01时间测量中随机误差的分布规律
不确定度与数据处理
待测物理量(平均值或真值）处在
置信区间的置信概率为68.3%
置信区间的置信概率为99.7%
置信区间的置信概率为95.4%
一 、直接测量量的不确定度
2、直接测量量B类 标准不确定度：
二 、间接测量量的不确定度
——间接测量量的不确定度传递与合成
直接、
有效数字的处理原则
（1）直接测量量：测量结果的有效数字与测量仪器的最小分度值密切相关，读数规则： 1)对于能连续读数仪器，必须估读到最小分度值的下一位：例如，用米尺测长度：130.5mm，130.0mm 长度为130mm 与130.0mm代表不同的测量精度。 2)对于不能连续读数的仪器，读到仪器最小分度值。如，游标类仪器，数字式仪表等。
作图法:用坐标纸或计算机
1)坐标的选择：最常用的是直角坐标，对数坐标、半对数坐标 2)确定坐标轴和标注坐标分度： 选取坐标轴并标出各坐标轴所代表的物理量，即坐标轴名称及物理量的单位。 一般自变量作为横轴， 坐标分度：原则上数据中的可靠数字在图中也应可靠，可疑位在图中应是估计。 3)适当选取x轴和y轴的比例和坐标的起点，使图线比较对称的充满整个图纸 4)标明实验点：根据所测得的数据，选用符号标明实验点。 5)连接实验图线：根据不同函数关系的实验数据点的分布，将点连成直线和光滑的曲线，数据点均匀地分布在图线两侧。作为校准曲线，将各校准点连成折线。 6)标明图名称
2.00
3.00
4.00
5.00
6பைடு நூலகம்00
7.00
8.00
9.00
10.00
l(mm)
47.0
56.9
66.8
76.4
86.4
96.0
实验名称：时间测量中随机误差的分布规律
实验名称：时间测量中随机误差的分布规律实验目的：用常规仪器（如电子秒表，频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差的分布规律。
实验器材及规格：秒表0.01s实验原理：1常用时间测量仪器的简要原理：机械节拍器：由齿轮带动摆做周期性运动，摆动周期可以通过改变摆锤的位置来连续调节。
电子节拍器：由石英晶体震荡器，计数器，译码器，电源，分档控制及显示部分组成。
按一定频率发出有规律的声音和闪光。
电子秒表：机心由CMOS集成电路组成，石英晶体震荡器做时标，一般用6位液晶数字显示。
连续累积时间59min,59.99s,分辨频率为0.01s。
V AFN多用数字测试仪：由PMOS集成元件和100kHs石英晶体震荡器构成。
可测量记数，震动，累计，速度，加速度，碰撞，频率，转速，角速，脉宽等。
时标由DC10集成电路和100kHs石英晶体震荡器构成。
2在不考虑系统误差的前提下，用时间测量仪器，测量同一时间N次，统计时间分布规律，并且分析误差。
当N趋于无穷时，各测量值出现的概率密度可用正态分布的概率密度函数表示：221()/21()niiX Xf x eσ=⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑=平均值计算公式：1/niiX X n==∑标准差计算公式：Xσ=（1）统计直方图方法在一组等精度测量的N个结果中，找出最大最小值，再有此得到极差max minR X X=-。
将极差分为K 个部分。
每个区间长度x ∆MAX MINX X R x K K-∆== 将落在每个区间的次数称为频数，i n N 称为频率。
最后以X 为横轴i nN为纵轴做图。
（2）密度分布曲线利用直方图中得到的概率密度值，以概率密度值为纵坐标，x 为横坐标可的密度分布曲线，数据处理:最小值min 1.76X s=最大值m a x 2.15X s=平均值 1.96X s =标准差0.072sσ=0.0051s Ua σ==因为人反应时间约为0.2s,秒表仪器误差约为0.01s,所以取 B 类不确定度B ∆0.95t =1.96 , 0.95k =1.96.误差合成：0.13s U ==P ≥0.95测量结果 ()1.960.13T s =± P ≥0.95图表统计如下:取区间数K=15，区间长0.028s 。
时间测量中随机误差的分布规律~
时间测量中随即误差的分布规律
生命科学院 PB05207009 王一莘
实验内容：
1． 时间间隔测量：用电子秒表测量机械节拍器的摆动周期
2． 统计规律的研究
实验步骤：
将电子节拍器的声节拍频率设定为3个周期，旋紧发条。
实验组两位成员：一为手持秒表，从上一周期结束开始计时直至节拍器鸣响结束计时，将实验数据报告另一成员，由另一成员记录数据。
重复上述实验步骤200次。
数据处理：
