随机误差统计分布规律.
01时间测量中随机误差的分布规律
实验报告：时间测量中随机误差的分布规律张贺PB07210001一、实验题目：时间测量中随机误差的分布规律二、实验目的：用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。
三、实验仪器:电子秒表、机械节拍器四、实验原理：1.常用时间测量仪表的简要原理：（1）机械节拍器：由齿轮带动摆做周期性运动，摆动周期可以通过改变摆锤的位置连续调节。
（2）电子节拍器：由石英晶体振荡器、计数器、译码器、电源和分档控制及显示部分组成。
电子节拍器按一定的频率发出有规律的声响和闪光，声、光节拍范围为 1.5～0.28846s，分为39挡，各挡发生和闪光的持续时间约为0.18s。
（3）电子秒表：兼有数种测时功能（秒、分、时、日、月和星期），便于携带和测量的常用电子计时器。
电子秒表机芯由CMOS 集成电路组成，用石英晶体振荡器作时标，一般用六位液晶数字显示，其连续积累时间数为59min59.99s 。
分辨率为0.01s ，平均日差0.5s 。
（4） V AFN 多用数字测试仪：由PMOS 集成元件和100kHz 石英晶体振荡器构成。
可测量计数、振动、累计、速度、加速度、碰撞、频率、转速、角速、脉宽。
时标：由DC10集成电路和100kHz 石英晶体振荡器组成。
电路可直接输出0.01ms ，0.1ms ，1ms ，10ms ，0.1s ，1s 六挡方波脉冲作为时标信号和闸门时间。
石英晶体振荡器的稳定度为1.2×105-s/d ；频率测量范围1Hz~100kHz ；电信号输入幅度为300mV 。
2. 统计分布规律的研究：假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为一恒定值）的条件下，对某物理量x 进行N 次等精度测量，当测量次数N 趋向无穷大时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布（又称高斯分布）的概率密度函数表示，]2)(exp[21)(22--=σπσx x x f （1）式中x 为测量的算术平均值，σ为测量列的标准差，nxx ni i∑==1（2）1)(12--=∑=n x x ni i σ （3）⎰-=aadx x f a P )()( （4）式中a=σ,2σ,3σ. （1） 统计直方图方法统计直方图是用实验研究某一物理现象统计分布规律的一种直观的方法。
随机误差的正态分布
1.3
0.3
0.1179
1.4
0.4
0.1554
1.5
0.5
0.1915
1.6
0.6
0.2258
1.7
0.7
0.2580
1.8
0.8
0.2881
1.9
0.9
0.3159
1.96
1.0
0.3413
2.0
1
u u2
e 2 du
2 0
面积
u
0.3643
2.1
0.3849
2.2
0.4032
2.3
0.4192
频率分布图
规律
1. 测量过程中随机误差的存在，使分析结 果高低不齐，即测量数据具有分散的特性。
随机误差的正态分布.
测量值出现的区间
x=μ±1σ x=μ±1.96σ x=μ±2σ x=μ±2.58σ x=μ±3σ
概率
68.3% 95.0% 95.5% 99.0% 99.7%
例：已知某试样质量分数的标准值为1.75%， σ=0.10%；无系统误差。求：(1)分析结果落在 (1.75±0.15)%范围内的概率；(2)分析结果大于 2.00%的概率。
解：(1)
u x x 1.75% 0.15% 1.5
0.10% 0.10%
(2) 属于单边检验问题： u x 2.00% 1.75% 2.5
0.10%
阴影部分的概率为0.4938。正态分布曲线右侧的概率 为 0.5000 ， 故 阴 影 部 分 以 外 的 概 率 为 0.5000 － 0.4938=0.62% ， 即 分 析 结 果 大 于 2.00% 的 概 率 为 0.62%。
概率P为： p
(u) du
1
eu2 / 2du
2
大多数测量值集中在算术平均值的附近； 小误差出现的几率大,大误差出现的几率小，
特大误差出现的几率极小； 绝对值相等的正、负误差出现的几率趋于相
等。
表3-2 正态分布概率积分表
图 7-5 正态分布概率积分图
y f (x)
1
e( x )2 / 2 2
2
y：概率密度； x：测量值 μ：总体平均值，即无限次测定数据的平均值，无系 统误差时即为真值；反映测量值分布的集中趋势。
