随机误差分布规律
简述随机误差正态分布的主要规律
简述随机误差正态分布的主要规律
随机误差正态分布是指测量结果的随机误差遵循高斯分布的规律。
其主要规律包括以下几点:
1. 平均数和方差呈正态分布：随机误差的正态分布以测量平均值为重心，其分布形状类似于一个钟形曲线。
随着测量次数的增加，随机误差的方差会趋近于平均值，使得正态分布的曲线更加平缓。
2. 极端值的出现概率较小：正态分布的规律表明，测量结果中极端值的出现概率较小，而大多数测量结果都分布在平均值附近。
3. 误差分布的离散程度与测量次数有关：随着测量次数的增加，随机误差的分布形状不变，但是其离散程度会越来越大。
这主要是因为多次测量的结果会趋近于平均值，使得随机误差的分布更加集中。
4. 误差分布的形状与测量方法有关：不同的测量方法可能会导致误差分布的形状不同。
例如，在回归分析中，残差的正态分布形状取决于回归模型的准确度。
随机误差正态分布的主要规律表明，测量结果的随机误差遵循高斯分布的规律，而随机误差的分布形状、离散程度和形状取决于测量方法和测量次数等因素。
时间测量中随机误差的分布规律~
时间测量中随即误差的分布规律
生命科学院 PB05207009 王一莘
实验内容：
1． 时间间隔测量：用电子秒表测量机械节拍器的摆动周期
2． 统计规律的研究
实验步骤：
将电子节拍器的声节拍频率设定为3个周期，旋紧发条。
实验组两位成员：一为手持秒表，从上一周期结束开始计时直至节拍器鸣响结束计时，将实验数据报告另一成员，由另一成员记录数据。
重复上述实验步骤200次。
数据处理：
做统计直方图，并对此图做高斯拟合。
5
注：区间长度经计算应取0.023s ，此直方图取0.025s
=)(σP 0.677
=)2(σP 0.940
=)3(σP 0.989
实验结论： 统计直方图与概率密度分布曲线拟合较好，测量值基本符合正态分布。
误差分析及思考题：
实验中，秒表：s p 2.0=∆ s T 01.0=∆，以及人为听觉敏锐度的差异都将引入误差特别是人为误差因人而已。
1． 答：主要误差为秒表：s p 2.0=∆ s T 01.0=∆，以及人为听觉敏锐度的差异
2． 答：基本符合正态分布规律。
01时间测量中随机误差的分布规律
实验报告：时间测量中随机误差的分布规律张贺PB07210001一、实验题目：时间测量中随机误差的分布规律二、实验目的：用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。
三、实验仪器:电子秒表、机械节拍器四、实验原理：1.常用时间测量仪表的简要原理：（1）机械节拍器：由齿轮带动摆做周期性运动，摆动周期可以通过改变摆锤的位置连续调节。
（2）电子节拍器：由石英晶体振荡器、计数器、译码器、电源和分档控制及显示部分组成。
电子节拍器按一定的频率发出有规律的声响和闪光，声、光节拍范围为 1.5～0.28846s，分为39挡，各挡发生和闪光的持续时间约为0.18s。
（3）电子秒表：兼有数种测时功能（秒、分、时、日、月和星期），便于携带和测量的常用电子计时器。
电子秒表机芯由CMOS 集成电路组成，用石英晶体振荡器作时标，一般用六位液晶数字显示，其连续积累时间数为59min59.99s 。
分辨率为0.01s ，平均日差0.5s 。
（4） V AFN 多用数字测试仪：由PMOS 集成元件和100kHz 石英晶体振荡器构成。
可测量计数、振动、累计、速度、加速度、碰撞、频率、转速、角速、脉宽。
时标：由DC10集成电路和100kHz 石英晶体振荡器组成。
电路可直接输出0.01ms ，0.1ms ，1ms ，10ms ，0.1s ，1s 六挡方波脉冲作为时标信号和闸门时间。
石英晶体振荡器的稳定度为1.2×105-s/d ；频率测量范围1Hz~100kHz ；电信号输入幅度为300mV 。