做统计直方图，并对此图做高斯拟合。
5
注：区间长度经计算应取0.023s ，此直方图取0.025s
=)(σP 0.677
=)2(σP 0.940
=)3(σP 0.989
实验结论： 统计直方图与概率密度分布曲线拟合较好，测量值基本符合正态分布。
误差分析及思考题：
实验中，秒表：s p 2.0=∆ s T 01.0=∆，以及人为听觉敏锐度的差异都将引入误差特别是人为误差因人而已。
1． 答：主要误差为秒表：s p 2.0=∆ s T 01.0=∆，以及人为听觉敏锐度的差异
2． 答：基本符合正态分布规律。
单摆和时间测量
实验报告05级 少年班 陈晨 Pb05000827实验题目:单摆的设计和研究实验目的：利用经典的单摆公式，给出的器材和对重力加速度g 的测量精度的要求,进行简单的设计性实验基本方法的训练学会应用误差均分原则选用适当的仪器和测量方法，学习积累放大法的原理及应用。
实验仪器：实验室提供以下器材（及参数）：游标卡尺、米尺、千分尺、电子秒表、支架、细线（尼龙线）、钢球、摆幅测量标尺（提供硬白纸板自制）、天平（公用）。
假设摆长l ≈70.00cm ；摆球直径D ≈2.00cm ；摆动周期T ≈1.700s ；米尺精度Δ米≈0.05cm ；卡尺精度Δ卡≈0.002cm ；千分尺精度Δ千≈0.001cm ；秒表精度Δ秒≈0.01s ；根据统计分析，实验人员开、停秒表总的反映时间近似为Δ人≈0.2s 。
实验原理：单摆结构如图，当摆角充分小（一般θ<5○）摆球直径充分短（相对于摆线）时，单摆的一级近似周期公式为 glT π2= 因此通过测量摆动周期T ，摆长L 可得224T Lg π=实验内容：1、 用误差均分原理设计一单摆装置，测量重力加速度g ，设计要求：（1） 根据误差均分原理，自行设计实验方案，合理选择测量仪器和方法。
（2） 写出详细的推导过程，实验步骤。
（3） 用自制的单摆装置测量重力加速度g ，测量精度要求%1<∆gg。
2、对重力加速度g 的测量结果进行误差分析和数据处理，检验实验结果是否达到设计要求。
实验设计：以下利用误差均分原理设计一套单摆装置，测量重力加速度g ，测量精度要求%1<∆gg。
由于glT π2=，所以224T L g π=取对数 T L g ln 2ln 4ln ln 2-+=π 求微分TdTL dL g dg 2-= 按最大不确定度公式估算，有TTL L g g ∆+∆=∆2 应用均分原理%5.0≤∆L L ，%5.02≤∆TT将摆长L 和摆球直径D 的粗测值cm l 00.70≈，cm D 00.2≈代入，有 cm l 35.0≤∆和cm D 01.0≤∆结合器材精度参数考虑，选用精度足够的米尺测摆线长，游标卡尺测小球直径。
实验报告—时间测量中随机误差的分布规律
时间测量中随机误差的分布规律PB06210273 张成实验名称：时间测量中随机误差的分布规律实验目的：用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率的测量的随机误差分布，学习用统计法研究物理现象的过程和研究随机误差的分布规律。
实验原理：1、 常用时间测量仪器的简要原理：① 机械节拍器由齿轮带动摆动作周期性运动。
② 电子节拍器按一定的频率发出有规律的声响和闪光。
③ 电子秒表机芯有CMOS 集成电路组成，用石英晶体振荡器作时标。
④ VAFN 多用数字测试仪由PMOS 集成元件和100KHz 石英晶体振荡器构成，可测量计数、振动、累计、速度、加速度、碰撞、频率、转速、角速脉宽等物理量。
2、 统计分布规律的研究正态分布概率密度函数：()]2exp[21)(22σπσxx x f --=nxx ni i∑==1，()112--=∑=n x x ni iσ ， ⎰-=aadx x f a P )()(① 统计直方图法：计算试验数据的极差min max x x R -=，每小区域的间隔：Kx x K R x minmax -==∆ 频数i n ，相对频数%/)/(N n i ，累计频数%/)/(∑N n i ，频率密度xN n i∆⋅ ② 概率密度分布曲线：以)(x f 为纵坐标，x 为横坐标，可得概率密度分布曲线。
实验内容：用电子秒表测量电子节拍器的周期，共测量150次，每次测量3个周期的时长。
