随机误差统计规律及单摆设计
单摆及随机误差正态分布
由传递公式求出
(T ± U )。
T
切勿先求出 5 个 Ti， 并求出相 应的 ST 及 UT。
∑ (t
tp
i
−t)
2
n −1 n
= 0.00626(s )
⋅ S t = 1.2 × S t = 0.00751(s )
U tB = 0.005(s )
2 2 U t = U tA + U tB = 0.0090(s )
Ug
2
2
2
2
批注 [BG9]: 不确定度的传递 中，必须写出相应的表达式注 [BG10]: 作为该实验的 最终结果，g 必须写为 (g
(
)
g = 9.781(1 ± 0.18% ) m ⋅ s −2
(
)
± U g )的形式。 上述 d、 l、
L、 t 由于是中间过程， 是否表
批注 [BG5]: 表述有何要求？ 平均值及不确定度如何取 位？
(3)单摆摆长 L
L =l + d = 50.5200 + 1.9036 = 51.4718(cm) 2
2
U U L = U + d = 0.0910(cm) 2
2 l
批注 [BG6]: L 为间接量， 故L 的不确定度由传递公式给出。
⋅ S D = 1.2 × S D = 0.00201(cm )
U DB = 0.002(cm)
2 2 U D = U DA + U DB = 0.00283(cm )
D = (1.9036 ± 0.0028)(cm )
(2)摆线长 l
1 3 l = × ∑ l i = 50.5200(cm ) 3 i =1 Sl =
1 随机误差分布规律的研究
实验一 随机误差分布规律的研究
一、实验目的
1. 通过对单摆周期多次重复性测量，理解对随机误差统计规律的认识
2. 学习用统计方法研究物理量的平均值、测量列的标准偏差，平均值的标准偏
差，及测量结果的正确表示
二、实验器材
单摆、数字计时器、光电门、秒表等
三、实验内容与数据处理
1. 用数字计时器和光电门多次（100次）重复测量单摆的单个完全摆动周期，
列出几率统计表，画出统计直方图。
2. 将100个数据分为10组，每组10个数据，计算其平均值x 、测量列的标准
偏差x σ和平均值的标准偏差x σ。
3. 将100个数据作为一个样本整体，计算其平均值x 、测量列的标准偏差x σ，
并与内容2中的结果相比较，说明测量次数对平均值、数据列标准偏差、平均值的标准偏差的影响，说明数据列标准偏差与平均值标准偏差的区别。
4. 利用excel 或其他数学分析软件，对原始数据进行拟合，求出标准偏差的拟
合值，并与内容3的结果进行比较。
5. 用秒表手动测量100个单周期，将这100个数据分为10组，计算测量列的平
均值、标准偏差及平均值的标准偏差等，并与数字计时器的测量结果相比较，分析影响秒表测量结果的系统误差及随机误差分散程度的因素。
四、思考题
1. 测量单摆周期时，摆角为何要小于5o ，且使单摆在竖直面内摆动？应选择哪
个位置作为计时的起点和重点？
2. 如果存在系统误差，它对统计直方图的形状、大小有何影响？。
随机误差的统计规律
随机误差的统计规律实验目的(1) 通过一些简单测量，加深对随机误差统计规律的认识 (2) 学习正确估算随机误差、正确表达直接测量结果的一般方法 (3) 了解运用统计方法研究物理现象的简单过程实验方法原理对某一物理量在相同条件下进行n 次重复测量(n>100),得到n 个结果,,,,21n x x x 先找出它的最小值和最大值，然后确定一个区间[]x x ''',，使这个区间包含了全部测量数据。
将区间[]x x ''',分成若干个小区间，比如K个，则每个小区间的间隔∆为 Kx x '-''=∆，统计测量结果出现在各个小区间的次数M (称为频数)。
以测量数据为横坐标，只需标明各区间的中点值，以频数M 为纵坐标，画出各小区间及其对应的频数高度，则可得到一组矩形图，这就是统计直方图。
直方图的包络表示频数的分布，它反映了测量数据的分布规律，也即随机误差的分布规律。
实验步骤(1) 用钢卷尺测量摆线长。
(2) 用游标卡尺测量摆球直径。
(3) 当摆长不变，摆角(小于5o)保持一定时，摆动的周期是一个恒量，用数字秒表测量单摆的周期至少100次，计算测量结果的平均值T 和算术平均值的标准差)(x S 。
