时间测量中随机误差的分布规律
分析化学误差和分析数据处理2
15
（三）准确度与精密度的关系
1. 准确度高，要求精密度一定高，精密度高 是准确度高的前提，但精密度好，准确度不一 定高。 2. 准确度反映了测量结果的正确性，精密度 反映了测量结果的重现性。
12
例： 两人分析同一试样中Cu的含量，其结果ω如下： 甲 0.3610 0.3612 0.3608 乙 0.3641 0.3642 0.3643 已知其含Cu的量的真实值为0.3606，试问何人结果的准 确度高？ 解：
x RE % 100% 100%
甲： X ＝0.3610
16
四、提高分析准确度的方法
1．选择恰当的分析方法 例：测全Fe含量 K2Cr2O7法 40.20% ±0.2%×40.20% 比色法 40.20% ±2.0%×40.20% （常量组分的分析，常采用化学分析，而微量和痕量分 析常采用灵敏度较高的仪器分析方法） 2．减小测量误差 1）称量 例：天平一次的称量误差为 0.0001g，两次的称量误差为 0.0002g，RE%≤ 0.1%，计算最少称样量？
n x
100%
10
滴定分析中时， R d 一般要求<0.2﹪
3. 标准偏差(standard deviation)与相对标准偏差 （1）.标准偏差S
S
( xi x)
i 1
n
2
n 1
n
di
i 1
n
2
n-1=f
自由度
n 1
当n→∞，标准偏差用б表示
( xi ) 2 μ 为无限多次测定的平均值(总体平均值) 若无系统误差存在，µ 就是真实值 i 1 n
不确定度分析
误 差
环境误差
来 源
方法误差(理论误差)
按复杂规律变化的系统误差
人员误差
检验与测试
不确定度分析
误差概念
随机误差
在实际测量条件下，多次测量同一量值，若误差的绝对值和符号 以不可预定的方式变化。
随机误差最 常见的分布 规律是正态
分布
1.在出现的范围上存在有界性。 2.从误差大小规律看，存在单峰性。 3.正、负误差的分布具有对称性。 4.正、负误差具有抵偿性。
测量误差＝测量结果-真值＝（测量结果-总体均值）＋（总体均值－真值） ＝随机误差＋系统误差(代数和)
检验与测试
不确定度分析
误差概念
系统误差
在相同条件下多次测量同一物理量时，如果所产生误差的大小和 符号均保持恒定，或在条件改变时误差能按一定规律改变的误差。
恒定系统误差
设备误差
类
线性系统误差
型
周期性系统误差
检验与测试
不确定度分析
学习目标
应知
1 误差与不确定度的概念 2 误差与不确定度的区别 3 影响不确定度的因素 4 不确定度的计算与表达
应会
1 能分析影响不确定度的因素 2 能计算测量不确定度 3 能表达测量不确定度
训练项目
1 电钻的发热测试不确定度的计算与表达
检验与测试
不确定度分析
测量误差
误差概念
电机绕组采用电阻法，元器件采用热电偶法。 2．测量设备
设备名称 数字直流电桥 多量程混合式记录仪
热电偶 温湿度计
型号 QJ-83 AH3745
J型 ZJ1-2A
测量范围 0～20Ω -200.0～250℃ ±1.0℃ -35℃～45℃
电动工具检验与测试
误差理论-绪论-附答案
绪论大学的物理实验课是高等院校理科的一门必修基础课程，是对学生进行科学实验基本训练，提高学生分析问题和解决问题能力的重要课程。
它与物理理论课具有同等重要的地位。
这里主要介绍测量误差理论、实验数据处理、实验结果表述等初步知识，这是进入大学物理实验前必备的基础。
物理实验可分三个环节：1）课前预习，写预习报告。
2）课堂实验，要求亲自动手，认真操作，详细记录。
3）课后进行数据处理，完成实验报告。
其中：预习报告的要求：1）实验题目、实验目的、实验原理（可作为正式报告的前半部分）。
2）画好原始数据表格，单独用一张纸。