数据处理：s nxx ni i213.415091.6311===∑= s n x xni i0.0981)(12=--=∑=σ 测量结果的不确定度：A 类不确定度（95.0=p ）s nu a 008.0==σ95.0=p ，96.1=t ，s u t a p 016.0008.096.1=⨯=B 类不确定度：s s s B 2.001.02.0＝，，＝，＝估仪估仪估∆=∆∴∆>>∆∆∆12.03=∆=BB u 测量值的合成标准不确定度：s u u U B A 12.022=+=数据中93.3min =x ，44.4max =x ，所以级差51.0min max =-=x x R 。
大学物理实验—误差及数据处理
误差及数据处理物理实验离不开测量，数据测完后不进行处理，就难以判断实验效果，所以实验数据处理是物理实验非常重要的环节。
这节课我们学习误差及数据处理的知识。
数据处理及误差分析的内容很多，不可能在一两次学习中就完全掌握，因此希望大家首先对其基本内容做初步了解，然后在具体实验中通过实际运用加以掌握。
一、测量与误差1. 测量概念：将待测量与被选作为标准单位的物理量进行比较，其倍数即为物理量的测量值。
测量值：数值+单位。
分类：按方法可分为直接测量和间接测量；按条件可分为等精度测量和非等精度测量。
直接测量：可以用量具或仪表直接读出测量值的测量，如测量长度、时间等。
间接测量：利用直接测量的物理量与待测量之间的已知函数关系，通过计算而得到待测量的结果。
例如，要测量长方体的体积，可先直接测出长方体的长、宽和高的值，然后通过计算得出长方体的体积。
等精度测量：是指在测量条件完全相同（即同一观察者、同一仪器、同一方法和同一环境）情况下的重复测量。
非等精度测量：在测量条件不同（如观察者不同、或仪器改变、或方法改变，或环境变化）的情况下对同一物理量的重复测量。
2.误差真值A：我们把待测物理量的客观真实数值称为真值。
一般来说，真值仅是一个理想的概念。
实际测量中，一般只能根据测量值确定测量的最佳值，通常取多次重复测量的平均值作为最佳值。
误差ε：测量值与真值之间的差异。
误差可用绝对误差表示，也可用相对误差表示。
绝对误差＝测量值－真值，反应了测量值偏离真值的大小和方向。
为了全面评价测量的优劣, 还需考虑被测量本身的大小。
绝对误差有时不能完全体现测量的优劣, 常用“相对误差”来表征测量优劣。
相对误差＝绝对误差/测量的最佳值×100%分类：误差产生的原因是多方面的，根据误差的来源和性质的不同，可将其分为系统误差和随机误差两类。
（1）系统误差在相同条件下，多次测量同一物理量时，误差的大小和符号保持恒定，或按规律变化，这类误差称为系统误差。
时间测量中随机误差的分布规律
核科学技术学院 2010 级 学号 PB10214023 姓名 张浩然 日期 2011-3-24时间测量中的随机误差分布规律PB10214023 张浩然一、实验题目：时间测量中的随机误差分布规律二、实验目的：同常规仪器测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。
三、实验仪器：电子秒表、机械节拍器四、实验原理：1、仪器原理机械节拍器能按一定频率发出有规律的声响，前者利用齿轮带动摆作周期运动，后者利用石英晶体的振荡完成周期运动；电子秒表用石英晶体振荡器作时标测时，精度可达0.01s ； 2、统计分布规律原理在近似消除了系统误差的前提下，对时间t 进行N 次等精度测量，当N 趋于无穷大时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布的概率密度函数表示：222)(21)(σπσx x ex f --=其中n x x ni i∑==1，为测量的算术平均值，1)(12--=∑n x xniσ，为测量列的标准差，有 ⎰-=aa dxx f a P )()(，σσσ3,2,=a利用统计直方图表示测量列的分布规律，简便易行、直观明了。
在本实验中利用f(x)得到概率密度分布曲线，并将其与统计直方图进行比较，在一定误差范围内认为是拟合的，可认为概率密度分布基本符合正态分布，其中的误差是由于环境、仪器、人的判断误差、N 的非无穷大等所决定的。
五、实验步骤：1、检查实验仪器是否能正常工作，秒表归零；2、将机械节拍器上好发条使其摆动，用秒表测量节拍器四个周期所用时间，在核科学技术学院2010 级学号PB10214023 姓名张浩然日期2011-3-24等精度条件下重复测量约200次（本实验中实际测量224次），记录每次的测量结果；3、对数据进行处理（计算平均值、标准差、作出相应图表、误差分析等）；六、数据处理：1.实验数据如下：（单位：s）初步分析得2.由公式（2）（3）计算得: （单位：s）x=平均值 2.415σ=标准差0.1198473.