角形；（2）若2DG =，求AC 的长；（3）求证：AB AE AF =+．26．已知：(0,1),(2,0),(4,4)A B C -．（1）在图中所示的坐标系中描出各点，画出ABC ，并求ABC 的面积．（2）若ABC 各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘以1-，在同一坐标系中描出对应的点A '，B '，C '，并依次连结这三个点得A B C '''，并写出ABC 与A B C '''有怎样的位置关系？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】作点E 关于AD 的对称点G ，所以连接FG ，与CD 的交点即为P 点．此时PF+PE=FG 最小，通过计算证明△AFG 是等边三角形，从而得出结果．【详解】作点E 关于AD 的对称点G ，连接FG 与CD 的交点即为P 点，如图：∴PG=PE ，此时PF+PE=PF+ PG 有最小值，最小值为FG ，∵△ABC 是边长为9等边三角形，且CD ⊥AB ，AE =CF=4，∴AD=BD=12AB=4.5，AF=AC-CF=9-4=5，∠A=60︒， ∴ED=GD= AD- AE =4.5-4=0.5，∴AG=AE+ED+GD=5= AF ，∴△AFG 是等边三角形，∴FG= AF=5，∴PF+PE 的最小值是5，故选：C ．【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路径问题，等边三角形的判定和性质，掌握轴对称－最短路径的确定方法是解题的关键．2．B解析：B【分析】通过先证明AMB MDC △≌△，得到=4AB MC =,=10MB CD =，即可求得=BC MB MC -，即可得到答案．【详解】解：∵DC ME ⊥，AB ME ⊥，90AMD ∠=︒∴DCM B ∠=∠，+90AMB DMC ∠∠=︒,+90MDC DMC ∠∠=︒∴AMB ∠=MDC ∠∵AM DM =∴AMB MDC △≌△∴AB MC =,MB CD =∵4AB =，10CD = ∴4MC =,10MB =∴=1046BC MB MC -=-=故选B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的定义，熟练掌握全等三角形判定和性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．3．D解析：D【分析】根据题意作图可知：AD 是BAC ∠的平分线，即可判断A ；先求得∠BAC=60︒，由AD 是BAC ∠的平分线，求得∠CAD=∠BAD=30B ∠=︒，即可得到60ADC ∠=︒，即可判断B ；过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据∠BAD=30B ∠=︒，证得△ABD 是等腰三角形，得到AE=BE ，即可判断C ；由30CAD ∠=︒，可得12CD AD =，由AD DB =，可得12DC DB =．可得::DAC ABD SS CD DB =，由12CD DB =，可得:1:21:3DAC ABD S S =≠，即可判断D ．【详解】解：根据作图方法可得AD 是BAC ∠的平分线，故A 正确；∵90,30C B ∠=︒∠=︒，∴60CAB ∠=︒．∵AD 是BAC ∠的平分线，∴30DAC DAB ∠=∠=︒．∴60ADC ∠=︒．故B 正确；过D 作DE ⊥AB∵30,30B DAB ∠=︒∠=︒，∴AD DB =．∴AE=BE∴点D 在AB 的垂直平分线上．故C 正确；∵30CAD ∠=︒，∴12CD AD =， ∵AD DB =， ∴12DC DB =． ∴12DAC CD AC S⋅=，12ABD DB AC S ⋅=， ∴::DAC ABD SS CD DB =， ∴12CD DB =， ∴:1:21:3DAC ABD S S =≠，故D 错误．故选择：D ．【点睛】本题考查角平分线的作图方法及性质应用，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟练掌握各部分知识并综合应用是解题的关键．4．A解析：A【分析】分别利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质判断得出即可．【详解】解：A 、全等三角形的对应边相等，是真命题；B 、面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；C 、两个全等三角形不一定成轴对称，原命题是假命题；D 、所有等腰三角形不一定都只有一条对称轴，如等边三角形有三条对称轴，原命题是假命题；故选：A ．【点睛】本题主要考查了命题与定理，熟练掌握几何性质与判定是解题的关键．5．A解析：A【分析】对于此类问题，只要依据翻折变换，知道剪去了什么图形即可判断，也可动手操作，直观的得到答案．【详解】解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得：．故选：A ．【点睛】本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．6．B解析：B【分析】根据折叠的性质得到∠AEF=130∠=︒，2D EG '∠=∠，根据12180AEF D EG '∠+∠+∠+∠=︒得到2(12)180∠+∠=︒，即可求出答案．【详解】解：由折叠得：∠AEF=130∠=︒，2D EG '∠=∠，∵12180AEF D EG '∠+∠+∠+∠=︒，∴2(12)180∠+∠=︒，∴260∠=︒故选：B ．【点睛】此题考查折叠的性质，平角有关的计算，正确理解折叠性质得到∠AEF=130∠=︒，2D EG '∠=∠是解题的关键．7．C解析：C【分析】分三种情况：当AB=AC 时，当BA=BC 时，当AC=AB 时，根据等腰三角形两边相等的性质分别作图即可得解．【详解】当AB=AC 时，点C 与点O 重合；当BA=BC 时，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，与x 轴有两个交点；当AC=AB 时，作线段AB 的垂直平分线，与x 轴有一个交点，共有4个点C ，故选：C ．．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，直角坐标系中作等腰三角形的方法，熟记等腰三角形的性质并利用其作图是解题的关键．8．C解析：C【分析】延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE=AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC=CE，AE=BE=2BD，根据AC=6，BC=4，即可推出BD的长度．【详解】解：延长BD与AC交于点E，∵∠A=∠ABD，∴BE=AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ECD，∴∠EBC=∠BEC，∴△BEC为等腰三角形，∴BC=CE，∵BE⊥CD，∴2BD=BE，∵AC=6，BC=4，∴CE=4，∴AE=AC-EC=6-4=2，∴BE=2，∴BD=1．故选：C．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．9．C解析：C【分析】根据角平分线的定义得到ABD CBD ∠=∠，根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC ，进而得到DBC C ∠=∠，根据三角形内角和定理列式计算即可．【详解】∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∵DE BC ⊥，E 是BC 中点，∴DB=DC ，∴DBC C ∠=∠，∴ABD CBD C ∠=∠=∠，∴18087ABD CBD C ∠+∠+∠=︒-︒，解得：31C ∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．10．B解析：B【分析】根据线段垂直平分线性质得出 AD = DC ，求出和 AB + BC 的长，即可求出答案．【详解】DE 是 AC 的垂直平分线,AE=3cm,.∴ AC=2AE=6cm ，AD = DC ,△ ABD 的周长为13cm ，∴ AB + BD +AD=13cm ，∴AB + BD + DC = AB +BC=13cm∴ △ ABC 的周长为 AB + BC +AC=13cm+6cm=19cm ，故选 B ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．11．D解析：D【分析】要求运动后得到的等腰三角形的腰长，首先要求出动点所运动的时间．我们可以设M 、N运动的时间为x 秒．【详解】设M 、N 运动的时间为x 秒．当CMN △是以MN 为底的等腰三角形时，,182, 1.6CM CN CM x CN x ==-= 即182 1.6x x -=，解得5x =．∴腰长为5 1.68cm ⨯=故选D ．【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度．12．C解析：C【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．【详解】解：A 、不是轴对称图形，故本选项不合题意；B 、不是轴对称图形，故本选项不合题意；C 、是轴对称图形，故本选项符合题意；D 、不是轴对称图形，故本选项不合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．二、填空题13．25【分析】作点A 关于CM 的对称点A 作点B 关于DM 的对称点B 证明△AMB 为等边三角形在根据两点之间线段最短即可解决问题【详解】解：作点A 关于CM 的对称点A 作点B 关于DM 的对称点B 如下图所示：∴∠1= 解析：25【分析】作点A 关于CM 的对称点A’，作点B 关于DM 的对称点B’，证明△A’MB’为等边三角形，在根据两点之间线段最短即可解决问题．【详解】解：作点A 关于CM 的对称点A’，作点B 关于DM 的对称点B’，如下图所示：∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠CMD=120°，∴∠2+∠3=60°，即∠A’MB’=120°-60°=60°，又M为AB的中点，∴AM=MA’=MB’=MB，∴△A’MB’为等边三角形，∴A’B’=AM=7，由两点之间线段最短可知：CD≤CA’+A’B’+B’D=CA+AM+BD=6+7+12=25，故答案为：25．【点睛】本题主要考查了几何变换之折叠，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识点，解题的关键是作点A关于CM的对称点A’，作点B关于DM的对称点B’，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．14．【分析】先根据向右平移4个单位横坐标加4纵坐标不变求出点的坐标再根据关于x轴对称横坐标不变纵坐标相反解答【详解】解：∵将点P（3-2）向右平移4个单位得到点∴点的坐标是（7-2）∴点关于x轴的对称点解析：(7,2)【分析】先根据向右平移4个单位，横坐标加4，纵坐标不变，求出点P'的坐标，再根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反解答．【详解】解：∵将点P（3，-2）向右平移4个单位得到点P'，∴点P'的坐标是（7，-2），∴点P'关于x轴的对称点的坐标是（7， 2）．故答案为：（7， 2）【点睛】本题考查了坐标与图形变化−平移，以及关于x轴、y轴对称点的坐标的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．15．【分析】首先确定平面直角坐标系再根据轴对称图形的定义画出淇淇放的方形棋子的位置即可解决问题【详解】解：平面直角坐标系如图所示淇淇放的方形棋子的位置如图坐标为（-12）故答案为（-12）【点睛】本题考解析：()1,2-【分析】首先确定平面直角坐标系，再根据轴对称图形的定义画出淇淇放的方形棋子的位置，即可解决问题．【详解】解：平面直角坐标系如图所示，淇淇放的方形棋子的位置如图，坐标为（-1，2），故答案为（-1，2）．【点睛】本题考查坐标与图形的性质，坐标位置的确定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．16．【分析】连接BP 过点E 作EF ⊥BC 根据可得PQ+PR=EF 结合等腰直角三角形三边长的关系即可求解【详解】连接BP 过点E 作EF ⊥BC ∵∴=BC×PQ+BE×PR=BC×(PQ+PR)=BC×EF ∴PQ 解析：2【分析】连接BP ，过点E 作EF ⊥BC ，根据BCE BPE BPC SS S =+，BE BC =，可得PQ+PR=EF ，结合等腰直角三角形三边长的关系，即可求解．【详解】连接BP ，过点E 作EF ⊥BC ，∵BE BC =，∴BCE BPE BPC SS S =+ =12BC×PQ+12BE×PR =12BC×(PQ+PR) =12BC×EF ， ∴PQ+PR=EF ，∵ABC 是等腰直角三角形，∴∠B=45°，∴EFB △是等腰直角三角形，且BE=BC=2， ∴EF=BE÷2=2÷2=2，∴PQ PR +=2，故答案是：2．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，掌握“等积法”是解题的关键．17．45°【分析】找到点M 关于OC 对称点M′过点M′作M ′N ⊥OB 于点N 交OC 于点P 则此时PM+PN 的值最小再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案【详解】解：如图找到点M 关于OC 对称点M′过点M解析：45°【分析】找到点M 关于OC 对称点M′，过点M′作M′N ⊥OB 于点N ，交OC 于点P ，则此时PM+PN 的值最小，再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案．【详解】解：如图，找到点M 关于OC 对称点M′，过点M′作M′N ⊥OB 于点N ，交OC 于点P ，则此时PM+PN 的值最小．∵PM=PM′，∴此时PM+PN=PM′+PN′=M′N′，∵点M 与点M′关于OC 对称，OC 平分∠AOB ，∴OM=OM′，∵∠AOB=45°，∴∠PM'O=∠AOB=45°，∴∠PMO=∠PM'O=45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查了利用轴对称的知识寻找最短路径的知识，涉及到两点之间线段最短、垂线段最短的知识，有一定难度，正确确定点P及点N的位置是关键．18．100°【分析】作点A关于BC的对称点A′关于CD的对称点A″根据轴对称确定最短路线问题连接A′A″与BCCD的交点即为所求的点MN利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″再根据轴对称的性质和三解析：100°【分析】作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），然后计算即可得解．【详解】解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，∴∠A′+∠A″=180°-∠130°=50°，由轴对称的性质得：A′N= AN，A″M=AM∴∠A′=∠A′AN，∠A″=∠A″AM，∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°．故答案为：100°【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用．19．9【分析】过P作PD⊥OB交OB于点D在直角三角形POD中求出OD的长再由PM=PN利用三线合一得到D为MN中点根据MN求出MD的长由OD-MD即可求出OM的长【详解】解：过P作PD⊥OB交OB于点解析：9【分析】过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD-MD即可求出OM的长．【详解】解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，∵∠AOB=60°，∴∠OPD=30°，∴OD=1OP=12．2∵PM=PN，PD⊥MN，∴MD=ND=1MN=3，2∴OM=OD﹣MD=12﹣3=9．故答案为：9．【点睛】本题考查的是含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，根据题意添加适当辅助线是解本题的关键．20．10°【分析】设∠B＝∠C＝x∠CDE＝y分别表示出∠DAE构建方程解方程即可求解【详解】解：设∠B＝∠C＝x∠EDC＝y∵AD＝AE∴∠ADE＝∠AED＝x＋y∵∠DAE＝180°−2（x＋y）＝解析：10°【分析】设∠B＝∠C＝x，∠CDE＝y，分别表示出∠DAE，构建方程解方程即可求解．【详解】解：设∠B＝∠C＝x，∠EDC＝y，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝x＋y，∵∠DAE＝180 °−2（x＋y）＝180 °−20 °−2x，∴2y＝20 °，∴y ＝10 °，∴∠CDE ＝10 °．故答案为：10°【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，还涉及三角形内角和等知识点，需要熟练掌握等腰三角形的判定与性质．三、解答题21．（1） 3.5DE =；（2）见解析．【分析】（1）证明△ADE 为等边三角形，即可得结论；（2）在BC 上截取BH=BE ，证明两对三角形全等：△EBF ≌△HBF ，△CDF ≌△CHF ，可得结论．【详解】（1）∵AC=BC=7，∠A=60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AC=AB=7，又∵BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，∴D 、E 分别是AC 、AB 的中点， ∴11=3.5,=3.522==AD AC AE AB ， ∴AD=AE ，∵∠A=60°，∴△ADE 为等边三角形，∴DE=AE=3.5；（2）证明：在BC 上截取BH=BE ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD ，∵BF=BF∴△EBF ≌△HBF （SAS ），∴∠EFB=∠HFB=60°．∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∴∠ABD=∠CBD ，∠ACE=∠BCE ，∴∠CBD+∠BCE=60°，∴∠BFE=60°，∴∠CFB=120°，∴∠CFH=60°，∵∠BFE=∠CFD=60°，∴∠CFH=∠CFD=60°，∵CF=CF ，∴△CDF ≌△CHF （ASA ）．∴CD=CH ，∵CH+BH=BC ，∴BE+CD=BC ．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．22．（1）证明见解析；（2）∠DCB=40°．【分析】（1）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得到DM=DN ，DB=DC ，根据HL 证明Rt △DMB ≌Rt △DNC ，即可得出BM=CN ；（2）根据角平分线的性质得到DM=DN ，根据全等三角形的性质得到∠ADM=∠ADN ，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠EDC=50°于是得到结论．【详解】（1）证明：连接BD ，DC ，如图所示：∵AD 是∠CAB 的平分线，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴DM=DN ，∵DE 垂直平分BC ，∴DB=DC ，在Rt △DMB 和Rt △DNC 中，DB DC DM DN =⎧⎨=⎩， ∴Rt △DMB ≌Rt △DNC （HL ），∴BM=CN ；（2）解：由（1）得：∠BDM=∠CDN ，∵AD 是∠CAB 的平分线，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴DM=DN ，在Rt △DMA 和Rt △DNA 中，DA DA DM DN =⎧⎨=⎩∴Rt △DMA ≌Rt △DNA （HL ），∴∠ADM=∠ADN ，∵∠BAC=80°，∴∠MDN=100°，∠ADM=∠ADN=50°，∵∠BDM=∠CDN ，∴∠BDC=∠MDN=100°，∵DE 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC ，∴∠EDC=12∠BDC=50°， ∴∠DCB=90°-∠EDC=40°，∴∠DCB=40°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，熟悉角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 23．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ABC=∠ECD ，则可利用AAS 证明△ABC ≌△ECD ，再由全等三角形的性质可证得结论；（2）根据“等边对等角”可得∠DBC=∠BDC ，结合∠ABC=∠ECD ，可得∠ABD=∠ABC+∠DBC =∠ECD+∠BDC ，再利用三角形的外角性质得∠EBD =∠ECD+∠BDC ，即可证明∠ABD=∠EBD ．【详解】证明：（1）∵AB ∥CD ，∴∠ABC=∠ECD ，在△ABC 和△ECD 中，ABC ECD A EAC ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△ECD （AAS ），∴BC=CD ．