σ：总体标准偏差，反映测量值分布的分散程度； x-μ：随机误差
概率
随机误差统计规律分布特点
随机误差统计规律分布特点
随机误差（也称为观测误差）是指在测量过程中出现的偶然性误差，它是由于测量条件难以完全控制而引起的不可避免的误差。
随机误差的分布规律通常符合“正态分布”（也称为高斯分布）的特点，即在概率密度函数上表现为一条钟形曲线，其峰值位于均值处，标准差越小，曲线越陡峭，反之曲线越平缓。
正态分布具有以下特点：
1.对称性：分布函数两侧的曲线相对称。
2.峰度（尖峰度）：高峰陡峭，翼部较平缓。
3.均值与中位数相等。
4.标准差越小，分布曲线越陡峭。
5.曲线下方的面积为1。
正态分布是自然界和社会现象中广泛存在的一种分布形式，它的出现是由于众多随机变量的叠加作用所导致的。
在测量界中，正态分布被广泛应用于误差分析、可靠性评价、质量管理等方面。
1-4随机误差的统计分布
大学物理实验 4 1.4 随机误差的统计分布1.4.1 随机误差的正态分布1．正态分布规律在相同的测量条件下，对某一被测量进行多次重复测量，假设系统误差已被减弱到可以被忽略的程度，由于随机误差的存在，测量结果1x ，2x ，…n x 一般存在着一定的差异。
如果该被测量的真值为a ，则根据误差的定义，各次测量的误差为1,2,3,i i x a i n δ=-=大量的实验事实和统计理论都证明，在绝大多数物理测量中，当重复测量次数足够多时，随机误差i δ服从或接近正态分布（或称高斯分布）规律。
正态分布的特征可以用正态分布曲线形象地表示出来，如图1-2所示，横坐标为误差i δ，纵坐标为随机误差的概率密度分布函数()f δ。
当测量次数n →∞时，此曲线完全对称。
2．正态分布的性质（1）单峰性。
误差为零处的概率密度最大，即绝对值小的误差出现的可能性（概率）大，绝对值大的误差出现的可能性小。
（2）对称性（抵偿性）。
大小相等的正误差和负误差出现的机会均等，对称分布于真值的两侧，当测量次数非常多时，正误差和负误差相互抵消，于是，误差的代数和趋向于零。
（3）有界性。
在一定测量条件下，误差的绝对值不会超过一定限度，即非常大的正误差或负误差出现的可能性几乎为零。
根据误差理论可以证明函数()f δ的数学表达式为()2221e 2πf δσδσ-= （1-3）测量值的随机误差出现在(),d δδδ+区间内的可能性为()d f δδ，即图1-2中阴影线所包含的面积元。
式（1-3）中的σ是一个与实验条件有关的常数，称之为标准误差。
1.4.2 标准误差及其计算1．标准误差的物理意义按照概率理论，误差δ出现的区间(),-+∞∞的事件是必然事件，所以()d 1f δδ+-=⎰∞∞，即曲线与横轴所包围面积恒等于1。
当0δ=时，由式（1-3）得()102πf σ= （1-4）图1-2 随机误差的正态分布曲线第1章 测量误差与数据处理的基础知识 5 由式（1-4）可见，若测量的标准误差σ很小，则必有f (0)很大。
用Excel研究单摆测重力加速度实验中的随机误差分布规律
知， 利用拟合直线 的斜率 忌 可计算出ｇ的大小。
一
Ｌ
ｇ
（） ３
考虑空气浮力 、 空气粘滞阻力的情况下 ， 摆线质量 远小于小球 质 量 ， 摆 的摆 角≤ ５， 摆球 在 同一 单 。且 竖 直平 面 内摆 动时 ， 单摆 周期 Ｔ满 足下式 ： 则
丁 ㈣
利用上 述 ｇ的测 量 方法 ， １ ｍ 改 变 一次 每 ０ｃ 单 摆 的摆 长 （ 由于摆球 是锥体 ， 实验 中的摆 长 即为 线长， 这对 拟合直 线 的斜 率 无 影 响 ）共 改 变 五次 ，
２ 随机误差 的分布规律
一
结果进行修正。但当明显的系统误差消除或修正 后 ， 同一 条 件 下多次 测量 同一 物理量 时 ， 在 测量结 果仍会出现一些无规律 的起伏 ， 这主要是 由随机
误差 引起 的 。随 机误 差 的 出现 不 可 避 免 ， 于单 对 次测 量而 言 ， 它是没 有规 律 的 ， 当测量 次数 足够 但 多时 ， 随机误 差 服从 统计 分 布规律 ， 以用统 计方 可
重 复测 量 了 ２ ０次 周 期 ， 次 测 量 包 含 ５ ０ 每 Ｏ个周 期， 测量 数据 如表 １ 所示 。
法估算随机误差。鉴于单摆法测重力加速度实验
表 １ 单摆运动 ５ Ｏ个 周 期 的 时 间
为 了用 统计 方法 得 到周期 的随机误 差分 布规
律， 需将 表 １中 ２ ０组数据 从 小到 大进行 分类 ， ０ 计
