高三数学第一轮复习《直线与圆 圆与圆 》讲义

直线与圆、圆与圆的位置关系 要点梳理 1．直线与圆的位置关系

位置关系有三种：___相离_____、___相切_____、___相交_____． 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：

(1)代数法：――→判别式Δ＝b2－4ac >0⇔相交＝0⇔相切<0⇔相离 (2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系： dr⇔___相离_____..

2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． 弦长|AB|＝2r2－d2 (2)代数方法 运用韦达定理及弦长公式 |AB|＝1＋k2|xA－xB|＝(1＋k2)[(xA＋xB)2－4xAxB]． 说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法． 3．求过点P(x0，y0)的圆x2＋y2＝r2的切线方程与切线长 (1)过点P作圆的切线有三种类型： 若圆的方程为x2＋y2＝r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为____ x0x＋y0y＝r2________________________． 注：点P必须在圆x2＋y2＝r2上． 经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上点P(x0，y0)的切线方程为___ _(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2__________．

若P(x0，y0)在圆外时，则过P的切线方程可设为y－y0＝k(x－x0)，利用待定系数法求解．一般运用圆心到直线的距离等于半径，但注意有两条切线说明：k为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的情况． 当P在圆内时，不存在． (2)切线长的求法： 过圆C外一点P作圆C的切线，切点为M，半径为R，则|PM|＝|PC|2－R2. 4．判断圆与圆的位置关系常用方法：从圆心距和两圆半径的关系入手 (几何法)设⊙C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，⊙C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)，则有： |C1C2|>r1＋r2⇔⊙C1与⊙C2____相离____； |C1C2|＝r1＋r2⇔⊙C1与⊙C2____外切 ____； |r1－r2|<|C1C2||C1C2|＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔⊙C1与⊙C2___内切_____； 0≤|C1C2|<|r1－r2|⇔⊙C1与⊙C2___内含_____． 设两圆圆心分别为O1、O2，半径为r1、r2 (r1≠r2)，则|O1O2|>r1＋r2__相离______； (2)已知两圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则与两圆共交点的圆系方程为___(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0____，其中λ为λ≠－1的任意常数，因此圆系不包括第二个圆． 当λ＝－1时，为两圆公共弦所在的直线，方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0. 5．求圆外一点P到圆O上任意一点距离的最小值为|PO|－r，最大值为|PO|＋r(其中r为圆O的半径)．

基础自测 1． 已知圆C经过M(2，－1)和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上，则圆C的方程为_____(x－1)2＋(y＋2)2＝2_________________ 2．直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是__相交______． 3．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是___(－∞，0)∪(10，＋∞)_____________． 4．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 5．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥23，则k的取值范围是( )

A.－34，0 B.－∞，－34∪[)0，＋∞ C.－33，33 D.－23，0 6．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为( ) A．x＋3y－2＝0 B．x＋3y－4＝0 C．x－3y＋4＝0 D．x－3y＋2＝0

题型一 直线与圆的位置关系 例1已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12． 试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点； (1)方法一 证明

由 y＝kx＋1，(x－1)2＋(y＋1)2＝12， 消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0， 因为Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)>0， 所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点． 方法二证明 圆心C(1，－1)到直线l的距离d＝|k＋2|1＋k2，圆C的半径R＝23，R2－d2＝12

－k2＋4k＋41＋k2＝11k2－4k＋81＋k2，而在S＝11k2－4k＋8中，Δ＝(－4)2－4×11×8<0，故11k2－4k＋8>0对k∈R恒成立， 所以R2－d2>0，即d方法三 (1)证明 因为不论k为何实数，直线l总过点A(0，1)，而|AC|＝5<23＝R，所以点A(0,1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点A. 所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．

题型二 圆的弦长、中点弦问题 例2 已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0. (1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程； (2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程． 解 (1)方法一

如图所示，|AB|＝43，取AB的中点D，连接CD，则CD⊥AB，连接AC、BC， 则|AD|＝23，|AC|＝4， 在Rt△ACD中，可得|CD|＝2. 当直线l的斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx， 即kx－y＋5＝0.

由点C到直线AB的距离公式，得|－2k－6＋5|k2＋－12＝2，解得k＝34.

当k＝34时，直线l的方程为3x－4y＋20＝0. 又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0. ∴所求直线的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0. 方法二 当直线l的斜率存在时，设所求直线的斜率为k， 则直线的方程为y－5＝kx，即y＝kx＋5.

联立直线与圆的方程 y＝kx＋5，x2＋y2＋4x－12y＋24＝0， 消去y，得(1＋k2)x2＋(4－2k)x－11＝0.① 设方程①的两根为x1，x2，

由根与系数的关系，得 x1＋x2＝2k－41＋k2，x1x2＝－111＋k2.② 由弦长公式，得1＋k2|x1－x2| ＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝43.

将②式代入，解得k＝34， 此时直线方程为3x－4y＋20＝0. 又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x＝0. ∴所求直线的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.

(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则CD⊥PD，即CD→·PD→＝0， (x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0， 化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.

变式训练2已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12．求直线l被圆C截得的最短弦长．

方法一 设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则直线l被 圆C截得的弦长 |AB|＝1＋k2|x1－x2|＝28－4k＋11k21＋k2＝2 11－4k＋31＋k2， 令t＝4k＋31＋k2，则tk2－4k＋(t－3)＝0， 当t＝0时，k＝－34，当t≠0时，因为k∈R， 所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，故t＝4k＋31＋k2的最大值为4，此时|AB|最小为27. 方法二解 由平面几何知识，

知|AB|＝2R2－d2＝2 8－4k＋11k21＋k2，下同方法一． 方法三 由平面几何知识知过圆内定点A(0,1)的弦，只有和AC (C为圆心)垂直时才最短，而此时点A(0,1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|＝212－5＝27， 即直线l被圆C截得的最短弦长为27.

题型三 圆的切线问题 例3 已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4． (1)求过M点的圆的切线方程； (2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值； 解 (1)圆心C(1,2)，半径为r＝2， ①当直线的斜率不存在时，方程为x＝3. 由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切． ②当直线的斜率存在时， 设方程为y－1＝k(x－3)， 即kx－y＋1－3k＝0. 由题意知|k－2＋1－3k|k2＋1＝2，解得k＝34.

∴方程为y－1＝34(x－3)，即3x－4y－5＝0. 故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0. (2)由题意有|a－2＋4|a2＋1＝2，

解得a＝0或a＝43. 探究提高 求过一点的圆的切线方程，首先要判断此点是否在圆上．若在圆上，该点为切点；若不在圆上，切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用待定系数法求解．注意，需考虑无斜率的情况．求弦长问题，要充分运用圆的几何性质．

变式训练3已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程； 解 将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2. ①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，