（2）证明：如图，∵BC=CD ，∴∠DBC=∠BDC ，∵∠ABC=∠ECD ，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC =∠ECD+∠BDC ，又∵∠EBD =∠ECD+∠BDC ，∴∠ABD=∠EBD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解题的关键．24．（1）所画图形见解析；（2）3，-3 ；-1，-3；0，4 ；（3）11【分析】（1）分别作出各点关于y 轴的对称点，再顺次连接各点即可；（2）根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标即可；（3）作矩形DB EF '，用矩形的面积减去三个三角形的面积，即可得到A B C S'''．【详解】解：（1）如图所示：（2）由图可知，A '(3，-3)，B '(-1，-3)，C '(0，4)；（3）如图，作矩形DB EF '，则DB EF S S S S S ''''''''''=---△A B C △C DB △C FA △A EB 四边形1117417316411222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=， ∴11A B C S '''=△．【点睛】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知关于y 轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． 25．（1）见解析；（2）4AC =；（3）见解析【分析】（1）连接BD 由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD ＝∠DAC ＝12×120°＝60°，再由AD ＝AB ，即可得出结论；（2）由等边三角形三线合一可得，122DG AG AD ===，可得4AD AB AC ===，即可求解；（3）由△ABD 是等边三角形，得出BD ＝AD ，∠ABD ＝∠ADB ＝60°，证出∠BDE ＝∠ADF ，由ASA 证明△BDE ≌△ADF ，得出AF ＝BE ，即可求解．【详解】证明：（1）AB AC =，AD BC ⊥，12BAD DAC BAC ∴∠=∠=∠， 120BAC ∠=︒，1120602BAD DAC ∴∠=∠=⨯︒=︒， =AD AB ，ABD ∴是等边三角形．（2）ABD 是等边三角形，AD AB BD ∴==，AD BC ⊥，122DG AG AD ∴===， 4AD AB AC ∴===，即4AC =；（3）ABD是等三角形，60ABD ADB∴∠=∠=︒，BD AD=，60EDF∠=︒，ADB ADE EDF ADE∴∠-∠=∠-∠，即BDE ADF∠=∠．在BDE和ADF中，60ABD DAC∠=∠=︒，BD AD=，BDE ADF∠=∠，(ASA)BDE ADF∴△≌△，BE AF∴=，AB AE BE=+，AB AE AF∴=+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．26．（1）图见解析，3；（2）ABC与A B C'''关于x轴对称【分析】（1）根据点坐标确定其在坐标系中的位置，顺次连线即可得到ABC，利用割补法求面积；（2）根据点A、B、C纵坐标都乘以1-，得到对应的点A'，B'，C'的坐标，再确定各点位置，即可得到两个三角形的关系．【详解】（1）如图，ABC即为所求，111451245(15)23222ABCS=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=；（2）∵(0,1),(2,0),(4,4)A B C-，∴A'（0，-1），B'（2,0），C'（4,4），∴ABC与A B C'''关于x轴对称．．【点睛】此题考查点坐标的确定，坐标与图形，图形的变换关系，正确根据点的坐标确定其在直角坐标系中的位置是解题的关键．。

新人教版初中数学八年级数学上册第三单元《轴对称》检测题(答案解析)(3)

一、选择题1．如图，在边长为9的等边△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，点E 、F 分别是边AB 、AC 上的两个点，且AE=CF=4cm ，在CD 上有一动点P ，则PE +PF 的最小值是（）A ．4B ．4.5C ．5D ．82．以下尺规作图中，点D 为线段BC 边上一点，一定能得到线段AD BD =的是（） A ． B ．C ．D ．3．如图，在ABC 中，6AB =，8AC =，10BC =，EF 是BC 的垂直平分线，P 是直线EF 上的一动点，则PA PB +的最小值是（）．A ．6B ．8C ．10D ．114．已知点A 是直线l 外的一个点，点B ，C ，D ，E 是直线l 上不重合的四个点，再添加①AB AC =；②AD AE =；③BD CE =中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）．A ．0B ．1C ．2D ．3 5．已知123n A A A A 、、中，1A 与2A 关于x 轴对称，2A 与3A 关于y 轴对称，3A 与4A 关于x 轴对称，4A 与5A 关于y 轴对称……，如果1A 在第二象限，那么100A 在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．如图所示，已知ABC 和DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接AE 、BD 、FG ，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，则下列结论中：①AE BD =； ②AG BF =； ③FG//BE ； ④CF CG =，以上结论正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，且62EBD ∠=，则AEB ∠的度数是（）A ．124B ．122C ．120D ．1188．若a ，b 为等腰ABC 的两边，且满足350a b -+-=，则ABC 的周长为（）A ．11B ．13C ．11或13D ．9或15 9．如图，在ABC 中，AB AC =，108BAC ∠=︒，72ADB ∠=︒，DE 平分ADB ∠，图中等腰三角形的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．610．如图，已知AD 为ABC 的高线，AD BC =，以AB 为底边作等腰Rt ABE △，且点E 在ABC 内部，连接ED ，EC ，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①EBD DAE ∠=∠；②ADE BCE ≌△△；③BD AF =；④BDE ACE S S =△△，其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．平面直角坐标系中，已知()1,1A ，()2,0B ．若在x 轴上取点C ，使ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个12．如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，DH ⊥BC 于H ，交BE 于G ，下列结论：①BD ＝CD ；②AD +CF ＝BD ；③CE ＝12BF ；④AE ＝BG ．其中正确的是（）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②③④二、填空题13．平面直角坐标系xOy 中，先作出点P (2,3)-关于y 轴的对称点，再将该对称点先向下平移1个单位，再向左平移2个单位得到点P 1，称为完成一次图形变换，再将点P 1进行同样的图形变换得到点P 2，以此类推，则点P 2020的坐标为___________．14．如图，在ABC 中，90ACB ︒∠=，30B ，6AC =，P 为BC 边的垂直平分线DE 上一个动点，则ACP △周长的最小值为________．15．如图，点D 、E 是ABC 的边BC 上的点，且AED n ∠=︒，::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，若点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，则n =________．16．若等腰三角形的顶角为30°，腰长为10，则此等腰三角形的面积为_________． 17．如图，已知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，…在射线ON 上，1B ，2B ，3B ，…在射线OM 上，112A B A △，223A B A △，334A B A △，…均为等边三角形；若48OA =，则1n n n A B A +△的边长为______．18．如图，30MON ∠=︒，点1234,,,A A A A ，…在射线ON 上，点123,,B B B ，…在射线OM 上，且112223334,,A B A A B A A B A △△△，…均为等边三角形，以此类推，若11OA =，则202120212022A B A △的边长为_______．19．给出如下三个图案，它们具有的公共特点是：________．（写出1个即可）20．如图，在正方形网格中，分别将①②③④四个网格涂上阴影，能与原阴影部分构成一个轴对称图形的有____________．（填网格序号）三、解答题21．小明遇到这样一个问题：如图①，在ABC 中，12AB =，8AC =，AD 是中线，求AD 的取值范围．她的做法是：过点B 作//BE AC 交AD 的延长线于点E ，证明BED CAD △≌△，经过推理和计算就可以使问题得到解决．按照上面的思路，请回答：（1）小红证明BED CAD △≌△的判定定理是：______；（2）AD 的取值范围是______；方法运用：（3）如图②，AD 是ABC 的中线，在AD 上取一点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ，使AE EF =，求证：BF AC =．22．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为1,ABC 的三个顶点分别为()()4,3,3,()3,1,1A B C -．请在坐标系中标出,,A B C 三点，画出ABC ∆，并画出ABC ∆关于y 轴对称的图形111A B C ∆，写出点111,,A B C 的坐标．23．如图：已知ABC 中AB AC =：（1）尺规作图：过A 点作//AE BC （不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：AE 是ABC 的一个外角角平分线．24．在平面直角坐标系中，点(0,)A a ，点(,0)B b ，点(3,0)C -，且a 、b 满足269||0a a a b -++-=．（1）点A 坐标为______，点B 坐标为______，ABC 是______三角形．（2）如图，过点A 作射线l （射线l 与边BC 有交点），过点B 作BD l ⊥于点D ，过点C 作CE l ⊥于点E ，过点E 作EF DC ⊥于点F 交y 轴于点G ．①求证：BD AE =；②求点G 的坐标．（3）如图，点P 是x 轴正半轴上一动点，APO ∠的角平分线交y 轴于点Q ，点M 为线段OP 上一点，过点M 作//MN PQ 交y 轴于点N ；若45AMN ∠=︒，请探究线段AP 、AN 、PM 三者之间的数量关系，并证明你的结论．25．如图，在ABC ∆中，,AB AC =过点A 作//AD BC 交ABC ∠的平分线BD 于点D ，求证：AC AD =．26．在平面直角坐标系中，△ABC 的位置如图所示，已知点A 、B 的坐标为（-4，3）（3，0）．（1）点C关于x对称的点的坐标（，）；（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′；（3）△ABC的面积为．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】作点E关于AD的对称点G，所以连接FG，与CD的交点即为P点．此时PF+PE=FG最小，通过计算证明△AFG是等边三角形，从而得出结果．【详解】作点E关于AD的对称点G，连接FG与CD的交点即为P点，如图：∴PG=PE，此时PF+PE=PF+ PG有最小值，最小值为FG，∵△ABC是边长为9等边三角形，且CD⊥AB，AE=CF=4，∴AD=BD=1AB=4.5，AF=AC-CF=9-4=5，∠A=60 ，2∴ED=GD= AD- AE =4.5-4=0.5，∴AG=AE+ED+GD=5= AF ，∴△AFG 是等边三角形，∴FG= AF=5，∴PF+PE 的最小值是5，故选：C ．【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路径问题，等边三角形的判定和性质，掌握轴对称－最短路径的确定方法是解题的关键．2．D解析：D【分析】点D 到点A 、点B 的距离相等可知点D 在线段AB 的垂直平分线上，据此可得答案．【详解】解：∵点D 到点A 、点B 的距离AD=BD ，∴点D 在线段AB 的垂直平分线上，故选择：D ．【点睛】本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质与尺规作图． 3．B解析：B【分析】根据题意，设EF 与AC 的交点为点P ，连接BP ，由垂直平分线的性质，则BP=CP ，得到PA PB PA PC AC +=+=，即可得到PA PB +的最小值．【详解】解：根据题意，设EF 与AC 的交点为点P ，连接BP ，如图：∵EF 是BC 的垂直平分线，∴BP=CP ，∴8PA PB PA PC AC +=+==，∴PA PB +的最小值为8；故选：B ．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是正确找出点P 的位置，使得PA PB +有最小值．4．D解析：D【分析】写出所组成的三个命题，然后根据等腰三角形的判断与性质对各命题进行判断．【详解】解：根据题意吧，如图：由等腰三角形的性质和全等三角形的判定定理，易证△ABD≌△ACE；命题1：若AB=AC，AD=AE，则BD=CE，此命题为真命题；命题2：若AB=AC，BD=CE，则AD=AE，此命题为真命题；命题3：若AD=AE，BD=CE，则AB=AC，此命题为真命题．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及命题真假的判断，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的判断命题的真假．5．A解析：A【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，以及循环的规律就可以得到．【详解】解：A1与A2关于x轴对称，A2与A3关于y轴对称，A3与A4关于x轴对称，A4与A5关于y 轴对称，A1与A5是同一个点，四次一循环，100÷4=25，A100与A4重合，即第一象限，故选：A．【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．6．D解析：D【分析】首先根据等边三角形性质得出BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，即可证明△BCD与△ACE全等、△BCF与△ACG全等以及△DFC与△EGC全等，最后利用全等三角形性质以及等边三角形性质证明即可．【详解】∵△ABC与△CDE为等边三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，∠ACD=60°，即：∠ACE=∠BCD，在△BCD与△ACE中，∵BC=AC，∠ACE=∠BCD，CD=CE，∴△BCD≌△ACE(SAS)，∴AE=BD，即①正确；在△BCF与△ACG中，由①可知∠CBF=∠CAG，又∵AC=BC，∠BCF=∠ACG=60°，∴△BCF≌△ACG(ASA)，∴AG=BF，即②正确；在△DFC与△EGC中，∵△BCF≌△ACG，∴CF=CG．即④正确；∵∠GCF =60°，∴△CFG为等边三角形，∴∠CFG=∠FCB=60°，∴FG∥BE，即③正确；综上，①②③④都正确．故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形来解决问题，．7．B解析：B【分析】由等边三角形的性质，得到AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=60°，然后证明△ACE ≌△BCD ，则∠CAE=∠CBD ，由角的关系，求出∠ABE+∠BAE=58°，即可得到答案．【详解】解：如图：∵ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACE+∠BCE=∠BCD+∠BCE=60°，∴∠ACE=∠BCD ，∴△ACE ≌△BCD ，∴∠CAE=∠CBD ，即6062BAE EBC ︒-∠=︒-∠，∵60EBC ABE ∠=︒-∠，∴6062(60)BAE ABE ︒-∠=︒-︒-∠，∴58ABE BAE ∠+∠=︒，∴18058122AEB ∠=︒-︒=︒；故选：B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，以及角的和差关系，解题的关键是掌握所学的知识，正确求出58ABE BAE ∠+∠=︒． 8．C解析：C【分析】根据非负数的意义列出关于a 、b 的方程并求出a 、b 的值，再根据b 是腰长和底边长两种情况讨论求解．【详解】解：根据题意得a-3=0，b-5=0，解得a=3，b=5，（1）若3是腰长，则三角形的三边长为：3、3、5，能组成三角形，周长为：3+3+5=11；（2）若3是底边长，则三角形的三边长为：3、5、5，能组成三角形，周长为3+5+5=13．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形作出判断．9．C解析：C【分析】利用等腰三角形的性质“等边对等角”，求出角的度数，再根据“等角对等边”证明三角形是等腰三角形．【详解】解：∵AB AC =，∴ABC 是等腰三角形，∵108BAC ∠=︒， ∴180108362B C ︒-︒∠=∠==︒， ∵72ADB ∠=︒，∴18072BAD B ADB ∠=︒-∠-∠=︒，∴ADB BAD ∠=∠，∴AB BD =，∴ABD △是等腰三角形，∵1087236DAC BAC BAD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴DAC C ∠=∠，∴AD CD =，∴ACD △是等腰三角形，∵DE 平分ADB ∠， ∴1362ADE BDE ADB ∠=∠=∠=︒， ∴18072AED ADE DAE ∠=︒-∠-∠=︒，∴AED DAE ∠=∠，∴DE DA =，∴ADE 是等腰三角形，∵BDE B ∠=∠， ∴BE DE =， ∴BED 是等腰三角形，一共有5个等腰三角形．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定． 10．D解析：D【分析】由AD 为△ABC 的高线，可得∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，Rt △ABE 是等腰直角三角形，可得90ABE BAD DAE ∠+∠+∠=︒，从而可判断①；由等腰Rt ABE △可得AE BE =，结合AD BC =，∠DAE=∠CBE ，可判断②；由△ADE ≌△BCE ，可得,ADE BCE ∠=∠ 再证明∠BDE=∠AFE ，结合EBD DAE ∠=∠，AE BE =，证明△AEF ≌△BED ，可判断③；由△ADE ≌△BCE ，可得,DE CE = 由△AEF ≌△BED ，,EF DE = 证明,EF CE =从而可判断④．【详解】解：∵AD 为△ABC 的高线，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，∵Rt △ABE 是等腰直角三角形，∴90ABE BAD DAE ∠+∠+∠=︒，∴∠DAE=∠CBE ，即EBD DAE ∠=∠，故①正确；∵Rt △ABE 是以AB 为底等腰直角三角形，∴AE=BE ，在△ADE 和△BCE 中，AE BE DAE CBE AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△BCE （SAS ）；故②正确；△ADE ≌△BCE ，,ADE BCE ∴∠=∠∵∠BDE=∠ADB+∠ADE ，∠AFE=∠ADC+∠ECD ，90ADB ADC ∠=∠=︒，∴∠BDE=∠AFE ，在△AEF 和△BED 中，FAE DBE AFE BDE AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△BED （AAS ），∴AF BD =；故③正确；∵△ADE ≌△BCE ，∴,DE CE =△AEF ≌△BED ，,,AEF BED EF DE S S ∴==,EF CE ∴=∴,AEF ACE SS = ∴ ,BDE ACES S =故④正确；综上：正确的有①②③④．故选：D ．【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的中线与高的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．11．C解析：C【分析】分三种情况：当AB=AC 时，当BA=BC 时，当AC=AB 时，根据等腰三角形两边相等的性质分别作图即可得解．