(4) 保持摆长不变，一次测量20个以上全振动的时间间隔，算出振动周期。
数据处理990.0=l m 03364.0=d m 00682.12=+=dl L m2044.40='T s051.21001001==∑=i ixT s0067240110012.)()()(=--=∑=n n x xx S i is)01.005.2()(2±=±=x S T T s022.22044.40=='T s 222/2910.94s m L T g T ==π222/5594.94s m L T g T ='='π20/80891.9s m g =%28.5%1000=⨯-=g g g E T T%54.2%1000=⨯-='g g g E T T思考1. 什么是统计直方图? 什么是正态分布曲线?两者有何关系与区别?答：对某一物理量在相同条件下做n 次重复测量，得到一系列测量值，找出它的最大值和最小值，然后确定一个区间，使其包含全部测量数据，将区间分成若干小区间，统计测量结果出现在各小区间的频数M ，以测量数据为横坐标，以频数M 为纵坐标，划出各小区间及其对应的频数高度，则可得到一个矩形图，即统计直方图。
随机误差统计规律及单摆设计 (2)
随机误差统计规律及单摆设计第三组 信院三 白潇 PB05210258实验目的1) 用单摆模型测量本地区的重力加速度2) 学习设计性实验基本方法的训练，学会应用误差均分原则。
分析基本误差的来源，提出正确修正和估算方法。
实验原理①单摆的结构参见左图，F=mg θsin 。
因为θ→0，所以sinθ=θ,而θ=x/L,则F=mgx/L 当θ→0，单摆的摆动可视为简谐振动，所以振动系数k=mg/L ,根据振动周期T =kmπ2,则一级近似公式为 T=gLπ2，从而可知g=224T L π.②要求测量精度Δg/g<1%,而g=224T L π,L=l+D/2,TTD D l l g g ∆+∆+∆=∆2.因为Δg/g<1%，所以，l l∆<0.25%,D D ∆<0.25%,TT ∆2<0.5%;而摆长l ≈60.00cm,摆球直径D ≈2.20cm,摆动周期T ≈1.600s;可得=∆l 0.35cm,D ∆=0.01cm,nTt t+∆∆≈0.02s.所以用米尺测摆长，用游标卡尺或千分尺测摆球直径，用秒表测单摆周期,且测n>47次,取n=50. 实验步骤1,组装仪器如右图.2,测量单摆的摆长l,估算单摆的周期,根据所须精度,确定测量单摆周期的次数n.3,测量摆长L 5次，记录数据.4,测量摆球直径D 5次,从不同的方向测量,记录数据. 5,测量摆球摆动50次所需时间t 5次,记录数据. 6,处理数据,计算当地的重力加速度g. 数据处理:测量的数据如下表所示:㈠ ①由5次测量摆长l 可得摆长:l =554321l l l l l ++++=(62.82+63.30+63.05+63.22+63.18)=63.11cm.标准差1δ=0.188, 平均值标准差1μ=0.0839cm ②由5次测量摆球直径D 可得: 摆球直径D =5)(54321D D D D D ++++=(21.90+21.80+21.94+21.80+22.02)/5 =21.89mm.标准差2δ=0.094, 平均值标准差2μ= 0.0422mm. ③由5次测量50个周期的摆动时间:=++++=554321t t t t t t （79.72+79.84+79.65+79.96+79.80）=79.79s 标准差3δ=0.118, 平均值标准差3μ=0.0529s则可知单摆的周期T=t/50=1.596s , 平均值标准差T μ=0.0319s单摆的整个摆长L=l+D/2;所以L 的不确定度L μ=2221μμ+=0.0939 mm. 因为g=224TLπ,则224T L g μμμ+= =0.1135则A 类不确定度A μ=0.1135㈡ 米尺的精度米∆=0.05cm, 游标卡尺的精度千∆=0.002cm,实验人员开,停秒表的总反应时间近似为人∆=0.2s.因为g=224T Lπ,则B ∆=42)2/(2)2/(*4t tD L t D L t ∆++∆+∆π/C=0.109.则B 类的不确定度B μ=0.109.㈢ 则测量值的合成标准不确定度为B A U μμ+=68.0=0.157则2295.095.0)/()(C B k t U p A ∆+=μ=268.0U =0.314㈣ 由g=224TLπ=9.9412/s m .可得测量结果为g=(9.941±0.230)2/s m (P=0.95)。