实验报告内容：（要用统一的实验报告纸做）1)实验题目；2)实验目的；3)实验原理：主要公式和主要光路图、电路图或示意图，简单扼要的文字叙述；4)主要实验仪器名称、规格、编号5)实验步骤：写主要的，要求简明扼要；6) 数据处理、作图（要用坐标纸）、误差分析。
要保留计算过程，以便检查；7) 结论：要写清楚，不要淹没在处理数据的过程中；8) 思考题、讨论、分析或心得体会；9) 附：原始数据记录。
测量误差及数据处理误差分析和数据处理是物理实验课的基础，是一切实验结果中不可缺少的内容。
实验中的误差分析，其目的是对实验结果做出评定，最大限度的减小实验误差，或指出减小实验误差的方向，提高测量结果的可信赖程度。
对低年级大学生，重点放在几个重要概念及最简单情况下的误差处理方法。
一、测量与误差1、测量：把待测量与作为标准的量（仪器）进行比较，确定出待测量是标准量的多少倍的过程称为测量。
测量得到的实验数据应包含测量值的大小和单位。
2、测量的分类测量可以分为两类。
按照测量结果获得的方法来分，可分为直接测量和间接测量两类；而从测量条件是否相同来分，又可分为等精度测量和非等精度测量。
直接测量就是把待测量与标准量直接比较得出结果。
如用米尺测量物体的长度，用电流表测量电流等。
间接测量是借助函数关系由直接测量的结果计算出的物理量。
测量学讲稿第四章 测量误差及测量数据
第四章 测量误差及测量数据初步处理通过前几章的学习，我们会发现：水准测量中闭合路线的高差总和往往不等于零；用经纬仪观测同一水平角，上下半测回的角值不完全相同；同一段距离往返丈量的结果也不一定相等。
这些差异现象的存在，表明测量观测值中含有误差。
§4—1 测量误差及测量精度1，误差概念及误差来源1）观测对象的量是客观存在的，称为真值。
2）真误差：观测值为i l （n i ,,2,1 ），某观测值的真值为x ，则两者差数x l i i （n i ,,2,1 ） （4—1）称为真误差3）产生原因：人，仪器，外界条件。
这三者称为观测条件。
4）同精度观测：在相同的观测条件下进行的一组观测，得到的观测也应相同称为同精度观测。
2，误差分类及特征1，误差分类：根据观测误差对观测结果的影响性质，可将其分为系统误差和偶然误差： （1）系统误差系统误差是在一定的观测条件下作一系列观测时，误差符号和大小均保持不变，或按一定规律变化着的误差。
产生的原因：主要是使用的仪器和工具不够完善及外界条件改变所引起的。
如水准尺的1m 刻画与1m 真长不等，水准仪的视准轴与水准轴不平行，大气折光对测角的影响等。
系统误差对观测成果具有累积作用，应设法消除部分或全部的系统误差，方法有：1）在观测方法和程序上采取必要措施，如水准测量中的前后视距保持相等，分上下午进行往返观测，三角测量中正倒镜观测，盘左、盘右读数，分不同的时间段观测等；2）分别找出产生系统误差的原因，利用已有公式，对观测值进行改正，如对距离观测值进行必要的尺长改正、温度改正、地球曲率改正等。
（2）偶然误差偶然误差是在相同的观测条件下作一系列观测时，误差符号和大小都表现出随机性，即大小不等，符号不同，但统计分析的结果都具有一定的统计规律性。
偶然误差是：由于人的感觉器官和仪器的性能受到一定的限制，以及观测时受到外界条件的影响等原因造成的。
如仪器本身构造不完善而引起的误差，观测者的估读误差，照准目标时的照准误差等，不断变化的外界环境，温度、湿度的忽高忽低，风力的忽大忽小等，会使观测数据有时大于被观测值的真值，有时小于被观测值的真值。
6测量_实验误差
医学测量中的误差分析误差理论及其意义实验设计的目的之一就是尽量控制与减少实验误差，实验效应的测量离不开实验误差的研究。
误差公理与研究意义❖误差公理(law of errors):凡实验结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科学实验的过程中。
❖误差理论可以帮助我们正确组织医学实验和测量，合理地设计仪器、选用仪器及选定测量方法，使我们以最经济的方式获得最有效的结果。