【详解】当AB=AC 时，点C 与点O 重合；当BA=BC 时，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，与x 轴有两个交点；当AC=AB 时，作线段AB 的垂直平分线，与x 轴有一个交点，共有4个点C ，故选：C ．．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，直角坐标系中作等腰三角形的方法，熟记等腰三角形的性质并利用其作图是解题的关键．12．C解析：C【分析】根据∠ABC=45°，CD ⊥AB 可得出BD=CD ，利用ASA 判定Rt △DFB ≌Rt △DAC ，从而得出DF=AD ，BF=AC ．则CD=CF+AD ，即AD+CF=BD ；再利用ASA 判定Rt △BEA ≌Rt △BEC ，得出CE=AE=12AC，又因为BF=AC所以CE=12AC=12BF，连接CG．因为△BCD是等腰直角三角形，即BD=CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG=CG．在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE＜CG．即AE＜BG．【详解】解：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形．∴BD＝CD．故①正确；在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，∴∠DBF＝∠DCA．又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，∴△DFB≌△DAC．∴BF＝AC；DF＝AD．∵CD＝CF+DF，∴AD+CF＝BD；故②正确；在Rt△BEA和Rt△BEC中∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，∴Rt△BEA≌Rt△BEC．∴CE＝AE＝12AC．又由（2），知BF＝AC，∴CE＝12AC＝12BF；故③正确；连接CG．∵△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD又DH⊥BC，∴DH垂直平分BC．∴BG＝CG 在Rt△CEG中，∵CG是斜边，CE是直角边，∴CE＜CG．∵CE＝AE，∴AE＜BG．故④错误．∴正确的选项有①②③；故选：C．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．二、填空题13．【分析】按程序先作y轴对称求出点坐标横坐标-2纵坐标-1完成一次图形变换求出P变换后的坐标找出几次变换后规律奇次变换点的横坐标x=0偶次变换点的横坐标x=-2纵坐标变一次下移一个单位【详解】解：完成--解析：(2,2017)【分析】按程序先作y轴对称，求出点坐标，横坐标-2，纵坐标-1，完成一次图形变换求出P变换后的坐标，找出几次变换后规律奇次变换点的横坐标x=0，偶次变换点的横坐标x=-2，纵坐标变一次下移一个单位．【详解】-关于y轴的对称点（2，3），横坐标2-2=0，纵坐标3-解：完成1次图形变换，点P (2,3)1=2，P1（0，2），完成2次图形变换，点P1(0,2)关于y轴的对称点（0，2），横坐标0-2=-2，纵坐标2-1=1，P2（-2，1），完成3次图形变换，点P2（-2，1）关于y轴的对称点（2，1），横坐标3-3=0，纵坐标1-1=0，P3（0，0），完成4次图形变换，点P3（0，0）关于y轴的对称点（0，0），横坐标0-2=-2，纵坐标0-1=-1，P4（-2，-1），……,完成2020次图形变换，点P2019（0，3-2019）关于y轴的对称点（0，-2016），横坐标0-2=-2，纵坐标-2016-1=-2017，P2020（-2，-2017）．故答案为：（-2，-2017）．【点睛】本题考查图形规律探索问题，掌握图形程序变换的轴对称性质和平移特征，关键是找到变换规律奇次变换点的横坐标x=0，偶次变换点的横坐标x=-2，纵坐标变一次下移一个单位．14．18【分析】因为BC的垂直平分线为DE所以点C和点B关于直线DE对称所以当点动点P 和E 重合时则△ACP 的周长最小值再结合题目的已知条件求出AB 的长即可【详解】解：如图∵P 为BC 边的垂直平分线DE 上一解析：18【分析】因为BC 的垂直平分线为DE ，所以点C 和点B 关于直线DE 对称，所以当点动点P 和E 重合时则△ACP 的周长最小值，再结合题目的已知条件求出AB 的长即可．【详解】解：如图，∵P 为BC 边的垂直平分线DE 上一个动点，∴点C 和点B 关于直线DE 对称，∴当点动点P 和E 重合时则△ACP 的周长最小值，∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=6，∴AB=2AC=12，∵AP+CP=AP+BP=AB=12，∴△ACP 的周长最小值=AC+AB=18，故答案为：18．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线的问题以及垂直平分线的性质，正确确定P 点的位置是解题的关键，确定点P 的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要． 15．80【分析】先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C ∠BEA=∠B 再根据比例关系设根据三角形内角和定理可求得x 再根据三角形外角的性质可得∠AED 【详解】解：∵点D 在边AC 的垂直平分线上点解析：80【分析】先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C ，∠BEA=∠B ，再根据比例关系设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，根据三角形内角和定理可求得x ，再根据三角形外角的性质可得∠AED ．【详解】解：∵点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，∴AD=CD ，AE=BE ，∴∠DAC=∠C ，∠BAE=∠B ，∵::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，∴设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，∴,2C x B x ∠=∠=，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴322180x x x x x ++++=︒，解得20x =︒，∴22480AED BAE B x x x ∠=∠+∠=+==︒，即n=80，故答案为：80．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质．理解线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．16．25【分析】依据含30°角的直角三角形的性质即可得到该等腰三角形腰上的高再根据三角形面积计算公式进行计算即可【详解】解：如图所示AB=AC=10∠A ＝30°过B 作BD ⊥AC 于D ∵∠A ＝30°AB ＝1解析：25【分析】依据含30°角的直角三角形的性质，即可得到该等腰三角形腰上的高，再根据三角形面积计算公式进行计算即可．【详解】解：如图所示，AB=AC=10，∠A ＝30°，过B 作BD ⊥AC 于D ，∵∠A ＝30°，AB ＝10，∴BD ＝12AB ＝5， ∴S △ABC ＝12AC ×BD ＝12×10×5＝25，故答案为：25．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，作出腰上的高并根据30°角求出高是解题关键．17．【分析】根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形得出OA2=A2B2=OA3OA3=A3B3=OA4…再将解得OA3==OA2==OA1=找到规律进而得出答案【详解】解：∵△A1B1A2是等边解析：12n -【分析】根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形得出OA 2=A 2B 2=12OA 3，OA 3=A 3B 3=12OA 4…，再将48OA =解得OA 3=1842⨯==312-，OA 2=1422⨯==212-，OA 1=1112122-⨯==，找到规律，进而得出答案．【详解】解：∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠B 1A 1A 2=∠A 1B 1A 2=60°∵∠MON=30°，∴∠OB 1A 1=30°，∠OB 1A 2=90°∴OA 1=A 1B 1=12OA 2，同理可得OA 2=A 2B 2=12OA 3，OA 3=A 3B 3=12OA 4 ∵48OA =∴OA 3=1842⨯==312-，OA 2=1422⨯==212-，OA 1=1112122-⨯==，以此类推△A n B n A n+1的边长为2n-1．故答案为2n-1．【点睛】本题考查了等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，根据得出的数值找到规律是解题的关键．18．【分析】根据是等边三角形得进而得可得以此类推即可求解【详解】解：∵是等边三角形∴∴∴∴同理：…均为等边三角形…则的边长为故答案是：【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类解决本题的关键是观察图形的变化解析：20202．【分析】根据30MON ∠=︒，11OA =，112A B A △是等边三角形，得11260∠=︒B A A ，进而得1130∠=︒OB A ，1111AO B A ，可得22OA =，以此类推即可求解．【详解】解：∵30MON ∠=︒，11OA =，112A B A △是等边三角形，∴11260∠=︒B A A∴1130∠=︒OB A∴1111AO B A∴22OA =同理：223A B A △，334A B A △，…均为等边三角形，2222B A OA ==，233342B A OA…则202120212022A B A △的边长为20202．故答案是：20202．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律． 19．都是轴对称图形【分析】利用已知图形的特征分别得出其公共特征【详解】解：答案不唯一例如：都是轴对称图形故答案为：都是轴对称图形【点睛】本题考查了轴对称图形解题的关键是正确把握轴对称图形的特征解析：都是轴对称图形【分析】利用已知图形的特征分别得出其公共特征．【详解】解：答案不唯一，例如：都是轴对称图形，故答案为：都是轴对称图形．【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是正确把握轴对称图形的特征．20．②③【分析】根据轴对称图形的概念求解【详解】解：有2个使之成为轴对称图形分别为：②③故答案是：②③【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念正确把握轴对称图形的概念是解题关键解析：②③．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】解：有2个使之成为轴对称图形，分别为：②，③．故答案是：②③．【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念，正确把握轴对称图形的概念是解题关键．三、解答题21．（1）角角边或者角边角（AAS 或ASA ）；（2）210AD <<；（3）见解析【分析】（1）由“ASA”或“AAS”可证△BED ≌△CAD ；（2）由全等三角形的性质可得AC=BE=8，由三角形的三边关系可求解；（3）延长AD 至H ，使AD=DH ，连接BH ，由“SAS”可证△BHD ≌△CAD ，可得AC=BH ，∠CAD=∠H ，由等腰三角形的性质可得∠H=∠BFH ，可得BF=BH=AC ；【详解】解：（1）∵AD 是中线，∴BD=CD ，又∵∠ADC=∠BDE ，∵//BE AC ，∴EBD C ∠=∠，E CAD ∠=∠，∴△BED ≌△CAD （ASA ），或△BED ≌△CAD （AAS ），故答案为：SAS 或AAS ；（2）∵△BED ≌△CAD ，∴AC=BE=8，在△ABE 中，AB-BE ＜AE ＜AB+BE ，∴4＜2AD ＜20，∴2＜AD ＜10，故答案为：2＜AD ＜10；（3）过点B 作//BG AC 交AD 的延长线于点G ，则CAD BGD ∠=∠∵AD 是中线，∴BD CD =在ADC 和GDB △中∵CAD BGD ∠=∠，ADC GDB ∠=∠，BD CD =，∴ADC GDB ≌△△∴BG CA =∵AE EF =∴EAF AFE ∠=∠又∵CAD BGD ∠=∠，AFE BFG ∠=∠∴BGD BFG ∠=∠∴BG BF =，又∵BG CA =，∴BF AC =；【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．22．图见解析；点111,,A B C 的坐标分别为()()–4,3,3,3--，()1,1-【分析】先在平面直角坐标系中画出,,A B C 三点，顺次连接即可；再按照轴对称的性质，画出它们的对称点即可．【详解】解：如图所示，111,ABC A B C ∆∆，即为所求；点111,,A B C 的坐标分别为()()–4,3,3,3--，()1,1-【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中描点和画轴对称图形，关于y 轴对称点的坐标变化规律，解题关键是正确描点和画对称点．23．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）作∠CAE=∠C 即可；（2）延长BA ，根据两直线平行，同位角相等，有∠EAF=∠B ，由（1）可知∠CAE=∠C ，再根据AB=AC ，可得∠B=∠C ，等量替换之后即可得证．【详解】（1）射线AE 为所求；（2）证明：如图所示，延长BA ，∵//AE BC ，∴∠EAF=∠B ，∠CAE=∠C ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∴∠EAF=∠CAE ，∴AE 是ABC 的一个外角角平分线．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和角平分线的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键．24．（1）(0,3)A ，(3,0)B ，等腰直角；（2）①见解析；②点 (0,3)G -；（3）AP AN PM =+，证明见解析．【分析】（1）根据偶次方与绝对值的非负性，解得a b 、的值，即可解得点A 、B 的坐标，继而根据等腰直角三角形的判定方法解题；（2）①由等角的余角相等，解得BAD ACE =∠∠，结合（1）中结论，进而证明AEC BDA ≌△△(AAS)，即可解题；②由AEC BDA ≌△△可证CAE ABD ∠=∠，继而得到GAE CBD ∠=∠，设CF 交y 轴于点H ，根据等角的余角相等，得到HGE OCH ∠=∠，继而证明AGE BCD ≌△△(AAS)解得AG 、OG 的长即可解题；（3）在AP 上截取AH AN =，连接MH ，设NMO α∠=，分别解得45AMO α∠=︒+，=45NAM α∠︒-，由角平分线的性质解得2APO α∠=，45HAM α∠=︒-，进而得到NAM HAM ∠=∠，即可证明AMN AMH ≌(SAS)，继而证明PMH PHM ∠=∠，PH PM =即可解题．【详解】（1）269||0a a a b -++-=2(3)||0a a b ∴-+-=3,3a b a ∴===(0,3)A ∴，(3,0)B ，(3,0)C -,AO OB CO AO ∴==90AOB AOC ∠=∠=︒45ACO ABO ∴∠=∠=︒90CAB ∴∠=︒()AOC AOB SAS ∴≅AC AB ∴=ABC ∴为等腰直角三角形，故答案为：(0,3)A ，(3,0)B ，等腰直角；（2）①BD l ⊥，CE l ⊥90BDA AEC ∴∠=∠=︒90,90BAD CAE CAE ACE ∠+∠=︒∠+∠=︒BAD ACE ∴∠=∠AC AB =AEC BDA ∴≌(AAS)，∴BD AE =．②AEC BDA ≌ CAE ABD ∴∠=∠45CAO ABO ∠=∠=︒GAE CBD ∴∠=∠，设CF 交y 轴于点HEF DC ⊥90CFG ∴∠=︒90FGH FHG ∴∠+∠=︒90COH ∠=︒90OCH CHO ∴∠+∠=︒∴CHO FHG ∠=∠HGE OCH ∴∠=∠又∵AE BD =∴AGE BCD ≌△△(AAS)∴6AG BC ==又∵3AO =，∴3OG =∴点(0,3)G -．（3）AP AN PM =+．证明过程如下：在AP 上截取AH AN =，连接MH ，设NMO α∠=，45AMN ∠=︒45AMO α∴∠=︒+，∴()904545NAM αα∠=︒-︒+=︒-，又∵//MN PQ∴QPO NMO α∠=∠=，∵PQ 平分APO ∠∴2APO α∠=∴45245HAM ααα∠=︒+-=︒-∴NAM HAM ∠=∠又∵AN AH =，AM AM =∴AMN AMH ≌(SAS)∴45AMH AMN ∠=∠=︒∴90PMH α∠=︒-，又∵()454590PHM αα∠=︒+︒-=︒-∴PMH PHM ∠=∠∴PH PM ==+=+．∴AP AH PH AN PM【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、角平分线的性质、平行线的性质、绝对值的非负性、偶次方的非负性等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．25．见解析【分析】由已知可得∠ABD=∠D，从而得到AB=AD，进而得到AC=AD．【详解】证明：∵BD是∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD，又AD//BC，∴∠CBD=∠D，∴∠ABD=∠D，∴AB=AD，∵AB=AC，∴AC=AD．【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质是解题关键．26．（1）-2，-5；（2）见解析；（3）10【分析】（1）根据轴对称的性质解答；（2）根据轴对称的性质作图；（3）利用割补法求解．【详解】（1）根据坐标系知点C坐标为（-2,5），∴点C关于x对称的点的坐标（-2，-5），故答案为：-2，-5；（2）如图，△A′B′C′即为所求；（3）1117537225510222ABCS=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故答案为：10．【点睛】此题考查关于坐标轴对称的性质：关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．。

苏科版数学八年级上第二单元《轴对称图形》单元考试(含答案解析)