单摆实验与随机误差的正态分布
普通物理实验报告一、实验目的1. 熟悉使用J-T25周期测定仪2. 通过对单摆周期多次重复地测量，加深对随机误差的统计规律的理解3. 熟悉列表和作图的方法 二、实验原理 1.单摆库摆测重力加速度 当单摆的摆角很小(小于5°),其运动可看成简谐振动,单摆的周期近似为:故只要测出摆长L 和周期T,即可算出重力常数g 。
许多物理定律从本质上说,都是具有统计性质的。
测量的目的是为了求得尽可能接近真值的数值,以达此目的,一方面须设法排除系统误差,另一方面还要通过一系列测量取得足够多的数据,进统计处理,从而推断得到最接近真值的读数值并且推断得到该读数接近真值的程度(即误差)。
统计直方图是通过实验粗略地研究某一物理现象统计分规律趋势的一种方法。
对某一物理量在相同条件下做n次重复测量,得到一系列测量值,X1，X2,…Xn根据测量值中的最大值和最小值确定一个区间[x,x"]将区间分成若干小区间,比如K 个,则每个小区间的间隔为统计测量结果出现在各个小区间内的次数(频数),以测量数据为横坐标,以频数或相对频数为纵坐标,画出出各小区间及其对应的频数或相对频数的高度,则可得到一个矩形图,这就是统计直装订处方图。
根据分布情况画成光滑曲线,这就是随机误差的分布规律(概率密度分布曲线)。
三、实验过程与数据处理1. 用三足铁架和钢球等材料组成单摆2. 立柱铅直。
以摆球为重锤调节底座的水平螺丝，使摆线与立柱平行。
3. 测量单摆周期。
（1）用钢卷尺测量摆线长l，用螺旋测微器测量小球直径D，分别测量三次，则摆长为L=l+D/2。
（2）使摆球停止摆动，静止于平衡位置上，然后用箭头符号或其他标记标出平衡位置，作为计时参考点。
（3）移动小球，是小球在竖直平面内来回摆动，注意摆角要小于5°。
当单摆来回摆动达到平衡位置时开始计时。
为了减少误差，每次至少测10个周期，重复测量100次，表格自拟。
不需要每测一次就使单摆起摆一次，只要单摆的摆幅足够，就可以继续再测。
实验报告单摆的设计与研究
实验题目： 单 摆 的 设 计 与 研 究 (设计性实验)【实验简介】单摆实验是个经典实验，许多著名的物理学家都对单摆实验进行过细致的研究。
本实验的目的是学习进行简单设计性实验的基本方法，根据已知条件和测量精度的要求，学会应用误差均分原则选用适当的仪器和测量方法，学习累积放大法的原理和应用，分析基本误差的来源及进行修正的方法。
【设计任务与要求】1、用误差均分原理设计一单摆装置，测量重力加速度，测量精度要求%2〈∆gg。
2、 对重力加速度g 的测量结果进行误差分析和数据处理，检验实验结果是否达到设计要求。
3、自拟实验步骤研究单摆周期与质量、空气阻力等因素的关系，试分析各项误差的大小。
【设计的原理思想】一根不可伸长的细线，上端悬挂一个小球。
当细线质量比小球的质量小很多，而且小球的直径又比细线的长度小很多时，此种装置称为单摆，如图1所示。
如果把小球稍微拉开一定距离，小球在重力作用下可在铅直平面内做往复运动，一个完整的往复运动所用的时间称为一个周期。
当单摆的摆角很小（一般θ<5°）时，可以证明单摆的周期T 满足下面公式gL T π2= （1） 224TL g π= （2） 式中L 为单摆长度。
单摆长度是指上端悬挂点到球心之间的距离；g期T 、单摆长度L ，利用上面式子可计算出当地的重力加速度g 。
从上面公式知T 2和L 具有线性关系，即L gT 224π=。
对不同的单摆长度L 测量得出相对应的周期，可由T 2～L 图线的斜率求出g 值。
【测量方案的制定和仪器的选择】本实验测量结果的相对误差要求≤2℅，由误差理论可知，g 的相对误差为22)2()(ttL L g g ∆+∆=∆从式子可以看出，在ΔL 、Δt 大体一定的情况下，增大L 和t 对测量g 有利。
