时间测量中的随机误差分布规律(已批阅).
实验名称：时间测量中随机误差的分布规律
实验名称：时间测量中随机误差的分布规律实验目的：用常规仪器（如电子秒表，频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差的分布规律。
实验器材及规格：秒表0.01s实验原理：1常用时间测量仪器的简要原理：机械节拍器：由齿轮带动摆做周期性运动，摆动周期可以通过改变摆锤的位置来连续调节。
电子节拍器：由石英晶体震荡器，计数器，译码器，电源，分档控制及显示部分组成。
按一定频率发出有规律的声音和闪光。
电子秒表：机心由CMOS集成电路组成，石英晶体震荡器做时标，一般用6位液晶数字显示。
连续累积时间59min,59.99s,分辨频率为0.01s。
V AFN多用数字测试仪：由PMOS集成元件和100kHs石英晶体震荡器构成。
可测量记数，震动，累计，速度，加速度，碰撞，频率，转速，角速，脉宽等。
时标由DC10集成电路和100kHs石英晶体震荡器构成。
2在不考虑系统误差的前提下，用时间测量仪器，测量同一时间N次，统计时间分布规律，并且分析误差。
当N趋于无穷时，各测量值出现的概率密度可用正态分布的概率密度函数表示：221()/21()niiX Xf x eσ=⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑=平均值计算公式：1/niiX X n==∑标准差计算公式：Xσ=（1）统计直方图方法在一组等精度测量的N个结果中，找出最大最小值，再有此得到极差max minR X X=-。
将极差分为K 个部分。
每个区间长度x ∆MAX MINX X R x K K-∆== 将落在每个区间的次数称为频数，i n N 称为频率。
最后以X 为横轴i nN为纵轴做图。
（2）密度分布曲线利用直方图中得到的概率密度值，以概率密度值为纵坐标，x 为横坐标可的密度分布曲线，数据处理:最小值min 1.76X s=最大值m a x 2.15X s=平均值 1.96X s =标准差0.072sσ=0.0051s Ua σ==因为人反应时间约为0.2s,秒表仪器误差约为0.01s,所以取 B 类不确定度B ∆0.95t =1.96 , 0.95k =1.96.误差合成：0.13s U ==P ≥0.95测量结果 ()1.960.13T s =± P ≥0.95图表统计如下:取区间数K=15，区间长0.028s 。
时间测量中随机误差的分布规律~
时间测量中随即误差的分布规律
生命科学院 PB05207009 王一莘
实验内容：
1． 时间间隔测量：用电子秒表测量机械节拍器的摆动周期
2． 统计规律的研究
实验步骤：
将电子节拍器的声节拍频率设定为3个周期，旋紧发条。
实验组两位成员：一为手持秒表，从上一周期结束开始计时直至节拍器鸣响结束计时，将实验数据报告另一成员，由另一成员记录数据。
重复上述实验步骤200次。
数据处理：
做统计直方图，并对此图做高斯拟合。
5
注：区间长度经计算应取0.023s ，此直方图取0.025s
=)(σP 0.677
=)2(σP 0.940
=)3(σP 0.989
实验结论： 统计直方图与概率密度分布曲线拟合较好，测量值基本符合正态分布。
误差分析及思考题：
实验中，秒表：s p 2.0=∆ s T 01.0=∆，以及人为听觉敏锐度的差异都将引入误差特别是人为误差因人而已。
1． 答：主要误差为秒表：s p 2.0=∆ s T 01.0=∆，以及人为听觉敏锐度的差异
2． 答：基本符合正态分布规律。
01时间测量中随机误差的分布规律
实验报告：时间测量中随机误差的分布规律张贺PB07210001一、实验题目：时间测量中随机误差的分布规律二、实验目的：用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。
三、实验仪器:电子秒表、机械节拍器四、实验原理：1.常用时间测量仪表的简要原理：（1）机械节拍器：由齿轮带动摆做周期性运动，摆动周期可以通过改变摆锤的位置连续调节。
（2）电子节拍器：由石英晶体振荡器、计数器、译码器、电源和分档控制及显示部分组成。
电子节拍器按一定的频率发出有规律的声响和闪光，声、光节拍范围为 1.5～0.28846s，分为39挡，各挡发生和闪光的持续时间约为0.18s。
（3）电子秒表：兼有数种测时功能（秒、分、时、日、月和星期），便于携带和测量的常用电子计时器。
电子秒表机芯由CMOS 集成电路组成，用石英晶体振荡器作时标，一般用六位液晶数字显示，其连续积累时间数为59min59.99s 。
分辨率为0.01s ，平均日差0.5s 。