❖绝对误差(absolute error): 测量值与真值之差，简称误差。
绝对误差＝测量值－真值。
❖真值是在某一时刻和某一位置或状态下，某量的效应所体现出的客观值或实际值。
一般说来，真值是未知的，通常是指用最精密和最准确的手段和严格的实验条件下所测定之值。
❖相对误差(relative error)绝对误差与真值之比。
相对误差(%)＝(绝对误差÷真值)×100%❖精密度（precision）精密度是指同一方法重复测量同一样品时，测定值的一致程度。
❖其大小是由随机误差决定的。
衡量精密度的统计指标是标准差（s）和变异系数(CV)。
变异系数与精密性呈反比，即CV愈大，精密性愈低，反之亦然。
❖准确度（accuracy）准确度是指测定值与真实值的接近程度。
其大小主要由系统误差控制，但也受随机误差的影响。
由于在大多数情况下真实值难以或不能求得的，因而通常以回收量与加入量的百分比（回收率recovery rate，R）来估计接近真实值的程度。
❖V A代表加入标准量，V B代表未加标准量前的测定值，V P代表加入标准量后的测定值。
P BAV-VR(%)=100%V❖偏差系数（coefficient of bias, CB）CB（％）=100％-R（％）偏差系数与准确度呈反比，即偏差系数愈大，准确性愈低，反之亦然。
误差的表达❖精确度（exactitude）精密度与准确度的综合表达就是精确度。
❖尽管精密度与准确度的性质不同，但两者都是用来说明与误差有关的指标，可将二者综合考虑，以评价误差。
第一章测量误差的分析与处理
随机误差大多是由测量过程中大量彼此独立的微小因 素对测量影响的综合结果造成的。这些因素通常是测量者 所不知道的，或者因其变化过分微小而无法加以严格控制 的。如气温和电源电压的微小波动，气流的微小改变等。
例如，仪表使用时的环境温度与校验时不同，并且是变化的，这就会 引起变值系统误差。变值系统误差可以通过实验方法找出产生误差的 原因及变化规律，改善测量条件来加以消除，也可通过计算或在仪表 上附加补偿装置加以校正。
未被充分认识只能估计它的误差范围，在测量结果上标明。
(3)随机误差
在相同条件下(同一观测者，同一台测量器具，相同的环 境条件等)多次测量同一被测量时，绝对值和符号不可预 知地变化着的误差称为随机误差。
(3)准确度：精密度与正确度的综合称准确度，它反映 了测量结果中系统误差和随机误差的综合数值，即测量结 果与真值的一致程度。准确度也称为精确度。
对于同一被 测量的多次 测量，精密 度高的准确 度不一定高， 正确度高的 准确度也不 一定高，只 有精密度和 正确度都高 时，准确度 才会高。
三、不确定度
是表示用测量值代表被测量真值的不肯定程度。
它是对被测量的真值以多大的可能性处于以测量 值为中心的某个量值范围之内的一个估计。
不确定度是测量准确度的定量表示。不确定度愈 小的测量结果，其准确度愈高。在评定测量结果 的不确定度时，应先行剔除坏值并对测量值尽可 能地进行修正。
第二节 随机误差的分布规律
测量系统和测量条件不变时，增加重复测 量次数并不能减少系统误差。
第2讲 测试系统及其基本特性(静态、动态1)
仪表的准确度等级和基本误差
例：某指针式电压表的精度为 2.5级，用它来测量电压时可能产 生的满度相对误差为2.5% 。
例：某指针式万用 表的面板如图所 示，问：用它来测 量直流、交流 （~）电压时，可 能产生的满度相对 误差分别为多少？
例：用指针式万用表 的10V量程测量一只 1.5V干电池的电压， 示值如图所示，问： 选择该量程合理吗？
（m/s）、物位、液位h（m） m/s）、
机械量 （第4、5、6、7、10章） 10章
• 直线位移x（m）、角位移α、速度、加速度a
（ m/s2） 、转速n（r/min）、应变 ε （μm/m ）、力矩 m/s2） r/min）、 T（Nm）、振动、噪声、质量（重量）m（kg、t） Nm）、 kg、