苏科版数学八年级上第二单元《轴对称图形》单元考试一．选择题（共8小题）1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝106°，则∠C的度数（）A．40°B．37°C．36D．32°3．如图，已知四边形ABCD中，∠B＝98°，∠D＝62°，点E、F分别在边BC、CD上．将△CEF沿EF翻折得到△GEF，若GE∥AB，GF∥AD，则∠C的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．110°4．如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（）A．10B．6C．3D．25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，BD＝8cm，那么点D到直线AB的距离是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．10cm6．如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（）A．12B．13C．14D．157．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝38°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数为（）A．33°B．38°C．43°D．48°8．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（）A．8B．7C．6D．5二．填空题（共9小题）9．在等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆这7种图形中，一定是轴对称图形的共有种．10．如图，将△ABC折叠，使点A与BC边中点D重合，折痕为MN，若AB＝9，BC＝6，则△DNB的周长为．题号一二三四五总分第分11．如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论中：①EF ＝AB；②∠BAF＝∠CAF；③S四边形ADFE＝AF×DE；④∠BDF+∠FEC＝2∠BAC，正确的是（填序号）12．如图，在4×4的正方形网格中，有5个小正方形已被涂黑（图中阴影部分），若在其余网格中再涂黑一个小正方形，使它与5个已被涂黑的小正方形组成的新图形是一个轴对称图形，则可涂黑的小正方形共有个．13．已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝．14．如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8，若S△ABC＝21，则DE＝．15．如图，点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，垂足为C，点F在OA上，若∠AFE＝30°，EC＝3，则EF＝．16．若等腰三角形的一边是6，另一边是3，则此等腰三角形的周长是．17．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，DE垂直平分AC交AB于E，则∠BCE＝三．解答题（共10小题）18．已知如下图，求作△ABC关于对称轴l的轴对称图形△A′B′C′．19．如图，在相同小正方形组成的网格纸上，有三个黑色方块，请你用三种不同的方法分别在图①、图②、图③上再选一个小正方形方块涂黑，使得四个黑色方块组成轴对称图形．20．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，作AB 边的垂直平分线交直线BC 于M ，交AB 于点N．（1）如图（1），若∠A ＝40°，则∠NMB ＝度；（2）如图（2），若∠A ＝70°，则∠NMB ＝度；（3）如图（3），若∠A ＝120，则∠NMB ＝度；（4）由（1）（2）（3）问，你能发现∠NMB 与∠A 有什么关系？写出猜想，并证明．21．如图所示，在△ABC 中，AD 是∠BAC 平分线，AD 的垂直平分线分别交AB 、AC 延长线于点F 、E ．求证：DF ∥AC ．证明：∵AD 平分∠BAC ∴∠＝∠（角平分线的定义）∵EF 垂直平分AD ∴＝（线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等）∴∠BAD ＝∠ADF （）∴∠DAC ＝∠ADF （等量代换）∴DF ∥AC （）22．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，CE 平分∠DCB 交AB 于点E ．（1）求证：∠AEC ＝∠ACE ；（2）若∠AEC ＝2∠B ，AD ＝2，求AB的长．23．在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，CE 是AB 边上的中线，且∠B ＝2∠BCE ，求证：DC ＝BE．24．等腰△ABC 中，AB ＝AC ，CE 为△ABC 的外角∠ACD 的平分线，∠ACB ＝2∠D ，BF ⊥AD ．（1）求证：BF ∥CE ；（2）若∠BAC ＝40°，求∠ABF的度数．25．已知：如图，∠XOY＝90°，点A、B分别在射线OX、OY上移动（不与点O重合），BE是∠ABY 的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C．（1）当∠OAB＝40°时，∠ACB＝度；（2）随点A、B的移动，试问∠ACB的大小是否变化？如果保持不变，请给出证明；如果发生变化，请求出变化范围．26．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC、BC于点M、N，连接AE，AN．（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度数；（2）如图2，若∠BAC＝70°，求∠EAN的度数；（3）若∠BAC＝α（α≠90°），请直接写出∠EAN的度数．（用含α的代数式表示）27．已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β，（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，则α＝°；β＝°．（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由．（3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可），说明理由；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【分析】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可．【解答】解：A 、是轴对称图形，不合题意；B 、不是轴对称图形，符合题意；C 、是轴对称图形，不合题意；D 、是轴对称图形，不合题意；故选：B ．【点评】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合．2．【分析】连接AO 、BO ．由题意EA ＝EB ＝EO ，推出∠AOB ＝90°，∠OAB +∠OBA ＝90°，由DO ＝DA ，FO ＝FB ，推出∠DAO ＝∠DOA ，∠FOB ＝∠FBO ，推出∠CDO ＝2∠DAO ，∠CFO ＝2∠FBO ，由∠CDO +∠CFO ＝106°，推出2∠DAO +2∠FBO ＝106°，推出∠DAO +∠FBO ＝53°，由此即可解决问题．【解答】解：如图，连接AO 、BO ．由题意EA ＝EB ＝EO ，∴∠AOB ＝90°，∠OAB +∠OBA ＝90°，∵DO ＝DA ，FO ＝FB ，∴∠DAO ＝∠DOA ，∠FOB ＝∠FBO ，∴∠CDO ＝2∠DAO ，∠CFO ＝2∠FBO ，∵∠CDO +∠CFO ＝106°，∴2∠DAO +2∠FBO ＝106°，∴∠DAO +∠FBO ＝53°，∴∠CAB +∠CBA ＝∠DAO +∠OAB +∠OBA +∠FBO ＝143°，∴∠C ＝180°﹣（∠CAB +∠CBA ）＝180°﹣143°＝37°，故选：B．【点评】本题考查三角形内角和定理、直角三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，学会把条件转化的思想．3．【分析】依据平行线的性质，即可得到∠CEG ＝∠B ＝98°，∠CFG ＝∠D ＝62°，再根据四边形内角和进行计算即可．【解答】解：∵GE ∥AB ，GF ∥AD ，∴∠CEG ＝∠B ＝98°，∠CFG ＝∠D ＝62°，由折叠可得，∠C ＝∠G ，∴四边形CEGF 中，∠C ＝（360°﹣98°﹣62°）＝100°，故选：C ．【点评】本题主要考查了折叠问题以及平行线的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．4．【分析】由等边三角形有三条对称轴可得答案．【解答】解：如图所示，n 的最小值为3，故选：C ．【点评】本题主要考查利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性质．5．【分析】先求出CD 的长，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得DE ＝CD ，从而得解．【解答】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵BC ＝12cm ，BD ＝8cm ，∴CD ＝BC ﹣BD ＝12﹣8＝4cm ，∵∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，∴DE ＝CD ＝4cm ，即点D 到直线AB 的距离是4cm ．故选：B ．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．6．【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AE ＝BE ，进而得出答案．【解答】解：∵DE 是△ABC 的边AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ，∵AC ＝8，BC ＝5，∴△BEC 的周长是：BE +EC +BC ＝AE +EC +BC ＝AC +BC ＝13．故选：B ．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．7．【分析】根据等腰三角形两底角相等，求出∠ABC 的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD ＝BD ，根据等边对等角的性质，可得∠ABD ＝∠A ，然后求∠DBC 的度数即可．【解答】解：∵AB ＝AC ，∠A ＝38°，∴∠ABC ＝（180°﹣∠A ）＝（180°﹣38°）＝71°，∵MN 垂直平分线AB ，∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝38°，∴∠DBC ＝∠ABC ﹣∠ABD ＝71°﹣38°＝33°．故选：A ．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质是解题的关键．8．【分析】首先由角平分线的性质可知DF ＝DE ＝4，然后由S △ABC ＝S △ABD +S △ACD 及三角形的面积公式得出结果．【解答】解：∵AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ，∴DF ＝DE ＝4．又∵S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ，AB ＝8，∴28＝×8×4+×AC ×4，∴AC ＝6．故选：C ．【点评】本题主要考查了角平分线的性质；利用三角形的面积求线段的大小是一种很好的方法，要注意掌握应用．二．填空题（共9小题）9．【分析】直接利用轴对称图形的定义分析得出答案．【解答】解：等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆这7种图形中，一定是轴对称图形的共有等腰三角形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆6种．故答案为：6．【点评】此题主要考查了轴对称图形的定义，正确把握定义是解题关键．10．【分析】由D 为BC 中点知BD ＝3，再由折叠性质得ND ＝NA ，从而根据△DNB 的周长＝ND +NB +BD ＝NA +NB +BD ＝AB +BD 可得答案．【解答】解：∵D 为BC 的中点，且BC ＝6，∴BD ＝BC ＝3，由折叠性质知NA ＝ND ，则△DNB 的周长＝ND +NB +BD ＝NA +NB +BD ＝AB +BD ＝3+9＝12，故答案为：12．【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．11．【分析】根据翻折变换的性质可得AE ＝EF ，AF ⊥DE ，∠ADE ＝∠EDF ，∠AED ＝∠DEF ，根据平行线的性质和等腰三角形三线合一的性质判断只有AB ＝AC 时①②正确；根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半可得S 四边形ADFE ＝AF •DE ，判断出③正确；根据翻折的性质和平角的定义表示出∠ADE 和∠AED ，然后利用三角形的内角和定理列式整理即可得到∠BDF +∠FEC ＝2∠BAC ，判断出④正确．【解答】解：∵△ABC 沿DE 折叠点A 与BC 边的中点F 重合，∴AE ＝EF ，AF ⊥DE ，∠ADE ＝∠EDF ，∠AED ＝∠DEF ，只有AB ＝AC 时，∠BAF ＝∠CAF ＝∠AFE ，EF ∥AB ，故①②错误；∵AF ⊥DE ，∴S 四边形ADFE ＝AF •DE ，故③正确；由翻折的性质得，∠ADE ＝（180°﹣∠BDF），∠AED ＝（180°﹣∠FEC），在△ADE中，∠ADE+∠AED+∠BAC＝180°，∴（180°﹣∠BDF）+（180°﹣∠FEC）+∠BAC＝180°，整理得，∠BDF+∠FEC＝2∠BAC，故④正确．综上所述，正确的是③④共2个．故答案为：③④．【点评】本题考查了翻折变换的性质，主要利用了平行线判定，等腰三角形三线合一的性质，三角形的内角和定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键．12．【分析】根据轴对称图形的定义求解可得．【解答】解：如图所示，共有4种涂黑的方法，故答案为：4．【点评】本题主要考查的是利用轴对称的性质设计图案，掌握轴对称图形的性质是解题的关键．13．【分析】过点D作DM⊥OB，垂足为M，则DM＝DE＝2，在Rt△OEF中，利用三角形内角和定理可求出∠DFM＝30°，在Rt△DMF中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF的长，此题得解．【解答】解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示．∵OC是∠AOB的平分线，∴DM＝DE＝2．在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，∠EOF＝60°，∴∠OFE＝30°，即∠DFM＝30°．在Rt△DMF中，∠DMF＝90°，∠DFM＝30°，∴DF＝2DM＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出DF的长是解题的关键．14．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝DF，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∵AB＝6，BC＝8，∴S△ABC＝AB•DE +BC•DF ＝×6DE +×8DE＝21，即3DE+4DE＝21，解得DE＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的面积，是基础题，熟记性质是解题的关键．15．【分析】作EG⊥AO于点G，根据角平分线的性质求得EG的长，然后利用直角三角形中30°的直角边等于斜边的一半求解即可．【解答】解：如图，作EG⊥AO于点G，∵点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，EC＝3，∴EG＝EC＝3，∵∠AFE＝30°，∴EF＝2EG＝2×3＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是根据角平分线的性质求得EG的长，难度不大．16．【分析】根据等腰三角形的两腰相等，分①6是腰长，②3是腰长，两种情况讨论求解即可．【解答】解：①6是腰长，能够组成三角形，周长＝6+6+3＝15，②3是腰长，∵3+3＝6，∴3、3、6不能组成三角形，∴三角形的周长为15．故答案为：15．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，注意要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形，然后再求解．17．【分析】根据△ABC中DE垂直平分AC，可求出AE＝CE，再根据等腰三角形的性质求出∠ACE＝∠A＝40°，再由∠A＝40°，AB＝AC，根据三角形内角和定理可求∠ACB的度数，即可解答．【解答】解：∵DE垂直平分AC，∠A＝40°，∴AE＝CE，∴∠ACE＝∠A＝40°，∵∠A＝40°，AB＝AC，∴∠ACB＝70°，∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝70°﹣40°＝30°．故∠BCE的度数是30°．故答案为：30°．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，熟记性质是解题的关键．三．解答题（共10小题）18．【分析】分别作出点B与点C关于直线l的对称点，然后连接AB′，AC′，B′C′．即可得到△ABC关于对称轴l的轴对称图形△A′B′C′．【解答】解：【点评】作一个图形的对称图形就是作各个顶点关于对称轴的对称点，把作对称图形的问题可以转化为作点的对称点的问题．19．【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．【解答】解：如图所示：．【点评】此题主要考查了轴对称变换，正确把握定义是解题关键．20．【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出∠B，再利用三角形内角和定理解决问题即可．（2）（3）（4）方法类似．【解答】解：（1）如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB ＝（180°﹣40°）＝70°，∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°，∴∠NMB＝20°，故答案为20．（2）如图2中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB ＝（180°﹣70°）＝55°，∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°，∴∠NMB＝35°，故答案为35．（3）如图3中，如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB ＝（180°﹣120°）＝30°，∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°，∴∠NMB＝60°，故答案为60．（3）结论：∠NMB＝∠A．理由：如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB ＝（180°﹣∠A）∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°，∴∠NMB＝90°﹣（90°﹣∠A）＝∠A．【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．【分析】根据角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等边对等角解决问题即可．【解答】证明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠DAC（角平分线的定义）∵EF垂直平分AD∴FD＝FA（线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等）∴∠BAD＝∠ADF（等边对等角）∴∠DAC＝∠ADF（等量代换）∴DF∥AC（内错角相等两直线平行）．故答案为：BAD，DAC，FD，FA，等边对等角，内错角相等两直线平行．【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．【分析】（1）依据∠ACB＝90°，CD⊥AB，即可得到∠ACD＝∠B，再根据CE平分∠BCD，可得∠BCE＝∠DCE，进而得出∠AEC＝∠ACE；（2）依据∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，∠ACB＝90°，即可得到∠ACD＝30°，进而得出Rt△ACD中，AC＝2AD ＝4，Rt△ABC中，AB＝2AC＝8．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，即∠AEC＝∠ACE；（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，∴∠B＝∠BCE，又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝4，∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝8．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解题时注意：三角形内角和是180°．23．【分析】连接DE．想办法证明∠BCE＝∠DEC即可解决问题．【解答】证明：连接DE．∵AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，∴∠ADB＝90°，AE＝BE，∴BE＝AE＝DE，∴∠EBD＝∠BDE，∵∠B＝2∠BCE，∴∠BDE＝2∠BCE，∵∠BDE＝∠BCE+∠DEC，∴∠BCE＝∠DEC，∴BE＝DC．【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．【分析】（1）根据三角形外角的性质可得∠DAC＝∠D，可得CA＝CD，再根据等腰三角形的性质和平行线的判定即可求解；（2）根据等腰三角形的性质可求∠ACB，再根据三角形外角的性质可得∠CAD，再根据三角形内角和为180°即可求解．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝2∠D，∴∠DAC＝∠D，∴CA＝CD，∵CE为△ABC的外角∠ACD的平分线，∴CE⊥AD，∵BF⊥AD，∴BF∥CE；（2）解：∵∠BAC＝40°，∴∠ACB＝70°，∴∠DAC＝35°，∴∠ABF＝180°﹣90°﹣（40°+35°）＝15°．【点评】考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形外角的性质，关键是得到CA＝CD．25．【分析】（1）先利用角平分线得出∠CAB ＝∠OAB，∠EBA ＝∠YBA，再利用三角形的外角的性质即可得出结论；（2）先利用角平分线得出∠CAB ＝∠OAB，∠EBA ＝∠YBA，再利用三角形的外角的性质即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠XOY＝90°，∠OAB＝40°，∴∠ABY＝130°，∵AC平分∠OAB，BE平分∠YBA，∴∠CAB＝∠OAB＝20°，∠EBA ＝∠YBA＝65°，∵∠EBA＝∠C+∠CAB，∴∠C＝∠EBA﹣∠CAB＝45°，故答案为：45；（2）∠ACB的大小不变化．理由：∵AC平分∠OAB，BE平分∠YBA，∴∠CAB＝∠OAB，∠EBA ＝∠YBA，∵∠EBA＝∠C+∠CAB，∴∠C＝∠EBA﹣∠CAB ＝∠YBA ﹣∠OAB＝（∠YBA﹣∠OAB），∵∠YBA﹣∠OAB＝90°，∴∠C ＝×90°＝45°，即：∠ACB的大小不发生变化．