（4） V AFN 多用数字测试仪：由PMOS 集成元件和100kHz 石英晶体振荡器构成。
可测量计数、振动、累计、速度、加速度、碰撞、频率、转速、角速、脉宽。
时标：由DC10集成电路和100kHz 石英晶体振荡器组成。
电路可直接输出0.01ms ，0.1ms ，1ms ，10ms ，0.1s ，1s 六挡方波脉冲作为时标信号和闸门时间。
石英晶体振荡器的稳定度为1.2×105-s/d ；频率测量范围1Hz~100kHz ；电信号输入幅度为300mV 。
2. 统计分布规律的研究：假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为一恒定值）的条件下，对某物理量x 进行N 次等精度测量，当测量次数N 趋向无穷大时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布（又称高斯分布）的概率密度函数表示，]2)(exp[21)(22--=σπσx x x f （1）式中x 为测量的算术平均值，σ为测量列的标准差，nxx ni i∑==1（2）1)(12--=∑=n x x ni i σ （3）⎰-=aadx x f a P )()( （4）式中a=σ,2σ,3σ. （1） 统计直方图方法统计直方图是用实验研究某一物理现象统计分布规律的一种直观的方法。
居家物理实验-时间测量中随机误差的分布规律
实验项目名称：时间测量中随机误差的分布规律
实验目的：
手动测量节拍器的周期，研究测量值的统计分布规律
实验原理和实验内容：
随机误差的定义：
在实际测量条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值符号的变化，时大时小、时正时负，以不可预定方式变化着的误差叫做随机误差，有时也叫偶然误差。
随机误差的出现就某一测量值来说是没有规律的，其大小和方向都是不可预知的，但对一个量进行足够多次测量，则发现它们的随机误差是按一定的统计规律分布的，即正态分布（Gauss分布）规律。
居家物理实验4报告（过程部分）
仪器设备的记录：
电子节拍器，秒表
实验内容及数据记录：（可使用EXCEl数据导入，注意有效数字，标明单位）
开启电子节拍器，调节其周期为3-5s，用秒表测量其周期，重复侧200次，求出周期的平均值和标准差σ，并以相对频数ni/N为纵坐标，时间t为横坐标，绘制其统计直方图（建议K取11-15之间的奇数值）
验数据的处理：（给出不确定度的计算结果及实验结果的表达式，必须有计算过程，注意有效位数保留和单位，画图可使用电脑绘图。
）
处理：
最大值Tmax=4.15s，Tmin=3.75s
平均值：3.99415s
标准差σ：0.084873
R=4.15-3.75=0.4
取K=11，则∆t=R/K=0.03637
实验结果的误差分析与问题讨论：（这是培养分析能力的重要环节，一定认真完成）
1.测量次数为有限次，不可能为无穷大，结果会偏离正态分布
2.由于用的为线上节拍器，和手机秒表，结果不能十分精确
3.测量200次，手按秒表会有疲倦感，超前或延后，导致测量结果偏离。
实验报告—时间测量中随机误差的分布规律
时间测量中随机误差的分布规律PB06210273 张成实验名称：时间测量中随机误差的分布规律实验目的：用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率的测量的随机误差分布，学习用统计法研究物理现象的过程和研究随机误差的分布规律。
实验原理：1、 常用时间测量仪器的简要原理：① 机械节拍器由齿轮带动摆动作周期性运动。
② 电子节拍器按一定的频率发出有规律的声响和闪光。
③ 电子秒表机芯有CMOS 集成电路组成，用石英晶体振荡器作时标。
④ VAFN 多用数字测试仪由PMOS 集成元件和100KHz 石英晶体振荡器构成，可测量计数、振动、累计、速度、加速度、碰撞、频率、转速、角速脉宽等物理量。
2、 统计分布规律的研究正态分布概率密度函数：()]2exp[21)(22σπσxx x f --=nxx ni i∑==1，()112--=∑=n x x ni iσ ， ⎰-=aadx x f a P )()(① 统计直方图法：计算试验数据的极差min max x x R -=，每小区域的间隔：Kx x K R x minmax -==∆ 频数i n ，相对频数%/)/(N n i ，累计频数%/)/(∑N n i ，频率密度xN n i∆⋅ ② 概率密度分布曲线：以)(x f 为纵坐标，x 为横坐标，可得概率密度分布曲线。
实验内容：用电子秒表测量电子节拍器的周期，共测量150次，每次测量3个周期的时长。
