随机误差统计分布规律
01时间测量中随机误差的分布规律
实验报告：时间测量中随机误差的分布规律张贺PB07210001一、实验题目：时间测量中随机误差的分布规律二、实验目的：用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。
三、实验仪器:电子秒表、机械节拍器四、实验原理：1.常用时间测量仪表的简要原理：（1）机械节拍器：由齿轮带动摆做周期性运动，摆动周期可以通过改变摆锤的位置连续调节。
（2）电子节拍器：由石英晶体振荡器、计数器、译码器、电源和分档控制及显示部分组成。
电子节拍器按一定的频率发出有规律的声响和闪光，声、光节拍范围为 1.5～0.28846s，分为39挡，各挡发生和闪光的持续时间约为0.18s。
（3）电子秒表：兼有数种测时功能（秒、分、时、日、月和星期），便于携带和测量的常用电子计时器。
电子秒表机芯由CMOS 集成电路组成，用石英晶体振荡器作时标，一般用六位液晶数字显示，其连续积累时间数为59min59.99s 。
分辨率为0.01s ，平均日差0.5s 。
（4） V AFN 多用数字测试仪：由PMOS 集成元件和100kHz 石英晶体振荡器构成。
可测量计数、振动、累计、速度、加速度、碰撞、频率、转速、角速、脉宽。
时标：由DC10集成电路和100kHz 石英晶体振荡器组成。
电路可直接输出0.01ms ，0.1ms ，1ms ，10ms ，0.1s ，1s 六挡方波脉冲作为时标信号和闸门时间。
石英晶体振荡器的稳定度为1.2×105-s/d ；频率测量范围1Hz~100kHz ；电信号输入幅度为300mV 。
2. 统计分布规律的研究：假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为一恒定值）的条件下，对某物理量x 进行N 次等精度测量，当测量次数N 趋向无穷大时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布（又称高斯分布）的概率密度函数表示，]2)(exp[21)(22--=σπσx x x f （1）式中x 为测量的算术平均值，σ为测量列的标准差，nxx ni i∑==1（2）1)(12--=∑=n x x ni i σ （3）⎰-=aadx x f a P )()( （4）式中a=σ,2σ,3σ. （1） 统计直方图方法统计直方图是用实验研究某一物理现象统计分布规律的一种直观的方法。
随机误差
测量条件和测量者水平皆相同，则重复测量次数愈 多，其可靠程度也愈大，因此完全可由测量的次数 来确定权的大小。 结论：每组测量结果的权与其相应的算术平均值的 标准差平方成反比。
加权算术平均值
若对同一被测量进行 ｍ 组不等权测量，得 到 ｍ 个测量结果 x1 , x2 ,L , xm ，设相应的测量 次数为 n1 , n2 ,L , nm ，即
0.001 0.0027 0.01
3、小样本标准差已知的情形
置信区间半宽度为(单次测量)
( x ) t p s
置信区间半宽度为(n次测量)
( x ) t p s / n
x ~ t ( ) s
x ~ t ( ) s n
n 自由度 n 1 ，为样本容量
x ~ N ( , n)
(单次测量) p ( x) k p p ( x ) k p n (n次测量)
2、大样本标准差已知的情形
总体标准差未知，但已知大样本标准差 s
p (x ) kp s
p ( x) k p s
n
(单次测量) (n次测量) 查表得到
p P( x k )
x ~ N ( , )
2
k
k
x 2 1 exp dx 2 2 2
2 2
k
0
t2 exp dt 2
2(k ) 1
置信区间半宽度为
x ~ N (0,1) n
这时应利用以下的公式计算：
v xi xi x
x
2 p i v xi i 1 m
( m 1) p i
随机误差的正态分布
1.3
0.3
0.1179
1.4
0.4
0.1554
1.5
0.5
0.1915
1.6
0.6
0.2258
1.7
0.7
0.2580
1.8
0.8
0.2881
1.9
0.9
0.3159
1.96
1.0
0.3413
2.0
1
u u2
e 2 du
2 0
面积
u
0.3643
2.1
0.3849
2.2
0.4032
2.3
0.4192
频率分布图
规律
1. 测量过程中随机误差的存在，使分析结 果高低不齐，即测量数据具有分散的特性。
多数随机误差都服从正态分布规律
2019/8/19
21
随机误差的正态分布规律
次 数 统 计