2. 统计分布规律的研究：假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为一恒定值）的条件下，对某物理量x 进行N 次等精度测量，当测量次数N 趋向无穷大时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布（又称高斯分布）的概率密度函数表示，]2)(exp[21)(22--=σπσx x x f （1）式中x 为测量的算术平均值，σ为测量列的标准差，nxx ni i∑==1（2）1)(12--=∑=n x x ni i σ （3）⎰-=aadx x f a P )()( （4）式中a=σ,2σ,3σ. （1） 统计直方图方法统计直方图是用实验研究某一物理现象统计分布规律的一种直观的方法。
误差的统计概率
误差的统计概念一.随机误差的正态分布1. 正态分布随机误差的规律服从正态分布规律，可用正态分布曲线（高斯分布的正态概率密度函数）表示：(13)式中：y—概率密度；μ—总体平均值；σ—总体标准偏差。
正态分布曲线依赖于μ和σ两个基本参数，曲线随μ和σ的不同而不同。
为简便起见，使用一个新变数（u）来表达误差分布函数式：(14)u的涵义是：偏差值（x-μ）以标准偏差为单位来表示。
变换后的函数式为：(15)由此绘制的曲线称为“标准正态分布曲线”。
因为标准正态分布曲线横坐标是以σ为单位，所以对于不同的测定值μ及σ，都是适用的。
图1：两组精密度不同的测定值图2：标准正态分布曲线的正态分布曲线“标准正态分布曲线”清楚地反映了随机误差的分布性质：（1）集中趋势当x=μ时（u=0），，y此时最大，说明测定值x集中在μ附近，或者说，μ是最可信赖值。
（2）对称趋势曲线以x=μ这一直线为对称轴，表明：正负误差出现的概率相等。
大误差出现的概率小，小误差出现的概率大；很大误差出现的概率极小。
在无限多次测定时，误差的算术平均值极限为0 。
（3）总概率曲线与横坐标从-∝到+∝在之间所包围的面积代表具有各种大小误差的测定值出现的概率的总和，其值为1（100%）(16)用数理统计方法可以证明并求出测定值x出现在不同u区间的概率(不同u值时所占的面积)即x落在μ±uσ区间的概率：置信区间置信概率u= ± 1.00 x= μ± 1.00σ68.3%u= ± 1.96 x= μ± 1.96σ95.0%u= ± 3.00 x= μ± 3.00σ99.7%二. 有限数据随机误差的t分布在实际测定中，测定次数是有限的，只有和S，此时则用能合理地处理少量实验数据的方法—t分布1. t分布曲线（实际测定中，用、S代替μ、σ）t分布曲线与标准正态分布曲线相似，纵坐标仍为概率密度，纵坐标则是新的统计量t（17）无限次测定，u一定→P 就一定；有限次测定：t一定→P 随ν(自由度)不同而不同。
实验报告—时间测量中随机误差的分布规律
时间测量中随机误差的分布规律PB06210273 张成实验名称：时间测量中随机误差的分布规律实验目的：用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率的测量的随机误差分布，学习用统计法研究物理现象的过程和研究随机误差的分布规律。
实验原理：1、 常用时间测量仪器的简要原理：① 机械节拍器由齿轮带动摆动作周期性运动。
② 电子节拍器按一定的频率发出有规律的声响和闪光。
③ 电子秒表机芯有CMOS 集成电路组成，用石英晶体振荡器作时标。
④ VAFN 多用数字测试仪由PMOS 集成元件和100KHz 石英晶体振荡器构成，可测量计数、振动、累计、速度、加速度、碰撞、频率、转速、角速脉宽等物理量。