数据处理：s nxx ni i213.415091.6311===∑= s n x xni i0.0981)(12=--=∑=σ 测量结果的不确定度：A 类不确定度（95.0=p ）s nu a 008.0==σ95.0=p ，96.1=t ，s u t a p 016.0008.096.1=⨯=B 类不确定度：s s s B 2.001.02.0＝，，＝，＝估仪估仪估∆=∆∴∆>>∆∆∆12.03=∆=BB u 测量值的合成标准不确定度：s u u U B A 12.022=+=数据中93.3min =x ，44.4max =x ，所以级差51.0min max =-=x x R 。
随机误差的分布规律
当u=±1,即X= μ ±σ区间测定值出现 的概率为68.3％， 当u=±2,即X= μ ± 2σ区间测定值出 现的概率为95.5％ 当u=±3,即X= μ ± 3σ区间测定值出 现的概率为99.7％。
即以标准偏差σ为单位来表示X与μ 的偏差。用u作为横坐标,概率密度Y
为纵坐标作图,就得到标准正态分布 曲线。
标准正态分布的均数为0, 标准偏差 为1,可用N(0,1)表示。用积分方法可以 计算出不同μ取值范围时曲线所包含的 面积,其面积相应于在此值范围内测定 值出现的概率。由于所有测定值出现 的总概率P=100%,所以标准正态分布曲 线与横坐标间包含的总面积等于1。由 计算结果可制成概率积分表查用。从 表中可查到:
第三节 随机误差的分布规律 一. 频率分布 例如,有一试样在相同条件下用分光光 度法测定其铁含量。20次重复测定结 果ω(Fe)×100%如下: 3.45, 3.28, 3.30, 3.20, 3.22, 3.17 3.06, 3.26, 3.14, 3.31, 3.18, 3.23 3.21, 3.23, 3.38, 3.33, 3.25, 3.12 3.26, 3.24。
首先将测定值依大小次序排列,算出 极差。极差为最大值与最小值之差。 将测定值分为8组, 组距为极差与组数 之商。每组中测定值出现的次数称为 频数。频数与测定总次数之比称为相 对频数,又称频率。编制频数、频率分 布表。以测定值为横坐标,频率为纵坐 标绘出频率分布直方图。
二. 正态分布 正态分布,又称高斯分布。其曲线 为对称钟形,两头小,中间大, 分布曲 线有最高点,如下图所示。
正态分布曲线的数学表达式为
1 2 2 Y e 2 μ和σ是正态分布两个基本参数, μ
X 2
和σ确定了,正态分布曲线也就确定
时间间隔的测量误差与修正方法
时间间隔的测量误差与修正方法时间间隔的测量在科学实验和工程应用中具有广泛的应用。
由于各种因素的影响，测量结果可能存在误差。
本节将介绍时间间隔测量误差的来源及其修正方法。
一、误差来源1. 热胀冷缩：温度变化引起的材料尺寸变化。
2. 周期性抖动：机械系统、电路系统等周期性器件在一定频率范围内的抖动。
3. 阻尼振动：振动系统在运动过程中受到阻力而逐渐减缓。
4. 测速仪器的测量误差：如计时器、测速仪等设备的精度限制。
5. 环境因素：如电磁场干扰、气压变化等环境因素影响测量结果。
6. 人为因素：操作不当、读数误差等人为因素可能导致测量误差。
二、修正方法1. 校准：定期对测量仪器进行校准，确保其精度符合要求。
2. 滤波：通过滤波器滤除周期性抖动对测量结果的影响。
3. 调整阻尼：通过调整阻尼参数，使振动系统保持稳定。
4. 选择高精度计时器：选择高精度的计时器设备，如原子钟，提高计时精度。
5. 环境隔离：将测量设备放置在恒温、恒湿、防磁等特定环境中，减少环境因素对测量结果的影响。
6. 培训操作人员：对操作人员进行专业培训，提高操作技能和读数准确性。
在实际应用中，应根据具体情况选择合适的修正方法，以提高时间间隔测量的准确性。
例如，在精密测量领域，可以选择高精度的计时器和滤波器进行校准和滤波；在工程应用中，应根据设备特点和环境条件选择合适的修正方法，以确保测量结果的可靠性。
三、案例分析以一个实际应用案例为例，假设有一台高精度计时器设备，其精度为±0.1毫秒。
在使用该计时器设备测量一个持续时间为1秒的周期性信号时，由于周期性抖动的影响，测量结果可能存在±0.1毫秒的误差。
为了消除该误差，可以采取滤波方法，如低通滤波器，滤除周期性抖动信号，从而提高测量精度。
四、总结时间间隔测量的误差来源主要包括热胀冷缩、周期性抖动、阻尼振动、测速仪器的测量误差、环境因素和人为因素等。
为了减小误差，可以采用校准、滤波、调整阻尼、选择高精度计时器、环境隔离和培训操作人员等修正方法。
第二章 测量误差的规律性及其表述
误差理论
随机误差的表征参数(Ⅱ) 随机误差的表征参数(
与数据处理
数学期望的性质: 常数c的数学期望为E(c)=c 随机误差δ乘以常数c,则有 随机误差 δ1,δ2 , ,δn 之和的数学期望为 E (C δ ) = CE (δ )