ｇ＝ ４
１
（） ２
为了提高 ｇ的测量精度， 一般采用图像法求解 ｇ 。
具 体方法是 这样 的 ： 过改变 摆长 Ｌ， 量 出相应 通 测 的周期 Ｔ， 合 出 — 的关 系 图 ， 由 （）式 可 拟 Ｌ 再 ３
测量值和随机误差的概率分布
（2-8）
• 视为概率在微小区间 xi , xi x 上的增量
2 由概率密度定义推论 （1）点上的概率为零
f (x) dx f (x) 0 0
某点的概率密度大，则测量值在该点附近的概率大
（2）无穷小区间上的概率
dp f (x)dx
（2-9）
（3）区间（a，b）上的概率
b
P(a,b) a f (x)dx
•令 •即
f (r)
1
r2
e 2 2
2
f (x)dx f (r)dr
（2-15）
• f（r）为随机误差的正态分布密度函数，r为随机 误差
2-2-2 正态分布
• 因为
1
lim n n
1
ri
lim
n
n
(xi )
lim 1 n n
xi
0
（2-16）
• 即随机误差的总体平均值为0
• 所以正态分布曲线的位置是确定的，在曲线最高
Si
ni nx
x
ni n
（2）所有矩形面积之和等于频率的总和1
S
Si
ni nx
x
ni n
1
2 形状与分布规律
（1）频数曲线在横轴上跨越的范围就是测量值分布 的范围
这个范围并不小，说明测量值是分散的
（2）频数曲线两边低，中间高，
说明较大或较小的值，即偏离较远的值，出现的频 率小；
中间值，即趋近于样本平均值(60.78)的值，出现的 频率大，说明测量值又是集中的
• 前两条是一般统计检验的理论根据和出发点。 • 第三条说明增加测定次数可以减小直至消除随机
误差。
§2-3 标准正态分布（u分布）
1002随机误差
14 3.08
0.07
2
0.0133
频率密度 fi / x
11 8 8 7 5 3 1
x 3.01
fivi 0
n=150 fi 0.9999
10
2、统计直方图 根据表1-1的数据可按下列步骤作出统计直方图。
以xi为横坐标，以fi 或 fi /x为纵坐标建立坐标系。
2 i
vi2
n
2 x
2
x
vi
vi2
n
2 x
i1
i1
i1
i1
n
n
i
vi
n x
i 1
i 1
n
n
n
i vi i
i1 i1 i1
x
n
n
n
n
2
i
n
i2
n
2 i j
2 x
i 1
n
i1 n2
1
2
单峰性
A、对称性 f ( ) 0 f ( ) f ( )
B、抵偿性 C、单峰性 D、有界性
n
随着测量次数的增加， lim
i
i 1
0
n n
δ=0时, fmax ( ) f (0) f ( ) f (0)
随机误差δ出现在一个有限的区间
内，即[-kσ,+kσ]的可能性较大。
1879.64
li
vi
-0.01
0
+0.04
+0.05
-0.05
-0.04
+0.04
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实验题目：时间测量中的随机误差分布规律
实验目的：用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分
布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。
实验原理：1、常用时间测量仪表的简要原理
（1）机械节拍器由齿轮带动摆作周期性运动。
（2）电子节拍器按一定的频率发出有规律的声响和闪光。
（3）电子秒表兼有数种测时功能。
电子秒表机芯由CMOS 集成电路组成，用石英晶体振荡器
作时标，一般用六位夜晶数字显示。
（4）V AFN 多用数字测试仪由PMOS 集成元件和100kHz 石英晶体振荡器构成。
六档方波脉冲
作为时标信号和闸门时间。
2、统计分布规律和研究
(1)假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为一恒定值）
的条件下，对时间t 进行N 次等精度测量，当测量次数N 趋于无穷大时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布的概率密度函数表示：
2
22)(21
)(σπ
σx x e
x f --
=
其中n
x
x n
i i
∑==
1
为测量的算术平均值，
1
)(1
2
--=∑=n x x
n
i i
σ为测量列的标准差，
⎰-=a a