【点评】此题主要考查了角平分线定理，三角形的外角的性质，解本题的关键是得出∠YBA﹣∠OAB＝90°．26．【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE＝BE，再根据等边对等角可得∠BAE ＝∠B，同理可得，∠CAN＝∠C，然后利用三角形的内角和定理求出∠B+∠C，再根据∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）代入数据进行计算即可得解；（2）同（1）的思路，最后根据∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC代入数据进行计算即可得解；（3）根据前两问的求解方法，分0°＜α＜90°与180°＞α＞90°两种情况解答．【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B，同理可得：∠CAN＝∠C，∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN，＝∠BAC﹣（∠B+∠C），在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）＝100°﹣80°＝20°；（2）∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B，同理可得：∠CAN＝∠C，∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC，＝（∠B+∠C）﹣∠BAC，在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝110°，∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC＝110°﹣70°＝40°；（3）当0°＜α＜90°时，∠EAN＝180°﹣2α；当180°＞α＞90°时，∠EAN＝2α﹣180°．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键．27．【分析】（1）先利用等腰三角形的性质求出∠DAE，进而求出∠BAD，即可得出结论；（2）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论；（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，同（1）的方法即可得出结论；②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，同（1）的方法即可得出结论．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝60°，∵AD＝AE，∠ADE＝70°，∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°，∴α＝∠BAD＝60°﹣40°＝20°，∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝60°+20°＝80°，∴β＝∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，故答案为：20，10；（2）设∠ABC＝x，∠AED＝y，∴∠ACB＝x，∠AED＝y，在△DEC中，y＝β+x，在△ABD中，α+x＝y+β＝β+x+β，∴α＝2β；（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，如图1设∠ABC＝x，∠ADE＝y，∴∠ACB＝x，∠ACE＝y，在△ABD中，x+α＝β﹣y，在△DEC中，x+y+β＝180°，∴α＝2β﹣180°，②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，如图2，同①的方法可得α＝180°﹣2β．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解本题的关键是利用三角形的内角和定理得出等式．第13页（共13页）。

新人教版八年级数学上册《第13章+轴对称》(含答案)

新人教版八年级数学上册《第13章轴对称》一、选择题（每题5分，共35分）1．（5分）下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（5分）点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）3．（5分）若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为（）A．11cm B．7.5cm C．11cm或7.5cm D．以上都不对4．（5分）如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为（）厘米．A．16 B．18 C．26 D．285．（5分）如图所示，l是四边形ABCD的对称轴，AD∥BC，现给出下列结论：①AB∥CD；②AB=BC；③AB⊥BC；④AO=OC．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（5分）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中正确的有（）A．①②③B．①②③④C．①②D．①7．（5分）如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（）A．∠ACD=∠B B．CH=CE=EF C．AC=AF D．CH=HD二、填空题（每小题5分，共35分）8．（5分）等腰三角形的一内角等于50°，则其它两个内角各为．9．（5分）在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB+BC=12cm，AB=．10．（5分）如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是．11．（5分）已知P1点关于x轴的对称点P2（3﹣2a，2a﹣5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则P1点的坐标是．12．（5分）等腰三角形的腰长与底边的比为4：3，一边长为24，三角形的周长为．13．（5分）已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于．14．（5分）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（a，b），则经过第2013次变换后所得的A点坐标是．三、解答题（共50分）15．（6分）如图所示，∠ABC内有一点P，在BA、BC边上各取一点P1、P2，使△PP1P2的周长最小．16．（6分）已知A（a+b，1），B（﹣2，2a﹣b），若点A，B关于x轴对称，求a，b的值．17．（7分）如图：在△ABC中，∠B=90°，AB=BD，AD=CD，求∠CAD的度数．18．（7分）如图，四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC⊥BD．19．（8分）已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF是CD的垂直平分线，求证：∠B=∠E．20．（8分）如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．求证：BE=BD．21．（10分）已知如图1：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F．①图中有几个等腰三角形？请说明EF与BE、CF间有怎样的关系．②若AB≠AC，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们．另第①问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？③若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如图3，这时图中还有哪几个等腰三角形？EF与BE、CF间的关系如何？为什么？新人教版八年级数学上册《第13章轴对称》参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共35分）1．A；2．C；3．C；4．B；5．C；6．A；7．D；二、填空题（每小题5分，共35分）8．50°，80°或65°，65°；9．8cm；10．9：30；11．（﹣1，1）；12．66或88；13．8；14．（a，﹣b）；三、解答题（共50分）15．（6分）如图所示，∠ABC内有一点P，在BA、BC边上各取一点P1、P2，使△PP1P2的周长最小．【解答】解：如图，以BC为对称轴作P的对称点M，以BA为对称轴作出P的对称点N，连MN交BA、BC于点P1、P2∴△PP1P2为所求作三角形．16．（6分）已知A（a+b，1），B（﹣2，2a﹣b），若点A，B关于x轴对称，求a，b的值．【解答】证明：∵A（a+b，1），B（﹣2，2a﹣b）关于x轴对称，∴，①+②得，3a=﹣3，解得a=﹣1，将a=﹣1代入①得，﹣1+b=﹣2，解得b=﹣1，所以，方程组的解是．17．（7分）如图：在△ABC中，∠B=90°，AB=BD，AD=CD，求∠CAD的度数．【解答】解：∵△ABC中，∠B=90°，AB=BD，AD=CD∴∠BAD=∠ADB=45°，∠DCA=∠CAD∴∠BDA=2∠CAD=45°∴∠CAD=22.5°18．（7分）如图，四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC⊥BD．【解答】证明：在△ABC和△ADC中∴△ABC≌△ADC（ASA）∴AB=AD∵AB=AD，∠1=∠2由等腰三角形的三线合一定理可知：AC⊥BD19．（8分）已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF是CD的垂直平分线，求证：∠B=∠E．【解答】证明：连接AC，AD，∵AF是CD的垂直平分线，∴AC=AD．又AB=AE，BC=ED，∴△ABC≌△AED（SSS）．∴∠B=∠E．20．（8分）如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．求证：BE=BD．【解答】证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，AD为BC边上的中线，∴AE=AD，AD为∠BAC的角平分线，即∠CAD=∠BAD=30°，∴∠BAE=∠BAD=30°，在△ABE和△ABD中，，∴△ABE≌△ABD（SAS），∴BE=BD．21．（10分）已知如图1：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F．①图中有几个等腰三角形？请说明EF与BE、CF间有怎样的关系．②若AB≠AC，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们．另第①问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？③若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如图3，这时图中还有哪几个等腰三角形？EF与BE、CF间的关系如何？为什么？【解答】解：（1）有5个等腰三角形，EF与BE、CF间有怎样的关系是：EF=BE+CF=2BE=2CF．理由如下：∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，又∠B、∠C的平分线交于O点，∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，∴∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC，∴OE=BE，OF=CF，∴EF=OE+OF=BE+CF．又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠EOB=∠OBE=∠FCO=∠FOC，∴EF=BE+CF=2BE=2CF；（2）有2个等腰三角形分别是：等腰△OBE和等腰△OCF；第一问中的EF与BE，CF的关系是：EF=BE+CF．（3）有，还是有2个等腰三角形，△EBO，△OCF，EF=BE﹣CF，理由如下：∵EO∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠OCG（G是BC延长线上的一点）又∵OB，OC分别是∠ABC与∠ACG的角平分线∴∠EBO=∠OBC，∠ACO=∠OCD，∴∠EOB=∠EBO，∴BE=OE，∠FCO=∠FOC，∴CF=FO，又∵EO=EF+FO，∴EF=BE﹣CF．第11页（共11页）。

北京外国语大学附属外国语学校八年级数学上册第三单元《轴对称》测试(含答案解析)

一、选择题1．如图，AD 是ABC ∆的中线，E 是AD 上一点，BE 交AC 于F ，若,9,6BE AC BF CF ===，则AF 的长度为（）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.52．已知锐角AOB ∠，如图（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作弧MN ，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点,C D 为圆心，CD 长为半径作弧，两弧交于点P ，连接,CP DP ；（3）作射线OP 交CD 于点Q ．根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：①//CP OB ；②2CP QC =；③AOP BOP ∠=∠；④CD OP ⊥．其中正确的有（）A ．①②③④B ．②③④C ．③④D ．③ 3．若a ，b 是等腰ABC 的两边长，且满足()2370a b -+-=，此三角形的周长是（）A ．13B ．13或17C ．17D ．204．下列命题中，假命题是（）A ．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等B ．等腰三角形顶角平分线把它分成两个全等的三角形C ．相等的两个角是对顶角D ．有一个角是60的等腰三角形是等边三角形5．如图，在ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，AD AE =，若40BAD ∠=︒，则CDE ∠的度数为（）A ．10︒B ．20︒C ．30D ．40︒6．如图，已知点D 为ABC 内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若6AC =，4BC =，则BD 的长为（）A ．2B ．1.5C ．1D ．2.57．如图，在ABC 中，90C =∠，30B ∠=，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则:DAC ABC S S 等于（）A ．1:2B ．2:3C ．1:3D ．1:38．如图，∠MON =30°，点A 1、A 2、A 3…在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a 1，第2个等边三角形的边长记为a 2，以此类推．若OA 1=1，则a 2019=（）A ．22017B ．22018C ．22019D ．220209．已知一个等腰三角形ABC 的两边长为5，7，另一个等腰三角形ABC 的两边为23x -，35x -，若两个三角形全等，则x 的值为（）A ．5B ．4C ．4或5D ．10310．如图，在ABC ∆中，5AC =，线段AB 的垂直平分线交AC 于点,D BCD ∆的周长是9，则BC 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．611．如图所示，在△ABC 中，内角∠BAC 与外角∠CBE 的平分线相交于点P ，BE ＝BC ，PB 与CE 交于点H ，PG ∥AD 交BC 于F ，交AB 于G ，连接CP ．下列结论：①∠ACB ＝2∠APB ；②BP 垂直平分CE ；③PG ＝AG ；④CP 平分∠DCB ；其中，其中说法正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图，在等腰ABC 中，118ABC ︒∠=，AB 垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，BC 的垂直平分线PQ 交BC 于点P ，交AC 于点Q ，连接BE ，BQ ，则EBQ ∠=（）A ．65︒B ．60︒C ．56︒D ．50︒二、填空题13．如图，已知∠AOB =30°，点P 在射线OA 上，OP =16，点E 、点F 在射线OB 上，PE=PF ，EF =6．若点D 是射线OB 上一动点，当∠PDE =45°时，DF 的长为___________．14．如图，已知60AOB ︒∠=，点P 在边OA 上， 10OP =，点,M N 在边OB 上， PM PN =，若3,MN =则OM 的长是__________．15．给出如下三个图案，它们具有的公共特点是：________．（写出1个即可）16．如图，在△ACB 中，∠ACB ＝∠90°，AB 的垂直平分线DE 交AB 于E ，交AC 于D ，∠DBC ＝30°，DC ＝4cm ，则D 到AB 的距离为________cm ．17．如图，在等边△ABC 中，AC ＝9，点O 在AC 上，且AO ＝3，点P 是AB 上一动点，连接OP ，以O 为圆心，OP 长为半径画弧交BC 于点D ，连接PD ，如果PO ＝PD ，那么AP 的长是________．18．如图，点D 是ABC ∠内一点，点E 在射线BA 上，且15DBE BDE ∠=∠=︒，//DE BC ，过点D 作DF BC ⊥，垂足为点F ，若BE a =，则DF =___________（用含a 的式子表示）．19．右图是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为1，点,A B 均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点C 也在此44⨯的正方形网格的格点上，且ABC ∆是等腰三角形，请写出一个满足条件的点C 的坐标_______；满足条件的点C 一共有_______个．20．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC=36°，AD 、CE 是△ABC 的两条角平分线，BD=5，P 是AD 上的一个动点，则线段BP ＋EP 最小值的是____________．三、解答题21．如图，点E 在ABC 的边AB 上，90ABC EAD ∠=∠=︒，30BAC ADE ∠=∠=︒，DE 的延长线交AC 于点G ，交BC 延长线于点F ．AB=AD ，BH ⊥DF ，垂足为H ．（1）求HAE ∠的度数；（2）求证：DHFB FH =+． 22．如图，已知∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB ＝CD ，BE＝CF ．求证：（1）Rt △ABF ≌Rt △DCE ；（2）OE ＝OF ．23．如图，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AE AC =，AF CB ⊥，垂足为F ．（1）求证：ABC ADE △≌△；（2）求FAE ∠的度数．24．如图：已知ABC 中AB AC =：（1）尺规作图：过A 点作//AE BC （不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：AE 是ABC 的一个外角角平分线．25．在如图所示的方格纸中，（1）作出ABC 关于MN 对称的111A B C △；（2）222A B C △是由111A B C △经过怎样的平移得到的？并求出111A B C △在平移过程中所扫过的面积．26．如图，在ABC 中，45B ︒∠=，60C ︒∠=，点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连结EF ，沿EF 将AEF 折叠得到PEF ．（1）如图1，当点P 落在BC 上时，求AEP ∠的度数．（2）如图2，当PF AC ⊥时，求BEP ∠的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】延长AD 到G 使得DG AD =，连接BG ，证明()△△ACD GBD SAS ≅，根据全等三角形的性质可得到CAD G ∠=∠，AC=BD ，等量代换得到BE=BG ，再由等腰三角形的性质得到G BEG ∠=∠，推出EF=AF ，即可解决问题；【详解】如图，延长AD 到G 使得DG AD =，连接BG ，∵AD 是△ABC 的中线，∴CD=BD ，在△ACD 与△GBD 中，CD BD ADC BDG AD DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△ACD GBDSAS ≅， ∴CAD G ∠=∠，AC=BD ，∵BE=AC ，∴BE=BG ，∴G BEG ∠=∠，∵BEG AEF ∠=∠，∴AEF EAF ∠=∠，∴EF=AF ，∴AF CF BF AF +=-，即69AF AF +=-， ∴32AF =；故选：B ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合等腰三角形的性质求解是解题的关键． 2．