3、测量误差及分类
绝对误差：
Δ=Ax－Ａ0
(1-1)
某采购员分别在三家商店购买100kg大 米、10kg苹果、1kg巧克力，发现均缺少约 0.5kg，但该采购员对卖巧克力的商店意见 最大，是何原因？
相对误差及精度等级
几个重要公式： γ A = Δx / A × 100%
γ x = Δx / x × 100%
测量范围
x
实际总是用定度曲线的拟合直线的斜率作为该装置的灵敏 度。
Δy S= Δx
灵敏度的单位取决于输入、输出量的单位 Ⅰ 当输入输出量纲不同时，灵敏度是有量纲的 量； Ⅱ 当输入输出量纲相同时，灵敏度是无量纲的 量。此时的灵敏度也称为“放大倍数”或“放大比”。
例 位移传感器，位移变化1mm时，输出电压变化为 300mV，求系统的灵敏度。
几何量（第10章） 10章
• 长度、厚度、角度、直径、间距、形状、粗糙度、硬
第二章误差分析讲解
第三节 有限测量数据的统计处理
一、偶然(随机)误差的正态分布
同一矿石样品的n次测定值：
23
y
测量值的波动符合正态分布
y
1
2
exp
1 2 x源自2
µ -0 +
x(测量值) x-µ(误差)
y 表示概率密度
σ—总体标准偏差，表示数据的离散程度
μ—无限次测量的总体平均值，
即F
s12 s22
s1
s2
P一定时，查 F , f1, f2
注意：f1为大方差的自由度 f2为小方差的自由度
如F F ，则两组数据的精密度不存在显著性差异 ，f1, f2
如F F ，则两组数据的精密度存在显著性差异 ，f1, f2 33
练习
例：在吸光光度分析中，用一台旧仪器测定溶液的
由P 95%, f大 5，f小 3 F表 9.01
F F表 两仪器的精密度不存在显著性差异
34
（二）t检验（准确度显著性检验）
1. x 与µ比较
x
t
n
S
当t≥tα,f 存在显著性差异 当t<tα,f 不存在显著性差异
35
练习
例：采用某种新方法测定基准明矾中铝的百分含量， 得到以下九个分析结果，10.74%，10.77%， 10.77%，10.77%，10.81%，10.82%，10.73%， 10.86%，10.81%。试问采用新方法后，是否 引起系统误差？（P=95%）已知含量为10.77%。
26
2.t一定时，由于f不同， 则曲线形状不同，所包 括的面积不同，其概率 也不同。
27
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。 。 1
实验报告 实验名称 时间测量中随机误差的分布规律
实验目的 用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量
的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。
实验仪器 机械节拍器，电子秒表。
实验原理 1.常用时间测量仪表的简要原理
（1）机械节拍器 （2）电子节拍器 （3）电子秒表 （4）VAFN多用数字测试仪 用电子秒表测量机械节拍器发声的时间间隔,机械节拍器按一定的频率发出有规律的声响，电子秒表用石英晶体振荡器作时标,一般用六位液晶数字显示,其连续积累时间为59min59.99s,分辨率为0.01s,平均日差0.5s。 2.统计分布规律的研究 假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为一恒定值）的条件下，对某物理量x进行N次等精度测量，当测量次数N趋向无穷时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布（有成高斯分布）的概率密度函数表示，
]2)x-(xexp[-21)(22xf （1）