由误差均分原理的要求，各独立因素的测量引入的测量误差应相等，则 22%)1()(〈∆LL ，本实验中单摆的摆长约为100cm,可以计算出摆长的测量误差要求为 ΔL <1cm,故选择米尺测量一次就足以满足测量要求；同理 22%)1()2(〈∆tt ，当摆长约为1m 时，单摆摆动周期约为2秒，可以计算出周期的测量误差要求为Δt ≤0.01s,要作到单次测量误差小于0.01s 相当不容易，停表的误差主要是由判断计时开始和终止时的不准确以及动作反应快慢所产生的，因而可以采用连续测量多个周期来减小每个周期的误差，若每次测量引入约四分之一周期的误差，即0.5s 则连续72次的周期测量即可满足测量误差的要求。
时间测量中随机误差的分布规律
核科学技术学院 2010 级 学号 PB10214023 姓名 张浩然 日期 2011-3-24时间测量中的随机误差分布规律PB10214023 张浩然一、实验题目：时间测量中的随机误差分布规律二、实验目的：同常规仪器测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。
三、实验仪器：电子秒表、机械节拍器四、实验原理：1、仪器原理机械节拍器能按一定频率发出有规律的声响，前者利用齿轮带动摆作周期运动，后者利用石英晶体的振荡完成周期运动；电子秒表用石英晶体振荡器作时标测时，精度可达0.01s ； 2、统计分布规律原理在近似消除了系统误差的前提下，对时间t 进行N 次等精度测量，当N 趋于无穷大时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布的概率密度函数表示：222)(21)(σπσx x ex f --=其中n x x ni i∑==1，为测量的算术平均值，1)(12--=∑n x xniσ，为测量列的标准差，有 ⎰-=aa dxx f a P )()(，σσσ3,2,=a利用统计直方图表示测量列的分布规律，简便易行、直观明了。
在本实验中利用f(x)得到概率密度分布曲线，并将其与统计直方图进行比较，在一定误差范围内认为是拟合的，可认为概率密度分布基本符合正态分布，其中的误差是由于环境、仪器、人的判断误差、N 的非无穷大等所决定的。
五、实验步骤：1、检查实验仪器是否能正常工作，秒表归零；2、将机械节拍器上好发条使其摆动，用秒表测量节拍器四个周期所用时间，在核科学技术学院2010 级学号PB10214023 姓名张浩然日期2011-3-24等精度条件下重复测量约200次（本实验中实际测量224次），记录每次的测量结果；3、对数据进行处理（计算平均值、标准差、作出相应图表、误差分析等）；六、数据处理：1.实验数据如下：（单位：s）初步分析得2.由公式（2）（3）计算得: （单位：s）x=平均值 2.415σ=标准差0.1198473.机械节拍器的频数和频率密度分布：令K=16核科学技术学院 2010 级 学号 PB10214023 姓名 张浩然 日期 2011-3-24有 0max min ()/0.04625x x x K ∆=-= （单位：s ） 取max min ()/0.05x x x K ∆=-=（单位：s ）有测量数据的频数和频率密度分布表如下： 小区域/s 小区域中点值/s 频数i n /s 相对频数(/)/%i n N累计频数(/)/%i n N ∑1.95-2.20 1.975 1 0.446428571 0.446428571 2.20-2.05 2.025 1 0.446428571 0.892857143 2.05-2.10 2.075 1 0.446428571 1.339285714 2.10-2.15 2.125 3 1.339285714 2.678571429 2.15-2.20 2.175 2 0.8928571433.571428571 2.20-2.25 2.225 7 3.1256.696428571 2.25-2.30 2.275 177.589285714 14.28571429 2.30-2.35 2.325 31 13.83928571 28.125 2.35-2.40 2.375 28 12.540.6252.40-2.45 2.425 44 19.64285714 60.26785714 2.45-2.50 2.475 26 11.60714286 71.875 2.50-2.55 2.525 35 15.625 87.5 2.55-2.60 2.575 14 6.2593.752.60-2.65 2.625 10 4.464285714 98.21428571 2.65-2.70 2.675 3 1.339285714 99.55357143 2.70-2.752.72510.4464285711004.