B解析：B【分析】由作图易判断射线OP 为AOB ∠的角平分线，又为CD 的垂直平分线，CDP 为等边三角形，由它们的性质逐项判断即可．【详解】由作图（1）（2）可知OC=OD ，CP=DP ，∴射线OP 为AOB ∠的角平分线，又为CD 的垂直平分线．∴即=AOP BOP ∠∠，CD OP ⊥，故③④正确；由作图（2）可知CP=CD=DP ，即CDP 为等边三角形，又∵CD OP ⊥，∴CP=2CQ ，故②正确；若//CP OB ，则=CPO BOP ∠∠，又∵=AOP BOP ∠∠，∴=CPO AOP ∠∠，∴OC=PC ，故只有当OC=PC 时，//CP OB ，故①错误．综上，正确的有②③④．故选：B ．【点睛】本题考查角平分线的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质．理解作图步骤隐藏的已知信息是解答本题的关键．3．C解析：C【分析】根据绝对值非负性的性质以及平方的非负性可知a 和b 的值，然后根据等腰三角形的性质分情况计算即可；【详解】∵ ()2370a b -+-=， ∴ a=3，b=7，若腰为3时，3+3＜7，三角形不成立；若腰为7时，则周长为7+7+3=17，故选：C ．【点睛】本题考查了非负性的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键；． 4．C解析：C【分析】利用全等三角形的判定和等腰三角形的性质判断A 、B ，根据对顶角的定义判断C ，根据等边三角形的判定判断D ．【详解】解：A ．两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项是真命题；B ．已知等腰三角形的两腰相等，且顶角的平分线即为底边上的高，则可根据为HL 可以得出两个三角形全等，故本选项是真命题；C 、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题；D 、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，正确，是真命题；故选C ．【点睛】本题考查了命题和定理，解题的关键是明确题意，可以判断题目中的命题的真假，对于假命题能举出反例或者说明理由．5．B解析：B【分析】根据AB AC =，D 为BC 的中点，∠CAD=40BAD ∠=︒，∠C=50︒，由AD AE =，得到∠AED =70︒，再根据∠AED=∠C+∠CDE 求得答案．【详解】∵AB AC =，D 为BC 的中点，∴∠CAD=40BAD ∠=︒，∠BAC=802BAD ∠=︒，∴∠B=∠C=50︒，∵AD AE =，∴∠AED=∠ADE=70︒，∵∠AED=∠C+∠CDE ，∴CDE ∠=20︒，故选：B ．【点睛】此题考查等腰三角形的性质：等边对等角求角的度数以及三线合一，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟记并熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键．6．C解析：C【分析】延长BD 与AC 交于点E ，由题意可推出BE=AE ，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE ，可推出BC=CE ，AE=BE=2BD ，根据AC=6，BC=4，即可推出BD 的长度．【详解】解：延长BD 与AC 交于点E ，∵∠A=∠ABD ，∴BE=AE ，∵BD ⊥CD ，∴BE ⊥CD ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD=∠ECD ，∴∠EBC=∠BEC ，∴△BEC 为等腰三角形，∴BC=CE ，∵BE ⊥CD ，∴2BD=BE ，∵AC=6，BC=4，∴CE=4，∴AE=AC-EC=6-4=2，∴BE=2，∴BD=1．故选：C ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．7．D解析：D【分析】先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD=12AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：由作图过程可知：AP平分∠BAC，∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∴∠1=∠2=∠B=30°，∴CD=12AD，AD=BD，∴BC=BD+CD=AD+12AD=32AD，S△DAC=12AC•CD=14AC•AD，∴S△ABC=12AC•BC=12AC•32AD=34AC•AD，∴S△DAC：S△ABC=1：3，故选D．【点睛】本题考查的是作图—基本作图，熟知角平分线的作法和性质，30°的直角三角形的性质是解答此题的关键．8．B解析：B【分析】根据等边三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及a2=2a1，得出a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16a1=16，进而得出答案．【详解】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°−120°−30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°−60°−30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA 1=A 1B 1=1，∴A 2B 1=1，∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴a 2=2a 1=2，a 3=4a 1=22，a 4=8a 1=32，a 5=16a 1=42，，以此类推：a 2019=22018．故选：B ．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，根据已知得出a 3=4a 1=4，a 4=8a 1=8，a 5=16…进而发现规律是解题关键．9．B解析：B【分析】根据等腰ABC 的两边长为5，7，得到ABC 的三边长为5，7，7；或5,5,7；之后根据全等分2x-3=5，2x-3=7，3x-5=5，3x-5=7四种情况分类讨论，舍去不合题意的即可求解．【详解】解：∵等腰ABC 的两边长为5，7，∴ABC 的三边长为5，7，7；或5,5,7；由题意得另一个等腰三角形的两边为23x -，35x -，且与等腰ABC 全等（1）当2x-3=5时，解得x=4，则3x-5=7，符合题意；（2）当2x-3=7时，解得x=5，则3x-5=10，不合题意；（3）当3x-5=5时，解得103x ，则2x-3=113，不合题意；（4）当3x-5=7时，解得x=4，则2x-3=5，符合题意；综上所述：x的值为4．故答案为：B【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的性质，根据题意分类讨论是解题关键．10．B解析：B【分析】首先根据DE是线段AB的垂直平分线，可得AD＝BD，然后根据△BCD的周长是9cm，以及AD＋DC＝AC，求出BC的长即可．【详解】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∵△BCD的周长是9cm，∴BD＋DC＋BC＝9（cm），∴AD＋DC＋BC＝9（cm），∵AD＋DC＝AC，∴AC＋BC＝9（cm），又∵AC＝5cm，∴BC＝9−5＝4（cm）．故选：B．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．11．D解析：D【分析】①根据角平分线的定义与三角形外角的性质可证此结论；②利用等腰三角形“三线合一”可证明此结论；③根据角平分线定义与平行线性质可得∠APG＝∠BAP，再利用等腰三角形的判定可证此结论；④如下图，由角平分线的性质定理可得PM=PN，PM=PO，则PN =PO，即可证明结论．【详解】解：∵AP平分∠BAC，PB平分∠CBE，∴∠CAB ＝2∠PAB ，∠CBE ＝2∠PBE ，∵∠CBE ＝∠CAB ＋∠ACB ，∠PBE ＝∠PAB ＋∠APB ，即∠CBE ＝∠CAB ＋2∠APB ，∴∠ACB ＝2∠APB ．故①正确；∵BE ＝BC ，BP 平分∠CBE ，∴BP 垂直平分CE （三线合一）．故②正确；∵AP 平分∠BAC ，∴∠CAP ＝∠BAP ，∵PG ∥AD ，∴∠APG ＝∠CAP ，∴∠APG ＝∠BAP ，∴PG ＝AG ．故③正确；如图，过点P 作PM ⊥AE 于点M ，PN ⊥AD 于点N ，PO ⊥BC 于点O ，∵AP 平分∠BAC ，PB 平分∠CBE ，∴PM=PN ，PM=PO ，∴PN =PO ，∴CP 平分∠DCB ．故④正确．故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识并能灵活运用所学知识进行论证是解题的关键．12．C解析：C【分析】根据等腰ABC ，118ABC ︒∠=，得到AB=CB ，∠A=∠C=1(180)312ABC ︒︒-∠=，由DE 垂直平分AB ，求得∠ABE=31A ∠=︒，同理：31QBC C ∠=∠=︒，根据∠EBQ=∠ABC-∠ABE-∠QBC 计算得出答案．【详解】在等腰ABC 中，118ABC ︒∠=，∴AB=CB ，∠A=∠C=1(180)312ABC ︒︒-∠=， ∵DE 垂直平分AB ，∴AE=BE ，∴∠ABE=31A ∠=︒，同理：31QBC C ∠=∠=︒，∴∠EBQ=∠ABC-∠ABE-∠QBC=56︒，故选：C ．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．二、填空题13．5或11【分析】过点P 作PH ⊥OB 于点H 根据PE=PF 可得EH=FH=EF=3根据∠AOB=30°OP=16可得PH=OP=8当点D 运动到点F 右侧或当点D 运动到点F 左侧时分别计算可得DF 的长【详解】解析：5或11【分析】过点P 作PH ⊥OB 于点H ，根据PE=PF ，可得EH=FH=12EF=3，根据∠AOB=30°，OP=16，可得PH=12OP=8，当点D 运动到点F 右侧或当点D 运动到点F 左侧时，分别计算可得DF 的长．【详解】如图，过点P 作PH ⊥OB 于点H ，∵PE=PF ，∴EH=FH=12EF=3， ∵∠AOB=30°，OP=16，∴PH=12OP=8，当点D运动到点F右侧时，∵∠PDE=45°，∴∠DPH=45°，∴PH=DH=8，∴DF=DH-FH=8-3=5；当点D运动到点F左侧时，D′F=D′H+FH=8+3=11．所以DF的长为5或11．故答案为：5或11．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是分两种情况画图解答．14．5【分析】作PH⊥MN于H如图根据等腰三角形的性质得MH=NH=MN=15在Rt△POH中由∠POH=60°得到∠OPH=30°则根据在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OH=OP=解析：5【分析】作PH⊥MN于H，如图，根据等腰三角形的性质得MH=NH=12MN=1.5，在Rt△POH中由∠POH=60°得到∠OPH=30°，则根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OH=12OP=5，然后计算OH-MH即可．【详解】作PH⊥MN于H，如图，∵PM=PN，∴MH=NH=12MN=1.5，在Rt△POH中，∵∠POH=60°，∴∠OPH=30°，∴OH=12OP=12×10=5，∴OM=OH-MH=5-1.5=3.5．故答案为：3.5．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了等腰三角形的性质．15．都是轴对称图形【分析】利用已知图形的特征分别得出其公共特征【详解】解：答案不唯一例如：都是轴对称图形故答案为：都是轴对称图形【点睛】本题考查了轴对称图形解题的关键是正确把握轴对称图形的特征解析：都是轴对称图形【分析】利用已知图形的特征分别得出其公共特征．【详解】解：答案不唯一，例如：都是轴对称图形，故答案为：都是轴对称图形．【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是正确把握轴对称图形的特征．16．4【分析】先根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DA则有∠A=∠ABD而∠C=∠DBC=利用三角形的内角和可得∠A+∠ABD=得到∠ABD=在Rt△BED中根据含角的直角三角形三边的关系即可得到DE解析：4【分析】先根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DA，则有∠A=∠ABD，而∠C=90︒，∠DBC= 30︒，利用三角形的内角和可得∠A+∠ABD=903060︒-︒=︒，得到∠ABD= 30︒，在Rt△BED中，根据含30︒角的直角三角形三边的关系即可得到DE的长度．【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴DB=DA，∴∠A=∠ABD，∵∠C=90︒，∠DBC=30︒，DC=4cm，∴BD=8cm，∠A+∠ABD=903060︒-︒=︒，∴∠ABD=30︒，在Rt△BED中，∠EBD=30︒，BD=8cm，∴DE=142BD =cm ，即D 到AB 的距离为4cm ，故答案为：4．【点睛】本题考察线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及含30︒角的直角三角形的性质，解题关键是掌握相关性质．17．6【分析】连接OD 由题意可知OP ＝DP ＝OD 即△PDO 为等边三角形所以∠OPA ＝∠PDB ＝∠DPA=60°推出△OPA ≌△PDB 根据全等三角形的对应边相等知OA ＝BP ＝3则AP ＝AB −BP ＝6【详解解析：6【分析】连接OD ．由题意可知OP ＝DP ＝OD ，即△PDO 为等边三角形，所以∠OPA ＝∠PDB ＝∠DPA=60°，推出△OPA ≌△PDB ，根据全等三角形的对应边相等知OA ＝BP ＝3，则AP ＝AB−BP ＝6．【详解】解：如图，连接OD ，∵PO ＝PD ，∴OP ＝DP ＝OD ，∴△PDO 为等边三角形，即∠DPO ＝60°，∵等边△ABC ，∴∠A ＝∠B ＝60°，AC ＝AB ＝9，∴∠OPA ＝180°−60°−∠DPA=120°−∠DPA∠PDB ＝180°−∠DPA−60°=120°−∠DPA∴∠OPA=∠PDB ，∴ 在△OPA 和△PDB 中，A B OPA PDB PO PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OPA ≌△PDB （AAS ），∵AO ＝3，∴AO ＝PB ＝3，∴AP ＝6．故答案是：6．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，关键在于求证△OPA ≌△PDB ．18．【分析】作DH ⊥AB 根据直角三角形的性质求出DH 根据平行线的性质角平分线的性质解答【详解】解：作DH ⊥AB 于H ∵∴∠DEH=∠DBE+∠BDE=30°∴DH=∵DE ∥BC ∴∠DBF=∠BDE ∴∠DB 解析：12a 【分析】作DH ⊥AB ，根据直角三角形的性质求出DH ，根据平行线的性质，角平分线的性质解答．【详解】解：作DH ⊥AB 于H ，∵15DBE BDE ∠=∠=︒∴∠DEH=∠DBE+∠BDE=30°，DE BE a ==∴DH=11=22DE a ， ∵DE ∥BC ，∴∠DBF=∠BDE ， ∴∠DBF=∠DBH ，又DF ⊥BC ，DH ⊥AB ，∴DF=DH=12a ，故答案为：12a ．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．19．（答案不唯一符合题意即可）8【分析】分别以AB 为圆心AB 为半径作圆弧寻找在圆弧上的格点即可【详解】①如图以A 为圆心AB 为半径作圆弧符合题意的格点有5个；②如图以B 为圆心AB 为半径作圆弧符合题意的格点解析：()2,2--（答案不唯一，符合题意即可） 8【分析】分别以A ，B 为圆心，AB 为半径作圆弧，寻找在圆弧上的格点即可．【详解】①如图，以A 为圆心，AB 为半径作圆弧，符合题意的格点有5个；②如图，以B 为圆心，AB 为半径作圆弧，符合题意的格点有3个；③如图，在AB 的垂直平分线上时，无符合题意的格点；综上，符合题意的格点共有8个，故答案为：()2,2--（答案不唯一，符合题意即可）；8．【点睛】本题考查在网格中作等腰三角形，根据已知边可作为底边或者腰进行分类讨论，熟练掌握尺规作图方法是解题关键．20．10【分析】连结CP 利用等腰三角形顶角平分线所在直线为对称轴得BP=CPBD=CD=5当点CPE 在一直线是BP ＋EP 最小值最小值为BP ＋EP=EC 由∠BAC=36°AB=AC 求出∠ABC=∠ACB=解析：10【分析】连结CP ，利用等腰三角形顶角平分线所在直线为对称轴得 BP=CP ，BD=CD=5，当点C 、P 、E 在一直线是BP ＋EP 最小值，最小值为BP ＋EP= EC ，由∠BAC=36°，AB=AC ，求出∠ABC=∠ACB=72°，又CE 是△ABC 的角平分线有∠BCE=36°，求出∠BEC=72º，得CE=BC =10即可．【详解】连结CP ，点P 在AD 上运动，∵AB=AC ，AD 平分∠BAC ，∴AD 所在直线为对称轴，∴BP=CP ，BD=CD=5，当点C 、P 、E 在一直线是BP ＋EP 最小值,∴BP ＋EP=PC+EP=EC ，∵∠BAC=36°，AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=()1180-36=722︒︒︒， ∵CE 是△ABC 的角平分线， ∴∠BCE=1ACB=362∠︒， ∴∠BEC=180º-∠EBC-∠BCE =180º-72º-36º=72º，∴∠BEC=∠EBC ，∴CE=BC=BD+CD=10．故答案为：10．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线性质，轴对称性质，掌握等腰三角形的判定和性质，角平分线性质，线段和最短问题经常利用轴对称性质作出对称线段，三点在一线时最短作出图形是解题关键．三、解答题21．（1）=15∠HAE ；（2）见解析【分析】（1）连接BG ，先根据等腰三角形的判定得出AG=AD ，再根据SSS 得出△AGH ≌△ABH ，从而得出=∠∠HAE HAG ，继而得出HAE ∠的度数；（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ，根据垂直平分线的性质得出BF=BM ，再根据等腰三角形的判定得出DM=BM ，从而得出结论【详解】解：（1）连接BG∵90EAD ∠=︒，30BAC ∠=︒，∴∠DAG=120°，∵30ADE ∠=︒，∴30∠=∠=︒ADE AGD ，∴AG=AD ，∵AB=AD ，∴AG=AB ，∵30BAC ∠=︒，∴75∠=∠=︒AGB ABG ，∵BH ⊥DF ，90EAD ∠=︒，∴=90∠∠=︒BHE EAD ，∵=∠∠BEH AED ，∴30∠=∠=︒ADE EBH ，∴45∠=∠-∠=︒HBG ABG EBH ，∵90FHB ∠=︒，∴∠=∠HBG HGB ，∴GH=BH ，∵AG=AB ，AH=AH ，∴△AGH ≌△ABH ，∴=∠∠HAE HAG ，∵30BAC ∠=︒，∴=15∠HAE ；（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ；∵90ABC EAD ∠=∠=︒，∴AD//BF ，∴30∠=∠=︒F ADE ，∵BH ⊥DF ，HM=HF ，∴BF=BM∴30∠=∠=︒F BMF∵AB=AD ，90EAD ∠=︒∴45ADB ∠=︒，∵30ADE ∠=︒∴15∠=︒MDB ，∵30∠=︒=∠+∠BMF MBD MDB ，∴==15∠∠MBD MDB ，∴BM=DM=BF ，∵DH=DM+HM ，∴DH=FH+BF【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、垂直平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 22．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由于△ABF 与△DCE 是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明；（2）先根据三角形全等的性质得出∠AFB ＝∠DEC ，再根据等腰三角形的性质得出结论．【详解】证明：（1）∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE ，∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形，在Rt △ABF 和Rt △DCE 中∵BF CE AB CD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABF ≌Rt △DCE （HL ）；（2）∵Rt △ABF ≌Rt △DCE （已证），∴∠AFB ＝∠DEC ，∴OE ＝OF ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理，掌握HL 判断两个直角三角形全等，是解题的关键．23．（1）见解析；（2）135FAE ∠=︒．【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC ≌△ADE 的条件；（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE 的度数．