机械节拍器的频数和频率密度分布：令K=16核科学技术学院 2010 级 学号 PB10214023 姓名 张浩然 日期 2011-3-24有 0max min ()/0.04625x x x K ∆=-= （单位：s ） 取max min ()/0.05x x x K ∆=-=（单位：s ）有测量数据的频数和频率密度分布表如下： 小区域/s 小区域中点值/s 频数i n /s 相对频数(/)/%i n N累计频数(/)/%i n N ∑1.95-2.20 1.975 1 0.446428571 0.446428571 2.20-2.05 2.025 1 0.446428571 0.892857143 2.05-2.10 2.075 1 0.446428571 1.339285714 2.10-2.15 2.125 3 1.339285714 2.678571429 2.15-2.20 2.175 2 0.8928571433.571428571 2.20-2.25 2.225 7 3.1256.696428571 2.25-2.30 2.275 177.589285714 14.28571429 2.30-2.35 2.325 31 13.83928571 28.125 2.35-2.40 2.375 28 12.540.6252.40-2.45 2.425 44 19.64285714 60.26785714 2.45-2.50 2.475 26 11.60714286 71.875 2.50-2.55 2.525 35 15.625 87.5 2.55-2.60 2.575 14 6.2593.752.60-2.65 2.625 10 4.464285714 98.21428571 2.65-2.70 2.675 3 1.339285714 99.55357143 2.70-2.752.72510.4464285711004.统计直方图和概率密度分布曲线图像：核科学技术学院 2010 级 学号 PB10214023 姓名 张浩然 日期 2011-3-245.不确定度分析：0.950.015694973s A U t n==对于电子秒表，人的反应时间为0.2s ，远大于0.01s ，则取B ∆=∆估；对于秒表，取C=3。
2误差
§2.1 直接测量的误差分析
§2.1.3 粗大误差的剔除
处理原则 1. 应首先检查读数是否有差错。 应首先检查读数是否有差错。 2. 如读数肯定无差错 ， 应分析某种瞬变的系统误差 如读数肯定无差错， 如电压突然跳动等） 是否存在； （ 如电压突然跳动等 ） 是否存在 ； 同时在相同条件 增补测量次数， 取得更多的数据， 下 ， 增补测量次数 ， 取得更多的数据 ， 以削弱弥散 特大的个别数据对最终估计值的影响。 特大的个别数据对最终估计值的影响。 3. 最后回过头来判别这些个别值的合理性。 最后回过头来判别这些个别值的合理性。
相隔半个周期进行一次测量， 相隔半个周期进行一次测量，取两次读数的算术平均值 作为测量值。 作为测量值。
6.系统误差可忽略不计的准则 6.系统误差可忽略不计的准则
系统误差或残余系统误差代数和的绝对值不超过测量结 果扩展不确定度的最后一位有效数字的一半。 果扩展不确定度的最后一位有效数字的一半。
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实验报告：时间测量中随机误差的分布规律
张贺PB07210001
一、实验题目：
时间测量中随机误差的分布规律
二、实验目的：
用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。
三、实验仪器:
电子秒表、机械节拍器
四、实验原理：
1.常用时间测量仪表的简要原理：
（1）机械节拍器：由齿轮带动摆做周期性运动，摆
动周期可以通过改变摆锤的位置连续调节。
（2）电子节拍器：由石英晶体振荡器、计数器、译
码器、电源和分档控制及显示部分组成。
电子
节拍器按一定的频率发出有规律的声响和闪
光，声、光节拍范围为 1.5～0.28846s，分为
39挡，各挡发生和闪光的持续时间约为0.18s。
（3）电子秒表：兼有数种测时功能（秒、分、时、
日、月和星期），便于携带和测量的常用电子计时器。
电子秒表机芯由CMOS 集成电路组成，用石英晶体振荡器作时标，一般用六位液晶数字显示，其连续积累时间数为59min59.99s 。
分辨率为0.01s ，平均日差0.5s 。
（4） V AFN 多用数字测试仪：由PMOS 集成元件和
100kHz 石英晶体振荡器构成。
可测量计数、振动、累计、速度、加速度、碰撞、频率、转速、角速、脉宽。