统计直方图和概率密度分布曲线图像：核科学技术学院 2010 级 学号 PB10214023 姓名 张浩然 日期 2011-3-245.不确定度分析：0.950.015694973s A U t n==对于电子秒表，人的反应时间为0.2s ，远大于0.01s ，则取B ∆=∆估；对于秒表，取C=3。
用Excel研究单摆测重力加速度实验中的随机误差分布规律
知， 利用拟合直线 的斜率 忌 可计算出ｇ的大小。
一
Ｌ
ｇ
（） ３
考虑空气浮力 、 空气粘滞阻力的情况下 ， 摆线质量 远小于小球 质 量 ， 摆 的摆 角≤ ５， 摆球 在 同一 单 。且 竖 直平 面 内摆 动时 ， 单摆 周期 Ｔ满 足下式 ： 则
丁 ㈣
利用上 述 ｇ的测 量 方法 ， １ ｍ 改 变 一次 每 ０ｃ 单 摆 的摆 长 （ 由于摆球 是锥体 ， 实验 中的摆 长 即为 线长， 这对 拟合直 线 的斜 率 无 影 响 ）共 改 变 五次 ，
２ 随机误差 的分布规律
一
结果进行修正。但当明显的系统误差消除或修正 后 ， 同一 条 件 下多次 测量 同一 物理量 时 ， 在 测量结 果仍会出现一些无规律 的起伏 ， 这主要是 由随机
误差 引起 的 。随 机误 差 的 出现 不 可 避 免 ， 于单 对 次测 量而 言 ， 它是没 有规 律 的 ， 当测量 次数 足够 但 多时 ， 随机误 差 服从 统计 分 布规律 ， 以用统 计方 可
重 复测 量 了 ２ ０次 周 期 ， 次 测 量 包 含 ５ ０ 每 Ｏ个周 期， 测量 数据 如表 １ 所示 。
法估算随机误差。鉴于单摆法测重力加速度实验
表 １ 单摆运动 ５ Ｏ个 周 期 的 时 间
为 了用 统计 方法 得 到周期 的随机误 差分 布规
律， 需将 表 １中 ２ ０组数据 从 小到 大进行 分类 ， ０ 计
ｇ＝ ４
１
（） ２
为了提高 ｇ的测量精度， 一般采用图像法求解 ｇ 。
具 体方法是 这样 的 ： 过改变 摆长 Ｌ， 量 出相应 通 测 的周期 Ｔ， 合 出 — 的关 系 图 ， 由 （）式 可 拟 Ｌ 再 ３
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实 验 报 告
5－
实验一：
实验题目：单摆的设计与研究——测量重力加速度。
实验目的：利用经典单摆公式，给出的器材和对重力加速度的精度要求设计实验，学
习应用误差均分原理，选用适当仪器，学习累积放大法的原理运用。
实验原理：
1．由一级单摆近似周期公式：g
L
T π2=得2
24T L g π=，通过测量单摆周期T,摆长L ，求出重力加速度g 的大小。
2．根据2
24T L g π=，根据最大不确定度计算，有T T L L g g ∆+∆=∆2 所以：
%5.0≤∆L L ，即%5.05.05.0≤+∆+∆d
l d
l ，有 Δl ≤0.5%×l =0.35cm Δd ≤0.5%×2×d=0.002mm
所以：
%25.0≤∆T
T
，有ΔT ≤0.25%×T=0.00425 由此可知：l 应用米尺测量，d 用游标卡尺测量即可，
5000425
.02
.0T
≈=
∆∆人，所以单摆周期应该一组测量50个。
实验器材：
米尺，电子秒表，游标卡尺，支架、细线（尼龙绳）、钢球、摆幅测量标尺。
实验步骤：
1．用米尺测量摆线长6次；
2．用游标卡尺测量小球直径6次；
3．利用电子秒表测量单摆50个周期的时间，共6组； 4．记录并分析处理数据，计算重力加速度g 。
数据处理：
由L=l+0.5d,T=t/50,根据公式224T L g π=