E(δ1 +δ2 + δn ) = E(δ1) + E(δ2 ) + E(δn )
误差理论
随机误差的分布密度和分布函数
与数据处理
Harbin Institute of Technology
按分布函数定义,随机变量x的分布函数为 F (δ ) = P (x < δ ) 式中,P ( x < δ ) 是作为随机变量的随机误差取值 小于δ的概率. 若随机误差取值在数轴上, P(x < δ )表示随机误差落在δ点 左面的概率.当δ点右移时这一概率增大;当δ点 移向无穷远处时,这一概率为1,即 F(+ ∞) =1 反 之,当δ点左移时这一概率减小;当δ点移向无穷 远处时这一概率为0,即 F( ∞) = 0
2
通常,随机误差的数学期望E(δ)=0,因 而有:
D (δ
)=
∫
∞
∞
δ
2
f (δ )d δ
Harbin Institute of Technology
误差理论
随机误差的表征参数(Ⅳ) 随机误差的表征参数(
与数据处理
随机误差的方差是反映随机误差取值的分散程 度的,是误差随机波动性的表征参数. 方差的性质: 常数c的方差为D(C)=0; 随机误差δ乘以常数c的方差为 D (C δ ) = C D (δ ) 随机误差 δ 1 , δ 2 , , δ n 之和的方差为
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实验题目:时间测量中的随机误差分布规律
实验目的:同常规仪器测量时间间隔,通过对时间和频率测量的随机误差分布,学习用统计方法研究物理
现象的过程和研究随机误差分布的规律。
实验仪器:电子秒表、机械节拍器
实验原理:1、仪器原理
机械节拍器能按一定频率发出有规律的声响,前者利用齿轮带动摆作周期运动,后者利用
s
x i i
x
056. 01
150
(150
1
=--=
∑=σ
统计频数得下表:
表二:节拍器的频数和频率分布表
根据上表利用ORIGIN软件辅助,作出统计直方图,并用一条高斯曲线拟合:
X/s
图一:节拍器频数和频率的统计直方图和高斯拟合曲线
级学号姓名日期
由公式:2
2
2 (21
(σ
π
σx e x f --
=
⎰
-=
(x=(5.35±0.07s p=0.68
(有效数字问题!
(思考题呢??
5-
认为概率密度分布基本符合正态分布,其中的误差是由于环境、仪器、人的判断误差、N的非无穷大等所决定的。
实验步骤:1、检查实验仪器是否能正常工作,秒表归零;
2、将机械节拍器上好发条使其摆动,用秒表测量节拍器四个周期所用时间,在等精度条件下
重复测量150-200次(本实验中测量150次,记录每次的测量结果;
另外一方面,在本实验中,由于仪器所造成的误差远小于人的操作所造成的误差,一般地,取人开、停秒表的误差为0.2s ,故B类不确定度u B =Δ估/C=0.2s/3=0.067s;合成不确定度
68
. 0, 067. 0067
. 0005. 02
2
2
2
==+=+=
P s U u u B A
那么结果最后可表成:x=(5.353±0.067s P=0.68。
石英晶体的振荡完成周期运动;电子秒表用石英晶体振荡器作时标测时,精度可达0.01s ; 2、统计分布规律原理
在近似消除了系统误差的前提下,对时间t进行N次等精度测量,当N趋于无穷大时,各
测量值出现的概率密度分布可用正态分布的概率密度函数表示:
2
2
2 (21
(σ
π
σx e
x f --
=
其中n
x n
i i
a
a
dx x f a P ( (以及σ=0.056s得
P(σ=0.693; P(2σ=0.987; P(3σ=1.000;
故由以上图象和计算,知在一定误差范围内,该测量列基本呈正态分布。而测量结果平均值的标准差可计算得:
s
s n
x
005. 00562. 0==
=
σσ
这也就是测量中的A类不确定度u A ;
3、对数据进行处理(计算平均值、标准差、作出相应图表、误差分析等;
数据处理:
实验所测量得到的结果如下:
级学号姓名日期
单位:秒
表一:原始数据(4个周期
数据分析如下:
最小值:x min =5.24s最大值:x max =5.45s
平均值:
s
x i ixຫໍສະໝຸດ 353. 5150150
1
==
∑=
级学号姓名日期
标准差:
∑
==
1
,为测量的算术平均值,
1
(1
2
--=
∑n x
n
i
σ,为测量列的标准差,
⎰-=
a
a
dx x f a P ( (, σσσ3, 2, =a
利用统计直方图表示测量列的分布规律,简便易行、直观明了。在本实验中利用f(x得到
概率密度分布曲线,并将其与统计直方图进行比较,在一定误差范围内认为是拟合的,可