2、 统计分布规律的研究正态分布概率密度函数：()]2exp[21)(22σπσxx x f --=nxx ni i∑==1，()112--=∑=n x x ni iσ ， ⎰-=aadx x f a P )()(① 统计直方图法：计算试验数据的极差min max x x R -=，每小区域的间隔：Kx x K R x minmax -==∆ 频数i n ，相对频数%/)/(N n i ，累计频数%/)/(∑N n i ，频率密度xN n i∆⋅ ② 概率密度分布曲线：以)(x f 为纵坐标，x 为横坐标，可得概率密度分布曲线。
实验内容：用电子秒表测量电子节拍器的周期，共测量150次，每次测量3个周期的时长。
数据处理：s nxx ni i213.415091.6311===∑= s n x xni i0.0981)(12=--=∑=σ 测量结果的不确定度：A 类不确定度（95.0=p ）s nu a 008.0==σ95.0=p ，96.1=t ，s u t a p 016.0008.096.1=⨯=B 类不确定度：s s s B 2.001.02.0＝，，＝，＝估仪估仪估∆=∆∴∆>>∆∆∆12.03=∆=BB u 测量值的合成标准不确定度：s u u U B A 12.022=+=数据中93.3min =x ，44.4max =x ，所以级差51.0min max =-=x x R 。
随机误差的正态分布
1.3
0.3
0.1179
1.4
0.4
0.1554
1.5
0.5
0.1915
1.6
0.6
0.2258
1.7
0.7
0.2580
1.8
0.8
0.2881
1.9
0.9
0.3159
1.96
1.0
0.3413
2.0
1
u u2
e 2 du
2 0
面积
u
0.3643
2.1
0.3849
2.2
0.4032
2.3
0.4192
频率分布图
规律
1. 测量过程中随机误差的存在，使分析结 果高低不齐，即测量数据具有分散的特性。
随机误差的正态分布.
测量值出现的区间
x=μ±1σ x=μ±1.96σ x=μ±2σ x=μ±2.58σ x=μ±3σ
概率
68.3% 95.0% 95.5% 99.0% 99.7%
例：已知某试样质量分数的标准值为1.75%， σ=0.10%；无系统误差。求：(1)分析结果落在 (1.75±0.15)%范围内的概率；(2)分析结果大于 2.00%的概率。
解：(1)
u x x 1.75% 0.15% 1.5
0.10% 0.10%
(2) 属于单边检验问题： u x 2.00% 1.75% 2.5
0.10%
阴影部分的概率为0.4938。正态分布曲线右侧的概率 为 0.5000 ， 故 阴 影 部 分 以 外 的 概 率 为 0.5000 － 0.4938=0.62% ， 即 分 析 结 果 大 于 2.00% 的 概 率 为 0.62%。
概率P为： p
(u) du
1
eu2 / 2du
2
大多数测量值集中在算术平均值的附近； 小误差出现的几率大,大误差出现的几率小，
特大误差出现的几率极小； 绝对值相等的正、负误差出现的几率趋于相
等。
表3-2 正态分布概率积分表
图 7-5 正态分布概率积分图
y f (x)
1
e( x )2 / 2 2
2
y：概率密度； x：测量值 μ：总体平均值，即无限次测定数据的平均值，无系 统误差时即为真值；反映测量值分布的集中趋势。
σ：总体标准偏差，反映测量值分布的分散程度； x-μ：随机误差
概率
随机误差统计规律分布特点
随机误差统计规律分布特点
随机误差（也称为观测误差）是指在测量过程中出现的偶然性误差，它是由于测量条件难以完全控制而引起的不可避免的误差。
随机误差的分布规律通常符合“正态分布”（也称为高斯分布）的特点，即在概率密度函数上表现为一条钟形曲线，其峰值位于均值处，标准差越小，曲线越陡峭，反之曲线越平缓。