，得到合肥地区重力加速度为：2/801.9s m g =
1．对摆线长l （6组数据）的处理：
米尺误差分布为正态分布
95.0t =2.57 仪∆=0.1cm
c=3
005.0))1(/()(6
1
=--=
∑=-
i i
Al n n l l
u
由不确定度合成公式得
0.0112()2
2
95095.0=∆+=）（仪。
c
k
u t U Al l
则 cm )011.0(65.608l ±= P=0.95
2．对摆球半径（6组数据）的处理：
游标卡尺误差分布为均匀分布
95.0t =2.57
仪∆=0.002cm c =3
0001.0))1(/()(6
1
=--=
∑=-
i i Ar n n r r u
由不确定度合成公式得
0.0001()2
2
95095.0=∆+=）（仪。
c
k
u t U Ar r
则 cm )0001.0(1.0451r ±= P=0.95
综上所述，由L ＝l +r ，得
11.0()2
95.0295.095.0=+=）（r l L U U U
所以，
0.011)cm 66.653(r l L ±=+=
3．电子秒表误差分布为正态分布
95.0t =2.57 仪∆=0.1s
c=3
0.074))1(/()(3
1
=--=
∑=-
i i
At n n t t
u
由不确定度合成公式得
0.019()2
2
95095.0=∆+=）（仪。
c
k
u t U AT T
因此
0.019)s (1.312T ±= P=0.95
总上所述：
由2
24T
L g π=，有 040.0(2)2
95.02295.095.0=+=）（r L g
U U g
U
所以，
2/)040.0801.9(s m g ±=
P=0.95
缺少验证过程
误差分析：
由上述计算值，结果偏大。
其产生原因可能有：
1． 测量绳长时拉伸过紧，而时摆长偏大；
2． 由于人的反应时间问题，可能开表停表时间有所偏差而影响结果
实验报告
实验二：
实验题目：时间测量中随机误差的分布规律
实验目的：用常规仪器测量时间间隔,通过对时间和频率测量的随机误差分布,学习用统计的方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律.
实验原理：
用电子秒表测量节拍器发声的时间间隔,机械节拍器按一定的频率发出有
规律的声响;电子秒表用石英晶体振荡器作时标,一般用六位液晶数字显示,
其连续积累时间为59min59.99s,分辨率为0.01s,平均日差0.5s
实验器材：
机械节拍器，电子秒表。
实验步骤：
1.测量机械节拍器摆动三个周期所用的时间间隔，共计200组。
2.记录实验数据，找出最大最小值，设定合理的间隔并进行分组处理。
3.做出直方图，并用计算机软件进行拟合。
数据处理：
②统计直方图和概率密度分布曲线如下：
05
10
15
20
n i /N (%)
x(s)
③ 根据原始数据（即原始测量列）可算得测量结果的平均值为s t 161.3=
根据原始数据（即原始测量列）可算得测量结果的标准差为s 14246.0=σ 根据算术平均值s t 161.3=,可算得算术平均值的标准差01007.0=At u ④ ⎰-==
±σ
σσ565.0)()(x F P
⎰-==±σσσ22845.0)()2(x F P ⎰
-==±σ
σ
σ33945.0)()3(x F P
⑤ 对200组时间数据的处理
考虑置信概率P=0.95的情况, 电子秒表误差分布为正态分布，可取
95.0t =1 仪∆=0.01s c=3
B 类不确定度在0.95的置信概率下置信因子为k=1.96 由不确定度合成公式得
2
2
95095.0()）
（仪。
c
k
u t U At ∆+==0.02 所以，
s t )02.016.3(±= P=0.95
误差分析:
由所绘制的统计直方图和概率密度分布曲线可以看出测量结果基本符合正态分布。
存在
部分误差，可能原因是：
1．测量为有限次测量，结果必定会偏离正态分布；
2．外界影响因素较多，会影响实验者的测量，难以保证完全等精度；
3．本实验在测量过程中由搭配双方各测量了100个数据，结果也不是绝对的等精度测量结果。