dx x f a P )()( 式中σσσ3,2,=a
(2)概率密度分布曲线
求出各小区间中点的正态分布的概率密度值f(x),以f(x)为纵坐标，t 为横坐标，可得概率
密度分布曲线。
若此概率密度分布曲线与统计直方图上断相吻合，则可认为测量值是基本符合正态分布的。
实验步骤：1、时间测量
（1）用电子秒表测量机械节拍器的摆动周期（以3个周期为一测量周期）。
（2）将机械节拍器上好发条使其摆动，在等精度条件下重复测量150，记录每次的测量结果。
2、数据进行处理（计算平均值、标准差、作出相应图表、误差分析等）及统计规律研究。
实验器材：电子秒表、机械节拍器
实验桌号：6号
数据处理：
实验所测的原始数据如下（单位：秒）：
表一：原始数据
数据分析如下：
最小值：x min =5.03s 最大值：x max =5.24s
平均值：
s
x i i
x
12.5150
150
1
==
∑=
标准差：
s
x i i
x 047.01
150)
(1501
=--=
∑=σ
统计频数得下表：
表二：节拍器的频数和频率分布表
5.18 5.15 5.07 5.18 5.10 5.16 5.13 5.18 5.04 5.145.24 5.18 5.18 5.08 5.16 5.18 5.11 5.19 5.05 5.165.20 5.18 5.10 5.09 5.18 5.17 5.14 5.18 5.12 5.135.18 5.13 5.16 5.12 5.14 5.09 5.09 5.14 5.15 5.095.15 5.10 5.14 5.13 5.13 5.15 5.16 5.13 5.05 5.165.15 5.13 5.13 5.05 5.09 5.17 5.10 5.11 5.06 5.155.22 5.10 5.15 5.12 5.10 5.17 5.08 5.08 5.13 5.075.11 5.09 5.11 5.08 5.14 5.13 5.13 5.05 5.09 5.065.17 5.18 5.14 5.15 5.05 5.14 5.23 5.12 5.11 5.085.16 5.19 5.12 5.12 5.13 5.15 5.13 5.06 5.08 5.135.15 5.24 5.16 5.14 5.10 5.05 5.08 5.09 5.17 5.125.09 5.09 5.10 5.08 5.09 5.14 5.03 5.04 5.18 5.045.19 5.17 5.15 5.09 5.13 5.19 5.10 5.07 5.18 5.085.20 5.18 5.10 5.06 5.10 5.19 5.09 5.05 5.05 5.175.13 5.16 5.13 5.08 5.03 5.05 5.05 5.19 5.12 5.10
区域起始/s 区域末尾/s 区域中点/s 频数频率
5.020 5.045
5.032550.0335.045 5.070 5.0575140.0935.070 5.095 5.0825260.1735.095 5.120
5.1075170.1135.120 5.145 5.1325350.2335.145 5.170 5.1575200.1335.170 5.195 5.1825270.1805.195 5.220
5.207520.0135.220 5.245
5.232540.027
根据上表作出统计直方图，并拟合一条高斯曲线：
节拍器频数和频率的统计直方图和高斯拟合曲线
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
n/N
图一：节拍器频数和频率的统计直方图和高斯拟合曲线
由公式：
2
22)(21
)(σπ
σx x e
x f --
=
⎰-=a
a
dx x f a P )()(以及σ=0.047s 得
P(σ)=0.683； P(2σ)=0.954； P(3σ)=0.997；
所以考虑测试者的心理因素、外界环境和仪器系统误差等因素的影响，该测量结果基本符合正态分布。
测量结果平均值的标准差可计算得： A 类不确定度为：
s s
n
A u x
004.0150
047.0==
=
=σ
σ
B 类不确定度为u B =Δ估/C=0.2s/3=0.067s ； 合成不确定度68.0,067.0067
.0004.02
222
==+=
+=
P s U u
u B
A
那么结果最后可表成：t=(5.12±0.07)s P=0.68。