【详解】证明：（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE ，在△BAC 和△DAE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAC ≌△DAE （SAS ）；（2）∵∠CAE=90°，AC=AE ，∴∠E=45°，由（1）知△BAC ≌△DAE ，∴∠BCA=∠E=45°，∵AF ⊥BC ，∴∠CFA=90°，∴∠CAF=45°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出全等所需要的条件．24．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）作∠CAE=∠C 即可；（2）延长BA ，根据两直线平行，同位角相等，有∠EAF=∠B ，由（1）可知∠CAE=∠C ，再根据AB=AC ，可得∠B=∠C ，等量替换之后即可得证．【详解】（1）射线AE 为所求；（2）证明：如图所示，延长BA ，∵//AE BC ，∴∠EAF=∠B ，∠CAE=∠C ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∴∠EAF=∠CAE ，∴AE 是ABC 的一个外角角平分线．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和角平分线的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键．25．（1）图见解析；（2）先向右平移6个单位，再向下平移2个单位，面积是16【分析】（1）作点A 、B 、C 关于MN 的对称点1A 、1B 、1C ，即可得到111A B C △；（2）先向右平移6个单位，再向下平移2个单位可以得到222A B C △，画出平移的图象，求出扫过的面积．【详解】解：（1）如图所示，（2）如图所示，111A B C △先向右平移6个单位，再向下平移2个单位，得到222A B C △，111A B C △在平移过程中所扫过的面积是图中阴影部分，16242124162S =⨯+⨯⨯=+=．【点睛】本题考查轴对称和平移，解题的关键是掌握轴对称图形的画法和图形平移的方法． 26．（1）90°；（2）60°【分析】（1）证明BE=EP ，可得∠EPB=∠B=45°解决问题．（2）根据折叠的性质求出∠AFE=45°，根据三角形内角和求出∠BAC ，从而得到∠AEF 和∠PEF ，再根据平角的定义求出∠BEP ．【详解】解：（1）如图1中，∵折叠，∴△AEF ≌△PEF ，∴AE=EP ，∵点E 是AB 中点，即AE=EB ，∴BE=EP ，∴∠EPB=∠B=45°，∴∠PEB=90°，∴∠AEP=180°-90°=90°．（2）∵PF ⊥AC ，∴∠PFA=90°，∵沿EF 将△AEF 折叠得到△PEF ．∴△AEF ≌△PEF ，∴∠AFE=∠PFE=45°，∵∠B=45°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-45°-60°=75°，∴∠AEF=∠PEF=180°-75°-45°=60°，∴∠BEP=180°-60°-60°=60°．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，全等三角形的性质，解题的关键是根据折叠的性质得到相等的线段和角．。

江门市八年级数学上册第三单元《轴对称》测试题(答案解析)

一、选择题1．如图，在△ABD 中，分别以点A 和点D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN 分别交BD 、AD 于点C 、E ．若AE=5cm ，△ABC 的周长=15cm ，则△ABD 的周长是（）A ．35cmB ．30cmC ．25cmD ．20cm2．如图，在等腰三角形ABC 中，,36,AB AC A D =∠=是AC 的中点，ED AC ⊥交AB 于点E ，已知6,2AC DE ==，则BC 的长为（）A ．13B ．32C ．40D ．20 3．如图，在ABC 中，6AB =，8AC =，10BC =，EF 是BC 的垂直平分线，P 是直线EF 上的一动点，则PA PB +的最小值是（）．A ．6B ．8C ．10D ．11 4．在等腰ABC ∆中，80A ∠=︒，则B 的度数不可能是（）A ．80︒B ．60︒C ．50︒D ．20︒ 5．如图，长方形ABCD 沿直线EF 、EG 折叠后，点A 和点D 分别落在直线l 上的点A '和点D 处，若130∠=︒，则2∠的度数为（）A ．30°B ．60°C ．50°D ．55°6．平面直角坐标系中，已知()1,1A ，()2,0B ．若在x 轴上取点C ，使ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 7．等腰三角形的一个内角是50度，它的一腰上的高与底边的夹角是（）度A ．25或60B ．40或60C ．25或40D ．40 8．如图，在ABC 中，90C =∠，30B ∠=，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则:DAC ABC S S 等于（）A ．1:2B ．2:3C ．1:3D ．1:39．如图，ABC 中，AC AD BD ==，80CAD ︒∠=，则B 等于（）A ．25︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒10．如图，已知等腰三角形ABC 中，AB AC =，15DBC ∠=︒，分别以A 、B 两点为圆心，以大于12AB 的长为半径画圆弧，两弧分别交于点E 、F ，直线EF 与AC 相交于点D ，则A ∠的度数是（）A ．50°B ．60°C ．75°D ．45°11．如图，AEC BED △△≌，点D 在AC 边上，AE 和BD 相交于点O ，若30AED ∠=︒，120∠=︒BEC ，则ADB ∠的度数为（）A ．45°B ．40°C ．35°D ．30°12．如图，是一个 3×4 的网格（由 12 个小正方形组成，虚线交点称之格点）图中有一个三角形，三个顶点都在格点上，在网格中可以画出（）个与此三角形关于某直线对称的格点三角形．A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题13．平面直角坐标系中，已知A （8，0），△AOP 为等腰三角形，且△AOP 的面积为16，则满足条件的P 点个数是______．14．如图，已知60AOB ︒∠=，点P 在边OA 上， 10OP =，点,M N 在边OB 上， PM PN =，若3,MN =则OM 的长是__________．15．如图，长方形纸片ABCD ，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，连接EF ，将BEF ∠对折B 落在直线EF 上的点'B 处，得折痕EM ；将AEF ∠对折，点A 落在直线EF 上的点'A 得折痕EN ，若6215'BEM ∠=︒，则AEN ∠=____．16．如图，在ABC 和ADE 中，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，其中点C ，D ，E 在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：①ACE DBC ∠=∠；②45ACE DBC ∠+∠=︒；③BD CE ⊥；④BD CE =．一定正确的是______．17．如图，点C 在DE 上，,,45B E AB AE CAD BAE ∠=∠=∠=∠=︒，则ACB =∠_____________．18．嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用()1,1-表示，右下角的圆形棋子用()0,0表示，淇淇将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置是__________．19．如图，在正方形网格中，分别将①②③④四个网格涂上阴影，能与原阴影部分构成一个轴对称图形的有____________．（填网格序号）20．△ABC 中，∠A =50°，当∠B =____________时，△ABC 是等腰三角形．三、解答题21．如图，以△ABC 的两边AB 和AC 为腰在△ABC 外部作等腰Rt △ABD 和等腰Rt △ACE ，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝90°．（1）连接BE 、CD 交于点F ，如图①，求证：BE ＝CD ，BE ⊥CD ；（2）连接DE ，AM ⊥BC 于点M ，直线AM 交DE 于点N ，如图②，求证：DN ＝EN ．22．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC 的顶点A B C ，，的坐标分别为()()()4,5,2,1,1,3--- （1）作出ABC ∆关于y 轴对称的A B C ∆'''，并写出点'B 的坐标（2）点P 是x 轴上的动点，当A BP ∆'周长最小时，找出点P ，并直接写出点P 的坐标23．小明遇到这样一个问题：如图①，在ABC 中，12AB =，8AC =，AD 是中线，求AD 的取值范围．她的做法是：过点B 作//BE AC 交AD 的延长线于点E ，证明BED CAD △≌△，经过推理和计算就可以使问题得到解决．按照上面的思路，请回答：（1）小红证明BED CAD △≌△的判定定理是：______；（2）AD 的取值范围是______；方法运用：（3）如图②，AD 是ABC 的中线，在AD 上取一点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ，使AE EF =，求证：BF AC =．24．已知在ABC 中，CAB ∠的平分线AD 与BC 的垂直平分线DE 交于点D ，DM AB ⊥于M ，DN AC ⊥交AC 的延长线于N ．（1）证明：BM CN =；（2）当80BAC ∠=︒时，求DCB ∠的度数．25．已知：90,A D AB DC ︒∠=∠==，点,E F 在直线BC 上，位置如图所示，且BE CF =．（1）求证：AF DE =；（2）若PO 平分EPF ∠，求证：PO 垂直平分线段BC ．26．如图，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AE AC =，AF CB ⊥，垂足为F ．（1）求证：ABC ADE △≌△；（2）若10AC =，求四边形ABCD 的面积；（3）求FAE ∠的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．【详解】解：∵MN 垂直平分线段AD ，∴AC=DC ，AE+ED=AD=10cm ，∵AB+BC+AC=15cm ，∴AB+BC+DC=15cm ，∴△ABD 的周长=AB+BC+DC+AD=15+10=25cm ，故选：C ．【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．2．A解析：A【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=CE，然后根据等边对等角可得∠ECD=∠A，再根据三角形内角和等于180°求出∠B=72°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BEC=72°，然后根据等角对等边的性质和勾股定理解答．【详解】⊥交AB于点E，解：∵D是AC的中点，ED AC∴ED垂直平分AC，∴AE=CE，∴∠ECD=∠A，∵∠A=36°，∴∠ECD=36°，∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=1（180°-36°）=72°，2∵∠ECD=∠A=36°，∴∠BEC=∠ECD+∠A=36°+36°=72°，∴∠B=∠BEC，∴BC=CE，∵AE=CE，ED⊥AC，∴CD=1AC=3，2在Rt△CED中，∴故选A．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角以及等角对等边的性质，熟练掌握有关性质是解题的关键．3．B解析：B【分析】根据题意，设EF与AC的交点为点P，连接BP，由垂直平分线的性质，则BP=CP，得到+=+=，即可得到PA PBPA PB PA PC AC+的最小值．【详解】解：根据题意，设EF与AC的交点为点P，连接BP，如图：∵EF 是BC 的垂直平分线，∴BP=CP ，∴8PA PB PA PC AC +=+==，∴PA PB +的最小值为8；故选：B ．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是正确找出点P 的位置，使得PA PB +有最小值．4．B解析：B【分析】分∠A 是顶角和底角两种情况分类讨论求得∠B 的度数，即可得到答案．【详解】当∠A 是顶角时，则∠B=(180°-∠A)÷2=(180°-80°)÷2=50°，当∠B 是顶角时，则∠A 是底角，∴∠B=180°-80°-80°=20°，当∠C 是顶角时，则∠A 和∠B 都是底角，∴∠B=∠A=80°，综上所述：∠B 的度数为：50°或20°或80°．观察各选项可知∠B 不可能是60°．故选B ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想方法，是解题的关键．5．B解析：B【分析】根据折叠的性质得到∠AEF=130∠=︒，2D EG '∠=∠，根据12180AEF D EG '∠+∠+∠+∠=︒得到2(12)180∠+∠=︒，即可求出答案．【详解】解：由折叠得：∠AEF=130∠=︒，2D EG '∠=∠，∵12180AEF D EG '∠+∠+∠+∠=︒，∴2(12)180∠+∠=︒，∴260∠=︒故选：B ．【点睛】此题考查折叠的性质，平角有关的计算，正确理解折叠性质得到∠AEF=130∠=︒，2D EG '∠=∠是解题的关键．6．C解析：C【分析】分三种情况：当AB=AC 时，当BA=BC 时，当AC=AB 时，根据等腰三角形两边相等的性质分别作图即可得解．【详解】当AB=AC 时，点C 与点O 重合；当BA=BC 时，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，与x 轴有两个交点；当AC=AB 时，作线段AB 的垂直平分线，与x 轴有一个交点，共有4个点C ，故选：C ．．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，直角坐标系中作等腰三角形的方法，熟记等腰三角形的性质并利用其作图是解题的关键．7．C解析：C【分析】当顶角为50°时和底角为50°两种情况进行求解．【详解】当顶角为50°时，底角为：（180°−50°）÷2＝65°．此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−65°＝25°．当底角为50°时，此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−50°＝40°．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中两个底角相等．同时考查了分类讨论的思想． 8．D解析：D【分析】先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD=12AD ，再由三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：由作图过程可知：AP 平分∠BAC ，∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∴∠1=∠2=∠B=30°，∴CD=12AD ，AD=BD ， ∴BC=BD+CD=AD+12AD=32AD ， S △DAC =12AC•CD=14AC•AD ， ∴S △ABC =12AC•BC=12AC•32AD=34AC•AD ， ∴S △DAC ：S △ABC =1：3，故选D ．【点睛】本题考查的是作图—基本作图，熟知角平分线的作法和性质，30°的直角三角形的性质是解答此题的关键． 9．A解析：A【分析】利用AD=AC ，求出∠ADC=∠C=50︒，利用AD=AB ，即可求得∠B=∠BAD 1252ADC ==∠︒．【详解】∵AD=AC ，∴∠ADC=∠C ，∵80CAD ︒∠=，∴∠ADC=∠C=50︒，∵AD=AB ，∴∠B=∠BAD 1252ADC ==∠︒，故选：A ．【点睛】此题考查等边对等角的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．10．A解析：A【分析】根据中垂线的性质可得DA=DB ，设∠A=x ，则∠ABD=x ，结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，列出方程，即可求解．【详解】又作图可知：EF 是AB 的垂直平分线，∴DA=DB ，∴∠A=∠ABD ，设∠A=x ，则∠ABD=x ，∵15DBC ∠=︒，∴∠ABC=x+15°，∵AB=AC ，∴∠C=∠ABC=x+15°，∴2(x+15°)+x=180°，∴x=50°，故选A ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，中垂线的性质以及三角形内角和定理，掌握中垂线的性质定理以及方程思想，是解题的关键．11．A解析：A【分析】由△AEC ≌△BED 可知：EC=ED ，∠C=∠BDE ，∠BED=∠AEC ，根据等腰三角形的性质即可知∠C 的度数，从而可求出∠ADB 的度数．【详解】解：∵△AEC ≌△BED ，∴EC=ED ，∠C=∠BDE ，∠BED=∠AEC ，∴∠BEO+∠AED=∠CED+∠AED ，∴∠BEO=∠CED,∵∠AED=30°，∠BEC=120°，∴∠BEO=∠CED=120302︒-︒=45°，在△EDC 中，∵EC=ED ，∠CED=45°，∴∠C=∠EDC=67.5°，∴∠BDE=∠C=67.5°，∴∠ADB=180°-∠BDE-∠EDC=180°-67.5°-67.5°=45°，故选A．【点睛】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质．12．B解析：B【分析】先确定对称轴，再找到对称点进而可以找到符合题意的对称三角形即可．【详解】解：如图，左右对称的有4个，如图，上下对称的有1个，如图，关于正方形的对角线对称的有2个，∴一共有7个与原三角形关于某直线对称的格点三角形，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，找到正确的对称轴，画出相应的对称三角形是解决本题的关键．二、填空题13．10【分析】使△AOP为等腰三角形只需分两种情况考虑：OA当底边或OA 当腰当OA是底边时有2个点；当OA是腰时有8个点即可得出答案【详解】∵A（80）∴OA=8设△AOP的边OA上的高是h则×8×h解析：10【分析】使△AOP为等腰三角形，只需分两种情况考虑：OA当底边或OA当腰．当OA是底边时，有2个点；当OA是腰时，有8个点，即可得出答案．【详解】∵A（8，0），∴OA=8，设△AOP的边OA上的高是h，则12×8×h=16，解得：h=4，在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于4，如图：①以A为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，②以O为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，③作AO的垂直平分线分别交直线a、b于一点，即共2个点符合，其中，没有重复的点，∴4+4+1+1=10．故选：B．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．14．5【分析】作PH⊥MN于H如图根据等腰三角形的性质得MH=NH=MN=15在Rt△POH中由∠POH=60°得到∠OPH=30°则根据在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OH=OP=解析：5【分析】作PH⊥MN于H，如图，根据等腰三角形的性质得MH=NH=12MN=1.5，在Rt△POH中由∠POH=60°得到∠OPH=30°，则根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OH=12OP=5，然后计算OH-MH即可．【详解】作PH⊥MN于H，如图，∵PM=PN，∴MH=NH=12MN=1.5，在Rt△POH中，∵∠POH=60°，∴∠OPH=30°，∴OH=12OP=12×10=5，∴OM=OH-MH=5-1.5=3.5．故答案为：3.5．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了等腰三角形的性质．15．【分析】先根据折叠的性质求出∠B′EM根据邻补角求出∠AEA′再根据折叠的性质即可求出∠AEN【详解】解：根据折叠可知：EM平分∠BEB′∴∠B′EM=∠BEM=62°15′∴∠AEA′=180°-解析：2745'【分析】先根据折叠的性质求出∠B′EM，根据邻补角求出∠AEA′，再根据折叠的性质即可求出∠AEN．【详解】解：根据折叠可知：EM 平分∠BEB′，∴∠B′EM=∠BEM=62°15′，∴∠AEA′=180°-2×62°15′=55°30′，EN 平分∠AEA′，∴∠AEN=∠A′EN=12∠AEA′=12×55°30′=27°45′，故答案为：27°45′．【点睛】本题考查了折叠的性质，邻补角的定义，以及角的计算、度分秒的换算，解决本题的关键是掌握折叠的性质．16．