其中 nxxn1ii （2） 1-n)x-(xn1i2i （3） aa-f(x)dxP(a) （4） 式中a=σ，2σ，3σ分别对应不同的置信概率。 （1）统计直方图方法 用统计直方图表示被研究对象的规律简便易行，直观清晰。 在一组等精度测量所得的N个结果x1，x2，…，xN中，找出它的最大值xmax与最小值xmin，并求出级差R=xmax - xmin，由级差分为K个小区间，每个小。 。 2
区域的间隔（△x）的大小就等于Kx-xKRminmax。统计测量结果出现在某个小区域内的次数ni称为频数，Nni为频率，Nni为累计频率，称为频率密度。以测量值x值为横坐标，以xNni为纵坐标，便可得到统计直方图。 （2）概率密度分布曲线 利用式（1）求出各小区域中点的正态分布的概率密度值f（x），以f（x）为纵坐标，x为横坐标，可得概率密度分布曲线。若概率密度分布曲线与统计直方图上端相吻合，则可以认为测量值是基本符合正态分布的。实际测量中，受测试者的心理因素，外界环境，仪器系统误差，测量次数不可能无穷多等影响，二者不完全重合是很常见的，因此测量值仅是基本符合正态分布。
实验内容 1.时间间隔测量
用电子秒表测量机械节拍器的摆动周期，测量次数要在200次以上。 2.统计规律研究 (时间测量要求在相同的条件下，重复测量200次以上)。
（1）利用式（2）和式（3）计算x和σ。 （2）利用式（1）计算各区中点的f（x）值。 （3）根据测量结果的离散程度，极限差R的大小，合理划分小区间数K，确定其间隔，计算各区间的频率、相对频率、相对频率密度和累计频率，以频率密度为纵坐标，测量值x为横坐标，作统计直方图，并将f（x）—x中曲线绘在统计直方图中，检验测量值分布是否符合正态分布。 （4）利用式（4）计算测量列误差出现在±σ，±2σ，±3σ范围内的概率。 （5）计算测量平均值的标准差，并正确写出测量结果完整的表达式。
测量记录 原始数据记录如下表：
单位:秒（s） 4.00 3.97 4.06 4.00 4.02 4.04 4.00 3.99 4.01 3.99 3.97 4.01 4.04 3.99 3.97 3.97 4.04 3.95 4.02 4.02 3.91 3.95 4.03 4.09 3.99 4.05 3.97 3.96 3.97 4.00 3.95 3.99 4.08 3.99 3.95 3.98 4.02 4.04 4.04 3.96 3.96 4.01 4.00 4.03 3.97 3.92 3.98 4.05 4.05 4.00 3.94 3.90 3.99 3.99 4.02 3.94 4.01 3.95 4.02 3.94 4.06 4.07 3.94 3.95 3.98 3.93 3.94 3.99 3.95 4.02 3.91 3.98 3.97 4.01 4.02 4.01 3.97 3.99 3.97 4.01 3.92 3.99 4.01 4.01 3.96 4.04 4.01 3.98 4.06 4.01 3.98 3.92 4.01 4.04 4.02 3.99 4.04 4.03 3.98 4.06 4.00 4.01 4.04 3.97 3.99 3.94 3.96 4.02 3.99 4.02 4.02 4.00 3.97 4.06 4.04 4.02 3.96 3.98 4.02 4.02 。 。 3
3.99 3.89 4.06 3.98 4.06 4.02 3.95 4.00 4.04 3.99 4.01 4.10 3.98 4.03 3.92 4.00 3.96 4.01 4.02 3.98 3.96 3.95 4.03 4.03 3.98 4.03 4.05 3.98 4.00 3.98 4.00 4.08 4.03 3.99 4.00 4.02 4.00 3.95 3.97 3.96 4.00 4.03 3.99 3.94 3.95 4.02 4.04 3.99 3.99 3.99 4.04 3.96 3.98 4.02 4.03 3.97 3.95 3.98 4.08 4.02 3.99 4.08 4.00 3.99 4.00 4.03 4.08 4.01 4.06 4.06 4.01 3.98 4.02 4.03 3.98 3.94 3.96 3.98 4.01 4.00