长度相对测量值
2019/8/19
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随机事例的几个例子
彩票摇奖
2019/8/19
23
下图是射击弹着点示意图，请你分别 说出图a、b、c各是什么原因造成的，应 如何克服？
偏差特别大
弹着点接近 正态分布
弹着点均偏 向右上侧
2019/8/19
找出传感器实际特性曲线与拟合直线之间的最大偏差lmax再除以传感器量程就得到1拟合直线yaxb2实际特性曲线20191537用一台3位精度为05级已包含最后一位的1误差的数字式电子温度计测量汽轮机高压蒸汽的温度数字面板上显示出如图所示的数值
项目1 检测技术基础知识
一．教学目的 1. 学习测量的基本概念、误差的概念以及传感
请判断右图数字表的 位数、分辨力及分辨率。
2019/8/19
仪表背面的接线端子
43
可靠性 ：可靠性是反映检测系统在规
定的条件下，在规定的时间内是否耐用的一 种综合性的质量指标。
浴盆 曲线
2019/8/19
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“老化”试验：在检测设备通电的情况下，
将之放置于高温环境 低温环境 高温环 境……反复循环。老化之后的系统在现场使用 时，故障率大为降低 。
2019/8/19
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判定数字仪表位数的练习
请判断下图数字表的位数
2019/8/19
41
分辨力
分辨力是指仪器能检出和显示被测信号的最小变化量， 是有量纲的数。当被测量的变化小于分辨力时，传感器对输 入量的变化无任何反应。对数字仪表而言，如果没有其他附 加说明，一般可以认为该表的最后一位所表示的数值就是它 的分辨力。一般地说，分辨力的数值小于仪表的最大绝对误 差。例如，下图所示的数字式温度计分辨力为0.1℃，若该仪 表的精度为1.0级，则最大绝对误差将达到±2.0℃，与分辨 力相比差得多。有时在没有其它附加说明的少数情况下，也 可以认为分辨力就等于它的最大绝对误差。
随机误差的统计规律
随机误差的统计规律 实验目的(1) 通过一些简单测量，加深对随机误差统计规律的认识(2) 学习正确估算随机误差、正确表达直接测量结果的一般方法(3) 了解运用统计方法研究物理现象的简单过程实验方法原理对某一物理量在相同条件下进行n 次重复测量(n>100),得到n 个结果,,,,21n x x x 先找出它的最小值和最大值，然后确定一个区间[]x x ''',，使这个区间包含了全部测量数据。
将区间[]x x ''',分成若干个小区间，比如K个，则每个小区间的间隔∆为 Kx x '-''=∆，统计测量结果出现在各个小区间的次数M (称为频数)。
以测量数据为横坐标，只需标明各区间的中点值，以频数M 为纵坐标，画出各小区间及其对应的频数高度，则可得到一组矩形图，这就是统计直方图。
直方图的包络表示频数的分布，它反映了测量数据的分布规律，也即随机误差的分布规律。
实验步骤(1) 用钢卷尺测量摆线长。
(2) 用游标卡尺测量摆球直径。
(3) 当摆长不变，摆角(小于5o )保持一定时，摆动的周期是一个恒量，用数字秒表测量单摆的周期至少100次，计算测量结果的平均值T 和算术平均值的标准差)(x S 。
(4) 保持摆长不变，一次测量20个以上全振动的时间间隔，算出振动周期。
数据处理990.0=l m 03364.0=d m 00682.12=+=d l L m2044.40='T s051.21001001==∑=i ix T s0067240110012.)()()(=--=∑=n n x x x S i i s )01.005.2()(2±=±=x S T T s022.22044.40=='T s 222/2910.94s m L Tg T ==π 222/5594.94s m L T g T ='='π 20/80891.9s m g =%28.5%10000=⨯-=g g g E T T %54.2%10000=⨯-='g g g E T T思考 1. 什么是统计直方图? 什么是正态分布曲线?两者有何关系与区别?答：对某一物理量在相同条件下做n 次重复测量，得到一系列测量值，找出它的最大值和最小值，然后确定一个区间，使其包含全部测量数据，将区间分成若干小区间，统计测量结果出现在各小区间的频数M ，以测量数据为横坐标，以频数M 为纵坐标，划出各小区间及其对应的频数高度，则可得到一个矩形图，即统计直方图。
随机误差的正态分布.