②③④【分析】根据题意易证△ABD ≌△ACE 根据三角形全等的性质及余角的性质角的和差关系可进行判断进而得出正确答案【详解】解：∠DAC=∠DAC △ABD ≌△ACEBD=CE ∠ABD=∠ACE④正确；解析：②③④【分析】根据题意易证△ABD ≌△ACE ，根据三角形全等的性质及余角的性质、角的和差关系可进行判断，进而得出正确答案．【详解】解：90BAC DAE ∠=∠=︒，∠DAC=∠DAC ，∴BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，∴△ABD ≌△ACE ，∴BD=CE ，∠ABD=∠ACE ，④正确；∵AB AC =，90BAC ∠=︒，∴∠ABC=∠ACB=45°，即∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，∴45ACE DBC ∠+∠=︒，②正确；∵90BAC ∠=︒，∴∠ABC+∠ACB=90°，∴∠DBC+∠DCB=90°，∴BD ⊥CE ，③正确；∴由题意可知ACE DBC ∠=∠不一定成立，综上所述：②③④正确；故答案为：②③④．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键．17．【分析】由条件可证得△ABC ≌△AED 则可求得∠ACB=∠ADEAD=AC 再利用等腰三角形的性质可求得答案【详解】解：∵∠CAD=∠BAE ∴∠CAD+∠CAE=∠BAE+∠CAE 即∠BAC=∠DAE解析：67.5【分析】由条件可证得△ABC ≌△AED ，则可求得∠ACB=∠ADE ，AD=AC ，再利用等腰三角形的性质可求得答案．【详解】解：∵∠CAD=∠BAE ，∴∠CAD+∠CAE=∠BAE+∠CAE ，即∠BAC=∠DAE ，在△ABC 和△AED 中，B E AB AEBAC EAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△AED （ASA ），∴AD=AC ，∠ACB=∠ADE ，∴∠ACD=∠ADC ，∵∠CAD=45°，∴∠ADC=67.5°，∴∠ACB=67.5°，故答案为：67.5．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．18．【分析】首先确定平面直角坐标系再根据轴对称图形的定义画出淇淇放的方形棋子的位置即可解决问题【详解】解：平面直角坐标系如图所示淇淇放的方形棋子的位置如图坐标为（-12）故答案为（-12）【点睛】本题考解析：()1,2-【分析】首先确定平面直角坐标系，再根据轴对称图形的定义画出淇淇放的方形棋子的位置，即可解决问题．【详解】解：平面直角坐标系如图所示，淇淇放的方形棋子的位置如图，坐标为（-1，2），故答案为（-1，2）．【点睛】本题考查坐标与图形的性质，坐标位置的确定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．19．②③【分析】根据轴对称图形的概念求解【详解】解：有2个使之成为轴对称图形分别为：②③故答案是：②③【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念正确把握轴对称图形的概念是解题关键解析：②③．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】解：有2个使之成为轴对称图形，分别为：②，③．故答案是：②③．【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念，正确把握轴对称图形的概念是解题关键．20．50°或80°或65°【分析】由已知条件根据题意分三种情况讨论：①∠A是顶角；②∠A是底角∠B＝∠A时③∠A是底角∠B＝∠A时利用三角形的内角和进行求解【详解】①∠A是顶角∠B＝（180°−∠A）÷解析：50°或80°或65°【分析】由已知条件，根据题意，分三种情况讨论：①∠A是顶角；②∠A是底角，∠B＝∠A 时，③∠A是底角，∠B＝∠A时，利用三角形的内角和进行求解．【详解】①∠A是顶角，∠B＝（180°−∠A）÷2＝65°；②∠A是底角，∠B＝∠A＝50°．③∠A是底角，∠A＝∠C＝50°，则∠B＝180°−50°×2＝80°，∴当∠B的度数为50°或65°或80°时，△ABC是等腰三角形．故答案为：50°或65°或80°．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及三角形的内角和定理；分情况讨论是正确解答本题的关键．三、解答题21．（1）见详解；（2）见详解．【分析】（1）只要证明△ABE ≌△ADC 即可解决问题；（2）延长AN 到G ，使AG=BC ，连接GE ，先证AEG CAB △≌△，再证GE ADN N △≌△即可解决问题．【详解】（1）证明：∵△ABD 和△ACE 都是等腰直角三角形，∴AB=AD ，AE=AC ，又∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE ，即∠BAE=∠DAC ，∴△ABE ≌△ADC ，∴BE=DC ，∠ABE=∠ADC ，又∵∠DOF=∠AOB ，∠BOA+∠ABE=90°，∴∠ABE+∠DOF=90°∴∠ADC+∠DOF=90，即BE ⊥DC ．（2）延长AN 到G 使AG=BC ，连接GE ，AM BC ⊥，AC 90MAC M ∴∠+∠=︒，90NAE MAC ∠+∠=︒，ACM=NAE ∴∠∠，同理可证：ABC DAN ∠=∠ AC=AE ，∴()AEG CAB SAS △≌△，GE AB AD ∴==，ABC G ∠=∠，DAN G ∴∠=∠，又NA=GNE D ∠∠，∴GE ADN N △≌△，DN=EN ∴．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，辅助线是解此题的关键．22．（1）见解析，()'2,1B ；（2）见解析，()1,0P -【分析】（1）分别作出A ，B ，C 关于y 轴对称的对应点A′，B′，C′，即可得到答案．（2）作点B 关于x 轴的对称点B″，连接A′B″交x 轴于P ，点P 即为所求．【详解】解：()1如图'''A B C ∆即为所求，由图可知，()'2,1B ；()2如图所示，点()1,0P -即为所求点．【点睛】本题考查作图——轴对称变换，轴对称——最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23．（1）角角边或者角边角（AAS 或ASA ）；（2）210AD <<；（3）见解析【分析】（1）由“ASA”或“AAS”可证△BED ≌△CAD ；（2）由全等三角形的性质可得AC=BE=8，由三角形的三边关系可求解；（3）延长AD 至H ，使AD=DH ，连接BH ，由“SAS”可证△BHD ≌△CAD ，可得AC=BH ，∠CAD=∠H ，由等腰三角形的性质可得∠H=∠BFH ，可得BF=BH=AC ；【详解】解：（1）∵AD 是中线，∴BD=CD ，又∵∠ADC=∠BDE ，∵//BE AC ，∴EBD C ∠=∠，E CAD ∠=∠，∴△BED ≌△CAD （ASA ），或△BED ≌△CAD （AAS ），故答案为：SAS 或AAS ；（2）∵△BED ≌△CAD ，∴AC=BE=8，在△ABE 中，AB-BE ＜AE ＜AB+BE ，∴4＜2AD ＜20，∴2＜AD ＜10，故答案为：2＜AD ＜10；（3）过点B 作//BG AC 交AD 的延长线于点G ，则CAD BGD ∠=∠∵AD 是中线，∴BD CD =在ADC 和GDB △中∵CAD BGD ∠=∠，ADC GDB ∠=∠，BD CD =，∴ADC GDB ≌△△∴BG CA =∵AE EF =∴EAF AFE ∠=∠又∵CAD BGD ∠=∠，AFE BFG ∠=∠∴BGD BFG ∠=∠∴BG BF =，又∵BG CA =，∴BF AC =；【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．24．（1）证明见解析；（2）∠DCB=40°．【分析】（1）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得到DM=DN ，DB=DC ，根据HL 证明Rt △DMB ≌Rt △DNC ，即可得出BM=CN ；（2）根据角平分线的性质得到DM=DN ，根据全等三角形的性质得到∠ADM=∠ADN ，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠EDC=50°于是得到结论．【详解】（1）证明：连接BD ，DC ，如图所示：∵AD 是∠CAB 的平分线，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴DM=DN ，∵DE 垂直平分BC ，∴DB=DC ，在Rt △DMB 和Rt △DNC 中，DB DC DM DN =⎧⎨=⎩， ∴Rt △DMB ≌Rt △DNC （HL ），∴BM=CN ；（2）解：由（1）得：∠BDM=∠CDN ，∵AD 是∠CAB 的平分线，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴DM=DN ，在Rt △DMA 和Rt △DNA 中，DA DA DM DN =⎧⎨=⎩∴Rt △DMA ≌Rt △DNA （HL ），∴∠ADM=∠ADN ，∵∠BAC=80°，∴∠MDN=100°，∠ADM=∠ADN=50°，∵∠BDM=∠CDN ，∴∠BDC=∠MDN=100°，∵DE 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC ，∴∠EDC=12∠BDC=50°， ∴∠DCB=90°-∠EDC=40°，∴∠DCB=40°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，熟悉角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 25．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】(1)根据已知条件证明Rt △ABF ≌Rt △DCE(HL)即可得出结论；(2)根据Rt △ABF ≌Rt △DCE 可得出∠E=∠F ，即△PEF 为等腰三角形，又因为PO 平分∠EPF ，根据三线合一可知PO 垂直平分EF ，从而得出PO 垂直平分BC ．【详解】（1）证明:∵BE=CF ，BC=CB∴BF=CE ，在Rt △ABF 与Rt △DCE 中，BF CE AB DC =⎧⎨=⎩∴Rt △ABF ≌Rt △DCE(HL)，∴AF=DE ；（2）∵Rt △ABF ≌Rt △DCE ，∴∠E=∠F∴△PEF 为等腰三角形,又∵PO 平分∠EPF∴PO ⊥BC(三线合一)，EO=FO(三线合一)又∵EB=FC∴BO=CO ，∴PO 垂直平分线段BC.【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定及性质、垂直平分线的判定、等腰三角形的性质，角平分线的性质，难度不大，但综合性较强，考验了学生综合分析问题的能力. 26．（1）见解析；（2）50；（3）135°【分析】（1）由题意先求出∠BAC=∠EAD ，然后根据SAS 推出△ABC ≌△ADE ；（2）根据题意即可推出四边形ABCD 的面积=△ACE 的面积，进而分析计算即可得出答案；（3）根据题意可推出∠CAF=45°，再根据∠EAF ＝∠FAC ＋∠CAE 即可求出∠FAE 的度数．【详解】（1）证明：90BAD CAE ∠=∠=︒，90BAC CAD ∴∠+∠=︒，90CAD DAE ∠+∠=︒，BAC DAE ∴∠=∠，在ABC 和ADE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ABC ADE ∴△≌△．解:（2）ABC ADE △≌△，ABC ADE S S ∴=△△，ABC ACD ADE ACD ACE ABCD S SS S S S ∴=+=+=四边形，10AC =， 1010250ACE ABCD S S∴==⨯÷=四边形．（3）90CAE ∠=︒，AC AE =，45E ∴∠=︒，BAC DAE △≌△，45BCA E ∴∠=∠=︒，AF BC ⊥，45CAF ∴∠=︒，4590135FAE FAC CAE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是学会利用等腰直角三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．。

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A.45B.52.5C.67.5D.75
8.如图,已知Rt△A B C中,∠A C B=90°,C D是高,∠A=30°,B D=2Cm,则A B的长是（）
A. 4B. 6C. 8D. 10
9.如图,若是等边三角形, , 是的平分线,延长到 ,使 ,则
A. 7B. 8C. 9D. 10
10.如图,在等边三角形A B C中,中线A D,BE交于F,则图中共有等腰三角形( )
∴△FA B,△FDE,△A DE,△B DE是等腰三角形,
∵∠ED C=∠C=60°,
∴△A B C,△D CE是等边三角形,
则图中共有等腰三角形共有6个．
故选D．
点睛：本题考查了等边三角形的性质,记住等边三角形也属于等腰三角形.
11.等腰△A B C中,A B=A C,一边上的中线B D将这个三角形的周长分为15和12两个部分,则这个等腰三角形的底边长为（）
∵以B为圆心,B C长为半径画弧,∴BE=B D=B C．∴∠B D C=∠A C B=75°.
∴∠C B D .∴∠D BE=75° 30°=45°.
∴∠BED=∠B DE= .
故选C.
考点: 1.等腰三角形的性质;2.三角形内角和定理.
8.如图,已知Rt△A B C中,∠A C B=90°,C D是高,∠A=30°,B D=2Cm,则A B的长是（）
A.45B.52.5C.67.5D.75
[答案]用三角形内角和定理求出∠A B C的度数,再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠D B C=30°,然后即可求出∠B DE的度数：
∵A B=A C,∴∠A B C=∠A C B.
∵∠A=30°,∴∠A B C=∠A C B= .
A. 16CmB. 20CmC. 24CmD. 26Cm
6.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的距离为
A 40海里B. 60海里C. 70海里D. 80海里
7.如图,△A B C中,以B为圆心,B C长为半径画弧,分别交A C、A B于D,E两点,并连接B D,DE,若∠A＝30°,A B＝A C,则∠B DE的度数为（）
二、填空题(本题共6小题,每小题4分,共24分)
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
11. 等腰△A B C中,A B=A C,一边上的中线B D将这个三角形的周长分为15和12两个部分,则这个等腰三角形的底边长为（）
A. 7B. 11C. 7或11D. 7或10
12.如图,由4个小正方形组成的田字格中,△A B C的顶点都是小正方形的顶点,在田字格上画与△A B C成轴对称的三角形,且顶点都是小正方形的顶点,则这样的三角形(不包含△A B C本身)共有( )
A. 7B. 11C. 7或11D. 7或10
[答案]C
[解析]
解：如图,
设等腰三角形的底边长为x,腰长为y,则根据题意,
得或解得x=11,y=8或x=7,y=10,
经检验,这两组解均能构成三角形,所以底边长为7或11．故选C．
12.如图,由4个小正方形组成的田字格中,△A B C的顶点都是小正方形的顶点,在田字格上画与△A B C成轴对称的三角形,且顶点都是小正方形的顶点,则这样的三角形(不包含△A B C本身)共有()
三、解答题(本题共8小题,共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19.如图,A B＝A C,A C的垂直平分线DE交A B于D,交A C于E,B C＝6,△B D C的周长为15,求A C的长．
20.如图,已知A B＝A C,AE平分∠D A C,那么AE∥B C吗？为什么？
21.如图,在平面直角坐标系中,A（﹣1,5）,B（﹣1,0）,C（﹣4,3）．
[答案]D
[解析]
分析：依题意,知MN＝40海里/小时×2小时＝80海里,
∵根据方向角的意义和平行的性质,∠M＝70°,∠N＝40°,
∴根据三角形内角和定理得∠MPN＝70°．∴∠M＝∠MPN＝70°．
∴NP＝NM＝80海里．故选D．
7.如图,△A B C中,以B为圆心,B C长为半径画弧,分别交A C、A B于D,E两点,并连接B D,DE,若∠A＝30°,A B＝A C,则∠B DE的度数为（）
A. 16CmB. 20CmC. 24CmD. 26Cm
[答案]B
[解析]
[分析]
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可以得到AE=BE,所以△B CE的周长等于边A C与B C的和．
[详解]∵DE是A B的垂直平分线,
∴AE=BE,
∵A C=12,B C=8,
∴△B CE的周长=B C+CE+BE
(1)经过多少秒,△BMN为等边三角形；
(2)经过多少秒,△BMN 直角三角形．
一、选择题(本题共12小题,每小题3分,共36分)
1.下列四个交通标志图中为轴对称图形的是( )
A.AB.BC.CD.D
[答案]D
[解析]
解：A、B、C不是轴对称图形,D是轴对称图形．故选D．
2.在平面直角坐标系xOy中,点P(－3,5)关于y轴的对称点的坐标是()
A. (3,5)B. (3,－5)C. (5,－3)D. (－3,－5)
[答案]A
[解析]
分析：关于y轴对称的两点的纵坐标相等,横坐标互为相反数．
详解：∵关于y轴对称的两点的纵坐标相等,横坐标互为相反数.
∴点P(−3,5)关于y轴的对称点的坐标是(3,5).
故选A.
点睛：本题考查了关于y轴对称的点的坐标,本题容易记成横纵标为相反数,纵坐标相等,牢记关于y轴对称点的坐标特征是关键.
16.如图,在等腰三角形纸片A B C中,A B=A C,∠A=40°,折叠该纸片,使点A落在点B处,折痕为DE,则∠C BE=___°．
17.如图,小明上午在理发店理发时,从镜子内看到背后普通时钟的时针与分针的位置如图所示,此时时间是______．
18.如图,△A B C中,B C的垂直平分线DP与∠B A C的角平分线相交于点D,垂足为点P,若∠B A C=84°,则∠B D C=_____．
故答案选C.
[点睛]本题考察等边三角形性质,看到等边三角形应想到三条边相等,三线合一.
10.如图,在等边三角形A B C中,中线A D,BE交于F,则图中共有等腰三角形()
A.3个B.4个C.5个D.6个
[答案]D
[解析]
分析：利用等边三角形三线关系以及等边三角形的性质得出即可．
详解：∵在等边三角形A B C中,中线A D、BE交于F,
23.如图,在△A B C中,A C=B C,A D平分∠B A C,∠A D C=60°,求∠C的度数．
24.如图, △A B C中,∠A C B＝90°,∠B A C＝30°,将线段A C绕点A顺时针旋转60°得到线段A D,连接C D交A B于点O,连接B D.
(1)求证：A B垂直平分C D；
3.下列轴对称图形中,对称轴条数最少的是（）
A.等边三角形B.正方形C.正六边形D.圆
[答案]A
[解析]
A3条,B4条,C6条,D无数条,故选A
4.如图,△A B C中,A C＝A D＝B D,∠D A C＝80º,则∠B的度数是（）
A.40ºB.35ºC.25ºD.20º
[答案]C
[解析]
分析：先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A D C的度数,再根据等腰三角形的性质及三角形外角与内角的关系求出∠B的度数即可．
A.1个B.3个C.2个D.4个
[答案]B
[解析]
[分析]
由题意可得两个中点及这两个中点所对的大正方形的顶点所组成的图形都满足条件．
[详解]由图可得两个中点及这两个中点所对的大正方形的顶点所组成的图形都满足条件.
如图所示,符合题意的有3个三角形.
故选B.
[点睛]本题考查了轴对称的性质；确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关键.
[答案]C
[解析]
[分析]
根据等边三角形三线合一得到B D垂直平分C A,所以C D= ,另有 ,从而求出BE的长度.
[详解]解：由于△A B C是等边三角形,则其三边相等,B D也是A C的垂直平分线,即A B=B C=C A=6,A D=D C=3,已知CE=C D,则CE=3.而BE=B C+CE,因此BE=6+3=9.
（1）在图中的点上标出相应字母A、B、C,并求出△A B C的面积；
（2）在图中作出△A B C关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（3）写出点A1,B1,C1的坐标．
22.如图,在等腰△A B C中,A B＝A C,△A DE是等边三角形,且DE∥B C,A D,AE分别交B C于点M,N.求证：BM＝CN.
=B C+A C
=12+8
=20．
故选B．
[点睛]本题主要考查线段垂直平分线的性质,熟练掌握性质是解题的关键．
6. 如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的距离为
A. 40海里B. 60海里C. 70海里D. 80海里
∴A D⊥B C,BE⊥A C,∠A BE=∠C BE=∠B A D=∠C A D=30°,DE为△A B C中位线,
∴DE∥A B,
∴∠BED=∠A DE=30°,∠ED C=60°,
∴∠B AF=∠FB A=30°,∠FDE=∠FED=30°,∠EA D=∠A DE=30°,∠D BE=∠DEB=30°,
人教版八年级上册《轴对称》单元测试卷