时标：由DC10集成电路和100kHz 石英晶体振荡器组成。
电路可直接输出0.01ms ，0.1ms ，1ms ，10ms ，0.1s ，1s 六挡方波脉冲作为时标信号和闸门时间。
石英晶体振荡器的稳定度为1.2×105-s/d ；频率测量范围1Hz~100kHz ；电信号输入幅度为300mV 。
2. 统计分布规律的研究：
假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为一恒定值）的条件下，对某物理量x 进行N 次等精度测量，当测量次数N 趋向无穷大时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布（又称高斯分布）的概率密度函数表示，
]2)(exp[21)(22--=σπ
σx x x f （1）
式中x 为测量的算术平均值，σ为测量列的标准差，
n
x
x n
i i
∑==
1
（2）
1
)(12
--=
∑=n x x n
i i σ （3）
⎰-=a
a
dx x f a P )()( （4）
式中a=σ,2σ,3σ. （1） 统计直方图方法
统计直方图是用实验研究某一物理现象统计分布规律的一种直观的方法。
由于此法简便易行，直观清晰，因此在许多情况，特别是当我们对被研究对象的规律一无所知的情况下，不失为一种初步分析的手段。
在一组等精度测量所得的N 个结果x 1，x 2，x 3，…，x N 中，先找出它的最小值x min 和最大值x max 。
由最大值和最小值之差可求得实验数据的极差R=x max-x min ，将极差分为K 个小区间，每个小区域的间隔（⊿x ）的大小就等于极差R 除以K
K
x x K R
x min max -=
=∆ （5）
统计测量结果出现在某个小区域内的次数n i 称为频数，相对频数
N
n i
被称为测定值在该小
区域内出现的频率，相应地把N
n i ∑称为累计频率，而把
x
N n i
∆⋅称为频率密度。
若以n i 或
N
n i 或
x
N n i
∆⋅为纵坐标，测量值x 为横坐标，便可得到
统计直方图。
（2） 概率密度分布曲线
利用式（1）求出个小区域中点的正态分布的概率密度值f(x)，以f(x)为纵坐标，x 为横坐标，可得概率密度分布曲线。
若此概率密度分布曲线与统计直方图上端相吻合，则可以认为测量只是基本符合正态分布的。
五、实验内容：
1.时间间隔测量
（1）用电子秒表测量机械节拍器的摆动周期或电子节拍器的周期。
2.统计规律研究 在相同条件下，重复测量200次。
（1）利用公式（2）和式（3）计算测量结果的平均值
x和测量数据列的标准差σ值。
（2）利用式（1）计算各区中点值x中的f(x)值。
（3）根据测量结果的离散程度，极限差R的大小，合理划分小区间数K，用公式（5）确定小区间的间隔，计
算各区间的频率、相对频率、相对频率密度和累计频率。
以频率密度为纵坐标测量值x为横坐标，作统计直方图，
并将f(x)-x中曲线绘在统计直方图上，检验测量值的分布是
否符合正态分布。
（4）利用公式（4）计算测量列误差出现在σ
±、σ2
±和σ3
±范围内的概率。
（5）计算测量结果平均值的标准差，并正确的写出测量结果完整的表达式。
六、数据处理：
1.原始数据如下：（单位：s）
初步分析得
2.由公式（2）（3）计算得： （单位：s ） 平均值
3.57=x 标准差 160.06233543=σ
3.机械节拍器的频数和频率密度分布：
K=15
0.02273
/)(min max =-=∆K x x x （单位：s ）
4.x中与f(x)的值如下：
5.统计直方图和f(x)-x中图像：
6.测量列误差出现在σ±、σ2±和σ3±范围内的概率：
σ
±=a 时 ()635.0=a P σ
2±=a 时 ()96.0=a P σ3±=a 时
()1=a P
7.测量结果完整的表达式为： ()s x 12.057.3±= 七、思考题：
1.若测量结果偏离正态分布，试分析产生偏离的主要因素。
答：测量结果偏离正态分布，直方图中频率密度与f(x)上端中点不重合，偏离产生的主要因素有： （1）测试者的心理因素 （2）外界环境因素 （3）仪器系统误差
（4）测量次数为200次，不能达到无穷多 （5）不是等精度测量
2.在不考虑系统误差的条件下，对某一物理量进行多次等精度测量时随机误差的分布有哪些特征？ 答：
（1）对称性：与平均值的差值的绝对值相等时，出现的概率大致相等
（2）有界性：在一定条件下，标准差的绝对值有一定限度
（3）抵偿性：标准差的算术平均值随着n ∞而趋于零。