数据处理 对原始数据进行处理，最大值xmax=4.10s，最小值xmin=3.89s，平均值x=3.997s，标准差σ=0.041，R=0.21，取K=10，则△x=0.021，得下表：
利用origin7.5作图如下： 3.903.954.004.054.100246810 xNni
Data: Count2_AModel: GaussEquation: y=y0 + (A/(w*sqrt(PI/2)))*exp(-2*((x-xc)/w)^2)Weighting: yNo weighting
Chi^2/DoF= 0.27425R^2= 0.98637
y00.55512±0.37161xc4.00413±0.00145w0.06941±0.00454A0.87912±0.07489
time x/s
A Gauss fit of Count2_A
小区域/s 小区域中点值/s 频数ni 频率(ni/N)% 累计频率(∑ni/N)% 正态分布函数值f(xi) 频率密度xNni
3.886~3.907 3.896 2 1.0 1.0 0.468 0.5 3.907~3.928 3.918 7 3.5 4.5 1.520 1.75 3.928~3.949 3.938 8 4.0 8.5 3.455 2.00 3.949~3.970 3.960 23 11.5 20.0 6.476 5.75 3.970~3.991 3.980 31 15.5 35.5 8.929 7.75 3.991~4.012 4.002 43 21.5 57.0 9.658 10.75 4.012~4.033 4.022 40 20.0 77.0 8.080 10.00 4.033~4.054 4.044 25 12.5 89.5 5.044 6.25 4.054~4.075 4.064 13 6.5 96.0 2.560 3.25 4.075~4.096 4.086 6 3.0 99.0 0.922 1.50 4.096~4.117 4.106 2 1.0 100.0 0.284 0.50 。
。 4
P(σ)=0.690，P(2σ)=0.948，P(3σ)=0.990 （理论值 P(σ)=0.683，P(2σ)=0.954，P(3σ)=0.997） 由上述计算和图表，在一定误差范围内，该测量列基本符合正态分布。
算术平均值的标准差uA=n=0.0029，即为A类不确定度。 考虑置信概率P=0.95的情况, 电子秒表误差分布为正态分布，可取 95.0t=1 仪=0.01s c=3
B类不确定度在0.95的置信概率下置信因子为k=1.96 由不确定度合成公式得
2295095.0()）（仪。ckutUAt
=0.02 P=0.95
误差分析 1.测量次数为有限次，不可能为无穷大，结果会偏离正态分布。
2.测量仪器本身存在系统误差，结果不能十分精确。 3.受外部因素的干扰较多，很多人围在一起测量，会彼此受到影响。 4.测量200多次，一个人要按400多次秒表，手指会产生疲倦感，按钮超前或延后，导致测量结果偏离。
思考题 1.测量次数为有限次，不可能为无穷大，测量仪器本身存在系统误差，测量
200多次，一个人要按400多次秒表，手指会产生疲倦感，受外部因素的干扰较多，很多人围在一起测量，会彼此受到影响等很多因素，都会产生偏离。 2.若不考虑系统误差的条件下，对某一物理量进行多次等精度测量时随机误差的分布规律理论上呈正态分布，得到一条连续光滑的曲线，并且P(σ)=0.683，P(2σ)=0.954，P(3σ)=0.997。具有对称性，单峰性，有界性和抵偿性（即误差的算术平均值随着n趋向无穷而趋于零）。