测量值出现的区间
x=μ±1σ x=μ±1.96σ x=μ±2σ x=μ±2.58σ x=μ±3σ
概率
68.3% 95.0% 95.5% 99.0% 99.7%
例：已知某试样质量分数的标准值为1.75%， σ=0.10%；无系统误差。求：(1)分析结果落在 (1.75±0.15)%范围内的概率；(2)分析结果大于 2.00%的概率。
解：(1)
u x x 1.75% 0.15% 1.5
0.10% 0.10%
(2) 属于单边检验问题： u x 2.00% 1.75% 2.5
0.10%
阴影部分的概率为0.4938。正态分布曲线右侧的概率 为 0.5000 ， 故 阴 影 部 分 以 外 的 概 率 为 0.5000 － 0.4938=0.62% ， 即 分 析 结 果 大 于 2.00% 的 概 率 为 0.62%。
概率P为： p
(u) du
1
eu2 / 2du
2
大多数测量值集中在算术平均值的附近； 小误差出现的几率大,大误差出现的几率小，
特大误差出现的几率极小； 绝对值相等的正、负误差出现的几率趋于相
等。
表3-2 正态分布概率积分表
图 7-5 正态分布概率积分图
y f (x)
1
e( x )2 / 2 2
2
y：概率密度； x：测量值 μ：总体平均值，即无限次测定数据的平均值，无系 统误差时即为真值；反映测量值分布的集中趋势。
σ：总体标准偏差，反映测量值分布的分散程度； x-μ：随机误差
概率
随机误差统计规律分布特点
随机误差统计规律分布特点
随机误差（也称为观测误差）是指在测量过程中出现的偶然性误差，它是由于测量条件难以完全控制而引起的不可避免的误差。
随机误差的分布规律通常符合“正态分布”（也称为高斯分布）的特点，即在概率密度函数上表现为一条钟形曲线，其峰值位于均值处，标准差越小，曲线越陡峭，反之曲线越平缓。
正态分布具有以下特点：
1.对称性：分布函数两侧的曲线相对称。
2.峰度（尖峰度）：高峰陡峭，翼部较平缓。
3.均值与中位数相等。
4.标准差越小，分布曲线越陡峭。
5.曲线下方的面积为1。
正态分布是自然界和社会现象中广泛存在的一种分布形式，它的出现是由于众多随机变量的叠加作用所导致的。
在测量界中，正态分布被广泛应用于误差分析、可靠性评价、质量管理等方面。
时间测量中随机误差的分布规律
核科学技术学院 2010 级 学号 PB10214023 姓名 张浩然 日期 2011-3-24时间测量中的随机误差分布规律PB10214023 张浩然一、实验题目：时间测量中的随机误差分布规律二、实验目的：同常规仪器测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。
三、实验仪器：电子秒表、机械节拍器四、实验原理：1、仪器原理机械节拍器能按一定频率发出有规律的声响，前者利用齿轮带动摆作周期运动，后者利用石英晶体的振荡完成周期运动；电子秒表用石英晶体振荡器作时标测时，精度可达0.01s ； 2、统计分布规律原理在近似消除了系统误差的前提下，对时间t 进行N 次等精度测量，当N 趋于无穷大时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布的概率密度函数表示：222)(21)(σπσx x ex f --=其中n x x ni i∑==1，为测量的算术平均值，1)(12--=∑n x xniσ，为测量列的标准差，有 ⎰-=aa dxx f a P )()(，σσσ3,2,=a利用统计直方图表示测量列的分布规律，简便易行、直观明了。
在本实验中利用f(x)得到概率密度分布曲线，并将其与统计直方图进行比较，在一定误差范围内认为是拟合的，可认为概率密度分布基本符合正态分布，其中的误差是由于环境、仪器、人的判断误差、N 的非无穷大等所决定的。