正态分布具有以下特点：
1.对称性：分布函数两侧的曲线相对称。
2.峰度（尖峰度）：高峰陡峭，翼部较平缓。
3.均值与中位数相等。
4.标准差越小，分布曲线越陡峭。
5.曲线下方的面积为1。
正态分布是自然界和社会现象中广泛存在的一种分布形式，它的出现是由于众多随机变量的叠加作用所导致的。
在测量界中，正态分布被广泛应用于误差分析、可靠性评价、质量管理等方面。
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5、测量单摆周期。移动小球，使小球在竖直平面内来回 摆动，注意摆角θ要小于5º 。测量摆动30个周期的时间Tˊ， 重复测量50次。表格自拟。
【数据记录】
不同摆长周期数据记录表格
摆长L（m） D L l1Βιβλιοθήκη 周期T（s） T1 T2 T3
T
T
2
3
4
5
6
注意事项：
1．当摆球通过平衡位置时，按表计时。 2．球的振幅不能过大。 3．为防止数错周期数，可在计时开始时数“零”然后 每过一个周期，数1，2，…。 4．单摆必须在竖直平面内摆动，防止形成锥摆。
M 3
2
2
uT
2
u50 50
uL 2uT L T
u u U g 2ug 2 g L 2 T L T
【数据处理】
米尺的误差： l 0.5mm
螺旋测微器的误差： 0.001mm D 游标卡尺的误差：0.02mm 秒表的误差： M 0.01s
uL l D 3 2 3
ug g
2
2
2
u 50
2
S T50
2
图2
单摆装置
实
1、实验准备：
验
内
容
① 立柱铅直。以摆球为重锤调节底座的水平螺丝，使摆线与 立柱平行。 ② 调节摆幅。 测量标尺高度与镜面的位置。摆幅标尺高度应使尺的上弧 边中点与顶端悬线夹下平面间的距离为50cm； 标尺平面应垂直于顶端悬线夹的前伸部分； 在标尺上部平面镜的镜面应与标尺面平行；
X X K
统计测量结果出现在各个小区间内的次数（频数），以测 量数据为横坐标，以频数或相对频数为纵坐标，画出出各 小区间及其对应的频数或相对频数的高度，则可得到一个 矩形图，这就是统计直方图。根据分布情况画成光滑曲线， 这就是随机误差的分布规律（概率密度分布曲线）。
实
验
仪
器
单摆，钢卷尺，电子秒表， 螺旋测微器
大学物理实验
单摆及随机误差分布
海南大学
材料与化工学院
材料系
秋千 风铃
摆钟
吊灯
实
验
目
的
1．用单摆测量重力加速度；
2. 学习秒表的使用；
3.利用单摆验证随机误差的正态分布规律；
4. 学习统计直方图的画法，运用统计方法研 究物理现象的简单过程。
实
验
原
理
1. 单摆测重力加速度 当单摆的摆角很小（小于5°），其运动可 看成简谐振动，单摆的周期近似为：
L T 2 g
由公式可得：
4 L g T2
2
图1. 单摆
故只要测出摆长L和周期T，即可算出重力常数g。
2. 随机误差分布规律 统计直方图是用实验研究某一物理现象统计分布规律的 一种粗略的方法。 对某一物理量在相同条件下做n次重复测量，得到一系 列测量值， X1 , X 2 ,, X n 根据测量值中的最大值和最小值确定一个区间 X , X 将区间分成若干小区间，比如 K个，则每个小区间的 间隔为
镜面上的指标线应与中心平行，如不在仪器的对称中心线 上时，可在镜框中稍微左右移动镜片位置，使其处于中心 位置（三线对齐）。
2、测量摆长。取摆长150cm，测量方法：用米尺测量摆线 长，用螺旋测微器测量小球直径D，分别测量三次，则摆 长为 L l D 。 3、测量单摆周期。移动小球，使小球在竖直平面内来回 摆动，注意摆角θ要小于5º 。测量摆动30个周期的时间Tˊ， 重复测量3次。 4、将摆长每次缩短10cm左右，测量摆动30个周期的时间 Tˊ，重复测量3次。