五、实验步骤：1、检查实验仪器是否能正常工作，秒表归零；2、将机械节拍器上好发条使其摆动，用秒表测量节拍器四个周期所用时间，在核科学技术学院2010 级学号PB10214023 姓名张浩然日期2011-3-24等精度条件下重复测量约200次（本实验中实际测量224次），记录每次的测量结果；3、对数据进行处理（计算平均值、标准差、作出相应图表、误差分析等）；六、数据处理：1.实验数据如下：（单位：s）初步分析得2.由公式（2）（3）计算得: （单位：s）x=平均值 2.415σ=标准差0.1198473.机械节拍器的频数和频率密度分布：令K=16核科学技术学院 2010 级 学号 PB10214023 姓名 张浩然 日期 2011-3-24有 0max min ()/0.04625x x x K ∆=-= （单位：s ） 取max min ()/0.05x x x K ∆=-=（单位：s ）有测量数据的频数和频率密度分布表如下： 小区域/s 小区域中点值/s 频数i n /s 相对频数(/)/%i n N累计频数(/)/%i n N ∑1.95-2.20 1.975 1 0.446428571 0.446428571 2.20-2.05 2.025 1 0.446428571 0.892857143 2.05-2.10 2.075 1 0.446428571 1.339285714 2.10-2.15 2.125 3 1.339285714 2.678571429 2.15-2.20 2.175 2 0.8928571433.571428571 2.20-2.25 2.225 7 3.1256.696428571 2.25-2.30 2.275 177.589285714 14.28571429 2.30-2.35 2.325 31 13.83928571 28.125 2.35-2.40 2.375 28 12.540.6252.40-2.45 2.425 44 19.64285714 60.26785714 2.45-2.50 2.475 26 11.60714286 71.875 2.50-2.55 2.525 35 15.625 87.5 2.55-2.60 2.575 14 6.2593.752.60-2.65 2.625 10 4.464285714 98.21428571 2.65-2.70 2.675 3 1.339285714 99.55357143 2.70-2.752.72510.4464285711004.统计直方图和概率密度分布曲线图像：核科学技术学院 2010 级 学号 PB10214023 姓名 张浩然 日期 2011-3-245.不确定度分析：0.950.015694973s A U t n==对于电子秒表，人的反应时间为0.2s ，远大于0.01s ，则取B ∆=∆估；对于秒表，取C=3。
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实验题目：时间测量中的随机误差分布规律
实验目的：用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分
布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。
实验原理：1、常用时间测量仪表的简要原理
（1）机械节拍器由齿轮带动摆作周期性运动。
（2）电子节拍器按一定的频率发出有规律的声响和闪光。
（3）电子秒表兼有数种测时功能。
电子秒表机芯由CMOS 集成电路组成，用石英晶体振荡器
作时标，一般用六位夜晶数字显示。
（4）V AFN 多用数字测试仪由PMOS 集成元件和100kHz 石英晶体振荡器构成。
六档方波脉冲
作为时标信号和闸门时间。
2、统计分布规律和研究
(1)假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为一恒定值）
的条件下，对时间t 进行N 次等精度测量，当测量次数N 趋于无穷大时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布的概率密度函数表示：
2
22)(21
)(σπ
σx x e
x f --
=
其中n
x
x n
i i
∑==
1
为测量的算术平均值，
1
)(1
2
--=∑=n x x
n
i i
σ为测量列的标准差，
⎰-=a a
dx x f a P )()( 式中σσσ3,2,=a
(2)概率密度分布曲线
求出各小区间中点的正态分布的概率密度值f(x),以f(x)为纵坐标，t 为横坐标，可得概率
密度分布曲线。
若此概率密度分布曲线与统计直方图上断相吻合，则可认为测量值是基本符合正态分布的。
实验步骤：1、时间测量
（1）用电子秒表测量机械节拍器的摆动周期（以3个周期为一测量周期）。
（2）将机械节拍器上好发条使其摆动，在等精度条件下重复测量150，记录每次的测量结果。
2、数据进行处理（计算平均值、标准差、作出相应图表、误差分析等）及统计规律研究。
实验器材：电子秒表、机械节拍器
实验桌号：6号
数据处理：
实验所测的原始数据如下（单位：秒）：
表一：原始数据
数据分析如下：
最小值：x min =5.03s 最大值：x max =5.24s
平均值：
s
x i i
x
12.5150
150
1
==
∑=
标准差：
s
x i i
x 047.01
150)
(1501
=--=
∑=σ
统计频数得下表：
表二：节拍器的频数和频率分布表
5.18 5.15 5.07 5.18 5.10 5.16 5.13 5.18 5.04 5.145.24 5.18 5.18 5.08 5.16 5.18 5.11 5.19 5.05 5.165.20 5.18 5.10 5.09 5.18 5.17 5.14 5.18 5.12 5.135.18 5.13 5.16 5.12 5.14 5.09 5.09 5.14 5.15 5.095.15 5.10 5.14 5.13 5.13 5.15 5.16 5.13 5.05 5.165.15 5.13 5.13 5.05 5.09 5.17 5.10 5.11 5.06 5.155.22 5.10 5.15 5.12 5.10 5.17 5.08 5.08 5.13 5.075.11 5.09 5.11 5.08 5.14 5.13 5.13 5.05 5.09 5.065.17 5.18 5.14 5.15 5.05 5.14 5.23 5.12 5.11 5.085.16 5.19 5.12 5.12 5.13 5.15 5.13 5.06 5.08 5.135.15 5.24 5.16 5.14 5.10 5.05 5.08 5.09 5.17 5.125.09 5.09 5.10 5.08 5.09 5.14 5.03 5.04 5.18 5.045.19 5.17 5.15 5.09 5.13 5.19 5.10 5.07 5.18 5.085.20 5.18 5.10 5.06 5.10 5.19 5.09 5.05 5.05 5.175.13 5.16 5.13 5.08 5.03 5.05 5.05 5.19 5.12 5.10
区域起始/s 区域末尾/s 区域中点/s 频数频率
5.020 5.045
5.032550.0335.045 5.070 5.0575140.0935.070 5.095 5.0825260.1735.095 5.120
5.1075170.1135.120 5.145 5.1325350.2335.145 5.170 5.1575200.1335.170 5.195 5.1825270.1805.195 5.220
5.207520.0135.220 5.245
5.232540.027
根据上表作出统计直方图，并拟合一条高斯曲线：
节拍器频数和频率的统计直方图和高斯拟合曲线
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
n/N
图一：节拍器频数和频率的统计直方图和高斯拟合曲线
由公式：
2
22)(21
)(σπ
σx x e
x f --
=
⎰-=a
a
dx x f a P )()(以及σ=0.047s 得
P(σ)=0.683； P(2σ)=0.954； P(3σ)=0.997；
所以考虑测试者的心理因素、外界环境和仪器系统误差等因素的影响，该测量结果基本符合正态分布。
测量结果平均值的标准差可计算得： A 类不确定度为：
s s
n
A u x
004.0150
047.0==
=
=σ
σ
B 类不确定度为u B =Δ估/C=0.2s/3=0.067s ； 合成不确定度68.0,067.0067
.0004.02
222
==+=
+=
P s U u
u B
A
那么结果最后可表成：t=(5.12±0.07)s P=0.68。